Variable Mass System and Rocket Problem Questions in Hindi

(C) रॉकेट पर लगने वाला प्रणोद बल (thrust force) $F = v_r \left( \frac{dm}{dt} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_r$ उत्सर्जित गैस का सापेक्ष वेग है और $\frac{dm}{dt}$ द्रव्यमान उत्सर्जन की दर है।
दिया गया है कि रॉकेट $1$ सेकंड में अपने द्रव्यमान $m$ का $1/60$ भाग बाहर निकालता है,इसलिए $\frac{dm}{dt} = \frac{m}{60} \times \frac{1}{1} = \frac{m}{60}$ है।
प्रणोद बल $F = 2400 \times \frac{m}{60} = 40m$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $ma = 40m$ है।
अतः,रॉकेट का त्वरण $a = 40\,m/s^2$ है।

(C) प्रथम चरण के दौरान $(t_1 = 60\,s)$:
त्वरण $a = 10\,m/s^2$.
ऊंचाई $h_1 = \frac{1}{2}at_1^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (60)^2 = 18000\,m = 18\,km$.
वेग $v_1 = at_1 = 10 \times 60 = 600\,m/s$.
दूसरे चरण के दौरान (मुक्त पतन):
अधिकतम अतिरिक्त ऊंचाई $h_2 = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{600^2}{2 \times 10} = \frac{360000}{20} = 18000\,m = 18\,km$.
कुल अधिकतम ऊंचाई $H_{\max} = h_1 + h_2 = 18\,km + 18\,km = 36\,km$.
कुल उड़ान समय के लिए:
पूरी यात्रा के लिए $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $s = 0$ (जमीन से विस्थापन):
$0 = v_1 t_2 - \frac{1}{2}g t_2^2$ (जहाँ $t_2$ ईंधन समाप्त होने के बाद का समय है)।
$-18000 = 600 t_2 - 5 t_2^2 \implies t_2^2 - 120 t_2 - 3600 = 0$.
$t_2$ के लिए हल करने पर: $t_2 = \frac{120 + \sqrt{14400 - 4(1)(-3600)}}{2} = \frac{120 + \sqrt{28800}}{2} = 60 + 60\sqrt{2}\,s$.
कुल समय $T = t_1 + t_2 = 60 + 60 + 60\sqrt{2} = (120 + 60\sqrt{2})\,s$.
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(D) $Assertion$ गलत है क्योंकि रॉकेट को आगे बढ़ने के लिए आसपास की हवा की आवश्यकता नहीं होती है। वास्तव में,रॉकेट अंतरिक्ष के निर्वात $(vacuum)$ में भी कुशलतापूर्वक काम करते हैं।
रॉकेट अपने ईंधन के दहन से उत्पन्न गैसों को उच्च वेग से पीछे की ओर फेंककर आगे बढ़ता है। न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,रॉकेट गैसों पर बल लगाता है और गैसें रॉकेट पर समान और विपरीत प्रतिक्रिया बल लगाती हैं,जिससे आवश्यक प्रणोद $(thrust)$ मिलता है।
अतः,$Assertion$ गलत है और $Reason$ रॉकेट प्रणोदन के सिद्धांत के लिए एक सही कथन है।

(A) रॉकेट का द्रव्यमान,$m = 20,000\; kg$ है।
प्रारंभिक त्वरण,$a = 5.0\; m s^{-2}$ है।
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10\; m s^{-2}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,रॉकेट पर कार्य करने वाला कुल बल थ्रस्ट $(F)$ और भार $(mg)$ के बीच का अंतर है।
गति का समीकरण: $F - mg = ma$ है।
थ्रस्ट के लिए समीकरण: $F = m(g + a)$ है।
मान रखने पर: $F = 20,000 \times (10 + 5) = 20,000 \times 15 = 3 \times 10^{5}\; N$।

(N/A) नहीं,रॉकेट की उड़ान को प्रक्षेप्य गति नहीं माना जा सकता है।
प्रक्षेप्य गति को उस गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें वस्तु केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में चलती है,जहाँ वस्तु को प्रारंभिक वेग देकर मुक्त छोड़ दिया जाता है।
हालाँकि,रॉकेट अपने ईंधन के दहन से उत्पन्न निरंतर प्रणोद (thrust) द्वारा संचालित होता है।
चूँकि रॉकेट अपनी पूरी उड़ान के दौरान एक बाहरी बल (प्रणोद) के अधीन होता है,इसलिए यह केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गति करने की शर्त को पूरा नहीं करता है।

