Position of a Particle in SHM, Displacement and Phase Questions in Gujarati

(A) $SHM$ કરતા કણની કોઈપણ સમયે કળા $\theta = \omega t + \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ પ્રારંભિક કળા છે.
એક પૂર્ણ દોલન $2\pi$ રેડિયન જેટલો કળાનો ફેરફાર સૂચવે છે.
$n$ દોલનો પછી,કુલ કળામાં ફેરફાર $2\pi n$ થાય છે.
અહીં દોલનોની સંખ્યા $n = 10$ અને પ્રારંભિક કળા $\phi = \frac{\pi}{4}$ આપેલ છે.
અંતિમ કળા $\theta = 2\pi n + \phi$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\theta = 2\pi(10) + \frac{\pi}{4}$.
$\theta = 20\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{80\pi + \pi}{4} = \frac{81\pi}{4} \text{ rad}$.

(A) મધ્યમાન સ્થિતિથી શરૂ થતા ઓસિલેટર માટે,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેઝ $\theta$ એ $\theta = \omega t = \left(\frac{2\pi}{T}\right)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(a)$ $t = \frac{T}{8}$ માટે,ફેઝ $\theta = \left(\frac{2\pi}{T}\right) \times \left(\frac{T}{8}\right) = \frac{\pi}{4}$ છે. તેથી,$(a-iii)$.
$(b)$ $t = \frac{5T}{8}$ માટે,ફેઝ $\theta = \left(\frac{2\pi}{T}\right) \times \left(\frac{5T}{8}\right) = \frac{5\pi}{4}$ છે. તેથી,$(b-i)$.
આમ,સાચી જોડ $(a-iii, b-i)$ છે.

(N/A) $SHM$ ના સ્થાનાંતર-સમયના આલેખમાં,શૃંગ (crest) અને ગર્ત (trough) મહત્તમ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે,જ્યાં દોલકનો વેગ શૂન્ય હોય છે.
$(i)$ બિંદુઓ $A$,$C$,$E$ અને $G$ પર સ્થાનાંતર તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર છે,તેથી વેગ શૂન્ય છે.
$(ii)$ સરેરાશ સ્થાન (જ્યાં સ્થાનાંતર શૂન્ય છે) પર દોલકની ઝડપ મહત્તમ હોય છે. તેથી,બિંદુઓ $B$,$D$,$F$ અને $H$ પર ઝડપ મહત્તમ છે.

(A) ધારો કે બે લોલકનું કોણીય સ્થાનાંતર નીચે મુજબ છે:
$\theta_1 = \theta_0 \sin(\omega t + \phi_1)$
$\theta_2 = \theta_0 \sin(\omega t + \phi_2)$
જ્યાં $\theta_0$ એ કંપનવિસ્તાર છે. લોલકો સમાન હોવાથી અને સમાન કંપનવિસ્તાર સાથે દોલન કરતા હોવાથી,$\theta_0 = 2^o$.
પ્રથમ લોલક માટે તેના જમણી બાજુના અંતિમ સ્થાને:
$\theta_1 = +\theta_0 = 2^o$
$2^o = 2^o \sin(\omega t + \phi_1) \implies \sin(\omega t + \phi_1) = 1 \implies \omega t + \phi_1 = \pi/2$
બીજા લોલક માટે ડાબી બાજુ $1^o$ ના ખૂણે:
$\theta_2 = -1^o = -\theta_0/2 = -2^o/2$
$-2^o/2 = 2^o \sin(\omega t + \phi_2) \implies \sin(\omega t + \phi_2) = -1/2$
આમ,$\omega t + \phi_2 = -\pi/6$ અથવા $7\pi/6$.
$\omega t + \phi_2 = -\pi/6$ લેતા,કળા તફાવત $\Delta \phi = |(\omega t + \phi_1) - (\omega t + \phi_2)| = |\pi/2 - (-\pi/6)| = |\pi/2 + \pi/6| = |3\pi/6 + \pi/6| = 4\pi/6 = 2\pi/3$.

(A) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x = \frac{A}{2}$,તેથી:
$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t)$
$\sin(\omega t) = \frac{1}{2}$
$\omega t = \frac{\pi}{6}$
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,જ્યાં $T = 2 \ s$ એ આવર્તકાળ છે:
$\frac{2\pi}{T} \cdot t = \frac{\pi}{6}$
$t = \frac{T}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \ s$.
આ સમયને $\frac{1}{a} \ s$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 6$ મળે છે.

