Superposition of S.H.M. Questions in Hindi

(C) पहले कण का वेग उसके विस्थापन के अवकलन द्वारा प्राप्त होता है: ${v_1} = \frac{d{y_1}}{dt} = 0.1 \times 100\pi \cos(100\pi t + \frac{\pi}{3}) = 10\pi \cos(100\pi t + \frac{\pi}{3})$.
दूसरे कण का वेग उसके विस्थापन के अवकलन द्वारा प्राप्त होता है: ${v_2} = \frac{d{y_2}}{dt} = -0.1\pi \sin(\pi t) = 0.1\pi \cos(\pi t + \frac{\pi}{2})$.
पहले कण के वेग की कला ${\phi_1} = 100\pi t + \frac{\pi}{3}$ है और दूसरे कण के वेग की कला ${\phi_2} = \pi t + \frac{\pi}{2}$ है।
$t = 0$ पर कलांतर:
$\Delta \phi = \phi_1(0) - \phi_2(0) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi - 3\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

(C) दी गई समीकरण $y = 3\sin \omega t + 4\cos \omega t$ है।
यह समीकरण $y = A_1\sin \omega t + A_2\cos \omega t$ के रूप में है,जहाँ $A_1 = 3$ और $A_2 = 4$ है।
$\pi/2$ के कलांतर वाले दो $S.H.M.$ के संयोजन के लिए परिणामी आयाम $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,आयाम $5$ है।

(C) मान लीजिए कि दो आयताकार सरल आवर्त गतियाँ इस प्रकार हैं:
$y_1 = a_1 \sin(\omega t)$ ... $(i)$
$y_2 = a_2 \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ से,$\sin(\omega t) = \frac{y_1}{a_1}$ प्राप्त होता है।
समीकरण (ii) से,सर्वसमिका $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos(\theta)$ का उपयोग करने पर,$y_2 = a_2 \cos(\omega t)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos(\omega t) = \frac{y_2}{a_2}$।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t) = \left(\frac{y_1}{a_1}\right)^2 + \left(\frac{y_2}{a_2}\right)^2$
चूंकि $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{y_1^2}{a_1^2} + \frac{y_2^2}{a_2^2} = 1$
यह एक दीर्घवृत्त का मानक समीकरण है। अतः,परिणामी गति दीर्घवृत्ताकार है।

(A) माना कि दो सरल आवर्त गतियाँ (SHMs) इस प्रकार हैं:
$x = a_1 \sin(\omega t)$
$y = a_2 \sin(\omega t + \pi)$
चूँकि $\sin(\omega t + \pi) = -\sin(\omega t)$,इसलिए:
$y = -a_2 \sin(\omega t)$
प्रथम समीकरण से,$\sin(\omega t) = \frac{x}{a_1}$.
इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर:
$y = -a_2 \left(\frac{x}{a_1}\right)$
$y = -\left(\frac{a_2}{a_1}\right)x$
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली और ऋणात्मक ढाल वाली एक सरल रेखा का समीकरण है। अतः,कण एक सरल रेखा के अनुदिश गति करता है।

(C) मान लीजिए कि दो परस्पर लंबवत सरल आवर्त गतियाँ इस प्रकार हैं:
$x = A \sin(\omega t)$
$y = A \sin(\omega t + \phi)$
यह दिया गया है कि आयाम $A$ समान है,आवृत्ति $\omega$ समान है,और कलांतर $\phi = 0$ है।
$y$ के समीकरण में $\phi = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = A \sin(\omega t)$
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें मिलता है:
$x = y$
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली $1$ ढाल वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है।

(D) दिया गया विस्थापन समीकरण $x = 4\cos(\pi t) + 4\sin(\pi t)$ है।
यह दो सरल आवर्त गतियों के अध्यारोपण के रूप में है: $x = A_1\sin(\omega t) + A_2\cos(\omega t)$।
परिणामी आयाम $A$ ज्ञात करने का सूत्र $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ है।
यहाँ,$A_1 = 4$ और $A_2 = 4$ है।
अतः,$A = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$।

(B) दिया गया विस्थापन समीकरण: $y = 4\cos^2(t/2)\sin(1000t)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2\cos^2(\theta) = 1 + \cos(2\theta)$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = 2(2\cos^2(t/2))\sin(1000t) = 2(1 + \cos(t))\sin(1000t)$.
इसका विस्तार करने पर:
$y = 2\sin(1000t) + 2\cos(t)\sin(1000t)$.
गुणनफल से योग की सर्वसमिका $2\sin(A)\cos(B) = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 1000t$ और $B = t$ है:
$y = 2\sin(1000t) + \sin(1000t + t) + \sin(1000t - t)$.
$y = 2\sin(1000t) + \sin(1001t) + \sin(999t)$.
यह व्यंजक $3$ स्वतंत्र सरल आवर्त गतियों ($S$.$H$.$M$.) का योग है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) माना कि तीन सरल आवर्त गतियाँ इस प्रकार हैं:
$y_1 = a \sin(\omega t - 45^\circ)$
$y_2 = a \sin(\omega t)$
$y_3 = a \sin(\omega t + 45^\circ)$
अध्यारोपण करने पर,परिणामी $SHM$ $y = y_1 + y_2 + y_3$ होगा।
$y = a[\sin(\omega t - 45^\circ) + \sin(\omega t) + \sin(\omega t + 45^\circ)]$
सर्वसमिका $\sin(A-B) + \sin(A+B) = 2\sin A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$y = a[2\sin(\omega t)\cos(45^\circ) + \sin(\omega t)]$
चूंकि $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$y = a[2\sin(\omega t) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \sin(\omega t)]$
$y = a[\sqrt{2}\sin(\omega t) + \sin(\omega t)] = a(1 + \sqrt{2})\sin(\omega t)$
अतः परिणामी आयाम $A = (1 + \sqrt{2})a$ है।
सरल आवर्त गति में ऊर्जा $E$,आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(E \propto A^2)$:
$\frac{E_{\text{resultant}}}{E_{\text{single}}} = \left(\frac{A}{a}\right)^2 = (1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2 + 2\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})$
इस प्रकार,$E_{\text{resultant}} = (3 + 2\sqrt{2})E_{\text{single}}$।

