Motion of Centre of Mass Questions in Hindi

(A) द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $(R_{cm})$ का सूत्र $R_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$ है।
द्रव्यमान केंद्र को स्थिर रखने के लिए,द्रव्यमान केंद्र की स्थिति में परिवर्तन शून्य होना चाहिए: $\Delta R_{cm} = \frac{m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2}{m_1 + m_2} = 0$.
इसका अर्थ है कि $m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2 = 0$.
चूंकि $m_1$ द्रव्यमान को द्रव्यमान केंद्र की ओर $d$ दूरी तक ले जाया गया है,इसलिए $\Delta x_1 = d$ (द्रव्यमान केंद्र की ओर की दिशा को धनात्मक मानते हुए)।
द्रव्यमान केंद्र को उसी स्थान पर बनाए रखने के लिए,$m_2$ द्रव्यमान को विपरीत दिशा में $d'$ दूरी तक ले जाना होगा,इसलिए $\Delta x_2 = -d'$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $m_1(d) + m_2(-d') = 0$.
$m_1 d = m_2 d'$.
अतः,$d' = \frac{m_1}{m_2} d$.

(C) द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $X_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दी जाती है।
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति को अपरिवर्तित रखने के लिए,द्रव्यमान केंद्र में परिवर्तन शून्य होना चाहिए,अर्थात $\Delta X_{CM} = 0$.
इसका अर्थ है $\Delta X_{CM} = \frac{m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2}{m_1 + m_2} = 0$.
यहाँ $m_1 = 10 \; kg$,$m_2 = 30 \; kg$ और पहले ब्लॉक का विस्थापन $\Delta x_1 = +6 \; cm$ (दूसरे ब्लॉक की ओर) दिया गया है।
मान रखने पर: $0 = \frac{10 \times 6 + 30 \times \Delta x_2}{10 + 30}$.
$0 = 60 + 30 \Delta x_2$.
$30 \Delta x_2 = -60$.
$\Delta x_2 = -2 \; cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि $30 \; kg$ के ब्लॉक को $10 \; kg$ के ब्लॉक के विस्थापन की विपरीत दिशा में चलना चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसे $10 \; kg$ के ब्लॉक की ओर $2 \; cm$ खिसकना होगा।

(D) द्रव्यमानों की प्रारंभिक स्थिति $x_1 = 0$ और $x_2 = l$ है।
$t=0$ पर द्रव्यमान केंद्र की प्रारंभिक स्थिति $(x_{CM})$ इस प्रकार है:
$x_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_1(0) + m_2(l)}{m_1 + m_2} = \frac{m_2 l}{m_1 + m_2}$
द्रव्यमानों का प्रारंभिक वेग $v_1 = v_0$ और $v_2 = 0$ है।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{CM})$ स्थिर रहता है क्योंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है:
$v_{CM} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 v_0 + m_2(0)}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 v_0}{m_1 + m_2}$
$t$ समय के बाद,द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $(x'_{CM})$ इस प्रकार है:
$x'_{CM} = x_{CM} + v_{CM} t$
$x'_{CM} = \frac{m_2 l}{m_1 + m_2} + \left( \frac{m_1 v_0}{m_1 + m_2} \right) t$
$x'_{CM} = \frac{m_2 l}{m_1 + m_2} + \frac{m_1 v_0 t}{m_1 + m_2}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) प्रणाली का द्रव्यमान केंद्र केवल नीचे की ओर कार्य करने वाले बाहरी गुरुत्वाकर्षण बल के अधीन है।
आंतरिक बल,जैसे कि आदमी द्वारा गेंद को फेंकना या गेंद का दीवारों से टकराना,प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र की गति को प्रभावित नहीं करते हैं।
कणों की प्रणाली के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F_{ext} = M_{total} \cdot a_{cm}$ होता है।
चूंकि एकमात्र बाहरी बल गुरुत्वाकर्षण है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $g$ नीचे की ओर होता है।
इसलिए,द्रव्यमान केंद्र एक सीधी ऊर्ध्वाधर रेखा में नीचे की ओर गति करेगा,जैसा कि चित्र $A$ में दर्शाया गया है।

(D) पटाखे को विभाजित करने वाला विस्फोट बल प्रणाली के लिए आंतरिक है,इसलिए प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र का पथ अपरिवर्तित रहता है।
प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र की परास (Range) $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$u = 30 \, ms^{-1}$ और क्षैतिज के साथ कोण $\theta = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ}$ है।
इसलिए,$R = \frac{30 \times 30 \times \sin(2 \times 15^{\circ})}{10} = 90 \times \sin(30^{\circ}) = 90 \times 0.5 = 45 \, m$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र की स्थिति ($x$-निर्देशांक) मूल बिंदु से $45 \, m$ की दूरी पर है।
द्रव्यमान केंद्र के सूत्र का उपयोग करते हुए,$X_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$,जहाँ $m_1 = m_2 = m$ और $X_{CM} = 45 \, m$ है:
$45 = \frac{m(27) + m(x)}{m + m}$
$45 = \frac{27 + x}{2}$
$90 = 27 + x \Rightarrow x = 63 \, m$.
हालाँकि,यदि विस्फोट इतना शक्तिशाली हो कि वह उसकी दिशा को उलट दे,तो पहला टुकड़ा $-27 \, m$ (मूल बिंदु के पीछे) पर भी गिर सकता है:
$45 = \frac{m(-27) + m(x)}{2m}$
$90 = -27 + x \Rightarrow x = 117 \, m$.
इस प्रकार,दूसरा टुकड़ा शूटिंग बिंदु से $63 \, m$ या $117 \, m$ की दूरी पर गिरेगा।

