Motion of Centre of Mass Questions in Hindi

(A) निकाय दो कणों $A$ और $B$ से बना है जो पारस्परिक आकर्षण बल के अंतर्गत गति कर रहे हैं।
चूंकि निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है $(F_{ext} = 0)$,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का त्वरण शून्य है $(a_{cm} = 0)$।
इसका अर्थ है कि द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$ समय के साथ नियत रहता है।
प्रारंभ में,दोनों कण विरामावस्था में हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $v_{cm, initial} = 0$ है।
अतः,किसी भी बाद के क्षण पर,जब $A$ और $B$ की चालें क्रमशः $v$ और $2v$ हैं,तब भी द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm} = 0$ ही रहेगा।

(C) विस्फोट एक आंतरिक बल की घटना है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,आंतरिक बल किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति को नहीं बदल सकते हैं।
चूंकि गोले पर कार्य करने वाला बाहरी बल (गुरुत्वाकर्षण) अपरिवर्तित रहता है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का त्वरण नीचे की ओर $g$ ही रहता है।
अतः,गोले के टुकड़ों का द्रव्यमान केंद्र उसी परवलयाकार पथ का अनुसरण करना जारी रखता है जिस पर अखंड गोला विस्फोट न होने की स्थिति में गति करता।

(C) मान लीजिए कि व्यक्ति $A$ का द्रव्यमान $m_A = 40 \, kg$,व्यक्ति $B$ का द्रव्यमान $m_B = 60 \, kg$,और तख्ते का द्रव्यमान $m_P = 40 \, kg$ है। तख्ते की लंबाई $L = 120 \, cm$ है।
चूंकि निचली सतह चिकनी है और कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है,इसलिए निकाय के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति स्थिर रहती है।
मान लीजिए कि तख्ते के केंद्र की प्रारंभिक स्थिति मूल बिंदु $(0, 0)$ है।
प्रारंभ में,व्यक्ति $A$,$x_A = -60 \, cm$ पर है,व्यक्ति $B$,$x_B = 0 \, cm$ पर है,और तख्ते का केंद्र $x_P = 0 \, cm$ पर है।
निकाय का द्रव्यमान केंद्र $X_{CM} = \frac{m_A x_A + m_B x_B + m_P x_P}{m_A + m_B + m_P} = \frac{40(-60) + 60(0) + 40(0)}{40 + 60 + 40} = \frac{-2400}{140} = -\frac{120}{7} \, cm$ है।
जब $A$,$B$ से मिलता है,तो मान लीजिए कि तख्ता दाईं ओर $d$ विस्थापन से खिसक गया है। तख्ते के केंद्र की नई स्थिति $x_P' = d$ है।
चूंकि $B$ जमीन के सापेक्ष स्थिर रहता है,$B$ की स्थिति $x_B' = 0$ है। चूंकि $B$ तख्ते के केंद्र में था,और तख्ता $d$ से खिसक गया,इसलिए $B$ अब तख्ते के दाएं किनारे पर है। अतः,$A$ को भी $B$ से मिलने के लिए तख्ते के दाएं किनारे पर होना चाहिए।
द्रव्यमान केंद्र के संरक्षण का उपयोग करते हुए: $m_A x_A' + m_B x_B' + m_P x_P' = m_A x_A + m_B x_B + m_P x_P$.
चूंकि $A$ और $B$ तख्ते के दाएं सिरे पर मिलते हैं,$x_A' = x_B' = d + 60$.
$40(d + 60) + 60(0) + 40(d) = -2400$.
$40d + 2400 + 40d = -2400 \Rightarrow 80d = -4800 \Rightarrow d = -60 \, cm$.
मिलने का बिंदु $x_B' = 0$ है। तख्ते का दायां सिरा $x_P' + 60 = -60 + 60 = 0$ पर है। इस प्रकार,वे तख्ते के दाएं सिरे पर मिलते हैं।

(C) द्रव्यमान केंद्र का वेग $(V_{COM})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V_{COM} = \frac{m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}}{m_{1} + m_{2}}$
दिया गया है:
$m_{1} = 10\,kg$,$v_{1} = 14\,m/s$
$m_{2} = 4\,kg$,$v_{2} = 0\,m/s$
मान रखने पर:
$V_{COM} = \frac{10 \times 14 + 4 \times 0}{10 + 4}$
$V_{COM} = \frac{140}{14} = 10\,m/s$

(D) किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $(a_{CM})$ सूत्र $a_{CM} = \frac{F_{ext}}{M_{total}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब दोनों गेंदें हवा में होती हैं,तो प्रत्येक गेंद पर कार्य करने वाला एकमात्र बाहरी बल गुरुत्वाकर्षण बल है,जो नीचे की ओर $mg$ कार्य करता है।
मान लीजिए कि दो गेंदों का द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ है। कुल बाहरी बल $F_{ext} = m_1g + m_2g = (m_1 + m_2)g$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{total} = m_1 + m_2$ है।
इसलिए,$a_{CM} = \frac{(m_1 + m_2)g}{m_1 + m_2} = g$।
चूंकि गुरुत्वीय त्वरण $g$ स्थिर है और यह द्रव्यमान,वेग या प्रक्षेपण के समय पर निर्भर नहीं करता है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का त्वरण नीचे की ओर $g$ बना रहता है।

