Position of a Particle in SHM, Displacement and Phase Questions in Gujarati

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ કરતા કણ માટે,સ્થાનાંતર $y = a \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક કળા $\phi = 0$ લેતા,સ્થાનાંતર $y = a \sin(\omega t)$ થાય.
જ્યારે કળા $\omega t = \frac{\pi}{2}$ હોય,ત્યારે સ્થાનાંતર $y = a \sin(\frac{\pi}{2}) = a$ થાય,જે મહત્તમ સ્થાનાંતર છે.
કણનો પ્રવેગ $A = -\omega^2 y = -\omega^2 a \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કળા $\omega t = \frac{\pi}{2}$ હોય,ત્યારે પ્રવેગ $A = -\omega^2 a \sin(\frac{\pi}{2}) = -\omega^2 a$ થાય.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $|A| = \omega^2 a$ છે,જે મહત્તમ પ્રવેગ છે.
તેથી,$\frac{\pi}{2}$ કળાએ,કણ પાસે મહત્તમ સ્થાનાંતર અને મહત્તમ પ્રવેગ બંને હોય છે.

(D) $S.H.M.$ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = A \sin(\phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\phi$ એ કળા છે.
અહીં આપેલ છે કે,$A = 5 \, cm$ અને $y = 2.5 \, cm$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $2.5 = 5 \sin(\phi)$.
$\sin(\phi) = \frac{2.5}{5} = 0.5$.
તેથી,$\sin(\phi) = 0.5$ હોવાથી,કળા $\phi = \arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}$ રેડિયન થશે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $y = a \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $(\omega t + \phi)$ એ ગતિની કળા (phase) દર્શાવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = a \sin(2\pi nt + \alpha)$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા.
અહીં,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi n$ છે અને પ્રારંભિક કળા અચળાંક $\alpha$ છે.
તેથી,કોઈપણ સમય $t$ પર ગતિની કળા એ સાઈન વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ છે,જે $(2\pi nt + \alpha)$ છે.

(A) અંતિમ સ્થાન ($t = 0$ સમયે $x = a$) થી શરૂ થતા સરળ આવર્ત દોલકનું સ્થાનાંતર $x = a \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $x = a/2$ હોય.
કિંમત મૂકતા: $a/2 = a \cos(\omega t)$.
આ સમીકરણ $\cos(\omega t) = 1/2$ માં પરિણમે છે.
તેથી,$\omega t = \pi/3$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi/T$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$(2\pi/T) \cdot t = \pi/3$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = T/6$ મળે છે.

(C) $SHM$ માં રહેલા કણની કળા એ સ્થાનાંતર સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ માં સાઈન અથવા કોસાઈન વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ છે.
આ કળા કોણ $(\omega t + \phi)$ કણની સ્થિતિને સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરે છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,તે આપેલ સમય $t$ પર કણનું સંતુલન સ્થાનની સાપેક્ષે સ્થાનાંતર (સ્થાન) અને તેના વેગની દિશા બંને વિશે માહિતી આપે છે.

(C) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ કરીને સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = a \sin(\frac{2\pi}{T}t)$ છે.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $y = \frac{a}{\sqrt{2}}$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{a}{\sqrt{2}} = a \sin(\frac{2\pi}{T}t)$
બંને બાજુ $a$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\sin(\frac{2\pi}{T}t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી ખૂણાઓને સરખાવતા:
$\frac{2\pi}{T}t = \frac{\pi}{4}$
$t$ માટે ઉકેલતા:
$t = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{8}$
આમ,લાગતો લઘુત્તમ સમય $\frac{T}{8}$ સેકન્ડ છે.

(B) સ્થાનાંતર વિધેય $x(t) = a \cos(\omega t + \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,$x(0) = a \cos \theta = 1 \, cm$ ---$(i)$
વેગ વિધેય $v(t) = \frac{dx}{dt} = -a\omega \sin(\omega t + \theta)$ છે.
$t = 0$ સમયે,$v(0) = -a\omega \sin \theta = \pi \, cm/s$.
આપેલ છે કે $\omega = \pi \, rad/s$,તેથી $-a\pi \sin \theta = \pi$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $a \sin \theta = -1 \, cm$ મળે ---(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2 = (1)^2 + (-1)^2$
$a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 1 + 1$
$a^2 = 2$
$a = \sqrt{2} \, cm$.

(C) ધન અંતિમ સ્થાનથી શરૂ થતા કણ માટે ગતિનું સમીકરણ $y = a \cos(\omega t)$ છે.
અહીં,$a$ એ કંપનવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપણને $a = 4 \, cm$ અને $T = 4 \, s$ આપેલ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવાનો છે જ્યારે સ્થાનાંતર $y = \frac{a}{2}$ હોય.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{a}{2} = a \cos(\omega t)$.
આથી $\cos(\omega t) = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\omega t = \frac{\pi}{3}$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $\frac{2\pi t}{T} = \frac{\pi}{3}$ થાય.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{T}{6}$.
$T = 4 \, s$ આપેલ હોવાથી,$t = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \, s \approx 0.67 \, s$ મળે છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = a \sin(\frac{2\pi}{T}t)$ છે.
અહીં આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $y = \frac{a}{2}$ અને આવર્તકાળ $T = 3 \, s$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{a}{2} = a \sin(\frac{2\pi}{3}t)$.
આથી $\frac{1}{2} = \sin(\frac{2\pi}{3}t)$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{2\pi}{3}t = \frac{\pi}{6}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{\pi}{6} \times \frac{3}{2\pi} = \frac{3}{12} = 0.25 \, s$.