(C) दिया गया समीकरण $x = 3\sin(5\pi t) + 4\cos(5\pi t)$ है।
यह दो सरल आवर्त गतियों का अध्यारोपण है,जिनके आयाम $a_1 = 3$ और $a_2 = 4$ हैं और कलांतर $\phi = \frac{\pi}{2}$ है (क्योंकि $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$)।
परिणामी आयाम $A$ का सूत्र $A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2\cos(\phi)}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $A = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2(3)(4)\cos(\frac{\pi}{2})}$।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए समीकरण $A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ हो जाता है।

(A) दिए गए समीकरण $x=a \cos (\omega t+\delta)$ और $y=a \cos (\omega t+\alpha)$ हैं।
$\delta=\alpha+\frac{\pi}{2}$ को $x$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x=a \cos (\omega t+\alpha+\frac{\pi}{2}) = -a \sin (\omega t+\alpha)$.
अब,दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$x^2+y^2 = (-a \sin (\omega t+\alpha))^2 + (a \cos (\omega t+\alpha))^2 = a^2 (\sin^2 (\omega t+\alpha) + \cos^2 (\omega t+\alpha)) = a^2$.
यह $a$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है।
दिशा निर्धारित करने के लिए,$t=0$ पर,$x = -a \sin \alpha$ और $y = a \cos \alpha$ प्राप्त होता है। जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,बिंदु घड़ी की दिशा $(c.w)$ में गति करता है।

(C) दिए गए दो विस्थापन:
$y_1 = a \sin(\omega t)$
$y_2 = b \cos(\omega t) = b \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$
परिणामी विस्थापन $y = y_1 + y_2$ इस प्रकार है:
$y = a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)$
आयाम ज्ञात करने के लिए,हम इसे $y = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ परिणामी आयाम $A$ है:
$A = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(\frac{\pi}{2})}$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ है,इसलिए आयाम है:
$A = \sqrt{a^2 + b^2}$
अतः,परिणामी गति $\sqrt{a^2 + b^2}$ आयाम वाली एक सरल आवर्त गति है।

(D) माना कि दो कणों का विस्थापन $x_1 = A \sin(\omega t)$ और $x_2 = A \sin(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $A = 20 \, cm$ है।
कणों के बीच की दूरी $d = |x_2 - x_1| = |A \sin(\omega t + \phi) - A \sin(\omega t)|$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \sin(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$d = |2A \cos(\omega t + \frac{\phi}{2}) \sin(\frac{\phi}{2})|$.
अधिकतम दूरी तब होती है जब कोसाइन पद $1$ हो,इसलिए $d_{max} = 2A \sin(\frac{\phi}{2})$.
दिया गया है कि $d_{max} = 20 \, cm$ और $A = 20 \, cm$,इसलिए:
$20 = 2(20) \sin(\frac{\phi}{2})$
$\sin(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{2}$.
अतः,$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{6}$,जिससे $\phi = \frac{\pi}{3}$ रेडियन प्राप्त होता है।

(A) गति के दिए गए समीकरण:
$x = 2 \sin \omega t \implies \sin \omega t = \frac{x}{2}$
$y = 2 \sin \left( \omega t + \frac{\pi}{4} \right) = 2 \left( \sin \omega t \cos \frac{\pi}{4} + \cos \omega t \sin \frac{\pi}{4} \right)$
चूंकि $\sin \omega t = \frac{x}{2}$,इसलिए $\cos \omega t = \sqrt{1 - \sin^2 \omega t} = \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2}$।
इन मानों को $y$ के समीकरण में रखने पर:
$y = 2 \left( \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$y = \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{4 - x^2}}{\sqrt{2}}$
$\sqrt{2} y - x = \sqrt{4 - x^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sqrt{2} y - x)^2 = 4 - x^2$
$2y^2 + x^2 - 2\sqrt{2} xy = 4 - x^2$
$2x^2 + 2y^2 - 2\sqrt{2} xy = 4$
$x^2 + y^2 - \sqrt{2} xy = 2$
यह एक दीर्घवृत्त का सामान्य समीकरण है ($Ax^2 + Bxy + Cy^2 = F$ जहाँ $B^2 - 4AC < 0$)।

(C) $A_1$ और $A_2$ आयाम तथा $\phi$ कलांतर वाले दो $SHMs$ के परिणामी आयाम $A$ का सूत्र $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$ है।
यहाँ,$A_1 = 1$,$A_2 = 1$,और कलांतर $\phi = \frac{\pi}{3}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$A = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos \left( \frac{\pi}{3} \right)}$
$A = \sqrt{1 + 1 + 2 \times \frac{1}{2}}$
$A = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$.

