Energy of Simple Harmonic Motion Questions in Gujarati

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t)$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
પદાર્થ મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂઆત કરે છે,તેથી સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ અને વેગ $v = A \omega \cos(\omega t)$ છે.
કુલ ઊર્જા $(TE)$ $\frac{1}{2} k A^2$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $KE = 75 \% \text{ of } TE = \frac{3}{4} TE$.
તેથી,$\frac{1}{2} k (A \cos(\omega t))^2 = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} k A^2)$.
$\cos^2(\omega t) = \frac{3}{4}$.
$\cos(\omega t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\omega t = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ રેડિયન}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા,$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = \frac{T}{12}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: સરેરાશ સ્થિતિમાં ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $= 16 \ J$,કંપવિસ્તાર $(A)$ $= 25 \ cm = 0.25 \ m$,દળ $(m)$ $= 5.12 \ kg$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં સરેરાશ સ્થિતિમાં ગતિઊર્જા એ કણની કુલ ઊર્જા $(E)$ જેટલી હોય છે.
કુલ ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $16 = \frac{1}{2} \times 5.12 \times \omega^2 \times (0.25)^2$.
$\omega^2$ માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = \frac{16 \times 2}{5.12 \times 0.0625} = \frac{32}{0.32} = 100$.
તેથી,$\omega = \sqrt{100} = 10 \ rad/s$.
દોલનનો આવર્તકાળ $(T)$ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $T = \frac{2 \pi}{10} = \frac{\pi}{5} \ s$.

(D) $S.H.M.$ માં કણની ગતિજ ઉર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર $P.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે.
આપેલ છે કે ઉર્જા અડધી સ્થિતિ અને અડધી ગતિજ છે, તેથી $K.E. = P.E.$
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા, $A^2 - x^2 = x^2$, જેનો અર્થ થાય છે $A^2 = 2x^2$.
તેથી, $x = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
કંપનવિસ્તાર $A = 4 \,cm$ આપેલ હોવાથી, $x = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \,cm$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: $K.E. = P.E. + 25\% \text{ of } P.E.$
$K.E. = P.E. + 0.25 P.E. = 1.25 P.E. = \frac{5}{4} P.E.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $S.H.M.$ માટે,$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ અને $P.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ થાય.
આ કિંમતોને આપેલ શરતમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{5}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 x^2)$
$A^2 - x^2 = \frac{5}{4} x^2$
$A^2 = x^2 + \frac{5}{4} x^2 = \frac{9}{4} x^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $A = \frac{3}{2} x$.
અહીં $A = 3 \,cm$ આપેલ છે,તેથી $3 = \frac{3}{2} x$.
આમ,$x = 2 \,cm$ મળે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $S.H.M.$ માં પદાર્થની સ્થિતિ ઊર્જા $E_P = \frac{1}{2} Kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ બળ અચળાંક છે.
સ્થાનાંતર $x$ માટે,$E_1 = \frac{1}{2} Kx^2 \Rightarrow x = \sqrt{\frac{2E_1}{K}}$.
સ્થાનાંતર $y$ માટે,$E_2 = \frac{1}{2} Ky^2 \Rightarrow y = \sqrt{\frac{2E_2}{K}}$.
સ્થાનાંતર $(x+y)$ પર સ્થિતિ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} K(x+y)^2$ છે.
$x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} K \left( \sqrt{\frac{2E_1}{K}} + \sqrt{\frac{2E_2}{K}} \right)^2$
$E = \frac{1}{2} K \left( \sqrt{\frac{2}{K}} \right)^2 (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})^2$
$E = \frac{1}{2} K \cdot \frac{2}{K} (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})^2$
$E = (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})^2$.

(D) $S.H.M.$ માં કણની કુલ ઊર્જા $(T.E.)$ $T.E. = \frac{1}{2} kA^2$ છે.
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $K.E. = 50 \%$ $T.E.$,જેનો અર્થ છે કે $K.E. = \frac{1}{2} T.E.$
સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{1}{2} k(A^2 - x^2) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} kA^2)$
$A^2 - x^2 = \frac{1}{2} A^2$
$x^2 = \frac{A^2}{2} \implies x = \frac{A}{\sqrt{2}}$
મધ્યમાન સ્થિતિથી શરૂ થતા કણ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin(\frac{2\pi t}{T})$ છે.
$x = \frac{A}{\sqrt{2}}$ અને $T = 4 \ s$ મૂકતા:
$\frac{A}{\sqrt{2}} = A \sin(\frac{2\pi t}{4})$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\frac{\pi t}{2})$
$\frac{\pi t}{2} = \frac{\pi}{4}$
$t = 0.5 \ s$.

