Energy of Simple Harmonic Motion Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે:
કંપવિસ્તાર $A = 0.01 \, m = 10^{-2} \, m$
બળ અચળાંક $k = 2 \times 10^6 \, N/m$
કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E_T = 160 \, J$
રેખીય હાર્મોનિક ઓસિલેટરની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(K.E.)_{\max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} k A^2$
$(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^6) \times (10^{-2})^2$
$(K.E.)_{\max} = 10^6 \times 10^{-4} = 100 \, J$
રેખીય હાર્મોનિક ઓસિલેટરમાં,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E_T$ એ મહત્તમ સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)_{\max}$ જેટલી હોય છે (જ્યારે અંતિમ સ્થાનો પર ગતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે).
અહીં $E_T = 160 \, J$ છે,તેથી મહત્તમ સ્થિતિ ઉર્જા $160 \, J$ થશે.
આમ,વિધાન $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(B) ઉગમબિંદુથી શરૂ થતા પદાર્થનું સ્થાનાંતર $SHM$ માં $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$ છે.
કુલ ઊર્જા $(T.E.)$ $T.E. = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2$ છે.
આપેલ છે કે $K.E. = 75\% \text{ of } T.E. = 0.75 \ T.E.$
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t) = 0.75 \times \frac{1}{2} m A^2 \omega^2$.
$\cos^2(\omega t) = 0.75 = \frac{3}{4}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\cos(\omega t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega t = \frac{\pi}{6}$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$ અને $T = 2 \ s$,તેથી $\omega = \frac{2\pi}{2} = \pi \ rad/s$.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $\pi t = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$t = \frac{1}{6} \ s$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની તાત્ક્ષણિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v_{inst}^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \cos^2(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંતુલન સ્થાન પર સ્થાનાંતર $x = 0$ છે,તેથી $x = a \sin(\omega t)$ મુજબ $\omega t = 0$ થાય. અંતિમ સ્થાન પર $x = a$ હોવાથી $\omega t = \pi/2$ થાય.
કોઈ સમયગાળા દરમિયાન સરેરાશ ગતિઊર્જા $\langle K \rangle = \frac{1}{T'} \int_0^{T'} K dt$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $T'$ એ સંતુલન સ્થાનથી અંતિમ સ્થાન સુધી પહોંચવા માટેનો સમય છે $(T' = T/4 = 1/(4v))$.
$\langle K \rangle = \frac{1}{T/4} \int_0^{T/4} \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \cos^2(\omega t) dt$
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\langle K \rangle = \frac{4}{T} \cdot \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \int_0^{T/4} \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2} dt$
$\langle K \rangle = \frac{m \omega^2 a^2}{T} [t + \frac{\sin(2\omega t)}{2\omega}]_0^{T/4}$
અહીં $\omega = 2\pi v$ અને $T = 1/v$ હોવાથી,$t = T/4$ સમયે $2\omega t = \pi$ થાય.
$\langle K \rangle = \frac{m \omega^2 a^2}{T} [T/4] = \frac{m \omega^2 a^2}{4} = \frac{m (2\pi v)^2 a^2}{4} = \pi^2 m a^2 v^2$.

(D) સાદા આવર્ત દોલક માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ એ $PE = \frac{1}{2} k d^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $d$ એ સ્થાનાંતર છે. આ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર શિરોબિંદુ ધરાવતા ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે.
ગતિ ઊર્જા $(KE)$ એ $KE = \frac{1}{2} k (A^2 - d^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે. આ નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે,જેનું મહત્તમ મૂલ્ય મધ્યમાન સ્થિતિ $(d=0)$ પર હોય છે અને અંતિમ સ્થિતિઓ $(d = \pm A)$ પર શૂન્ય હોય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,જે આલેખમાં $PE$ ને ઉગમબિંદુથી શરૂ થતા ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલય તરીકે અને $KE$ ને ઉગમબિંદુ પર મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવતા નીચેની તરફ ખુલતા પરવલય તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યો છે,તે વિકલ્પ $D$ માં છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે,સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dy}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા $(KE)$ નીચે મુજબ છે:
$KE = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (A \omega \cos(\omega t))^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \cos^2(\omega t)$.
નિત્યસમ $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$KE = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2 (1 + \cos(2\omega t))$.
$t = 0$ પર,$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$,જે મહત્તમ મૂલ્ય છે.
$t = \frac{T}{4}$ પર,$\omega t = \frac{\pi}{2}$,તેથી $KE = 0$.
$t = \frac{T}{2}$ પર,$\omega t = \pi$,તેથી $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ (મહત્તમ).
ગતિઊર્જા સ્થાનાંતર કરતા બમણી આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે,અને તે $t = 0$ પર મહત્તમ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે અને $t = \frac{T}{4}$ પર શૂન્ય થાય છે.