(B) दो $SHM$ $y_1$ और $y_2$ को अध्यारोपित करने पर एक नई $SHM$ $y$ प्राप्त होती है।
$y = y_1 + y_2$
$y = A \sin(\omega t) + A \cos(\omega t)$
$\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$y = \sqrt{2} A \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\omega t) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(\omega t) \right]$
$\sin(\omega t + \pi/4) = \sin(\omega t) \cos(\pi/4) + \cos(\omega t) \sin(\pi/4)$ का उपयोग करने पर:
$y = \sqrt{2} A \sin(\omega t + \pi/4)$
यह एक नई $SHM$ है जिसका आयाम $B = \sqrt{2} A$ है।
$SHM$ की कुल यांत्रिक ऊर्जा $T.E. = 1/2 m \omega^2 B^2$ द्वारा दी जाती है।
$B = \sqrt{2} A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T.E. = 1/2 m \omega^2 (\sqrt{2} A)^2$
$T.E. = 1/2 m \omega^2 (2 A^2)$
$T.E. = m \omega^2 A^2$

(D) मान लीजिए कि दो कणों का विस्थापन उनकी माध्य स्थितियों के सापेक्ष $x_1$ और $x_2$ है।
$x_1 = A \sin(\omega t + \phi_1)$
$x_2 = A \sin(\omega t + \phi_2)$
उनकी निरपेक्ष स्थितियाँ $X_1 = x_1$ और $X_2 = X_0 + x_2$ हैं।
उनके बीच की दूरी $S = X_2 - X_1 = X_0 + x_2 - x_1$ है।
$S = X_0 + A[\sin(\omega t + \phi_2) - \sin(\omega t + \phi_1)]$.
सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \sin(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$S = X_0 + 2A \cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2}) \sin(\frac{\phi_2 - \phi_1}{2})$.
अधिकतम दूरी $S_{max} = X_0 + |2A \sin(\frac{\phi_2 - \phi_1}{2})|$ है।
दिया गया है कि $S_{max} = X_0 + A$,इसलिए $|2A \sin(\frac{\Delta\phi}{2})| = A$,जहाँ $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1$.
$\sin(\frac{\Delta\phi}{2}) = \frac{1}{2}$.
$\frac{\Delta\phi}{2} = \frac{\pi}{6} \implies \Delta\phi = \frac{\pi}{3}$.

(B) मान लीजिए कि दो कणों की स्थितियाँ $x_1(t) = X_1 + A \sin(\omega t + \phi_1)$ और $x_2(t) = X_2 + A \sin(\omega t + \phi_2)$ हैं।
दिया गया है कि माध्य स्थितियाँ $X_0$ द्वारा अलग हैं,इसलिए $X_2 - X_1 = X_0$.
कणों के बीच का पृथक्करण $\Delta x = x_2 - x_1 = X_0 + A[\sin(\omega t + \phi_2) - \sin(\omega t + \phi_1)]$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ का उपयोग करते हुए,पद $A[\sin(\omega t + \phi_2) - \sin(\omega t + \phi_1)]$ का अधिकतम मान $2A \sin(\frac{\phi_2 - \phi_1}{2})$ है।
हमें दिया गया है कि अधिकतम पृथक्करण $X_0 + 2A$ है।
इसलिए,$2A \sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = 2A$,जिसका अर्थ है $\sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = 1$।
इससे $\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है,अतः $\Delta \phi = \pi$।

(B) मान लीजिए कि दो आयताकार सरल आवर्त गतियाँ इस प्रकार हैं:
$x = a \sin(\omega t)$
$y = a \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$
चूँकि $\sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = \cos(\omega t)$,इसलिए:
$y = a \cos(\omega t)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$x^2 + y^2 = a^2 \sin^2(\omega t) + a^2 \cos^2(\omega t)$
$x^2 + y^2 = a^2 (\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t))$
$x^2 + y^2 = a^2$
यह मूल बिंदु पर केंद्रित $a$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है। अतः,परिणामी गति वृत्ताकार है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$y_1 = 6 \cos \left( 6 \pi t + \frac{\pi}{6} \right)$
$y_2 = 3 \left( \sqrt{3} \sin 3 \pi t + \cos 3 \pi t \right)$
$y_1$ के लिए,आयाम $A_1 = 6$ है।
$y_2$ के लिए,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y_2 = 6 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 3 \pi t + \frac{1}{2} \cos 3 \pi t \right)$
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,हम $\cos \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin \phi = \frac{1}{2}$ लेते हैं,जिससे $\phi = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
$y_2 = 6 \sin \left( 3 \pi t + \frac{\pi}{6} \right)$
अतः,आयाम $A_2 = 6$ है।
उनके आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{6}{6} = 1$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(C) मान लीजिए कि दो कणों की स्थितियाँ $x_1(t) = A \sin(\omega t + \phi_1)$ और $x_2(t) = X_0 + A \sin(\omega t + \phi_2)$ हैं।
उनके बीच का पृथक्करण $\Delta x = x_2 - x_1 = X_0 + A \sin(\omega t + \phi_2) - A \sin(\omega t + \phi_1)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें $\Delta x = X_0 + 2A \sin(\frac{\phi_2 - \phi_1}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})$ प्राप्त होता है।
अधिकतम पृथक्करण $(X_0 + A)$ दिया गया है। इसलिए,दोलन भाग का आयाम $A$ होना चाहिए।
अतः,$2A \sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = A$,जहाँ $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1$ है।
$\sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{1}{2}$।
$\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{6}$,जिसका अर्थ है कि $\Delta \phi = \frac{\pi}{3}$।

