Variable Mass System and Rocket Problem Questions in Hindi

(D) दिया गया त्वरण $a = 19.6 \,m/s^2 = 2g$ (जहाँ $g = 9.8 \,m/s^2$ है)।
चरण $1$: $t_1 = 5 \,s$ तक इंजन चालू रहने पर गति।
$t_1 = 5 \,s$ पर प्राप्त वेग $v = u + at_1 = 0 + (19.6)(5) = 98 \,m/s$ है।
इस चरण के दौरान प्राप्त ऊँचाई $h_1 = ut_1 + \frac{1}{2}at_1^2 = 0 + \frac{1}{2}(19.6)(5)^2 = 245 \,m$ है।
चरण $2$: इंजन बंद होने के बाद गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति।
रॉकेट $u_2 = 98 \,m/s$ के प्रारंभिक वेग और $a_2 = -g = -9.8 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करता है।
अधिकतम ऊँचाई पर,अंतिम वेग $v_2 = 0$ हो जाता है।
$v_2^2 = u_2^2 + 2a_2h_2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $0 = (98)^2 + 2(-9.8)h_2$।
$19.6h_2 = 9604 \Rightarrow h_2 = 490 \,m$।
कुल ऊँचाई $H = h_1 + h_2 = 245 + 490 = 735 \,m$।

(B) रॉकेट पर लगने वाला बल परिवर्ती द्रव्यमान प्रणाली के लिए थ्रस्ट सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = v_{rel} \left( \frac{dm}{dt} \right)$.
दिया गया है:
द्रव्यमान उत्सर्जन की दर,$\frac{dm}{dt} = 0.05\, kg/s$.
गैस का वेग,$v_{rel} = 400\, m/s$.
सूत्र में मान रखने पर:
$F = 400\, m/s \times 0.05\, kg/s = 20\, N$.
अतः,रॉकेट पर लगने वाला त्वरण बल $20\, N$ है।

(B) सिस्टम पर लगने वाला थ्रस्ट बल $F$,दागी गई गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$F = v_{rel} \cdot \frac{dm}{dt}$
यहाँ,$v_{rel} = 500 \,m/s$ कार के सापेक्ष गोली का वेग है।
एक गोली का द्रव्यमान $m_b = 10 \,g = 0.01 \,kg$ है।
प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या $n = 10 \,bullets/s$ है।
अतः,द्रव्यमान उत्सर्जन की दर $\frac{dm}{dt} = n \times m_b = 10 \times 0.01 \,kg/s = 0.1 \,kg/s$ है।
इन मानों को थ्रस्ट के सूत्र में रखने पर:
$F = 500 \,m/s \times 0.1 \,kg/s = 50 \,N$.
इस प्रकार,सिस्टम पर औसत थ्रस्ट $50 \,N$ है।

(D) माना $u$ कार के सापेक्ष गोली का वेग है।
द्रव्यमान उत्सर्जन की दर $\frac{dm}{dt}$ मशीन गन द्वारा प्रति सेकंड फेंका गया द्रव्यमान है।
$\frac{dm}{dt} = \text{एक गोली का द्रव्यमान} \times \text{प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या}$
$\frac{dm}{dt} = 10 \,g \times 10 \,bullets/s = 100 \,g/s = 0.1 \,kg/s$.
कार पर लगने वाला प्रणोद बल (thrust force) $F = u \frac{dm}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$F = 500 \,m/s \times 0.1 \,kg/s = 50 \,N$.
कार का त्वरण $a = \frac{F}{M}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ कार का द्रव्यमान है।
$a = \frac{50 \,N}{2000 \,kg} = \frac{1}{40} \,m/s^2 = 0.025 \,m/s^2$.

(A) पानी की बौछार द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया बल,ब्लॉक से टकराने वाले पानी के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$F = v \cdot \frac{dm}{dt}$
यहाँ,$v = 5 \, m/s$ और $\frac{dm}{dt} = 1 \, kg/s$ दिया गया है।
$F = 5 \times 1 = 5 \, N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,जहाँ $m = 2 \, kg$ ब्लॉक का द्रव्यमान है।
$a = \frac{F}{m} = \frac{5}{2} = 2.5 \, m/s^2$.
अतः,ब्लॉक का प्रारंभिक त्वरण $2.5 \, m/s^2$ है।

(A) जब द्रव्यमान जोड़ा जाता है तब कन्वेयर बेल्ट के वेग को स्थिर रखने के लिए आवश्यक बल का सूत्र $F = v \left( \frac{dm}{dt} \right)$ है।
यहाँ,बेल्ट का वेग $v = 2 \, m/s$ है और कंकड़ गिरने की दर $\frac{dm}{dt} = 0.5 \, kg/s$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = 2 \, m/s \times 0.5 \, kg/s = 1 \, N$.
अतः,बेल्ट को स्थिर गति से गतिशील रखने के लिए $1 \, N$ के अतिरिक्त बल की आवश्यकता होती है।