(N/A) नहीं,$\vec{F} = m\vec{a}$ सूत्र सभी परिस्थितियों में मान्य नहीं है।
न्यूटन का गति का दूसरा नियम मूल रूप से $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $\vec{p} = m\vec{v}$ रैखिक संवेग है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $\vec{F} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt} + \vec{v}\frac{dm}{dt}$ प्राप्त होता है।
यदि द्रव्यमान $m$ स्थिर है,तो $\frac{dm}{dt} = 0$ होता है,जिससे समीकरण $\vec{F} = m\vec{a}$ में बदल जाता है।
हालाँकि,उन स्थितियों में जहाँ द्रव्यमान बदलता है (जैसे रॉकेट प्रणोदन) या सापेक्षतावादी गति पर जहाँ द्रव्यमान वेग पर निर्भर करता है,वहाँ $\vec{F} = m\vec{a}$ सूत्र लागू नहीं होता है।

(A) माना समय $t$ पर रॉकेट का द्रव्यमान $M$ है और उसका वेग $v$ है।
$\Delta t$ समयांतराल में,रॉकेट $u$ की सापेक्ष गति से $\Delta m$ द्रव्यमान की गैस उत्सर्जित करता है।
जमीन के सापेक्ष उत्सर्जित गैस का वेग $(v - u)$ है।
$\Delta t$ समय के बाद रॉकेट का वेग $(v + \Delta v)$ हो जाता है।
समय $t$ पर निकाय की गतिज ऊर्जा $(KE)_t = \frac{1}{2} M v^2$ है।
समय $t + \Delta t$ पर,निकाय की गतिज ऊर्जा $(KE)_{t+\Delta t} = \frac{1}{2}(M - \Delta m)(v + \Delta v)^2 + \frac{1}{2} \Delta m(v - u)^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $(KE)_{t+\Delta t} \approx \frac{1}{2} M v^2 + M v \Delta v - \Delta m v u + \frac{1}{2} \Delta m u^2$ प्राप्त होता है।
संवेग संरक्षण के नियम से,थ्रस्ट बल $F = M \frac{dv}{dt} = u \frac{dm}{dt}$,इसलिए $M \Delta v = \Delta m u$ है।
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = (KE)_{t+\Delta t} - (KE)_t$ के व्यंजक में $M \Delta v = \Delta m u$ रखने पर:
$\Delta K = (M \Delta v - \Delta m u) v + \frac{1}{2} \Delta m u^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $M \Delta v = \Delta m u$,इसलिए पहला पद शून्य हो जाता है।
अतः,$\Delta K = \frac{1}{2} \Delta m u^2$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,आंतरिक तंत्र द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,इसलिए $\Delta W = \frac{1}{2} \Delta m u^2$ है।

(D) द्रव्यमान परिवर्तन की दर $\frac{dM(t)}{dt} = bv^2$ दी गई है।
परिवर्ती द्रव्यमान प्रणाली के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,धूल के संचय के कारण अंतरिक्ष यान पर लगने वाला थ्रस्ट बल $F_{\text{thrust}} = -v \frac{dM(t)}{dt}$ है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बल वेग की विपरीत दिशा में कार्य करता है,जिससे मंदन (deceleration) उत्पन्न होता है।
$F = M(t)a$ का उपयोग करने पर,हमें $M(t)a = -v \left( bv^2 \right)$ प्राप्त होता है।
अतः,तात्कालिक त्वरण $a = -\frac{bv^3}{M(t)}$ है।

(C) बंदूक को पकड़े रखने के लिए आवश्यक बल दागी गई गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
बल का सूत्र $F = n \cdot m \cdot v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ:
$n$ प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या है $(4 \, s^{-1})$,
$m$ प्रत्येक गोली का द्रव्यमान है $(20 \, g = 0.02 \, kg)$,
$v$ गोली का वेग है $(300 \, m/s)$।
मान रखने पर:
$F = 4 \times 0.02 \, kg \times 300 \, m/s$
$F = 4 \times 6 = 24 \, N$.
अतः,बंदूक को पकड़े रखने के लिए आवश्यक बल $24 \, N$ है।