(C) સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $Y = A \sin (\omega t + \phi_{0})$ છે.
$t = 0$ સમયે,$Y = A \sin(\phi_{0}) = \frac{A}{2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sin(\phi_{0}) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\phi_{0}$ એ $\frac{\pi}{6}$ અથવા $\frac{5 \pi}{6}$ હોઈ શકે છે.
કણનો વેગ $v = \frac{dY}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi_{0})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,$v = A \omega \cos(\phi_{0})$.
કણ ઋણ દિશામાં ગતિ કરતો હોવાથી,$v < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\phi_{0}) < 0$.
$\phi_{0} = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$.
$\phi_{0} = \frac{5 \pi}{6}$ માટે,$\cos(\frac{5 \pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$.
તેથી,પ્રારંભિક કળા કોણ $\phi_{0} = \frac{5 \pi}{6}$ છે.

(C) સ્થાનાંતર વિધેય $x(t) = A \sin (\omega t + \phi)$ છે.
$t = 0$ સમયે,$x(0) = A \sin \phi = 2 \dots (1)$.
વેગનું વિધેય $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos (\omega t + \phi)$ છે.
$t = 0$ સમયે,$v(0) = A \omega \cos \phi = 2 \omega \implies A \cos \phi = 2 \dots (2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{A \sin \phi}{A \cos \phi} = \frac{2}{2} \implies \tan \phi = 1 \implies \phi = 45^{\circ}$.
સમીકરણ $(1)$ માં $\phi = 45^{\circ}$ મૂકતા:
$A \sin 45^{\circ} = 2 \implies A \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 2 \implies A = 2 \sqrt{2} \, cm$.
$A = 2 \sqrt{2} \, cm$ ની સરખામણી $x \sqrt{2} \, cm$ સાથે કરતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(D) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા સરળ આવર્ત દોલક માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $X = A \sin(\omega t)$ છે.
આપેલ છે કે $t = 3 \; s$ સમયે,સ્થાનાંતર $X = \frac{A}{2}$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{A}{2} = A \sin(3\omega)$.
બંને બાજુ $A$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $\sin(3\omega) = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,તેથી $3\omega = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$\omega = \frac{\pi}{18}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
$\omega$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{2\pi}{T} = \frac{\pi}{18}$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T = 2 \times 18 = 36 \; s$.

(C) અંતિમ સ્થિતિથી શરૂ થતા $SHM$ માં કણ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \cos(\omega t)$ છે.
આપેલ કંપવિસ્તાર $A = 8 \,cm$ અને આવર્તકાળ $T = 6 \,s$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \,rad/s$ છે.
આપણે $x = \frac{A}{2} = 4 \,cm$ સુધી પહોંચવા માટેનો સમય $t$ શોધવો છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{A}{2} = A \cos(\omega t) \implies \cos(\omega t) = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega t = \frac{\pi}{3}$.
$\omega = \frac{\pi}{3}$ મૂકતા,આપણને $\frac{\pi}{3} t = \frac{\pi}{3}$ મળે છે,જે $t = 1 \,s$ આપે છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિમાં,કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = x_0 \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ $v = \frac{dx}{dt} = x_0 \omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
કણને $(x, x + dx)$ અંતરાલમાં શોધવાની સંભાવના $P(x) dx$ એ તે અંતરાલમાં વિતાવેલા સમય $dt$ ના પ્રમાણમાં હોય છે,જે $P(x) \propto \frac{dt}{dx} = \frac{1}{|v|}$ છે.
કારણ કે $v = \omega \sqrt{x_0^2 - x^2}$,તેથી $P(x) \propto \frac{1}{\sqrt{x_0^2 - x^2}}$.
આ વિધેય મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ પર ન્યૂનતમ છે અને અંતિમ સ્થાનો $(x = \pm x_0)$ પર અનંત તરફ જાય છે.
આલેખ $D$ દર્શાવે છે કે ઘટનાઓની સંખ્યા (જે સંભાવના ઘનતાના પ્રમાણમાં છે) કેન્દ્રમાં સૌથી ઓછી છે અને અંતિમ સ્થાનો તરફ વધે છે,જે $P(x) \propto \frac{1}{\sqrt{x_0^2 - x^2}}$ વિધેયના વર્તન સાથે મેળ ખાય છે.