(B) माना निकाय का त्वरण $a$ है। चूंकि डोरी अवितान्य है,इसलिए दोनों ब्लॉक समान त्वरण $a$ से गति करते हैं।
$53^{\circ}$ के झुकाव पर स्थित ब्लॉक के लिए गति का समीकरण: $mg \sin 53^{\circ} - T = ma$.
$37^{\circ}$ के झुकाव पर स्थित ब्लॉक के लिए गति का समीकरण: $T - mg \sin 37^{\circ} = ma$.
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $mg(\sin 53^{\circ} - \sin 37^{\circ}) = 2ma$.
$a = \frac{g(\sin 53^{\circ} - \sin 37^{\circ})}{2} = \frac{10(0.8 - 0.6)}{2} = \frac{10(0.2)}{2} = 1 \, m/s^2$.
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $\vec{a}_{cm} = \frac{m\vec{a}_1 + m\vec{a}_2}{2m} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
त्वरण सदिश $\vec{a}_1 = a(\cos 53^{\circ} \hat{i} + \sin 53^{\circ} \hat{j})$ और $\vec{a}_2 = a(-\cos 37^{\circ} \hat{i} + \sin 37^{\circ} \hat{j})$ हैं।
चूंकि $\cos 53^{\circ} = \sin 37^{\circ} = 0.6$ और $\sin 53^{\circ} = \cos 37^{\circ} = 0.8$,इसलिए $\vec{a}_1 = a(0.6 \hat{i} + 0.8 \hat{j})$ और $\vec{a}_2 = a(-0.8 \hat{i} + 0.6 \hat{j})$ है।
$\vec{a}_{cm} = \frac{a}{2} [(0.6 - 0.8) \hat{i} + (0.8 + 0.6) \hat{j}] = \frac{a}{2} [-0.2 \hat{i} + 1.4 \hat{j}] = a(-0.1 \hat{i} + 0.7 \hat{j})$.
इसका परिमाण $|\vec{a}_{cm}| = a \sqrt{(-0.1)^2 + (0.7)^2} = 1 \sqrt{0.01 + 0.49} = \sqrt{0.5} = \frac{1}{\sqrt{2}} \, m/s^2$ है।

(B) चूंकि सतह घर्षणहीन है और कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
मान लीजिए कि तख्ते द्वारा तय की गई दूरी $x$ है,जो व्यक्ति की गति की विपरीत दिशा में है।
व्यक्ति जमीन के सापेक्ष $(\ell - x)$ दूरी तय करता है।
द्रव्यमान केंद्र के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $M(\ell - x) = (3M)x$.
दोनों पक्षों को $M$ से विभाजित करने पर: $\ell - x = 3x$.
$x$ के लिए हल करने पर: $4x = \ell$,जिससे $x = \frac{\ell}{4}$ प्राप्त होता है।
जमीन के सापेक्ष व्यक्ति द्वारा तय की गई दूरी $\ell - x = \ell - \frac{\ell}{4} = \frac{3\ell}{4}$ है।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला बाह्य बल शून्य है,तो द्रव्यमान केंद्र का वेग स्थिर रहता है।
इस प्रश्न में,शेल मुक्त आकाश में है,जिसका अर्थ है कि उस पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है $(F_{ext} = 0)$।
इसलिए,विस्फोट के बाद द्रव्यमान केंद्र का वेग वही रहेगा जो विस्फोट से पहले शेल का वेग था।
दिया गया प्रारंभिक वेग $v = 60\,m/s$ है।
अतः,$v_{cm} = 60\,m/s$।

(B) चूंकि निकाय एक चिकनी क्षैतिज सतह पर है,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है। अतः,निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है,अर्थात $\Delta X_{cm} = 0$।
मान लीजिए कि जब $A$ और $C$ अपनी स्थिति की अदला-बदली करते हैं तो तख्ता दाईं ओर $x$ दूरी तक खिसक जाता है।
मान लीजिए $A, B, C$ और तख्ते की प्रारंभिक स्थिति $x_A = -2\,m, x_B = 0\,m, x_C = 2\,m$ और $x_P = 0\,m$ है।
जब $A$ और $C$ स्थिति की अदला-बदली करते हैं,तो तख्ते के सापेक्ष उनकी नई स्थिति $x'_A = 2\,m$ और $x'_C = -2\,m$ हो जाती है। तख्ता दाईं ओर $x$ विस्थापित हो गया है।
जमीन के सापेक्ष प्रत्येक द्रव्यमान का विस्थापन:
$\Delta x_A = (2 + x) - (-2) = 4 + x$
$\Delta x_B = x - 0 = x$
$\Delta x_C = (-2 + x) - 2 = -4 + x$
$\Delta x_P = x - 0 = x$
सूत्र $m_A \Delta x_A + m_B \Delta x_B + m_C \Delta x_C + m_P \Delta x_P = 0$ का उपयोग करने पर:
$40(4 + x) + 50(x) + 60(-4 + x) + 90(x) = 0$
$160 + 40x + 50x - 240 + 60x + 90x = 0$
$240x - 80 = 0$
$x = 80/240 = 1/3\,m$।
चूंकि $x$ धनात्मक है,इसलिए तख्ता (और इस प्रकार $B$ जो तख्ते पर है) $1/3\,m$ दाईं ओर खिसक जाएगा।

(B) माना निकाय का त्वरण $a$ है। चूंकि ब्लॉक एक डोरी से जुड़े हैं,वे समान त्वरण $a$ के साथ गति करते हैं।
निकाय पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$T - mg \sin 37^{\circ} = ma$
$mg \sin 53^{\circ} - T = ma$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$mg(\sin 53^{\circ} - \sin 37^{\circ}) = 2ma$
$a = \frac{g(\sin 53^{\circ} - \sin 37^{\circ})}{2} = \frac{10(0.8 - 0.6)}{2} = \frac{10(0.2)}{2} = 1 \, m/s^2$.
पहले ब्लॉक का त्वरण $\vec{a}_1 = a \angle 53^{\circ}$ (नत समतल पर ऊपर की ओर) और दूसरे ब्लॉक का त्वरण $\vec{a}_2 = a \angle 37^{\circ}$ (नत समतल पर नीचे की ओर) है।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $\vec{a}_{cm} = \frac{m\vec{a}_1 + m\vec{a}_2}{2m} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2}$ है।
इसका परिमाण $a_{cm} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos(180^{\circ} - (53^{\circ} + 37^{\circ}))} = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2a^2 \cos(90^{\circ})} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
$a = 1 \, m/s^2$ रखने पर,हमें $a_{cm} = \frac{1}{\sqrt{2}} \, m/s^2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है:
द्रव्यमान $m_1 = 1 \text{ kg}$,वेग $\vec{v}_1 = 2\hat{i} \text{ m/s}$.
द्रव्यमान $m_2 = 2 \text{ kg}$,वेग $\vec{v}_2 = 2 \cos(30^{\circ})\hat{i} - 2 \sin(30^{\circ})\hat{j} \text{ m/s}$.
द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{v}_{CM}$ इस प्रकार है:
$\vec{v}_{CM} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$\vec{v}_{CM} = \frac{1(2\hat{i}) + 2(2 \cos 30^{\circ}\hat{i} - 2 \sin 30^{\circ}\hat{j})}{1 + 2}$
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$:
$\vec{v}_{CM} = \frac{2\hat{i} + 2(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} - 2 \cdot \frac{1}{2}\hat{j})}{3}$
$\vec{v}_{CM} = \frac{2\hat{i} + 2(\sqrt{3}\hat{i} - 1\hat{j})}{3}$
$\vec{v}_{CM} = \frac{2\hat{i} + 2\sqrt{3}\hat{i} - 2\hat{j}}{3}$
$\vec{v}_{CM} = \left( \frac{2 + 2\sqrt{3}}{3} \right)\hat{i} - \frac{2}{3}\hat{j} \text{ m/s}$.