(A) આપેલ બે તરંગ સમીકરણો:
$x = a \sin \left( \omega t + \frac{\pi}{6} \right)$
$x' = a \cos \omega t$
કળા તફાવત શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોને સાઈન વિધેયના સ્વરૂપમાં લખીએ.
નિત્યસમ $\cos \theta = \sin \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x'$ ને આ રીતે લખી શકીએ:
$x' = a \sin \left( \omega t + \frac{\pi}{2} \right)$
હવે,પ્રથમ તરંગની કળા $\phi_1 = \omega t + \frac{\pi}{6}$ છે અને બીજા તરંગની કળા $\phi_2 = \omega t + \frac{\pi}{2}$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ નીચે મુજબ મળે:
$\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \left( \omega t + \frac{\pi}{2} \right) - \left( \omega t + \frac{\pi}{6} \right)$
$\Delta \phi = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
આમ,બે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\frac{\pi}{3}$ છે.

(D) ધારો કે કણોનું સ્થાનાંતર $y = a \sin(\omega t + \phi_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્થાનાંતર કંપવિસ્તારના અડધા જેટલું છે,તેથી $y = \frac{a}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{a}{2} = a \sin(\omega t + \phi_0)$.
આથી $\sin(\omega t + \phi_0) = \frac{1}{2}$ મળે.
ધારો કે $\phi = \omega t + \phi_0$. તો $\phi = \frac{\pi}{6}$ અથવા $\phi = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
$\phi = \frac{\pi}{6}$ નો ભૌતિક અર્થ: કણ $P$ સ્થાન પર છે (સ્થાનાંતર $a/2$) અને તે મધ્યમાન સ્થાન $O$ થી દૂર ($B$ તરફ) જઈ રહ્યો છે.
$\phi = \frac{5\pi}{6}$ નો ભૌતિક અર્થ: કણ $P$ સ્થાન પર છે (સ્થાનાંતર $a/2$) અને તે મધ્યમાન સ્થાન $O$ તરફ જઈ રહ્યો છે.
જ્યારે કણો સમાન સ્થાનાંતરે એકબીજાને પસાર કરે છે ત્યારે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,એકની કળા $\phi_1 = \frac{\pi}{6}$ અને બીજાની $\phi_2 = \frac{5\pi}{6}$ હોવી જોઈએ.
તેથી કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ થાય.

(B) કણ માટે મધ્યમાન સ્થાન $(x=0)$ થી અંતિમ સ્થાન $(x=4 \, cm)$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $T/4 = 1.2/4 = 0.3 \, s$ છે.
ધારો કે $x=0$ થી $x=2 \, cm$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $t_1$ છે. ગતિનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 = 4 \sin(\frac{2\pi}{T} t_1) \Rightarrow 1/2 = \sin(\frac{2\pi}{1.2} t_1)$.
આનાથી $\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{1.2} t_1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $t_1 = 0.1 \, s$ મળે છે.
$x=2 \, cm$ થી $x=4 \, cm$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $t_2 = (T/4) - t_1 = 0.3 - 0.1 = 0.2 \, s$ છે.
$x=2 \, cm$ થી $x=4 \, cm$ સુધી જવા અને પાછા આવવા માટે લાગતો કુલ સમય $2 \times t_2 = 2 \times 0.2 = 0.4 \, s$ છે.

(A) ગતિનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ નો ઉપયોગ કરતા.
$x = A/2$ માટે,$\sin(\omega T_1) = 1/2$,જેનો અર્થ છે કે $\omega T_1 = \pi/6$,તેથી $T_1 = \frac{\pi}{6\omega}$.
કણ $x = A$ સુધી પહોંચે તે માટેનો કુલ સમય $T_1 + T_2$ છે. તેથી,$\sin(\omega(T_1 + T_2)) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\omega(T_1 + T_2) = \pi/2$,તેથી $T_1 + T_2 = \frac{\pi}{2\omega}$.
$T_1$ ની કિંમત મૂકતા,$T_2 = \frac{\pi}{2\omega} - \frac{\pi}{6\omega} = \frac{3\pi - \pi}{6\omega} = \frac{2\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{3\omega}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$T_1 = \frac{\pi}{6\omega}$ અને $T_2 = \frac{\pi}{3\omega}$,આપણને મળે છે કે ${T_1} < {T_2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,સરળ આવર્ત ગતિમાં,કણની ઝડપ મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ પર મહત્તમ અને અંતિમ સ્થાન $(x = A)$ પર શૂન્ય હોય છે. કણ મધ્યમાન સ્થાનની નજીક ઝડપથી ગતિ કરતો હોવાથી,તે $0$ થી $A/2$ સુધીનું અંતર કાપવા માટે $A/2$ થી $A$ સુધીના અંતર કરતા ઓછો સમય લે છે.

(D) દોલન માટેનું આપેલ સમીકરણ $y = y_0 \sin(\omega t - \phi)$ છે.
સમય $t = 0$ પર,સ્થાનાંતર $y = y_0 \sin(0 - \phi) = -y_0 \sin \phi$ થાય છે.
કારણ કે $0 < \phi < 90^\circ$ છે,$\sin \phi$ ધન છે,જેનો અર્થ છે કે $t = 0$ પર $y$ ઋણ હોવું જોઈએ.
આલેખમાં $t = 0$ (ઊભી ધરી) પર જોતા:
વક્ર $A$ ધન મૂલ્યથી શરૂ થાય છે.
વક્ર $B$ શૂન્યથી શરૂ થાય છે.
વક્ર $C$ ઋણ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે,પરંતુ તે તેના ન્યૂનતમ $(-y_0)$ પર છે,જે $\phi = 90^\circ$ ને અનુરૂપ છે.
વક્ર $D$ એ $0$ અને $-y_0$ ની વચ્ચેના ઋણ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે,જે $0 < \phi < 90^\circ$ માટે $y = -y_0 \sin \phi$ ની શરત સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,વક્ર $D$ દોલનને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(A) જ્યારે કણ અંતિમ સ્થાન $(x = A)$ થી ગતિ શરૂ કરે છે,ત્યારે તેનું સ્થાનાંતર સમીકરણ $x(t) = A \cos(\omega t)$ છે.
અહીં,$\omega = \frac{2\pi}{T}$,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $x = A/2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{A}{2} = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$.
$\frac{1}{2} = \cos\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\pi/3) = 1/2$,તેથી $\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{3}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{T}{6}$.