(D) $S$.$H$.$M$. કરતા પદાર્થની સ્થાનાંતર $x$ પરની સ્થિતિ ઊર્જા $P = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = m \omega^2$ છે.
આપેલ છે,$P_1 = \frac{1}{2} k x^2 \implies \sqrt{P_1} = x \sqrt{\frac{k}{2}}$ ---$(1)$
અને $P_2 = \frac{1}{2} k y^2 \implies \sqrt{P_2} = y \sqrt{\frac{k}{2}}$ ---$(2)$
ધારો કે સ્થાનાંતર $(x+y)$ પર સ્થિતિ ઊર્જા $P$ છે. તો,
$P = \frac{1}{2} k (x+y)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{P} = (x+y) \sqrt{\frac{k}{2}}$
$\sqrt{P} = x \sqrt{\frac{k}{2}} + y \sqrt{\frac{k}{2}}$
આ સમીકરણમાં $(1)$ અને $(2)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{P} = \sqrt{P_1} + \sqrt{P_2}$

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા પદાર્થની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $y$ પર,સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ છે.
ગતિ ઉર્જા $K$ એ કુલ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે: $K = E - U$.
સૂત્રો મૂકતા,$K = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 y^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $y = \frac{a}{2}$,તેથી તેને ગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - (\frac{a}{2})^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - \frac{a^2}{4}) = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{3a^2}{4})$.
કારણ કે $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$,આપણે લખી શકીએ કે $K = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 a^2) = \frac{3E}{4}$.

(A) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
$t = \frac{T}{12}$ સમયે,સ્થાનાંતર $x = A \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{12}\right) = A \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{A}{2}$ થાય છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2}m\omega^2x^2 = \frac{1}{2}m\omega^2\left(\frac{A}{2}\right)^2 = \frac{1}{8}m\omega^2A^2$ છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2) = \frac{1}{2}m\omega^2\left(A^2 - \frac{A^2}{4}\right) = \frac{1}{2}m\omega^2\left(\frac{3A^2}{4}\right) = \frac{3}{8}m\omega^2A^2$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U}{K} = \frac{\frac{1}{8}m\omega^2A^2}{\frac{3}{8}m\omega^2A^2} = \frac{1}{3}$ થાય છે.
આમ,ગુણોત્તર $1: 3$ છે.

(B) ગતિઊર્જા સરેરાશ સ્થાન $(x = 0)$ પર મહત્તમ હોય છે.
સ્થિતિઊર્જા અંતિમ સ્થાનો ($x = +A$ અથવા $x = -A$) પર મહત્તમ હોય છે.
સરેરાશ સ્થાનથી અંતિમ સ્થાન સુધીનું પદાર્થનું સ્થાનાંતર એ કંપવિસ્તાર $A$ જેટલું હોય છે.
તેથી,સ્થાનાંતર $\pm A$ છે.

(C) આપેલ છે: કંપનવિસ્તાર $A = 0.06 \,m$,ગતિઊર્જા $K.E. = 10 \,J$,સ્થિતિઊર્જા $P.E. = 8 \,J$.
કુલ ઊર્જા $T.E. = K.E. + P.E. = 10 \,J + 8 \,J = 18 \,J$.
સ્થિતિઊર્જાનું સૂત્ર $P.E. = \frac{1}{2} kx^2$ છે અને કુલ ઊર્જા $T.E. = \frac{1}{2} kA^2$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P.E.}{T.E.} = \frac{\frac{1}{2} kx^2}{\frac{1}{2} kA^2} = \frac{x^2}{A^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{8}{18} = \frac{x^2}{(0.06)^2}$.
$\frac{4}{9} = \frac{x^2}{(0.06)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{2}{3} = \frac{x}{0.06}$.
$x = \frac{2}{3} \times 0.06 = 2 \times 0.02 = 0.04 \,m$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની કુલ ઊર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} kA^2$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} kx^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્થિતિઊર્જા એ કુલ ઊર્જાના ચોથા ભાગની છે:
$U = \frac{1}{4} E$
$U$ અને $E$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} kA^2)$
બંને બાજુથી $\frac{1}{2} k$ ને દૂર કરતા:
$x^2 = \frac{A^2}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x = \pm \frac{A}{2}$
આમ,મધ્યમાન સ્થાનથી $\frac{A}{2}$ જેટલા સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા કુલ ઊર્જાના ચોથા ભાગની હોય છે.

