SHM of Simple Pendulum Questions in Hindi

(C) एक सरल लोलक पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F = -mg \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है। दोलन के छोटे कोणों के लिए,$\sin(\theta) \approx \theta$ लिया जा सकता है। इस सन्निकटन के तहत,प्रत्यानयन बल $F = -mg\theta = -mg(x/L)$ हो जाता है,जो विस्थापन $x$ के समानुपाती होता है। यह सरल आवर्त गति की शर्त $(F \propto -x)$ को पूरा करता है। यदि आयाम बड़ा है,तो $\sin(\theta)$ को $\theta$ के रूप में सन्निकटित नहीं किया जा सकता है,और गति सरल आवर्त गति नहीं रह जाती है।

(D) झूले की गति एक आवर्ती गति है जिसे सरल आवर्त गति या लोलक की गति के रूप में माना जा सकता है।
झूले की चरम स्थितियों (extreme positions) पर,लड़का दिशा बदलने से पहले क्षण भर के लिए स्थिर हो जाता है।
इसलिए,इन चरम बिंदुओं पर लड़के का वेग $0\, m/s$ होता है।
चूंकि प्रश्न में न्यूनतम वेग पूछा गया है,इसलिए सही उत्तर $0\, m/s$ है।

(A) सरल लोलक का संतुलन स्थिति से विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
यहाँ $A = 10 \ cm = 0.1 \ m$ और आवर्तकाल $T = 4 \ s$ दिया गया है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \ rad/s$ है।
लोलक का वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ द्वारा प्राप्त होता है।
$t = 1 \ s$ पर,वेग $v(1) = 0.1 \times \frac{\pi}{2} \times \cos(\frac{\pi}{2} \times 1)$ होगा।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ है,इसलिए वेग $v(1) = 0 \ m/s$ होगा।
वैकल्पिक रूप से,$t = \frac{T}{4} = 1 \ s$ पर,लोलक अपनी चरम स्थिति पर पहुँचता है,जहाँ चाल क्षणिक रूप से शून्य होती है।

(A) एक सरल लोलक में,लोलक का गोलक दो चरम स्थितियों के बीच दोलन करता है।
चाप की चरम स्थिति पर,दोलन करते गोलक का तात्क्षणिक वेग $0$ होता है।
चूंकि संवेग $p$ को $p = mv$ के रूप में परिभाषित किया गया है,और चरम स्थिति पर वेग $v$ शून्य है,इसलिए दोलन करती गेंद का संवेग $0$ होता है।
अतः,चाप के अंत में विरामावस्था में रखी गेंद को कोई संवेग स्थानांतरित नहीं किया जा सकता है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) जब कार $a$ त्वरण के साथ गति करती है,तो लोलक द्वारा अनुभव किया जाने वाला प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2}$ होता है।
सरल लोलक की दोलन आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g_{eff}}{l}}$ है,जहाँ $l$ लोलक की लंबाई है।
$g_{eff}$ का मान रखने पर,हमें $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\sqrt{g^2 + a^2}}{l}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि कार के त्वरित होने पर $g_{eff} > g$ होता है,इसलिए कार के स्थिर होने की तुलना में आवृत्ति $n$ बढ़ जाती है।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $(T)$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि आवर्तकाल $(T)$ केवल लोलक की लंबाई $(L)$ और गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ पर निर्भर करता है।
यह दोलन के आयाम से स्वतंत्र होता है,बशर्ते आयाम छोटा हो।
चूंकि लोलक की लंबाई अपरिवर्तित रहती है $(1\, m)$,इसलिए यदि आयाम को $2\, cm$ से बढ़ाकर $4\, cm$ कर दिया जाए,तब भी आवर्तकाल $5\, s$ ही रहेगा।

(D) सरल लोलक की आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ है।
इसका अर्थ है कि $n \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$।
दी गई आवृत्तियों का अनुपात $\frac{n_1}{n_2} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$,इसलिए $\frac{2}{3} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{4}{9} = \frac{l_2}{l_1}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनकी लंबाइयों का अनुपात $\frac{l_1}{l_2} = \frac{9}{4}$ है।

