Motion of Centre of Mass Questions in Hindi

(C) दिया गया है,$m_1 = 6 \,kg, m_2 = 4 \,kg$ और $\overrightarrow{v}_1 = 5 \hat{i}-2 \hat{j}+10 \hat{k}, \overrightarrow{v}_2 = 10 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $\overrightarrow{v}_{cm}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{m_1 \overrightarrow{v}_1 + m_2 \overrightarrow{v}_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{6(5 \hat{i}-2 \hat{j}+10 \hat{k}) + 4(10 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k})}{6 + 4}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{(30 \hat{i}-12 \hat{j}+60 \hat{k}) + (40 \hat{i}-8 \hat{j}+20 \hat{k})}{10}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{70 \hat{i}-20 \hat{j}+80 \hat{k}}{10}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = 7 \hat{i}-2 \hat{j}+8 \hat{k}$

(C) द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$ इस प्रकार है: $v_{cm} = \frac{M \cdot v_1 + m \cdot v_2}{M + m} = \frac{M(2) + 1(1)}{M + 1} = \frac{2M + 1}{M + 1}$.
द्रव्यमान केंद्र की गतिज ऊर्जा का सूत्र है: $K.E._{cm} = \frac{1}{2} (M + m) v_{cm}^2$.
दिया गया है $K.E._{cm} = \frac{4}{3} \ J$,मान रखने पर:
$\frac{4}{3} = \frac{1}{2} (M + 1) \left( \frac{2M + 1}{M + 1} \right)^2$.
$\frac{4}{3} = \frac{1}{2} \frac{(2M + 1)^2}{M + 1}$.
$8(M + 1) = 3(4M^2 + 4M + 1)$.
$8M + 8 = 12M^2 + 12M + 3$.
$12M^2 + 4M - 5 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर $M = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$M = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(12)(-5)}}{2(12)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 240}}{24} = \frac{-4 \pm 16}{24}$.
चूंकि द्रव्यमान धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $M = \frac{12}{24} = 0.5 \ kg$.

(A) दिया गया है: गेंदों के द्रव्यमान $m_1 = 100 \ g = 0.1 \ kg$ और $m_2 = 200 \ g = 0.2 \ kg$ हैं।
$t = 0.4 \ s$ पर,पहली गेंद के गिरने का समय $t_1 = 0.4 \ s$ है।
पहली गेंद द्वारा तय की गई दूरी $s_1 = \frac{1}{2} g t_1^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.4)^2 = 5 \times 0.16 = 0.8 \ m$ है।
$t = 0.4 \ s$ पर,दूसरी गेंद के गिरने का समय $t_2 = 0.4 - 0.2 = 0.2 \ s$ है।
दूसरी गेंद द्वारा तय की गई दूरी $s_2 = \frac{1}{2} g t_2^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.2)^2 = 5 \times 0.04 = 0.2 \ m$ है।
द्रव्यमान केंद्र की रिलीज बिंदु से दूरी $s_{cm} = \frac{m_1 s_1 + m_2 s_2}{m_1 + m_2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $s_{cm} = \frac{0.1 \times 0.8 + 0.2 \times 0.2}{0.1 + 0.2} = \frac{0.08 + 0.04}{0.3} = \frac{0.12}{0.3} = 0.4 \ m$।

(A) किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति उस पर कार्य करने वाले कुल बाहरी बल के अनुसार होती है,जिसे समीकरण $F_{ext} = M a_{cm}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण $A$ और $B$ पारस्परिक आकर्षण बल के तहत गति कर रहे हैं,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है $(F_{ext} = 0)$।
प्रारंभ में,दोनों कण स्थिर हैं,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $v_{cm, initial} = 0$ है।
चूंकि $F_{ext} = 0$ है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि द्रव्यमान केंद्र का वेग समय के साथ स्थिर रहता है।
इसलिए,किसी भी क्षण द्रव्यमान केंद्र का वेग उसके प्रारंभिक वेग के बराबर यानी $0$ ही रहेगा।

(C) माना द्रव्यमान $m_1 = 2 \text{ kg}$ और $m_2 = 1 \text{ kg}$ हैं।
निकाय का त्वरण $a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2} = \frac{(2 - 1) \times 10}{2 + 1} = \frac{10}{3} \text{ m/s}^2$ द्वारा दिया जाता है।
$2 \text{ kg}$ का ब्लॉक $a_1 = 10/3 \text{ m/s}^2$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करता है और $1 \text{ kg}$ का ब्लॉक $a_2 = 10/3 \text{ m/s}^2$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करता है।
नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर,द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 - m_2 a_2}{m_1 + m_2} = \frac{2(10/3) - 1(10/3)}{2 + 1} = \frac{10/3}{3} = 10/9 \text{ m/s}^2$ है।
$t = 2 \text{ s}$ में द्रव्यमान केंद्र द्वारा तय की गई दूरी $d = \frac{1}{2} a_{cm} t^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times 4 = \frac{20}{9} \approx 2.22 \text{ m}$ है।

(C) द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm} = \frac{m_A a_1 + m_B a_2}{m_A + m_B}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $m_A = m_B = m$ है,इसलिए $a_{cm} = \frac{m(6\hat{i} + 6\hat{j}) + m(0)}{2m} = 3\hat{i} + 3\hat{j} \text{ m/s}^2$ प्राप्त होता है।
द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $v_{cm} = \frac{m_A v_1 + m_B v_2}{m_A + m_B} = \frac{m(4\hat{i}) + m(4\hat{j})}{2m} = 2\hat{i} + 2\hat{j} \text{ m/s}$ है।
चूंकि त्वरण सदिश $a_{cm} = 3\hat{i} + 3\hat{j}$ और प्रारंभिक वेग सदिश $v_{cm} = 2\hat{i} + 2\hat{j}$ एक-दूसरे के समानांतर हैं $(a_{cm} = 1.5 v_{cm})$,इसलिए द्रव्यमान केंद्र की गति एक सरल रेखा में होगी।