(A) $S.H.M.$ માં કણની સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $U_{1} = \frac{1}{2} k x_{1}^{2}$,તેથી $\sqrt{U_{1}} = \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{1}|$.
આપેલ છે કે $U_{2} = \frac{1}{2} k x_{2}^{2}$,તેથી $\sqrt{U_{2}} = \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{2}|$.
સ્થાનાંતર $x = x_{1} + x_{2}$ પર,સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k (x_{1} + x_{2})^{2}$ થાય.
વર્ગમૂળ લેતા,$\sqrt{U} = \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{1} + x_{2}|$.
જો $x_{1}$ અને $x_{2}$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય,તો $\sqrt{U} = \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{1}| + \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{2}| = \sqrt{U_{1}} + \sqrt{U_{2}}$.
આમ,$\sqrt{U} = \sqrt{U_{1}} + \sqrt{U_{2}}$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કુલ ઉર્જા $(E)$ એ તેની સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
કુલ ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} k A^{2}$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ છે.
વળી,બળ અચળાંક $k = m \omega^{2}$ થાય.
$k$ ના સૂત્રમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $k = m \left( \frac{2 \pi}{T} \right)^{2} = \frac{4 \pi^{2} m}{T^{2}}$ મળે છે.
હવે,કુલ ઉર્જાના સૂત્રમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા: $E = \frac{1}{2} \left( \frac{4 \pi^{2} m}{T^{2}} \right) A^{2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $E = \frac{2 \pi^{2} m A^{2}}{T^{2}}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: સ્થાનાંતર $= x$,સ્થિતિઊર્જા $(P.E.) = E$,પુનઃસ્થાપક બળ $= F$.
$S.H.M.$ માં રહેલા કણ માટે,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
સ્થિતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળના સમીકરણ પરથી,આપણી પાસે $k = -\frac{F}{x}$ છે.
$k$ ની આ કિંમતને સ્થિતિઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \left(-\frac{F}{x}\right) x^2$
$E = -\frac{1}{2} Fx$
$2$ વડે ગુણતા:
$2E = -Fx$
પદોને ગોઠવતા:
$2E + Fx = 0$
$F$ વડે ભાગતા:
$\frac{2E}{F} + x = 0$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિમાં રહેલા પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા $P = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $P_{1} = \frac{1}{2} k x_{1}^2$ અને $P_{2} = \frac{1}{2} k x_{2}^2$.
આપણે સ્થાનાંતર $(x_{1} + x_{2})$ પર સ્થિતિઊર્જા $P$ શોધવાની છે:
$P = \frac{1}{2} k (x_{1} + x_{2})^2$
$P = \frac{1}{2} k (x_{1}^2 + x_{2}^2 + 2 x_{1} x_{2})$
$P = \frac{1}{2} k x_{1}^2 + \frac{1}{2} k x_{2}^2 + 2 \left( \sqrt{\frac{1}{2} k x_{1}^2} \right) \left( \sqrt{\frac{1}{2} k x_{2}^2} \right)$
$P = P_{1} + P_{2} + 2 \sqrt{P_{1} P_{2}}$.

(A) આપેલ છે કે,આવર્તકાળ $T = 6 \ s$. ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે અને કુલ ઊર્જા $(T.E.)$ $T.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $K.E. = 50\% \text{ of } T.E.$,તેથી $K.E. = \frac{1}{2} T.E.$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m \omega^2 A^2)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $A^2 - x^2 = \frac{A^2}{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે $x^2 = \frac{A^2}{2}$ અથવા $x = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
કણ મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂઆત કરતો હોવાથી,સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ છે.
$x = \frac{A}{\sqrt{2}}$ મૂકતા,આપણને મળે $\frac{A}{\sqrt{2}} = A \sin(\frac{2\pi}{T} t)$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\frac{2\pi}{6} t) = \sin(\frac{\pi}{3} t)$.
કારણ કે $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{3}{4} = 0.75 \ s$.

(A) સરળ આવર્ત દોલકની કુલ ઉર્જા $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$
જ્યાં:
$m$ એ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા પદાર્થનું દળ છે,
$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,
$A$ એ દોલનનો કંપવિસ્તાર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કુલ ઉર્જા $E$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગ $(A^2)$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,$E \propto A^2$.

