Energy of Simple Harmonic Motion Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $U$ એ સ્થિતિ ઉર્જા છે અને $K$ એ $SHM$ માં રહેલા પદાર્થની ગતિ ઉર્જા છે.
આપેલ છે કે $U = 3K$.
$SHM$ માં સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
આ કિંમતોને આપેલ શરતમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} k x^2 = 3 \times \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$
$x^2 = 3(A^2 - x^2)$
$x^2 = 3A^2 - 3x^2$
$4x^2 = 3A^2$
$x^2 = \frac{3}{4} A^2$
$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} A$

(A) $SHM$ માં પુનઃસ્થાપક બળ $F = kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x = 1$ એકમ હોય ત્યારે બળ $F = b$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $b = k(1)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = b$.
$SHM$ કરતા પદાર્થની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(KE_{max})$ નું સૂત્ર $KE_{max} = \frac{1}{2} k a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
સૂત્રમાં $k = b$ મૂકતા,આપણને $KE_{max} = \frac{1}{2} b a^2$ મળે છે.

(A) $SHM$ કરતા પદાર્થ માટે મહત્તમ પુનઃસ્થાપક બળ $F = kA$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે,$\alpha = kA$ --- $(1)$
$SHM$ કરતા પદાર્થની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2}kA^2$ છે.
આપેલ છે કે,$\beta = \frac{1}{2}kA^2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\frac{1}{2}kA^2}{kA}$
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{A}{2}$
તેથી,કંપવિસ્તાર $A$ થશે:
$A = \frac{2\beta}{\alpha}$

(C) $SHM$ કરતા પદાર્થની ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
અહીં $E \propto A^2$ હોવાથી,જો કંપવિસ્તાર $A$ ને બમણો $(A' = 2A)$ કરવામાં આવે,તો નવી ઉર્જા $E'$ નીચે મુજબ થશે:
$E' = \frac{1}{2} k (2A)^2 = 4 \times (\frac{1}{2} k A^2) = 4E$.
તેથી,ઉર્જા મૂળ ઉર્જા કરતાં ચાર ગણી થશે.

(A) આપેલ છે કે,કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{5} \ cm$.
ધારો કે સ્થાનાંતર $x$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ અને સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$.
ગુણોત્તર $\frac{K}{U} = 4$ આપેલ છે.
સૂત્રો મૂકતા,$\frac{\frac{1}{2} k(A^2 - x^2)}{\frac{1}{2} k x^2} = 4$.
$\frac{A^2 - x^2}{x^2} = 4$.
$A^2 - x^2 = 4x^2$.
$A^2 = 5x^2$.
$x^2 = \frac{A^2}{5}$.
અહીં $A = \sqrt{5} \ cm$ હોવાથી,$A^2 = 5 \ cm^2$.
$x^2 = \frac{5}{5} = 1 \ cm^2$.
તેથી,$x = \pm 1 \ cm$.

(A) $Simple \text{ } Harmonic \text{ } Oscillator$ ની કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2}kA^2$ છે.
સ્થાનાંતર $y$ પર સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2}ky^2$ છે.
ગતિઊર્જા $K = E - U = \frac{1}{2}k(A^2 - y^2)$ છે.
$(a)$ $y = \frac{A}{\sqrt{2}}$ માટે:
$K = \frac{1}{2}k(A^2 - \frac{A^2}{2}) = \frac{1}{2}k(\frac{A^2}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}kA^2) = \frac{E}{2}$. તેથી, $(a) - (iii)$.
$(b)$ $y = \frac{\sqrt{3}A}{2}$ માટે:
$K = \frac{1}{2}k(A^2 - \frac{3A^2}{4}) = \frac{1}{2}k(\frac{A^2}{4}) = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}kA^2) = \frac{E}{4}$. તેથી, $(b) - (ii)$.
આમ, સાચી જોડ $(a-iii, b-ii)$ છે.

$(A)$ $SHO$ કરતા પદાર્થ માટે, કુલ ઊર્જા $(E)$ એ ગતિઊર્જા $(K)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નો સરવાળો છે:
$E = K + U$
અહીં $E = 100\,J$ આપેલ છે.
$(a)$ માટે, $K = 10\,J$:
$U = E - K = 100\,J - 10\,J = 90\,J$.
આ $(ii)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(b)$ માટે, $K = 60\,J$:
$U = E - K = 100\,J - 60\,J = 40\,J$.
આ $(i)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી, સાચી જોડ $(a-ii, b-i)$ છે.

(A) સરળ આવર્ત દોલક માટે,સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ સ્થાનાંતર છે. આ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતું ઉપરની તરફ ખુલતું પરવલય દર્શાવે છે.
ગતિ ઉર્જા $(KE)$ $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે. આ ઉલટું પરવલય દર્શાવે છે.
કુલ ઉર્જા $(E)$ એ $PE$ અને $KE$ નો સરવાળો છે,જે $E = U + K = \frac{1}{2} k A^2$ છે. આ સ્થાનાંતર $x$ થી સ્વતંત્ર રીતે અચળ રહે છે.
x-અક્ષ પર સ્થાનાંતર $x$ અને y-અક્ષ પર ઉર્જા ધરાવતા આલેખ પર:
$1$. $PE$ વક્ર એ પરવલય $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે.
$2$. $KE$ વક્ર એ ઉલટું પરવલય $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ છે.
$3$. કુલ ઉર્જા $E$ એ $y = \frac{1}{2} k A^2$ પર એક આડી સીધી રેખા છે.

