Energy of Simple Harmonic Motion Questions in Gujarati

(C) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા $(K)$ $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$ છે.
કુલ ઊર્જા $(E)$ $E = \frac{1}{2}m A^2 \omega^2$ છે.
ગતિઊર્જા અને કુલ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K}{E} = \cos^2(\omega t)$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{K}{E} = \frac{3}{4}$,તેથી $\cos^2(\omega t) = \frac{3}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\omega t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આથી $\omega t = \frac{\pi}{6}$ મળે.
આવર્તકાળ $T = 1.5 \ s$ આપેલ હોવાથી,$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1.5} = \frac{4\pi}{3} \ rad/s$ થાય.
સમીકરણમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $(\frac{4\pi}{3}) t = \frac{\pi}{6}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{\pi}{6} \times \frac{3}{4\pi} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \ s$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની $x$ સ્થાનાંતરે ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
$x_1 = \frac{A}{4}$ સ્થાનાંતરે,ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{1}{2} k (A^2 - (\frac{A}{4})^2) = \frac{1}{2} k (A^2 - \frac{A^2}{16}) = \frac{1}{2} k (\frac{15A^2}{16})$ છે.
$x_2 = \frac{A}{2}$ સ્થાનાંતરે,ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{1}{2} k (A^2 - (\frac{A}{2})^2) = \frac{1}{2} k (A^2 - \frac{A^2}{4}) = \frac{1}{2} k (\frac{3A^2}{4}) = \frac{1}{2} k (\frac{12A^2}{16})$ છે.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{\frac{15A^2}{16}}{\frac{12A^2}{16}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ થાય છે.

(A) આપેલ છે,$m = 3 \ kg$ દળના કણનું સ્થાન $x = 0.3 \cos (\omega t)$ છે.
કણનો વેગ,$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (0.3 \cos \omega t) = -0.3 \omega \sin (\omega t)$.
ગતિઊર્જા $K(t) = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (-0.3 \omega \sin \omega t)^2 = \frac{1}{2} m (0.09 \omega^2 \sin^2 \omega t)$.
$t_1 = \frac{\pi}{6 \omega}$ સમયે,$K\left(\frac{\pi}{6 \omega}\right) = \frac{1}{2} m (0.09 \omega^2 \sin^2 \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} m (0.09 \omega^2) \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} m (0.09 \omega^2) \left(\frac{1}{4}\right)$.
$t_2 = \frac{\pi}{3 \omega}$ સમયે,$K\left(\frac{\pi}{3 \omega}\right) = \frac{1}{2} m (0.09 \omega^2 \sin^2 \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} m (0.09 \omega^2) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} m (0.09 \omega^2) \left(\frac{3}{4}\right)$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{K\left(\frac{\pi}{6 \omega}\right)}{K\left(\frac{\pi}{3 \omega}\right)} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$,સ્થાનાંતર $y = 6 \sin (100 t + \pi/4) \ cm$.
સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin (\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $A = 6 \ cm = 0.06 \ m$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \ rad/s$ મળે છે.
$SHM$ માં પદાર્થની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નું સૂત્ર $K_{max} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K_{max} = \frac{1}{2} \times 1 \times (100)^2 \times (0.06)^2$.
$K_{max} = \frac{1}{2} \times 10000 \times 0.0036$.
$K_{max} = 5000 \times 0.0036 = 18 \ J$.

(A) $SHM$ માં ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ ના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - y^2)$
$P.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $K.E. = 8 \times P.E.$
સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - y^2) = 8 \times \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$
$A^2 - y^2 = 8 y^2$
$A^2 = 9 y^2$
$y = \pm \frac{A}{3}$
આપેલ સમીકરણ $y = \sqrt{3 \pi} \sin \left(\frac{100}{\pi} t + \frac{\pi}{4}\right)$ પરથી,કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{3 \pi}$ છે.
તેથી,સ્થાનાંતર $y = \frac{\sqrt{3 \pi}}{3} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{\pi}{3}}$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા સ્પ્રિંગ-બ્લોક તંત્ર માટે, કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k = 100 \text{ Nm}^{-1}$ અને કંપવિસ્તાર $A = 8 \text{ cm} = 0.08 \text{ m}$ છે.
સ્થાનાંતર $x$ પર સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે, જ્યાં $x = 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m}$ છે.
સ્થાનાંતર $x$ પર ગતિઊર્જા $K = E - U = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} \times 100 \times ((0.08)^2 - (0.03)^2)$
$K = 50 \times (0.0064 - 0.0009)$
$K = 50 \times 0.0055$
$K = 0.275 \text{ J}$