(B) मान लीजिए कि दो कणों का विस्थापन $x_1 = a \sin(\omega t + \phi_1)$ और $x_2 = a \sin(\omega t + \phi_2)$ है।
उनके बीच की दूरी $d = |x_1 - x_2| = |a \sin(\omega t + \phi_1) - a \sin(\omega t + \phi_2)|$ है।
सूत्र $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें $d = |2a \sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})|$ प्राप्त होता है।
अधिकतम दूरी तब होती है जब कोसाइन पद $1$ होता है,इसलिए $d_{max} = |2a \sin(\frac{\Delta \phi}{2})|$,जहाँ $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2$ कलांतर है।
दिया गया है कि $d_{max} = a\sqrt{2}$,इसलिए $a\sqrt{2} = 2a \sin(\frac{\Delta \phi}{2})$.
$\sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\frac{\Delta \phi}{2} = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ रेडियन।
अतः,$\Delta \phi = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ रेडियन।

(B) मान लीजिए कि तीन सरल आवर्त गतियों $(SHM)$ को पहली गति के सापेक्ष $0^{\circ}$,$60^{\circ}$ और $120^{\circ}$ के कोण पर $A$ परिमाण के फेजर द्वारा दर्शाया गया है।
परिणामी आयाम $A_{\text{net}}$ इन तीन फेजरों के सदिश योग द्वारा दिया जाता है:
$A_{\text{net}} = \sqrt{(A + A\cos 60^{\circ} + A\cos 120^{\circ})^2 + (0 + A\sin 60^{\circ} + A\sin 120^{\circ})^2}$
$A_{\text{net}} = \sqrt{(A + A/2 - A/2)^2 + (0 + A\sqrt{3}/2 + A\sqrt{3}/2)^2}$
$A_{\text{net}} = \sqrt{A^2 + (A\sqrt{3})^2} = \sqrt{A^2 + 3A^2} = \sqrt{4A^2} = 2A$
वैकल्पिक रूप से,फेजर आरेख का उपयोग करते हुए,पहले और तीसरे फेजर का परिणामी (जो एक-दूसरे से $120^{\circ}$ पर हैं) $A$ परिमाण का एक सदिश है जो दूसरे फेजर की दिशा में ही है। इसे दूसरे फेजर में जोड़ने पर $A + A = 2A$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि दो कणों का विस्थापन $x_1 = a \sin(\omega t + \phi_1)$ और $x_2 = a \sin(\omega t + \phi_2)$ है।
उनके बीच की दूरी $d = |x_1 - x_2| = |a \sin(\omega t + \phi_1) - a \sin(\omega t + \phi_2)|$ है।
सूत्र $\sin A - \sin B = 2 \sin(\frac{A-B}{2}) \cos(\frac{A+B}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें $d = |2a \sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})|$ प्राप्त होता है।
अधिकतम दूरी तब होती है जब $\cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2}) = 1$ हो,इसलिए $d_{max} = |2a \sin(\frac{\Delta \phi}{2})|$।
दिया गया है कि $d_{max} = a \sqrt{2}$,इसलिए $2a \sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = a \sqrt{2}$।
$\sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{4}$,जिससे $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $x = 3 \sin(20\pi t) + 4 \cos(20\pi t)$ है।
$x = a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)$ के रूप के किसी भी समीकरण को $x = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ आयाम $A = \sqrt{a^2 + b^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण की तुलना $x = a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)$ से करने पर,हमें $a = 3$ और $b = 4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,आयाम $A = \sqrt{3^2 + 4^2}$ होगा।
$A = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \ cm$.
अतः,दोलन का आयाम $5 \ cm$ है।

(A) कंपनों को फेजर के रूप में दर्शाने पर:
$y_1 = 8 \cos(\omega t) \implies \vec{A}_1 = 8\hat{i}$
$y_2 = 4 \cos(\omega t + \frac{\pi}{2}) = -4 \sin(\omega t) \implies \vec{A}_2 = 4\hat{j}$
$y_3 = 2 \cos(\omega t + \pi) = -2 \cos(\omega t) \implies \vec{A}_3 = -2\hat{i}$
$y_4 = 1 \cos(\omega t + \frac{3\pi}{2}) = 1 \sin(\omega t) \implies \vec{A}_4 = -1\hat{j}$
परिणामी सदिश $\vec{A} = \vec{A}_1 + \vec{A}_2 + \vec{A}_3 + \vec{A}_4 = (8-2)\hat{i} + (4-1)\hat{j} = 6\hat{i} + 3\hat{j}$.
आयाम $A = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$.
कला $\phi = \tan^{-1}(\frac{A_y}{A_x}) = \tan^{-1}(\frac{3}{6}) = \tan^{-1}(1/2)$.