(A) બ્લોક સંપર્ક ન ગુમાવે તે માટેની શરત $a_{max} \leq g$ છે.
$\omega^2 A \leq g$
$\omega \leq \sqrt{\frac{g}{A}}$
ન્યૂનતમ સમયગાળા $T$ માટે,આપણે $\omega = \sqrt{\frac{g}{A}}$ લઈએ છીએ.
$T = 2\pi \sqrt{\frac{A}{g}}$
અહીં $A = 1 \ cm = 0.01 \ m$ અને $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.01}{10}} = 2\pi \sqrt{0.001} \approx 0.2 \ s$.
સમયગાળો $t = 0$ થી $t = 0.05 \ s$ એ $t = 0$ થી $t = T/4$ ને અનુરૂપ છે.
સમયગાળાના ચોથા ભાગ માટે સરેરાશ સ્થિતિ ઊર્જા $\langle U \rangle$ નીચે મુજબ છે:
$\langle U \rangle = \frac{1}{T/4} \int_{0}^{T/4} \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \ dt$
$x = A \sin(\omega t)$ હોવાથી,$U = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t)$.
$\langle U \rangle = \frac{4}{T} \int_{0}^{T/4} \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin^2(\omega t) \ dt = \frac{2 m \omega^2 A^2}{T} \int_{0}^{T/4} \sin^2(\omega t) \ dt$
$\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\langle U \rangle = \frac{m \omega^2 A^2}{T} [t - \frac{\sin(2\omega t)}{2\omega}]_{0}^{T/4} = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2 = \frac{1}{4} k A^2$
$m = 1 \ kg$ (ધારેલ),$\omega^2 = g/A = 1000 \ rad^2/s^2$ મૂકતા:
$\langle U \rangle = \frac{1}{4} \times 1 \times 1000 \times (0.01)^2 = 0.025 \ J$.

(C) $SHM$ માં કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા $(KE)$ $KE = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$ છે.
એક સમયગાળા $T$ પર સરેરાશ ગતિઊર્જા $\langle KE \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T KE \, dt$ દ્વારા મળે છે.
$KE$ નું સૂત્ર મૂકતા: $\langle KE \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t) \, dt$.
$\cos^2(\omega t) = \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$\langle KE \rangle = \frac{m A^2 \omega^2}{2T} \int_0^T \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2} \, dt$.
પૂર્ણ સમયગાળા $T$ પર $\cos(2\omega t)$ નું સંકલન $0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\langle KE \rangle = \frac{m A^2 \omega^2}{4T} \int_0^T 1 \, dt = \frac{m A^2 \omega^2}{4T} \times T = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે,ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2$ અને સ્થિતિઊર્જા $PE = \frac{1}{2}kx^2$ છે.
આપેલ છે કે $KE = pv^2$,તેથી $\frac{1}{2}m = p$,એટલે કે $m = 2p$.
આપેલ છે કે $PE = qx^2$,તેથી $\frac{1}{2}k = q$,એટલે કે $k = 2q$.
સરળ આવર્ત ગતિનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m$ અને $k$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{2p}{2q}} = 2\pi \sqrt{\frac{p}{q}}$ મળે છે.

(C) $S.H.M.$ માં કણની કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$ છે.
સ્થાન $x = \frac{\sqrt{3}}{2}A$ પર,સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2}m\omega^2x^2 = \frac{1}{2}m\omega^2(\frac{3}{4}A^2) = \frac{3}{8}m\omega^2A^2$ છે.
આ સ્થાન પર પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = E - U = \frac{1}{2}m\omega^2A^2 - \frac{3}{8}m\omega^2A^2 = \frac{1}{8}m\omega^2A^2$ છે.
આઘાતી બળને કારણે ગતિઊર્જામાં $\Delta K = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$ નો વધારો થાય છે.
આ સ્થાન પર નવી ગતિઊર્જા $K' = K + \Delta K = \frac{1}{8}m\omega^2A^2 + \frac{4}{8}m\omega^2A^2 = \frac{5}{8}m\omega^2A^2$ થાય છે.
સ્થાન $x$ સમાન હોવાથી સ્થિતિઊર્જા $U$ બદલાતી નથી.
નવી કુલ ઊર્જા $E' = K' + U = \frac{5}{8}m\omega^2A^2 + \frac{3}{8}m\omega^2A^2 = m\omega^2A^2$ છે.
$E' = \frac{1}{2}m\omega^2(A')^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2}m\omega^2(A')^2 = m\omega^2A^2$ મળે.
તેથી,$(A')^2 = 2A^2$,જેનો અર્થ છે કે $A' = \sqrt{2}A$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ એ કોઈપણ સ્થાન $x$ પર તેની ગતિઊર્જા $K$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E = K + U = 0.5 \ J + 0.4 \ J = 0.9 \ J$.
દોલકની કુલ ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = \frac{25}{\pi} \ Hz$ માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \left( \frac{25}{\pi} \right) = 50 \ rad/s$.
ઊર્જાના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.9 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (50)^2 \times A^2$
$0.9 = 0.1 \times 2500 \times A^2$
$0.9 = 250 \times A^2$
$A^2 = \frac{0.9}{250} = 0.0036$
$A = \sqrt{0.0036} = 0.06 \ m$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર $A$ છે. સરળ આવર્ત ગતિમાં કણની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર,સ્થિતિ ઉર્જા $0$ છે અને ગતિ ઉર્જા $E$ છે. આમ,મળેલી વધારાની ઉર્જા $E$ છે.
અંતિમ સ્થાન પર,પ્રારંભિક ઉર્જા $E$ (બધી સ્થિતિ ઉર્જા) છે. વધારાની ઉર્જા $E$ મેળવ્યા પછી,નવી કુલ ઉર્જા $E' = E + E = 2E$ થાય છે.
કારણ કે $E = \frac{1}{2} k A^2$,તેથી $E' = \frac{1}{2} k (A')^2 = 2 \times (\frac{1}{2} k A^2)$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $(A')^2 = 2A^2$,તેથી નવો કંપવિસ્તાર $A' = \sqrt{2} A$ થાય.
સરળ આવર્ત ગતિનો આવર્તકાળ માત્ર દળ અને બળ અચળાંક પર આધાર રાખે છે $(T = 2\pi \sqrt{m/k})$,તેથી તે બદલાતો નથી.