(B) ધારો કે દોલકનો કંપવિસ્તાર $A$ છે અને સમય $t$ પર સ્થાનાંતર $x$ છે.
સરળ આવર્ત દોલકની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાનાંતર $x$ પર સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જા એ મહત્તમ ઉર્જા કરતા અડધી છે,તેથી $U = \frac{1}{2} E$.
$U$ અને $E$ ના સૂત્રો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^{2})$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$x^{2} = \frac{A^{2}}{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
$\pm$ ચિહ્ન સૂચવે છે કે દોલક સરેરાશ સ્થાનની બંને બાજુએ આ સ્થાનાંતર પર હોઈ શકે છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} m \omega^{2}(A^{2} - x^{2})$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}$ છે.
$KE = PE$ લેતા:
$\frac{1}{2} m \omega^{2}(A^{2} - x^{2}) = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{1}{2} m \omega^{2}$ ને દૂર કરતા:
$A^{2} - x^{2} = x^{2}$.
પદોને ગોઠવતા:
$2x^{2} = A^{2}$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x^{2} = \frac{A^{2}}{2}$.
તેથી,$x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $U = \frac{1}{4} k A^2 (1 - \cos(2\omega t))$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે સ્થિતિ ઊર્જા $U$ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે અને સ્થાનાંતર કરતા બમણી આવૃત્તિ સાથે બદલાય છે.
$t = 0$ સમયે,$x = 0$,તેથી $U = 0$.
અંતિમ સ્થાનો પર,$x = \pm A$,તેથી $U$ મહત્તમ હોય છે.
વિકલ્પો જોતા,આકૃતિ $D$ એવો આલેખ દર્શાવે છે જ્યાં $t = 0$ સમયે $U$ શૂન્ય છે,અંતિમ સ્થાનો પર મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને તેની આવૃત્તિ સ્થાનાંતરના આલેખ કરતા બમણી છે. આમ,આકૃતિ $D$ સાચી રજૂઆત છે.

(A) $S.H.M.$ માં,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $(E = K.E. + P.E.)$ કોઈપણ સમયે અચળ રહે છે,જે વિધાન $(c)$ ને સાબિત કરે છે.
એક સંપૂર્ણ આવર્તકાળ $T$ પર સરેરાશ ગતિ ઉર્જા $\langle K.E. \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t + \phi) dt = \frac{1}{4} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સંપૂર્ણ આવર્તકાળ $T$ પર સરેરાશ સ્થિતિ ઉર્જા $\langle P.E. \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t + \phi) dt = \frac{1}{4} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે એક આવર્તકાળ દરમિયાન $\langle K.E. \rangle = \langle P.E. \rangle$ થાય છે,તેથી વિધાન $(d)$ સાચું છે.
વિધાન $(b)$ ખોટું છે કારણ કે સરેરાશ ઉર્જા ફક્ત એક સંપૂર્ણ આવર્તકાળ અથવા તેના અડધા-પૂર્ણાંક ગુણાંક પર જ સમાન હોય છે,'કોઈપણ' આપેલા સમયગાળા પર નહીં.
તેથી,વિધાન $(c)$ અને $(d)$ સાચા છે.

(C) $n$ આવૃત્તિ ધરાવતી સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$x = A \sin(\omega t) = A \sin(2 \pi n t)$
પદાર્થની સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(2 \pi n t)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2 \theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$U = \frac{1}{2} k A^2 \left[ \frac{1 - \cos(2 \cdot 2 \pi n t)}{2} \right] = \frac{1}{4} k A^2 [1 - \cos(4 \pi n t)]$
આમ,સ્થિતિ ઉર્જાની આવૃત્તિ એ કોસાઇન પદમાં $2 \pi t$ નો સહગુણક છે,જે $2n$ છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ સ્થાન $x$ પર,ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - x^{2})$ છે.
કણ મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ અને અંતિમ સ્થાન $(x = A)$ ની વચ્ચે છે,તેથી $x = \frac{A}{2}$ થાય.
ગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં $x = \frac{A}{2}$ મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - (\frac{A}{2})^{2})$
$K = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - \frac{A^{2}}{4})$
$K = \frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{3A^{2}}{4})$
$K = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2})$
અહીં $E = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}$ હોવાથી,$K = \frac{3}{4} E$ મળે.
આમ,કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનો $3/4$ ભાગ ગતિ ઉર્જાના સ્વરૂપમાં હોય છે.

