एक ठोस डिस्क और एक रिंग,दोनों की त्रिज्या $10\; cm$ है,को एक क्षैतिज मेज पर एक साथ रखा जाता है,जिनकी प्रारंभिक कोणीय गति $10\pi\; rad\; s^{-1}$ है। दोनों में से कौन पहले लुढ़कना (roll) शुरू करेगा? गतिज घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.2$ है।

(B) दिया गया है: त्रिज्या $r = 10\; cm = 0.1\; m$,प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_0 = 10\pi\; rad\; s^{-1}$,गतिज घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.2$,प्रारंभिक रैखिक वेग $u = 0$.
घर्षण बल $f = \mu_k mg$ रैखिक त्वरण $a = \mu_k g$ प्रदान करता है। $v = u + at$ का उपयोग करने पर,$v = \mu_k gt$ प्राप्त होता है।
टॉर्क $\tau = -f r = -I\alpha$ कोणीय मंदन $\alpha = \frac{\mu_k mgr}{I}$ उत्पन्न करता है। $\omega = \omega_0 - \alpha t$ का उपयोग करने पर,$\omega = \omega_0 - \frac{\mu_k mgr}{I}t$ प्राप्त होता है।
लुढ़कना तब शुरू होता है जब $v = r\omega$ हो। समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu_k gt = r(\omega_0 - \frac{\mu_k mgr}{I}t) \implies \mu_k gt = r\omega_0 - \frac{\mu_k mgr^2}{I}t$.
रिंग के लिए $(I = mr^2)$:
$\mu_k gt_r = r\omega_0 - \mu_k gt_r \implies 2\mu_k gt_r = r\omega_0 \implies t_r = \frac{r\omega_0}{2\mu_k g} = \frac{0.1 \times 10\pi}{2 \times 0.2 \times 9.8} \approx 0.80\; s$.
डिस्क के लिए $(I = \frac{1}{2}mr^2)$:
$\mu_k gt_d = r\omega_0 - 2\mu_k gt_d \implies 3\mu_k gt_d = r\omega_0 \implies t_d = \frac{r\omega_0}{3\mu_k g} = \frac{0.1 \times 10\pi}{3 \times 0.2 \times 9.8} \approx 0.53\; s$.
चूंकि $t_d < t_r$,इसलिए डिस्क रिंग की तुलना में पहले लुढ़कना शुरू कर देगी।