(D) रॉकेट पर लगने वाला थ्रस्ट बल $F_{\text{thrust}} = \left(\frac{dm}{dt}\right) V_{\text{rel}}$ द्वारा दिया जाता है।
रॉकेट पर कार्य करने वाला नेट बल $F_{\text{net}} = F_{\text{thrust}} - mg = ma$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $m = 1000 \, \text{kg}$,$a = 20 \, \text{m s}^{-2}$,$V_{\text{rel}} = 500 \, \text{m s}^{-1}$,और $g = 10 \, \text{m s}^{-2}$।
$\left(\frac{dm}{dt}\right) \times 500 - (1000 \times 10) = 1000 \times 20$
$\left(\frac{dm}{dt}\right) \times 500 - 10000 = 20000$
$\left(\frac{dm}{dt}\right) \times 500 = 30000$
$\frac{dm}{dt} = \frac{30000}{500} = 60 \, \text{kg s}^{-1}$.

(C) पानी की बौछार द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया बल ब्लॉक से टकराने वाले पानी के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$F = \frac{dp}{dt} = v \frac{dm}{dt}$
यहाँ,पानी की गति $v = 10 \,m \,s^{-1}$ और द्रव्यमान प्रवाह की दर $\frac{dm}{dt} = 1 \,kg \,s^{-1}$ दी गई है।
इन मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$F = 10 \times 1 = 10 \,N$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = Ma$,जहाँ $M$ ब्लॉक का द्रव्यमान है और $a$ इसका त्वरण है।
$10 = 2 \times a$
$a = \frac{10}{2} = 5 \,m \,s^{-2}$
अतः,ब्लॉक का प्रारंभिक त्वरण $5 \,m \,s^{-2}$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान प्रवाह की दर $\frac{dm}{dt} = 0.5 \, kg s^{-1}$,बेल्ट का वेग $v = 5 \, m s^{-1}$।
जब रेत बेल्ट पर गिरती है,तो बेल्ट को रेत को बेल्ट के वेग तक त्वरित करने के लिए बल लगाना पड़ता है।
स्थिर वेग बनाए रखने के लिए आवश्यक बल थ्रस्ट बल के बराबर होता है: $F = \frac{dm}{dt} \times v$।
$F = 0.5 \, kg s^{-1} \times 5 \, m s^{-1} = 2.5 \, N$।
बेल्ट को स्थिर वेग से गतिमान रखने के लिए आवश्यक शक्ति $P = F \times v$ है।
$P = 2.5 \, N \times 5 \, m s^{-1} = 12.5 \, W$।

(B) बाहर निकलती हवा के कारण गुब्बारे पर लगने वाला औसत बल $F$,संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है,जो $F = v \cdot \frac{dm}{dt}$ है।
यहाँ,कुल द्रव्यमान $m = 10\,g$,$t = 5\,s$ के समय में बाहर निकलता है।
इसलिए,द्रव्यमान के घटने की दर $\frac{dm}{dt} = \frac{10\,g}{5\,s} = 2\,g/s$ है।
बाहर निकलती हवा का वेग $v = 4.5\,cm/s$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = 2\,g/s \times 4.5\,cm/s = 9\,g \cdot cm/s^2$.
चूंकि $1\,dyne = 1\,g \cdot cm/s^2$,इसलिए औसत बल $9\,dyne$ होगा।

(C) नीचे की ओर त्वरण को रोकने के लिए,गोलियों द्वारा लगाया गया ऊपर की ओर बल (थ्रस्ट फोर्स) सैनिक और बंदूक के वजन को संतुलित करना चाहिए।
मान लीजिए $M$ सैनिक और बंदूक का कुल द्रव्यमान है,और $m$ एक गोली का द्रव्यमान है।
गोलियों द्वारा लगाया गया बल गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है: $F = \frac{N}{\Delta t} \times m \times v$,जहाँ $\frac{N}{\Delta t}$ प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या है।
इस बल को सैनिक के वजन के बराबर करने पर: $Mg = \frac{N}{\Delta t} \times m \times v$.
दिया गया है: $\frac{N}{\Delta t} = 40 \,s^{-1}$,$m = 49 \,g = 0.049 \,kg$,$v = 500 \,m/s$,और $g = 9.8 \,m/s^2$.
मान रखने पर: $M \times 9.8 = 40 \times 0.049 \times 500$.
$M \times 9.8 = 40 \times 24.5 = 980$.
$M = \frac{980}{9.8} = 100 \,kg$.