(C) रॉकेट पर लगने वाला प्रणोद बल $F$ सूत्र $F = v_e \left( \frac{dm}{dt} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_e$ उत्सर्जित गैसों का वेग है और $\frac{dm}{dt}$ ईंधन की खपत की दर है।
दिया गया है:
$v_e = 5 \times 10^4\, m/s$
$\frac{dm}{dt} = 40\, kg/s$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = (5 \times 10^4\, m/s) \times (40\, kg/s)$
$F = 200 \times 10^4\, N$
$F = 2 \times 10^6\, N$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) प्रक्षेपण के क्षण रॉकेट पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर थ्रस्ट बल $(F)$ और नीचे की ओर भार $(mg)$ हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,नेट बल $F_{net} = F - mg = ma$ होता है।
इसलिए,आवश्यक थ्रस्ट $F = m(g + a)$ है।
दिया गया है: $m = 20 \times 10^3 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,और $a = 4 \, m/s^2$।
मान रखने पर: $F = 20 \times 10^3 \times (10 + 4) = 20 \times 10^3 \times 14 = 280 \times 10^3 \, N = 28 \times 10^4 \, N$।

(A) रॉकेट पर कार्य करने वाला थ्रस्ट बल $F$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F = u \left( \frac{dm}{dt} \right)$
जहाँ $u$ निकास वेग है और $\frac{dm}{dt}$ ईंधन के दहन की दर है।
दिया गया है:
$F = 210 \, N$
$u = 300 \, m/s$
$\frac{dm}{dt}$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dm}{dt} = \frac{F}{u}$
मान रखने पर:
$\frac{dm}{dt} = \frac{210}{300} = 0.7 \, kg/s$
अतः,ईंधन के दहन की दर $0.7 \, kg/s$ है।

(B) रॉकेट को $a$ के ऊर्ध्व त्वरण के साथ ऊपर उठाने के लिए आवश्यक थ्रस्ट बल $F$ समीकरण द्वारा दिया जाता है: $F = v_{ex} \cdot \frac{dm}{dt} = m(g + a)$।
यहाँ,$m = 5000\, kg$ रॉकेट का द्रव्यमान है,$g = 10\, m/s^2$ गुरुत्वीय त्वरण है,$a = 20\, m/s^2$ आवश्यक ऊर्ध्व त्वरण है,और $v_{ex} = 800\, m/s$ निकास गति है।
द्रव्यमान उत्सर्जन की दर $\frac{dm}{dt}$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dm}{dt} = \frac{m(g + a)}{v_{ex}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{dm}{dt} = \frac{5000 \times (10 + 20)}{800}$
$\frac{dm}{dt} = \frac{5000 \times 30}{800} = \frac{150000}{800} = 187.5\, kg/s$।
अतः,प्रति सेकंड उत्सर्जित गैस की मात्रा $187.5\, kg/s$ है।

(A) जब किसी निकाय में द्रव्यमान जोड़ा जा रहा हो तो एकसमान वेग बनाए रखने के लिए आवश्यक बल का सूत्र $F = v \cdot \frac{dm}{dt}$ होता है।
यहाँ,वेग $v = 20 \, m/s$ है।
द्रव्यमान जोड़ने की दर $\frac{dm}{dt} = 50 \, kg/min = \frac{50}{60} \, kg/s = \frac{5}{6} \, kg/s$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = 20 \times \frac{5}{6} = \frac{100}{6} = 16.66 \, N$.
अतः,आवश्यक अतिरिक्त बल $16.66 \, N$ है।

(B) गैसों के निष्कासन के कारण रॉकेट पर लगने वाला बल $F = v_{rel} \left( \frac{dm}{dt} \right)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,गैसों की गति $v_{rel} = 500\,m/s$ है।
द्रव्यमान निष्कासन की दर $\frac{dm}{dt} = 50\,g/s = 50 \times 10^{-3}\,kg/s = 0.05\,kg/s$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = 500 \times 0.05 = 25\,N.$
अतः,रॉकेट पर लगने वाला त्वरण बल $25\,N$ है।

(C) ऊपर की ओर गति करने वाले रॉकेट के लिए बल का समीकरण है: $F_{thrust} - mg = ma$
इसलिए,प्रारंभिक थ्रस्ट: $F_{thrust} = m(g + a)$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 3.5 \times 10^4 \ kg$
त्वरण $a = 10 \ m/s^2$
गुरुत्वीय त्वरण $g \approx 10 \ m/s^2$
मान रखने पर:
$F_{thrust} = 3.5 \times 10^4 \times (10 + 10)$
$F_{thrust} = 3.5 \times 10^4 \times 20$
$F_{thrust} = 70 \times 10^4 \ N = 7.0 \times 10^5 \ N$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) डिस्क का भार पत्थरों द्वारा डिस्क पर लगाए गए औसत बल द्वारा संतुलित होता है।
जब एक पत्थर डिस्क से टकराता है,तो वह एक आवेगी बल लगाता है।
यह मानते हुए कि पत्थर टकराकर रुक जाते हैं,प्रति सेकंड $n$ पत्थरों द्वारा लगाया गया बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = n \cdot \Delta p = n \cdot m \cdot v$
यहाँ $n = 40\,s^{-1}$,$m = 0.05\,kg$,और $v = 6\,m/s$ दिया गया है:
$F = 40 \times 0.05 \times 6 = 12\,N$
डिस्क को संतुलन में रखने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला बल डिस्क के भार के बराबर होना चाहिए:
$F = Mg$
$12 = M \times 10$
$M = \frac{12}{10} = 1.2\,kg$

