Kinetic Friction and Motion on Rough Horizontal Surface Questions in Hindi

(D) $1$. सबसे पहले,पूरी रस्सी का त्वरण ज्ञात करें। रस्सी पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k$ है,जहाँ $f_k = \mu N = \mu Mg = (1/2)Mg$ है।
$2$. अतः,$F_{net} = Mg - 0.5Mg = 0.5Mg$ है।
$3$. त्वरण $a = F_{net} / M = 0.5Mg / M = g/2$ है।
$4$. अब,रस्सी के पिछले आधे हिस्से (द्रव्यमान $M/2$) पर विचार करें। इस हिस्से पर कार्य करने वाले बल मध्य बिंदु पर तनाव $T$ है जो इसे आगे खींचता है और गतिज घर्षण $f_k'$ है जो इसे पीछे खींचता है।
$5$. पिछले आधे हिस्से पर घर्षण $f_k' = \mu (M/2)g = (1/2)(M/2)g = Mg/4$ है।
$6$. पिछले हिस्से पर न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर: $T - f_k' = (M/2)a$।
$7$. मान रखने पर: $T - Mg/4 = (M/2)(g/2) = Mg/4$।
$8$. इसलिए,$T = Mg/4 + Mg/4 = Mg/2$।

(A) $1$. क्रेट को लंबवत गिराया जाता है,इसलिए इसका प्रारंभिक क्षैतिज वेग $0$ है। बेल्ट $v = 1.20 \ m/s$ के स्थिर वेग से चलती है।
$2$. क्रेट पर लगने वाला घर्षण बल $f = \mu mg = 0.400 \times 300 \times 9.8 = 1176 \ N$ है।
$3$. क्रेट का त्वरण $a = f/m = \mu g = 0.400 \times 9.8 = 3.92 \ m/s^2$ है।
$4$. क्रेट को बेल्ट की गति तक पहुँचने में लगा समय $t = v/a = 1.20 / 3.92 \approx 0.306 \ s$ है।
$5$. इस समय के दौरान बेल्ट द्वारा तय की गई दूरी $d_{belt} = v \times t = 1.20 \times (1.20 / 3.92) = 1.44 / 3.92 \approx 0.367 \ m$ है।
$6$. बेल्ट की गति को स्थिर रखने के लिए मोटर को घर्षण बल के बराबर बल लगाना पड़ता है,इसलिए $F_{motor} = f = 1176 \ N$ है।
$7$. मोटर द्वारा किया गया कार्य $W = F_{motor} \times d_{belt} = 1176 \times (1.44 / 3.92) = 432 \ J$ है।

(D) सबसे पहले, अभिलंब बल $N$ ज्ञात करने के लिए ब्लॉक पर ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करने वाले बलों का विश्लेषण करें:
$N = W + \frac{W}{2} - \frac{W}{2} \sin(30^\circ) = W + \frac{W}{2} - \frac{W}{4} = \frac{5}{4} W$.
इसके बाद, क्षैतिज दिशा में बलों का विश्लेषण करें। प्रेरक बल $F_x = \frac{W}{2} \cos(30^\circ) = \frac{W}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} W}{4}$ है।
सीमित घर्षण बल $f_L = \mu N = \mu \cdot \frac{5}{4} W$ है।
ब्लॉक तब गति करेगा यदि प्रेरक बल सीमित घर्षण बल से अधिक हो, अर्थात $F_x > f_L$.
$\frac{\sqrt{3} W}{4} > \mu \cdot \frac{5}{4} W \Rightarrow \mu < \frac{\sqrt{3}}{5}$.
अतः, यदि $\mu < \frac{\sqrt{3}}{5}$ है, तो ब्लॉक गति करेगा। यदि ब्लॉक गति नहीं करता है, तो स्थैतिक घर्षण द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है। इस प्रकार, विकल्प $D$ सही है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10\, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 10\, m/s$,अंतिम वेग $v = 0\, m/s$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.2$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$ है।
इस बल द्वारा उत्पन्न मंदन $a = \frac{f}{m} = \mu g$ है।
मान रखने पर: $a = 0.2 \times 10 = 2\, m/s^2$।
गति के तीसरे समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करने पर:
$0^2 = 10^2 - 2 \times 2 \times s$
$0 = 100 - 4s$
$4s = 100$
$s = 25\, m$।
अतः,ब्लॉक $25\, m$ की दूरी तय करने के बाद रुक जाएगा।

(C) ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल आरोपित बल $F$,गुरुत्वाकर्षण $mg$,अभिलंब बल $N$ और घर्षण $f$ हैं।
बल $F$ को घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $F_x = F \cos 37^{\circ} = 5t \times \frac{4}{5} = 4t$
ऊर्ध्वाधर घटक: $F_y = F \sin 37^{\circ} = 5t \times \frac{3}{5} = 3t$
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए:
$N + F_y = mg$
$N = mg - F_y = 70 - 3t$
ब्लॉक तब फिसलना शुरू करता है जब क्षैतिज बल $F_x$ सीमांत घर्षण $f_L = \mu N$ के बराबर हो जाता है:
$F_x = \mu N$
$4t = 1 \times (70 - 3t)$
$4t = 70 - 3t$
$7t = 70$
$t = 10\,s$

(D) दिया गया है: $M = \frac{10}{3} \, kg$,$F = 50 \, N$,$\mu = \frac{1}{3}$,$\theta = \sin^{-1}(\frac{3}{5})$.
$\sin \theta = \frac{3}{5}$ से,हमें $\cos \theta = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाले ऊर्ध्वाधर बल अभिलंब बल $N$,भार $Mg$,और आरोपित बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F \sin \theta$ (ऊपर की ओर) हैं।
$N + F \sin \theta = Mg \Rightarrow N = Mg - F \sin \theta$.
$N = (\frac{10}{3} \times 10) - (50 \times \frac{3}{5}) = \frac{100}{3} - 30 = \frac{100 - 90}{3} = \frac{10}{3} \, N$.
क्षैतिज बल आरोपित बल का क्षैतिज घटक $F \cos \theta$ और घर्षण बल $f = \mu N$ हैं।
गति का समीकरण $F \cos \theta - \mu N = Ma$ है।
$50 \times \frac{4}{5} - \frac{1}{3} \times \frac{10}{3} = \frac{10}{3} a$.
$40 - \frac{10}{9} = \frac{10}{3} a$.
$\frac{360 - 10}{9} = \frac{10}{3} a \Rightarrow \frac{350}{9} = \frac{10}{3} a$.
$a = \frac{350}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{35}{3} \, ms^{-2}$.