(B) $S.H.M.$ કરતા કણની કુલ ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ $S.H.M.$ માટે $k$ અને $A$ બંને અચળ હોવાથી,કુલ ઉર્જા $E$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
તેથી,કુલ ઉર્જા આવર્ત રીતે બદલાતી નથી,જ્યારે સ્થાનાંતર,વેગ અને પ્રવેગ સમય સાથે બદલાય છે.

(B) દોલન કરતા કણની (સરળ આવર્ત ગતિ) સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કણ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -k x$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જાના સમીકરણ પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$2 U = k x^{2}$
સમીકરણમાં $k = -\frac{F}{x}$ મૂકતા:
$2 U = -\left( \frac{F}{x} \right) x^{2}$
$2 U = -F x$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2 U}{F} = -x$
તેથી:
$\frac{2 U}{F} + x = 0$

(B) $SHM$ કરતા કણની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - y^{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યમાન સ્થાને,સ્થાનાંતર $y = 0$ છે.
તેથી,મધ્યમાન સ્થાને ગતિઊર્જા $K_{mean} = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}$ થાય.
સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^{2} y^{2}$ છે.
$y = A / 2$ સ્થાને,સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A / 2)^{2} = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} / 4) = \frac{1}{8} m \omega^{2} A^{2}$ થાય.
મધ્યમાન સ્થાને ગતિઊર્જા અને $y = A / 2$ સ્થાને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{K_{mean}}{U} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}}{\frac{1}{8} m \omega^{2} A^{2}} = \frac{1/2}{1/8} = \frac{8}{2} = 4$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(A) સરળ આવર્ત દોલકની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ સ્થાનાંતર $y$ પર નીચે મુજબ આધાર રાખે છે: $U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$.
દોલકની કુલ ઊર્જા $E$ એ $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
જ્યારે કણ તેના અંતિમ બિંદુથી અડધા અંતરે હોય,ત્યારે સ્થાનાંતર $y$ એ કંપવિસ્તારના અડધા જેટલું હોય છે,એટલે કે $y = \frac{A}{2}$.
આ કિંમતને સ્થિતિ ઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{A}{2})^2$
$U = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{A^2}{4})$
$U = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 A^2)$
કારણ કે $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$,તેથી આપણને મળે છે:
$U = \frac{1}{4} E$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ એ કોઈપણ સ્થાન $x$ પર તેની ગતિઊર્જા $K$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E = K + U = 1 \ J + 0.6 \ J = 1.6 \ J$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં કણની સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k = m \omega^2$,જ્યાં $\omega = 2 \pi f$.
અહીં $f = \frac{25}{\pi} \ Hz$ આપેલ છે,તેથી $\omega = 2 \pi (\frac{25}{\pi}) = 50 \ rad/s$.
આમ,$k = 0.2 \times (50)^2 = 0.2 \times 2500 = 500 \ N/m$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે કુલ ઊર્જાના સૂત્ર $E = \frac{1}{2} k A^2$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
$1.6 = \frac{1}{2} \times 500 \times A^2$.
$1.6 = 250 \times A^2$.
$A^2 = \frac{1.6}{250} = \frac{16}{2500} = 0.0064$.
$A = \sqrt{0.0064} = 0.08 \ m$.

(A) આપેલ છે: સ્થાનાંતર $Y = A \cos 30^{\circ} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \ cm = 0.2\sqrt{3} \ m$.
કંપવિસ્તાર $A = 40 \ cm = 0.4 \ m$.
ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - Y^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $200 = \frac{1}{2} k((0.4)^2 - (0.2\sqrt{3})^2)$.
$200 = \frac{1}{2} k(0.16 - 0.12)$.
$200 = \frac{1}{2} k(0.04)$.
$200 = k(0.02)$.
$k = \frac{200}{0.02} = 10000 \ N/m = 1 \times 10^4 \ N/m$.
$1 \times 10^x \ N/m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(C) સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ દ્વારા અને ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $x$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા એ ગતિઊર્જા કરતા $8$ ગણી છે:
$U = 8K$
સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = 8 \times \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
$x^2 = 8(A^2 - x^2)$
$x^2 = 8A^2 - 8x^2$
$9x^2 = 8A^2$
$x^2 = \frac{8A^2}{9}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x = \frac{\sqrt{8} A}{3} = \frac{2\sqrt{2} A}{3}$