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि निकाय (गाड़ी + रेत) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है,तो रेत का क्षैतिज वेग अपरिवर्तित रहता है क्योंकि यह लंबवत रूप से नीचे गिरती है।
मान लीजिए गाड़ी का द्रव्यमान $M$ है और रेत का द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभ में,दोनों $v$ वेग से चल रहे हैं।
जब रेत लंबवत रूप से गिरती है,तो उसके वेग का क्षैतिज घटक $v$ ही रहता है क्योंकि रेत के गिरने के दौरान उस पर कोई क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है।
इसलिए,रेत गाड़ी की तरह ही उसी दिशा में और उसी क्षैतिज गति $v$ के साथ चलना जारी रखती है।
अतः,रेत गाड़ी के साथ चल रही है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(B) ईंधन के निष्कासन के कारण रॉकेट पर लगने वाला बल परिवर्ती द्रव्यमान (variable mass) प्रणाली के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = v \cdot \frac{dm}{dt}$.
यहाँ,ईंधन की खपत की दर $\frac{dm}{dt} = 2 \, kg/s$ है।
बाहर निकलने वाले ईंधन का वेग $v = 80 \, km/s = 80 \times 10^3 \, m/s$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = (80 \times 10^3 \, m/s) \times (2 \, kg/s) = 1,60,000 \, N$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) गैसों के निष्कासन के कारण रॉकेट पर लगने वाला बल,परिवर्ती द्रव्यमान प्रणाली के लिए थ्रस्ट सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F = v \cdot \frac{dm}{dt}$
दिया गया है:
द्रव्यमान निष्कासन की दर $\frac{dm}{dt} = 0.05 \,kg/s$
गैसों का वेग $v = 400 \,m/s$
मान रखने पर:
$F = 400 \,m/s \times 0.05 \,kg/s = 20 \,N$
अतः,रॉकेट पर लगने वाला त्वरण बल $20 \,N$ है।

(B) रॉकेट पर लगने वाला थ्रस्ट बल $F_{thrust} = v_{rel} \left( \frac{dm}{dt} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: प्रारंभिक द्रव्यमान $M_0 = 5700 \,kg$,द्रव्यमान उत्सर्जन की दर $\frac{dm}{dt} = 15 \,kg/s$,सापेक्ष गति $v = 12 \,km/s = 12000 \,m/s$,और $g = 10 \,m/s^2$।
$t = 60 \,s$ ($1$ मिनट) के बाद,रॉकेट का द्रव्यमान $m = M_0 - \left( \frac{dm}{dt} \right) t = 5700 - (15 \times 60) = 5700 - 900 = 4800 \,kg$ है।
रॉकेट पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F_{thrust} - mg = v \left( \frac{dm}{dt} \right) - mg$ है।
त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{v \left( \frac{dm}{dt} \right)}{m} - g$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $a = \frac{12000 \times 15}{4800} - 10$.
$a = \frac{180000}{4800} - 10 = 37.5 - 10 = 27.5 \,m/s^2$।

(B) बाहर निकलती हवा के कारण गुब्बारे पर लगने वाला औसत बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है,जो $F = v \frac{dm}{dt}$ है।
यहाँ,हवा का वेग $v = 4 \,m/s$ है।
हवा का कुल द्रव्यमान $m = 2 \,g = 0.002 \,kg$ है।
हवा को बाहर निकलने में लगा समय $dt = 2.5 \,s$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = 4 \times \left( \frac{0.002 \,kg}{2.5 \,s} \right)$
$F = 4 \times 0.0008 \,N$
$F = 0.0032 \,N$.
अतः,गुब्बारे पर कार्य करने वाला औसत बल $0.0032 \,N$ है।