(C) कणों के निकाय के लिए द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $\vec{a}_{cm}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{a}_{cm} = \frac{m_1 \vec{a}_1 + m_2 \vec{a}_2}{m_1 + m_2}$
यह दिया गया है कि दोनों कण समान हैं,इसलिए उनका द्रव्यमान $m_1 = m_2 = m$ मान लें।
एक कण स्थिर है,इसलिए उसका त्वरण $\vec{a}_1 = 0$ है।
दूसरे कण का त्वरण $\vec{a}_2 = \vec{f}$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{a}_{cm} = \frac{m(0) + m(\vec{f})}{m + m} = \frac{m\vec{f}}{2m} = \frac{\vec{f}}{2}$
अतः,द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $\frac{\vec{f}}{2}$ है।

(B) निकाय के द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$ ज्ञात करने का सूत्र है: $v_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$।
यहाँ,निकाय प्रारंभ में स्थिर है,इसलिए हल्के ब्लॉक का प्रारंभिक वेग $v_2 = 0 \, m/s$ है।
भारी ब्लॉक $(m_1 = 5 \, kg)$ को $v_1 = 7 \, m/s$ का वेग दिया गया है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = 5 \, kg + 2 \, kg = 7 \, kg$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$v_{cm} = \frac{(5 \, kg \times 7 \, m/s) + (2 \, kg \times 0 \, m/s)}{5 \, kg + 2 \, kg}$
$v_{cm} = \frac{35 \, kg \cdot m/s}{7 \, kg}$
$v_{cm} = 5 \, m/s$।

(C) सही विकल्प $C$ है।
जब कोई वस्तु गुरुत्वाकर्षण के अधीन ऊर्ध्वाधर नीचे गिरती है,तो उस पर कार्य करने वाला एकमात्र बाहरी बल गुरुत्वाकर्षण बल है,जो ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा में कार्य करता है।
द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ की गति के नियम के अनुसार,$COM$ का त्वरण $a_{COM} = \frac{F_{ext}}{M}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है $(F_{ext, x} = 0)$,इसलिए $COM$ का क्षैतिज त्वरण शून्य है $(a_{COM, x} = 0)$।
चूंकि वस्तु का प्रारंभिक क्षैतिज वेग शून्य है,इसलिए $COM$ केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में ही गति करना जारी रखेगा।
अतः,दोनों भागों के सम्मिलित द्रव्यमान केंद्र में कोई क्षैतिज विस्थापन नहीं होता है।

(A) दोनों कण केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में हैं,इसलिए प्रत्येक कण $g$ का नीचे की ओर त्वरण अनुभव करता है।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$
दिए गए मानों $m_1 = m$,$a_1 = g$ (नीचे की ओर),$m_2 = 2m$,और $a_2 = g$ (नीचे की ओर) को प्रतिस्थापित करने पर:
$a_{cm} = \frac{m(g) + 2m(g)}{m + 2m}$
$a_{cm} = \frac{3mg}{3m} = g$
अतः,द्रव्यमान केंद्र का त्वरण नीचे की ओर $g$ है।

(C) निकाय बच्चे और ट्रॉली से बना है।
चूंकि ट्रैक चिकना है,इसलिए निकाय (बच्चा + ट्रॉली) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है।
कणों के निकाय के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{com} = \frac{F_{ext}}{M_{total}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $F_{ext} = 0$ है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{com} = 0$ है।
इसका अर्थ है कि द्रव्यमान केंद्र का वेग स्थिर रहता है।
प्रारंभ में,ट्रॉली $v$ की गति से चल रही है और बच्चा उस पर खड़ा है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $v$ है।
इसलिए,जब बच्चा दौड़ना शुरू करता है,तब भी निकाय का द्रव्यमान केंद्र समान गति $v$ से चलता रहेगा।

(B) निकाय व्यक्ति और गुब्बारे से बना है। ऊर्ध्वाधर दिशा में निकाय पर कोई शुद्ध बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है (यह मानते हुए कि गुब्बारा हवा में संतुलन में है)।
प्रारंभ में,निकाय स्थिर है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का वेग शून्य है।
चूंकि शुद्ध बाह्य बल शून्य है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का त्वरण शून्य है और द्रव्यमान केंद्र की स्थिति स्थिर रहती है।
मान लीजिए $y_m$ व्यक्ति की स्थिति है और $y_b$ गुब्बारे की स्थिति है। द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $Y_{cm}$ को $Y_{cm} = \frac{M y_b + m y_m}{M + m}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे व्यक्ति ऊपर चढ़ता है,$y_m$ बढ़ता है। $Y_{cm}$ को स्थिर रखने के लिए,$y_b$ को कम होना चाहिए।
इसलिए,गुब्बारा नीचे की ओर गति करता है।

(A) कणों के निकाय के लिए द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $(a_{cm})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$
यहाँ,दोनों गेंदें गुरुत्वाकर्षण के अधीन स्वतंत्र रूप से गति कर रही हैं,इसलिए प्रत्येक गेंद का त्वरण $a_1 = -g$ और $a_2 = -g$ है (नीचे की दिशा को ऋणात्मक मानते हुए)।
मान रखने पर:
$a_{cm} = \frac{m(-g) + m(-g)}{m + m}$
$a_{cm} = \frac{-2mg}{2m}$
$a_{cm} = -g$
अतः,द्रव्यमान केंद्र के त्वरण का परिमाण $g$ है जो नीचे की ओर निर्देशित है।

(D) कणों के निकाय के लिए द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
दिया गया है:
पहले ब्लॉक का द्रव्यमान $(m_1)$ = $5 \,kg$
पहले ब्लॉक का वेग $(v_1)$ = $7 \,m/s$
दूसरे ब्लॉक का द्रव्यमान $(m_2)$ = $2 \,kg$
दूसरे ब्लॉक का वेग $(v_2)$ = $0 \,m/s$ (प्रारंभ में स्थिर)
सूत्र में मान रखने पर:
$v_{cm} = \frac{5 \times 7 + 2 \times 0}{5 + 2}$
$v_{cm} = \frac{35 + 0}{7}$
$v_{cm} = \frac{35}{7} = 5 \,m/s$
अतः,द्रव्यमान केंद्र का वेग $5 \,m/s$ है।

