Kinetic Friction and Motion on Rough Horizontal Surface Questions in Hindi

(D) बच्चा रस्सी से नीचे फिसल रहा है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण बल नीचे की ओर और घर्षण बल ऊपर की ओर कार्य करता है।
दिया गया है:
बच्चे का द्रव्यमान,$m = 25 \,kg$
घर्षण बल,$f_s = 200 \,N$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,m/s^2$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार:
$mg - f_s = ma$
मान रखने पर:
$(25 \times 10) - 200 = 25 \times a$
$250 - 200 = 25a$
$50 = 25a$
$a = 2 \,m/s^2$
अतः,बच्चे का त्वरण $2 \,m/s^2$ है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 8 \,m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \,m/s$,समय $t = 10 \,s$.
सबसे पहले,गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करके मंदन $a$ की गणना करते हैं।
$0 = 8 + a(10) \implies a = -0.8 \,m/s^2$.
वस्तु पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = ma = 1 \times 0.8 = 0.8 \,N$ है।
वस्तु को $8 \,m/s$ के नियत वेग से गतिमान रखने के लिए,लगाया गया बल $F$ घर्षण बल $f$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$F = f = 0.8 \,N$.

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 4 \, m/s$
अंतिम वेग $v = 0 \, m/s$
समय $t = 8 \, s$
घर्षण बल $f = 10 \, N$
सबसे पहले,गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करके त्वरण (मंदक) ज्ञात करें:
$0 = 4 + a(8)$
$8a = -4$
$a = -0.5 \, m/s^2$
त्वरण का परिमाण $0.5 \, m/s^2$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$f = ma$:
$10 = m \times 0.5$
$m = \frac{10}{0.5}$
$m = 20 \, kg$
अतः,बक्से का द्रव्यमान $20 \, kg$ है।

(D) सही उत्तर $D$ है।
जब कार का इंजन पहियों को घुमाता है,तो पहिये सड़क पर पीछे की दिशा में बल लगाते हैं।
न्यूटन के गति के $3^{rd}$ नियम के अनुसार,सड़क पहियों पर समान और विपरीत दिशा में आगे की ओर बल लगाती है।
सड़क द्वारा प्रदान किया गया यह घर्षण बल ही वह बाहरी बल है जिसके कारण कार क्षैतिज सतह पर त्वरित होती है।

(A) ब्लॉक का मंदन $a$,$a = \frac{dv}{dt} = -\mu g$ द्वारा दिया जाता है।
इस व्यंजक का समाकलन करने पर,हमें $\Delta v = v_f - v_i = -g \int_{0}^{4} \mu \,dt$ प्राप्त होता है।
पद $\int_{0}^{4} \mu \,dt$,$t = 0$ से $t = 4 \,s$ तक $\mu-t$ वक्र के नीचे का क्षेत्रफल दर्शाता है।
क्षेत्रफल में $t = 0$ से $2 \,s$ तक का एक आयत और $t = 2$ से $4 \,s$ तक का एक समलंब (trapezoid) शामिल है।
क्षेत्रफल $= (2 \times 0.5) + \frac{1}{2} \times (0.5 + 0.3) \times (4 - 2) = 1 + 0.8 = 1.8$.
अब,वेग समीकरण में मान रखने पर:
$v_f - 20 = -10 \times (1.8) = -18$.
$v_f = 20 - 18 = 2 \,m/s$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 40\,kg$,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_{s} = 0.5$,गतिज घर्षण गुणांक $\mu_{k} = 0.4$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$ है।
बल $P$ गति शुरू करने के लिए पर्याप्त है,इसलिए यह सीमांत घर्षण के बराबर होगा:
$P = f_{s,max} = \mu_{s} N = \mu_{s} mg$.
जब पिंड गति करना शुरू करता है,तो उस पर गतिज घर्षण $f_{k}$ कार्य करता है:
$f_{k} = \mu_{k} N = \mu_{k} mg$.
पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net}$:
$F_{net} = P - f_{k} = \mu_{s} mg - \mu_{k} mg = m(\mu_{s} - \mu_{k})g$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F_{net} = ma$:
$ma = m(\mu_{s} - \mu_{k})g$.
अतः,त्वरण $a$:
$a = (\mu_{s} - \mu_{k})g$.
मान रखने पर:
$a = (0.5 - 0.4) \times 10 = 0.1 \times 10 = 1\,m/s^2$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10\,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 20\,m/s$,अंतिम वेग $v = 0\,m/s$,समय $t = 5\,s$,और $g = 10\,m/s^2$।
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करके,हम त्वरण $a$ ज्ञात करते हैं:
$0 = 20 + a(5) \implies 5a = -20 \implies a = -4\,m/s^2$.
मंदक बल घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है,इसलिए $F_f = ma = -\mu mg$।
अतः,$-\mu g = a$।
$-\mu(10) = -4$।
$\mu = \frac{4}{10} = 0.4$।