(D) सरल लोलक की आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ होता है।
इस प्रकार,आवृत्ति $f$,लंबाई $l$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $f \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$।
दी गई आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{7}{8}$ है।
चूंकि $\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$,इसलिए $\frac{7}{8} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{49}{64} = \frac{l_2}{l_1}$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबाइयों का अनुपात $\frac{l_1}{l_2} = \frac{64}{49}$ होगा।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लोलक की लंबाई है और $g_{eff}$ गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान है।
पहले मामले में,लिफ्ट स्थिर है,इसलिए $g_{eff} = g$। अतः,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$।
दूसरे मामले में,लिफ्ट एकसमान वेग से नीचे की ओर गति करती है। चूंकि वेग नियत है,इसलिए लिफ्ट का त्वरण शून्य $(a = 0)$ है।
अतः,प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g - a = g - 0 = g$ रहता है।
चूंकि दोनों स्थितियों में $g_{eff}$ समान है,इसलिए आवर्तकाल समान रहता है,अर्थात $T_2 = T_1$।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
इस सूत्र से हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{l}$ है।
यदि लंबाई $l$ को $9$ गुना $(l' = 9l)$ कर दिया जाए,तो नया आवर्तकाल $T'$ होगा: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{9l}{g}} = 3 \times (2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}) = 3T$.
इसके अतिरिक्त,सरल लोलक का आवर्तकाल बॉब के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए,द्रव्यमान बदलने से आवर्तकाल पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
अतः,नया आवर्तकाल $3T$ होगा।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g_{eff}$ गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान है।
जब लिफ्ट स्थिर है,तो $g_{eff} = g$,इसलिए $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = T$ है।
जब परिणामी त्वरण $g_{eff} = g/4$ हो जाता है,तो नया आवर्तकाल $T_2$ इस प्रकार होगा:
$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g/4}} = 2\pi \sqrt{\frac{4L}{g}} = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{L}{g}})$.
$T_1 = T$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T_2 = 2T$ प्राप्त होता है।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिर लिफ्ट के लिए,प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g$ है,इसलिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$।
जब लिफ्ट $a = g/3$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a = g + g/3 = 4g/3$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{4g/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3l}{4g}}$।
हम इसे $T' = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
प्रारंभिक आवर्तकाल $T$ का मान रखने पर,हमें $T' = \frac{\sqrt{3}}{2}T$ प्राप्त होता है।

(D) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{l}$ है।
यदि हम आवर्तकाल को दोगुना $(T' = 2T)$ करना चाहते हैं,तो हम इसे समानुपाती संबंध में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2T \propto \sqrt{l'}$
$T \propto \sqrt{\frac{l'}{4}}$
इसे मूल संबंध $T \propto \sqrt{l}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $l' = 4l$ है।
अतः,लंबाई को $4$ गुना बढ़ाना होगा।

(D) एक सरल लोलक की गतिज ऊर्जा उसकी माध्य स्थिति पर अधिकतम होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,माध्य स्थिति पर अधिकतम गतिज ऊर्जा,अधिकतम विस्थापित स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
कोणीय विस्थापन $\theta$ पर लोलक के गोलक की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ का मान $h = l - l \cos \theta = l(1 - \cos \theta)$ होता है।
अतः,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = mgh = mgl(1 - \cos \theta)$ होगी।

(C) सरल लोलक के गोलक (bob) का वेग चरम स्थितियों पर शून्य होता है।
गोलक का वेग माध्य स्थिति पर अधिकतम होता है।
चूंकि गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए माध्य स्थिति पर वेग अधिकतम होने के कारण गतिज ऊर्जा भी वहां अधिकतम होती है।

(B) निर्वातित कक्ष (vacuum) में,सरल लोलक के गोलक (bob) पर कोई वायु प्रतिरोध या अन्य घर्षण बल कार्य नहीं करता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,घर्षण या वायु प्रतिरोध जैसे गैर-संरक्षी बलों की अनुपस्थिति में,निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
चूंकि एक सरल लोलक की ऊर्जा उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती $(E \propto A^2)$ होती है,इसलिए स्थिर ऊर्जा का अर्थ है कि आयाम भी स्थिर रहेगा।
अतः,लोलक एक स्थिर आयाम के साथ दोलन करेगा।