(D) अभिकथन $(A)$ गलत है क्योंकि यह कहता है कि टुकड़े स्वयं मूल पथ का अनुसरण करते हैं। वास्तव में,केवल टुकड़ों का द्रव्यमान केंद्र $(C.O.M.)$ मूल परवलयाकार प्रक्षेप पथ का अनुसरण करना जारी रखता है।
कारण $(R)$ सही है क्योंकि विस्फोट आंतरिक रासायनिक बलों के कारण होता है,और विस्फोट के दौरान बाहरी बल (गुरुत्वाकर्षण) अपरिवर्तित रहता है।
अतः,अभिकथन $(A)$ सही नहीं है लेकिन कारण $(R)$ सही है।

(D) द्रव्यमान केंद्र का विस्थापन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta X_{\text{COM}} = \frac{m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2}{m_1 + m_2}$.
चूंकि द्रव्यमान केंद्र को अपनी मूल स्थिति में रहना चाहिए,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का कुल विस्थापन शून्य है,अर्थात $\Delta X_{\text{COM}} = 0$.
मान लीजिए $m_1$ का विस्थापन $\Delta x_1 = +2 \text{ cm}$ (द्रव्यमान केंद्र की ओर) है और $m_2$ का विस्थापन $\Delta x_2 = -x$ (द्रव्यमान केंद्र की ओर) है।
समीकरण में मान रखने पर:
$0 = \frac{3 \times 2 + 2 \times (-x)}{3 + 2}$
$0 = \frac{6 - 2x}{5}$
$6 - 2x = 0$
$2x = 6$
$x = 3 \text{ cm}$.
अतः,$m_2$ द्रव्यमान के कण को द्रव्यमान केंद्र की ओर $3 \text{ cm}$ की दूरी तक विस्थापित करना चाहिए।

(A) निकाय के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{a}_{\text{com}} = \frac{m_1 \vec{a}_1 + m_2 \vec{a}_2}{m_1 + m_2}$.
चूंकि कण एक-दूसरे की ओर आ रहे हैं,इसलिए उनके त्वरण सदिश विपरीत दिशाओं में हैं। यदि पहले कण की दिशा को धनात्मक लें,तो $\vec{a}_1 = 2 \ m/s^2$ और $\vec{a}_2 = -4 \ m/s^2$ होगा।
मान रखने पर: $\vec{a}_{\text{com}} = \frac{(3 \ kg)(2 \ m/s^2) + (6 \ kg)(-4 \ m/s^2)}{3 \ kg + 6 \ kg}$.
$\vec{a}_{\text{com}} = \frac{6 - 24}{9} = \frac{-18}{9} = -2 \ m/s^2$.
द्रव्यमान केंद्र के त्वरण का परिमाण $|\vec{a}_{\text{com}}| = 2 \ m/s^2$ है।

(C) माना व्यक्ति का द्रव्यमान $m = 100 \ kg$ और नाव का द्रव्यमान $M = 500 \ kg$ है। नाव की लंबाई $L = 9 \ m$ है।
चूंकि निकाय (व्यक्ति + नाव) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
माना नाव का विस्थापन $x$ है। व्यक्ति नाव के सापेक्ष $L$ दूरी तय करता है,इसलिए पानी के सापेक्ष उसका विस्थापन विपरीत दिशा में $(L - x)$ होगा।
द्रव्यमान केंद्र संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $m(L - x) = Mx$.
$100(9 - x) = 500x$.
$900 - 100x = 500x$.
$600x = 900$.
$x = \frac{900}{600} = 1.5 \ m$.
द्रव्यमान केंद्र को उसी स्थिति में बनाए रखने के लिए नाव व्यक्ति की गति की विपरीत दिशा में चलती है।

(A) निकाय का त्वरण $a = \left(\frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\right)g = \left(\frac{2 - 1}{2 + 1}\right) \times 10 = \frac{10}{3} \ m/s^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक है। $1 \ kg$ द्रव्यमान का त्वरण $a_1 = +\frac{10}{3} \ m/s^2$ है और $2 \ kg$ द्रव्यमान का त्वरण $a_2 = -\frac{10}{3} \ m/s^2$ है।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$ है।
मान रखने पर,$a_{cm} = \frac{1(\frac{10}{3}) + 2(-\frac{10}{3})}{1 + 2} = \frac{\frac{10}{3} - \frac{20}{3}}{3} = \frac{-10/3}{3} = -\frac{10}{9} \ m/s^2$.
द्रव्यमान केंद्र के त्वरण का परिमाण $|a_{cm}| = \frac{10}{9} \ m/s^2$ है।
विरामावस्था से शुरू होकर $t = 2 \ s$ में द्रव्यमान केंद्र द्वारा तय की गई दूरी $S_{cm} = \frac{1}{2} |a_{cm}| t^2$ है।
$S_{cm} = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times 4 = \frac{20}{9} \ m$.