(D) રેખીય હાર્મોનિક ઓસિલેટરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,બળ અચળાંક $k = 2 \times 10^6\, N/m$ અને કંપવિસ્તાર $A = 0.01\, m$ આપેલ છે.
મહત્તમ સ્થાનાંતર પર સ્થિતિ ઉર્જાની ગણતરી કરતા:
$U_{\max} = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^6) \times (0.01)^2$
$U_{\max} = 10^6 \times 0.0001 = 100\, J$.
આદર્શ રેખીય હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે,ન્યૂનતમ સ્થિતિ ઉર્જા હંમેશા શૂન્ય હોય છે,તેથી વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) $S.H.M.$ માં રહેલા કણની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જ્યાં $k$ એ પુનઃસ્થાપક બળ અચળાંક છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
આપેલ આલેખ પરથી,અંતિમ સ્થાન $x = 2 \ m$ પર,સ્થિતિ ઉર્જા $U = 24 \ J$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$24 = \frac{1}{2} \times k \times (2)^2$
$24 = \frac{1}{2} \times k \times 4$
$24 = 2k$
$k = \frac{24}{2} = 12 \ N/m$.
તેથી,પુનઃસ્થાપક બળ અચળાંકનું મૂલ્ય $12 \ N/m$ છે.

(A) રેખીય હાર્મોનિક ઓસિલેટરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $(TE)$ નું સૂત્ર $TE = PE_{max} = \frac{1}{2} k A^2 + C_0$ છે,જ્યાં $C_0$ એ સ્થિતિ ઉર્જાનો અચળ ભાગ છે.
અહીં $k = 2 \times 10^6\,N/m$,$A = 0.01\,m$,અને $TE = 160\,J$ આપેલ છે.
અંતિમ સ્થાને $(x = A)$ સ્થિતિ ઉર્જા મહત્તમ હોય છે,જે કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$PE_{max} = \frac{1}{2} k A^2 + C_0 = 160\,J$.
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જાનો ઘટક ગણતા: $\frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^6) \times (0.01)^2 = 10^6 \times 10^{-4} = 100\,J$.
તેથી,$100\,J + C_0 = 160\,J$,જેનો અર્થ છે કે $C_0 = 60\,J$.
ન્યૂનતમ સ્થિતિ ઉર્જા સંતુલન સ્થિતિમાં $(x = 0)$ મળે છે,જ્યાં $PE_{min} = \frac{1}{2} k(0)^2 + C_0 = C_0 = 60\,J$.
મહત્તમ સ્થિતિ ઉર્જા અંતિમ સ્થાનો પર $(x = \pm A)$ મળે છે,જ્યાં $PE_{max} = \frac{1}{2} k A^2 + C_0 = 100\,J + 60\,J = 160\,J$.
આમ,મહત્તમ સ્થિતિ ઉર્જા $160\,J$ છે.

(C) $SHM$ કરતા કણ માટે,$y$ સ્થાનાંતરે ગતિઊર્જા $(KE)$ $KE = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - y^{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ $PE = \frac{1}{2} m \omega^{2} y^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $KE = PE$,તેથી આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - y^{2}) = \frac{1}{2} m \omega^{2} y^{2}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદ $\frac{1}{2} m \omega^{2}$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$A^{2} - y^{2} = y^{2}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$A^{2} = 2y^{2}$.
$y$ માટે ઉકેલતા:
$y^{2} = \frac{A^{2}}{2} \Rightarrow y = \frac{A}{\sqrt{2}}$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $x$ પર ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ છે.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x = \frac{A}{2}$,તેથી આપણે આ કિંમત ગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકીએ:
$K.E. = \frac{1}{2} k \left( A^2 - (\frac{A}{2})^2 \right)$
$K.E. = \frac{1}{2} k \left( A^2 - \frac{A^2}{4} \right)$
$K.E. = \frac{1}{2} k \left( \frac{3A^2}{4} \right)$
$K.E. = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{2} k A^2 \right)$
કારણ કે $E = \frac{1}{2} k A^2$,તેથી $K.E. = \frac{3}{4} E$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની $x$ સ્થાનાંતર પરની સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$E_1 = \frac{1}{2} kx^2$ --- $(i)$
$E_2 = \frac{1}{2} ky^2$ --- $(ii)$
આપણે $(x + y)$ સ્થાનાંતર પર સ્થિતિ ઉર્જા $E$ શોધવાની છે:
$E = \frac{1}{2} k(x + y)^2$
$E = \frac{1}{2} k(x^2 + y^2 + 2xy)$
$E = \frac{1}{2} kx^2 + \frac{1}{2} ky^2 + kxy$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$E = E_1 + E_2 + kxy$
અહીં $\sqrt{E_1} = \sqrt{\frac{1}{2} k} x$ અને $\sqrt{E_2} = \sqrt{\frac{1}{2} k} y$ હોવાથી:
$2\sqrt{E_1 E_2} = 2 \sqrt{\frac{1}{2} k x^2 \cdot \frac{1}{2} k y^2} = 2 \cdot \frac{1}{2} kxy = kxy$
તેથી,$E = E_1 + E_2 + 2\sqrt{E_1 E_2}$.