(C) $T$ તાપમાને તાપીય સંતુલનમાં રહેલા એક-પરિમાણીય હાર્મોનિક ઓસિલેટરની સરેરાશ ઉર્જા $E$ એ ઇક્વિપાર્ટિશન પ્રમેય મુજબ $E = k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્લાસિકલ મર્યાદામાં જ્યાં $k_B T \gg h\nu$ હોય,ત્યાં સરેરાશ ઉર્જા $E = k_B T$ થાય છે.
અહીં $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \ J K^{-1}$ અને $T = 300 \ K$ આપેલ છે.
તેથી,$E = (1.38 \times 10^{-23}) \times 300 = 4.14 \times 10^{-21} \ J$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ અને કુલ ઊર્જા $(TE)$ $TE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$KE = 75\% \text{ of } TE$ હોવાથી:
$KE = \frac{3}{4} TE$
$\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 A^2)$
$A^2 - x^2 = \frac{3}{4} A^2$
$x^2 = A^2 - \frac{3}{4} A^2 = \frac{1}{4} A^2$
$x = \pm \frac{A}{2}$
મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ કરતા પદાર્થ માટે,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ છે.
$x = \frac{A}{2}$ મૂકતા,$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t) \Rightarrow \sin(\omega t) = \frac{1}{2}$.
આથી $\omega t = \frac{\pi}{6}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$.
$t = \frac{T}{12}$.
$T = 4 \ s$ આપેલ હોવાથી,$t = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \ s$.

(D) $SHM$ કરતી વસ્તુની સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x = \frac{a}{2}$,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે:
$U = \frac{1}{2} k \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} k \frac{a^2}{4} = \frac{1}{8} k a^2$ ... $(i)$
વસ્તુની ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} k (a^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = \frac{a}{2}$ મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} k \left(a^2 - \frac{a^2}{4}\right) = \frac{1}{2} k \left(\frac{3 a^2}{4}\right) = \frac{3}{8} k a^2$ ... (ii)
ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{K}{U} = \frac{\frac{3}{8} k a^2}{\frac{1}{8} k a^2} = 3$.

(A) કણની ગતિનું સમીકરણ $y = 8 \cos [100 t + \pi / 4] \,cm$ આપેલ છે.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $y = a \cos(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા, આપણને મળે છે:
કંપવિસ્તાર $a = 8 \,cm = 8 \times 10^{-2} \,m$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \,rad/s$
દળ $m = 4 \,kg$
$SHM$ માં મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$K_{max} = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$
કિંમતો મૂકતા:
$K_{max} = \frac{1}{2} \times 4 \times (100)^2 \times (8 \times 10^{-2})^2$
$K_{max} = 2 \times 10000 \times 64 \times 10^{-4}$
$K_{max} = 2 \times 10000 \times 0.0064$
$K_{max} = 128 \,J$

(D) ધારો કે સરળ આવર્ત ગતિનો કંપવિસ્તાર $a$ છે. મધ્યમાન સ્થાનથી પદાર્થનું સ્થાનાંતર $x = \frac{a}{N}$ છે.
પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નીચે મુજબ છે:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - x^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 \left(a^2 - \frac{a^2}{N^2}\right) = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \left(1 - \frac{1}{N^2}\right) = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \left(\frac{N^2 - 1}{N^2}\right) \quad (i)$
પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નીચે મુજબ છે:
$PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 \left(\frac{a}{N}\right)^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 \frac{a^2}{N^2} \quad (ii)$
$KE$ અને $PE$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{KE}{PE} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \left(\frac{N^2 - 1}{N^2}\right)}{\frac{1}{2} m \omega^2 \frac{a^2}{N^2}} = \frac{N^2 - 1}{1} = N^2 - 1$