(D) चूंकि निकाय (व्यक्ति + तख्ता) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं लग रहा है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
मान लीजिए कि तख्ता बाईं ओर $x$ दूरी तय करता है। व्यक्ति जमीन के सापेक्ष दाईं ओर $(L - x)$ दूरी तय करता है।
द्रव्यमान केंद्र के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2 = 0$.
मान लीजिए $m_1 = M$ (व्यक्ति) और $m_2 = 3M$ (तख्ता)।
$M(L - x) - 3M(x) = 0$
$L - x - 3x = 0$
$L = 4x$
$x = \frac{L}{4}$ (तख्ते द्वारा तय की गई दूरी)।
व्यक्ति द्वारा जमीन के सापेक्ष तय की गई दूरी $(L - x) = L - \frac{L}{4} = \frac{3L}{4}$ है।

(C) मान लीजिए कि $x_1$ और $x_2$ क्रमशः द्रव्यमान केंद्र $C$ से कणों $m_1$ और $m_2$ की प्रारंभिक दूरियाँ हैं। द्रव्यमान केंद्र को $C$ पर बनाए रखने के लिए,शर्त $m_1 x_1 = m_2 x_2$ ... $(i)$ है।
जब कण $m_1$ को द्रव्यमान केंद्र की ओर $d$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो $C$ से इसकी नई दूरी $(x_1 - d)$ हो जाती है।
मान लीजिए कि द्रव्यमान केंद्र को अपरिवर्तित रखने के लिए दूसरे कण $m_2$ को $d'$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है। $C$ से इसकी नई दूरी $(x_2 - d')$ होगी।
द्रव्यमान केंद्र को अपरिवर्तित रखने के लिए नई शर्त $m_1(x_1 - d) = m_2(x_2 - d')$ ... (ii) है।
समीकरण (ii) का विस्तार करने पर: $m_1 x_1 - m_1 d = m_2 x_2 - m_2 d'$
चूंकि समीकरण $(i)$ से $m_1 x_1 = m_2 x_2$ है,हम इस मान को विस्तारित समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$m_2 x_2 - m_1 d = m_2 x_2 - m_2 d'$
$-m_1 d = -m_2 d'$
$d' = \frac{m_1}{m_2} d$
चूंकि विस्थापन $d'$ द्रव्यमान केंद्र की दिशा में धनात्मक है,इसलिए दूसरे कण को भी द्रव्यमान केंद्र की ओर ही विस्थापित करना होगा।

(D) मान लीजिए $x_{1}$ और $x_{2}$ द्रव्यमान केंद्र से $m_{1}$ और $m_{2}$ द्रव्यमान की दूरियाँ हैं।
द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के अनुसार,$m_{1}x_{1} = m_{2}x_{2}$ होता है।
जब पहले कण को द्रव्यमान केंद्र की ओर $d$ दूरी तक स्थानांतरित किया जाता है,तो उसकी नई दूरी $(x_{1} - d)$ हो जाती है।
मान लीजिए कि द्रव्यमान केंद्र को अपरिवर्तित रखने के लिए दूसरे कण को $D$ दूरी तक स्थानांतरित किया जाता है।
द्रव्यमान केंद्र को उसी स्थिति में बनाए रखने के लिए,नई दूरियों को $m_{1}(x_{1} - d) = m_{2}(x_{2} - D)$ को संतुष्ट करना चाहिए।
इसका विस्तार करने पर,हमें $m_{1}x_{1} - m_{1}d = m_{2}x_{2} - m_{2}D$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m_{1}x_{1} = m_{2}x_{2}$ है,इसलिए समीकरण $-m_{1}d = -m_{2}D$ में सरल हो जाता है।
अतः,$D = \frac{m_{1}}{m_{2}} d$ है।
चूंकि पहला कण द्रव्यमान केंद्र की ओर चला गया है,इसलिए संतुलन बनाए रखने के लिए दूसरे कण को द्रव्यमान केंद्र से दूर जाना होगा।

(D) द्रव्यमान केंद्र का वेग $V_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण शुरू में विरामावस्था में हैं,निकाय का प्रारंभिक संवेग $P_{initial} = 0$ है।
निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है (केवल पारस्परिक आंतरिक आकर्षण बल है),इसलिए कुल बाहरी बल $F_{ext} = 0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का कुल संवेग स्थिर रहता है।
इसलिए,$P_{final} = P_{initial} = 0$।
चूंकि $P_{final} = M_{total} \times V_{cm}$,और कुल द्रव्यमान $M_{total}$ शून्य नहीं है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का वेग $V_{cm}$ हर समय $0$ होगा।

(C) द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm}$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$.
चूंकि दोनों गेंदें हवा में हैं,वे केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में हैं,इसलिए $a_1 = -g$ और $a_2 = -g$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $a_{cm} = \frac{m_1(-g) + m_2(-g)}{m_1 + m_2}$.
$a_{cm} = -g \frac{(m_1 + m_2)}{(m_1 + m_2)} = -g$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र के त्वरण का परिमाण $g$ के बराबर होता है,जो कि गुरुत्वीय त्वरण है.

(D) निकाय का द्रव्यमान केंद्र अपरिवर्तित रहने के लिए,द्रव्यमान केंद्र का कुल विस्थापन शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए द्रव्यमान $m_A = 10 \ kg$,$m_B = 25 \ kg$,और $m_C = 15 \ kg$ हैं।
मान लीजिए विस्थापन $\Delta x_A$,$\Delta x_B$,और $\Delta x_C$ हैं।
दाहिनी ओर की दिशा को धनात्मक लेने पर:
ब्लॉक $A$ को $B$ की ओर (दाहिनी ओर) $2 \ m$ विस्थापित किया जाता है,इसलिए $\Delta x_A = +2 \ m$.
ब्लॉक $C$ को $B$ की ओर (बाईं ओर) $3 \ m$ विस्थापित किया जाता है,इसलिए $\Delta x_C = -3 \ m$.
मान लीजिए ब्लॉक $B$ को $\Delta x_B$ विस्थापित किया जाता है।
द्रव्यमान केंद्र के अपरिवर्तित रहने की शर्त है:
$m_A \Delta x_A + m_B \Delta x_B + m_C \Delta x_C = 0$
मान रखने पर:
$(10 \ kg)(2 \ m) + (25 \ kg)(\Delta x_B) + (15 \ kg)(-3 \ m) = 0$
$20 + 25 \Delta x_B - 45 = 0$
$25 \Delta x_B - 25 = 0$
$25 \Delta x_B = 25$
$\Delta x_B = 1 \ m$
चूंकि परिणाम धनात्मक है,ब्लॉक $B$ को धनात्मक दिशा में $1 \ m$ विस्थापित किया जाना चाहिए,जो कि ब्लॉक $C$ की ओर है।