(D) रॉकेट इंजन द्वारा उत्पन्न थ्रस्ट बल $F$ का सूत्र $F = v_{e} \left( \frac{dm}{dt} \right)$ है,जहाँ $v_{e}$ निकास गति है और $\frac{dm}{dt}$ द्रव्यमान के बाहर निकलने की दर है।
रॉकेट के वजन को दूर करने के लिए,थ्रस्ट रॉकेट पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होना चाहिए,इसलिए $F = mg$ होगा।
दिया गया है: रॉकेट का द्रव्यमान $m = 6000 \,kg$,गुरुत्वीय त्वरण $g \approx 10 \,m/s^2$,और निकास गति $v_{e} = 1000 \,m/s$ है।
बलों की तुलना करने पर: $v_{e} \left( \frac{dm}{dt} \right) = mg$।
मान रखने पर: $1000 \times \left( \frac{dm}{dt} \right) = 6000 \times 10$।
$1000 \times \left( \frac{dm}{dt} \right) = 60000$।
$\frac{dm}{dt} = \frac{60000}{1000} = 60 \,kg/s$।
अतः,प्रति सेकंड बाहर निकाली जाने वाली गैस की मात्रा $60 \,kg$ है।

(C) जब किसी निकाय में द्रव्यमान जोड़ा जाता है,तो स्थिर वेग बनाए रखने के लिए आवश्यक बल थ्रस्ट बल के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = v \frac{dm}{dt}$।
यहाँ,ट्रेन का वेग $v = 10 \,m/s$ है।
द्रव्यमान के जुड़ने की दर $\frac{dm}{dt} = 5 \,kg/s$ है।
चूंकि बारिश का पानी लंबवत गिरता है (शून्य क्षैतिज वेग),इसलिए इंजन को इस अतिरिक्त द्रव्यमान को ट्रेन के वेग तक त्वरित करने के लिए अतिरिक्त बल प्रदान करना होगा।
अतः,$F = 10 \,m/s \times 5 \,kg/s = 50 \,N$।

(C) मान लीजिए कि $F$ गुब्बारे पर कार्य करने वाला ऊपर की ओर उत्प्लावन बल है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए,गति का समीकरण है:
$F - Mg = Ma$
$F = M(a + g)$
मान लीजिए कि गुब्बारे से $x$ द्रव्यमान हटाया जाता है। गुब्बारे का नया द्रव्यमान $(M - x)$ है।
दूसरी स्थिति के लिए,गति का समीकरण है:
$F - (M - x)g = (M - x)(3a)$
पहले समीकरण से $F$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर:
$M(a + g) - (M - x)g = (M - x)(3a)$
$Ma + Mg - Mg + xg = 3Ma - 3xa$
$Ma + xg = 3Ma - 3xa$
$xg + 3xa = 3Ma - Ma$
$x(g + 3a) = 2Ma$
$x = \frac{2Ma}{g + 3a}$

(D) कन्वेयर बेल्ट को स्थिर गति $v$ पर बनाए रखने के लिए आवश्यक शक्ति $P = F \cdot v$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि बेल्ट स्थिर गति से चलती है,इसलिए जोड़ी गई रेत के संवेग परिवर्तन को दूर करने के लिए आवश्यक बल $F = \frac{dp}{dt} = v \frac{dm}{dt}$ है।
दिया गया है कि द्रव्यमान जमा होने की दर $\frac{dm}{dt} = k\sqrt{v}$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर: $F = v(k\sqrt{v}) = kv^{3/2}$।
अब,शक्ति की गणना करने पर: $P = F \cdot v = (kv^{3/2}) \cdot v = kv^{5/2}$।
समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $P^2 = k^2 v^5$ प्राप्त होता है।
अतः,$P^2 \propto v^5$।

(C) रॉकेट पर लगने वाला प्रणोद बल $F = v_{rel} \cdot \frac{dm}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $v_{rel} = 5 \ km/s = 5000 \ m/s$ और $\frac{dm}{dt} = 10 \ kg/s$.
अतः,$F = 5000 \times 10 = 50000 \ N$.
समय $t$ पर रॉकेट का द्रव्यमान $M(t) = M_0 - (\frac{dm}{dt})t$ होता है।
$t = 50 \ s$ पर,$M(50) = 1500 - (10 \times 50) = 1500 - 500 = 1000 \ kg$.
त्वरण $a = \frac{F}{M(t)} = \frac{50000}{1000} = 50 \ m/s^2$ प्राप्त होता है।