(C) સરળ આવર્ત દોલકની કુલ ઊર્જા $(E)$ એ તેની સ્થિતિઊર્જા $(U)$ અને ગતિઊર્જા $(K)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
મધ્યમાન સ્થિતિએ સ્થિતિઊર્જા $U_{0} = 2\,J$ આપેલી છે.
કુલ ઊર્જા $E = U_{0} + K_{max} = U_{0} + \frac{1}{2}kA^2$ છે.
એક ચક્ર દરમિયાન સરેરાશ ગતિઊર્જા $\langle K \rangle = \frac{1}{4}kA^2 = 4\,J$ આપેલી છે.
તેથી,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{1}{2}kA^2 = 2 \times \langle K \rangle = 2 \times 4\,J = 8\,J$ થશે.
આમ,કુલ ઊર્જા $E = U_{0} + K_{max} = 2\,J + 8\,J = 10\,J$ થાય.

(A) $SHM$ માં,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ એ ગતિ ઉર્જા $K.E.$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $P.E.$ નો સરવાળો છે.
$E = K.E. + P.E. = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x^2$.
$x = A \sin(\omega t + \phi)$ અને $v = A \omega \cos(\omega t + \phi)$ મૂકતા,આપણને મળે છે $E = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t + \phi) + \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t + \phi)$.
$k = m \omega^2$ હોવાથી,આ સમીકરણ $E = \frac{1}{2} k A^2 (\cos^2(\omega t + \phi) + \sin^2(\omega t + \phi))$ માં પરિણમે છે.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$E = \frac{1}{2} k A^2$ મળે છે.
અહીં $k$ (બળ અચળાંક) અને $A$ (કંપવિસ્તાર) અચળ હોવાથી,ગતિ દરમિયાન કુલ યાંત્રિક ઉર્જા હંમેશા અચળ રહે છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા $m$ દળના કણની સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ છે,જ્યાં $y$ એ સંતુલન સ્થાન $O$ થી સ્થાનાંતર છે.
સંતુલન સ્થાન $O$ પર,સ્થાનાંતર $y = 0$ છે,તેથી સ્થિતિઊર્જા $PE = 0$ થાય છે.
અંતિમ બિંદુઓ $X_1$ અને $X_2$ પર,સ્થાનાંતર $y$ એ કંપવિસ્તાર $A$ જેટલું હોય છે (એટલે કે $y = \pm A$).
આમ,બંને અંતિમ બિંદુઓ પર સ્થિતિઊર્જા $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે,જે મહત્તમ મૂલ્ય છે.
સંબંધ $PE \propto y^2$ એ ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે,જેનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
તેથી,સ્થિતિઊર્જા વિરુદ્ધ સ્થાનાંતરનો આલેખ એક પરવલય છે,જે વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કુલ ઊર્જા $E$ એ તેની ગતિઊર્જા $K$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ નો સરવાળો છે.
આપેલ છે કે ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા સમાન છે,એટલે કે $K = U$.
કુલ ઊર્જા $E = K + U$ હોવાથી,$E = 2U$ અથવા $E = 2K$ થાય.
$y$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ છે.
કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ છે.
$U = \frac{1}{2} E$ લેતા:
$\frac{1}{2} m \omega^2 y^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m \omega^2 a^2)$
$y^2 = \frac{a^2}{2}$
$y = \frac{a}{\sqrt{2}}$

(C) $SHM$ માં કણની સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે.
$SHM$ માં કણની ગતિ ઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે.
આપેલ છે કે $PE = KE$,તેથી:
$\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
$x^2 = A^2 - x^2$
$2x^2 = A^2$
$x^2 = \frac{A^2}{2}$
$x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$
આમ,કણનું સ્થાન $\frac{A}{\sqrt{2}}$ હશે.

(D) સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \frac{\pi}{90} \ rad/s$ છે.
વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin^2(\omega t)$ છે.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K}{U} = \frac{\cos^2(\omega t)}{\sin^2(\omega t)} = \cot^2(\omega t)$ છે.
$t = 210 \ s$ સમયે,કળા $\omega t = \frac{\pi}{90} \times 210 = \frac{21\pi}{9} = \frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$ થાય છે.
તેથી,$\frac{K}{U} = \cot^2\left( 2\pi + \frac{\pi}{3} \right) = \cot^2\left( \frac{\pi}{3} \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{1}{3}$.