(B) द्रव्यमान केंद्र का वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$.
दिया गया है: $m_1 = 2 \,kg$,$\vec{v}_1 = 20 \hat{j} \,m \,s^{-1}$ (उत्तर की ओर)।
$m_2 = 3 \,kg$,$\vec{v}_2 = 10 \hat{i} \,m \,s^{-1}$ (पूर्व की ओर)।
मान रखने पर:
$\vec{v}_{cm} = \frac{2(20 \hat{j}) + 3(10 \hat{i})}{2 + 3} = \frac{40 \hat{j} + 30 \hat{i}}{5} = 6 \hat{i} + 8 \hat{j} \,m \,s^{-1}$.
वेग का परिमाण $|\vec{v}_{cm}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \,m \,s^{-1}$ है।

(A) किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति उस पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल के अनुसार होती है।
इस समस्या में,दो पिंड अपने पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण बल के कारण एक-दूसरे की ओर गति कर रहे हैं,जो कि एक आंतरिक बल है।
चूंकि निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कुल बाह्य बल $F_{ext} = 0$ है।
द्रव्यमान केंद्र के गुण के अनुसार,यदि निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है,तो द्रव्यमान केंद्र का त्वरण शून्य $(a_{cm} = 0)$ होता है।
चूंकि पिंड शुरू में विरामावस्था में हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $v_{cm, initial} = 0$ है।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र का त्वरण शून्य है,इसलिए इसका वेग समय के साथ स्थिर रहता है।
अतः,किसी भी क्षण,जब पहला पिंड $v_0$ वेग प्राप्त कर लेता है,तब भी द्रव्यमान केंद्र का वेग $0$ ही रहेगा।

(B) माना ब्लॉकों का त्वरण $a$ है। ढलान पर कार्य करने वाले बल $Mg \sin 60^{\circ}$ और $Mg \sin 30^{\circ}$ हैं।
गति का समीकरण $Mg \sin 60^{\circ} - Mg \sin 30^{\circ} = (M+M)a$ है।
$a = \frac{g(\sin 60^{\circ} - \sin 30^{\circ})}{2} = \frac{10(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2})}{2} = \frac{5(\sqrt{3}-1)}{2} \text{ ms}^{-2}$.
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $\vec{a}_{cm} = \frac{M\vec{a}_1 + M\vec{a}_2}{2M} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2}$ है।
दो ढलानों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए इसका परिमाण $a_{cm} = \frac{\sqrt{a^2 + a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ होगा।
$a = \frac{5(\sqrt{3}-1)}{2}$ का मान रखने पर,$a_{cm} = \frac{5(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: $m_1 = 1 \,g$,$m_2 = 2 \,g$.
चूंकि कण एक-दूसरे की ओर गति कर रहे हैं,इसलिए हम विपरीत दिशाएं लेंगे। मान लीजिए $v_1 = 10 \,ms^{-1}$ और $v_2 = -20 \,ms^{-1}$ है।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $V_{cm}$ का सूत्र है:
$V_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$V_{cm} = \frac{(1 \times 10) + (2 \times -20)}{1 + 2}$
$V_{cm} = \frac{10 - 40}{3} = \frac{-30}{3} = -10 \,ms^{-1}$.
वेग का परिमाण $10 \,ms^{-1}$ है।

(A) माना कि पहले कण का वेग $\vec{v}_1 = 10 \hat{i} \text{ ms}^{-1}$ है और दूसरे कण का वेग $\vec{v}_2 = 5 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$ है।
द्रव्यमान $m_1 = 10 \text{ g}$ और $m_2 = 15 \text{ g}$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{v}_{cm}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{10(10 \hat{i}) + 15(5 \hat{j})}{10 + 15} = \frac{100 \hat{i} + 75 \hat{j}}{25} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$.
द्रव्यमान केंद्र के वेग का परिमाण है:
$|\vec{v}_{cm}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ ms}^{-1}$.

(C) मान लीजिए कि टॉवर का शीर्ष $xy$-समतल में मूल बिंदु $(0, 25)$ है। द्रव्यमान $m_1 = 12 \,kg$ और $m_2 = 6 \,kg$ हैं।
प्रारंभिक वेग $\vec{v}_1 = 15 \hat{j} \,ms^{-1}$ और $\vec{v}_2 = 20 \hat{i} \,ms^{-1}$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र के वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_{cm,y} = \frac{m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y}}{m_1 + m_2} = \frac{12(15) + 6(0)}{12 + 6} = \frac{180}{18} = 10 \,ms^{-1}$ है।
द्रव्यमान केंद्र का ऊर्ध्वाधर त्वरण $a_{cm,y} = -g = -10 \,ms^{-2}$ है।
टॉवर के शीर्ष से द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई $y_{cm} = v_{cm,y} t - \frac{1}{2} g t^2$ है।
शीर्ष से अधिकतम ऊँचाई तब प्राप्त होती है जब $v_{cm,y}(t) = 0$,अर्थात $10 - 10t = 0 \implies t = 1 \,s$।
शीर्ष से अधिकतम विस्थापन $y_{max} = 10(1) - \frac{1}{2}(10)(1)^2 = 10 - 5 = 5 \,m$ है।
जमीन से कुल ऊँचाई $H = 25 + 5 = 30 \,m$ है।