(C) આપેલા સમીકરણો $x = a \sin(\omega t - \alpha)$ અને $y = b \cos(\omega t - \alpha)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\theta) = \sin(\theta + \pi/2)$.
તેથી,આપણે $y$ ના સમીકરણને $y = b \sin(\omega t - \alpha + \pi/2)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
$x$ ની કળા $\phi_1 = \omega t - \alpha$ છે.
$y$ ની કળા $\phi_2 = \omega t - \alpha + \pi/2$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = (\omega t - \alpha + \pi/2) - (\omega t - \alpha) = \pi/2$.
કારણ કે $\pi/2$ રેડિયન એ $90^o$ ની બરાબર છે,તેથી કળા તફાવત $90^o$ થશે.

(B) સંતુલન સ્થિતિથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = a \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે સ્થાનાંતર $x(t) = a/2$ હોય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $a/2 = a \sin(\omega t)$.
આ સમીકરણ $\sin(\omega t) = 1/2$ માં પરિણમે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\pi/6) = 1/2$,તેથી $\omega t = \pi/6$.
$\omega = 2\pi/T$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $(2\pi/T) \cdot t = \pi/6$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = T/12$ મળે છે.

(D) આપેલ પ્રવેગ $A = \frac{dv}{dt} = -a\omega^2 \sin\omega t$ છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$v = \int A \, dt = \int (-a\omega^2 \sin\omega t) \, dt = a\omega \cos\omega t + C$.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $t = 0$ સમયે,$v = 0$. આથી,$0 = a\omega \cos(0) + C$,જે $C = -a\omega$ આપે છે.
તેથી,$v = a\omega \cos\omega t - a\omega$.
જો કે,સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x = a \sin\omega t$ ને ધ્યાનમાં લેતા,વેગ $v = a\omega \cos\omega t$ થાય છે. સ્થાનાંતર $x$ શોધવા માટે $v$ નું સંકલન કરતા:
$x = \int v \, dt = \int (a\omega \cos\omega t) \, dt = a \sin\omega t + C'$.
$t = 0$ સમયે,$x = 0$,તેથી $C' = 0$.
આમ,સ્થાનાંતર $x = a \sin\omega t$ છે.

(D) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ છે.
આપેલ છે કે $A = 4 \, cm$ અને $T = 12 \, s$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6} \, rad/s$ થાય.
કણ મધ્યમાન સ્થાનથી $y = 2 \, cm$ સુધી પહોંચે તે માટેનો સમય $(t_1)$:
$2 = 4 \sin(\frac{\pi}{6} t_1) \implies \sin(\frac{\pi}{6} t_1) = \frac{1}{2} \implies \frac{\pi}{6} t_1 = \frac{\pi}{6} \implies t_1 = 1 \, s$.
કણ મધ્યમાન સ્થાનથી અંતિમ સ્થાન $(y = 4 \, cm)$ સુધી પહોંચે તે માટેનો સમય $(t_2)$:
$4 = 4 \sin(\frac{\pi}{6} t_2) \implies \sin(\frac{\pi}{6} t_2) = 1 \implies \frac{\pi}{6} t_2 = \frac{\pi}{2} \implies t_2 = 3 \, s$.
$2 \, cm$ થી અંતિમ સ્થાન સુધી જવા માટે લાગતો સમય $\Delta t = t_2 - t_1 = 3 - 1 = 2 \, s$ છે.
માટે જરૂરી ગુણોત્તર $\frac{t_1}{\Delta t} = \frac{1}{2}$ થાય.

(D) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા $SHM$ માં કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
અહીં $T = 8 \, s$ આપેલ છે,તેથી $\omega = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \, rad/s$.
પ્રથમ સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતર $(d_1)$ એ $t = 1 \, s$ સમયે સ્થાનાંતર છે:
$d_1 = x(1) = A \sin\left(\frac{\pi}{4} \times 1\right) = A \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
બીજી સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતર $(d_2)$ એ $t = 2 \, s$ સમયે સ્થાનાંતર અને $t = 1 \, s$ સમયે સ્થાનાંતરનો તફાવત છે:
$d_2 = x(2) - x(1) = A \sin\left(\frac{\pi}{4} \times 2\right) - \frac{A}{\sqrt{2}} = A \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{A}{\sqrt{2}} = A - \frac{A}{\sqrt{2}} = A \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = A \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)$.
પ્રથમ સેકન્ડ અને બીજી સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતરનો ગુણોત્તર:
$\frac{d_1}{d_2} = \frac{A/\sqrt{2}}{A(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$.

(D) મધ્યમાન સ્થાન $O$ થી શરૂ થતા કણના રેખીય $SHM$ માટેનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$x = a \sin(\omega t)$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
આ કિંમત સ્થાનાંતરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = a \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot t\right)$
આપેલ સમય $t = \frac{T}{8}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = a \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{8}\right)$
સાઇન વિધેયની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$x = a \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$
કારણ કે $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી સ્થાનાંતર:
$x = \frac{a}{\sqrt{2}}$

(C) $SHM$ માં ધન અંતિમ બિંદુથી શરૂ થતા સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \cos(\omega t)$ છે.
અહીં,કંપવિસ્તાર $A = 8 \, cm$ છે. કણ ધન અંતિમ બિંદુથી $3 \, cm$ અંતર કાપે છે,તેથી મધ્યમાન સ્થાનથી તેનું સ્થાન $x = 8 - 3 = 5 \, cm$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $5 = 8 \cos(\omega t) \Rightarrow \cos(\omega t) = \frac{5}{8} = 0.625$.
ઇન્વર્સ કોસાઇન લેતા: $\omega t = \cos^{-1}(0.625) \approx 0.8956 \, rad$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{1.2} = \frac{\pi}{0.6} \approx 5.236 \, rad/s$.
હવે,$t = \frac{0.8956}{5.236} \approx 0.171 \, s$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,લાગતો સમય $0.17 \, s$ છે.