(D) जब ब्लॉक एकसमान वेग से गति करता है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
माना $F$ लगाया गया बल है। ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करने वाले बल अभिलंब बल $N$,लगाए गए बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F \sin \theta$ और भार $mg$ हैं। अतः,$N + F \sin \theta = mg$,जिससे $N = mg - F \sin \theta$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज दिशा में कार्य करने वाले बल लगाए गए बल का क्षैतिज घटक $F \cos \theta$ और गतिज घर्षण $f_k = \mu N$ हैं। एकसमान वेग के लिए,$F \cos \theta = f_k = \mu(mg - F \sin \theta)$।
$F$ के लिए हल करने पर: $F \cos \theta = \mu mg - \mu F \sin \theta \implies F(\cos \theta + \mu \sin \theta) = \mu mg \implies F = \frac{\mu mg}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$।
$d$ विस्थापन के दौरान किया गया कार्य $W = F \cdot d = \frac{\mu mgd}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$ होगा।

(C) ब्लॉक के संतुलन में रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
$1$. ब्लॉक को दीवार के विरुद्ध दबाने वाला क्षैतिज बल $F_h = mg$ है। यह बल अभिलंब प्रतिक्रिया $N = mg$ प्रदान करता है।
$2$. अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu (mg)$ है।
$3$. ऊर्ध्वाधर दिशा में,ब्लॉक का भार $mg$ नीचे की ओर कार्य करता है और $\frac{mg}{2}$ का बल ऊपर की ओर लगाया जाता है। मान लीजिए $f$ ब्लॉक पर कार्य करने वाला घर्षण बल है।
$4$. ऊर्ध्वाधर दिशा में संतुलन के लिए: $f + \frac{mg}{2} = mg$,जिससे हमें $f = mg - \frac{mg}{2} = \frac{mg}{2}$ प्राप्त होता है।
$5$. ब्लॉक के संतुलन में रहने के लिए,आवश्यक घर्षण बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए: $f \le f_{max}$।
$6$. इसलिए,$\frac{mg}{2} \le \mu (mg)$।
$7$. $\mu$ के लिए हल करने पर,हमें $\mu \ge \frac{1}{2}$ या $\mu \ge 0.5$ प्राप्त होता है। अतः,न्यूनतम घर्षण गुणांक $0.5$ है।

(C) छड़ का द्रव्यमान $m = 1 \, kg$ है,इसलिए नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $W = mg = 1 \times 10 = 10 \, N$ है।
छड़ को संतुलन में रहने के लिए,कुल ऊपर की ओर लगने वाला घर्षण बल $F_f$ को भार को संतुलित करना होगा: $F_f = mg = 10 \, N$।
प्रत्येक उंगली $N = 12 \, N$ का अभिलंब बल लगाती है। चूंकि दो उंगलियां हैं,इसलिए कुल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = 2 \times \mu \times N = 2 \times 0.5 \times 12 = 12 \, N$ है।
चूंकि आवश्यक घर्षण बल $(10 \, N)$ अधिकतम उपलब्ध स्थैतिक घर्षण बल $(12 \, N)$ से कम है,इसलिए छड़ नहीं फिसलेगी।
अतः,छड़ पर लगने वाला वास्तविक घर्षण बल उसके भार के बराबर होगा,जो कि $10 \, N$ है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 60 \ kg$,कोण $\theta = 37^{\circ}$,घर्षण गुणांक $\mu = 1/3$,$g = 10 \ m/s^2$.
चूंकि ब्लॉक स्थिर गति से चल रहा है,इसलिए कुल बल शून्य है $(a = 0)$.
बल $F$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित करने पर:
क्षैतिज दिशा: $F \cos 37^{\circ} = \mu N$ --- $(1)$
ऊर्ध्वाधर दिशा: $N + F \sin 37^{\circ} = mg$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ से,$N = mg - F \sin 37^{\circ}$.
$N$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$F \cos 37^{\circ} = \mu (mg - F \sin 37^{\circ})$
$F \cos 37^{\circ} = \mu mg - \mu F \sin 37^{\circ}$
$F (\cos 37^{\circ} + \mu \sin 37^{\circ}) = \mu mg$
$F = \frac{\mu mg}{\cos 37^{\circ} + \mu \sin 37^{\circ}}$
$\cos 37^{\circ} = 4/5$ और $\sin 37^{\circ} = 3/5$ का उपयोग करने पर:
$F = \frac{(1/3) \times 60 \times 10}{(4/5) + (1/3) \times (3/5)} = \frac{200}{(4/5) + (1/5)} = \frac{200}{1} = 200 \ N$.

(A) दिया गया है:
ब्लॉक का द्रव्यमान,$m = 5\,kg$
अनुप्रयुक्त क्षैतिज बल,$F = 40\,N$
गतिज घर्षण गुणांक,$\mu_k = 0.4$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10\,m/s^2$
चरण $1$: गतिज घर्षण बल $(f_k)$ की गणना करें:
क्षैतिज सतह पर अभिलंब बल $N = mg = 5 \times 10 = 50\,N$ है।
गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N = 0.4 \times 50 = 20\,N$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $2$: कुल बल $(F_{net})$ की गणना करें:
ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k = 40\,N - 20\,N = 20\,N$ है।
चरण $3$: त्वरण $(a)$ की गणना करें:
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = ma$.
$a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{20\,N}{5\,kg} = 4\,m/s^2$.
अतः,ब्लॉक का त्वरण $4\,m/s^2$ है।

(C) चूंकि ब्लॉक स्थिर गति से चल रहा है,इसलिए उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
अतः,लगाया गया क्षैतिज बल गतिज घर्षण बल के बराबर होना चाहिए।
$F_{ext} = F_{k}$
हम जानते हैं कि गतिज घर्षण बल $F_{k} = \mu_{k} N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ अभिलंब बल है।
क्षैतिज सतह पर स्थित ब्लॉक के लिए,$N = mg$.
इस प्रकार,$F_{ext} = \mu_{k} mg$.
दिया गया है: $F_{ext} = 4\,N$,$m = 0.5\,kg$,और $g = 10\,m/s^2$.
मान रखने पर: $4 = \mu_{k} \times 0.5 \times 10$.
$4 = \mu_{k} \times 5$.
$\mu_{k} = \frac{4}{5} = 0.8$.