(D) $m$ द्रव्यमान और $M$ द्रव्यमान के वेज (wedge) से बने निकाय पर विचार करें।
चूंकि क्षैतिज तल चिकना है,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है।
द्रव्यमान केंद्र के गुण के अनुसार,यदि किसी निकाय पर एक विशेष दिशा में कुल बाहरी बल शून्य है,तो उस दिशा में द्रव्यमान केंद्र का त्वरण शून्य होता है।
चूंकि निकाय का प्रारंभिक वेग शून्य है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र क्षैतिज दिशा में गति नहीं करेगा।
हालाँकि,ऊर्ध्वाधर दिशा में निकाय पर गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है,जो एक बाहरी बल है।
जैसे-जैसे द्रव्यमान $m$ नत समतल पर नीचे की ओर फिसलता है,निकाय के द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर स्थिति बदलती है (यह नीचे की ओर गति करता है)।
अतः,द्रव्यमान केंद्र ऊर्ध्वाधर दिशा में नीचे की ओर गति करेगा और क्षैतिज दिशा में अपरिवर्तित रहेगा।

(D) मान लीजिए ब्लॉकों का त्वरण $a$ है। $60^{\circ}$ के ढलान पर स्थित ब्लॉक के लिए ढलान की दिशा में बल का समीकरण $mg \sin 60^{\circ} - T = ma$ है और $30^{\circ}$ के ढलान पर स्थित ब्लॉक के लिए $T - mg \sin 30^{\circ} = ma$ है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $mg(\sin 60^{\circ} - \sin 30^{\circ}) = 2ma$.
$a = \frac{g}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{g(\sqrt{3}-1)}{4}$.
दोनों ब्लॉकों के लिए त्वरण सदिश $\vec{a}_1 = a(\cos 60^{\circ} \hat{i} - \sin 60^{\circ} \hat{j})$ और $\vec{a}_2 = a(-\cos 30^{\circ} \hat{i} - \sin 30^{\circ} \hat{j})$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $\vec{a}_{CM} = \frac{m\vec{a}_1 + m\vec{a}_2}{2m} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2}$ है।
$\vec{a}_{CM} = \frac{a}{2} [(\cos 60^{\circ} - \cos 30^{\circ}) \hat{i} - (\sin 60^{\circ} + \sin 30^{\circ}) \hat{j}]$.
$a = \frac{g(\sqrt{3}-1)}{4}$,$\cos 60^{\circ} = 1/2$,$\cos 30^{\circ} = \sqrt{3}/2$,$\sin 60^{\circ} = \sqrt{3}/2$,$\sin 30^{\circ} = 1/2$ मान रखने पर:
$|\vec{a}_{CM}| = \frac{a}{2} \sqrt{(\frac{1-\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{1+3-2\sqrt{3} + 3+1+2\sqrt{3}}{4}} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{8}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
$|\vec{a}_{CM}| = \frac{g(\sqrt{3}-1)}{4\sqrt{2}}$.
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(A) मान लीजिए कि कणों के द्रव्यमान $m_1 = m$ और $m_2 = 2m$ हैं। द्रव्यमान केंद्र का विस्थापन $\Delta Y_{cm}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta Y_{cm} = \frac{m_1 \Delta y_1 + m_2 \Delta y_2}{m_1 + m_2}$
यहाँ $\Delta Y_{cm} = 2 \ cm$,$\Delta y_1 = 9 \ cm$,$m_1 = m$,और $m_2 = 2m$ दिया गया है,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2 = \frac{m(9) + 2m(\Delta y_2)}{m + 2m}$
$2 = \frac{9m + 2m(\Delta y_2)}{3m}$
$2 = \frac{9 + 2\Delta y_2}{3}$
$6 = 9 + 2\Delta y_2$
$2\Delta y_2 = 6 - 9$
$2\Delta y_2 = -3$
$\Delta y_2 = -1.5 \ cm$
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि भारी कण को $1.5 \ cm$ नीचे खिसकाया जाना चाहिए।

(A) द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ का वेग $V_{CM} = \frac{m_A v_A + m_B v_B}{m_A + m_B}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण प्रारंभ में विरामावस्था में हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $V_{CM, initial} = 0$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है,तो द्रव्यमान केंद्र का वेग स्थिर रहता है।
इस निकाय में,कण आपसी आकर्षण बल के तहत गति करते हैं,जो कि आंतरिक बल हैं।
इसलिए,निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है।
चूंकि द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग शून्य था,इसलिए यह हर समय शून्य ही रहेगा,चाहे कणों की व्यक्तिगत चाल कुछ भी हो।

(A) द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{CM})$ इस प्रकार दिया जाता है:
$v_{CM} = \frac{m_1 \overrightarrow{v}_1 + m_2 \overrightarrow{v}_2}{m_1 + m_2} = \frac{\overrightarrow{v}_1 + \overrightarrow{v}_2}{2}$ (चूंकि $m_1 = m_2 = m$)।
$v_{CM} = \frac{4 \hat{i} + 4 \hat{j}}{2} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ ms}^{-1}$।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $(a_{CM})$ इस प्रकार दिया जाता है:
$a_{CM} = \frac{m_1 \overrightarrow{a}_1 + m_2 \overrightarrow{a}_2}{m_1 + m_2} = \frac{\overrightarrow{a}_1 + 0}{2} = \frac{5 \hat{i} + 5 \hat{j}}{2} = (2.5 \hat{i} + 2.5 \hat{j}) \text{ ms}^{-2}$।
चूंकि त्वरण सदिश $\overrightarrow{a}_{CM}$ स्थिर है,द्रव्यमान केंद्र स्थिर त्वरण के साथ गति करता है।
चूंकि प्रारंभिक वेग $\overrightarrow{v}_{CM}$ और त्वरण $\overrightarrow{a}_{CM}$ समानांतर हैं (दोनों $\hat{i} + \hat{j}$ की दिशा में हैं),इसलिए द्रव्यमान केंद्र का पथ एक सीधी रेखा होगा।