(C) परिवर्तनीय द्रव्यमान प्रणाली के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार उपग्रह पर कार्य करने वाला बल $F = \frac{d}{dt}(Mv)$ है।
चूंकि उपग्रह बल-मुक्त अंतरिक्ष में है,इसलिए कुल बाहरी बल $F = 0$ है।
अवकलन का विस्तार करने पर: $F = M \frac{dv}{dt} + v \frac{dM}{dt} = 0$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि द्रव्यमान संचय की दर $\frac{dM}{dt} = \alpha v$ है,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$M \frac{dv}{dt} + v(\alpha v) = 0$ प्राप्त होता है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$M \frac{dv}{dt} = -\alpha v^2$ प्राप्त होता है।
अतः,मंदन (या त्वरण) $a = -\frac{\alpha v^2}{M}$ है।

(B) रॉकेट पर कार्य करने वाला प्रणोद बल (thrust force) $F$ सूत्र $F = v_{rel} \left( \frac{dm}{dt} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_{rel}$ उत्सर्जित गैसों का सापेक्ष वेग है और $\frac{dm}{dt}$ ईंधन की खपत की दर है।
दिया गया है:
सापेक्ष वेग $v_{rel} = 500 \, m/s$
ईंधन की खपत की दर $\frac{dm}{dt} = 1 \, kg/s$
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = 500 \times 1 = 500 \, N$.
अतः,रॉकेट पर प्रारंभिक प्रणोद $500 \, N$ है।

(A) रॉकेट पर लगने वाला प्रणोद बल $F$ सूत्र $F = v_{rel} \left( \frac{dm}{dt} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_{rel}$ रॉकेट के सापेक्ष उत्सर्जित गैसों का वेग है और $\frac{dm}{dt}$ द्रव्यमान के उपभोग की दर है।
दिया गया है:
$v_{rel} = 3000 \, m/s$
$\frac{dm}{dt} = 4 \, kg/s$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = 3000 \times 4 = 12000 \, N$.
अतः,रॉकेट पर उत्पन्न प्रणोद $12000 \, N$ है।

(C) रॉकेट की गति रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है।
जैसे-जैसे ईंधन जलता है,गर्म गैसें बहुत उच्च वेग के साथ रॉकेट के नोजल से नीचे की दिशा में बाहर निकलती हैं।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,ये गैसें रॉकेट पर ऊपर की दिशा में समान और विपरीत प्रतिक्रिया बल लगाती हैं।
यह ऊपर की ओर लगने वाला बल रॉकेट को गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध ऊपर उठाने के लिए आवश्यक प्रणोद (thrust) प्रदान करता है।

(D) न्यूटन के गति के $3^{rd}$ नियम के अनुसार,रॉकेट से बाहर निकलने वाली गैसें रॉकेट पर एक समान और विपरीत बल लगाती हैं,जिसे थ्रस्ट (thrust) कहा जाता है।
यह थ्रस्ट रॉकेट को ऊपर की ओर धकेलता है,जिससे यह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल को पार करने में सक्षम हो जाता है।
इसलिए,रॉकेट की ऊपर की ओर गति का सही कारण इसके द्वारा उत्सर्जित गैसों द्वारा रॉकेट पर लगाया गया बल है।

(B) रॉकेट पर लगने वाला प्रणोद बल (thrust force) $F_{thrust} = v_{rel} \left( \frac{dm}{dt} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $v_{rel} = 400 \, m/s$ और $\frac{dm}{dt} = 5 \, kg/s$ दिया गया है,इसलिए प्रणोद बल $F_{thrust} = 400 \times 5 = 2000 \, N$ है।
रॉकेट पर लगने वाला कुल बल $F_{net} = F_{thrust} - mg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$ma = F_{thrust} - mg$,इसलिए $a = \frac{F_{thrust}}{m} - g$।
मान रखने पर: $a = \frac{2000}{100} - 10 = 20 - 10 = 10 \, m/s^2$।

(D) प्लेट पर कार्य करने वाला बल संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है,$F = \frac{dp}{dt} = v_{rel} \left( \frac{dm}{dt} \right)$.
प्लेट के सापेक्ष पानी के जेट का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_1 + v_2$ है।
प्रति सेकंड प्लेट तक पहुँचने वाले पानी का द्रव्यमान $\frac{dm}{dt} = \rho A v_{rel}$ है,जहाँ $A$ जेट का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
चूंकि जेट $v_2$ गति से प्रति सेकंड $V$ आयतन पानी छोड़ता है,इसलिए क्षेत्रफल $A = \frac{V}{v_2}$ है।
अतः,$\frac{dm}{dt} = \rho \left( \frac{V}{v_2} \right) (v_1 + v_2)$.
इन मानों को बल के समीकरण में रखने पर: $F = (v_1 + v_2) \times \left[ \rho \left( \frac{V}{v_2} \right) (v_1 + v_2) \right]$.
अतः,$F = \rho \left[ \frac{V}{v_2} \right] (v_1 + v_2)^2$.