(A) कार की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} mv^2$ है।
कार पर लगने वाला घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य कार की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K$
$-f \cdot s = 0 - \frac{1}{2} mv^2$
$\mu mg s = \frac{1}{2} mv^2$
रुकने की दूरी $s$ के लिए हल करने पर:
$s = \frac{v^2}{2\mu g}.$

(B) $F = 75\,N$ का बल क्षैतिज के साथ $37^{\circ}$ के कोण पर लगाया गया है।
बल के घटकों का वियोजन करने पर:
क्षैतिज घटक $N = F \cos 37^{\circ} = 75 \times 0.8 = 60\,N$। यह दीवार द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल है।
ऊर्ध्वाधर घटक $F_y = F \sin 37^{\circ} = 75 \times 0.6 = 45\,N$ (ऊपर की ओर)।
ब्लॉक का भार $mg = 1 \times 10 = 10\,N$ (नीचे की ओर)।
गतिक घर्षण बल $f_k = \mu N = 0.25 \times 60 = 15\,N$ है। चूंकि लगाए गए बल का ऊर्ध्वाधर घटक $(45\,N)$ भार $(10\,N)$ से अधिक है,इसलिए ब्लॉक ऊपर की ओर गति करेगा।
घर्षण बल गति का विरोध करने के लिए नीचे की ओर कार्य करेगा।
ऊर्ध्वाधर दिशा में न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$F_y - mg - f_k = ma$
$45 - 10 - 15 = 1 \times a$
$20 = a$
अतः,त्वरण $a = 20\,m/s^2$ है।

(A) जब कोई ब्लॉक एक खुरदरी क्षैतिज सतह पर गति करता है,तो उस पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N$ होता है।
चूंकि सतह क्षैतिज है,इसलिए अभिलंब बल $N = mg$ होता है।
अतः,घर्षण बल $f_k = \mu_k mg$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,त्वरण का परिमाण $a$,$F = ma$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $ma = \mu_k mg$।
यह सरल होकर $a = \mu_k g$ हो जाता है।
यहाँ $\mu_k = 0.2$ और $g = 10\,m/s^2$ लेने पर:
$a = 0.2 \times 10 = 2\,m/s^2$।

(A) अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu mg$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $m = 4\,kg$,$g = 10\,m/s^2$,और $\mu = 0.8$ दिया गया है,इसलिए $f_{max} = 0.8 \times 4 \times 10 = 32\,N$ होगा।
$t = 2\,s$ पर लगाया गया बल $F = kt^2 = 2 \times (2)^2 = 8\,N$ है।
चूँकि लगाया गया बल $F = 8\,N$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{max} = 32\,N$ से कम है,इसलिए ब्लॉक स्थिर रहेगा।
स्थैतिक घर्षण के नियमों के अनुसार,जब वस्तु संतुलन में होती है तो घर्षण बल लगाए गए बल के बराबर होता है।
अतः,घर्षण बल $8\,N$ है।

(C) खुरदरी सतह पर गति करने वाले पिंड पर लगने वाला घर्षण बल गतिज घर्षण होता है।
गतिज घर्षण का सूत्र $f_k = \mu_k N$ है,जहाँ $\mu_k$ गतिज घर्षण गुणांक है और $N$ अभिलंब बल है।
चूंकि सतह समतल है और पिंड ऊर्ध्वाधर दिशा में त्वरित नहीं है,इसलिए अभिलंब बल $N$ पिंड के भार $(mg)$ के बराबर होता है।
गतिज घर्षण पिंड के वेग से स्वतंत्र होता है,जब तक कि सतह के गुण और अभिलंब बल अपरिवर्तित रहते हैं।
इसलिए,यदि वेग $2 \, m/s$ से बढ़कर $4 \, m/s$ हो जाता है,तब भी घर्षण बल $10 \, N$ ही रहेगा।

(A) ब्लॉक का द्रव्यमान $m=1 \, kg$ है। इस पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($mg=10 \, N$ नीचे की ओर),अभिलंब बल ($N$ ऊपर की ओर) और आरोपित बल $\vec{F}=\hat{i}+4 \hat{j}$ हैं।
ऊर्ध्वाधर $(y)$ दिशा में बलों को संतुलित करने पर:
$N + F_y = mg$
$N + 4 = 10$
$N = 6 \, N$
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{\max} = \mu N = 0.3 \times 6 = 1.8 \, N$ है।
आरोपित बल का क्षैतिज घटक $F_x = 1 \, N$ है।
चूंकि ब्लॉक को गति देने के लिए आवश्यक क्षैतिज बल $(1 \, N)$,अधिकतम स्थैतिक घर्षण $(1.8 \, N)$ से कम है,इसलिए ब्लॉक स्थिर रहेगा।
अतः,घर्षण बल आरोपित क्षैतिज बल को संतुलित करेगा।
इस प्रकार,घर्षण बल $f = -F_x \hat{i} = -1 \hat{i} = -\hat{i}$ होगा।