(A) प्रणाली का त्वरण $a$ इस प्रकार दिया गया है:
$a = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g = \left( \frac{2m - m}{2m + m} \right) \times 10 = \frac{10}{3} \ ms^{-2}$
$t = 5.4 \ s$ समय के बाद,प्रत्येक ब्लॉक की चाल:
$v = at = \frac{10}{3} \times 5.4 = 18 \ ms^{-1}$
$m$ द्रव्यमान का ब्लॉक $v_1 = 18 \ ms^{-1}$ के वेग से ऊपर की ओर गति करता है (मान लीजिए यह धनात्मक दिशा है),और $2m$ द्रव्यमान का ब्लॉक $v_2 = -18 \ ms^{-1}$ के वेग से नीचे की ओर गति करता है।
द्रव्यमान केंद्र का वेग:
$v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{m(18) + 2m(-18)}{m + 2m} = \frac{18m - 36m}{3m} = \frac{-18m}{3m} = -6 \ ms^{-1}$
चाल वेग का परिमाण है,जो $6 \ ms^{-1}$ है।

(D) माना $M = 90 \ kg$ तख्ते का द्रव्यमान है और $m = 20 \ kg$ लड़की का द्रव्यमान है।
तख्ते की लंबाई $l = 3.3 \ m$ है।
चूंकि निकाय (तख्ता + लड़की) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
माना तख्ते का विस्थापन लड़की की गति की विपरीत दिशा में $\Delta x$ है।
पानी के सापेक्ष लड़की का विस्थापन $(l - \Delta x)$ है।
द्रव्यमान केंद्र के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $M \Delta x = m(l - \Delta x)$.
$90 \Delta x = 20(3.3 - \Delta x)$.
$90 \Delta x = 66 - 20 \Delta x$.
$110 \Delta x = 66$.
$\Delta x = \frac{66}{110} = 0.6 \ m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $0.6 \ m = 60 \ cm$.

(B) दिए गए द्रव्यमान $m_1 = m$, $m_2 = 2m$, और $m_3 = 3m$ हैं।
वेग की दिशाएँ इस प्रकार हैं:
कण $A$ उत्तर की ओर गति करता है: $\vec{v}_1 = 6 \hat{j} \,ms^{-1}$
कण $B$ दक्षिण की ओर गति करता है: $\vec{v}_2 = -12 \hat{j} \,ms^{-1}$
कण $C$ पूर्व की ओर गति करता है: $\vec{v}_3 = 8 \hat{i} \,ms^{-1}$
द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{v}_{cm}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + m_3 \vec{v}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
मान रखने पर:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m(6 \hat{j}) + 2m(-12 \hat{j}) + 3m(8 \hat{i})}{m + 2m + 3m}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{6m \hat{j} - 24m \hat{j} + 24m \hat{i}}{6m}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{24m \hat{i} - 18m \hat{j}}{6m} = 4 \hat{i} - 3 \hat{j} \,ms^{-1}$
द्रव्यमान केंद्र के वेग का परिमाण है:
$v_{cm} = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,ms^{-1}$

(D) माना $x_1$ और $x_2$ द्रव्यमान केंद्र से $m_1$ और $m_2$ की प्रारंभिक दूरियाँ हैं।
द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के अनुसार,$m_1 x_1 = m_2 x_2$ है।
यदि $m_1$ को द्रव्यमान केंद्र की ओर $d$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो द्रव्यमान केंद्र से इसकी नई दूरी $(x_1 - d)$ हो जाती है।
माना दूसरे कण $m_2$ को द्रव्यमान केंद्र को उसी स्थिति में बनाए रखने के लिए $s$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है।
द्रव्यमान केंद्र से इसकी नई दूरी $(x_2 - s)$ हो जाती है।
द्रव्यमान केंद्र को उसी स्थिति में बनाए रखने के लिए,नई स्थिति को $m_1(x_1 - d) = m_2(x_2 - s)$ को संतुष्ट करना चाहिए।
इसका विस्तार करने पर,हमें $m_1 x_1 - m_1 d = m_2 x_2 - m_2 s$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m_1 x_1 = m_2 x_2$,इसलिए दोनों पक्षों से इन पदों को घटाने पर $-m_1 d = -m_2 s$ प्राप्त होता है।
$s$ के लिए हल करने पर,हमें $s = \frac{m_1}{m_2} d$ प्राप्त होता है।

(C) द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $R_{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दी जाती है।
द्रव्यमान केंद्र को उसी स्थिति में बनाए रखने के लिए,द्रव्यमान केंद्र की स्थिति में परिवर्तन शून्य होना चाहिए,अर्थात $\Delta R_{cm} = 0$।
इसलिए,$m_1 \Delta r_1 + m_2 \Delta r_2 = 0$।
यहाँ,$m_1$ द्रव्यमान वाले कण को द्रव्यमान केंद्र की ओर $d$ दूरी तक ले जाया जाता है,इसलिए $\Delta r_1 = -d$ (यह मानते हुए कि द्रव्यमान केंद्र की ओर की दिशा ऋणात्मक है)।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $m_1 (-d) + m_2 \Delta r_2 = 0$।
$m_2 \Delta r_2 = m_1 d$।
$\Delta r_2 = \left(\frac{m_1}{m_2}\right) d$।
अतः,द्रव्यमान केंद्र को मूल स्थिति पर बनाए रखने के लिए $m_2$ द्रव्यमान वाले कण को $\left(\frac{m_1}{m_2}\right) d$ की दूरी तक स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(C) द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{CM})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$v_{CM} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$v_{CM} = \frac{4 \times 5 \hat{i} + 2 \times 10 \hat{i}}{4 + 2}$
$v_{CM} = \frac{20 \hat{i} + 20 \hat{i}}{6} = \frac{40 \hat{i}}{6} = \frac{20}{3} \hat{i} \text{ m/s}$
द्रव्यमान केंद्र की गतिज ऊर्जा की गणना इस प्रकार की जाती है:
$K_{CM} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{CM}^2$
$K_{CM} = \frac{1}{2} \times (4 + 2) \times \left( \frac{20}{3} \right)^2$
$K_{CM} = \frac{1}{2} \times 6 \times \frac{400}{9}$
$K_{CM} = 3 \times \frac{400}{9} = \frac{400}{3} \text{ J}$