(D) रॉकेट की गति रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है। जैसे-जैसे ईंधन जलता है,रॉकेट गर्म गैसों को उच्च गति से नीचे की दिशा में बाहर निकालता है। न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,गैसें रॉकेट पर समान और विपरीत बल लगाती हैं,जिससे आवश्यक प्रणोद (thrust) प्राप्त होता है। चूंकि निकाय (रॉकेट + ईंधन) पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।

(D) नियत वेग बनाए रखने के लिए आवश्यक बल निकाय के संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है।
चूंकि रेत को बेल्ट पर लंबवत गिराया जा रहा है,इसलिए इसका प्रारंभिक क्षैतिज वेग शून्य है।
जैसे ही रेत बेल्ट पर गिरती है,इसे बेल्ट की गति से मेल खाने के लिए $0$ से $V$ तक के क्षैतिज वेग तक त्वरित किया जाना चाहिए।
बेल्ट पर द्रव्यमान जोड़ने की दर $dm/dt = M$ है।
आवश्यक बल $F$ का सूत्र $F = v \cdot (dm/dt)$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$F = V \cdot M = MV \text{ N}$ प्राप्त होता है।

(C) गैस द्वारा पटाखे पर लगाया गया बल गैस के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
दिया गया है:
गैस की द्रव्यमान दर,$\frac{dm}{dt} = 25 \text{ g/s} = 25 \times 10^{-3} \text{ kg/s}$.
गैस का वेग,$v = 400 \text{ m/s}$.
बल $F$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$F = v \times \frac{dm}{dt}$
$F = 400 \text{ m/s} \times 25 \times 10^{-3} \text{ kg/s}$
$F = 400 \times 0.025 \text{ N}$
$F = 10 \text{ N}$.

(D) गोलियों द्वारा राइफल पर लगाया गया बल गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
दिया गया है:
राइफल का द्रव्यमान $M = 20 \,kg$
प्रति सेकंड गोलियों की संख्या $n = 4$
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान $m = 35 \times 10^{-3} \,kg$
प्रत्येक गोली का वेग $v = 400 \,ms^{-1}$
राइफल को स्थिर रखने के लिए आवश्यक बल $F$,गोलियों द्वारा लगाए गए प्रतिक्षेप (recoil) बल के बराबर होता है।
प्रतिक्षेप बल गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है:
$F = n \times (m \times v)$
$F = 4 \times (35 \times 10^{-3} \,kg) \times (400 \,ms^{-1})$
$F = 4 \times 35 \times 0.4$
$F = 140 \times 0.4 = 56 \,N$
राइफल को पीछे की ओर जाने से रोकने के लिए,गोली की गति की दिशा में $56 \,N$ का बाहरी बल लगाया जाना चाहिए।

(D) ईंधन के निष्कासन के कारण रॉकेट पर लगने वाला बल थ्रस्ट सूत्र $F = v \frac{dm}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है, ईंधन की खपत की दर $\frac{dm}{dt} = 1 \,kg/s$ है।
निकाले गए ईंधन का वेग $v = 60 \,km/s = 60000 \,m/s$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = 60000 \,m/s \times 1 \,kg/s = 60000 \,N$.
अतः, रॉकेट पर लगाया गया बल $60000 \,N$ है।

(A) परिवर्तनीय द्रव्यमान वाले रॉकेट के लिए गति का समीकरण $F_{\text{ext}} + v_{\text{rel}} \frac{dm}{dt} = m \frac{dv}{dt}$ है।
यह दिया गया है कि रॉकेट $a$ के निरंतर त्वरण के साथ गति करता है,इसलिए $\frac{dv}{dt} = a$ है।
यह मानते हुए कि कोई बाहरी बल नहीं है $(F_{\text{ext}} = 0)$,समीकरण $v_{\text{rel}} \frac{dm}{dt} = m a$ बन जाता है।
यहाँ,$v_{\text{rel}} = v$ (रॉकेट के सापेक्ष निकास वेग) है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dm}{m} = \frac{a}{v} dt$ प्राप्त होता है।
समय $t=0$ पर प्रारंभिक द्रव्यमान $m_0$ से समय $t$ पर द्रव्यमान $m$ तक दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{m_0}^{m} \frac{dm}{m} = \int_{0}^{t} \frac{a}{v} dt$ है।
$\ln \left( \frac{m}{m_0} \right) = \frac{a t}{v}$ है।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,हमें $m = m_0 e^{-\frac{at}{v}}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि $F_B$ गुब्बारे पर कार्य करने वाला ऊपर की ओर उत्प्लावन बल है।
जब $m$ द्रव्यमान का गुब्बारा $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करता है,तो गति का समीकरण है: $mg - F_B = ma$,जिसका अर्थ है $F_B = m(g - a)$।
मान लीजिए कि हटाया जाने वाला द्रव्यमान $m'$ है,तो गुब्बारे का नया द्रव्यमान $(m - m')$ होगा।
जब गुब्बारा $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करता है,तो गति का समीकरण है: $F_B - (m - m')g = (m - m')a$।
समीकरण में $F_B = m(g - a)$ रखने पर: $m(g - a) - (m - m')g = (m - m')a$।
$mg - ma - mg + m'g = ma - m'a$।
$m'g + m'a = 2ma$।
$m'(g + a) = 2ma$।
अतः,$m' = \frac{2ma}{g+a}$।