(A) $1$. लगाए गए बल $F$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करें: $F \cos \phi$ (क्षैतिज) और $F \sin \phi$ (ऊर्ध्वाधर)।
$2$. गुटके पर कार्य करने वाले ऊर्ध्वाधर बल अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ (ऊपर की ओर),लगाए गए बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F \sin \phi$ (ऊपर की ओर),और भार $Mg$ (नीचे की ओर) हैं। ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए: $R + F \sin \phi = Mg$,इसलिए $R = Mg - F \sin \phi$।
$3$. गति उत्पन्न करने वाला क्षैतिज बल $F \cos \phi$ है। गति का विरोध करने वाला गतिज घर्षण बल $f = \mu R = \mu(Mg - F \sin \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. क्षैतिज दिशा में न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $F \cos \phi - f = Ma$।
$5$. $f$ का मान रखने पर: $F \cos \phi - \mu(Mg - F \sin \phi) = Ma$।
$6$. त्वरण $a$ के लिए हल करने पर: $Ma = F \cos \phi - \mu Mg + \mu F \sin \phi$।
$7$. $M$ से विभाजित करने पर: $a = \frac{F}{M}(\cos \phi + \mu \sin \phi) - \mu g$।

(D) ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल इसके भार $mg$ नीचे की ओर,अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ ऊपर की ओर,और लगाया गया बल $F = mg$ ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर हैं।
बल $F$ को घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक $= F \sin \theta = mg \sin \theta$
ऊर्ध्वाधर घटक $= F \cos \theta = mg \cos \theta$
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए:
$R + F \cos \theta = mg$
$R = mg - mg \cos \theta = mg(1 - \cos \theta)$
घर्षण बल $f_r$ इस प्रकार है:
$f_r = \mu R = \mu mg(1 - \cos \theta)$
ब्लॉक को तब खींचा जा सकता है यदि बल का क्षैतिज घटक घर्षण बल से अधिक या उसके बराबर हो:
$mg \sin \theta \geq \mu mg(1 - \cos \theta)$
$\sin \theta \geq \mu(1 - \cos \theta)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ और $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \geq \mu (2 \sin^2 \frac{\theta}{2})$
$\cos \frac{\theta}{2} \geq \mu \sin \frac{\theta}{2}$
$\cot \frac{\theta}{2} \geq \mu$

(A) $1$. आरोपित बल $F$ को दो घटकों में वियोजित करें: क्षैतिज घटक $F \cos \theta$ और ऊर्ध्वाधर घटक $F \sin \theta$।
$2$. गुटके पर कार्य करने वाले ऊर्ध्वाधर बल अभिलंब बल $N$ (ऊपर की ओर),आरोपित बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F \sin \theta$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं। चूंकि ऊर्ध्वाधर दिशा में कोई गति नहीं है,$N + F \sin \theta = mg$,जिससे $N = mg - F \sin \theta$ प्राप्त होता है।
$3$. घर्षण बल $f_r = \mu N = \mu(mg - F \sin \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. गुटके पर कार्य करने वाला कुल क्षैतिज बल $F \cos \theta - f_r$ है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F \cos \theta - f_r = ma$ होता है।
$5$. $f_r$ का मान रखने पर: $F \cos \theta - \mu(mg - F \sin \theta) = ma$।
$6$. त्वरण $a$ के लिए हल करने पर: $a = \frac{F \cos \theta - \mu mg + \mu F \sin \theta}{m} = \frac{F}{m}(\cos \theta + \mu \sin \theta) - \mu g$।

(B) निकाय के संतुलन में रहने के लिए:
$M_1$ द्रव्यमान के ब्लॉक पर $m$ अतिरिक्त द्रव्यमान रखने पर:
अभिलंब बल $N = (M_1 + m)g$.
सीमांत घर्षण बल $f = \mu N = \mu(M_1 + m)g$.
संतुलन के लिए,डोरी में तनाव $T$ घर्षण बल के बराबर होना चाहिए:
$T = \mu(M_1 + m)g$.
ऊर्ध्वाधर लटके हुए $M_2$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए:
संतुलन के लिए,तनाव $T$ ब्लॉक के भार के बराबर होना चाहिए:
$T = M_2 g$.
तनाव के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\mu(M_1 + m)g = M_2 g$.
दोनों पक्षों को $\mu g$ से विभाजित करने पर:
$M_1 + m = \frac{M_2}{\mu}$.
अतः,आवश्यक अतिरिक्त द्रव्यमान $m$ है:
$m = \frac{M_2}{\mu} - M_1$.

(C) पिंड पर कार्य करने वाला गतिज घर्षण बल $f$,$f = \mu R$ द्वारा दिया जाता है।
पिंड को धीरे-धीरे (बिना त्वरण के) खिसकाने के लिए,एक बाहरी बल $P$ इस प्रकार लगाया जाना चाहिए कि वह घर्षण बल को पूरी तरह संतुलित कर दे।
इसलिए,$P = f = \mu R$।
पिंड को $d$ दूरी तक खिसकाने में घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W$,लगाए गए बल और विस्थापन के गुणनफल के बराबर होता है:
$W = P \times d = (\mu R) \times d = \mu Rd$।

(A) बॉक्स को गतिमान बेल्ट पर रखा जाता है,इसलिए बेल्ट के सापेक्ष इसका प्रारंभिक वेग $u_{rel} = 2\, ms^{-1}$ है।
बॉक्स पर लगने वाला घर्षण बल $f = \mu mg$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,बेल्ट के सापेक्ष बॉक्स का त्वरण $a = \frac{f}{m} = \mu g$ है।
दिए गए मानों को रखने पर,$a = 0.5 \times 10 = 5\, ms^{-2}$ प्राप्त होता है।
बेल्ट के सापेक्ष बॉक्स द्वारा फिसलना बंद करने तक तय की गई दूरी $S$ ज्ञात करने के लिए हम गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2aS$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,अंतिम सापेक्ष वेग $v = 0\, ms^{-1}$ और प्रारंभिक सापेक्ष वेग $u = 2\, ms^{-1}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $0^2 - 2^2 = 2(-5)S$.
$-4 = -10S$.
$S = \frac{4}{10} = 0.4\, m$.