(C) $SHM$ માં કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આકૃતિ પરથી,$t = 0$ સમયે,$x$ તેના મહત્તમ ધન મૂલ્ય પર છે,તેથી $x(t) = A \cos(\omega t)$.
$SHM$ માં કણની સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ $PE = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$PE$ સમીકરણમાં $x(t) = A \cos(\omega t)$ મૂકતા:
$PE = \frac{1}{2} k (A \cos(\omega t))^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$PE = \frac{1}{2} k A^2 \left( \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2} \right) = \frac{1}{4} k A^2 (1 + \cos(2\omega t))$.
$t = 0$ સમયે,$PE = \frac{1}{2} k A^2$,જે મહત્તમ મૂલ્ય છે.
જેમ $t$ વધે છે,$\cos(2\omega t)$ ઘટે છે,તેથી જ્યારે $2\omega t = \pi/2$ (અથવા $t = \pi/4\omega$) થાય ત્યારે $PE$ ઘટીને શૂન્ય થાય છે,અને પછી જ્યારે $2\omega t = \pi$ (અથવા $t = \pi/2\omega$) થાય ત્યારે તે ફરીથી મહત્તમ મૂલ્ય પર પાછું આવે છે.
આ વર્તણૂક વિકલ્પ $C$ માં આપેલા આલેખ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) ધારો કે $SHM$ માં બ્લોકનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ છે.
બ્લોકનો વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ છે.
વેગનો આવર્તકાળ એ સમય છે જે વેગને તેનું મૂલ્ય પુનરાવર્તિત કરવા માટે લાગે છે, જે $T_1 = \frac{2\pi}{\omega} = T$ છે.
બ્લોકની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(A\omega \cos(\omega t))^2 = \frac{1}{2}mA^2\omega^2 \cos^2(\omega t)$ છે.
નિત્યસમ $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $K = \frac{1}{4}mA^2\omega^2 (1 + \cos(2\omega t))$ મળે છે.
ગતિઊર્જા $2\omega$ ની આવૃત્તિ સાથે બદલાય છે. તેથી, ગતિઊર્જાના ફેરફારનો આવર્તકાળ $T_2 = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega} = \frac{T}{2}$ છે.
આમ, $T_1 = 2T_2$ થાય છે.

(C) સાદા આવર્ત દોલક માટે,સ્થાનાંતર $d$ એ $d = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ એ $PE = \frac{1}{2} k d^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર શિરોબિંદુ ધરાવતા ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે.
ગતિઊર્જા $(KE)$ એ $KE = E - PE = \frac{1}{2} k A^2 - \frac{1}{2} k d^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ કુલ ઊર્જા છે. આ એક ઉલટું પરવલય (નીચેની તરફ ખુલતું પરવલય) દર્શાવે છે જેનું મહત્તમ મૂલ્ય $d = 0$ પર અને શૂન્ય મૂલ્ય $d = \pm A$ પર હોય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $C$ માં આપેલો આલેખ $KE$ ને ઉલટા પરવલય તરીકે અને $PE$ ને ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલય તરીકે યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર ગતિઊર્જા $KE = E \cos^2(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (કારણ કે પદાર્થ મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થાય છે,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$,તેથી વેગ $v = A \omega \cos(\omega t)$).
આપેલ છે કે $KE = 75\% \text{ of } E$,તેથી $KE = \frac{3}{4} E$.
$KE$ નું સમીકરણ મૂકતા:
$E \cos^2(\omega t) = \frac{3}{4} E$
$\cos^2(\omega t) = \frac{3}{4}$
$\cos(\omega t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\omega t = \frac{\pi}{6}$.
આવર્તકાળ $T = 2\,s$ આપેલ છે,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ rad/s}$.
$\omega$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\pi t = \frac{\pi}{6}$
$t = \frac{1}{6}\,s$.

(A) $SHM$ કરતા કણની કુલ ઊર્જા $(E)$ $E = \frac{1}{2} kA^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
$x$ સ્થાનાંતર પર સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ $U = \frac{1}{2} kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્થિતિ ઊર્જા એ કુલ ઊર્જા કરતા અડધી છે:
$U = \frac{1}{2} E$
$U$ અને $E$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} kA^2 \right)$
બંને બાજુથી $\frac{1}{2} k$ ને દૂર કરતા:
$x^2 = \frac{1}{2} A^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x = \frac{A}{\sqrt{2}}$

(A) $T$ આવર્તકાળ સાથે $S.H.M.$ કરતા કણ માટે,ગતિઊર્જા $(K)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નીચે મુજબ છે:
$K = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t)$
$U = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t)$
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત:
$K - U = \frac{1}{2} k A^2 (\cos^2(\omega t) - \sin^2(\omega t)) = \frac{1}{2} k A^2 \cos(2\omega t)$
તફાવતની કોણીય આવૃત્તિ $2\omega$ હોવાથી,નવો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ મળે:
$T' = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{T}{2}$
અહીં $T = 4\; sec$ આપેલ છે,તેથી $T' = \frac{4}{2} = 2\; sec$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની $x$ સ્થાનાંતર પર સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $E_1 = \frac{1}{2} kx^2$ અને $E_2 = \frac{1}{2} ky^2$.
આપણે $(x + y)$ સ્થાનાંતર પર સ્થિતિ ઉર્જા $E$ શોધવાની છે:
$E = \frac{1}{2} k(x + y)^2$
$E = \frac{1}{2} k(x^2 + y^2 + 2xy)$
$E = \frac{1}{2} kx^2 + \frac{1}{2} ky^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} kxy$
$E_1 = \frac{1}{2} kx^2$ અને $E_2 = \frac{1}{2} ky^2$ હોવાથી,$x = \sqrt{\frac{2E_1}{k}}$ અને $y = \sqrt{\frac{2E_2}{k}}$ મળે.
આ કિંમતોને $E$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = E_1 + E_2 + 2 \cdot \frac{1}{2} k \left( \sqrt{\frac{2E_1}{k}} \right) \left( \sqrt{\frac{2E_2}{k}} \right)$
$E = E_1 + E_2 + k \left( \frac{2}{k} \sqrt{E_1 E_2} \right)$
$E = E_1 + E_2 + 2\sqrt{E_1 E_2}$

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કુલ ઊર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $(x)$ પર ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - x^2)$ છે.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x = \frac{a}{2}$,આ કિંમત ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - (\frac{a}{2})^2)$
$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - \frac{a^2}{4})$
$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{3a^2}{4})$
$K = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 a^2)$
કારણ કે $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$,તેથી $K = \frac{3}{4} E$.
આમ,કુલ ઊર્જાનો ગતિઊર્જા તરીકેનો ભાગ $3/4$ છે.