(B) સંતુલન સ્થાનથી શરૂ થતા કણનું સ્થાનાંતર $x = a \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $t = \frac{T}{12}$ અને $\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,સ્થાનાંતર $x = a \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{12}\right) = a \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{a}{2}$ થશે.
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $\frac{1}{2}k(a^2 - x^2)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ $\frac{1}{2}kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{a^2 - x^2}{x^2}$ છે.
$x = \frac{a}{2}$ કિંમત મૂકતા,$\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{a^2 - (a/2)^2}{(a/2)^2} = \frac{a^2 - a^2/4}{a^2/4} = \frac{3a^2/4}{a^2/4} = \frac{3}{1}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ નો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે દર્શાવે છે કે આવર્તકાળ એ કંપવિસ્તાર $A$ પર આધારિત નથી.
તેથી,આવર્તકાળમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.
$S.H.M.$ માં રહેલા કણની કુલ ઉર્જા $E$ એ $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $E \propto A^2$,જો કંપવિસ્તાર $A$ ઘટાડવામાં આવે,તો કુલ ઉર્જા $E$ પણ ઘટશે.
આમ,આવર્તકાળ અચળ રહે છે જ્યારે કુલ ઉર્જા ઘટે છે.

(B) આપેલ છે: $m = 0.4 \,kg$, $f = \frac{16}{\pi} \,Hz$, $K.E. = 2 \,J$, $P.E. = 1.2 \,J$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{16}{\pi} = 32 \,rad/s$.
કુલ ઊર્જા $T.E. = K.E. + P.E. = 2 + 1.2 = 3.2 \,J$.
$S.H.M.$ માં કુલ ઊર્જાનું સૂત્ર $T.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3.2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times (32)^2 \times A^2$.
$3.2 = 0.2 \times 1024 \times A^2$.
$3.2 = 204.8 \times A^2$.
$A^2 = \frac{3.2}{204.8} = \frac{32}{2048} = \frac{1}{64}$.
$A = \sqrt{\frac{1}{64}} = 0.125 \,m$.

(D) $S.H.M.$ માં કણની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $x$ પર,સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે.
ગતિ ઉર્જા $K = E - U = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે.
આપેલ છે કે $K = \frac{3E}{4}$,તેથી સ્થિતિ ઉર્જા $U = E - \frac{3E}{4} = \frac{E}{4}$ થાય.
$U$ અને $E$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 A^2)$.
સાદુરૂપ આપતા,$x^2 = \frac{A^2}{4}$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$x = \frac{A}{2}$ મળે છે.

(B) $SHM$ માં,ગતિઊર્જા $K(x)$ અને સ્થિતિઊર્જા $U(x)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K(x) = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2)$
$U(x) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$
બિંદુ $x = x_0$ પર,ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા સમાન છે,એટલે કે $K(x_0) = U(x_0)$.
$\frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x_0^2) = \frac{1}{2}m\omega^2x_0^2$
$A^2 - x_0^2 = x_0^2$
$A^2 = 2x_0^2$
$x_0^2 = \frac{A^2}{2}$
$|x_0| = \frac{A}{\sqrt{2}}$