(C) रॉकेट रैखिक संवेग संरक्षण के नियम पर कार्य करता है।
जैसे-जैसे ईंधन जलता है,रॉकेट गर्म गैसों को उच्च वेग के साथ पीछे की दिशा में बाहर निकालता है।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,ये गैसें रॉकेट पर समान और विपरीत दिशा में बल लगाती हैं,जिससे रॉकेट को आगे बढ़ने के लिए आवश्यक प्रणोद (thrust) मिलता है।
चूंकि बाहरी बलों की अनुपस्थिति में निकाय (रॉकेट + गैसें) का कुल संवेग स्थिर रहता है,इसलिए रॉकेट बाहर निकलने वाली गैसों के संवेग के बराबर ही आगे की दिशा में संवेग प्राप्त करता है।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम $(COCM)$ का उपयोग करते हुए:
$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) v'$
$(5 \times 10^3) \times 1.2 = (5 \times 10^3 + 10^3) \times v'$
$6 \times 10^3 = 6 \times 10^3 \times v'$
$v' = 1 \ m/s$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE_i)$:
$KE_i = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^3) \times (1.2)^2 = 0.5 \times 5000 \times 1.44 = 3600 \ J$
अंतिम गतिज ऊर्जा $(KE_f)$:
$KE_f = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v'^2 = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^3) \times (1)^2 = 3000 \ J$
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta KE)$:
$\Delta KE = KE_i - KE_f = 3600 - 3000 = 600 \ J$

(A) जब किसी गतिशील प्रणाली में द्रव्यमान जोड़ा जाता है,तो स्थिर वेग बनाए रखने के लिए आवश्यक बल थ्रस्ट बल के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = v \frac{dm}{dt}$.
दिया गया है:
वेग $v = 20 \, m/s$.
द्रव्यमान जोड़ने की दर $\frac{dm}{dt} = 50 \, kg/min = \frac{50}{60} \, kg/s = \frac{5}{6} \, kg/s$.
मान रखने पर:
$F = 20 \times \frac{5}{6} = \frac{100}{6} = 16.66 \, N$.
अतः,आवश्यक बल $16.66 \, N$ है।

(C) रॉकेट पर लगने वाले प्रणोद बल $F$ का सूत्र $F = v \left( \frac{dm}{dt} \right)$ है,जहाँ $v$ गैसों का वेग है और $\frac{dm}{dt}$ ईंधन की खपत की दर है।
दिया गया है:
गैसों का वेग $v = 5 \times 10^4 \ m/s$
ईंधन की खपत की दर $\frac{dm}{dt} = 40 \ kg/s$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = (5 \times 10^4 \ m/s) \times (40 \ kg/s)$
$F = 200 \times 10^4 \ N$
$F = 2 \times 10^6 \ N$
अतः,रॉकेट पर लगने वाला बल $2 \times 10^6 \ N$ है।

(C) कन्वेयर बेल्ट की गति को बनाए रखने के लिए आवश्यक बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वेग $v$ स्थिर है,बल $F = \frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt}(mv)$ है।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$F = v \frac{dm}{dt} + m \frac{dv}{dt}$।
चूंकि वेग $v$ स्थिर है,इसलिए $\frac{dv}{dt} = 0$ होगा।
यह दिया गया है कि द्रव्यमान जमा होने की दर $\frac{dm}{dt} = M \ kg/s$ है,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$F = v \cdot M + m \cdot 0 = Mv$।
अतः,कन्वेयर बेल्ट को $v \ m/s$ के निरंतर वेग से गतिमान रखने के लिए आवश्यक बल $Mv \ N$ है।

(B) किसी भी समय $t$ पर बर्फ के टुकड़े का द्रव्यमान $m(t) = m_0 - \mu t$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सतह घर्षणहीन है और कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है,इसलिए टुकड़े का संवेग संरक्षित रहता है।
हालाँकि,वेग $v$ स्थिर रहता है क्योंकि क्षैतिज दिशा में टुकड़े पर कोई बल कार्य नहीं कर रहा है $(F = \frac{dp}{dt} = 0)$।
टुकड़ा पूरी तरह से तब पिघलता है जब $m(t) = 0$ होता है,जो $T = \frac{m_0}{\mu}$ समय पर होता है।
तय की गई दूरी $d$ वेग और समय का गुणनफल है: $d = v \times T$।
$T$ का मान रखने पर,हमें $d = v \times \frac{m_0}{\mu} = \frac{m_0v}{\mu}$ प्राप्त होता है।