(C) સ્થાનાંતર $y = \sin \omega t + \cos \omega t = \sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાટિયાનો પ્રવેગ $a = \frac{d^2y}{dt^2} = -\sqrt{2} \omega^2 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$ છે.
જ્યારે પાટિયાનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગ જેટલો થાય ત્યારે દળ પાટિયા પરથી છૂટું પડે છે,એટલે કે $a = -g$.
તેથી,$\sqrt{2} \omega^2 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4}) = g$.
$\omega$ ના ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે,$\sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ.
આમ,$\omega = \sqrt{\frac{g}{\sqrt{2}}}$. વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ કણનું સ્થાનાંતર $x_1 = A \sin(\omega t + \phi_1)$ અને બીજા કણનું સ્થાનાંતર $x_2 = 2A \sin(\omega t + \phi_2)$ છે.
પ્રથમ કણ માટે,ઉગમબિંદુથી $A/\sqrt{2}$ અંતરે અને મધ્યમાન સ્થાન તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,કળા $\theta_1 = \omega t + \phi_1$ પ્રથમ ચરણમાં હોવી જોઈએ જેથી $\sin \theta_1 = 1/\sqrt{2}$ થાય. તે મધ્યમાન સ્થાન તરફ જતો હોવાથી,તે $\theta_1 = 45^o$ (અથવા $\pi/4$ રેડિયન) પર હશે.
બીજા કણ માટે,તે મધ્યમાન સ્થાનની બીજી બાજુએ અંતિમ સ્થાન પર છે,જે $x_2 = -2A$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,$\sin \theta_2 = -1$,જે $\theta_2 = 270^o$ (અથવા $3\pi/2$ રેડિયન) આપે છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = |\theta_2 - \theta_1| = |270^o - 45^o| = 225^o$. સામાન્ય રીતે કળા તફાવત $[0, 180^o]$ ની વચ્ચે લેવામાં આવે છે. તેથી,સમાન કળા તફાવત $360^o - 225^o = 135^o$ થાય.

(C) $SHM$ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta = \omega t + \phi$.
$x = +A/2$ માટે,$\cos(\theta_1) = 1/2$,તેથી $\theta_1 = 60^o$ અથવા $300^o$.
$x = -A/\sqrt{2}$ માટે,$\cos(\theta_2) = -1/\sqrt{2}$,તેથી $\theta_2 = 135^o$ અથવા $225^o$.
શક્ય કળા તફાવત $\Delta\theta = |\theta_2 - \theta_1|$ નીચે મુજબ છે:
$|135^o - 60^o| = 75^o$
$|225^o - 60^o| = 165^o$
$|135^o - 300^o| = 165^o$
$|225^o - 300^o| = 75^o$
વૈકલ્પિક રીતે,$x = A \sin(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = +A/2$ માટે,$\sin(\theta_1) = 1/2$,તેથી $\theta_1 = 30^o$ અથવા $150^o$.
$x = -A/\sqrt{2}$ માટે,$\sin(\theta_2) = -1/\sqrt{2}$,તેથી $\theta_2 = 225^o$ અથવા $315^o$.
શક્ય કળા તફાવત $|225^o - 30^o| = 195^o$ અથવા $|315^o - 150^o| = 165^o$ છે.
આ પરિણામોની સરખામણી કરતા,$135^o$ એ શક્ય કળા તફાવત નથી.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,પદાર્થનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
અંતિમ સ્થાનો $(x = \pm A)$ પર,વેગ $v$ શૂન્ય હોય છે.
કારણ કે લક્ષ્ય તે વિસ્તારોમાં વધુ સમય વિતાવે છે જ્યાં તેની ઝડપ ન્યૂનતમ હોય છે (અંતિમ સ્થાનોની નજીક),તેથી આ વિસ્તારોમાં બંદૂક દ્વારા લક્ષ્યને ભેદવાની સંભાવના સૌથી વધુ હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વિસ્તાર $1$ અને $5$ એ દોલનના અંતિમ સ્થાનો દર્શાવે છે.
તેથી,સૌથી વધુ વખત લક્ષ્યને ભેદવા માટે ખેલાડીએ વિસ્તાર $1$ અથવા $5$ પર નિશાન તાકવું જોઈએ.

(B) $1$. એક દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નક્કી કરવા માટે આલેખનું અવલોકન કરો. ગ્રીડના ખાનાઓ ગણતા,એક પૂર્ણ ચક્ર (એક શૃંગથી બીજા શૃંગ સુધી) $10$ આડા ખાનાઓ આવરી લે છે. તેથી,$T = 10 \text{ એકમ}$.
$2$. કળા તફાવત $\Delta \phi$ એ બે તરંગો વચ્ચેના સમયના તફાવત $\Delta t$ સાથે સૂત્ર $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{T} \cdot \Delta t$ દ્વારા સંબંધિત છે.
$3$. આલેખ પરથી,પ્રથમ તરંગનું શૃંગ એક ચોક્કસ સમયે આવે છે,અને બીજા તરંગનું શૃંગ તેના કરતા $2$ એકમ પછી (અથવા પહેલા) આવે છે. તેથી,સમયનો તફાવત $\Delta t = 2 \text{ એકમ}$.
$4$. સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{10} \cdot 2 = \frac{4 \pi}{10} = \frac{2 \pi}{5} \text{ rad}$.
$5$. તેથી,કળા તફાવત $\frac{2 \pi}{5} \text{ rad}$ છે.