(D) કણ મધ્યમાન સ્થાનથી ગતિ શરૂ કરે છે.
$\frac{5}{8}$ દોલન એટલે કે તે $\frac{1}{2}$ દોલન પૂર્ણ કરે છે જેમાં $\frac{T}{2}$ સમય લાગે છે.
હવે તેણે વધારાનું $\frac{1}{8}$ દોલન પૂર્ણ કરવાનું છે.
મધ્યમાન સ્થાનથી $\frac{1}{8}$ દોલન માટે લાગતો સમય $\Delta t$ શોધવા માટે,$x = A \sin(\omega t)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\Delta t = \frac{T}{12}$ મળે છે.
કુલ સમય $= \frac{T}{2} + \frac{T}{12} = \frac{6T + T}{12} = \frac{7T}{12}$.

(D) $S.H.M.$ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
$x = +A/2$ માટે,$A/2 = A \sin(\omega t + \phi)$,જેનો અર્થ છે કે $\sin(\omega t + \phi) = 1/2$.
કળા કોણ $\theta = \omega t + \phi$ માટે શક્ય મૂલ્યો $30^{\circ}$ (અથવા $\pi/6$ રેડિયન) અને $150^{\circ}$ (અથવા $5\pi/6$ રેડિયન) છે.
$30^{\circ}$ પર,કણ ધન દિશામાં ગતિ કરે છે (વેગ $v = A\omega \cos(30^{\circ}) > 0$).
$150^{\circ}$ પર,કણ ઋણ દિશામાં ગતિ કરે છે (વેગ $v = A\omega \cos(150^{\circ}) < 0$).
કણો $x = +A/2$ પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા મળે છે,તેથી એકની કળા $30^{\circ}$ અને બીજાની $150^{\circ}$ હોવી જોઈએ.
કળા તફાવત $|150^{\circ} - 30^{\circ}| = 120^{\circ}$ છે.
રેડિયનમાં ફેરવતા,$120^{\circ} = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$ રેડિયન.

(D) પ્રથમ કણની કળા $\theta_1 = \frac{\pi}{2} t + \phi$ છે.
$t = 1 \, s$ સમયે,$\theta_1 = \frac{\pi}{2}(1) + \phi = \frac{\pi}{2} + \phi$ થાય.
બીજા કણની કળા $\theta_2 = \frac{2 \pi}{3} t + \phi$ છે.
$t = 1 \, s$ સમયે,$\theta_2 = \frac{2 \pi}{3}(1) + \phi = \frac{2 \pi}{3} + \phi$ થાય.
કળા તફાવત $\Delta \theta = |\theta_2 - \theta_1|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta \theta = |(\frac{2 \pi}{3} + \phi) - (\frac{\pi}{2} + \phi)| = |\frac{2 \pi}{3} - \frac{\pi}{2}| = |\frac{4 \pi - 3 \pi}{6}| = \frac{\pi}{6}$.

(C) આવર્તકાળ $T = 8 \,s$ છે. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \,rad/s$ છે.
કણ મધ્યમાન સ્થાનેથી શરૂઆત કરતો હોવાથી,સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t)$ છે.
પ્રથમ સેકન્ડમાં ($t=0$ થી $t=1$) કાપેલું અંતર: $d_1 = x(1) - x(0) = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 1) - 0 = A \frac{1}{\sqrt{2}}$.
બીજી સેકન્ડમાં ($t=1$ થી $t=2$) કાપેલું અંતર: $d_2 = x(2) - x(1) = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 2) - A \sin(\frac{\pi}{4} \times 1) = A \sin(\frac{\pi}{2}) - A \frac{1}{\sqrt{2}} = A(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{A/\sqrt{2}}{A(1 - 1/\sqrt{2})} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}+1$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $x = 0$ થી $x = A/2$ સુધી $t_1 = 2 \, s$ સમયમાં જાય છે:
$A/2 = A \sin(\omega t_1) \implies \sin(\omega t_1) = 1/2 \implies \omega t_1 = \pi/6$.
આમ,$\omega(2) = \pi/6 \implies \omega = \pi/12 \, rad/s$.
કણ $x = A/2$ થી $x = A$ સુધી $t_2$ સમયમાં જાય છે:
$x = A/2$ પર,કળા $\phi_1 = \pi/6$ છે.
$x = A$ પર,કળા $\phi_2 = \pi/2$ છે.
કળાનો તફાવત $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \pi/2 - \pi/6 = \pi/3$ છે.
કારણ કે $\Delta \phi = \omega t_2$,તેથી $\pi/3 = (\pi/12) t_2$.
$t_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t_2 = (\pi/3) \times (12/\pi) = 4 \, s$ મળે છે.