(C) $SHM$ માં કણની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાનાંતર $y$ પર કણની ગતિ ઉર્જા $(K)$,$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $K = \frac{3E}{4}$,તેથી આપણે $K$ અને $E$ ના સમીકરણો મૂકીએ:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2) = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \right)$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{1}{2} m \omega^2$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$a^2 - y^2 = \frac{3}{4} a^2$.
$y^2$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$y^2 = a^2 - \frac{3}{4} a^2 = \frac{1}{4} a^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે:
$y = \frac{a}{2}$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 0.5\, \text{kg}$,કંપવિસ્તાર $A = 5\, \text{cm} = 0.05\, \text{m}$,આવર્તકાળ $T = 0.2\, \text{s}$.
પ્રથમ,$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બળ અચળાંક $k$ શોધો:
$0.2 = 2\pi \sqrt{\frac{0.5}{k}}$
$0.1 = \pi \sqrt{\frac{0.5}{k}}$
$0.01 = \pi^2 \left(\frac{0.5}{k}\right)$
$k = \frac{0.5 \pi^2}{0.01} = 50 \pi^2 \approx 493.5\, \text{N/m}$.
હવે,મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ કરીને $t = \frac{T}{4}$ સમયે સ્થાનાંતર $x$ શોધો $(\phi = 0)$:
$x = A \sin(\omega t) = A \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{4}\right) = A \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = A = 0.05\, \text{m}$.
હવે,સ્થિતિઊર્જા $PE$ ની ગણતરી કરો:
$PE = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times (50 \pi^2) \times (0.05)^2$
$PE = 25 \pi^2 \times 0.0025 = 0.0625 \pi^2 \approx 0.617\, \text{J}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $0.625\, \text{J}$ છે.

(D) પ્રારંભિક કંપનવિસ્તાર $A = 10 \, cm$. $SHM$ ની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે.
સ્થાન $x = 5 \, cm$ પર,વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega \sqrt{10^2 - 5^2} = \omega \sqrt{75}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\omega^2 = \frac{k}{m}$,તેથી $v = \sqrt{\frac{k}{m}} \sqrt{75}$.
જ્યારે વેગ ત્રણ ગણો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો વેગ $v' = 3v = 3 \sqrt{\frac{75k}{m}}$ થાય છે.
$x = 5 \, cm$ પર સ્થિતિ ઉર્જા બદલાતી નથી: $U = \frac{1}{2} k (5)^2 = 12.5 k$.
નવી કુલ ઉર્જા $E'$ એ $x=5$ પરની સ્થિતિ ઉર્જા અને નવી ગતિ ઉર્જા $K'$ નો સરવાળો છે:
$E' = \frac{1}{2} k (5)^2 + \frac{1}{2} m (3v)^2 = 12.5 k + \frac{1}{2} m \left( 9 \cdot \frac{75k}{m} \right) = 12.5 k + 337.5 k = 350 k$.
કારણ કે $E' = \frac{1}{2} k A'^2$,તેથી $\frac{1}{2} k A'^2 = 350 k \implies A'^2 = 700$.
આમ,$A' = \sqrt{700} \, cm$,જે સૂચવે છે કે $x = 700$.

(D) $S.H.M.$ કરતા કણની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ $S.H.M.$ માટે $k$ અને $A$ અચળ હોવાથી,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ સમય સાથે બદલાતી નથી અને અચળ રહે છે.
અચળ મૂલ્યનું દોલન થતું નથી,જેનો અર્થ છે કે તેનો આવર્તકાળ અનંત $(T = \infty)$ છે.
પ્રશ્નમાં $\frac{T^{\prime}}{T}$ નો ગુણોત્તર પૂછવામાં આવ્યો છે,જ્યાં $T^{\prime}$ એ $S.H.M.$ નો આવર્તકાળ છે અને $T$ એ કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનો આવર્તકાળ છે.
કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ હોવાથી,તેની આવૃત્તિ $0$ છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો આવર્તકાળ $T$ અનંત છે.
તેથી,$\frac{T^{\prime}}{T} = \frac{T^{\prime}}{\infty} = 0$.

(D) અવમંદન રહિત સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ માં,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ $S.H.M.$ માટે $k$ અને $A$ અચળ હોવાથી,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ સમયની સાથે અચળ રહે છે.
અચળ મૂલ્ય દોલન કરતું નથી,જેનો અર્થ છે કે તેની દોલન આવૃત્તિ $0$ છે.
આવર્તકાળ $T'$ એ આવૃત્તિનો વ્યસ્ત હોવાથી $(T' = 1/f)$,$f = 0$ માટે,આવર્તકાળ $T'$ અનંત થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $S.H.M.$ કરતા કણની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = m \omega^2$ છે.
આપેલ છે કે $E_1 = 90 \,J$ અને $A_1 = 6 \,cm = 0.06 \,m$.
$90 = \frac{1}{2} k (0.06)^2 \implies k = \frac{180}{0.0036} = 50000 \,N/m$.
જ્યારે કણ $x = 4 \,cm = 0.04 \,m$ પર હોય ત્યારે તેને અટકાવવામાં આવે છે. આ બિંદુએ તેનો વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી ગતિનો નવો કંપવિસ્તાર $A_2$ એ તે ક્ષણે તેનું સ્થાનાંતર બને છે,એટલે કે $A_2 = 4 \,cm = 0.04 \,m$.
કંપનની નવી ઉર્જા $E_2$ એ $E_2 = \frac{1}{2} k A_2^2$ દ્વારા મળે છે.
$E_2 = \frac{1}{2} \times 50000 \times (0.04)^2$.
$E_2 = 25000 \times 0.0016 = 40 \,J$.