(A) चूंकि निकाय (गुब्बारा + बंदर) पर ऊर्ध्वाधर दिशा में कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय के द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ की स्थिति अपरिवर्तित रहती है।
मान लीजिए कि गुब्बारा $y$ दूरी से नीचे उतरता है। जैसे ही बंदर $L$ लंबाई की रस्सी पर चढ़ता है,बंदर जमीन के सापेक्ष $(L - y)$ दूरी ऊपर जाता है।
$COM$ की प्रारंभिक स्थिति को संदर्भ बिंदु के रूप में लेते हुए,$COM$ के स्थिर रहने की शर्त है:
$M \cdot y = m \cdot (L - y)$
$My = mL - my$
$My + my = mL$
$y(M + m) = mL$
$y = \frac{mL}{M + m}$
अतः,गुब्बारा $\frac{mL}{M + m}$ दूरी से नीचे उतरेगा।

(D) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए लड़के-कार्ट निकाय का द्रव्यमान केंद्र जमीन के सापेक्ष स्थिर रहता है।
माना $m_1 = 20\, kg$ लड़के का द्रव्यमान है और $m_2 = 80\, kg$ कार्ट का द्रव्यमान है।
माना लड़का कार्ट के सापेक्ष दीवार की ओर $10\, m$ चलता है। माना कार्ट जमीन के सापेक्ष दीवार से दूर $x$ दूरी तक चलता है।
जमीन के सापेक्ष लड़के का दीवार की ओर विस्थापन $\Delta x_1 = 10 - x$ है।
जमीन के सापेक्ष कार्ट का दीवार से दूर विस्थापन $\Delta x_2 = -x$ है।
द्रव्यमान केंद्र के विस्थापन सूत्र का उपयोग करते हुए: $m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2 = 0$.
$20(10 - x) + 80(-x) = 0$.
$200 - 20x - 80x = 0$.
$100x = 200 \implies x = 2\, m$.
जमीन के सापेक्ष लड़के का दीवार की ओर कुल विस्थापन $\Delta x_1 = 10 - 2 = 8\, m$ है।
दीवार से लड़के की अंतिम दूरी $25 - 8 = 17\, m$ होगी।

(C) माना प्रक्षेपण बिंदु $O$ है और मूल परास $OQ = 4\, km$ है। उच्चतम बिंदु $P$ है,जो प्रक्षेपण बिंदु से $OP = 2\, km$ की क्षैतिज दूरी पर है।
चूंकि विस्फोट आंतरिक बलों के कारण होता है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र मूल परवलयाकार पथ का अनुसरण करता है और $Q$ बिंदु पर जमीन से टकराता है।
माना भारी भाग का द्रव्यमान $m_1 = 3M/4$ और हल्के भाग का द्रव्यमान $m_2 = M/4$ है।
भारी भाग $P$ से लंबवत नीचे गिरता है,इसलिए इसकी क्षैतिज स्थिति $x_1 = OP = 2\, km$ है।
माना हल्के भाग की क्षैतिज स्थिति $x_2 = OR$ है।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $x_{cm}$ इस प्रकार दी जाती है:
$x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$4 = \frac{(3M/4) \times 2 + (M/4) \times x_2}{M}$
$4 = \frac{3}{2} + \frac{x_2}{4}$
$4 - 1.5 = \frac{x_2}{4}$
$2.5 = \frac{x_2}{4}$
$x_2 = 10\, km$.
अतः,हल्के भाग की क्षैतिज परास $10\, km$ है।

(C) माना लकड़ी का द्रव्यमान $m_1 = 0.03\, kg$ और गोली का द्रव्यमान $m_2 = 0.02\, kg$ है। कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = 0.05\, kg$ है।
जमीन से द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = \frac{0.03 \times 100 + 0.02 \times 0}{0.05} = \frac{3}{0.05} = 60\, m$ है।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $V_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{0.03 \times 0 + 0.02 \times 100}{0.05} = \frac{2}{0.05} = 40\, m/s$ है।
टक्कर के बाद,निकाय $60\, m$ की ऊंचाई पर $40\, m/s$ के प्रारंभिक वेग के साथ एक कण के रूप में गति करता है।
द्रव्यमान केंद्र द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H_{max} = Y_{cm} + \frac{V_{cm}^2}{2g} = 60 + \frac{40^2}{2 \times 10} = 60 + 80 = 140\, m$ है।
इमारत की छत से ऊंचाई $140\, m - 100\, m = 40\, m$ है।