(C) $a = g/3$ त्वरण के साथ नीचे उतरती लिफ्ट में एक सरल लोलक का प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g - a$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$g_{eff} = g - \frac{g}{3} = \frac{2g}{3}$ प्राप्त होता है।
सरल लोलक के आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ है।
इस सूत्र में $g_{eff} = \frac{2g}{3}$ रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{2g/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3L}{2g}}$ प्राप्त होता है।

(C) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$\frac{1}{2}mv^2 = mgh$
$v^2 = 2gh$
$v = \sqrt{2gh}$
यहाँ $h = 10\,cm = 0.1\,m$ और $g = 9.8\,m/s^2$ दिया गया है।
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.1}$
$v = \sqrt{1.96}$
$v = 1.4\,m/s$
अतः,माध्य स्थिति पर गोलक का वेग $1.4\,m/s$ है।

(B) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g_{eff}$ गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान है।
जब गोलक को ऋणात्मक आवेशित किया जाता है और नीचे की सतह को धनात्मक आवेशित किया जाता है,तो विद्युत क्षेत्र $E$ ऊपर की दिशा में (धनात्मक सतह से ऋणात्मक गोलक की ओर) कार्य करता है।
स्थिर विद्युत बल $F_e = qE$ गोलक पर ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g - a_e$ हो जाता है,जहाँ $a_e = \frac{qE}{m}$ विद्युत बल के कारण उत्पन्न त्वरण है।
अतः,$g_{eff} = g - \frac{qE}{m}$ प्राप्त होता है।
नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g - \frac{qE}{m}}}$ होगा।
चूंकि हर $(g - \frac{qE}{m})$ का मान $g$ से कम है,इसलिए नया आवर्तकाल $T'$,$T$ से अधिक होगा।

(D) ऊर्ध्वाधर समतल में दोलन करने वाले एक सरल लोलक के लिए,बॉब पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ (धुरी की ओर) और गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$ (सीधे नीचे की ओर) हैं।
$1$. त्रिज्यीय दिशा: वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर कार्य करने वाला शुद्ध बल अभिकेंद्री बल है,जो $\frac{Mv^2}{L}$ द्वारा दिया जाता है। गुरुत्वाकर्षण बल का त्रिज्यीय घटक $Mg \cos \theta$ है (धुरी से दूर)। अतः,शुद्ध त्रिज्यीय बल $T - Mg \cos \theta$ है। इन्हें बराबर करने पर,हमें $T - Mg \cos \theta = \frac{Mv^2}{L}$ प्राप्त होता है। यह विकल्प $(b)$ से मेल खाता है।
$2$. स्पर्शरेखीय दिशा: पथ के स्पर्शरेखीय कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $Mg \sin \theta$ है। न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F_T = Ma_T$,इसलिए $Mg \sin \theta = Ma_T$। अतः,स्पर्शरेखीय त्वरण का परिमाण $|a_T| = g \sin \theta$ है। यह विकल्प $(c)$ से मेल खाता है।
चूंकि $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(C) माना कि छोटे लोलक का आवर्तकाल $T_S$ है और लंबे लोलक का आवर्तकाल $T_L$ है।
दी गई लंबाई $l_S = 0.5\, m$ और $l_L = 2.0\, m$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$T_S = 2\pi \sqrt{\frac{0.5}{g}}$ और $T_L = 2\pi \sqrt{\frac{2.0}{g}}$.
अनुपात लेने पर,$\frac{T_L}{T_S} = \sqrt{\frac{2.0}{0.5}} = \sqrt{4} = 2$.
इस प्रकार,$T_L = 2T_S$.
माना कि जब वे फिर से समान कला में होते हैं,तब छोटे लोलक के दोलनों की संख्या $N_S$ है और लंबे लोलक के दोलनों की संख्या $N_L$ है।
इस समय $t$ पर,$t = N_S T_S = N_L T_L$.
$T_L = 2T_S$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N_S T_S = N_L (2T_S)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$N_S = 2N_L$.
जब वे पहली बार फिर से समान कला में होते हैं,तो हम सबसे छोटा पूर्णांक मान लेते हैं,$N_L = 1$,जिससे $N_S = 2$ प्राप्त होता है।

