Superposition of S.H.M. Questions in Hindi

(D) मान लीजिए कि दो कणों का विस्थापन $x_1 = A \sin(\omega t + \phi_1)$ और $x_2 = A \sin(\omega t + \phi_2)$ है।
जिस बिंदु पर वे एक-दूसरे को पार करते हैं,वहां $x_1 = x_2 = \frac{A}{\sqrt{2}}$ है।
कण $1$ के लिए,जो माध्य स्थिति से दूर जा रहा है,$\sin(\omega t + \phi_1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिससे कला $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होती है।
कण $2$ के लिए,जो उसी विस्थापन पर माध्य स्थिति की ओर आ रहा है,$\sin(\omega t + \phi_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है। चूंकि यह विपरीत दिशा में गति कर रहा है,इसलिए इसकी कला दूसरे चतुर्थांश में होनी चाहिए,अतः $\theta_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$।
कलांतर $\Delta \phi = |\theta_2 - \theta_1| = |\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}| = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
डिग्री में बदलने पर,$\frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(B) माना कणों $P$ और $Q$ के लिए गति के समीकरण $x_1 = a \sin(\omega t)$ और $x_2 = a \sin(\omega t + \phi)$ हैं,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कणों के बीच की दूरी $d = |x_2 - x_1| = |a \sin(\omega t + \phi) - a \sin(\omega t)|$ द्वारा दी जाती है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A - \sin B = 2 \sin(\frac{A-B}{2}) \cos(\frac{A+B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$d = |2a \sin(\frac{\phi}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi}{2})|$.
इस दूरी का अधिकतम मान तब होता है जब कोसाइन पद का परिमाण $1$ हो।
अतः,$d_{max} = 2a \sin(\frac{\phi}{2})$.
दिया गया है कि $d_{max} = a \sqrt{2}$,इसलिए $2a \sin(\frac{\phi}{2}) = a \sqrt{2}$.
$\sin(\frac{\phi}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है कि $\phi = \frac{\pi}{2}$.

(B) मान लीजिए कि दोनों कणों का विस्थापन $x_1 = a \sin \omega t$ और $x_2 = a \sin (\omega t + \phi)$ है,जहाँ $a$ आयाम है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $\phi$ कलांतर है।
जब वे एक-दूसरे को पार करते हैं,तो उनका विस्थापन समान होता है: $x_1 = x_2 = a/2$.
पहले कण के लिए: $a \sin \omega t = a/2 \Rightarrow \sin \omega t = 1/2$. अतः,$\omega t = \pi/6$ (यह मानते हुए कि कण धनात्मक दिशा में गति कर रहा है)।
दूसरे कण के लिए: $a \sin (\omega t + \phi) = a/2 \Rightarrow \sin (\omega t + \phi) = 1/2$.
इसका अर्थ है कि $\omega t + \phi = \pi/6$ या $\omega t + \phi = 5\pi/6$.
यदि $\omega t + \phi = \pi/6$ है,तो $\phi = 0$,जिसका अर्थ है कि वे समान दिशा में गति कर रहे हैं,विपरीत दिशा में नहीं।
यदि $\omega t + \phi = 5\pi/6$ है,तो $\phi = 5\pi/6 - \pi/6 = 4\pi/6 = 2\pi/3$.
इस कला पर,वेग $v_2 = a \omega \cos (\omega t + \phi) = a \omega \cos (5\pi/6) = -a \omega \sqrt{3}/2$ प्राप्त होता है,जो ऋणात्मक है,यह पुष्टि करता है कि वे विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं।
अतः,कलांतर $2\pi/3$ है।

(C) दिया गया है कि पहले कण का विस्थापन समीकरण $y_1=30 \sin \left(2 \pi t+\frac{\pi}{3}\right)$ है।
इसे मानक $SHM$ समीकरण $y=A \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,आयाम $A_1=30$ प्राप्त होता है।
दूसरे कण के लिए,विस्थापन समीकरण $y_2=10(\sin 2 \pi t+\sqrt{3} \cos 2 \pi t)$ है।
आयाम ज्ञात करने के लिए,हम कोष्ठक के अंदर $2$ से गुणा और भाग करते हैं: $y_2 = 10 \times 2 \left[ \frac{1}{2} \sin 2 \pi t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 \pi t \right]$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है,हमें $y_2 = 20 \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3} \right)$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,दूसरे कण का आयाम $A_2=20$ है।
आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}$ है।
अतः,अनुपात $A_1: A_2$ का मान $3: 2$ है।

(B) $A_1$ और $A_2$ आयामों तथा $\delta$ कलांतर वाली दो सरल आवर्त गतियों का परिणामी आयाम $A_{\text{res}}$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $A_{\text{res}}^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \delta$.
यह दिया गया है कि $A_1 = A_2 = A$ और परिणामी आयाम $A_{\text{res}} = A$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$A^2 = A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \delta$.
$A^2 = 2A^2 + 2A^2 \cos \delta$.
$A^2 - 2A^2 = 2A^2 \cos \delta$.
$-A^2 = 2A^2 \cos \delta$.
$\cos \delta = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \delta = -\frac{1}{2}$,इसलिए कलांतर $\delta = 120^{\circ}$ या $\delta = \frac{2\pi}{3}$ रेडियन होगा।

(A) प्रथम सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए: $x_{1} = a \sin \omega t + a \cos \omega t = \sqrt{2} a \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$.
आयाम $A_{1} = \sqrt{2} a$ और कला $\phi_{1} = \frac{\pi}{4}$.
द्वितीय सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए: $x_{2} = a \sin \omega t + \frac{a}{\sqrt{3}} \cos \omega t$.
आयाम $A_{2} = \sqrt{a^{2} + (\frac{a}{\sqrt{3}})^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{4a^{2}}{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
कला $\phi_{2} = \tan^{-1}(\frac{a/\sqrt{3}}{a}) = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
आयामों का अनुपात $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{\sqrt{2} a}{2a/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
कलांतर $\Delta \phi = \phi_{1} - \phi_{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - 2\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.

(C) दिया गया है,$y = 4 \cos^{2}\left(\frac{t}{2}\right) \sin(1000 t)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \cos^{2} \theta = 1 + \cos(2 \theta)$ का उपयोग करने पर,हमें $2 \cos^{2}\left(\frac{t}{2}\right) = 1 + \cos t$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = 2 \times [2 \cos^{2}\left(\frac{t}{2}\right)] \sin(1000 t)$
$y = 2(1 + \cos t) \sin(1000 t)$
$y = 2 \sin(1000 t) + 2 \sin(1000 t) \cos t$.
गुणनफल से योग के सूत्र $2 \sin A \cos B = \sin(A + B) + \sin(A - B)$ का उपयोग करने पर:
$y = 2 \sin(1000 t) + [\sin(1000 t + t) + \sin(1000 t - t)]$
$y = 2 \sin(1000 t) + \sin(1001 t) + \sin(999 t)$.
यह व्यंजक $3$ स्वतंत्र सरल आवर्त गतियों के अध्यारोपण को दर्शाता है जिनकी आवृत्तियाँ $1000, 1001,$ और $999$ rad/s हैं।
अतः,$n = 3$.