(B) माना जंजीर की लंबाई $L = 2 \ m$ और द्रव्यमान $M = 1 \ kg$ है। रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda = M/L = 0.5 \ kg/m$ है।
$t$ समय पर,ऊपरी सिरे द्वारा तय की गई दूरी $y = \frac{1}{2}gt^2$ है। $g = 10 \ m/s^2$ और $t = 1/\sqrt{5} \ s$ लेने पर,$y = \frac{1}{2} \times 10 \times (1/\sqrt{5})^2 = 5 \times (1/5) = 1 \ m$ है।
जमीन पर जंजीर की लंबाई $y = 1 \ m$ है। हवा में बची हुई जंजीर की लंबाई $L - y = 2 - 1 = 1 \ m$ है।
जमीन पर स्थित भाग का द्रव्यमान केंद्र $h_1 = 0 \ m$ की ऊँचाई पर है।
हवा में स्थित भाग का द्रव्यमान केंद्र $h_2 = y + \frac{L-y}{2} = 1 + \frac{1}{2} = 1.5 \ m$ की ऊँचाई पर है।
जमीन पर स्थित भाग का द्रव्यमान $m_1 = \lambda y = 0.5 \times 1 = 0.5 \ kg$ है।
हवा में स्थित भाग का द्रव्यमान $m_2 = \lambda(L-y) = 0.5 \times 1 = 0.5 \ kg$ है।
पूरी जंजीर के द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई $H_{cm} = \frac{m_1 h_1 + m_2 h_2}{m_1 + m_2} = \frac{0.5 \times 0 + 0.5 \times 1.5}{0.5 + 0.5} = 0.75 \ m$ प्राप्त होती है।

(C) बाहर निकलने वाली गैस द्वारा लगाया गया ऊर्ध्व प्रणोद बल $F_T = v_{rel} \cdot \frac{dm}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_{rel} = 980\, m/s$ निकास गति है और $\frac{dm}{dt}$ द्रव्यमान के बाहर निकलने की दर है।
रॉकेट के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल $F_{net} = F_T - mg = ma$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $980 \cdot \frac{dm}{dt} - 4000 \times 9.8 = 4000 \times 19.6$.
$980 \cdot \frac{dm}{dt} = 4000 \times 19.6 + 4000 \times 9.8$.
$980 \cdot \frac{dm}{dt} = 4000 \times (19.6 + 9.8) = 4000 \times 29.4$.
$\frac{dm}{dt} = \frac{4000 \times 29.4}{980} = 4000 \times 0.03 = 120\, kg/s$.
अतः,गैस को $120\, kg/s$ की दर से बाहर निकाला जाना चाहिए।

(B) रेल कार और रेत को एक ही निकाय (system) के रूप में मानें। इस निकाय पर क्षैतिज दिशा में कार्य करने वाले बाहरी बल शून्य हैं क्योंकि ट्रैक घर्षण रहित है और रेत लंबवत रूप से नीचे गिर रही है।
रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,निकाय का कुल संवेग स्थिर रहना चाहिए।
निकाय का संवेग $P = Mv$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ कार और रेत का कुल द्रव्यमान है,और $v$ कार का वेग है।
जैसे-जैसे रेत लंबवत रूप से बाहर निकलती है,यह कार के सापेक्ष कोई क्षैतिज संवेग नहीं ले जाती है। चूंकि रेत सीधे नीचे गिर रही है,इसलिए इसका क्षैतिज वेग घटक उस क्षण कार के क्षैतिज वेग के बराबर रहता है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कार का क्षैतिज वेग नहीं बदलता है।
इसलिए,रेल कार की गति $v_0$ ही बनी रहती है।

(A) $1\ \text{मिनट}$ $(= 60\ s)$ में रॉकेट द्वारा तय की गई दूरी, जिसमें परिणामी त्वरण ऊपर की ओर $10\ m/s^2$ है, $h_1 = \frac{1}{2} \times 10 \times 60^2 = 18000\ m = 18\ km$ है।
$1\ \text{मिनट}$ के अंत में रॉकेट द्वारा प्राप्त वेग $v = u + at = 0 + 10 \times 60 = 600\ m/s$ है।
ईंधन समाप्त होने के बाद, रॉकेट गुरुत्वाकर्षण के तहत ऊपर की ओर गति करता है। त्वरण $-g = -10\ m/s^2$ है। यह अधिकतम ऊँचाई $h_2$ तक पहुँचता है जब इसका अंतिम वेग $0$ हो जाता है। $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर, $0 = (600)^2 - 2 \times 10 \times h_2$, जिससे $h_2 = \frac{360000}{20} = 18000\ m = 18\ km$ प्राप्त होता है।
जमीन से प्राप्त कुल अधिकतम ऊँचाई $h = h_1 + h_2 = 18\ km + 18\ km = 36\ km$ है।
ईंधन समाप्त होने के बाद अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय ज्ञात करने के लिए, हम $v = u + at$ का उपयोग करते हैं, जहाँ $v = 0$, $u = 600\ m/s$, और $a = -10\ m/s^2$ है। इस प्रकार, $0 = 600 - 10t$, जिससे $t = 60\ s = 1\ \text{मिनट}$ प्राप्त होता है।

(A) द्रव्यमान जमा होने की दर $\frac{dm}{dt} = 20 \ kg/s$ है।
कन्वेयर बेल्ट का वेग $v = 10 \ m/min = \frac{10}{60} \ m/s = \frac{1}{6} \ m/s$ है।
स्थिर वेग बनाए रखने के लिए,बेल्ट पर लगाया गया बल $F$ जमा हो रही रेत को संवेग प्रदान करना चाहिए।
बल का सूत्र $F = v \frac{dm}{dt}$ है।
मान रखने पर: $F = (\frac{1}{6} \ m/s) \times (20 \ kg/s) = \frac{20}{6} \ N = \frac{10}{3} \ N$.