(A) जब गोलक को $h$ ऊँचाई से छोड़ा जाता है,तो ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,निम्नतम बिंदु $O$ पर उसका वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
निम्नतम बिंदु $O$ पर,गोलक पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर तनाव $T$ और नीचे की ओर भार $mg$ हैं। परिणामी बल अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$T - mg = \frac{mv^2}{L}$,जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है।
$T = mg + \frac{m(2gh)}{L}$.
आवर्तकाल $T_p = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2.0 \, s$ होने के कारण,$\frac{L}{g} = \frac{1}{\pi^2}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $T = mg + \frac{2mgh}{L}$ में रखने पर,$L = \frac{g}{\pi^2}$ के साथ $T = mg + 2\pi^2 mh$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार सही विकल्प $(A)$ है।

(D) जब गोलक को पानी में डुबोया जाता है,तो प्रभावी भार $W_{eff}$ वास्तविक भार और उत्प्लावन बल का अंतर होता है।
$W_{eff} = mg - F_B = mg - V\rho_w g$
चूंकि आपेक्षिक घनत्व $\rho = \frac{\rho_{bob}}{\rho_w}$ है,इसलिए $V = \frac{m}{\rho_{bob}} = \frac{m}{\rho \rho_w}$ होगा।
$W_{eff} = mg - \left(\frac{m}{\rho \rho_w}\right) \rho_w g = mg \left(1 - \frac{1}{\rho}\right) = mg \left(\frac{\rho - 1}{\rho}\right)$.
अतः,गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g_{eff} = g \left(\frac{\rho - 1}{\rho}\right)$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ होता है।
इसलिए,नया आवर्तकाल $T'$ का मान $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g \left(\frac{\rho - 1}{\rho}\right)}} = T \sqrt{\frac{\rho}{\rho - 1}}$ होगा।

(A) वाहन घर्षण रहित नत समतल पर $a = g\sin \alpha$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करता है।
वाहन के फ्रेम में,लोलक के गोलक पर ऊपर की दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma = mg\sin \alpha$ कार्य करता है।
प्रभावी त्वरण $g_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $\vec{g}$ और वाहन के त्वरण के ऋणात्मक $-\vec{a}$ का सदिश योग है।
घटकों को वियोजित करने पर,नत समतल के लंबवत $g$ का घटक $g\cos \alpha$ है और नत समतल के समानांतर $g$ का घटक $g\sin \alpha$ है। छद्म बल $g\sin \alpha$ घटक को निरस्त कर देता है।
अतः,प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g\cos \alpha$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g\cos \alpha}}$ द्वारा दिया जाता है।

(C) हवा में एक सरल लोलक का आवर्तकाल ${t_0} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब गोलक को पानी में डुबोया जाता है,तो यह ऊपर की ओर उत्प्लावन बल का अनुभव करता है। गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण ${g_{eff}}$ इस प्रकार है:
${g_{eff}} = g \left(1 - \frac{\rho_{water}}{\rho_{bob}}\right)$.
यहाँ $\rho_{bob} = \frac{4}{3} \times 10^3 \ kg/m^3$ और $\rho_{water} = 10^3 \ kg/m^3$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{\rho_{water}}{\rho_{bob}} = \frac{10^3}{(4/3) \times 10^3} = \frac{3}{4}$.
अतः,${g_{eff}} = g \left(1 - \frac{3}{4}\right) = \frac{g}{4}$.
पानी में आवर्तकाल $t = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g/4}} = 2 \times 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
${t_0}$ का मान रखने पर,हमें $t = 2{t_0}$ प्राप्त होता है।

(C) निलंबन बिंदु का विस्थापन $y = kt^2$ द्वारा दिया गया है।
निलंबन बिंदु का त्वरण $a_y = \frac{d^2y}{dt^2} = 2k$ है।
यहाँ $k = 1\,m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $a_y = 2 \times 1 = 2\,m/s^2$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ होता है।
प्रारंभ में,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ है।
जब निलंबन बिंदु $a_y$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करता है,तो प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g + a_y$ हो जाता है।
$g = 10\,m/s^2$ लेने पर,$g_{eff} = 10 + 2 = 12\,m/s^2$ होगा।
अतः,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g + a_y}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{12}}$ है।
अनुपात $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{g + a_y}{g} = \frac{10 + 2}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ होगा।