(C) पिंड पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,मंदन $a = f / m = \mu mg / m = \mu g$ प्राप्त होता है।
गति के तीसरे समीकरण $v_f^2 - v_i^2 = 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ $v_f = 0$ (अंतिम वेग) और $v_i = v$ (प्रारंभिक वेग) है।
मान रखने पर: $0^2 - v^2 = 2(-\mu g)s$।
इससे $-v^2 = -2\mu gs$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रारंभिक वेग $v = \sqrt{2\mu gs}$ होगा।

(C) माना मेज पर रखा द्रव्यमान $m_1 = 40\, kg$ है और लटकता हुआ द्रव्यमान $m_2 = 10\, kg$ है।
$40\, kg$ के ब्लॉक पर कार्य करने वाला सीमांत घर्षण बल $f_L = \mu m_1 g = 0.1 \times 40 \times 10 = 40\, N$ है।
लटकते हुए द्रव्यमान के कारण कार्य करने वाला प्रेरक बल $F_d = m_2 g = 10 \times 10 = 100\, N$ है।
चूंकि प्रेरक बल $(100\, N)$,सीमांत घर्षण $(40\, N)$ से अधिक है,इसलिए निकाय त्वरित होगा।
निकाय के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करने पर: $m_2 g - f_L = (m_1 + m_2) a$.
$100 - 40 = (40 + 10) a$.
$60 = 50 a$.
$a = \frac{60}{50} = 1.2\, m/s^2$.

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 6\,m/s$,अंतिम वेग $v = 0\,m/s$,दूरी $s = 9\,m$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,घर्षण द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K$।
$-f_k \cdot s = 0 - \frac{1}{2} m u^2$।
चूंकि $f_k = \mu_k N = \mu_k m g$,इसलिए $-\mu_k m g s = -\frac{1}{2} m u^2$।
सरल करने पर,$\mu_k = \frac{u^2}{2 g s}$।
मान रखने पर: $\mu_k = \frac{6^2}{2 \times 10 \times 9} = \frac{36}{180} = 0.2$।

(D) मान लीजिए $C$ ब्लॉक का द्रव्यमान केंद्र है। आधार से द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई $h/2$ है।
ब्लॉक के पलटने के लिए,आधार के किनारे के परितः घर्षण बल $f$ के कारण उत्पन्न टॉर्क,उसी किनारे के परितः अभिलंब बल $N$ के कारण उत्पन्न टॉर्क से अधिक होना चाहिए।
आधार के अगले किनारे के परितः टॉर्क लेने पर:
$\tau_{f} = f \times h$
$\tau_{N} = N \times \frac{a}{2}$
पलटने के लिए,$\tau_{f} > \tau_{N} \implies f \times h > N \times \frac{a}{2}$.
चूंकि ब्लॉक गति में है,$f = \mu N$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\mu N h > N \frac{a}{2}$.
$\mu h > \frac{a}{2} \implies \mu > \frac{a}{2h}$.
अतः,ब्लॉक $\mu > \frac{a}{2h}$ होने पर पलट जाएगा।

(B) ब्लॉक दाईं ओर गति कर रहा है। बल $F = 20\sqrt{2}\, N$ नीचे की ओर $45^{\circ}$ के कोण पर कार्य करता है, जो ब्लॉक को फर्श की ओर दबाता है।
अभिलंब प्रतिक्रिया $N = mg + F \sin 45^{\circ} = 5 \times 10 + 20\sqrt{2} \times (1/\sqrt{2}) = 50 + 20 = 70\, N$.
घर्षण बल: $f_k = \mu N = 0.5 \times 70 = 35\, N$.
क्षैतिज बल: आरोपित बल का क्षैतिज घटक $F_x = F \cos 45^{\circ} = 20\sqrt{2} \times (1/\sqrt{2}) = 20\, N$ (बाईं ओर कार्य करता है)।
कुल मंदक बल $F_{net} = f_k + F_x = 35 + 20 = 55\, N$.
मंदक त्वरण $a = F_{net} / m = 55 / 5 = 11\, m/s^2$.
सूत्र $v = u - at$ का उपयोग करने पर, जहाँ $u = 33\, m/s$, $a = 11\, m/s^2$, और $t = 3\, s$:
$v = 33 - (11 \times 3) = 33 - 33 = 0\, m/s$.

(B) दिया गया है: ब्लॉक का द्रव्यमान $m = 5 \ kg$,लगाया गया बल $F = 1000 \ N$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.1$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$.
$1$. ब्लॉक को $F = 1000 \ N$ के क्षैतिज बल द्वारा दीवार के विरुद्ध दबाया जाता है। यह बल दीवार द्वारा ब्लॉक पर लगाए गए अभिलंब बल $N$ के रूप में कार्य करता है,इसलिए $N = F = 1000 \ N$.
$2$. अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max}$ जो कार्य कर सकता है,वह $f_{max} = \mu N = 0.1 \times 1000 = 100 \ N$ है।
$3$. ब्लॉक पर नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $W = mg = 5 \times 10 = 50 \ N$ है।
$4$. चूंकि ब्लॉक संतुलन में है,इसलिए ऊपर की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल $f$ नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $W$ को संतुलित करना चाहिए। इसलिए,$f = W = 50 \ N$.
$5$. चूंकि $f = 50 \ N$,$f_{max} = 100 \ N$ से कम है,इसलिए ब्लॉक संतुलन में रहेगा। अतः,घर्षण बल $50 \ N$ है।

(A) $m$ द्रव्यमान के पिंड पर लगने वाला घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$ है।
चूंकि प्लेटफॉर्म विशाल $(M \gg m)$ है,इसलिए इसका वेग $V_p = 4 \, m/s$ स्थिर रहता है।
पिंड $m$ का त्वरण $a = \frac{f}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$ है।
मान रखने पर,$a = 0.2 \times 10 = 2 \, m/s^2$।
पिंड विरामावस्था $(u = 0)$ से शुरू होता है और तब तक त्वरित होता है जब तक कि उसका वेग प्लेटफॉर्म के वेग $(v = V_p = 4 \, m/s)$ के बराबर न हो जाए।
समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,$4 = 0 + 2t$,जिससे $t = 2 \, s$ प्राप्त होता है।
ग्राउंड फ्रेम में पिंड द्वारा तय की गई दूरी $S_b = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (2)^2 = 4 \, m$ है।
उसी समय में प्लेटफॉर्म द्वारा तय की गई दूरी $S_p = V_p \times t = 4 \times 2 = 8 \, m$ है।
प्लेटफॉर्म के सापेक्ष पिंड की फिसलने की दूरी $S_{rel} = S_p - S_b = 8 - 4 = 4 \, m$ है।