(C) સરળ આવર્ત દોલકની સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
આપેલ સ્થિતિ ઊર્જા $U$ માટે,સ્થાનાંતર $x$ એ $x = \sqrt{\frac{2U}{k}}$ દ્વારા મળે છે,જે સૂચવે છે કે $x \propto \frac{1}{\sqrt{k}}$.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
તમામ દોલકો માટે દળ $m$ સમાન હોવાથી,આપણને $T \propto \frac{1}{\sqrt{k}}$ મળે છે.
આ બંને સંબંધોની સરખામણી કરતા,$U$ ના અચળ મૂલ્ય માટે આપણને $T \propto x$ મળે છે.
આકૃતિ પરથી,મહત્તમ સ્થાનાંતર (કંપવિસ્તાર) $x$ એ દોલક $C$ માટે સૌથી વધુ છે.
તેથી,દોલનનો આવર્તકાળ $C$ માટે સૌથી વધુ છે.

(A) દોલનનો આવર્તકાળ $T = 8 \,s$ આપેલ છે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં,સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જા મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ પર લઘુત્તમ $(U_{min} = 0)$ હોય છે.
સ્થિતિ ઊર્જા અંતિમ સ્થાનો $(x = \pm A)$ પર મહત્તમ $(U_{max} = \frac{1}{2} k A^2)$ હોય છે.
કણ મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ થી અંતિમ સ્થાન $(x = A)$ સુધી પહોંચવા માટે $\Delta t = \frac{T}{4}$ જેટલો સમય લે છે.
$T = 8 \,s$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta t = \frac{8 \,s}{4} = 2 \,s$.
તેથી,લઘુત્તમ $PE$ પ્રાપ્ત કર્યાના $2 \,s$ પછી મહત્તમ $PE$ પ્રાપ્ત થશે.

(B) $S.H.M.$ કરતા કણની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ તંત્ર માટે $k = m \omega^2$ અચળ હોવાથી,ઉર્જા એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto A^2$.
અહીં $E_1 = 90 \,J$ અને $A_1 = 6 \,cm$ આપેલ છે.
જ્યારે ઉર્જા બદલાઈને $E_2 = 40 \,J$ થાય,ત્યારે નવો કંપવિસ્તાર $A_2$ ધારો.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{A_1^2}{A_2^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{90}{40} = \frac{6^2}{A_2^2}$.
$\frac{9}{4} = \frac{36}{A_2^2}$.
$A_2^2 = \frac{36 \times 4}{9} = 4 \times 4 = 16$.
$A_2 = \sqrt{16} = 4 \,cm$.

(D) આપેલ છે:
બળ અચળાંક $k = 6 \times 10^5 \, N/m$
કંપવિસ્તાર $A = 4 \, cm = 4 \times 10^{-2} \, m$
કુલ ઉર્જા $E = 600 \, J$
રેખીય હાર્મોનિક ઓસિલેટરમાં,જ્યારે સ્થાનાંતર મહત્તમ હોય (અંતિમ સ્થાનો પર),ત્યારે મહત્તમ સ્થિતિ ઉર્જા એ સિસ્ટમની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$U_{max} = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^5) \times (4 \times 10^{-2})^2 = 3 \times 10^5 \times 16 \times 10^{-4} = 480 \, J$.
કુલ ઉર્જા $E = 600 \, J$ હોવાથી અને મહત્તમ સ્થિતિ ઉર્જા $480 \, J$ હોવાથી,સંતુલન સ્થિતિએ ન્યૂનતમ સ્થિતિ ઉર્જા $E - U_{max} = 600 \, J - 480 \, J = 120 \, J$ થાય.
વળી,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max}$ એ કુલ ઉર્જા $E$ માંથી ન્યૂનતમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_{min}$ બાદ કરવાથી મળે છે.
$K_{max} = E - U_{min} = 600 \, J - 120 \, J = 480 \, J$.
આમ,તમામ વિધાનો $A$,$B$,અને $C$ સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
અંતિમ સ્થાન પર,કળા (phase) $\phi = 0$ (અથવા $\pi$) છે. સ્થાનાંતર $x = A \cos(\omega t)$ લો.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ ના ફેઝ શિફ્ટ પછી,સ્થાનાંતર $x = A \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{A}{2}$ થાય છે.
આ સ્થાને સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k (\frac{A}{2})^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} k A^2) = \frac{E}{4}$ છે.
આ સ્થાને ગતિ ઉર્જા $K = E - U = E - \frac{E}{4} = \frac{3E}{4}$ થાય.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$\frac{p^2}{2m} = \frac{3E}{4}$ મળે.
વેગમાન $p$ માટે ઉકેલતા,$p^2 = \frac{6mE}{4} = \frac{3mE}{2}$ મળે.
તેથી,$p = \sqrt{\frac{3mE}{2}}$.