(B) मान लीजिए द्रव्यमान $m_1 = 2 \,kg$ और $m_2 = 1 \,kg$ हैं। निकाय का त्वरण $a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2} = \frac{(2 - 1)g}{2 + 1} = \frac{g}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
$m_1$ के लिए नीचे की दिशा को धनात्मक और $m_2$ के लिए ऊपर की दिशा को धनात्मक लेने पर,त्वरण $a_1 = \frac{g}{3}$ (नीचे की ओर) और $a_2 = -\frac{g}{3}$ (ऊपर की ओर) हैं।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2} = \frac{2(g/3) + 1(-g/3)}{2 + 1} = \frac{g/3}{3} = \frac{g}{9}$ है।
विराम अवस्था से शुरू होकर $t = 2 \,s$ में द्रव्यमान केंद्र द्वारा तय की गई दूरी $S = \frac{1}{2} a_{cm} t^2$ है।
मान रखने पर: $S = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times 4 = \frac{20}{9} \approx 2.22 \,m$.

(B) नाव का द्रव्यमान,$M = 750 \ kg$। व्यक्ति का द्रव्यमान,$m = 80 \ kg$। नाव की लंबाई,$L = 10 \ m$। चूंकि निकाय (नाव + व्यक्ति) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है। मान लीजिए कि नाव व्यक्ति की गति की विपरीत दिशा में $x$ दूरी विस्थापित होती है। व्यक्ति नाव के सापेक्ष $L$ दूरी तय करता है,इसलिए पानी के सापेक्ष उसका विस्थापन $(L - x)$ है। नाव के द्रव्यमान केंद्र का पानी के सापेक्ष विस्थापन विपरीत दिशा में $x$ है। द्रव्यमान केंद्र के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $m \Delta x_m + M \Delta x_B = 0$। यहाँ,$\Delta x_m = (L - x)$ और $\Delta x_B = -x$। मान रखने पर: $80(10 - x) + 750(-x) = 0$। $800 - 80x - 750x = 0$। $830x = 800$। $x = \frac{800}{830} \approx 0.96 \ m$। अतः,नाव व्यक्ति के विस्थापन की विपरीत दिशा में $0.96 \ m$ विस्थापित होगी।

(C) किसी भी बाहरी क्षैतिज बल की अनुपस्थिति में, निकाय के द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ की स्थिति अपरिवर्तित रहती है।
मान लीजिए कि किनारा मूल बिंदु $(x = 0)$ है।
तख्ते का द्रव्यमान $M = 10 \,kg$ है और इसकी लंबाई $L = 10 \,m$ है। इसका $COM$ $x_p = 5 \,m$ पर है।
लड़के का द्रव्यमान $m = 30 \,kg$ है। प्रारंभ में, वह दूर वाले किनारे पर है, इसलिए उसकी स्थिति $x_b = 10 \,m$ है।
निकाय के $COM$ की प्रारंभिक स्थिति:
$X_{COM} = \frac{M x_p + m x_b}{M + m} = \frac{10 \times 5 + 30 \times 10}{10 + 30} = \frac{50 + 300}{40} = \frac{350}{40} = 8.75 \,m$.
जब लड़का पास वाले किनारे की ओर चलता है, तो तख्ता किनारे से $d$ दूरी दूर खिसक जाता है। तख्ते के $COM$ की नई स्थिति $x_p' = 5 + d$ है, और लड़के की नई स्थिति $x_b' = d$ है।
चूंकि $COM$ समान स्थिति में रहता है:
$X_{COM} = \frac{M x_p' + m x_b'}{M + m}$
$8.75 = \frac{10(5 + d) + 30(d)}{40}$
$8.75 \times 40 = 50 + 10d + 30d$
$350 = 50 + 40d$
$300 = 40d$
$d = \frac{300}{40} = 7.5 \,m$.

(A) द्रव्यमान केंद्र का वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{CM} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
दिया गया है: $m_1 = 4 \,kg$,$m_2 = 5 \,kg$. वेग $\vec{v}_1$ पूर्व दिशा (x-अक्ष) में है और $\vec{v}_2$ उत्तर दिशा (y-अक्ष) में है。
अतः,$\vec{v}_1 = 5 \hat{i} \,m/s$ और $\vec{v}_2 = 3 \hat{j} \,m/s$.
मान रखने पर:
$\vec{v}_{CM} = \frac{4(5 \hat{i}) + 5(3 \hat{j})}{4 + 5}$
$\vec{v}_{CM} = \frac{20 \hat{i} + 15 \hat{j}}{9} = \frac{20}{9} \hat{i} + \frac{15}{9} \hat{j} \,m/s$
वेग का परिमाण:
$|v_{CM}| = \sqrt{(\frac{20}{9})^2 + (\frac{15}{9})^2}$
$|v_{CM}| = \sqrt{\frac{400 + 225}{81}} = \sqrt{\frac{625}{81}}$
$|v_{CM}| = \frac{25}{9} \,m/s$

(C) दिया गया है,$m_1 = 6 \,kg, m_2 = 4 \,kg$ और $\overrightarrow{v}_1 = 5 \hat{i}-2 \hat{j}+10 \hat{k}, \overrightarrow{v}_2 = 10 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $\overrightarrow{v}_{cm}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{m_1 \overrightarrow{v}_1 + m_2 \overrightarrow{v}_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{6(5 \hat{i}-2 \hat{j}+10 \hat{k}) + 4(10 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k})}{6 + 4}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{(30 \hat{i}-12 \hat{j}+60 \hat{k}) + (40 \hat{i}-8 \hat{j}+20 \hat{k})}{10}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{70 \hat{i}-20 \hat{j}+80 \hat{k}}{10}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = 7 \hat{i}-2 \hat{j}+8 \hat{k}$