(D) $SHM$ કરતા કણની ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ દળ છે, $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
પ્રથમ કણ માટે, $x_1 = 4 \sin (10t + \frac{\pi}{6})$, કંપવિસ્તાર $A_1 = 4$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega_1 = 10$ છે.
ઉર્જા $E_1 = \frac{1}{2} m (10)^2 (4)^2 = \frac{1}{2} m (100)(16) = 800m$ છે.
બીજા કણ માટે, $x_2 = 5 \cos (\omega t)$, કંપવિસ્તાર $A_2 = 5$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ છે.
ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (5)^2 = \frac{25}{2} m \omega^2$ છે.
આપેલ છે કે ઉર્જા સમાન છે, તેથી $E_1 = E_2$.
$800m = \frac{25}{2} m \omega^2$.
$1600 = 25 \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{1600}{25} = 64$.
$\omega = 8 \text{ unit}$.

(D) $SHM$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $y = 5 \sin \left(4t + \frac{\pi}{3}\right)$ છે.
કણનો વેગ $v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left[5 \sin \left(4t + \frac{\pi}{3}\right)\right] = 5 \times 4 \cos \left(4t + \frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(4t + \frac{\pi}{3}\right)$ છે.
આપેલ સમીકરણને $SHM$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\omega = 4 \text{ rad/s}$ મળે છે.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી, $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \text{ s}$ થાય.
$t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8} \text{ s}$ સમયે, વેગ:
$v = 20 \cos \left(4 \times \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = -20 \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = -20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -10\sqrt{3} \text{ m/s}$.
ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
અહીં $m = 2 \text{ g} = 2 \times 10^{-3} \text{ kg}$ આપેલ છે.
$KE = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-3}) \times (-10\sqrt{3})^2 = 10^{-3} \times (100 \times 3) = 300 \times 10^{-3} = 0.3 \text{ J}$.

(B) ધારો કે કંપવિસ્તાર $A = 6 \ cm$ છે અને મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર $x$ છે.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે.
કણની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ છે.
આપેલ છે કે સ્થિતિઊર્જા અને ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $U/K = 4/5$ છે.
સૂત્રો મૂકતા,$\frac{\frac{1}{2} k x^2}{\frac{1}{2} k (A^2 - x^2)} = \frac{4}{5}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{x^2}{A^2 - x^2} = \frac{4}{5}$ મળે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $5x^2 = 4(A^2 - x^2) = 4A^2 - 4x^2$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$9x^2 = 4A^2$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = \frac{4}{9} A^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$x = \frac{2}{3} A$ મળે.
$A = 6 \ cm$ આપેલ હોવાથી,$x = \frac{2}{3} \times 6 \ cm = 4 \ cm$ મળે.

(A) $\text{સરળ આવર્ત ગતિમાં } x \text{ સ્થાનાંતરે કણની ગતિઊર્જા } K = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2) \text{ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં } A \text{ એ કંપવિસ્તાર છે.}
\text{મહત્તમ ગતિઊર્જા } K_{max} = \frac{1}{2} kA^2 \text{ છે.}
\text{આપેલ છે કે } x = 4 \,cm \text{ પર,} K = \frac{1}{3} K_{max}.
\text{સમીકરણો મૂકતા: } \frac{1}{2} k(A^2 - 4^2) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} kA^2).
\text{બંને બાજુ } \frac{1}{2} k \text{ વડે ભાગતા: } A^2 - 16 = \frac{A^2}{3}.
\text{પદોને ગોઠવતા: } A^2 - \frac{A^2}{3} = 16.
\frac{2A^2}{3} = 16.
A^2 = \frac{16 \times 3}{2} = 24.
A = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \,cm.$