(A) સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t + \delta)$ છે.
$t = 0$ સમયે,સ્થાન $x = \frac{A}{2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{A}{2} = A \sin(\omega(0) + \delta) \Rightarrow \sin \delta = \frac{1}{2}$.
આનાથી $[0, 2\pi)$ અંતરાલમાં $\delta$ માટે બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $\delta = \frac{\pi}{6}$ અથવા $\delta = \frac{5\pi}{6}$.
કણનો વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \delta)$ છે.
$t = 0$ સમયે,$v(0) = A\omega \cos \delta$.
કણ ધન $x$-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરતો હોવાથી,વેગ ધન $(v > 0)$ હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\cos \delta > 0$.
$\delta = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ (માન્ય).
$\delta = \frac{5\pi}{6}$ માટે,$\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ (અમાન્ય).
તેથી,સાચું મૂલ્ય $\delta = \frac{\pi}{6}$ છે.

(A) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા સ્થાનાંતર માટેનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t)$ છે.
આપેલ છે કે $T = 6 \pi \text{ s}$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{6 \pi} = \frac{1}{3} \text{ rad/s}$ થાય.
$x = A$ પર,કણ અંતિમ સ્થાન પર છે. $x=A$ થી મધ્યમાન સ્થાન $(x=0)$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $T/4 = (6 \pi)/4 = 1.5 \pi \text{ s}$ છે.
જોકે,પ્રશ્નમાં $x=A$ થી $x=\frac{\sqrt{3}}{2} A$ સુધી જવા માટેનો સમય પૂછવામાં આવ્યો છે.
ફેઝર ડાયાગ્રામનો ઉપયોગ કરતા,સ્થાન $x = A \sin(\theta)$ એ ઉર્ધ્વ અક્ષ પરના પ્રક્ષેપણને અનુરૂપ છે.
$x = A$ પર,ફેઝ એંગલ $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$ છે.
$x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ પર,$\sin(\theta_2) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\theta_2 = \frac{\pi}{3}$ થાય.
ફેઝમાં થતો ફેરફાર $\Delta \theta = \theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ છે.
કારણ કે $\Delta \theta = \omega \Delta t$,તેથી $\frac{\pi}{6} = \frac{1}{3} \Delta t$ મળે.
આથી,$\Delta t = \frac{3 \pi}{6} = \frac{\pi}{2} \text{ s}$ થાય.
આને $\frac{\pi}{x} \text{ s}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(C) કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તે અંતિમ સ્થાન (extreme position) થી શરૂ થાય છે. સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \cos(\omega t)$ છે.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x = \frac{A}{2}$,તેથી $\frac{A}{2} = A \cos(\omega t)$.
આ સમીકરણ $\cos(\omega t) = \frac{1}{2}$ માં પરિણમે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\omega t = \frac{\pi}{3}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા,$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.
$T = 24 \ sec$ આપેલ હોવાથી,$\frac{2\pi}{24} t = \frac{\pi}{3}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $\frac{\pi}{12} t = \frac{\pi}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $t = \frac{12}{3} = 4 \ sec$.

(D) $\text{SHM}$ માં કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\phi$ એ કળા છે.
પ્રારંભિક કળા $\phi_1 = \frac{\pi}{6}$ માટે,સ્થાન $x_1 = A \sin(\frac{\pi}{6}) = A \times \frac{1}{2} = \frac{A}{2}$ છે.
અંતિમ કળા $\phi_2 = \frac{5\pi}{6}$ માટે,સ્થાન $x_2 = A \sin(\frac{5\pi}{6}) = A \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = A \sin(\frac{\pi}{6}) = A \times \frac{1}{2} = \frac{A}{2}$ છે.
કણ $x_1 = \frac{A}{2}$ થી અંતિમ સ્થાન $x = A$ સુધી જાય છે અને ત્યારબાદ પાછો $x_2 = \frac{A}{2}$ પર આવે છે,તેથી કપાયેલું કુલ અંતર આ બે ભાગોમાં કાપેલા અંતરનો સરવાળો છે.
અંતર = $(A - \frac{A}{2}) + (A - \frac{A}{2}) = \frac{A}{2} + \frac{A}{2} = A$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિમાં મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા કણના સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t)$ છે.
આપેલ છે: $T = 8 \ s$,તેથી $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \ rad/s$. કંપવિસ્તાર $A = 4\sqrt{2} \ m$.
તેથી,$x(t) = 4\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} t)$.
પ્રથમ સેકન્ડમાં ($t=0$ થી $t=1$) કાપેલ અંતર: $x(1) = 4\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4}) = 4\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \ m$.
બીજી સેકન્ડમાં ($t=1$ થી $t=2$) કાપેલ અંતર: $x(2) = 4\sqrt{2} \sin(\frac{2\pi}{4}) = 4\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = 4\sqrt{2} \times 1 = 4\sqrt{2} \ m$.
બીજી સેકન્ડમાં કાપેલ અંતર $d_2 = x(2) - x(1) = 4\sqrt{2} - 4 = 4(\sqrt{2} - 1) \ m$.
પ્રથમ સેકન્ડ અને બીજી સેકન્ડમાં કાપેલ અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{4(\sqrt{2} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ થાય.