(A) $S.H.M.$ કરતા કણની સરેરાશ સ્થાનથી $y$ સ્થાનાંતર માટે સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2 = \frac{1}{2} k y^2$
જ્યાં $k = m \omega^2$ એ બળ અચળાંક છે.
જો સ્થાનાંતર $y$ ને $(x - a)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે, જ્યાં $x$ એ સ્થાન છે અને $a$ એ સરેરાશ સ્થાન છે, તો સ્થિતિ ઊર્જા થશે:
$U_x = \frac{1}{2} k (x - a)^2$
આમ, વિકલ્પ $A$ એ $S.H.M.$ માં રહેલા કણની સ્થિતિ ઊર્જા દર્શાવે છે.

(D) સ્થાનાંતર $x = A \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2 \omega t$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જા-સમય વક્રનો ઢાળ $\frac{dU}{dt}$ છે.
$\frac{dU}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} k A^2 \sin^2 \omega t) = \frac{1}{2} k A^2 (2 \sin \omega t \cos \omega t) \cdot \omega = \frac{1}{2} k A^2 \omega \sin(2 \omega t)$.
ઢાળ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin(2 \omega t)$ મહત્તમ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\sin(2 \omega t) = 1$.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $2 \omega t = \frac{\pi}{2}$.
$\omega = \frac{2 \pi}{T}$ મૂકતા,આપણને $2 (\frac{2 \pi}{T}) t = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
$\frac{4 \pi t}{T} = \frac{\pi}{2} \implies t = \frac{T}{8}$.
આને $t = \frac{T}{\beta}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\beta = 8$ મળે છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કુલ ઉર્જા તેની મહત્તમ સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે,જે $E = \frac{1}{2} k A^2 = 25 \ J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $x$ પર સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા મળે છે.
$x = A / 2$ સ્થાને,સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k (A / 2)^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} k A^2) = \frac{1}{4} \times 25 \ J = 6.25 \ J$ થાય.
કોઈપણ સ્થાને ગતિ ઉર્જા $K = E - U$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$K = 25 \ J - 6.25 \ J = 18.75 \ J$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે ગતિઊર્જા $(KE)$ એ સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ કરતા $25\%$ વધારે છે:
$KE = PE + 0.25 PE = 1.25 PE = \frac{5}{4} PE$
આપણે જાણીએ છીએ કે $SHM$ માં ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
$PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
આ કિંમતોને આપેલ શરતમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{5}{4} \left( \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \right)$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદ $\frac{1}{2} m \omega^2$ ને દૂર કરતા:
$A^2 - x^2 = \frac{5}{4} x^2$
$A^2 = x^2 + \frac{5}{4} x^2 = \frac{9}{4} x^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x = \frac{2}{3} A$
અહીં કંપવિસ્તાર $A = 3\,cm$ આપેલ છે:
$x = \frac{2}{3} \times 3\,cm = 2\,cm$
આમ,સ્થાનાંતર $2\,cm$ છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે,સ્થાનાંતર $(x)$ ના વિધેય તરીકે ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
જ્યાં $m$ એ કણનું દળ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
$1$. મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ પર,ગતિઊર્જા મહત્તમ હોય છે: $KE_{max} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$.
$2$. અંતિમ સ્થાન ($x = A$ અથવા $x = -A$) પર,ગતિઊર્જા શૂન્ય હોય છે: $KE = 0$.
$3$. સમીકરણ $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ એ $x$ ની સાપેક્ષમાં નીચેની તરફ ખુલતા પરવલય (parabola) ને દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે આલેખ $x = 0$ પર મહત્તમ $KE$ અને $x = A$ પર શૂન્ય $KE$ દર્શાવે છે અને પરવલયાકાર છે,તે વિકલ્પ $(D)$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(D) $SHM$ માં રહેલા કણની $x$ સ્થાનાંતર પરની સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર $P.E. = \frac{1}{2} kx^2$ છે.
$x$ સ્થાનાંતર પર કણની ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
અહીં આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x = \frac{A}{2}$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જાના સૂત્રમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $P.E. = \frac{1}{2} k(\frac{A}{2})^2 = \frac{1}{2} k(\frac{A^2}{4}) = \frac{1}{8} kA^2$.
ગતિ ઊર્જાના સૂત્રમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - (\frac{A}{2})^2) = \frac{1}{2} k(A^2 - \frac{A^2}{4}) = \frac{1}{2} k(\frac{3A^2}{4}) = \frac{3}{8} kA^2$.
સ્થિતિ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{P.E.}{K.E.} = \frac{\frac{1}{8} kA^2}{\frac{3}{8} kA^2} = \frac{1}{3}$ થાય છે.

(D) $SHM$ કરતા કણની કુલ ઉર્જા $(TE)$ અચળ હોય છે,જે $TE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત એ ગતિ ઉર્જા $(KE)$ છે:
$KE = TE - PE$
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
આ સમીકરણ નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે,જેનું શિરોબિંદુ $x = 0$ પર છે અને તેના શૂન્યો $x = \pm A$ પર છે. આ આલેખ $D$ માં દર્શાવેલ આકાર સાથે મેળ ખાય છે.