(A) कणों के त्वरण इस प्रकार हैं:
$\vec{a}_A = -a\hat{i}$
$\vec{a}_B = a\hat{j}$
$\vec{a}_C = a\hat{i}$
$\vec{a}_D = -a\hat{j}$
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{a}_{cm} = \frac{m_A\vec{a}_A + m_B\vec{a}_B + m_C\vec{a}_C + m_D\vec{a}_D}{m_A + m_B + m_C + m_D}$
मान रखने पर:
$\vec{a}_{cm} = \frac{m(-a\hat{i}) + 2m(a\hat{j}) + 3m(a\hat{i}) + 4m(-a\hat{j})}{m + 2m + 3m + 4m}$
$\vec{a}_{cm} = \frac{-ma\hat{i} + 2ma\hat{j} + 3ma\hat{i} - 4ma\hat{j}}{10m}$
$\vec{a}_{cm} = \frac{2ma\hat{i} - 2ma\hat{j}}{10m} = \frac{a}{5}\hat{i} - \frac{a}{5}\hat{j} = \frac{a}{5}(\hat{i} - \hat{j})$

(A) इस निकाय में दो ब्लॉक $A$ और $B$ एक स्प्रिंग द्वारा जुड़े हुए हैं। जब निकाय को मुक्त किया जाता है,तो ब्लॉकों पर कार्य करने वाले एकमात्र बल आंतरिक स्प्रिंग बल होते हैं।
चूंकि क्षैतिज दिशा में निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय पर कुल बाहरी बल शून्य है $(F_{ext} = 0)$।
द्रव्यमान केंद्र के गुण के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कुल बाहरी बल शून्य है,तो द्रव्यमान केंद्र का त्वरण शून्य होता है $(a_{cm} = 0)$।
यदि निकाय शुरू में स्थिर था,तो द्रव्यमान केंद्र का वेग शून्य बना रहता है,जिसका अर्थ है कि द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।

(B) निकाय दो ब्लॉकों $A$ और $B$ से बना है,जिनके द्रव्यमान $m_A = 2\,kg$ और $m_B = 3\,kg$ हैं,जो एक चिकनी क्षैतिज सतह पर स्प्रिंग द्वारा जुड़े हुए हैं।
चूंकि सतह चिकनी है,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय पर कुल बाहरी बल शून्य है,तो द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$ स्थिर रहता है।
ब्लॉक $A$ का प्रारंभिक वेग $v_A = 10\,m/s$ है और ब्लॉक $B$ स्थिर है,यानी $v_B = 0\,m/s$।
द्रव्यमान केंद्र का वेग इस प्रकार है:
$v_{cm} = \frac{m_A v_A + m_B v_B}{m_A + m_B}$
$v_{cm} = \frac{2 \times 10 + 3 \times 0}{2 + 3} = \frac{20}{5} = 4\,m/s$
चूंकि कुल बाहरी बल शून्य है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का वेग किसी भी समय $t$ पर $4\,m/s$ ही रहेगा,जिसमें $t = 10\,s$ भी शामिल है।

(C) किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पिंड आपसी गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के कारण एक-दूसरे की ओर गति कर रहे हैं,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है $(F_{ext} = 0)$।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय का प्रारंभिक वेग शून्य है,तो गति के दौरान द्रव्यमान केंद्र का वेग शून्य ही रहता है।
यह दिया गया है कि पिंड प्रारंभ में स्थिर थे,इसलिए निकाय का प्रारंभिक संवेग $P_i = m_1(0) + m_2(0) = 0$ है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm} = 0\,m/s$ होगा।

(C) चूंकि निकाय (व्यक्ति + नाव) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
माना नाव का द्रव्यमान $M = 500\,kg$ और व्यक्ति का द्रव्यमान $m = 100\,kg$ है।
नाव की लंबाई $L = 9\,m$ है।
माना पानी के सापेक्ष नाव का विस्थापन $x$ है।
जब व्यक्ति एक सिरे से दूसरे सिरे तक जाता है,तो नाव के सापेक्ष उसका विस्थापन $L = 9\,m$ होता है।
पानी के सापेक्ष उसका विस्थापन $(L - x) = (9 - x)$ होगा।
द्रव्यमान केंद्र के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $m(L - x) - Mx = 0$।
मान रखने पर: $100(9 - x) - 500x = 0$।
$900 - 100x - 500x = 0$।
$900 = 600x$।
$x = \frac{900}{600} = 1.5\,m$।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र को स्थिर रखने के लिए नाव व्यक्ति की गति की विपरीत दिशा में चलती है,इसलिए विस्थापन $1.5\,m$ व्यक्ति के विस्थापन की विपरीत दिशा में होगा।

(A) एटवुड मशीन के लिए,पिंडों का त्वरण $a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि $m_1$ के लिए नीचे की दिशा धनात्मक है और $m_2$ के लिए ऊपर की दिशा धनात्मक है। तब $m_1$ का त्वरण $a_1 = a$ (नीचे की ओर) और $m_2$ का त्वरण $a_2 = -a$ (ऊपर की ओर) होगा।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $(a_{CM})$ इस प्रकार है:
$a_{CM} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$a_{CM} = \frac{m_1(a) + m_2(-a)}{m_1 + m_2} = \frac{(m_1 - m_2)a}{m_1 + m_2}$
अब,समीकरण में $a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g$ रखने पर:
$a_{CM} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g \right)$
$a_{CM} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2 g$

(D) द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $R_{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दी जाती है।
द्रव्यमान केंद्र को उसी स्थिति में बनाए रखने के लिए,द्रव्यमान केंद्र की स्थिति में परिवर्तन शून्य होना चाहिए,अर्थात $\Delta R_{cm} = 0$।
इसलिए,$m_1 \Delta r_1 + m_2 \Delta r_2 = 0$।
यह दिया गया है कि पहले कण को द्रव्यमान केंद्र की ओर $d$ दूरी तक स्थानांतरित किया जाता है,इसलिए $\Delta r_1 = d$ लें।
समीकरण में मान रखने पर: $m_1 d + m_2 \Delta r_2 = 0$।
$\Delta r_2$ के लिए हल करने पर: $\Delta r_2 = -\left( \frac{m_1}{m_2} \right) d$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि दूसरे कण को पहले कण की विपरीत दिशा में,यानी द्रव्यमान केंद्र की ओर ही,$\left( \frac{m_1}{m_2} \right) d$ की दूरी तक स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(C) चूंकि निकाय पर कार्य करने वाला एकमात्र बल पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण बल है,इसलिए दो द्रव्यमानों के निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय शुरू में स्थिर था,तो उसका द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
मान लीजिए $m_1$ द्वारा तय की गई दूरी $x_1$ है और $m_2$ द्वारा तय की गई दूरी $x_2$ है।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है,हमारे पास $m_1 x_1 = m_2 x_2$ है।
यह दिया गया है कि $x_1 = x$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$m_1 x = m_2 x_2$।
$x_2$ के लिए हल करने पर,हमें $x_2 = \frac{m_1 x}{m_2}$ प्राप्त होता है।