(C) $S.H.M.$ નો આવર્તકાળ $T = 16 \ s$ આપેલ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{16} = \frac{\pi}{8} \ rad/s$ થાય.
કોઈપણ સમયે $t$ માટે કળા $\phi = \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t_1 = 2 \ s$ સમયે કળા $\phi_1 = \omega t_1 = \frac{\pi}{8} \times 2 = \frac{\pi}{4}$ થાય.
$t_2 = 4 \ s$ સમયે કળા $\phi_2 = \omega t_2 = \frac{\pi}{8} \times 4 = \frac{\pi}{2}$ થાય.
કળા તફાવત $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ થાય.

(A) સરેરાશ સ્થાનથી શરૂ થતા $S.H.M.$ માં કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega = 2\pi/T$ છે. આપેલ છે કે $T = 8 \ s$,તેથી $\omega = 2\pi/8 = \pi/4 \ rad/s$ થાય.
$t=0$ સમયે,$x(0) = 0$.
$t=1 \ s$ સમયે,$x(1) = A \sin(\pi/4 \times 1) = A/\sqrt{2}$. પ્રથમ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $d_1 = |x(1) - x(0)| = A/\sqrt{2}$.
$t=2 \ s$ સમયે,$x(2) = A \sin(\pi/4 \times 2) = A \sin(\pi/2) = A$. બીજી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $d_2 = |x(2) - x(1)| = |A - A/\sqrt{2}| = A(1 - 1/\sqrt{2}) = A(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}$.
ગુણોત્તર $d_1/d_2 = (A/\sqrt{2}) / [A(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}] = 1/(\sqrt{2}-1)$.

(C) કણ $A$ ને બે દોલનો પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $t = 2T$ છે.
કણ $A$ માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_A = \frac{2\pi}{T}$ છે.
સમય $t = 2T$ પર કણ $A$ ની કળા $\phi_A = \omega_A t = \left(\frac{2\pi}{T}\right)(2T) = 4\pi$ છે.
કણ $B$ માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_B = \frac{2\pi}{(3T/2)} = \frac{4\pi}{3T}$ છે.
સમય $t = 2T$ પર કણ $B$ ની કળા $\phi_B = \omega_B t = \left(\frac{4\pi}{3T}\right)(2T) = \frac{8\pi}{3}$ છે.
તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta\phi = |\phi_A - \phi_B| = |4\pi - \frac{8\pi}{3}| = |\frac{12\pi - 8\pi}{3}| = \frac{4\pi}{3}$ થાય.

(D) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા કણો માટે ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$X_A = A_1 \sin(\omega_A t) = A_1 \sin(\frac{2\pi}{T} t)$
$X_B = A_2 \sin(\omega_B t) = A_2 \sin(\frac{2\pi}{3T/2} t) = A_2 \sin(\frac{4\pi}{3T} t)$
કણ '$A$' ની કળા $\phi_A = \frac{2\pi}{T} t$ છે અને કણ '$B$' ની કળા $\phi_B = \frac{4\pi}{3T} t$ છે.
જ્યારે કણ '$A$' એક દોલન પૂર્ણ કરે,ત્યારે લાગતો સમય $t = T$ છે.
$t = T$ સમયે,કણ '$A$' ની કળા $\phi_A = \frac{2\pi}{T} \times T = 2\pi$ થાય.
$t = T$ સમયે,કણ '$B$' ની કળા $\phi_B = \frac{4\pi}{3T} \times T = \frac{4\pi}{3}$ થાય.
કળા તફાવત $\Delta \phi = |\phi_A - \phi_B| = |2\pi - \frac{4\pi}{3}| = \frac{2\pi}{3}$.