(A) $SHM$ કરતા કણની ગતિઊર્જા $(KE)$ નીચે મુજબ છે:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - y^{2})$
અહીં અંતર $y = \frac{A}{2}$ આપેલ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - (\frac{A}{2})^{2}) = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - \frac{A^{2}}{4}) = \frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{3A^{2}}{4})$
$SHM$ કરતા કણની સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નીચે મુજબ છે:
$PE = \frac{1}{2} m \omega^{2} y^{2}$
$y = \frac{A}{2}$ મૂકતા:
$PE = \frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{A}{2})^{2} = \frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{A^{2}}{4})$
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{KE}{PE} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{3A^{2}}{4})}{\frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{A^{2}}{4})} = \frac{3/4}{1/4} = 3$
તેથી,ગુણોત્તર $3:1$ છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે $x$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
અહીં આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x = \frac{A}{2}$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે,તેથી સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} k (\frac{A}{2})^2 = \frac{1}{8} k A^2$ થાય.
કણની કુલ ઊર્જા $(E)$ $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે.
ગતિઊર્જા $(K)$ $K = E - U = \frac{1}{2} k A^2 - \frac{1}{8} k A^2 = \frac{3}{8} k A^2$ દ્વારા મળે છે.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K}{U} = \frac{\frac{3}{8} k A^2}{\frac{1}{8} k A^2} = \frac{3}{1}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(B) આપેલ છે: આવર્તકાળ $T = 3 \,s$, સ્થાનાંતર $x = 0.6 \,A$ (જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે).
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે.
કણની સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર $P.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)}{\frac{1}{2} m \omega^2 x^2} = \frac{A^2 - x^2}{x^2} = \left(\frac{A}{x}\right)^2 - 1$ થાય.
$x = 0.6 \,A = \frac{6}{10} \,A = \frac{3}{5} \,A$ મૂકતા, આપણને $\frac{A}{x} = \frac{5}{3}$ મળે છે.
તેથી, ગુણોત્તર $\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1 = \frac{25}{9} - 1 = \frac{25 - 9}{9} = \frac{16}{9}$ થાય.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$,આવર્તકાળ $T = \frac{\pi}{2} \ s$,સ્થાનાંતર $x = 0.2 \ m$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4 \ rad/s$.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $k = m\omega^2$ હોવાથી,$U = \frac{1}{2} m\omega^2 x^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{1}{2} \times 1 \times (4)^2 \times (0.2)^2$.
$U = \frac{1}{2} \times 16 \times 0.04 = 8 \times 0.04 = 0.32 \ J$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા પદાર્થ માટે,$d$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} k d^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$E_1 = \frac{1}{2} k x^2 \implies x = \sqrt{\frac{2 E_1}{k}}$
$E_2 = \frac{1}{2} k y^2 \implies y = \sqrt{\frac{2 E_2}{k}}$
$(x+y)$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $E$ છે:
$E = \frac{1}{2} k (x+y)^2$
$E = \frac{1}{2} k (x^2 + y^2 + 2xy)$
$E = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} k y^2 + 2 \left( \frac{1}{2} k x y \right)$
$E = E_1 + E_2 + 2 \sqrt{\left( \frac{1}{2} k x^2 \right) \left( \frac{1}{2} k y^2 \right)}$
$E = E_1 + E_2 + 2 \sqrt{E_1 E_2}$
$E = (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{E} = \sqrt{E_1} + \sqrt{E_2}$

(A) આપેલ દળ $m = 2 \text{ g} = 2 \times 10^{-3} \text{ kg}$.
સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = 8 \cos \left(50 t + \frac{\pi}{12}\right) \text{ m}$ છે.
આને પ્રમાણિત સરળ આવર્ત ગતિના સમીકરણ $x = A \cos(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $A = 8 \text{ m}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 50 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A \omega = 8 \times 50 = 400 \text{ m/s}$ છે.
મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-3} \text{ kg}) \times (400 \text{ m/s})^2$.
$(K.E.)_{\max} = 10^{-3} \times 160000 = 160 \text{ J}$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 3 \,kg$, કંપવિસ્તાર $A = \frac{2}{\pi} \,m$, મધ્યમાન સ્થાન પર ગતિઊર્જા $K_{max} = 6 \,J$.
મધ્યમાન સ્થાન પર, ગતિઊર્જા એ સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની કુલ ઊર્જા જેટલી હોય છે: $K_{max} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = 6 \,J$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા, આપણને મળે છે: $\frac{1}{2} m (\frac{2\pi}{T})^2 A^2 = 6$.
$\frac{1}{2} \times 3 \times \frac{4\pi^2}{T^2} \times (\frac{2}{\pi})^2 = 6$.
$\frac{1}{2} \times 3 \times \frac{4\pi^2}{T^2} \times \frac{4}{\pi^2} = 6$.
$6 \times \frac{4}{T^2} = 6$.
$T^2 = 4$, જેનો અર્થ છે કે $T = 2 \,s$.