(C) $SHM$ માં $x$ સ્થાનાંતરે કણની ગતિઊર્જા $(K)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નીચે મુજબ છે:
$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
$U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
આપેલ છે કે $K = \frac{1}{n} U$,તેથી:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{1}{n} (\frac{1}{2} m \omega^2 x^2)$
$A^2 - x^2 = \frac{x^2}{n}$
$A^2 = x^2 + \frac{x^2}{n} = x^2 (1 + \frac{1}{n})$
$A^2 = x^2 (\frac{n+1}{n})$
$x^2 = A^2 (\frac{n}{n+1})$
$x = \sqrt{\frac{n}{n+1}} A$

(C) સરળ આવર્ત દોલકની કુલ ઊર્જા $(TE)$ અચળ હોય છે અને તે $TE = \frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે ગતિઊર્જા $(KE)$ એ કુલ ઊર્જા $(TE)$ ના $75 \%$ છે,તેથી $KE = 0.75 \ TE$.
કારણ કે $TE = KE + PE$,તેથી સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ એ $PE = TE - KE = TE - 0.75 \ TE = 0.25 \ TE$ થશે.
$PE$ અને $TE$ ના સૂત્રો મૂકતા: $\frac{1}{2} k x^2 = 0.25 \times (\frac{1}{2} k A^2)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $x^2 = 0.25 \ A^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \pm \frac{A}{2}$.
ઉગમબિંદુથી શરૂ થતા પદાર્થ માટે ($t=0$ સમયે $x=0$),સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
$x = \frac{A}{2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{A}{2} = A \sin(\omega t) \Rightarrow \sin(\omega t) = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega t = \frac{\pi}{6}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા,આપણને $(\frac{2\pi}{T}) t = \frac{\pi}{6}$ મળે છે.
$T = 2 \ s$ આપેલ હોવાથી,$(\frac{2\pi}{2}) t = \frac{\pi}{6} \Rightarrow \pi t = \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = \frac{1}{6} \ s$.

(N/A) કણની કુલ ઊર્જા,$E = 1 \; J$.
બળ અચળાંક,$k = 0.5 \; N m^{-1}$.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ ઊર્જા $E$ એ ગતિઊર્જા $K$ અને સ્થિતિઊર્જા $V(x)$ નો સરવાળો છે:
$E = K + V(x)$
$E = K + \frac{1}{2} k x^{2}$
વળાંકના બિંદુઓ (turning points) પર,કણ ક્ષણિક રીતે સ્થિર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો વેગ શૂન્ય છે,અને પરિણામે,તેની ગતિઊર્જા $K$ શૂન્ય છે.
તેથી,વળાંકના બિંદુઓ પર,કુલ ઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિતિઊર્જા છે:
$E = V(x)$
$1 = \frac{1}{2} k x^{2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$1 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times x^{2}$
$1 = 0.25 \times x^{2}$
$x^{2} = \frac{1}{0.25} = 4$
$x = \pm 2 \; m$.
આમ,જ્યારે કણ $x = \pm 2 \; m$ પર પહોંચે છે ત્યારે તેણે 'પાછા ફરવું' પડે છે.

(N/A) $SHM$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ કોણીય આવૃત્તિ છે.
કણનો વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos \omega t$ છે.
ગતિઊર્જા $E_k = \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} M A^2 \omega^2 \cos^2 \omega t$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t$ છે.
$T$ આવર્તકાળ પર સરેરાશ ગતિઊર્જા $\langle E_k \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T E_k dt = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} M A^2 \omega^2 \cos^2 \omega t dt$ છે.
$\cos^2 \omega t = \frac{1 + \cos 2 \omega t}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\langle E_k \rangle = \frac{M A^2 \omega^2}{2T} \int_0^T \frac{1 + \cos 2 \omega t}{2} dt = \frac{M A^2 \omega^2}{4T} [t + \frac{\sin 2 \omega t}{2 \omega}]_0^T = \frac{1}{4} M A^2 \omega^2 \dots (i)$ મળે છે.
$T$ આવર્તકાળ પર સરેરાશ સ્થિતિઊર્જા $\langle E_p \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T E_p dt = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t dt$ છે.
$\sin^2 \omega t = \frac{1 - \cos 2 \omega t}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\langle E_p \rangle = \frac{M \omega^2 A^2}{2T} \int_0^T \frac{1 - \cos 2 \omega t}{2} dt = \frac{M \omega^2 A^2}{4T} [t - \frac{\sin 2 \omega t}{2 \omega}]_0^T = \frac{1}{4} M A^2 \omega^2 \dots (ii)$ મળે છે.
$(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\langle E_k \rangle = \langle E_p \rangle$.