(C) किसी भी क्षण रॉकेट का वेग त्सिओल्कोवस्की रॉकेट समीकरण द्वारा दिया जाता है: $v = v_e \ln \left( \frac{m_0}{m} \right)$.
यहाँ,$v_e$ रॉकेट के सापेक्ष निकास वेग है,$m_0$ प्रारंभिक द्रव्यमान है,और $m$ अंतिम द्रव्यमान है।
यह दिया गया है कि अंतिम द्रव्यमान $m = \frac{m_0}{2}$ है,इसलिए हम इस मान को समीकरण में रखते हैं:
$v = v_e \ln \left( \frac{m_0}{m_0/2} \right)$
$v = v_e \ln(2)$
चूंकि $\ln(2) \approx 0.693$,इसलिए रॉकेट द्वारा प्राप्त वेग $v \approx 0.69 \ v_e$ होगा।

(B) रस्सी को खींचने के लिए आवश्यक बल गति में आने वाली रस्सी के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
जैसे ही रस्सी खींची जाती है,ढेर का एक स्थिर हिस्सा $v$ गति प्राप्त कर लेता है।
$dt$ समय में खींची गई रस्सी का द्रव्यमान $dm = \lambda dx$ है,जहाँ $dx = v dt$ है।
अतः,$dm = \lambda v dt$.
आवश्यक बल $F$ थ्रस्ट बल के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = v_{rel} \frac{dm}{dt}$.
यहाँ,$v_{rel} = v$ (वह गति जिस पर रस्सी को स्थिर अवस्था से खींचा जा रहा है)।
मान रखने पर: $F = v \cdot \frac{\lambda v dt}{dt} = \lambda v^2$.

(B) चूंकि ट्रॉली-पानी प्रणाली पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए क्षैतिज संवेग संरक्षित रहता है।
मान लीजिए प्रारंभिक द्रव्यमान $M_0 = 4000\, kg$ और प्रारंभिक वेग $v_0 = 40\, m/s$ है।
द्रव्यमान घटने की दर $\frac{dm}{dt} = 8\, kg/s$ है।
$t = 50\, s$ समय के बाद,खोया हुआ पानी का द्रव्यमान $\Delta m = (8\, kg/s) \times (50\, s) = 400\, kg$ है।
ट्रॉली का अंतिम द्रव्यमान $M = M_0 - \Delta m = 4000 - 400 = 3600\, kg$ है।
चूंकि पानी लंबवत नीचे गिरता है,इसलिए यह अपने साथ कोई क्षैतिज संवेग नहीं ले जाता है। अतः,ट्रॉली का क्षैतिज वेग स्थिर रहता है।
$P_{initial} = P_{final} \implies M_0 v_0 = M v$
$4000 \times 40 = 3600 \times v$
$v = \frac{160000}{3600} = \frac{1600}{36} = \frac{400}{9} \approx 44.44\, m/s$.

(D) जंजीर का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{2\,kg}{2\,m} = 1\,kg/m$ है।
चूंकि जंजीर को $v = 2\,m/s$ की स्थिर गति से खींचा जा रहा है,इसलिए द्रव्यमान के गति में आने की दर $\frac{dm}{dt} = \lambda v$ है।
मान रखने पर,$\frac{dm}{dt} = 1\,kg/m \times 2\,m/s = 2\,kg/s$ प्राप्त होता है।
जंजीर को खींचने के लिए आवश्यक बल $F = v \frac{dm}{dt} = v(\lambda v) = \lambda v^2$ है।
$F = 1\,kg/m \times (2\,m/s)^2 = 4\,N$ प्राप्त होता है।
दी गई शक्ति $P = F \cdot v = 4\,N \times 2\,m/s = 8\,W$ है।

(A) बंदूक को पीछे हटने (recoil) से रोकने के लिए आवश्यक बल प्रति सेकंड दागी गई गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
बल $F$ का सूत्र $F = n \cdot m \cdot v$ है,जहाँ:
$n$ प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या है $(n = 5)$,
$m$ प्रत्येक गोली का द्रव्यमान है $(m = 50 \, g = 0.05 \, kg)$,
$v$ गोली का वेग है $(v = 300 \, m/s)$।
मान रखने पर:
$F = 5 \times 0.05 \, kg \times 300 \, m/s$
$F = 5 \times 15 = 75 \, N$।
अतः,बंदूक को पीछे हटने से रोकने के लिए व्यक्ति को $75 \, N$ का बल लगाना होगा।