(D) ગતિનું સમીકરણ $x=3 \sin \left(6 t+\frac{\pi}{6}\right)$ છે,જ્યાં કંપવિસ્તાર $A=3 \ m$ છે.
$t=0$ સમયે,સ્થાનાંતર $x=3 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 3 \times \frac{1}{2} = 1.5 \ m$ થાય.
સ્થિતિ ઊર્જા $V = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{V}{K} = \frac{\frac{1}{2} k x^2}{\frac{1}{2} k (A^2 - x^2)} = \frac{x^2}{A^2 - x^2}$ થાય.
કિંમતો $x=1.5$ અને $A=3$ મૂકતા:
$\frac{V}{K} = \frac{(1.5)^2}{3^2 - (1.5)^2} = \frac{2.25}{9 - 2.25} = \frac{2.25}{6.75} = \frac{1}{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(C) $S.H.M.$ કરતા પદાર્થની $x$ સ્થાનાંતર પરની સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
આપેલ છે:
$U_x = \frac{1}{2} k x^2 = 9 \ J$ --- $(1)$
$U_y = \frac{1}{2} k y^2 = 16 \ J$ --- $(2)$
આપણે $(x+y)$ સ્થાનાંતર પર સ્થિતિ ઊર્જા શોધવાની છે,જે $U_{(x+y)} = \frac{1}{2} k (x+y)^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$U_{(x+y)} = \frac{1}{2} k (x^2 + y^2 + 2xy) = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} k y^2 + 2 \left( \sqrt{\frac{1}{2} k x^2} \right) \left( \sqrt{\frac{1}{2} k y^2} \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$U_{(x+y)} = 9 + 16 + 2 \times \sqrt{9} \times \sqrt{16}$
$U_{(x+y)} = 25 + 2 \times 3 \times 4$
$U_{(x+y)} = 25 + 24 = 49 \ J$.

(C) $SHM$ કરતા કણનો કંપવિસ્તાર $A = 10 \ cm$ છે.
કણનું તાત્કાલિક સ્થાનાંતર $x = 6 \ cm$ છે.
કણની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે.
કણની સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K}{U} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)}{\frac{1}{2} m \omega^2 x^2} = \frac{A^2 - x^2}{x^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{K}{U} = \frac{10^2 - 6^2}{6^2} = \frac{100 - 36}{36} = \frac{64}{36}$ મળે.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{K}{U} = \frac{16}{9}$ મળે.
આમ,ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $16: 9$ છે.

(B) $S.H.M$ માં,ગતિઊર્જા $(K.E)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(P.E)$ નીચે મુજબ છે:
$K.E = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$
$P.E = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$
જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $y$ એ સ્થાનાંતર છે.
$K.E = P.E$ માટે:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$
$a^2 - y^2 = y^2$
$a^2 = 2y^2$
$y = \pm \frac{a}{\sqrt{2}}$
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ અંગે,$S.H.M$ માં કણની સ્થિતિઊર્જા ખરેખર આવર્તકાલીન છે અને તે અંતિમ સ્થાનાંતર $(y = \pm a)$ પર મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે. જોકે,આ વિધાન એ સમજાવતું નથી કે શા માટે ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા $y = a/\sqrt{2}$ પર સમાન છે. તેથી,બંને સાચા છે,પરંતુ $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $x$ એ સરેરાશ સ્થિતિથી સ્થાનાંતર છે.
સ્થિતિ ઉર્જા મહત્તમ હોવા માટે,સ્થાનાંતર $x$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
સરળ આવર્ત ગતિમાં,સરેરાશ સ્થિતિથી મહત્તમ સ્થાનાંતર એ કંપવિસ્તાર $A$ જેટલું હોય છે.
તેથી,સ્થિતિ ઉર્જા અંતિમ સ્થાનો પર મહત્તમ હોય છે,જે $x = \pm A$ છે.

(C) આપેલ છે,દોલનનો કંપનવિસ્તાર,$a = 6 \text{ cm}$.
ધારો કે સ્થાનાંતર $x \text{ cm}$ છે.
જ્યારે ગતિઊર્જા $(K)$ એ સ્થિતિઊર્જા $(U)$ જેટલી હોય,ત્યારે $K = U$.
સરળ આવર્ત દોલકની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંનેને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - x^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
$a^2 - x^2 = x^2$
$2x^2 = a^2$
$x^2 = \frac{a^2}{2}$
$x = \frac{a}{\sqrt{2}}$
$a = 6 \text{ cm}$ મૂકતા:
$x = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} \text{ cm}$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની $y$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ છે.
પદાર્થની કુલ ઊર્જા $(E)$ $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્થિતિઊર્જા એ કુલ ઊર્જાના ચોથા ભાગની છે:
$U = \frac{1}{4} E$
$U$ અને $E$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{1}{2} m \omega^2 y^2 = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \right)$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{1}{2} m \omega^2$ ને દૂર કરતા:
$y^2 = \frac{A^2}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$y = \pm \frac{A}{2}$
આમ,મધ્યમાન સ્થાનથી $A/2$ જેટલા સ્થાનાંતરે,સ્થિતિઊર્જા કુલ ઊર્જાના ચોથા ભાગની હોય છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K = \frac{1}{2} m v^2$
જ્યાં $v$ એ પદાર્થનો વેગ છે.
જો સ્થાનાંતર $y = a \sin \omega t$ હોય,તો વેગ:
$v = \frac{dy}{dt} = a \omega \cos \omega t$
આ કિંમત ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} m (a \omega \cos \omega t)^2 = \frac{1}{2} m a^2 \omega^2 \cos^2 \omega t$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$K = \frac{1}{2} m a^2 \omega^2 \left( \frac{1 + \cos 2\omega t}{2} \right) = \frac{1}{4} m a^2 \omega^2 (1 + \cos 2\omega t)$
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે ગતિઊર્જા $K$ હંમેશા શૂન્ય અથવા ધન હોય છે અને તે સરળ આવર્ત ગતિ કરતા બમણી આવૃત્તિ (એટલે કે $2\omega$) સાથે બદલાય છે. વિકલ્પ $A$ માં આપેલો આલેખ આ આવર્તિય ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જેમાં $K$ એ $0$ અને મહત્તમ મૂલ્ય વચ્ચે $T/2$ ના આવર્તકાળ સાથે દોલન કરે છે.