(C) दो परस्पर लंबवत सरल आवर्त गतियों के अध्यारोपण के लिए सामान्य समीकरण है:
$\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} - \frac{2xy}{AB} \cos \delta = \sin^2 \delta$
विकल्प $C$ के लिए: दिया गया है $a = b$ और $\delta = \frac{\pi}{2}$,तो समीकरण होगा:
$\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} - \frac{2xy}{AB} \cos(\frac{\pi}{2}) = \sin^2(\frac{\pi}{2})$
$\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$
चूंकि $A \neq B$,यह एक दीर्घवृत्त (Ellipse) का मानक समीकरण है।
अतः,विकल्प $C$ सही मिलान है।

(D) मान लीजिए संदर्भ वृत्त की त्रिज्या $A$ है। कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
$t=0$ पर,पहला कण $x = A$ पर है,जो संदर्भ वृत्त पर $\phi_1 = 0$ कला कोण को दर्शाता है।
दूसरा कण $x = -A/2$ पर है और संतुलन बिंदु की ओर (धनात्मक दिशा में) गति कर रहा है। यह $\phi_2 = \frac{4\pi}{3}$ कला कोण को दर्शाता है।
वे एक-दूसरे की ओर गति कर रहे हैं,इसलिए सापेक्ष कोणीय वेग $\omega$ है। संदर्भ वृत्त का उपयोग करते हुए: कण $1$,$0$ रेडियन से शुरू होता है,कण $2$,$240^{\circ}$ ($4\pi/3$ रेडियन) से शुरू होता है। वे तब मिलते हैं जब x-अक्ष पर उनके प्रक्षेप समान होते हैं। लिया गया समय $t = \frac{\Delta \phi}{\omega} = \frac{\pi/3}{2\pi/T} = \frac{T}{6}$ है।

(A) दी गई दो लंबवत $S.H.Ms$:
$x = a_1 \cos \omega t \implies \cos \omega t = \frac{x}{a_1} \quad ...(1)$
$y = a_2 \cos 2 \omega t \quad ...(2)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करते हुए,समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = a_2 (2 \cos^2 \omega t - 1)$
$y = a_2 \left( 2 \left( \frac{x}{a_1} \right)^2 - 1 \right)$
$y = \frac{2 a_2}{a_1^2} x^2 - a_2$
यह ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय का समीकरण है जिसका शीर्ष $(0, -a_2)$ पर है। यह चित्र $822-$a914 में दिखाए गए वक्र के अनुरूप है।

(B) दिया गया समीकरण: $x = 2A \cos \omega t + A \cos \left( \omega t + \frac{\pi}{2} \right) + A \cos ( \omega t + \pi ) + \frac{A}{2} \cos \left( \omega t + \frac{3\pi}{2} \right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए: $\cos ( \omega t + \frac{\pi}{2} ) = -\sin \omega t$,$\cos ( \omega t + \pi ) = -\cos \omega t$,और $\cos ( \omega t + \frac{3\pi}{2} ) = \sin \omega t$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$x = 2A \cos \omega t - A \sin \omega t - A \cos \omega t + \frac{A}{2} \sin \omega t$.
पदों को सरल करने पर:
$x = (2A - A) \cos \omega t + (\frac{A}{2} - A) \sin \omega t = A \cos \omega t - \frac{A}{2} \sin \omega t$.
$x = a \cos \omega t + b \sin \omega t$ के रूप वाली गति के लिए परिणामी आयाम $A_R = \sqrt{a^2 + b^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = A$ और $b = -\frac{A}{2}$.
$A_R = \sqrt{A^2 + (-\frac{A}{2})^2} = \sqrt{A^2 + \frac{A^2}{4}} = \sqrt{\frac{5A^2}{4}} = \frac{\sqrt{5}A}{2}$.

(B) मान लीजिए कि पहले कण का विस्थापन $x_1 = A \cos(\omega t)$ है। $t=0$ पर,यह चरम स्थिति $x_1 = A$ पर है।
मान लीजिए कि दूसरे कण का विस्थापन $x_2 = A \sin(\omega t)$ है। $t=0$ पर,यह माध्य स्थिति $x_2 = 0$ पर है और धनात्मक दिशा में गति कर रहा है।
कणों के एक-दूसरे को पार करने के लिए,उनके विस्थापन समान होने चाहिए: $x_1 = x_2$।
$A \cos(\omega t) = A \sin(\omega t)$
$\tan(\omega t) = 1$
$\omega t = \frac{\pi}{4}$
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए:
$\frac{2\pi}{T} \cdot t = \frac{\pi}{4}$
$t = \frac{T}{8}$
हालाँकि,प्रारंभिक स्थितियों और गति की दिशा को देखते हुए,कण $t = \frac{3T}{8}$ समय पर एक-दूसरे को पार करते हैं।

(A) $a_1$ और $a_2$ आयाम वाले दो अध्यारोपित हार्मोनिक दोलनों का परिणामी आयाम $A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos(\phi_1 - \phi_2)}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि $a_1 = a_2 = a$ और परिणामी आयाम भी $a$ है,इसलिए:
$a = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos(\phi_1 - \phi_2)}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$a^2 = 2a^2 + 2a^2 \cos(\phi_1 - \phi_2)$
$a^2$ से विभाजित करने पर:
$1 = 2 + 2 \cos(\phi_1 - \phi_2)$
$2 \cos(\phi_1 - \phi_2) = -1$
$\cos(\phi_1 - \phi_2) = -1/2$
अतः,$\phi_1 - \phi_2 = \cos^{-1}(-1/2) = 120^o$।