(B) रॉकेट के भार को संतुलित करने के लिए आवश्यक थ्रस्ट बल $F = mg$ द्वारा दिया जाता है।
रॉकेट इंजन द्वारा उत्पन्न थ्रस्ट बल $F = v \frac{dm}{dt}$ होता है,जहाँ $v$ निकास गति है और $\frac{dm}{dt}$ द्रव्यमान उत्सर्जन की दर है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $mg = v \frac{dm}{dt}$.
द्रव्यमान उत्सर्जन की दर के लिए सूत्र: $\frac{dm}{dt} = \frac{mg}{v}$.
यहाँ $m = 600\; kg$,$g = 10\; m/s^2$,और $v = 1000\; m/s$ दिया गया है:
$\frac{dm}{dt} = \frac{600 \times 10}{1000} = \frac{6000}{1000} = 6\; kg/s$.

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,रॉकेट पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = m \cdot a$ है।
रॉकेट पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर थ्रस्ट $(T)$ और नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $(W = mg)$ हैं।
इसलिए,$T - mg = ma$।
थ्रस्ट के लिए सूत्र: $T = m(g + a)$।
दिया गया है: $m = 3.5 \times 10^4 \,kg$,$a = 10 \,m/s^2$,और $g = 10 \,m/s^2$ लेने पर।
$T = (3.5 \times 10^4) \times (10 + 10) \,N$।
$T = (3.5 \times 10^4) \times 20 \,N$।
$T = 70 \times 10^4 \,N = 7.0 \times 10^5 \,N$।

(C) बाहर निकलने वाली गैसों द्वारा रॉकेट पर लगाया गया प्रणोद बल (thrust force) $F_{\text{thrust}} = v_{\text{rel}} \cdot \frac{dm}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,रॉकेट पर कुल बल $F_{\text{net}} = F_{\text{thrust}} - mg = ma$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $m = 100\,g = 0.1\,kg$,$\frac{dm}{dt} = 10\,g/s = 0.01\,kg/s$,$a = 5\,m/s^2$,और $g = 10\,m/s^2$.
$v_{\text{rel}} \cdot (0.01) - (0.1)(10) = (0.1)(5)$.
$v_{\text{rel}} \cdot (0.01) - 1 = 0.5$.
$v_{\text{rel}} \cdot (0.01) = 1.5$.
$v_{\text{rel}} = \frac{1.5}{0.01} = 150\,m/s$.

(C) चरण $1$: पावर्ड फ्लाइट के दौरान प्राप्त ऊँचाई $(S_1)$ की गणना करें।
दिया गया त्वरण $a = 20\, m/s^2$,समय $t = 5\, s$,और प्रारंभिक वेग $u = 0\, m/s$ है।
$S_1 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 20 \times 5^2 = 250\, m$।
चरण $2$: पावर्ड फ्लाइट के अंत में वेग $(v)$ की गणना करें।
$v = u + at = 0 + 20 \times 5 = 100\, m/s$।
चरण $3$: इंजन बंद होने के बाद प्राप्त अतिरिक्त ऊँचाई $(S_2)$ की गणना करें।
इस बिंदु पर,रॉकेट गुरुत्वाकर्षण के अधीन है ($g = 10\, m/s^2$ नीचे की ओर)। अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $0\, m/s$ है।
$v_f^2 = v^2 - 2gS_2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $0 = 100^2 - 2 \times 10 \times S_2$।
$S_2 = \frac{10000}{20} = 500\, m$।
चरण $4$: कुल ऊँचाई $H = S_1 + S_2 = 250 + 500 = 750\, m$।

(C) रॉकेट पर लगने वाला प्रणोद बल (thrust force) $F = v_{rel} \cdot \frac{dM}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $v_{rel} = 5 \ km/s = 5000 \ m/s$,$\frac{dM}{dt} = 10 \ kg/s$.
$F = 5000 \times 10 = 50000 \ N$.
समय $t$ पर रॉकेट का द्रव्यमान $M(t) = M_0 - (\frac{dM}{dt})t$ होता है।
$t = 50 \ s$ पर,$M(50) = 1500 - (10 \times 50) = 1500 - 500 = 1000 \ kg$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = M(t) \cdot a$.
$a = \frac{F}{M(t)} = \frac{50000}{1000} = 50 \ ms^{-2}$.

(B) दिया गया है: रॉकेट का द्रव्यमान $m = 2 \times 10^4\,kg$.
प्रारंभिक त्वरण $a = 5\,m\,s^{-2}$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m\,s^{-2}$.
रॉकेट ऊपर की ओर गति कर रहा है,इसलिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार रॉकेट पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = ma$ है।
रॉकेट पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर थ्रस्ट $T$ और नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं।
इसलिए,गति का समीकरण: $T - mg = ma$.
थ्रस्ट $T$ के लिए समीकरण: $T = m(a + g)$.
मान रखने पर: $T = (2 \times 10^4\,kg) \times (5\,m\,s^{-2} + 10\,m\,s^{-2})$.
$T = (2 \times 10^4) \times (15) = 30 \times 10^4\,N$.
$T = 3 \times 10^5\,N$.