(D) ધન અંતિમ સ્થાન $(x = +A)$ થી શરૂ થતા કણ માટે,સ્થાનાંતરનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$x = A \cos(\omega t)$
આપેલ છે: $A = 6 \ cm$,$T = 3 \ s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{3} \ rad/s$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે કણ ધન અંતિમ સ્થાનથી $3 \ cm$ અંતર કાપે છે. આનો અર્થ એ છે કે નવું સ્થાન $x = A - 3 = 6 - 3 = 3 \ cm$ છે.
સ્થાનાંતરના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$3 = 6 \cos(\omega t)$
$\cos(\omega t) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
કારણ કે $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\omega t = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \ rad$
$\omega = \frac{2\pi}{3}$ મૂકતા:
$(\frac{2\pi}{3}) t = \frac{\pi}{3}$
$t = \frac{\pi}{3} \times \frac{3}{2\pi} = 0.5 \ s$
તેથી,જરૂરી સમય $0.5 \ s$ છે.

(B) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ કરીને સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega = \frac{2\pi}{T}$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે સ્થાનાંતર $x = \frac{A}{2}$ હોય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{A}{2} = A \sin(\omega t)$.
આથી $\sin(\omega t) = \frac{1}{2}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$,તેથી $\omega t = \frac{\pi}{6}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા,$\left(\frac{2\pi}{T}\right) t = \frac{\pi}{6}$ મળે.
$t$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$t = \frac{T}{12}$ મળે છે.

(A) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ છે.
આપેલ છે કે,આવર્તકાળ $T = 3 \ s$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{3} \ rad/s$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે સ્થાનાંતર $y = \frac{A}{2}$ હોય.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{A}{2} = A \sin\left(\frac{2\pi}{3} t\right)$.
$\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{2\pi}{3} t\right)$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3} t\right)$.
ખૂણાઓને સરખાવતા: $\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{\pi}{6} \times \frac{3}{2\pi} = \frac{3}{12} = 0.25 \ s = \frac{1}{4} \ s$.

(D) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે કણનું સ્થાનાંતર સમીકરણ $y = a \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega = \frac{2\pi}{T}$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે સ્થાનાંતર $y = \frac{a}{2}$ હોય.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{a}{2} = a \sin(\frac{2\pi}{T} t)$.
બંને બાજુ $a$ વડે ભાગતા,આપણને $\sin(\frac{2\pi}{T} t) = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{\pi}{6} \times \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$.

(D) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
આપેલ છે કે $T = 4 \,s$,તેથી $\omega = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \,rad/s$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવાનો છે જ્યારે સ્થાનાંતર $y = \frac{A}{2}$ હોય.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{A}{2} = A \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right)$
$\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,તેથી ખૂણાઓને સરખાવતા:
$\frac{\pi}{2} t = \frac{\pi}{6}$
$t = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \,s$.
આમ,લાગતો સમય $\frac{1}{3} \,s$ છે.

(B) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કંપવિસ્તાર $A = 0.2 \,m$,આવર્તકાળ $T = 24 \,s$,અને સ્થાનાંતર $x = 0.1 \,m$ આપેલ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12} \,rad/s$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.1 = 0.2 \sin(\frac{\pi}{12} t)$
$\frac{0.1}{0.2} = \sin(\frac{\pi}{12} t)$
$\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{12} t)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\frac{\pi}{12} t = \frac{\pi}{6}$
$t = \frac{12}{6} = 2 \,s$.
આમ,જરૂરી સમય $2 \,s$ છે.

(B) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = a \sin(\omega t)$ છે, જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
અહીં કણ મધ્યમાન સ્થાન $(y = 0)$ થી કંપવિસ્તારના અડધા $(y = a/2)$ સુધી જાય છે, તેથી:
$\frac{a}{2} = a \sin\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$
$\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\pi/6) = 1/2$, તેથી:
$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$
$t$ માટે ઉકેલતા:
$t = \frac{T}{12}$
આપેલ આવર્તકાળ $T = 6 \,s$ હોવાથી:
$t = \frac{6}{12} = 0.5 \,s = \frac{1}{2} \,s$.

(A) સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાનાંતર મહત્તમ થવા માટે,સાઈન વિધેયનું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ (ધારો કે $A > 0$).
તેથી,$\sin(\omega t + \theta) = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\pi/2) = 1$,તેથી $\omega t + \theta = \pi/2$.
$t$ માટે ઉકેલતા:
$\omega t = \frac{\pi}{2} - \theta$
$t = \frac{\pi}{2\omega} - \frac{\theta}{\omega}$.
આમ,ન્યૂનતમ સમય જ્યારે સ્થાનાંતર મહત્તમ થાય છે તે $\left[\frac{\pi}{2\omega} - \frac{\theta}{\omega}\right]$ છે.