(B) घर्षण बल $F$,$m$ द्रव्यमान की कार को मंदन $a$ प्रदान करता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$।
घर्षण बल का सूत्र $F = \mu N$ होता है,जहाँ $\mu$ घर्षण गुणांक है और $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया बल है।
समतल सड़क पर कार के लिए,$N = mg$।
$F$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$ma = \mu mg$
$a = \mu g$
$\mu = \frac{a}{g}$
यहाँ $a = 7.35\, ms^{-2}$ और $g = 9.8\, ms^{-2}$ लेने पर:
$\mu = \frac{7.35}{9.8} = 0.75$।

(C) बॉक्स ट्रेन के फर्श के सापेक्ष स्थिर रहता है क्योंकि उस पर स्थैतिक घर्षण बल कार्य करता है।
माना $m$ बॉक्स का द्रव्यमान है,$a$ ट्रेन का त्वरण है,और $\mu_s$ स्थैतिक घर्षण गुणांक है।
बॉक्स को त्वरण प्रदान करने वाला बल स्थैतिक घर्षण $f_s$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$f_s = m a$ है।
बॉक्स के स्थिर रहने के लिए,स्थैतिक घर्षण को $f_s \leq \mu_s N$ को संतुष्ट करना चाहिए,जहाँ $N = m g$ अभिलंब बल है।
अतः,$m a \leq \mu_s m g$,जिसे सरल करने पर $a \leq \mu_s g$ प्राप्त होता है।
अधिकतम त्वरण $a_{\max} = \mu_s g$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर,$a_{\max} = 0.15 \times 10 \ m/s^2 = 1.5 \ m/s^2$ प्राप्त होता है।

(N/A) जब किसी सतह पर रखे वस्तु पर कार्य करने वाले बल का परिमाण अधिकतम स्थैतिक घर्षण से अधिक हो जाता है,तो वस्तु बाहरी बल की दिशा में गति करना शुरू कर देती है। अतः,घर्षण बल का मान अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से कम हो जाता है।
संपर्क में रहने वाली सतहों के बीच सापेक्ष गति का विरोध करने वाले घर्षण बल को गतिक घर्षण कहा जाता है। इसे $f_{k}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
गतिक घर्षण के नियम:
$(1)$ गतिक घर्षण सतहों के बीच संपर्क क्षेत्रफल पर निर्भर नहीं करता है।
$(2)$ गतिक घर्षण बल गतिमान वस्तु के सापेक्ष वेग पर निर्भर नहीं करता है।
$(3)$ गतिक घर्षण बल अभिलंब बल (normal force) के समानुपाती होता है।
$\therefore f_{k} \propto N$
$\therefore f_{k} = \mu_{k} N$
जहाँ $\mu_{k} = \text{गतिक घर्षण गुणांक}$,$\mu_{k} = \frac{f_{k}}{N}$ है।
गतिक घर्षण गुणांक: गतिक घर्षण बल और अभिलंब बल के अनुपात को गतिक घर्षण गुणांक कहा जाता है।
चूंकि $f_{s} > f_{k}$,इसलिए $\mu_{s} > \mu_{k}$ होता है। एक बार सापेक्ष गति शुरू हो जाने पर,न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार वस्तु का त्वरण $a = \frac{F - f_{k}}{m}$ होता है।
यदि वस्तु नियत वेग से गति करती है,तो $F = f_{k}$ होता है।
यदि लगाया गया बाहरी बल शून्य कर दिया जाए,तो वस्तु का त्वरण $-\frac{f_{k}}{m}$ होगा। अतः,कुछ दूरी तय करने के बाद वह रुक जाएगी।

(A) जब कोई वस्तु किसी सतह पर बिना फिसले लुढ़कती है,तो उसकी गति का विरोध करने वाले बल को लोटनिक घर्षण कहते हैं। इसे $f_{r}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
लोटनिक घर्षण के नियम:
$(1)$ लोटनिक घर्षण का परिमाण संपर्क क्षेत्र के क्षेत्रफल पर निर्भर नहीं करता है।
$(2)$ लोटनिक घर्षण का परिमाण अभिलंब बल $(N)$ के समानुपाती होता है: $f_{r} \propto N$,जिसका अर्थ है $f_{r} = \mu_{r} N$.
लोटनिक घर्षण गुणांक $(\mu_{r})$:
लोटनिक घर्षण बल और अभिलंब बल के अनुपात को लोटनिक घर्षण गुणांक कहते हैं,जिसे $\mu_{r} = \frac{f_{r}}{N}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है। यह एक मात्रकहीन राशि है।
व्याख्या:
जब कोई वस्तु किसी सतह पर लुढ़कती है,तो संपर्क में आने वाली सतहें क्षणिक रूप से विरूपित हो जाती हैं। इस विरूपण के कारण गति का विरोध करने वाला एक बल उत्पन्न होता है। लोटनिक घर्षण,स्थैतिक या गतिज घर्षण की तुलना में बहुत कम (आमतौर पर $\frac{1}{100}$ से $\frac{1}{1000}$ गुना) होता है,इसीलिए पहियों का उपयोग बहुत प्रभावी है। घर्षण गुणांकों के बीच संबंध $\mu_{r} < \mu_{k} < \mu_{s}$ होता है।