(D) दिया गया है: प्रारंभिक द्रव्यमान $m_0 = 6000 \ kg$,द्रव्यमान उत्सर्जन की दर $\frac{dm}{dt} = 16 \ kg/s$,सापेक्ष वेग $V_{rel} = 11 \ km/s = 11000 \ m/s$.
बीता हुआ समय $\Delta t = 1 \ min = 60 \ s$.
$60 \ s$ के बाद रॉकेट का द्रव्यमान $m = m_0 - (\frac{dm}{dt}) \Delta t$ होगा।
$m = 6000 - (16 \times 60) = 6000 - 960 = 5040 \ kg$.
रॉकेट पर लगने वाला प्रणोद बल $F = V_{rel} \frac{dm}{dt}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = ma$,इसलिए $a = \frac{V_{rel}}{m} \frac{dm}{dt}$.
$a = \frac{11000 \times 16}{5040} = \frac{176000}{5040} \approx 34.92 \ m/s^2$.
निकटतम पूर्णांक में,त्वरण $35 \ m/s^2$ है।

(B) कन्वेयर बेल्ट पर रेत गिरने की दर $\frac{dm}{dt} = 2\,kg/s$ दी गई है।
कन्वेयर बेल्ट की स्थिर गति $v = 3\,m/s$ है।
स्थिर गति बनाए रखने के लिए,आने वाली रेत को बेल्ट की गति तक लाने के लिए आवश्यक बल $F$ का सूत्र $F = v \cdot \frac{dm}{dt}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $F = 3\,m/s \times 2\,kg/s = 6\,N$.
अतः,बेल्ट को स्थिर गति से चलाने के लिए आवश्यक बल $6\,N$ है।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है: $F = \frac{d}{dt}(Mv)$।
चूंकि उपग्रह बल-मुक्त अंतरिक्ष में गति कर रहा है,इसलिए बाह्य बल $F = 0$ है।
अतः,$\frac{d}{dt}(Mv) = 0$।
गुणन नियम का उपयोग करके विस्तार करने पर: $M \frac{dv}{dt} + v \frac{dM}{dt} = 0$।
हमें द्रव्यमान संचय की दर $\frac{dM}{dt} = \alpha v$ दी गई है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $M \frac{dv}{dt} + v(\alpha v) = 0$।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ के लिए हल करने पर:
$M a + \alpha v^2 = 0$।
$M a = -\alpha v^2$।
$a = -\frac{\alpha v^2}{M}$।

(C) रॉकेट पर लगने वाला प्रणोद बल $F$,सूत्र $F = v \frac{dm}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ रॉकेट के सापेक्ष उत्सर्जित ईंधन का वेग है और $\frac{dm}{dt}$ ईंधन की खपत की दर है।
दिया गया है:
ईंधन की खपत की दर $\frac{dm}{dt} = 1\; kg/s$
उत्सर्जित ईंधन का वेग $v = 60\; km/s = 60 \times 10^3\; m/s$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = (60 \times 10^3\; m/s) \times (1\; kg/s)$
$F = 60000\; N$
अतः,रॉकेट पर लगने वाला बल $60000\; N$ है।

(A) उपग्रह बल-मुक्त अंतरिक्ष में गति कर रहा है,इसलिए उस पर कार्य करने वाला एकमात्र बल धूल के संचय के कारण उत्पन्न मंदक बल (retarding force) है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है: $F = \frac{d p}{d t} = \frac{d}{d t}(Mv)$.
चूंकि उपग्रह $v$ गति से चल रहा है और $\frac{d M}{d t} = \alpha v$ की दर से द्रव्यमान एकत्रित कर रहा है,इसलिए मंदक बल $F = -v \frac{d M}{d t}$ होगा।
द्रव्यमान परिवर्तन की दर का मान रखने पर: $F = -v (\alpha v) = -\alpha v^{2}$.
$F = Ma$ का उपयोग करने पर,$Ma = -\alpha v^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,त्वरण $a = \frac{-\alpha v^{2}}{M}$ है।

(D) परिवर्तनीय द्रव्यमान वाली प्रणाली के लिए नियत वेग बनाए रखने के लिए आवश्यक बल थ्रस्ट बल के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = v \cdot \frac{dm}{dt}$.
दिया गया है:
वेग $v = 20 \, m/s$.
द्रव्यमान जोड़ने की दर $\frac{dm}{dt} = 50 \, kg/min$.
सबसे पहले,द्रव्यमान जोड़ने की दर को $kg/s$ में बदलें:
$\frac{dm}{dt} = \frac{50 \, kg}{60 \, s} = \frac{5}{6} \, kg/s$.
अब,बल की गणना करें:
$F = 20 \, m/s \times \frac{5}{6} \, kg/s = \frac{100}{6} \, N$.
$F = 16.66 \, N$.