(A) माना द्रव्यमान $m_1 = 2m$ और $m_2 = 6m$ हैं।
एटवुड मशीन में द्रव्यमानों का त्वरण $a = \frac{|m_2 - m_1|}{m_1 + m_2} g$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$a = \frac{|6m - 2m|}{6m + 2m} g = \frac{4m}{8m} g = \frac{g}{2}$.
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$ है।
यहाँ,$a_1 = a$ (ऊपर की ओर) और $a_2 = -a$ (नीचे की ओर)।
अतः,$a_{cm} = \frac{m_1 a - m_2 a}{m_1 + m_2} = \frac{(2m - 6m) a}{2m + 6m} = \frac{-4m}{8m} a = -\frac{1}{2} a$.
द्रव्यमान केंद्र के त्वरण का परिमाण $|a_{cm}| = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \times \frac{g}{2} = \frac{g}{4}$ है।

(C) निकाय दो कणों से बना है जो उनके आंतरिक पारस्परिक आकर्षण के प्रभाव में गति कर रहे हैं।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कुल बाहरी बल $\vec{F}_{ext} = 0$ है।
द्रव्यमान केंद्र के गुणों के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कुल बाहरी बल शून्य है,तो द्रव्यमान केंद्र का त्वरण शून्य $(\vec{a}_{cm} = 0)$ होता है।
इसका अर्थ है कि द्रव्यमान केंद्र का वेग स्थिर रहता है।
प्रारंभ में,दोनों कण विरामावस्था में हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $\vec{v}_{cm, initial} = 0$ है।
अतः,किसी भी क्षण द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{v}_{cm} = 0$ रहेगा।

(B) द्रव्यमान केंद्र का विस्थापन $(\Delta R_{cm})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta R_{cm} = \frac{m_1 \Delta r_1 + m_2 \Delta r_2}{m_1 + m_2}$.
यहाँ दिया गया है: $m_1 = m$,$\Delta r_1 = x$,$m_2 = m'$,$\Delta r_2 = 0$,और $\Delta R_{cm} = \frac{x}{5}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{5} = \frac{m(x) + m'(0)}{m + m'}$.
$\frac{x}{5} = \frac{mx}{m + m'}$.
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $x \neq 0$):
$\frac{1}{5} = \frac{m}{m + m'}$.
$m + m' = 5m$.
$m' = 4m$.
अतः,अनुपात $\frac{m'}{m} = 4$ है।

(D) चूंकि सिस्टम पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है। स्केटरों द्वारा तय की गई दूरी का अनुपात उनके द्रव्यमान (या वजन) के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
मान लीजिए स्केटर $A$ और $B$ का वजन क्रमशः $m_A$ और $m_B$ है,जहाँ $m_A/m_B = 5/7$ है।
मान लीजिए $A$ और $B$ द्वारा तय की गई दूरी क्रमशः $x_A$ और $x_B$ है। चूंकि वे मिलते हैं,$x_A + x_B = 6\,m$।
संवेग संरक्षण के नियम से,$m_A x_A = m_B x_B$।
अनुपात प्रतिस्थापित करने पर,$5 x_A = 7 x_B$।
चूंकि $x_B = 6 - x_A$,हमारे पास $5 x_A = 7(6 - x_A)$ है।
$5 x_A = 42 - 7 x_A \implies 12 x_A = 42 \implies x_A = 3.5\,m$।
अतः $x_B = 6 - 3.5 = 2.5\,m$।

(B) कण पारस्परिक आकर्षण के तहत गति कर रहे हैं,जिसका अर्थ है कि निकाय पर कुल बाहरी बल शून्य है $(F_{ext} = 0)$।
इसलिए,द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{CM})$ स्थिर रहता है।
दिया गया है: $m_1 = 1\,kg$,$x_1 = 2\,m$,$v_1 = 5\,m/s$; $m_2 = 1\,kg$,$x_2 = 8\,m$,$v_2 = -3\,m/s$।
द्रव्यमान केंद्र की प्रारंभिक स्थिति $X_{CM}(0) = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2} = \frac{(1)(2) + (1)(8)}{1 + 1} = \frac{10}{2} = 5\,m$ है।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{CM} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2} = \frac{(1)(5) + (1)(-3)}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1\,m/s$ है।
समय $t$ पर द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $X_{CM}(t) = X_{CM}(0) + v_{CM} \cdot t$ द्वारा दी जाती है।
$t = 1\,s$ पर,$X_{CM}(1) = 5 + (1)(1) = 6\,m$ होगा।

(D) निकाय दो कणों $A$ और $B$ से बना है जो पारस्परिक आकर्षण बल के अंतर्गत गति कर रहे हैं।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कुल बाहरी बल $F_{ext} = 0$ है।
द्रव्यमान केंद्र के लिए संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि कुल बाहरी बल शून्य है,तो द्रव्यमान केंद्र का वेग स्थिर रहता है।
प्रारंभ में,दोनों कण $A$ और $B$ विरामावस्था में हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $v_{cm, initial} = 0$ है।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र का वेग स्थिर रहता है,इसलिए किसी भी क्षण,जिसमें $A$ और $B$ के वेग क्रमशः $v$ और $2v$ हैं,द्रव्यमान केंद्र का वेग $0$ ही रहेगा।