(A) આપેલ છે: કુલ ઊર્જા $E = 9 \,J$, મધ્યમાન સ્થિતિએ સ્થિતિઊર્જા $U_{mean} = 5 \,J$, દળ $m = 2 \,kg$, કંપવિસ્તાર $A = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$.
સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં કુલ ઊર્જા એ ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે. મધ્યમાન સ્થિતિએ સ્થિતિઊર્જા $U_{mean} = 5 \,J$ છે.
તેથી, મધ્યમાન સ્થિતિએ મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - U_{mean} = 9 \,J - 5 \,J = 4 \,J$ થશે.
$SHM$ માં, મહત્તમ ગતિઊર્જા એ અંતિમ સ્થિતિએ મહત્તમ સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે, જે $\frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, $\frac{1}{2} k A^2 = 4 \,J$.
$A = 10^{-2} \,m$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} k (10^{-2})^2 = 4 \implies \frac{1}{2} k (10^{-4}) = 4 \implies k = 8 \times 10^4 \,N/m$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{8 \times 10^4}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{4 \times 10^4}} = 2 \pi \times \frac{1}{2 \times 10^2} = \frac{\pi}{100} \,s$.

(D) આપેલ છે,$y=5 \sin \left(4 t+\frac{\pi}{3}\right)$.
$y=A \sin (\omega t+\phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4 \,rad/s$ મળે છે.
કણનું દળ $m = 2 \,g = 2 \times 10^{-3} \,kg$ છે.
કણનો વેગ $v = \frac{dy}{dt} = 5 \times 4 \cos \left(4 t+\frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(4 t+\frac{\pi}{3}\right) \,m/s$ છે.
$t = \frac{T}{4}$ સમયે,જ્યાં $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \,s$,તેથી $t = \frac{\pi}{8} \,s$ થાય.
વેગના સમીકરણમાં $t = \frac{\pi}{8}$ મૂકતા:
$v = 20 \cos \left(4 \times \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(\frac{5\pi}{6}\right)$.
કારણ કે $\cos(150^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $v = 20 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -10\sqrt{3} \,m/s$ મળે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-3}) \times (-10\sqrt{3})^2$.
$K = 10^{-3} \times 100 \times 3 = 300 \times 10^{-3} = 0.3 \,J$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $x = A \sin(\omega t)$.
કુલ ઊર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $U = \frac{1}{2} E$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{2} k (A \sin(\omega t))^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^2)$.
આથી $\sin^2(\omega t) = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\sin(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\omega t = \frac{\pi}{4}$.
આવર્તકાળ $T = 8 \ s$ હોવાથી,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \ rad/s$.
સમીકરણમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $(\frac{\pi}{4}) t = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$t = 1 \ s$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે,$A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે: $x = 3 \ cm = 0.03 \ m$,$A = 5 \ cm = 0.05 \ m$,અને $K = 4 \ mJ = 4 \times 10^{-3} \ J$.
કિંમતો મૂકતા: $4 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} k((0.05)^2 - (0.03)^2)$.
$4 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} k(0.0025 - 0.0009) = \frac{1}{2} k(0.0016) = 0.0008 k$.
$k = \frac{4 \times 10^{-3}}{8 \times 10^{-4}} = 5 \ N/m$.
કણ પર લાગતું મહત્તમ બળ $F_{max} = kA$ છે.
$F_{max} = 5 \times 0.05 = 0.25 \ N$.