(D) माना लोलक की लंबाई $L$ है। प्रारंभ में,गोलक क्षैतिज स्थिति में है,इसलिए प्रारंभिक कोण $\theta_0 = 90^\circ$ है। निम्नतम बिंदु के सापेक्ष गोलक की ऊँचाई $h_0 = L(1 - \cos 90^\circ) = L$ है।
$n$ टक्करों के बाद,आयाम $\theta_n$ है। ऊँचाई $h_n = L(1 - \cos \theta_n)$ है।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ टक्कर से पहले और बाद के वेग से संबंधित है। चूंकि ऊर्जा की हानि ऊँचाई से संबंधित है,$n$ टक्करों के बाद ऊँचाई का अनुपात $\frac{h_n}{h_0} = e^{2n}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $e = \frac{2}{\sqrt{5}}$,इसलिए $e^2 = \frac{4}{5} = 0.8$ है।
हमें आयाम $\theta_n < 60^\circ$ चाहिए,इसलिए $h_n < L(1 - \cos 60^\circ) = L(1 - 0.5) = 0.5L$ है।
अतः,$\frac{h_n}{h_0} < \frac{0.5L}{L} = 0.5$ है।
संबंध को प्रतिस्थापित करने पर: $(0.8)^n < 0.5$ प्राप्त होता है।
$n=1$ के लिए: $0.8 > 0.5$ है।
$n=2$ के लिए: $0.64 > 0.5$ है।
$n=3$ के लिए: $0.512 > 0.5$ है।
$n=4$ के लिए: $0.4096 < 0.5$ है।
अतः,$4$ टक्करों के बाद,आयाम $60^\circ$ से कम हो जाएगा।

(B) मान लीजिए $a$ घन की भुजा है,$\rho$ घन का घनत्व है,और $\sigma$ पारे का घनत्व है।
घन का द्रव्यमान $M = a^3 \rho$ है।
साम्यावस्था में,घन का भार उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है: $Mg = a^2 h \sigma g$,जहाँ $h$ डूबे हुए भाग की गहराई है।
अतः,$a^3 \rho g = a^2 h \sigma g$,जिससे $h = \frac{a \rho}{\sigma}$ प्राप्त होता है।
जब घन को $y$ के छोटे ऊर्ध्वाधर विस्थापन से नीचे धकेला जाता है,तो अतिरिक्त उत्प्लावन बल प्रत्यानयन बल प्रदान करता है:
$F_{restoring} = - (a^2 y) \sigma g$.
गति का समीकरण $M \frac{d^2y}{dt^2} = - (a^2 \sigma g) y$ है।
$M = a^3 \rho$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a^3 \rho \frac{d^2y}{dt^2} = - a^2 \sigma g y \implies \frac{d^2y}{dt^2} = - \left( \frac{\sigma g}{a \rho} \right) y$.
इसे $S.H.M.$ के मानक समीकरण $\frac{d^2y}{dt^2} = - \omega^2 y$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{\sigma g}{a \rho}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{a \rho}{\sigma g}}$ होगा।

(D) दिया गया निकाय एक सरल लोलक की तरह कार्य करता है, जहाँ प्रभावी लंबाई $(l)$ निलंबन बिंदु और दोलन करने वाली वस्तु के गुरुत्व केंद्र $(C.G.)$ के बीच की दूरी है।
प्रारंभ में, जब गोला भरा होता है, तो $C.G.$ गोले के केंद्र पर होता है। जैसे-जैसे पानी बाहर निकलता है, शेष पानी का द्रव्यमान केंद्र नीचे की ओर खिसकता है, जिससे निकाय का परिणामी $C.G.$ नीचे की ओर चला जाता है। इससे प्रभावी लंबाई $(l)$ बढ़ जाती है, और चूंकि आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ होता है, इसलिए आवर्तकाल $T$ बढ़ जाता है।
जैसे-जैसे और पानी बाहर निकलता है, शेष पानी का वजन खाली गोले के वजन से कम हो जाता है। परिणामी $C.G.$ वापस गोले के केंद्र की ओर ऊपर की ओर खिसकने लगता है। परिणामस्वरूप, प्रभावी लंबाई $(l)$ घट जाती है, जिससे आवर्तकाल $T$ घट जाता है।
अंत में, जब गोला पूरी तरह से खाली हो जाता है, तो $C.G.$ गोले के केंद्र पर वापस आ जाता है, जिससे प्रभावी लंबाई अपने प्रारंभिक मान के बराबर हो जाती है। इस प्रकार, आवर्तकाल अपने मूल मान पर वापस आ जाता है। इसलिए, दोलन का आवर्तकाल पहले बढ़ता है और फिर घटकर अपने मूल मान पर आ जाता है।