(C) द्रव्यमान केंद्र का वेग $\overrightarrow{v}_{com} = \frac{m_1 \overrightarrow{v_1} + m_2 \overrightarrow{v_2}}{m_1 + m_2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $m_1 = m_2 = m$,इसलिए $\overrightarrow{v}_{com} = \frac{m(\overrightarrow{v_1} + \overrightarrow{v_2})}{2m} = \frac{\overrightarrow{v_1} + \overrightarrow{v_2}}{2} = \frac{2\hat{i} + 2\hat{j}}{2} = (\hat{i} + \hat{j}) \ m/s$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $\overrightarrow{a}_{com} = \frac{m_1 \overrightarrow{a_1} + m_2 \overrightarrow{a_2}}{m_1 + m_2} = \frac{\overrightarrow{a_1} + \overrightarrow{a_2}}{2}$ होता है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{a_1} = (3\hat{i} + 3\hat{j}) \ m/s^2$ और $\overrightarrow{a_2} = 0$,अतः $\overrightarrow{a}_{com} = \frac{3\hat{i} + 3\hat{j}}{2} = 1.5(\hat{i} + \hat{j}) \ m/s^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रारंभिक वेग सदिश $\overrightarrow{v}_{com} = (\hat{i} + \hat{j})$ और त्वरण सदिश $\overrightarrow{a}_{com} = 1.5(\hat{i} + \hat{j})$ एक-दूसरे के समांतर हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र एक सरल रेखा में गति करेगा।

(C) निकाय दो कणों $m_1$ और $m_2$ से बना है जो एक आंतरिक आकर्षण बल के माध्यम से परस्पर क्रिया करते हैं।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कुल बाहरी बल $F_{ext} = 0$ है।
द्रव्यमान केंद्र के गुण के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{CM} = F_{ext} / (m_1 + m_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण प्रारंभ में विरामावस्था में हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $v_{CM} = 0$ है।
चूंकि $a_{CM} = 0$ और $v_{CM} = 0$ है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र पूरी गति के दौरान विरामावस्था में रहता है।

(V) $CM$ की गति $V$ ही रहेगी।
बच्चा $V$ वेग से चलती हुई ट्रॉली पर मनमाने ढंग से दौड़ रहा है। बच्चे का दौड़ना (ट्रॉली + बच्चा) निकाय के भीतर आंतरिक बल उत्पन्न करता है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ का वेग केवल तभी बदलता है जब निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य कर रहा हो।
चूंकि फर्श चिकना (घर्षण रहित) है और निकाय पर कोई अन्य बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए (ट्रॉली + बच्चा) निकाय पर कुल बाहरी बल शून्य है।
अतः,ट्रॉली पर बच्चे की गति चाहे कैसी भी हो,निकाय के $CM$ का वेग अपरिवर्तित रहता है। $CM$ की गति $V$ ही बनी रहेगी।

(N/A) एक आयताकार ब्लॉक को $\theta$ कोण पर झुके हुए समतल $AB$ पर बिना किसी पार्श्व गति के नीचे फिसलते हुए दिखाया गया है।
इस गति में,ब्लॉक समतल पर इस प्रकार नीचे चलता है कि पिंड के सभी कण (जैसे $P_1$ और $P_2$) एक साथ गति करते हैं। इसका अर्थ है कि किसी भी क्षण पर,पिंड के प्रत्येक कण का वेग समान होता है।
दृढ़ पिंड की ऐसी गति को शुद्ध स्थानांतरीय गति (pure translational motion) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,शुद्ध स्थानांतरीय गति में,किसी भी क्षण पर पिंड के सभी कणों का वेग समान होता है।

(N/A) $(1)$ द्रव्यमान केंद्र की गति निर्धारित करने के लिए कणों के निकाय के आंतरिक बलों के ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है; इसके लिए केवल बाहरी बलों को जानना पर्याप्त है।
$(2)$ इस समीकरण को प्राप्त करने के लिए हमें कणों के निकाय की प्रकृति को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं थी। निकाय कणों का एक संग्रह हो सकता है जिसमें सभी प्रकार की आंतरिक गति हो सकती है,या यह एक दृढ़ पिंड हो सकता है जिसमें शुद्ध स्थानांतरण गति या स्थानांतरण और घूर्णन गति का संयोजन हो सकता है।
$(3)$ निकाय चाहे जो भी हो और उसके व्यक्तिगत कणों की गति कैसी भी हो,द्रव्यमान केंद्र हमेशा $M\vec{A} = \vec{F}_{ext}$ के अनुसार गति करता है।

(N/A) जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,एक परवलयाकार पथ का अनुसरण करने वाला प्रक्षेप्य हवा में बीच में ही टुकड़ों में विस्फोटित हो जाता है।
विस्फोट के लिए जिम्मेदार बल आंतरिक बल हैं,और वे द्रव्यमान केंद्र की गति में कोई योगदान नहीं देते हैं।
कुल बाहरी बल,जो वस्तु पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल है,विस्फोट से पहले और बाद में समान रहता है।
इसलिए,द्रव्यमान केंद्र बाहरी बल के प्रभाव में उसी परवलयाकार प्रक्षेपवक्र के साथ गति करना जारी रखता है जिस पर वह तब चलता यदि कोई विस्फोट नहीं हुआ होता।

(B) समीकरण $M\vec{A} = \vec{F}_{ext}$ कणों के एक निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति को दर्शाता है।
यहाँ,$M$ निकाय का कुल द्रव्यमान है,$\vec{A}$ द्रव्यमान केंद्र का त्वरण है,और $\vec{F}_{ext}$ निकाय पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का सदिश योग है।
यह कणों के निकाय पर लागू न्यूटन के गति के दूसरे नियम से प्राप्त होता है,जहाँ न्यूटन के तीसरे नियम के कारण आंतरिक बल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
इसलिए,यह कणों के निकाय के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम का रूप है।