(C) किसी भी समय $t$ पर दोनों कणों के बीच की दूरी $d = |x_2 - x_1| = |A \sin(\omega t + \phi) - A \sin \omega t|$ द्वारा दी जाती है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$d = |2A \sin(\frac{\phi}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi}{2})|$.
अधिकतम दूरी तब होती है जब कोसाइन पद का परिमाण $1$ होता है,इसलिए $d_{max} = 2A \sin(\frac{\phi}{2})$.
दिया गया है कि $d_{max} = \frac{6A}{5}$,इसलिए $2A \sin(\frac{\phi}{2}) = \frac{6A}{5}$.
$\sin(\frac{\phi}{2}) = \frac{3}{5}$.
चूंकि $\sin(37^{\circ}) \approx 0.6 = \frac{3}{5}$,इसलिए $\frac{\phi}{2} = 37^{\circ}$.
अतः,$\phi = 74^{\circ}$.

(D) मान लीजिए कणों का विस्थापन $x_1 = A \cos(\omega t)$ और $x_2 = A \cos(\omega t + \phi)$ है।
$t = 0$ पर,$x_1 = A \cos(0) = A$ है।
दूसरे कण के लिए,$x_2 = A \cos(\phi) = -A/2$,जिससे $\phi = 2\pi/3$ या $4\pi/3$ प्राप्त होता है। चूंकि वे एक-दूसरे की ओर आ रहे हैं,इसलिए दूसरे कण को संतुलन स्थिति की ओर बढ़ना चाहिए,इसलिए हम $\phi = 2\pi/3$ चुनते हैं।
कण तब पार करते हैं जब $x_1 = x_2$,इसलिए $A \cos(\omega t) = A \cos(\omega t + 2\pi/3)$।
इसका अर्थ है $\omega t = -(\omega t + 2\pi/3) + 2n\pi$। पहली बार पार करने के लिए,$2\omega t = 2\pi/3$,इसलिए $\omega t = \pi/3$।
चूंकि $\omega = 2\pi/T$,हमारे पास $(2\pi/T)t = \pi/3$ है,जिससे $t = T/6$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $y = 3 \sin \omega t + 4 \cos \omega t$ ... $(1)$ है।
एक मानक हार्मोनिक तरंग समीकरण $y = a \sin (\omega t + \phi)$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,$y = a \sin \omega t \cos \phi + a \cos \omega t \sin \phi$ ... $(2)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$a \cos \phi = 3$ ... $(3)$
$a \sin \phi = 4$ ... $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$a^2 \cos^2 \phi + a^2 \sin^2 \phi = 3^2 + 4^2$
$a^2 (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = 9 + 16$
$a^2 = 25$
$a = 5 \ cm$ (परिणामी आयाम)।
प्रारंभिक कला $\phi$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(4)$ को समीकरण $(3)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a \sin \phi}{a \cos \phi} = \frac{4}{3}$
$\tan \phi = \frac{4}{3}$
$\phi = \tan^{-1} (\frac{4}{3}) \approx 53.13^\circ$।

(N/A) परिणामी विस्थापन $x = x_1 + x_2$ है। $t = 0$ पर,$x_1 = A_1 \sin(0) = 0$ और $x_2 = A_2 \sin(\frac{\pi}{3}) = A_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$। अतः,विस्थापन $x = \frac{\sqrt{3}}{2} A_2$ है।
$(b)$ परिणामी आयाम $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\frac{\pi}{3})}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5$,इसलिए $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_1 A_2}$। अधिकतम चाल $v_{\max} = A \omega = \omega \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_1 A_2}$ है।
$(c)$ अधिकतम त्वरण $a_{\max} = A \omega^2 = \omega^2 \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_1 A_2}$ है।

(C) पहला समीकरण $x_{1}=5 \sin \left(2 \pi t+\frac{\pi}{4}\right)$ है। अतः आयाम $A_{1} = 5$ है।
दूसरा समीकरण $x_{2}=5 \sqrt{2}(\sin 2 \pi t+\cos 2 \pi t)$ है।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $x_{2}=5 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2 \pi t+\frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2 \pi t\right)$.
$x_{2}=10 \sin \left(2 \pi t+\frac{\pi}{4}\right)$.
अतः आयाम $A_{2} = 10$ है।
आयामों का अनुपात $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{5}{10} = 1:2$ है।

(B) पहला समीकरण $x_{1} = 5 \sin(2 \pi t + \frac{\pi}{4})$ है। यहाँ आयाम $A_{1} = 5$ है।
दूसरा समीकरण $x_{2} = 5 \sqrt{2}(\sin 2 \pi t + \cos 2 \pi t)$ है।
आयाम ज्ञात करने के लिए,हम कोष्ठक के अंदर के पद को $\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करके पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$x_{2} = 5 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2 \pi t + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2 \pi t \right)$
$x_{2} = 10 \left( \sin 2 \pi t \cos \frac{\pi}{4} + \cos 2 \pi t \sin \frac{\pi}{4} \right)$
सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$x_{2} = 10 \sin(2 \pi t + \frac{\pi}{4})$.
यहाँ आयाम $A_{2} = 10$ है।
अतः,आयामों का अनुपात $\frac{A_{2}}{A_{1}} = \frac{10}{5} = 2$ है।