(B) दिया गया है:
ब्लॉक का द्रव्यमान,$M = 2 \,kg$
पानी के प्रवाह की दर,$\frac{dm}{dt} = 1 \,kg \,s^{-1}$
पानी की फुहार का वेग,$v = 5 \,ms^{-1}$
पानी की फुहार द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt} = v \cdot \frac{dm}{dt}$
मान रखने पर:
$F = 5 \,ms^{-1} \times 1 \,kg \,s^{-1} = 5 \,N$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,ब्लॉक का त्वरण $a$ होगा:
$a = \frac{F}{M} = \frac{5 \,N}{2 \,kg} = 2.5 \,ms^{-2}$

(D) दिया गया है: ब्लॉक का द्रव्यमान $M = 4 \ kg$,पानी का वेग $v = 10 \ m \ s^{-1}$,और द्रव्यमान प्रवाह की दर $\frac{dm}{dt} = 2 \ kg \ s^{-1}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,पानी के जेट द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = v \cdot \left(\frac{dm}{dt}\right)$
दिए गए मानों को रखने पर:
$F = 10 \times 2 = 20 \ N$
अब,ब्लॉक के लिए न्यूटन के दूसरे नियम $(F = Ma)$ का उपयोग करने पर:
$a = \frac{F}{M} = \frac{20 \ N}{4 \ kg} = 5 \ m \ s^{-2}$
अतः,ब्लॉक का त्वरण $5 \ m \ s^{-2}$ है।

(A) दिया गया है, परिणामी ऊर्ध्वाधर त्वरण $a = 10 \,m/s^2$, समय $t = 1 \,min = 60 \,s$, और प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
पावर्ड चरण के दौरान प्राप्त ऊँचाई $(h_1)$:
$h_1 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 \times 60 + \frac{1}{2} \times 10 \times (60)^2 = 18000 \,m = 18 \,km$।
पावर्ड चरण के अंत में वेग $(v)$:
$v = u + at = 0 + 10 \times 60 = 600 \,m/s$।
ईंधन समाप्त होने के बाद, रॉकेट गुरुत्वाकर्षण के तहत गति करता है $(a = -g = -9.8 \,m/s^2)$ जब तक कि उसका वेग शून्य न हो जाए।
अनपावर्ड चरण के दौरान प्राप्त ऊँचाई $(h_2)$:
$v_f^2 - v^2 = 2ah_2$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $v_f = 0$:
$0 - (600)^2 = 2(-9.8)h_2 \Rightarrow h_2 = \frac{360000}{19.6} \approx 18367.3 \,m \approx 18.4 \,km$।
कुल अधिकतम ऊँचाई $H = h_1 + h_2 = 18 \,km + 18.4 \,km = 36.4 \,km$।