(B) माना $T_1$ और $T_2$ दो लोलकों के आवर्तकाल हैं। सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले लोलक के लिए,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{100}{g}} = 20\pi \sqrt{\frac{1}{g}}$.
दूसरे लोलक के लिए,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{121}{g}} = 22\pi \sqrt{\frac{1}{g}}$.
चूंकि $T_1 < T_2$,छोटा लोलक तेजी से दोलन करता है।
माना लंबा लोलक $n$ दोलन पूरा करता है और छोटा लोलक $(n+1)$ दोलन पूरा करता है जब वे फिर से समान कला में होते हैं।
अतः,$(n+1)T_1 = nT_2$.
मान रखने पर: $(n+1) \times 20\pi \sqrt{\frac{1}{g}} = n \times 22\pi \sqrt{\frac{1}{g}}$.
$20(n+1) = 22n$.
$20n + 20 = 22n$.
$2n = 20$,जिससे $n = 10$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,लंबा लोलक छोटे लोलक के साथ समान कला में आने के लिए $10$ दोलन पूरे करेगा।

(B) एक सरल लोलक का आवर्तकाल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$.
$L$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है: $L = \left( \frac{g}{4\pi^2} \right) T^2$.
चूंकि $g$ और $4\pi^2$ स्थिरांक हैं,इसलिए यह समीकरण $L = k T^2$ के रूप में है,जो एक परवलय को दर्शाता है।

(B) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $(T)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
इस संबंध से, हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{l}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $T^2 \propto l$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $l$-अक्ष पर खुलने वाले परवलय (parabola) को दर्शाता है। दिए गए विकल्पों में से, जो ग्राफ $T$ को $\sqrt{l}$ के साथ बढ़ते हुए दिखाता है, वह विकल्प $B$ में दी गई वक्र रेखा है।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g_{eff}$ गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान है।
जब एक ऋणावेशित गोलक धनावेशित प्लेट के ऊपर दोलन करता है,तो गोलक पर नीचे की दिशा में एक स्थिर-वैद्युत आकर्षण बल कार्य करता है।
यह स्थिर-वैद्युत बल गुरुत्वाकर्षण बल में जुड़ जाता है,जिससे गोलक पर कार्य करने वाला प्रभावी त्वरण बढ़ जाता है।
अतः,प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + \frac{F_e}{m}$ का मान $g$ से अधिक हो जाता है।
चूँकि $T$,$\sqrt{g_{eff}}$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए $g_{eff}$ में वृद्धि होने से आवर्तकाल $T$ में कमी आती है।
इस प्रकार,नया आवर्तकाल $T$ से कम होगा।

(A) एक सिरे से लटकाई गई $1 \ metre$ स्केल एक भौतिक लोलक की तरह कार्य करती है।
भौतिक लोलक का आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$ है।
$L$ लंबाई और $m$ द्रव्यमान वाली छड़ के लिए,एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{mL^2}{3}$ होता है।
द्रव्यमान केंद्र से धुरी की दूरी $d = \frac{L}{2}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{mL^2/3}{mg(L/2)}} = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$.
यहाँ $L = 1 \ m$ और $g = 9.8 \ m/s^2$ लेने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{2 \times 1}{3 \times 9.8}} = 2\pi \sqrt{0.068} \approx 1.64 \ \sec$.