(N/A) સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા બ્લોક માટે,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ અચળ રહે છે અને તે $E = \frac{1}{2} k x_{m}^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x_{m}$ એ કંપવિસ્તાર છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $x$ પર સ્થિતિ ઉર્જા $V(x) = \frac{1}{2} k x^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $x$ પર ગતિ ઉર્જા $K(x) = E - V(x) = \frac{1}{2} k (x_{m}^{2} - x^{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંતુલન સ્થિતિ $(x = 0)$ પર,સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે અને ગતિ ઉર્જા મહત્તમ હોય છે,$K_{max} = \frac{1}{2} k x_{m}^{2}$.
અંતિમ સ્થાનો $(x = \pm x_{m})$ પર,ગતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે અને સ્થિતિ ઉર્જા મહત્તમ હોય છે,$V_{max} = \frac{1}{2} k x_{m}^{2}$.

સ્થાનાંતર $(x)$	ગતિ ઉર્જા $(K)$	સ્થિતિ ઉર્જા $(V)$	કુલ ઉર્જા $(E)$
$x_{m}$	$0$	$\frac{1}{2} k x_{m}^{2}$	$\frac{1}{2} k x_{m}^{2}$
$0$	$\frac{1}{2} k x_{m}^{2}$	$0$	$\frac{1}{2} k x_{m}^{2}$
$-x_{m}$	$0$	$\frac{1}{2} k x_{m}^{2}$	$\frac{1}{2} k x_{m}^{2}$

(C) કંપન ગતિ એ એક આવર્ત ગતિ છે જેમાં કણ તેના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ દોલનો કરે છે.
આ ગતિ દરમિયાન,કણ તેના વેગને કારણે ગતિ ઉર્જા અને તેના સરેરાશ સ્થાનથી સ્થાનાંતરને કારણે સ્થિતિ ઉર્જા ધરાવે છે.
તેથી,કંપન ગતિમાં ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જા વચ્ચે સતત અદલાબદલી થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તે બંને પ્રકારની ઉર્જા ધરાવે છે.

(N/A) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. ગતિઊર્જા $(K)$:
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$ છે.
$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(-A\omega \sin(\omega t + \phi))^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \phi)$.
$k = m\omega^2$ હોવાથી,$K = \frac{1}{2}kA^2 \sin^2(\omega t + \phi)$.
$2$. સ્થિતિઊર્જા $(U)$:
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ છે. આ બળની વિરુદ્ધ $dx$ જેટલું સ્થાનાંતર કરવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $dU = -F dx = kx dx$ છે.
$0$ થી $x$ સુધી સંકલન કરતા,$U = \int_0^x kx dx = \frac{1}{2}kx^2$.
$x = A \cos(\omega t + \phi)$ મૂકતા,$U = \frac{1}{2}kA^2 \cos^2(\omega t + \phi)$.
$3$. કુલ ઊર્જા $(E)$:
$E = K + U = \frac{1}{2}kA^2 \sin^2(\omega t + \phi) + \frac{1}{2}kA^2 \cos^2(\omega t + \phi)$.
$E = \frac{1}{2}kA^2 (\sin^2(\omega t + \phi) + \cos^2(\omega t + \phi)) = \frac{1}{2}kA^2$.

(N/A) $SHM$ કરતા કણ માટે,સ્થાનાંતર $x$ ના વિધેય તરીકે ગતિઊર્જા $K(x)$,સ્થિતિઊર્જા $U(x)$ અને કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ નીચે મુજબ છે:
ગતિઊર્જા: $K(x) = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$
સ્થિતિઊર્જા: $U(x) = \frac{1}{2} k x^2$
યાંત્રિક ઊર્જા: $E = K(x) + U(x) = \frac{1}{2} k A^2$
જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.

સ્થાનાંતર $(x)$	ગતિઊર્જા $(K)$	સ્થિતિઊર્જા $(U)$	યાંત્રિક ઊર્જા $(E)$
$0$	$\frac{1}{2} k A^2$	$0$	$\frac{1}{2} k A^2$
$\pm A/2$	$\frac{3}{8} k A^2$	$\frac{1}{8} k A^2$	$\frac{1}{2} k A^2$
$\pm A/\sqrt{2}$	$\frac{1}{4} k A^2$	$\frac{1}{4} k A^2$	$\frac{1}{2} k A^2$
$\pm A$	$0$	$\frac{1}{2} k A^2$	$\frac{1}{2} k A^2$

આલેખ દર્શાવે છે કે સ્થિતિઊર્જા ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે,ગતિઊર્જા નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે અને યાંત્રિક ઊર્જા એક અચળ આડી રેખા છે.

(N/A) $SHM$ કરતા કણ માટે સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
ગતિઊર્જા $K(t)$ નીચે મુજબ છે:
$K(t) = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t + \phi)$
સ્થિતિઊર્જા $U(t)$ નીચે મુજબ છે:
$U(t) = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t + \phi)$
કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$:
$E = K(t) + U(t) = \frac{1}{2} k A^2 (\cos^2(\omega t + \phi) + \sin^2(\omega t + \phi)) = \frac{1}{2} k A^2$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી, કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ સમય સાથે અચળ રહે છે.