(N/A) गतिक घर्षण वह प्रतिरोधी बल है जो संपर्क में आने वाली दो सतहों के बीच सापेक्ष गति का विरोध करता है,जब एक सतह दूसरी सतह पर फिसल रही होती है। यह गति की दिशा के विपरीत कार्य करता है।
लोटनिक घर्षण वह प्रतिरोधी बल है जो किसी वस्तु (जैसे पहिया या गोला) की गति का विरोध करता है जब वह किसी सतह पर लुढ़कती है। यह आमतौर पर गतिक (सर्पी) घर्षण से बहुत कम होता है क्योंकि इसमें संपर्क का क्षेत्रफल काफी कम हो जाता है।

(D) घर्षण बल हमेशा वस्तु की सापेक्ष गति या गति की प्रवृत्ति की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
चूंकि तात्क्षणिक वेग गति की दिशा को दर्शाता है,इसलिए घर्षण बल वेग सदिश की बिल्कुल विपरीत दिशा में कार्य करता है।
अतः,तात्क्षणिक वेग और घर्षण बल के बीच का कोण $180^{\circ}$ होता है।

(A) रबर और सड़क की सतह के बीच घर्षण गुणांक,स्टील और सड़क की सतह के बीच के घर्षण गुणांक की तुलना में काफी अधिक होता है।
यह उच्च घर्षण गुणांक बेहतर कर्षण (traction) प्रदान करता है,जो वाहन को सुरक्षित रूप से गति देने,ब्रेक लगाने और मोड़ने के लिए आवश्यक है।
यदि स्टील के टायरों का उपयोग किया जाता है,तो घर्षण बहुत कम होगा,जिससे वाहन आसानी से फिसल (skid) सकता है।

(B) नहीं,यह कथन गलत है। जब कोई व्यक्ति चलता है,तो वह अपने पैरों से जमीन को पीछे की दिशा में धकेलता है। न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,जमीन उसके पैरों पर आगे की दिशा में समान और विपरीत बल लगाती है। आगे की दिशा में लगने वाला यही घर्षण बल व्यक्ति को आगे बढ़ने में मदद करता है।

(B) $1$. लगाए गए बल $F$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करें: $F_{x} = F \cos \theta$ और $F_{y} = F \sin \theta$.
$2$. ब्लॉक पर कार्य करने वाले ऊर्ध्वाधर बल अभिलंब बल $N$ (ऊपर की ओर),लगाए गए बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F \sin \theta$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं। चूंकि ऊर्ध्वाधर दिशा में कोई गति नहीं है,इसलिए कुल ऊर्ध्वाधर बल शून्य है: $N + F \sin \theta = mg$,जिससे $N = mg - F \sin \theta$ प्राप्त होता है।
$3$. गतिज घर्षण बल $f_{k}$ का मान $f_{k} = \mu_{K} N = \mu_{K}(mg - F \sin \theta)$ है।
$4$. ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल क्षैतिज बल लगाए गए बल का क्षैतिज घटक और घर्षण बल का अंतर है: $F_{net} = F \cos \theta - f_{k} = F \cos \theta - \mu_{K}(mg - F \sin \theta)$.
$5$. न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = ma$,हमें $ma = F \cos \theta - \mu_{K}(mg - F \sin \theta)$ प्राप्त होता है।
$6$. द्रव्यमान $m$ से विभाजित करने पर,त्वरण $a = \frac{F}{m} \cos \theta - \mu_{K}(g - \frac{F}{m} \sin \theta)$ प्राप्त होता है।

(B) ब्लॉक पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,मंदन $a = -\mu g$ है।
यहाँ $\mu = 0.5$ और $g = 9.8\, m/s^2$ दिया गया है,इसलिए त्वरण $a = -0.5 \times 9.8 = -4.9\, m/s^2$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ अंतिम वेग $v = 0$ और प्रारंभिक वेग $u = 9.8\, m/s$ है:
$0 = (9.8)^2 + 2(-4.9)s$
$9.8s = 9.8 \times 9.8$
$s = 9.8\, m$.

(D) माना सतह पर रखे ब्लॉक का द्रव्यमान $M = 40 \,kg$ है और लटकाए गए द्रव्यमान का मान $m = 4 \,kg$ है। माना निकाय का त्वरण $a$ है और डोरी में तनाव $T$ है।
लटकाए गए द्रव्यमान $m$ के लिए,गति का समीकरण है:
$mg - T = ma$
$4(10) - T = 4a \implies 40 - T = 4a$ --- $(1)$
सतह पर रखे ब्लॉक $M$ के लिए,गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N = \mu_k Mg = 0.02 \times 40 \times 10 = 8 \,N$ है।
ब्लॉक के लिए गति का समीकरण है:
$T - f_k = Ma$
$T - 8 = 40a$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(40 - T) + (T - 8) = 4a + 40a$
$32 = 44a$
$a = \frac{32}{44} = \frac{8}{11} \,m/s^2$.

(B) जब बैग को बेल्ट पर रखा जाता है,तो यह गतिज घर्षण बल $f_k = \mu N = \mu mg$ का अनुभव करता है।
यह बल बैग को बेल्ट की गति की दिशा में $a = f_k / m = \mu g$ का त्वरण प्रदान करता है।
यहाँ $\mu = 0.4$ और $g = 10\,m/s^2$ दिया गया है,इसलिए त्वरण $a = 0.4 \times 10 = 4\,m/s^2$ होगा।
बेल्ट के फ्रेम में,बैग का प्रारंभिक वेग $u = 2\,m/s$ (बेल्ट के सापेक्ष) है और अंतिम वेग $v = 0$ (जब यह फिसलना बंद कर देता है) है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करते हुए (जहाँ $s$ बेल्ट के सापेक्ष दूरी है):
$0^2 = 2^2 - 2(4)s$
$0 = 4 - 8s$
$8s = 4$
$s = 0.5\,m$.