$n$ कणों के एक निकाय पर विचार करें। मान लीजिए $m_{1}, m_{2}, m_{3}, \ldots, m_{n}$ द्रव्यमान वाले कणों के स्थिति सदिश मूल बिंदु के सापेक्ष क्रमशः $\overrightarrow{r_{1}}, \overrightarrow{r_{2}}, \overrightarrow{r_{3}}, \ldots, \overrightarrow{r_{n}}$ हैं।
यदि $\overrightarrow{R}$ द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश है,तो:
$\overrightarrow{R} = \frac{m_{1} \overrightarrow{r_{1}} + m_{2} \overrightarrow{r_{2}} + \ldots + m_{n} \overrightarrow{r_{n}}}{m_{1} + m_{2} + \ldots + m_{n}}$
मान लीजिए $M = \sum_{i=1}^{n} m_{i}$ निकाय का कुल द्रव्यमान है। अतः:
$M \overrightarrow{R} = m_{1} \overrightarrow{r_{1}} + m_{2} \overrightarrow{r_{2}} + \ldots + m_{n} \overrightarrow{r_{n}} \quad \ldots (1)$
यह मानते हुए कि निकाय का द्रव्यमान समय के साथ नहीं बदलता है,समीकरण $(1)$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$M \frac{d \overrightarrow{R}}{d t} = m_{1} \frac{d \overrightarrow{r_{1}}}{d t} + m_{2} \frac{d \overrightarrow{r_{2}}}{d t} + \ldots + m_{n} \frac{d \overrightarrow{r_{n}}}{d t}$
चूंकि $\frac{d \overrightarrow{R}}{d t} = \overrightarrow{V}$ (द्रव्यमान केंद्र का वेग) और $\frac{d \overrightarrow{r_{i}}}{d t} = \overrightarrow{v_{i}}$ ($i$-वें कण का वेग) है,हमें प्राप्त होता है:
$M \overrightarrow{V} = m_{1} \overrightarrow{v_{1}} + m_{2} \overrightarrow{v_{2}} + \ldots + m_{n} \overrightarrow{v_{n}}$
अतः,द्रव्यमान केंद्र का वेग है:
$\overrightarrow{V} = \frac{m_{1} \overrightarrow{v_{1}} + m_{2} \overrightarrow{v_{2}} + \ldots + m_{n} \overrightarrow{v_{n}}}{M} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} \overrightarrow{v_{i}}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}$

(N/A) मान लीजिए कि एक निकाय $n$ कणों से बना है,जिनका द्रव्यमान $m_1, m_2, \dots, m_n$ है और वे क्रमशः $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n$ वेग से गति कर रहे हैं।
निकाय का कुल रैखिक संवेग $\vec{P}$,सभी कणों के व्यक्तिगत संवेगों का सदिश योग होता है:
$\vec{P} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \dots + \vec{p}_n = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + \dots + m_n \vec{v}_n$ --- $(1)$
द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{V}$ इस प्रकार परिभाषित है:
$\vec{V} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + \dots + m_n \vec{v}_n}{m_1 + m_2 + \dots + m_n}$
मान लीजिए कि निकाय का कुल द्रव्यमान $M = \sum_{i=1}^{n} m_i$ है। अतः:
$\vec{V} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + \dots + m_n \vec{v}_n}{M}$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$M \vec{V} = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + \dots + m_n \vec{v}_n$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{P} = M \vec{V}$
अतः,कणों के निकाय का कुल संवेग,निकाय के कुल द्रव्यमान और द्रव्यमान केंद्र के वेग के गुणनफल के बराबर होता है।

(N/A) कणों के निकाय का कुल रैखिक संवेग $\vec{p} = M\vec{v}_{cm}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ निकाय का कुल द्रव्यमान है और $\vec{v}_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र का वेग है।
दोनों पक्षों का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d\vec{p}}{dt} = M \frac{d\vec{v}_{cm}}{dt}$
चूँकि द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $\vec{a}_{cm} = \frac{d\vec{v}_{cm}}{dt}$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d\vec{p}}{dt} = M\vec{a}_{cm}$
द्रव्यमान केंद्र की गति के अनुसार,निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल $\vec{F}_{ext} = M\vec{a}_{cm}$ है।
अतः,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}_{ext}$
यह कणों के निकाय के लिए न्यूटन का गति का दूसरा नियम है।
कथन: कणों के निकाय पर कार्य करने वाला बाह्य बल निकाय के कुल रैखिक संवेग में परिवर्तन की दर के बराबर होता है।

(N/A) यदि कोई बाहरी बल नहीं है,तो दोहरे तारे प्रणाली का द्रव्यमान केंद्र एक मुक्त कण की तरह चलता है,जैसा कि चित्र $(a)$ में दिखाया गया है।
समान द्रव्यमान वाले दो तारों के प्रक्षेप पथ भी चित्र $(a)$ में दिखाए गए हैं। वे जटिल दिखाई देते हैं।
यदि हम द्रव्यमान केंद्र फ्रेम में जाते हैं,तो हम पाते हैं कि वहां दोनों तारे द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर एक वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे हैं,जो स्थिर है। तारों की स्थिति एक-दूसरे के व्यास के विपरीत होनी चाहिए,जैसा कि चित्र $(b)$ में दिखाया गया है।
हमारे संदर्भ फ्रेम में,तारों के प्रक्षेप पथ निम्नलिखित का संयोजन हैं:
$(i)$ द्रव्यमान केंद्र की एक सीधी रेखा में एकसमान गति,और
$(ii)$ द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर तारों की वृत्ताकार कक्षाएं।

(A) किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ को उस बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ निकाय का कुल द्रव्यमान केंद्रित माना जाता है।
द्रव्यमान केंद्र से जुड़े निर्देश तंत्र में,परिभाषा के अनुसार द्रव्यमान केंद्र स्वयं स्थिर होता है।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र का वेग उसके स्थिति सदिश के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित होता है,यदि इस तंत्र में $CM$ की स्थिति स्थिर है,तो इसका वेग शून्य होना चाहिए।
इसलिए,द्रव्यमान केंद्र तंत्र में,द्रव्यमान केंद्र का वेग $0 \ m/s$ होता है।