(C) $SHM$ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = A \sin (2t + \phi)$ છે.
વેગ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dy}{dt} = 2A \cos (2t + \phi)$.
$t = 0$ સમયે,$y = 2 \ m$ અને $v = 4 \ ms^{-1}$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$2 = A \sin (0 + \phi) \implies A \sin \phi = 2 \quad (i)$
$4 = 2A \cos (0 + \phi) \implies A \cos \phi = 2 \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{A \sin \phi}{A \cos \phi} = \frac{2}{2}$
$\tan \phi = 1$
$\phi = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(D) મધ્યમાન સ્થાનેથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે કણનું સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\omega = \frac{\pi}{4} \text{ rad s}^{-1}$ આપેલ છે.
$t = 1 \text{ s}$ સમયે સ્થાનાંતર $y_1 = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 1) = A \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે સ્થાનાંતર $y_2 = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 2) = A \sin(\frac{\pi}{2}) = A$.
પ્રથમ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $d_1 = y_1 = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
બીજી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $d_2 = y_2 - y_1 = A - \frac{A}{\sqrt{2}} = A(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{A/\sqrt{2}}{A(1 - 1/\sqrt{2})} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$.
આમ,ગુણોત્તર $(\sqrt{2}+1): 1$ છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતું ગતિનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
$x = 0$ પર,સમય $t_0 = 0$ છે.
$x = A/2$ પર,$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t_1)$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sin(\omega t_1) = 1/2$. તેથી,$\omega t_1 = \pi/6$,એટલે કે $t_1 = \frac{T}{12}$.
તેથી,$T_1 = t_1 - t_0 = \frac{T}{12}$.
$x = A$ પર,$A = A \sin(\omega t_2)$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sin(\omega t_2) = 1$. તેથી,$\omega t_2 = \pi/2$,એટલે કે $t_2 = \frac{T}{4}$.
તેથી,$T_2 = t_2 - t_1 = \frac{T}{4} - \frac{T}{12} = \frac{3T - T}{12} = \frac{2T}{12} = \frac{T}{6}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$T_1 = \frac{T}{12}$ અને $T_2 = \frac{T}{6}$ મળે છે.
આમ,$\frac{T}{12} < \frac{T}{6}$ હોવાથી,$T_1 < T_2$ સાચું છે.

(A) $SHM$ માં,એક સંપૂર્ણ દોલન $4A$ જેટલા પથ લંબાઈને અનુરૂપ છે (જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે). આપણે પથને $8$ સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીએ છીએ,જેમાંથી દરેકની લંબાઈ $A/2$ છે. આ વિભાગોને કાપવા માટે લાગતો સમય આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
અંતિમ સ્થાનથી દોલનના $\frac{3}{8}$ ભાગના સ્થાનાંતર માટે,કણ $x = A$ થી $x = 0$ સુધી મુસાફરી કરે છે (જે દોલનનો $1/4$ ભાગ છે) અને પછી બીજા $1/8$ દોલન માટે આગળ વધે છે.
લાગતો સમય $T/4 + T/12 = T/3$ છે.
આપેલ છે કે આ સમય $x$ છે,તેથી $T/3 = x$,જેનો અર્થ છે કે $T = 3x$.
હવે,મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ થી દોલનના $\frac{5}{8}$ ભાગ માટે,કણ પથના $1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 5/8$ ભાગની મુસાફરી કરે છે.
લાગતો સમય $T/12 + T/12 + T/12 + T/12 + T/12 = 5T/12$ છે.
$T = 3x$ મૂકતા,સમય $5(3x)/12 = 15x/12 = 5x/4$ મળે છે.

(C) કણ માટે અંતિમ સ્થાન $(x=A)$ થી કંપવિસ્તારના અડધા $(x=A/2)$ સુધી જવા માટે:
$x = A \cos(\omega t_1) \implies A/2 = A \cos(\omega t_1) \implies \cos(\omega t_1) = 1/2$.
આથી,$\omega t_1 = \pi/3$,જે $t_1 = \pi / (3\omega)$ આપે છે.
કણ માટે મધ્યમાન સ્થાન $(x=0)$ થી કંપવિસ્તારના અડધા $(x=A/2)$ સુધી જવા માટે:
$x = A \sin(\omega t_2) \implies A/2 = A \sin(\omega t_2) \implies \sin(\omega t_2) = 1/2$.
આથી,$\omega t_2 = \pi/6$,જે $t_2 = \pi / (6\omega)$ આપે છે.
બંને સમયની સરખામણી કરતા: $t_1 / t_2 = (\pi / 3\omega) / (\pi / 6\omega) = 6/3 = 2$.
તેથી,$t_1 = 2 t_2$.