(C) સ્થાનાંતર $y = A \cos(30^{\circ})$ તરીકે આપેલ છે.
આપેલ કંપવિસ્તાર $A = 40 \, cm = 0.4 \, m$.
આપેલ સમયે,સ્થાનાંતર $y = 40 \cos(30^{\circ}) = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \, cm = 0.2\sqrt{3} \, m$.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - y^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $200 = \frac{1}{2} k((0.4)^2 - (0.2\sqrt{3})^2)$.
$200 = \frac{1}{2} k(0.16 - 0.12)$.
$200 = \frac{1}{2} k(0.04)$.
$200 = k(0.02)$.
$k = \frac{200}{0.02} = 10000 = 1.0 \times 10^4 \, Nm^{-1}$.
આને $1.0 \times 10^x \, Nm^{-1}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(C) $SHM$ માં મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ અંતરે રહેલા કણની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે.
તે જ સ્થાને કણની સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$KE = PE$:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{1}{2} m \omega^2$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$A^2 - x^2 = x^2$.
પદોને ગોઠવતા,$A^2 = 2x^2$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x^2 = \frac{A^2}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$.

(D) સરળ આવર્ત દોલકની કુલ ઉર્જા $E$ એ $E = \frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
$y = \frac{A}{3}$ સ્થાનાંતર પર સ્થિતિ ઉર્જા $U$ એ $U = \frac{1}{2} k y^2 = \frac{1}{2} k (\frac{A}{3})^2 = \frac{1}{2} k \frac{A^2}{9} = \frac{E}{9}$ છે.
ગતિ ઉર્જા $KE$ એ કુલ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે: $KE = E - U = E - \frac{E}{9} = \frac{8E}{9}$.
કુલ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E}{KE} = \frac{E}{\frac{8E}{9}} = \frac{9}{8}$ છે.
આને આપેલા ગુણોત્તર $\frac{x}{8}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 9$ મળે છે.

(B) સરળ આવર્ત દોલકની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $(T.E.)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T.E. = \frac{1}{2} k A^2$
જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે અને $A$ એ દોલનનો કંપવિસ્તાર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કુલ ઉર્જા માત્ર બળ અચળાંક $k$ અને કંપવિસ્તાર $A$ પર આધાર રાખે છે.
તે દોલન કરતા કણના દળ $m$ પર આધાર રાખતું નથી.
કારણ કે કંપવિસ્તાર $A$ સમાન રહે છે અને બળ અચળાંક $k$ (જે સ્પ્રિંગના ગુણધર્મો પર આધાર રાખે છે) બદલાતો નથી,તેથી તંત્રની કુલ ઉર્જા $E$ જ રહેશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની કુલ ઊર્જા $(E)$ એ તેની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે。
$E = K.E. + P.E. = 0.5 \,J + 0.4 \,J = 0.9 \,J$.
કુલ ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે, જ્યાં $m$ એ દળ, $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે。
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times (\frac{25}{\pi}) = 50 \,rad/s$.
કિંમતો મૂકતા: $0.9 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (50)^2 \times A^2$.
$0.9 = 0.1 \times 2500 \times A^2$.
$0.9 = 250 \times A^2$.
$A^2 = \frac{0.9}{250} = 0.0036 \,m^2$.
$A = \sqrt{0.0036} = 0.06 \,m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $A = 0.06 \times 100 = 6 \,cm$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ માટે,ફેઝ સ્પેસ $(p-x)$ માં ગતિપથનું સમીકરણ $\frac{p^2}{2mE} + \frac{x^2}{2E/m\omega^2} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે ઉપવલય $\frac{p^2}{b^2} + \frac{x^2}{a^2} = 1$ દર્શાવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $b$ એ મહત્તમ વેગમાન $p_{max} = m\omega a$ છે.
પ્રથમ ઓસિલેટર માટે:
$E_1 = \frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2$ અને $b = m \omega_1 a$. તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{1}{m \omega_1}$.
બીજા ઓસિલેટર માટે:
$E_2 = \frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2$ અને ગતિપથ એક વર્તુળ છે,તેથી $p_{max} = x_{max} \Rightarrow m \omega_2 R = R \Rightarrow m \omega_2 = 1$.
$m \omega_2 = 1$ ને $\frac{a}{b}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{a}{b} = \frac{1}{m \omega_1} = \frac{\omega_2}{\omega_1} = n^2$ (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
વળી,$E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$. પ્રથમ ઓસિલેટર માટે,$E_1 = \frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2$. બીજા માટે,$E_2 = \frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2$. કારણ કે $m \omega_2 = 1$,$E_2 = \frac{1}{2} \omega_2 R^2$.
આપેલ છે કે $\frac{a}{R} = n$,તેથી $a = nR$.
$\frac{a}{b} = n^2$ પરથી,$b = \frac{a}{n^2} = \frac{nR}{n^2} = \frac{R}{n}$.
કારણ કે $b = m \omega_1 a$,$\frac{R}{n} = m \omega_1 (nR) \Rightarrow m \omega_1 = \frac{1}{n^2}$.
હવે,$\frac{E_1}{\omega_1} = \frac{\frac{1}{2} m \omega_1^2 a^2}{\omega_1} = \frac{1}{2} m \omega_1 a^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{n^2}) (nR)^2 = \frac{1}{2} R^2$.
અને $\frac{E_2}{\omega_2} = \frac{\frac{1}{2} m \omega_2^2 R^2}{\omega_2} = \frac{1}{2} m \omega_2 R^2 = \frac{1}{2} (1) R^2 = \frac{1}{2} R^2$.
તેથી,$\frac{E_1}{\omega_1} = \frac{E_2}{\omega_2}$ (વિકલ્પ $D$ સાચો છે).