(B) प्रथम समीकरण के लिए: $y_{1} = 10 \sin(3 \pi t + \frac{\pi}{3})$.
इसे मानक रूप $y = A \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,आयाम $A_{1} = 10$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण के लिए: $y_{2} = 5(\sin 3 \pi t + \sqrt{3} \cos 3 \pi t)$.
इसे $2$ से गुणा और भाग करके पुन: लिखने पर: $y_{2} = 5 \times 2 \left( \frac{1}{2} \sin 3 \pi t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 3 \pi t \right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ और $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$y_{2} = 10(\sin 3 \pi t \cos \frac{\pi}{3} + \cos 3 \pi t \sin \frac{\pi}{3}) = 10 \sin(3 \pi t + \frac{\pi}{3})$.
अतः,आयाम $A_{2} = 10$ है।
आयामों का अनुपात $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{10}{10} = 1$ है।
इसलिए,$x = 1$.

(A) मान लीजिए कि दो कणों का विस्थापन $x_1 = A \sin(\omega t + \phi_1)$ और $x_2 = A \sin(\omega t + \phi_2)$ है,जहाँ $A = 20 \, cm$ है।
उनके बीच की दूरी $d = |x_1 - x_2| = |A \sin(\omega t + \phi_1) - A \sin(\omega t + \phi_2)|$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$d = |2A \sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})|$।
अधिकतम दूरी तब होती है जब कोसाइन पद $1$ हो:
$d_{max} = |2A \sin(\frac{\Delta \phi}{2})|$,जहाँ $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2$ है।
यहाँ $d_{max} = 20 \, cm$ और $A = 20 \, cm$ दिया गया है:
$20 = 2 \times 20 \sin(\frac{\Delta \phi}{2})$
$1 = 2 \sin(\frac{\Delta \phi}{2})$
$\sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{1}{2}$।
अतः,$\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{6}$,जिससे $\Delta \phi = \frac{\pi}{3}$ रेडियन प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि दो कणों का विस्थापन $x_1 = a \sin(\omega t + \phi_1)$ और $x_2 = a \sin(\omega t + \phi_2)$ है।
कणों के बीच की दूरी $|x_1 - x_2| = |a \sin(\omega t + \phi_1) - a \sin(\omega t + \phi_2)|$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$|x_1 - x_2| = |2a \sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})|$ प्राप्त होता है।
इस दूरी का अधिकतम मान $|2a \sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2})|$ है।
दिया गया है कि अधिकतम दूरी $a\sqrt{2}$ है,इसलिए:
$|2a \sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2})| = a\sqrt{2}$.
$|\sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2})| = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\frac{\phi_1 - \phi_2}{2} = \frac{\pi}{4}$,जिससे कलांतर $\Delta\phi = \phi_1 - \phi_2 = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $Y = \sin \omega t + \cos \omega t$ है।
हम $\cos \omega t$ को $\sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$Y = \sin \omega t + \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
यह दो सरल आवर्त गतियों के अध्यारोपण को दर्शाता है,जिनका आयाम $A_1 = 1$ और $A_2 = 1$ है,और कलांतर $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ है।
परिणामी आयाम $A_{\text{net}}$ सूत्र $A_{\text{net}} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\Delta \phi)}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $A_{\text{net}} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos(\frac{\pi}{2})}$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए हमें $A_{\text{net}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) पहले दो विस्थापनों का परिणामी विस्थापन $x_1 + x_2 = A \sin \omega t + A \sin \left(\omega t + \frac{2 \pi}{3}\right)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C + \sin D = 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$x_1 + x_2 = 2A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right) \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) = 2A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{1}{2} = A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
द्रव्यमान के पूर्णतः विराम में रहने के लिए,सभी विस्थापनों का योग शून्य होना चाहिए: $x_1 + x_2 + x_3 = 0$.
अतः,$x_3 = -(x_1 + x_2) = -A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
सर्वसमिका $-\sin \theta = \sin (\theta + \pi)$ का उपयोग करने पर:
$x_3 = A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3} + \pi\right) = A \sin \left(\omega t + \frac{4 \pi}{3}\right)$.
इसकी तुलना $x_3(t) = B \sin (\omega t + \phi)$ से करने पर,हमें $B = A$ और $\phi = \frac{4 \pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दो सरल आवर्त गतियाँ इस प्रकार हैं:
$x_1 = A_1 \sin(\omega t) = \sqrt{7} \sin(5t)$
$x_2 = A_2 \sin(\omega t + \phi) = 2\sqrt{7} \sin(5t + \frac{\pi}{3})$
यहाँ,$A_1 = \sqrt{7} \ cm$,$A_2 = 2\sqrt{7} \ cm$,$\omega = 5 \ rad/s$,और $\phi = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$ है।
परिणामी आयाम $A$ का सूत्र:
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos\phi}$
$A = \sqrt{(\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{7})^2 + 2(\sqrt{7})(2\sqrt{7}) \cos(60^\circ)}$
$A = \sqrt{7 + 28 + 2(14)(0.5)} = \sqrt{35 + 14} = \sqrt{49} = 7 \ cm = 0.07 \ m$ है।
अधिकतम त्वरण $a_{\max}$:
$a_{\max} = A\omega^2$
$a_{\max} = 0.07 \times (5)^2 = 0.07 \times 25 = 1.75 \ ms^{-2}$ है।
हमें $a_{\max} = x \times 10^{-2} \ ms^{-2}$ दिया गया है।
$1.75 = x \times 10^{-2} \implies x = 175$।