(C) અંતિમ સ્થિતિથી શરૂ થતા $SHM$ માં કણનું સ્થાનાંતર $x = A \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 1\, s$ પર,સ્થાનાંતર $x = A - A/2 = A/2$ છે.
તેથી,$A/2 = A \cos(\omega \times 1)$.
$\cos(\omega) = 1/2$.
$\omega = 60^{\circ} = \pi/3 \text{ રેડિયન}$.
કારણ કે $\omega = 2\pi/T$,આપણી પાસે $\pi/3 = 2\pi/T$ છે.
$T = 6\, s$.

(A) $S.H.M.$ માં,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t) = A\omega \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
કળાની સરખામણી કરતા,વેગ એ સ્થાનાંતર કરતા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયનના કળા તફાવતથી આગળ છે.
પ્રવેગ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t) = A\omega^2 \sin(\omega t + \pi)$.
કળાની સરખામણી કરતા,પ્રવેગ એ સ્થાનાંતર કરતા $\pi$ રેડિયનના કળા તફાવતથી આગળ છે (અથવા $\pi$ રેડિયનથી પાછળ છે).
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે વેગ એ સ્થાનાંતર કરતા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયનના કળા તફાવતથી આગળ છે.

(A) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા $S.H.M.$ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ છે.
$0$ થી $A/2$ ના અંતરાલ માટે,$A/2 = A \sin(\omega T_1)$,જે આપે છે $\sin(\omega T_1) = 1/2 = \sin(\pi/6)$.
તેથી,$\omega T_1 = \pi/6$,એટલે કે $T_1 = \pi/(6\omega)$.
$0$ થી $A$ ના અંતરાલ માટે,લાગતો કુલ સમય $T_1 + T_2$ છે. $x = A$ પર,$A = A \sin(\omega(T_1 + T_2))$,જે આપે છે $\sin(\omega(T_1 + T_2)) = 1 = \sin(\pi/2)$.
તેથી,$\omega(T_1 + T_2) = \pi/2$,એટલે કે $T_1 + T_2 = \pi/(2\omega)$.
$T_1 = \pi/(6\omega)$ મૂકતા,આપણને મળે $T_2 = \pi/(2\omega) - \pi/(6\omega) = (3\pi - \pi)/(6\omega) = 2\pi/(6\omega) = \pi/(3\omega)$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$T_1 = \pi/(6\omega)$ અને $T_2 = \pi/(3\omega)$,તેથી $T_1 < T_2$ સાબિત થાય છે.

(B) પ્રથમ $SHM$ ની કળા $\phi_1 = 10\pi t + \frac{\pi}{3}$ છે.
બીજા $SHM$ ની કળા $\phi_2 = 8\pi t + \frac{\pi}{4}$ છે.
કળા તફાવત $\Delta\phi = \phi_1 - \phi_2 = (10\pi t + \frac{\pi}{3}) - (8\pi t + \frac{\pi}{4})$ છે.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\Delta\phi = 2\pi t + (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = 2\pi t + \frac{\pi}{12}$.
સમીકરણમાં $t = 0.5 \ s$ મૂકતા:
$\Delta\phi = 2\pi(0.5) + \frac{\pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$.

(C) $S.H.M.$ માટે,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $P_1$ માટે: તે $x = +0.5A$ સ્થાન પર છે અને મધ્યમાન સ્થાન તરફ (ઋણ દિશામાં) ગતિ કરે છે. ખૂણો $\theta$ જ્યાં $\sin \theta = 0.5$ થાય તે $\pi/6$ છે. તે પ્રથમ ચરણમાં મધ્યમાન સ્થાન તરફ ગતિ કરતું હોવાથી,તેની કળા $\phi_1 = \pi - \pi/6 = 5\pi/6$ છે.
કણ $P_2$ માટે: તે $x = -0.5A$ સ્થાન પર છે અને મધ્યમાન સ્થાન તરફ (ધન દિશામાં) ગતિ કરે છે. ખૂણો $\theta$ જ્યાં $\sin \theta = -0.5$ થાય તે $-\pi/6$ અથવા $11\pi/6$ છે. તે ત્રીજા ચરણમાં મધ્યમાન સ્થાન તરફ ગતિ કરતું હોવાથી,તેની કળા $\phi_2 = \pi + \pi/6 = 7\pi/6$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = 7\pi/6 - 5\pi/6 = 2\pi/6 = \pi/3$ થાય છે.

(B) $SHM$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
$t = 0$ સમયે,કણ $x = +A/2$ પર છે અને ડાબી તરફ (ઋણ દિશામાં) ગતિ કરે છે.
સમીકરણમાં $t = 0$ મૂકતા: $A/2 = A \sin(\phi)$,જેનો અર્થ છે કે $\sin(\phi) = 1/2$.
આથી $\phi = \pi/6$ અથવા $\phi = 5\pi/6$ મળે.
કણ ડાબી તરફ (ધન બાજુથી મધ્યમાન સ્થાન તરફ) ગતિ કરતો હોવાથી,તેનો વેગ $v = dx/dt = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ એ $t = 0$ સમયે ઋણ હોવો જોઈએ.
$\phi = \pi/6$ માટે,$v = A\omega \cos(\pi/6) > 0$ મળે છે.
$\phi = 5\pi/6$ માટે,$v = A\omega \cos(5\pi/6) < 0$ મળે છે.
તેથી,સાચો કળા અચળાંક $\phi = 5\pi/6$ છે.
આમ,ગતિનું સમીકરણ $x = A \sin \left( \frac{2\pi}{T}t + \frac{5\pi}{6} \right)$ છે.