(A) આપેલ છે $x(t) = x_0 \sin^2\left(\frac{t}{2}\right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x(t) = x_0 \left(\frac{1 - \cos t}{2}\right) = \frac{x_0}{2} - \frac{x_0}{2} \cos t$.
અહીં $x_0 = 1 \text{ m}$ હોવાથી,$x(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos t$.
આ $x = \frac{1}{2} \text{ m}$ ના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ $A = \frac{1}{2} \text{ m}$ કંપવિસ્તાર સાથેની સરળ આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \sin t$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{1}{4} \sin^2 t\right) = \frac{m}{8} \sin^2 t$.
$x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \cos t$ પરથી,આપણને $\cos^2 t = 4(x - \frac{1}{2})^2$ મળે છે.
$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$ હોવાથી,$K = \frac{m}{8} [1 - 4(x - \frac{1}{2})^2]$ મળે છે.
આ $x$ ની સાપેક્ષમાં નીચેની તરફના પરવલયનું સમીકરણ છે,જે $x = 0$ અને $x = 1$ પર શૂન્ય છે,અને $x = \frac{1}{2}$ પર મહત્તમ છે. તેથી,આલેખ $(A)$ સાચો છે.

(B) સંતુલન સ્થાનથી શરૂ થતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t = \frac{T}{6}$ અને $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $x = A \sin(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{6}) = A \sin(\frac{\pi}{3}) = A \frac{\sqrt{3}}{2}$.
ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2) = \frac{1}{2}k(A^2 - \frac{3A^2}{4}) = \frac{1}{2}k(\frac{A^2}{4})$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(\frac{3A^2}{4})$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{KE}{PE} = \frac{\frac{1}{2}k(A^2/4)}{\frac{1}{2}k(3A^2/4)} = \frac{1}{3}$ થાય.

(A) કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $(TE)$ $TE = U_0 + \frac{1}{2} k A^2 = 300 \ J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $U_0$ એ મધ્યમાન સ્થાને સ્થિતિ ઉર્જા છે.
આપેલ છે કે $U_0 = 100 \ J$,તેથી $\frac{1}{2} k A^2 = 300 - 100 = 200 \ J$.
હાર્મોનિક ઓસિલેટરની ગતિ ઉર્જા $(KE)$ $KE = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$x = \frac{A}{\sqrt{2}}$ સ્થાને,ગતિ ઉર્જા $KE = \frac{1}{2} k(A^2 - (\frac{A}{\sqrt{2}})^2) = \frac{1}{2} k(A^2 - \frac{A^2}{2}) = \frac{1}{2} k(\frac{A^2}{2}) = \frac{1}{4} k A^2$ થશે.
કારણ કે $\frac{1}{2} k A^2 = 200 \ J$,તેથી $\frac{1}{4} k A^2 = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} k A^2) = \frac{1}{2} \times 200 = 100 \ J$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ કરતા કણની કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો હોવાથી ($t=0$ સમયે $x=0$),તેનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ છે.
તેનો વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$ છે.
આપેલ છે કે $K = 75\% \ E = \frac{3}{4} E$,તેથી:
$\frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t) = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} m A^2 \omega^2)$.
$\cos^2(\omega t) = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos(\omega t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\omega t = \frac{\pi}{6}$.
$\omega = \frac{2 \pi}{T}$ મૂકતા,$(\frac{2 \pi}{T}) t = \frac{\pi}{6}$.
$t = \frac{T}{12}$.
અહીં $T = 2 \ s$ આપેલ છે,તેથી $t = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \ s$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,કુલ ઉર્જા $(E)$ એ સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ અને ગતિ ઉર્જા $(K)$ નો સરવાળો છે.
$E = U + K$
$E = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} m v^2$
સંબંધો $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ અને $k = m \omega^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} m (\omega^2 (A^2 - x^2))$
$E = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$
$E = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} k A^2 - \frac{1}{2} k x^2$
$E = \frac{1}{2} k A^2$
આમ,કુલ ઉર્જા માત્ર બળ અચળાંક $(k)$ અને કંપવિસ્તાર $(A)$ પર આધાર રાખે છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર:
$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
અહીં $x = \frac{A}{2}$ આપેલ છે,તેથી:
$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - (\frac{A}{2})^2)$
$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - \frac{A^2}{4}) = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{3 A^2}{4}) = \frac{3}{8} m \omega^2 A^2$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ હોવાથી,આ કિંમત મૂકતા:
$K.E. = \frac{3}{8} m (\frac{2 \pi}{T})^2 A^2$
$K.E. = \frac{3}{8} m (\frac{4 \pi^2}{T^2}) A^2$
$K.E. = \frac{3 m \pi^2 A^2}{2 T^2}$