(B) चरम स्थिति पर,लोलक की कुल ऊर्जा पूरी तरह से स्थितिज ऊर्जा होती है,जो $PE = mgh$ द्वारा दी जाती है।
माध्य स्थिति पर,यह स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जो $KE = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$PE = KE$।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gh$
$v = \sqrt{2gh}$
यहाँ $h = 10 \ cm = 0.1 \ m$ और $g = 9.8 \ m/s^2$ दिया गया है।
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.1} = \sqrt{1.96} = 1.4 \ m/s$।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln T = \ln(2\pi) + \frac{1}{2} \ln l - \frac{1}{2} \ln g$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$.
हम जानते हैं कि लंबाई का रेखीय प्रसार $\Delta l = l \alpha \Delta \theta$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta \theta$.
इस मान को आवर्तकाल में परिवर्तन के समीकरण में रखने पर: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$.
अतः,आवर्तकाल में परिवर्तन $\Delta T = \frac{1}{2} \alpha T \Delta \theta$ है।

(C) माना गोलक का द्रव्यमान $m$ और डोरी की लंबाई $r$ है। डोरी की तोड़ने की क्षमता $T_{max} = 2mg$ है।
जब गोलक ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर होता है,तो त्रिज्यीय दिशा में कार्य करने वाला बल: $T - mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$ अर्थात $T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{r}$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,क्षैतिज स्थिति से $\theta$ कोण तक आने में स्थितिज ऊर्जा में कमी = गतिज ऊर्जा में वृद्धि।
$mg(r \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2 \implies v^2 = 2gr \cos \theta$।
इस मान को तनाव के समीकरण में रखने पर:
$T = mg \cos \theta + \frac{m}{r}(2gr \cos \theta) = 3mg \cos \theta$।
जब डोरी टूटती है,तो $T = 2mg$:
$2mg = 3mg \cos \theta \implies \cos \theta = 2/3$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(2/3)$।

(A) तापमान में परिवर्तन के कारण लोलक घड़ी द्वारा खोया गया समय इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta t = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta T$,जहाँ $\Delta t$ खोया हुआ समय है,$\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है,$\Delta \theta$ तापमान में परिवर्तन है,और $T$ एक दिन में कुल समय $(86400 \, s)$ है।
दिया गया है: $\Delta t = 12.5 \, s$,$\Delta \theta = 25^{\circ}C - 0^{\circ}C = 25^{\circ}C$,और $T = 86400 \, s$.
मान रखने पर: $12.5 = \frac{1}{2} \times \alpha \times 25 \times 86400$.
$12.5 = \alpha \times 1080000$.
$\alpha = \frac{12.5}{1080000} = \frac{12.5}{12.5 \times 86400} = \frac{1}{86400} \, /^{\circ}C$.

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि $T \propto \sqrt{l}$।
माना प्रारंभिक लंबाई $l_1 = l$ है और अंतिम लंबाई $l_2 = l + 0.21l = 1.21l$ है।
आवर्तकाल का अनुपात $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = \sqrt{\frac{1.21l}{l}} = \sqrt{1.21} = 1.1$ है।
अतः,$T_2 = 1.1 T_1$।
आवर्तकाल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100\% = \frac{1.1 T_1 - T_1}{T_1} \times 100\% = 0.1 \times 100\% = 10\%$ है।

(B) $SHM$ कर रहे एक कण के त्वरण का परिमाण $|a| = \omega^2 y$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $y$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
दिया गया है: $|a| = 20 \; m/s^2$ और $y = 5 \; m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $20 = \omega^2 (5)$.
$\omega^2 = 4 \Rightarrow \omega = 2 \; rad/s$.
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi \; s$.

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे ऊँचाई बढ़ती है,गुरुत्वीय त्वरण $g$ का मान घटता है $(g' = g(1 - \frac{2h}{R}))$।
चूँकि $T \propto \sqrt{\frac{1}{g}}$,$g$ में कमी होने से आवर्तकाल $T$ बढ़ जाता है,जिससे घड़ी धीमी हो जाती है।
अतः,समान आवर्तकाल $T$ बनाए रखने के लिए,लोलक की लंबाई $l$ को $g$ में हुई कमी के अनुसार कम करना आवश्यक है।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $l$ स्थिर है,इसलिए $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$ होगा।
अतः,पृथ्वी $(T_e)$ और चंद्रमा $(T_m)$ पर आवर्तकाल का अनुपात $\frac{T_m}{T_e} = \sqrt{\frac{g_e}{g_m}}$ है।
दिया गया है कि $g_m = \frac{g_e}{6}$,इसलिए $\frac{T_m}{T_e} = \sqrt{\frac{g_e}{g_e/6}} = \sqrt{6}$ होगा।
इसका अर्थ है कि $T_m = \sqrt{6} T_e$।
चूंकि चंद्रमा पर आवर्तकाल $\sqrt{6}$ गुना बढ़ जाता है,इसलिए घड़ी एक दोलन पूरा करने में अधिक समय लेगी,जिसका अर्थ है कि यह $\sqrt{6}$ गुना धीमी चलेगी।