(D) $S.H.M$ માં સ્થાનનું સમીકરણ $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $A = 5$ એ કંપવિસ્તાર છે.
$S.H.M$ તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2 = 100 \ J$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,સ્થાન $x(0) = 5 \cos\left(0 + \frac{\pi}{4}\right) = 5 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 5 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં $x(0)$ ની કિંમત મૂકતા:
$U(0) = \frac{1}{2} k \left(5 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} k \left(\frac{25}{2}\right) = \frac{1}{4} k (25)$.
અહીં $E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} k (5)^2 = \frac{25}{2} k = 100 \ J$ હોવાથી,$k = \frac{200}{25} = 8 \ J/m^2$ મળે છે.
$U(0)$ ના સમીકરણમાં $k = 8$ મૂકતા:
$U(0) = \frac{1}{4} \times 8 \times 25 = 2 \times 25 = 50 \ J$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટે સ્થાનનું આપેલ સમીકરણ $x(t) = 2 \cos \left(\frac{\pi}{15} t - \frac{\pi}{2}\right)$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{\pi}{15} \text{ rad/s}$ મળે છે.
$SHM$ નો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/15} = 30 \text{ s}$ છે.
$SHM$ માં કણની ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,ગતિઊર્જા $2\omega$ ની આવૃત્તિ સાથે બદલાય છે.
તેથી,ગતિઊર્જાનો આવર્તકાળ $T_{KE} = \frac{T}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ s}$ થશે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કુલ ઉર્જા $E$ એ $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાનાંતર $x$ પર સ્થિતિ ઉર્જા $U$ એ $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જા એ કુલ ઉર્જાના અડધા છે,તેથી $U = \frac{E}{2}$.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $x^2 = \frac{A^2}{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

$(B)$ $SHM$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $y = a \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ $u = \frac{dy}{dt} = a\omega \cos(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}m(a\omega \cos(\omega t))^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 a^2 \cos^2(\omega t)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $K = \frac{1}{4}m\omega^2 a^2 (1 + \cos(2\omega t))$ મળે છે.
$SHM$ ની આવૃત્તિ $v = \frac{\omega}{2\pi}$ હોવાથી, ગતિઊર્જાના દોલનની આવૃત્તિ $\cos(2\omega t)$ પદ દ્વારા નક્કી થાય છે, જે $v' = \frac{2\omega}{2\pi} = 2v$ છે.
તેથી, ગતિઊર્જા $2v$ ની આવૃત્તિ સાથે આવર્ત રીતે બદલાય છે.

(B) સરળ આવર્ત દોલકની સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $\sin^2(\omega t) = 1$ હોય ત્યારે સ્થિતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય છે,જે અંતિમ સ્થાનો પર જોવા મળે છે.
મધ્યમાન સ્થાન ($t=0$ સમયે $x=0$) થી શરૂ થતો કણ પ્રથમ અંતિમ સ્થાન $(x=A)$ પર $t = T/4$ સમયે પહોંચે છે.
આપેલ છે કે મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા $t = T / (2 \beta)$ સમયે મળે છે,તેથી આપણે બંને પદોને સરખાવીએ:
$T / (2 \beta) = T / 4$.
છેદની સરખામણી કરતા,આપણને $2 \beta = 4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\beta = 2$.

(D) સાદા લોલકની ગતિઊર્જા $(K.E)$ નું સૂત્ર $K.E = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા સાદા લોલકનો વેગ $v = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
તેથી,$K.E = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t + \phi)$.
અહીં $K.E \propto \cos^2(\omega t)$ હોવાથી,આલેખ એક આવર્ત વિધેય છે જેની આવૃત્તિ લોલકની ગતિ કરતા બમણી છે,એટલે કે લોલક એક દોલન પૂર્ણ કરે તે સમયમાં ગતિઊર્જા બે ચક્ર પૂર્ણ કરે છે.
મધ્યમાન સ્થિતિ $(t=0)$ પર,વેગ મહત્તમ હોય છે,તેથી ગતિઊર્જા પણ મહત્તમ હોય છે. જે આલેખ $t=0$ પર મહત્તમ ગતિઊર્જા દર્શાવે છે અને $T$ સમયમાં બે ચક્ર પૂર્ણ કરે છે તે આલેખ $D$ છે.