(C) $S.H.M.$ કરતા કણની કુલ ઉર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે.
સ્થાનાંતર $x$ પર ગતિ ઉર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ છે.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$.
$x$ ની કિંમત ગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} k (A^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2} A)^2) = \frac{1}{2} k (A^2 - \frac{3}{4} A^2) = \frac{1}{2} k (\frac{1}{4} A^2) = \frac{1}{8} k A^2$.
પ્રશ્ન મુજબ,$E = n \times K$.
$E$ અને $K$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{1}{2} k A^2 = n \times (\frac{1}{8} k A^2)$.
બંને બાજુ $\frac{1}{2} k A^2$ વડે ભાગતા:
$1 = n \times \frac{1}{4}$.
તેથી,$n = 4$.

(B) કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અડધા કંપવિસ્તાર પર,સ્થાનાંતર $x = A/2$ છે.
$S.H.M.$ માં કણની સ્થિતિઊર્જા $(U)$ $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = A/2$ મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2} k (A/2)^2 = \frac{1}{8} k A^2$ મળે છે.
કણની કુલ ઊર્જા $(E)$ $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે.
ગતિઊર્જા $(K)$ $K = E - U = \frac{1}{2} k A^2 - \frac{1}{8} k A^2 = \frac{3}{8} k A^2$ છે.
હવે,ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $K/U = (\frac{3}{8} k A^2) / (\frac{1}{8} k A^2) = 3/1$ થાય છે.
તેથી,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(D) $S.H.M.$ કરતા કણની $x$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
મહત્તમ સ્થિતિઊર્જા $(U_{max})$ અંતિમ સ્થાનો પર મળે છે જ્યાં $x = \pm A$,તેથી $U_{max} = \frac{1}{2} k A^2$.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્થિતિઊર્જા તેના મહત્તમ મૂલ્ય કરતા અડધી છે: $U = \frac{1}{2} U_{max}$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^2)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $x^2 = \frac{1}{2} A^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$.
આમ,સ્થાનાંતર $\pm \frac{A}{\sqrt{2}}$ છે.

(D) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega = 2\pi/T$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
$t = T/6$ સમયે,સ્થાનાંતર $x = A \sin((2\pi/T) \cdot (T/6)) = A \sin(\pi/3) = A \sqrt{3}/2$ થાય છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k (A \sqrt{3}/2)^2 = \frac{3}{8} k A^2$ છે.
કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે.
ગતિ ઊર્જા $K = E - U = \frac{1}{2} k A^2 - \frac{3}{8} k A^2 = \frac{1}{8} k A^2$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $U/K = (3/8 k A^2) / (1/8 k A^2) = 3/1$ થાય છે.
આમ,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની $x$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $E_x = \frac{1}{2} kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $x = \sqrt{\frac{2 E_x}{k}}$.
તે જ રીતે,$y$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $E_y = \frac{1}{2} ky^2$ છે,જે આપણને $y = \sqrt{\frac{2 E_y}{k}}$ આપે છે.
$(x+y)$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $E_0 = \frac{1}{2} k(x+y)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પદનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $E_0 = \frac{1}{2} k(x^2 + y^2 + 2xy)$ મળે છે.
$x^2$,$y^2$ અને $xy$ ની કિંમતો મૂકતા:
$E_0 = \frac{1}{2} k \left( \frac{2 E_x}{k} + \frac{2 E_y}{k} + 2 \sqrt{\frac{2 E_x}{k}} \sqrt{\frac{2 E_y}{k}} \right)$.
$E_0 = \frac{1}{2} k \left( \frac{2 E_x}{k} + \frac{2 E_y}{k} + \frac{4 \sqrt{E_x E_y}}{k} \right)$.
$E_0 = E_x + E_y + 2 \sqrt{E_x E_y}$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે જે સંતુલન સ્થાનથી શરૂ થાય છે,તેનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $t = \frac{T}{12}$ અને $\omega = \frac{2\pi}{T}$ આપેલ છે,તેથી સ્થાનાંતર $x = A \sin(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{12}) = A \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{A}{2}$ થાય.
સ્થિતિ ઊર્જા ($P$.$E$.) નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે.
$x = \frac{A}{2}$ મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{A^2}{4}) = \frac{1}{8} m \omega^2 A^2$ મળે.
ગતિ ઊર્જા ($K$.$E$.) નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે.
$x = \frac{A}{2}$ મૂકતા,આપણને $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - \frac{A^2}{4}) = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{3A^2}{4}) = \frac{3}{8} m \omega^2 A^2$ મળે.
સ્થિતિ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U}{K} = \frac{\frac{1}{8} m \omega^2 A^2}{\frac{3}{8} m \omega^2 A^2} = \frac{1}{3}$ થાય.