(C) किसी भी समय $t$ पर रॉकेट का वेग त्सिओल्कोव्स्की रॉकेट समीकरण द्वारा दिया जाता है: $v = u \ln\left(\frac{m_0}{m}\right) - gt$.
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बलों की उपेक्षा की गई है,$g = 0$,इसलिए समीकरण $v = u \ln\left(\frac{m_0}{m}\right)$ में सरल हो जाता है।
यहाँ,$u = 5 \ km/s$ रॉकेट के सापेक्ष गैसों का निकास वेग है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $m_0$ है और अंतिम द्रव्यमान $m = \frac{1}{20}m_0$ है।
इसलिए,अनुपात $\frac{m_0}{m} = 20$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v = 5 \ln(20) \ km/s$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) चरण $1$: पावर्ड फ्लाइट के अंत में $(t = 5 \,s)$ वेग और ऊंचाई की गणना करें।
प्रारंभिक वेग $u = 0$, त्वरण $a = 20 \,m/s^2$, और समय $t = 5 \,s$ है।
$t = 5 \,s$ पर वेग $V_{max} = u + at = 0 + 20 \times 5 = 100 \,m/s$ है।
$t = 5 \,s$ पर प्राप्त ऊंचाई $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 20 \times 5^2 = 250 \,m$ है।
चरण $2$: जमीन से टकराते समय अंतिम गति की गणना करें।
$t = 5 \,s$ के बाद, रॉकेट गुरुत्वाकर्षण के तहत मुक्त पतन में है $(g = 10 \,m/s^2)$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय या गति के समीकरणों का उपयोग करके, अधिकतम ऊंचाई पर कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है, या हम $V^2 = u^2 + 2aS$ का उपयोग कर सकते हैं।
यहाँ, रॉकेट $S = 250 \,m$ की ऊंचाई से $V_{max} = 100 \,m/s$ के प्रारंभिक ऊपर की ओर वेग के साथ शुरू होता है।
जब यह जमीन से टकराता है, तो अंतिम वेग $V$ का मान $V^2 = V_{max}^2 + 2gS$ द्वारा दिया जाता है।
$V^2 = (100)^2 + 2 \times 10 \times 250$.
$V^2 = 10000 + 5000 = 15000$.
$V = \sqrt{15000} = \sqrt{2500 \times 6} = 50 \sqrt{6} \,m/s$.

(D) $1$. $t = 20 \ s$ पर रॉकेट की ऊँचाई की गणना करें: $h = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (20)^2 = 200 \ m$.
$2$. $t = 20 \ s$ पर रॉकेट के वेग की गणना करें: $v = a t = 1 \times 20 = 20 \ m \ s^{-1}$.
$3$. टुकड़ा अलग हो जाता है और $200 \ m$ की ऊँचाई से $20 \ m \ s^{-1}$ के प्रारंभिक वेग के साथ ऊपर की ओर प्रक्षेप्य गति करता है।
$4$. टुकड़े के लिए गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2} a t^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $s = -200 \ m$ (नीचे की ओर विस्थापन),$u = 20 \ m \ s^{-1}$,और $a = -g = -10 \ m \ s^{-2}$:
$-200 = 20 t - 5 t^2$
$5 t^2 - 20 t - 200 = 0$
$t^2 - 4 t - 40 = 0$.
$5$. द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $t$ ज्ञात करें:
$t = \frac{4 \pm \sqrt{176}}{2} = 2 \pm 6.63$.
$6$. चूँकि समय धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t \approx 8.63 \ s$।

(B) मान लीजिए प्रारंभिक द्रव्यमान $m$ और प्रारंभिक वेग $v$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K.E.)_i = \frac{1}{2}mv^2$ और प्रारंभिक संवेग $p_i = mv$ है।
ईंधन जलने के बाद,अंतिम द्रव्यमान $m' = \frac{m}{2}$ और अंतिम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_f = 16 \times (K.E.)_i = 16 \times \frac{1}{2}mv^2 = 8mv^2$ है।
मान लीजिए अंतिम वेग $v'$ है। तब $(K.E.)_f = \frac{1}{2}m'v'^2 = \frac{1}{2}(\frac{m}{2})v'^2 = \frac{1}{4}mv'^2$ होगा।
$(K.E.)_f$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{1}{4}mv'^2 = 8mv^2 \Rightarrow v'^2 = 32v^2 \Rightarrow v' = \sqrt{32}v = 4\sqrt{2}v$.
अंतिम संवेग $p_f = m'v' = (\frac{m}{2})(4\sqrt{2}v) = 2\sqrt{2}mv$ है।
संवेग में वृद्धि का कारक $\frac{p_f}{p_i} = \frac{2\sqrt{2}mv}{mv} = 2\sqrt{2}$ है।