(D) सही उत्तर $D$ है।
कलाई घड़ी का कार्य स्प्रिंग की क्रिया पर निर्भर करता है,इसलिए यह गुरुत्वाकर्षण से प्रभावित नहीं होती है।
हालाँकि,लोलक घड़ी का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
मुक्त पतन (free fall) के दौरान,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $(g_{eff})$ शून्य हो जाता है।
सूत्र में $g_{eff} = 0$ रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}} = \infty$ प्राप्त होता है।
चूंकि आवर्तकाल अनंत हो जाता है,इसलिए गिरने के दौरान लोलक घड़ी काम करना बंद कर देती है।

(B) माना आवर्तकाल $T_1 = T$ और $T_2 = \frac{5T}{4}$ हैं।
चूंकि $T_2 > T_1$,इसलिए $\frac{5T}{4}$ आवर्तकाल वाला लोलक बड़ा लोलक है।
जब बड़ा लोलक एक दोलन पूरा करता है,तो लगा समय $t = T_2 = \frac{5T}{4}$ है।
इस समय $t$ में,छोटे लोलक द्वारा पूरे किए गए दोलनों की संख्या $n = \frac{t}{T_1} = \frac{5T/4}{T} = \frac{5}{4} = 1.25$ दोलन है।
इसका मतलब है कि छोटा लोलक $1$ पूर्ण दोलन और अतिरिक्त $0.25$ (या $\frac{1}{4}$) दोलन पूरा करता है।
$t = T_2$ पर,बड़ा लोलक माध्य स्थिति पर है (कला $\phi_2 = 2\pi$ या $0$)।
छोटा लोलक $1.25$ दोलन पूरा कर चुका है,जिसका अर्थ है कि वह धनात्मक चरम स्थिति पर है (कला $\phi_1 = 1.25 \times 2\pi = 2.5\pi = 2\pi + \frac{\pi}{2}$)।
अतः,कलांतर $\Delta\phi = |\phi_1 - \phi_2| = \frac{\pi}{2} = 90^o$ होगा।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $T \propto \sqrt{l}$,आवृत्ति $n = \frac{1}{T}$ का मान $\frac{1}{\sqrt{l}}$ के समानुपाती होता है।
मान लीजिए $l_1 = 1.44 \, m$ और $l_2 = 1 \, m$ है।
मान लीजिए $n_1$ और $n_2$ क्रमशः $l_1$ और $l_2$ लंबाई वाले लोलकों के दोलनों की संख्या हैं।
उनके फिर से एक साथ दोलन करने के लिए,लिया गया समय समान होना चाहिए: $t = n_1 T_1 = n_2 T_2$।
अतः,$\frac{n_2}{n_1} = \frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \sqrt{\frac{1.44}{1}} = \frac{1.2}{1} = \frac{6}{5}$।
इसका अर्थ है $5 n_2 = 6 n_1$।
न्यूनतम पूर्णांक मानों के लिए,$n_1 = 5$ (बड़े लोलक के दोलन) और $n_2 = 6$ (छोटे लोलक के दोलन)।
इसलिए,वे छोटे लोलक के $6$ दोलनों के बाद फिर से एक साथ दोलन करेंगे।

(A) विराम अवस्था $(u = 0)$ से $h$ ऊँचाई से मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए,तय की गई दूरी $h = \frac{1}{2} g_P t^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $g_P$ ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण है।
दिया गया है $h = 8 \, m$ और $t = 2 \, s$,अतः $8 = \frac{1}{2} \times g_P \times (2)^2$.
$8 = 2 \times g_P \implies g_P = 4 \, m/s^2$.
सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_P}}$ द्वारा दिया जाता है।
$l = 1 \, m$ और $g_P = 4 \, m/s^2$ रखने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{4}} = 2\pi \times \frac{1}{2} = \pi \, s$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\pi \approx 3.14$,इसलिए आवर्तकाल $3.14 \, s$ है।