(B) यह कथन गलत है।
कणों के एक निकाय में, द्रव्यमान केंद्र का वेग सभी व्यक्तिगत कणों के वेग के भारित औसत (weighted average) के रूप में परिभाषित होता है: $V_{cm} = \frac{\sum m_i v_i}{\sum m_i}$.
निकाय में व्यक्तिगत कण आंतरिक गति, घूर्णन या कंपन के कारण अलग-अलग वेग रख सकते हैं।
उदाहरण के लिए, एक घूर्णन करते हुए दृढ़ पिंड में, घूर्णन अक्ष से अलग-अलग दूरी पर स्थित कणों का रैखिक वेग अलग-अलग होता है, जबकि द्रव्यमान केंद्र स्थिर हो सकता है या एक समान वेग से गति कर सकता है।

(B) नहीं,द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहेगा।
चूंकि गोला स्थिर है और गैस के अणुओं के निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कुल बाहरी बल $\vec{F}_{ext} = 0$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि कुल बाहरी बल शून्य है,तो द्रव्यमान केंद्र का वेग स्थिर रहता है।
चूंकि गोला प्रारंभ में स्थिर है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग शून्य है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहेगा,अर्थात $\vec{v}_{cm} = 0$।

(B) एक आयाम में गति कर रहे कणों के निकाय के लिए द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{CM})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{CM} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2 + m_3 v_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
दिया गया है:
$m_1 = 5 \, kg, v_1 = 5 \, m/s$
$m_2 = 4 \, kg, v_2 = 4 \, m/s$
$m_3 = 2 \, kg, v_3 = 2 \, m/s$
सूत्र में मान रखने पर:
$v_{CM} = \frac{(5 \times 5) + (4 \times 4) + (2 \times 2)}{5 + 4 + 2}$
$v_{CM} = \frac{25 + 16 + 4}{11}$
$v_{CM} = \frac{45}{11} \approx 4.09 \, m/s$

(A) किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण केवल उस निकाय पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल पर निर्भर करता है,चाहे बल किसी भी बिंदु पर लगाया गया हो।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm} = \frac{F_{net}}{M}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,छड़ पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल लगाया गया बल $F$ है।
इसलिए,द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm} = \frac{F}{M}$ होगा।
यह त्वरण उस कोण $\theta$ से स्वतंत्र है जिस पर बल लगाया जाता है,क्योंकि पूरा बल $F$ द्रव्यमान केंद्र की स्थानांतरण गति में योगदान देता है।

(A) कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति निकाय पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल द्वारा निर्धारित होती है।
द्रव्यमान केंद्र के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F_{ext} = M_{total} \cdot a_{cm}$ होता है।
यहाँ,छड़ का कुल द्रव्यमान $M$ है और लगाया गया कुल बाह्य बल $F$ है।
इसलिए,$F = M \cdot a_{cm}$।
द्रव्यमान केंद्र के त्वरण के लिए हल करने पर,हमें $a_{cm} = F/M$ प्राप्त होता है।

(B) कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र का वेग $(V_{cm})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
इस प्रश्न में,कण एक-दूसरे की ओर गति कर रहे हैं। उनकी सापेक्ष गति को ध्यान में रखने के लिए,हम $m_1$ की दिशा को धनात्मक और $m_2$ की दिशा को ऋणात्मक (या इसके विपरीत) मानते हैं।
यदि $v_1$,$m_1$ का धनात्मक दिशा में वेग है,तो $v_2$ ($m_1$ की ओर गति करने के कारण) ऋणात्मक दिशा में होगा,अर्थात $-v_2$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 (-v_2)}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 v_1 - m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र का वेग $(V_{cm})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V_{cm} = \frac{m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
इस प्रश्न में,कण एक-दूसरे की ओर गति कर रहे हैं। मान लीजिए कि $m_1$ की दिशा धनात्मक है। तब $m_1$ का वेग $\vec{v}_1 = v_1$ होगा और $m_2$ का वेग $\vec{v}_2 = -v_2$ होगा (क्योंकि यह विपरीत दिशा में गति कर रहा है)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V_{cm} = \frac{m_1(v_1) + m_2(-v_2)}{m_1 + m_2}$
$V_{cm} = \frac{m_1v_1 - m_2v_2}{m_1 + m_2}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) मान लीजिए कि द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ के सापेक्ष दो कणों की स्थितियाँ $x_1$ और $x_2$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के अनुसार,$m_1 x_1 = m_2 x_2$ होता है।
जब पहले कण को $CM$ की ओर $x$ दूरी तक स्थानांतरित किया जाता है,तो उसकी नई स्थिति $x_1' = x_1 - x$ हो जाती है।
$CM$ को उसी स्थिति में बनाए रखने के लिए,दूसरे कण को $CM$ की ओर $x'$ दूरी तक स्थानांतरित किया जाना चाहिए ताकि $m_1(x_1 - x) = m_2(x_2 - x')$ हो।
इस समीकरण का विस्तार करने पर,हमें $m_1 x_1 - m_1 x = m_2 x_2 - m_2 x'$ प्राप्त होता है।
चूँकि $m_1 x_1 = m_2 x_2$ है,ये पद कट जाते हैं और $-m_1 x = -m_2 x'$ बचता है।
अतः,$x' = \frac{m_1 x}{m_2}$ प्राप्त होता है।

(A) किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति उस निकाय पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल द्वारा निर्धारित होती है,जो कणों के निकाय के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार है: $F_{ext} = M_{total} \cdot a_{cm}$.
यहाँ,छड़ का कुल द्रव्यमान $M$ है और लगाया गया कुल बाह्य बल $F$ है।
इसलिए,द्रव्यमान केंद्र का त्वरण इस प्रकार है:
$a_{cm} = \frac{F_{ext}}{M_{total}} = \frac{F}{M}$.
यह परिणाम बल के अनुप्रयोग बिंदु से स्वतंत्र है,क्योंकि बल $F$ पूरे द्रव्यमान $M$ पर कार्य करके द्रव्यमान केंद्र का स्थानांतरण त्वरण उत्पन्न करता है।