(B) सही उत्तर $B$ है।
जब मीना ब्रेक लगाती है,तो ब्रेक पैड पहिये के रिम के खिलाफ दबते हैं,जिससे पहिया घूमना बंद कर देता है। हालाँकि,जड़त्व के कारण साइकिल आगे बढ़ना जारी रखती है। इसके कारण टायर सड़क की सतह पर रगड़ खाता है। सड़क साइकिल की गति की विपरीत दिशा में टायर पर घर्षण बल लगाती है। यह बाहरी घर्षण बल ही साइकिल को धीमा करने के लिए जिम्मेदार है।

(C) माना रस्सी की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\lambda$ है।
लटकने वाली रस्सी की लंबाई $f l$ है और मेज पर रखी रस्सी की लंबाई $(1-f)l$ है।
रस्सी के लटकते हुए भाग का भार,जो खिंचाव बल $F$ के रूप में कार्य करता है,है:
$F = (f l) \lambda g$
मेज पर रखी रस्सी के भाग पर मेज द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N$ है:
$N = ((1-f)l) \lambda g$
रस्सी पर कार्य करने वाला अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ है:
$f_s = \mu N = \mu (1-f) l \lambda g$
रस्सी के स्थिर (संतुलन में) रहने के लिए,खिंचाव बल को सीमांत घर्षण बल के बराबर होना चाहिए:
$F = f_s$
$f l \lambda g = \mu (1-f) l \lambda g$
दोनों पक्षों को $l \lambda g$ से विभाजित करने पर:
$f = \mu (1-f)$
$f = \mu - \mu f$
$f + \mu f = \mu$
$f(1+\mu) = \mu$
$f = \frac{\mu}{1+\mu}$
दिए गए विकल्पों से मिलान करने के लिए,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f = \frac{1}{\frac{1+\mu}{\mu}} = \frac{1}{\frac{1}{\mu} + 1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\mu}}$
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(A) ब्लॉक के लिए,अंतिम वेग $v = 0$,समय $t = 2 \, s$,और विस्थापन $s = 1 \, m$ है।
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है:
$0 = u + a \times 2 \Rightarrow a = -u/2$.
समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है:
$0 - u^2 = 2 \times (-u/2) \times 1 \Rightarrow -u^2 = -u \Rightarrow u(u - 1) = 0$.
चूंकि $u \neq 0$,प्रारंभिक वेग $u = 1 \, m/s$ है।
त्वरण $a = -u/2 = -0.5 \, m/s^2$ है।
गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k mg = m|a|$ है।
अतः,$\mu_k g = |a| \Rightarrow \mu_k = 0.5 / 10 = 0.05$.
इस गणना में,हमने वायु प्रतिरोध और अन्य क्षयकारी बलों को नजरअंदाज कर दिया है। वास्तविक स्थिति में,ये अतिरिक्त बल मंदन में योगदान देंगे,जिसका अर्थ है कि बक्से को $2 \, s$ में रोकने के लिए आवश्यक घर्षण बल केवल गतिज घर्षण के आधार पर गणना किए गए मान से कम होगा। इसलिए,$\mu_k$ का मान $0.05$ से कम होना चाहिए।

(A) ब्लॉक पहले से ही $v = 4 \ m/s$ के वेग से बाईं ओर गति कर रहा है।
चूंकि ब्लॉक गति में है,इसलिए इस पर कार्य करने वाला घर्षण गतिज घर्षण है।
गतिज घर्षण का सूत्र $f_k = \mu_k N$ है,जहाँ $N$ अभिलंब बल है।
क्षैतिज सतह पर रखे ब्लॉक के लिए,$N = mg$ होता है।
यहाँ $m = 10 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,और $\mu_k = 0.6$ दिया गया है:
$f_k = 0.6 \times 10 \times 10 = 60 \ N$।
गतिज घर्षण की दिशा हमेशा गति की दिशा के विपरीत होती है।
चूंकि ब्लॉक बाईं ओर गति कर रहा है,इसलिए गतिज घर्षण बल दाईं ओर $60 \ N$ के परिमाण के साथ कार्य करेगा।

(B) ब्लॉक $A$ और $B$ का निकाय $10 \, m/s$ के नियत वेग से गति कर रहा है।
चूंकि वेग नियत है,इसलिए निकाय का त्वरण $a = 0 \, m/s^2$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,क्षैतिज दिशा में निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए $F_{ext} = 20 \, N$ ब्लॉक $B$ पर दाईं दिशा में लगाया गया बल है।
मान लीजिए $f_g$ जमीन द्वारा ब्लॉक $B$ पर बाईं दिशा में लगाया गया घर्षण बल है।
निकाय के संतुलन (नियत वेग) में रहने के लिए,क्षैतिज दिशा में कुल बल शून्य होना चाहिए:
$F_{ext} - f_g = 0$
$20 \, N - f_g = 0$
$f_g = 20 \, N$.
अतः,जमीन द्वारा ब्लॉक $B$ पर लगाया गया घर्षण बल $20 \, N$ है।

(A) दिया गया है:
ब्लॉक का द्रव्यमान,$m = 10 \, kg$
त्वरण,$a = 2 \, m/s^2$
अनुप्रयुक्त बल,$F = 40 \, N$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \, m/s^2$ (मानक गणना के लिए $g = 10 \, m/s^2$ लेने पर)
ब्लॉक पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N = mg = 10 \times 10 = 100 \, N$ है।
गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N = \mu_k \times 100$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल:
$F - f_k = ma$
$40 - 100 \mu_k = 10 \times 2$
$40 - 100 \mu_k = 20$
$100 \mu_k = 40 - 20$
$100 \mu_k = 20$
$\mu_k = \frac{20}{100} = 0.2$
अतः,गतिज घर्षण गुणांक का मान $0.2$ है।

(D) जब ब्रेक लगाए जाते हैं,तो साइकिल के पहिए घूमना बंद कर देते हैं और सड़क की सतह पर फिसलने लगते हैं।
इस स्थिति में,टायर और सड़क के बीच कार्य करने वाला घर्षण सर्पी घर्षण (sliding friction) होता है।
सामान्य परिस्थितियों में,साइकिल लोटनिक गति (rolling) द्वारा चलती है,जहाँ लोटनिक घर्षण कार्य करता है।
चूंकि सर्पी घर्षण,लोटनिक घर्षण से काफी अधिक होता है,इसलिए ब्रेक लगे होने पर साइकिल को चलाना कठिन हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।