(B) $SHM$ માં સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ છે.
આપેલ કંપનવિસ્તાર $A = 20 \, cm$ અને આવર્તકાળ $T = 12 \, s$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6} \, rad/s$ છે.
મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ થી $x = 10 \, cm$ સુધી પહોંચવા માટેનો સમય $t_1$ શોધવા માટે:
$10 = 20 \sin(\omega t_1) \Rightarrow \sin(\omega t_1) = \frac{1}{2} \Rightarrow \omega t_1 = \frac{\pi}{6}$.
$t_1 = \frac{\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{6(\pi/6)} = 1 \, s$.
કણ $x = -10 \, cm$ થી $x = +10 \, cm$ સુધી ગતિ કરે છે. કુલ સમય $t = t_1 - (-t_1) = 2t_1$ થશે.
$t = 2 \times 1 = 2 \, s$.

(A) ધારો કે સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
પ્રથમ કણ માટે,મધ્યમાન સ્થાન $O$ થી અંતર $x_1 = \frac{2-\sqrt{3}}{2} A$ છે. તે $+x$ તરફ ગતિ કરતું હોવાથી,મધ્યમાન સ્થાનથી તેનું સ્થાનાંતર $x_1 = A - \frac{2-\sqrt{3}}{2} A = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ થશે.
તે $+x$ તરફ ગતિ કરતું હોવાથી,$\sin(\phi_1) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos(\phi_1) > 0$,તેથી $\phi_1 = \frac{\pi}{3}$.
બીજા કણ માટે,અંતિમ સ્થાન $(-A)$ થી અંતર $\frac{2-\sqrt{3}}{2} A$ છે. તેથી,મધ્યમાન સ્થાનથી તેનું સ્થાનાંતર $x_2 = -A + \frac{2-\sqrt{3}}{2} A = -\frac{\sqrt{3}}{2} A$ થશે.
તે $+x$ તરફ ગતિ કરતું હોવાથી,$\sin(\phi_2) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos(\phi_2) > 0$,તેથી $\phi_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.
કળા તફાવત $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ થાય.
સમતુલ્ય કળા તફાવત $2\pi - \frac{4\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ છે.

(C) આપેલ છે: આવર્તકાળ,$T = 0.5 \ s$. કંપવિસ્તાર,$A = 1 \ cm$.
મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = A/2$ જેટલું સ્થાનાંતર પ્રાપ્ત કરવા માટે,$A/2 = A \sin(\omega t)$,જેનો અર્થ છે કે $\sin(\omega t) = 1/2$.
આમ,$\omega t = \pi/6$. કારણ કે $\omega = 2\pi/T$,તેથી $(2\pi/T) \cdot t = \pi/6$,જે આપણને $t = T/12$ આપે છે.
$T = 0.5 \ s$ મૂકતા,લાગતો સમય $t = 0.5 / 12 \ s$ થાય છે.
સરેરાશ વેગ એ કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{A/2}{T/12} = \frac{1/2}{0.5/12} = \frac{0.5}{0.5/12} = 12 \ cm/s$.

(B) સ્થાનાંતર $y(t) = A \sin (\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\phi = \frac{2\pi}{3}$.
$t = 0$ સમયે,સ્થાનાંતર $y(0) = A \sin(\phi) = A \sin(\frac{2\pi}{3})$ થાય.
કારણ કે $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$,તેથી $y(0) = 0.866 A$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $t = 0$ સમયે,આલેખમાં ધન સ્થાનાંતર આશરે $0.87 A$ જેટલું હોવું જોઈએ. વધુમાં,વેગ $v(t) = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ છે. $t = 0$ સમયે,$v(0) = A\omega \cos(\frac{2\pi}{3}) = A\omega (-0.5) = -0.5 A\omega$ થાય. $t = 0$ સમયે વેગ ઋણ હોવાથી,આલેખનો ઢાળ $t = 0$ સમયે ઘટતો હોવો જોઈએ. આલેખ $B$ એ $t = 0$ સમયે ધન સ્થાનાંતર અને ઋણ ઢાળ દર્શાવે છે,જે આ શરતોને સંતોષે છે.

(A) પ્રથમ કણ માટે,મધ્યમાન સ્થાન $O$ થી સ્થાનાંતર $x_1 = A - \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)A = A - (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})A = \frac{A}{\sqrt{2}}$ છે. તે ધન અંતિમ સ્થાન તરફ ગતિ કરતું હોવાથી,તેની કળા $\phi_1$ એ $x_1 = A \sin(\phi_1)$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\sin(\phi_1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જે $\phi_1 = \frac{\pi}{4}$ આપે છે.
બીજા કણ માટે,મધ્યમાન સ્થાન $O$ થી સ્થાનાંતર $x_2 = -\left[A - \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)A\right] = -\frac{A}{\sqrt{2}}$ છે. તે મધ્યમાન સ્થાન તરફ ગતિ કરતું હોવાથી (ધન દિશામાં ગતિ કરે છે),તેની કળા $\phi_2$ ત્રીજા ચરણમાં છે,તેથી $\phi_2 = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \pi$ છે.

(B) $SHM$ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે. ધારો કે કણ મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂઆત કરે છે,તેથી $x = A \sin(\omega t)$.
આપેલ કંપનવિસ્તાર $A = 4 \, cm$ અને આવર્તકાળ $T = 4 \, s$ છે,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \, rad/s$ થાય.
સ્થાન $x_1 = 2 \, cm$ માટે:
$2 = 4 \sin(\omega t_1) \Rightarrow \sin(\omega t_1) = 1/2 \Rightarrow \omega t_1 = \pi/6$.
સ્થાન $x_2 = 2\sqrt{3} \, cm$ માટે:
$2\sqrt{3} = 4 \sin(\omega t_2) \Rightarrow \sin(\omega t_2) = \sqrt{3}/2 \Rightarrow \omega t_2 = \pi/3$.
લાગતો સમય $\Delta t = t_2 - t_1$ નીચે મુજબ મળે:
$\omega(t_2 - t_1) = \pi/3 - \pi/6 = \pi/6$.
$\omega = \pi/2$ મૂકતા:
$(\pi/2) \Delta t = \pi/6 \Rightarrow \Delta t = \frac{\pi}{6} \times \frac{2}{\pi} = 1/3 \, s$.