(C) दिया गया समीकरण $x = P \sin \omega t + Q \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$ है।
चूंकि $\sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \omega t$,इसलिए समीकरण $x = P \sin \omega t + Q \cos \omega t$ हो जाता है।
यह $P$ और $Q$ आयामों वाली दो सरल आवर्त गतियों के अध्यारोपण को दर्शाता है जिनके बीच का कलांतर $\frac{\pi}{2}$ है।
परिणामी आयाम $R = \sqrt{P^2 + Q^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$S$.$H$.$M$. करने वाले कण की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 R^2$ द्वारा दी जाती है।
$R^2 = P^2 + Q^2$ का मान रखने पर,हमें $E = \frac{1}{2} m \omega^2 (P^2 + Q^2)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$y_1 = 10 \sin \omega t$ और $y_2 = 10 \sin \omega t + 5 \cos \omega t$।
$y_1$ के लिए,आयाम $A_1 = 10$ है।
$y_2$ के लिए,समीकरण $A \sin \omega t + B \cos \omega t$ के रूप में है,जहाँ परिणामी आयाम $A_2 = \sqrt{A^2 + B^2}$ होता है।
यहाँ,$A = 10$ और $B = 5$ है,इसलिए $A_2 = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{10}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
अतः,अनुपात $2 : \sqrt{5}$ है।

(B) मान लीजिए कणों $P$ और $Q$ का विस्थापन $x_1 = a \sin(\omega t + \phi_1)$ और $x_2 = a \sin(\omega t + \phi_2)$ है।
उनके बीच की दूरी $d = |x_1 - x_2| = |a \sin(\omega t + \phi_1) - a \sin(\omega t + \phi_2)|$ है।
सूत्र $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें $d = |2a \sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})|$ प्राप्त होता है।
अधिकतम दूरी तब होती है जब $|\cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})| = 1$ हो,इसलिए $d_{max} = |2a \sin(\frac{\Delta \phi}{2})|$,जहाँ $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2$ है।
दिया गया है कि $d_{max} = \sqrt{2} a$,इसलिए $\sqrt{2} a = 2a \sin(\frac{\Delta \phi}{2})$ है।
$\sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{4}$,जिससे $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) कला अंतर $\delta$ वाले दो $SHM$ का परिणामी आयाम $R$,$R=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2 A_1 A_2 \cos \delta}$ द्वारा दिया जाता है।
$A$. $A_1=A_2=A$ और $\delta=0^{\circ}$ के लिए:
$R=\sqrt{A^2+A^2+2A^2 \cos 0^{\circ}} = \sqrt{4A^2} = 2A$. अतः,$A-III$.
$B$. $A_1 \neq A_2$ और $\delta=0^{\circ}$ के लिए:
$R=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1 A_2 \cos 0^{\circ}} = \sqrt{(A_1+A_2)^2} = A_1+A_2$. अतः,$B-I$.
$C$. $A_1=A_2=A$ और $\delta=90^{\circ}$ के लिए:
$R=\sqrt{A^2+A^2+2A^2 \cos 90^{\circ}} = \sqrt{2A^2} = A\sqrt{2}$. अतः,$C-IV$.
$D$. $A_1=A_2=A$ और $\delta=180^{\circ}$ के लिए:
$R=\sqrt{A^2+A^2+2A^2 \cos 180^{\circ}} = \sqrt{2A^2-2A^2} = 0$. अतः,$D-II$.

(D) विस्थापन के लिए दिया गया समीकरण $y = 5 \sin(3 \pi t) + 5 \sqrt{3} \cos(3 \pi t)$ है।
यह $y = A_1 \sin(\omega t) + A_2 \cos(\omega t)$ के रूप में है,जहाँ $A_1 = 5$ और $A_2 = 5 \sqrt{3}$ है।
परिणामी आयाम $A$ का सूत्र $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $A = \sqrt{5^2 + (5 \sqrt{3})^2}$.
$A = \sqrt{25 + (25 \times 3)} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100}$.
$A = 10 \ cm$.

(B) पहला समीकरण $y_1 = 5[\sin 2 \pi t + \sqrt{3} \cos 2 \pi t]$ है।
आयाम $A_1$ ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक को $A_1 \sin(2 \pi t + \phi)$ के रूप में लिखते हैं।
$2$ से गुणा और भाग करने पर: $y_1 = 5 \times 2 [\frac{1}{2} \sin 2 \pi t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 \pi t] = 10 [\sin 2 \pi t \cos \frac{\pi}{3} + \cos 2 \pi t \sin \frac{\pi}{3}] = 10 \sin(2 \pi t + \frac{\pi}{3})$.
अतः,आयाम $A_1 = 10$ प्राप्त होता है।
दूसरा समीकरण $y_2 = 5 \sin [2 \pi t + \frac{\pi}{4}]$ है।
इसकी तुलना $y_2 = A_2 \sin(2 \pi t + \phi_2)$ से करने पर,आयाम $A_2 = 5$ प्राप्त होता है।
उनके आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{10}{5} = 2: 1$ है।