(C) અંતિમ સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = A \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
ધારો કે $t=1, 2, 3$ સેકન્ડના સમયે સ્થાનાંતર અનુક્રમે $a, b, c$ છે.
$a = A \cos(\omega)$
$b = A \cos(2\omega)$
$c = A \cos(3\omega)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(3\theta) + \cos(\theta) = 2 \cos(2\theta) \cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a + c = A \cos(\omega) + A \cos(3\omega) = A [\cos(\omega) + \cos(3\omega)]$
$a + c = A [2 \cos(2\omega) \cos(\omega)]$
કારણ કે $b = A \cos(2\omega)$,આપણે લખી શકીએ:
$a + c = 2b \cos(\omega)$
$\cos(\omega) = \frac{a+c}{2b}$
$\omega = \cos^{-1}\left[\frac{a+c}{2b}\right]$
કારણ કે $\omega = 2\pi f$,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે:
$f = \frac{1}{2\pi} \cos^{-1}\left[\frac{a+c}{2b}\right]$.

(B) આપેલ છે: સાદા આવર્ત દોલકની આવૃત્તિ $f = 1 \ Hz$ અને કળા $\theta = 1 \ \text{રેડિયન}$.
સાદા આવર્ત દોલકની કળા $\theta = \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $t$ એ સમય છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 1 = 2 \pi \ \text{rad/s}$ છે.
કળાને શૂન્ય કરવા માટે,આપણે સમયના ઉગમબિંદુને $\Delta t$ જેટલું ખસેડવું પડશે જેથી નવી કળા શૂન્ય થાય.
$\theta = \omega \Delta t$ લેતા,$1 = (2 \pi) \Delta t$ મળે છે.
તેથી,$\Delta t = \frac{1}{2 \pi} \ s$.
આપણે હાલની કળાને દૂર કરવા માટે ઉગમબિંદુને પાછળની તરફ ખસેડવું પડે,તેથી આ સ્થાનાંતર $-\frac{1}{2 \pi} \ s$ હોવું જોઈએ.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ માટે આપેલા સમીકરણો છે:
$x_{1}=A \sin \left(\omega t+\frac{\pi}{6}\right)$
$x_{2}=A \cos (\omega t)$
કળા તફાવત શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોને સમાન ત્રિકોણમિતીય વિધેય (સાઇન) માં દર્શાવવા પડશે.
નિત્યસમ $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x_{2}$ ને આ રીતે લખી શકીએ:
$x_{2}=A \sin \left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)$
હવે,પ્રથમ ગતિની કળા $\phi_{1} = \omega t + \frac{\pi}{6}$ છે અને બીજી ગતિની કળા $\phi_{2} = \omega t + \frac{\pi}{2}$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta \phi = \phi_{2} - \phi_{1}$
$\Delta \phi = \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$
$\Delta \phi = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
તેથી,કળા તફાવત $\frac{\pi}{3}$ છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \cos(\omega t)$ છે,જ્યાં $A$ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ કોણીય આવૃત્તિ છે.
શરૂઆતની સ્થિતિ $x = A$ પર,આપણી પાસે $A = A \cos(\omega t_1)$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\omega t_1) = 1$,તેથી $t_1 = 0$.
સ્થિતિ $x = A/\sqrt{2}$ પર,આપણી પાસે $A/\sqrt{2} = A \cos(\omega t_2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\cos(\omega t_2) = 1/\sqrt{2}$ થાય છે.
આના પરથી $\omega t_2 = \pi/4$ મળે છે.
આપેલ છે કે આવર્તકાળ $T = 5 \text{ sec}$ છે,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi/T = 2\pi/5 \text{ rad/sec}$ થાય.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $(2\pi/5) t_2 = \pi/4$ મળે છે.
$t_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t_2 = (5 \times \pi) / (4 \times 2\pi) = 5/8 \text{ sec}$ મળે છે.
$x = A$ થી $x = A/\sqrt{2}$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $\Delta t = t_2 - t_1 = 5/8 - 0 = 5/8 \text{ sec}$ છે.