સમય $(t)$	ગતિઊર્જા $(K)$	સ્થિતિઊર્જા $(U)$	કુલ ઊર્જા $(E)$
$0$	$\frac{1}{2} k A^2$	$0$	$\frac{1}{2} k A^2$
$T/4$	$0$	$\frac{1}{2} k A^2$	$\frac{1}{2} k A^2$
$T/2$	$\frac{1}{2} k A^2$	$0$	$\frac{1}{2} k A^2$
$3T/4$	$0$	$\frac{1}{2} k A^2$	$\frac{1}{2} k A^2$
$T$	$\frac{1}{2} k A^2$	$0$	$\frac{1}{2} k A^2$

(N/A) $m$ દળ ધરાવતા અને $\omega$ કોણીય આવૃત્તિ તથા $A$ કંપવિસ્તાર સાથે $SHM$ કરતા કણ માટે:
$(i)$ સ્થાનાંતર $x$ ના વિધેય તરીકે:
સ્થિતિઊર્જા $(U)$: $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
ગતિઊર્જા $(K)$: $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
$(ii)$ સમય $t$ ના વિધેય તરીકે (ધારો કે $x = A \sin(\omega t + \phi)$):
સ્થિતિઊર્જા $(U)$: $U = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \phi)$
ગતિઊર્જા $(K)$: $K = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \cos^2(\omega t + \phi)$

(A) સરળ આવર્ત દોલકની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ દોલનનો કંપવિસ્તાર છે.
$1$. યાંત્રિક ઊર્જા કંપવિસ્તાર $(A)$ અને બળ અચળાંક $(k)$ (અથવા દળ $m$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$,કારણ કે $k = m \omega^2$) પર આધાર રાખે છે.
$2$. યાંત્રિક ઊર્જા દોલકના તત્કાલીન સ્થાન $(x)$ અથવા તત્કાલીન સમય $(t)$ પર આધાર રાખતી નથી,કારણ કે તે સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.

(A) સરળ આવર્ત દોલક માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2}kx^2$ અને ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $k$ એ બળ અચળાંક છે.
છેદબિંદુ પર,$K = U$ થાય છે.
તેથી,$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{2}k$ દૂર કરતા,આપણને $x^2 = A^2 - x^2$ મળે છે.
$2x^2 = A^2$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = \frac{A^2}{2}$.
આમ,$x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$.
સ્થિતિ ઊર્જાના સમીકરણમાં $x^2 = \frac{A^2}{2}$ મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2}k(\frac{A^2}{2}) = \frac{1}{4}kA^2$ મળે છે.
કારણ કે $K = U$,ગતિ ઊર્જા પણ $\frac{1}{4}kA^2$ થશે.
આમ,છેદબિંદુઓના યામ $(x, E) = (\pm \frac{A}{\sqrt{2}}, \frac{1}{4}kA^2)$ છે.

(T/2) $SHM$ માં,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t) = \frac{1}{4} k A^2 (1 + \cos(2\omega t))$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t) = \frac{1}{4} k A^2 (1 - \cos(2\omega t))$ છે.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા બંનેના સમીકરણો $\cos(2\omega t)$ પર આધાર રાખે છે,જેની કોણીય આવૃત્તિ $2\omega$ છે.
$SHM$ નો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
તેથી,ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો આવર્તકાળ $T' = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{T}{2}$ થાય.

(B) $SHM$ કરતા કણની કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપનવિસ્તાર છે.
કુલ ઊર્જા $E$ માત્ર બળ અચળાંક $k$ અને કંપનવિસ્તાર $A$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
આથી,કુલ ઊર્જા તાત્કાલિક સ્થાનાંતર $x$ પર આધાર રાખતી નથી.
આપેલ છે કે $A = 4 \, cm$ પર કુલ ઊર્જા $20 \, J$ છે,તેથી કોઈપણ અન્ય સ્થાનાંતર $x$ ($-A$ થી $A$ ની વચ્ચે) પર પણ કુલ ઊર્જા $20 \, J$ જ રહેશે.

(A) $SHM$ માં,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
સંતુલન બિંદુ (મધ્યમાન સ્થાન) પર,સ્થાનાંતર $x = 0$ હોય છે. ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ હોવાથી,તે $x = 0$ પર મહત્તમ હોય છે.
અંતિમ સ્થાનો પર,સ્થાનાંતર $x = \pm A$ હોય છે. સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} kx^2$ હોવાથી,તે $x = \pm A$ પર મહત્તમ હોય છે.

(B) ધારો કે સ્થિતિઊર્જા $U$ છે અને ગતિઊર્જા $K$ છે. આપણને આપેલ છે કે $U = K$.
મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ અંતરે $SHM$ કરતા કણની સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે.
$x$ અંતરે કણની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
$U = K$ લેતા:
$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$
બંને બાજુથી $\frac{1}{2} k$ દૂર કરતા:
$x^2 = A^2 - x^2$
$2x^2 = A^2$
$x^2 = \frac{A^2}{2}$
$x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$
અહીં $A = 4 \, cm$ આપેલ છે,તેથી:
$x = \pm \frac{4}{\sqrt{2}} = \pm 2\sqrt{2} \, cm$.
આમ,મધ્યમાન સ્થાનથી $2\sqrt{2} \, cm$ અંતરે સ્થિતિઊર્જા અને ગતિઊર્જા સમાન થશે.

(B) $SHM$ ઓસિલેટરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
કારણ કે $k = m \omega^2$,આપણે લખી શકીએ $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $SHM$ ઓસિલેટરનો મહત્તમ વેગ $v_{\max} = \omega A$ છે.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $E = \frac{1}{2} m (\omega A)^2 = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$.
$v_{\max}$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા,આપણને મળે $v_{\max}^2 = \frac{2E}{m}$.
તેથી,$v_{\max} = \sqrt{\frac{2E}{m}}$.