(B) $t=0$ સમયે $x=0$ થી શરૂ થતા કણ માટે ગતિનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t)$ છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે,$t = t_1$ સમયે $x = \frac{A}{2}$ છે:
$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t_1) \Rightarrow \sin(\omega t_1) = \frac{1}{2} \Rightarrow \omega t_1 = \frac{\pi}{6}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,$t_1 = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$ મળે.
બીજા અંતરાલ માટે,$x = 0$ થી $x = A$ સુધી પહોંચવા માટેનો કુલ સમય $t_{total} = \frac{T}{4}$ છે.
તેથી,$x = \frac{A}{2}$ થી $x = A$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $t_2 = t_{total} - t_1 = \frac{T}{4} - \frac{T}{12} = \frac{3T - T}{12} = \frac{2T}{12} = \frac{T}{6}$ થાય.
સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{T/12}{T/6} = \frac{6}{12} = 0.5$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
$t = 0$ સમયે,$x = A/2$,તેથી $A/2 = A \sin(\phi)$,જે $\sin(\phi) = 1/2$ આપે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\phi = \pi/6$ અથવા $\phi = 5\pi/6$.
કણનો વેગ $v = dx/dt = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,$v = A\omega \cos(\phi)$.
કણ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરી રહ્યો હોવાથી,$v < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\phi) < 0$.
$\phi = \pi/6$ માટે,$\cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2 > 0$.
$\phi = 5\pi/6$ માટે,$\cos(5\pi/6) = -\sqrt{3}/2 < 0$.
તેથી,સાચો ફેઝ એંગલ $\phi = 5\pi/6$ છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે,મધ્યમાન સ્થાન $(x=0)$ થી શરૂ કરતા,સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 0$ માટે,$\omega t_0 = 0 \implies t_0 = 0$.
$x = \frac{A}{2}$ માટે,$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t_1) \implies \sin(\omega t_1) = \frac{1}{2} \implies \omega t_1 = \frac{\pi}{6} \implies t_1 = \frac{\pi}{6\omega}$.
$x = \frac{A}{\sqrt{2}}$ માટે,$\frac{A}{\sqrt{2}} = A \sin(\omega t_2) \implies \sin(\omega t_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \omega t_2 = \frac{\pi}{4} \implies t_2 = \frac{\pi}{4\omega}$.
$x=0$ થી $x=\frac{A}{2}$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $T_1 = t_1 - t_0 = \frac{\pi}{6\omega}$ છે.
$x=\frac{A}{2}$ થી $x=\frac{A}{\sqrt{2}}$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $T_2 = t_2 - t_1 = \frac{\pi}{4\omega} - \frac{\pi}{6\omega} = \frac{3\pi - 2\pi}{12\omega} = \frac{\pi}{12\omega}$ છે.
$T_1$ અને $T_2$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $T_1 = \frac{\pi}{6\omega} = \frac{2\pi}{12\omega} = 2 \times \frac{\pi}{12\omega} = 2T_2$.
આમ,$T_1 = 2T_2$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = -\frac{A}{2}$ માટે,$-\frac{A}{2} = A \sin(\theta_1) \implies \sin(\theta_1) = -\frac{1}{2}$,તેથી $\theta_1 = -\frac{\pi}{6}$ (અથવા $330^{\circ}$).
$x = +\frac{A}{2}$ માટે,$+\frac{A}{2} = A \sin(\theta_2) \implies \sin(\theta_2) = \frac{1}{2}$,તેથી $\theta_2 = \frac{\pi}{6}$ (અથવા $30^{\circ}$).
ફેઝ તફાવત $\Delta \theta = \theta_2 - \theta_1 = \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{3}$ રેડિયન (જે $60^{\circ}$ ને અનુરૂપ છે).
$\Delta \theta = \omega \Delta t$ હોવાથી,લાગતો સમય $\Delta t = \frac{\Delta \theta}{\omega} = \frac{\pi / 3}{\omega} = \frac{\pi}{3\omega}$ છે.

(A) $SHM$ માં મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા કણ માટે ગતિનું સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $A = 25\, cm$ અને $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{3}$ છે.
મધ્યમાન સ્થાન $(y = 0)$ થી $y = 12.5\, cm$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય શોધવા માટે:
$12.5 = 25 \sin(\frac{2\pi}{3} t)$
$\frac{1}{2} = \sin(\frac{2\pi}{3} t)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} t$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \frac{1}{4} = 0.25\, s$ મળે છે.
કણ $-12.5\, cm$ થી $+12.5\, cm$ સુધી મધ્યમાન સ્થાનમાંથી પસાર થઈને ગતિ કરે છે. તેથી કુલ સમય $2t = 2 \times 0.25 = 0.5\, s$ થાય.

(B) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ $x(t) = x_m \cos(\omega t + \phi)$ છે.
$t = 0$ સમયે,$x = -x_m$,તેથી $-x_m = x_m \cos(\phi)$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\phi) = -1$,તેથી $\phi = \pi$.
સમીકરણ $x(t) = x_m \cos(\omega t + \pi) = -x_m \cos(\omega t)$ બને છે.
આપણે $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે $x = +x_m$ હોય.
તેથી,$x_m = -x_m \cos(\omega t)$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\omega t) = -1$.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\omega t = \pi$ (પ્રથમ વખત).
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $\frac{2\pi}{T} \cdot t = \pi$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \frac{T}{2} = 0.50\, T$ મળે છે.

(B) $S.H.M.$ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = a \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $y = a/2$ છે,તેથી $a/2 = a \sin(\omega t + \phi)$,જેનું સાદું રૂપ $\sin(\omega t + \phi) = 1/2$ થાય છે.
આ સ્થાનાંતરે કણો માટે બે શક્ય કળાઓ $\phi_1 = \pi/6$ અને $\phi_2 = 5\pi/6$ છે.
કારણ કે કણો સમાન સ્થાનાંતરે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,એક કણ $\pi/6$ પર (મધ્યમાન સ્થાનથી દૂર) અને બીજો $5\pi/6$ પર (મધ્યમાન સ્થાન તરફ) છે.
તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta\phi = |5\pi/6 - \pi/6| = 4\pi/6 = 2\pi/3$ રેડિયન છે.

(N/A) આકૃતિ $S.H.M.$ કરતા કણના જુદા જુદા સમયે સ્થાન દર્શાવે છે,જ્યાં દરેક સમયગાળો $\frac{T}{4}$ છે,જેમાં પ્રારંભિક કળા $\phi=0$ અને $T$ એ ગતિનો આવર્તકાળ છે.
આપેલ $S.H.M.$ માટે,જો $A$ કંપવિસ્તાર હોય,તો સમય $t$ પર કણનું સ્થાન કોસાઇન વિધેયની કળા $(\omega t+\phi)$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
$S.H.M.$ નું સામાન્ય સમીકરણ:
$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$
અહીં $\phi = 0$ અને $\omega = \frac{2\pi}{T}$ લેતા,સમીકરણ:
$x(t) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$
હવે,આપણે જુદા જુદા સમયે સ્થાન નક્કી કરી શકીએ છીએ:
$1$. $t = 0$ સમયે: $x(0) = A \cos(0) = +A$
$2$. $t = \frac{T}{4}$ સમયે: $x\left(\frac{T}{4}\right) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{4}\right) = A \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$
$3$. $t = \frac{T}{2}$ સમયે: $x\left(\frac{T}{2}\right) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{2}\right) = A \cos(\pi) = -A$
$4$. $t = \frac{3T}{4}$ સમયે: $x\left(\frac{3T}{4}\right) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{3T}{4}\right) = A \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$
$5$. $t = T$ સમયે: $x(T) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot T\right) = A \cos(2\pi) = +A$

(N/A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણનું સ્થાન સમીકરણ $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $t$ એ સમય છે. પદ $(\omega t + \phi)$ ને સમય $t$ પર ગતિની કળા (phase) કહેવામાં આવે છે. તે તે ક્ષણે દોલકની ગતિની સ્થિતિ (સ્થાન અને દિશા) નક્કી કરે છે.
કળા અચળાંક (પ્રારંભિક કળા): સમય $t = 0$ પર,સરળ આવર્ત દોલકની કળા $\phi$ હોય છે,જેને પ્રારંભિક કળા અથવા કળા અચળાંક કહેવામાં આવે છે.
જો કંપવિસ્તાર $A$ નિશ્ચિત હોય,તો પ્રારંભિક કળા $\phi$ ને $t = 0$ સમયે કણના સ્થાનાંતર પરથી નક્કી કરી શકાય છે:
$x(0) = A \cos(\phi)$
$\therefore \cos \phi = \frac{x(0)}{A}$
$\therefore \phi = \cos^{-1}\left(\frac{x(0)}{A}\right)$
આલેખમાં વિવિધ કળાઓ ધરાવતી $SHM$ દર્શાવતા બે વક્રો છે. વક્ર $3$ એ $\phi = 0$ માટે છે,અને વક્ર $4$ એ $\phi = -\frac{\pi}{4}$ માટે છે. બંને વક્રોનો કંપવિસ્તાર $A$ સમાન છે.

(N/A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. સમય $t$ પર કળા: સાઈન વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ $(\omega t + \phi)$ ને સમય $t$ પરની કળા કહેવામાં આવે છે. તે કોઈપણ ક્ષણે $t$ પર કણની દોલન સ્થિતિ દર્શાવે છે,જે તેનું સ્થાન અને ગતિની દિશા બંને નક્કી કરે છે.
$2$. પ્રારંભિક કળા (Epoch): અચળાંક $\phi$ ને પ્રારંભિક કળા અથવા ઇપોક કહેવામાં આવે છે. તે $t = 0$ સમયે કણની કળા દર્શાવે છે. તે અવલોકનની શરૂઆતમાં કણનું પ્રારંભિક સ્થાન અને ગતિની દિશા નક્કી કરે છે.

(N/A) શરૂઆતની કળા શૂન્ય હોય તેવા સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે,સ્થાનાંતર $x(t) = A \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t)$.
પ્રવેગ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cos(\omega t)$.
આ સમીકરણો દર્શાવે છે કે ત્રણેય ભૌતિક રાશિઓ સમાન આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ સાથે સમયની સાથે આવર્ત રીતે બદલાય છે.
$1$. સ્થાનાંતર $x(t)$ એ $-A$ અને $+A$ ની વચ્ચે બદલાય છે.
$2$. વેગ $v(t)$ એ $-A\omega$ અને $+A\omega$ ની વચ્ચે બદલાય છે.
$3$. પ્રવેગ $a(t)$ એ $-A\omega^2$ અને $+A\omega^2$ ની વચ્ચે બદલાય છે.
કળા સંબંધો:
- વેગ એ સ્થાનાંતર કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલી કળામાં આગળ છે.
- પ્રવેગ એ વેગ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલી કળામાં આગળ છે,અને સ્થાનાંતર કરતા $\pi$ જેટલી કળામાં આગળ છે.