(C) गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $S = 50\,m$,$u = 0\,m/s$,और $t = 10\,s$ है:
$50 = 0 + \frac{1}{2} \times a \times (10)^2$
$50 = 50a$
$a = 1\,m/s^2$
अब,न्यूटन के गति के दूसरे नियम को लागू करने पर,कुल बल $F - f_k = ma$ है,जहाँ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$ है:
$30 - \mu_k \times 5 \times 10 = 5 \times 1$
$30 - 50\mu_k = 5$
$50\mu_k = 25$
$\mu_k = \frac{25}{50} = 0.50$

(C) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 100 \ kg$
दूरी $s = 10 \ m$
घर्षण गुणांक $\mu = 0.4$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ (मानक मान लेने पर)।
घर्षण बल $f$ का सूत्र इस प्रकार है:
$f = \mu N = \mu mg$
$f = 0.4 \times 100 \times 10 = 400 \ N$
घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W$ इस प्रकार है:
$W = f \times s$
$W = 400 \times 10 = 4000 \ J$
अतः,घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $4000 \ J$ है।

(C) ट्रॉली का द्रव्यमान $m_1 = 20 \text{ kg}$ है और लटकते हुए ब्लॉक का द्रव्यमान $m_2 = 6 \text{ kg}$ है।
ट्रॉली पर लगने वाला अभिलंब बल $N = m_1 g = 20 \times 10 = 200 \text{ N}$ है।
गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N = 0.04 \times 200 = 8 \text{ N}$ है।
चालक बल लटकते हुए ब्लॉक का भार है,$F = m_2 g = 6 \times 10 = 60 \text{ N}$।
सिस्टम पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $F - f_k = (m_1 + m_2) a$।
$60 - 8 = (20 + 6) a$।
$52 = 26 a$।
$a = \frac{52}{26} = 2 \text{ m/s}^2$।

(B) गतिज घर्षण बल $f_k$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$f_k = \mu_k N$
जहाँ $\mu_k$ गतिज घर्षण गुणांक है और $N$ अभिलंब बल है।
क्षैतिज सतह पर रखे बक्से के लिए, अभिलंब बल $N$ बक्से के भार $mg$ के बराबर होता है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 50 \,kg$
गतिज घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.3$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,m/s^2$
अभिलंब बल की गणना:
$N = mg = 50 \times 9.8 = 490 \,N$
गतिज घर्षण बल की गणना:
$f_k = 0.3 \times 490 = 147 \,N$

(B) निकाय के संतुलन में रहने (गति रुकने) के लिए,बलों को संतुलित होना चाहिए।
लटकते हुए द्रव्यमान $m_1$ के लिए: $T = m_1 g = 10 \times 10 = 100 \text{ N}$.
क्षैतिज सतह पर रखे संयुक्त द्रव्यमान $(m + m_2)$ के लिए,सीमांत घर्षण बल $f_L$ को तनाव बल $T$ को संतुलित करना चाहिए:
$f_L = T$
$\mu N = T$
$\mu (m + m_2) g = 100$
$0.15 \times (m + 20) \times 10 = 100$
$1.5 (m + 20) = 100$
$m + 20 = \frac{100}{1.5} = \frac{1000}{15} = \frac{200}{3}$
$m = \frac{200}{3} - 20 = \frac{200 - 60}{3} = \frac{140}{3} \text{ kg}$.

(D) फायरमैन पर कार्य करने वाले बल उसका भार $W = mg$ नीचे की ओर और घर्षण बल $f = \mu R$ ऊपर की ओर हैं,जहाँ $R$ फायरमैन द्वारा खंभे पर लगाया गया अभिलंब बल है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 60 \ kg$
अभिलंब बल $R = 600 \ N$
घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$
नीचे की ओर कार्य करने वाला कुल बल $F_{\text{net}}$ है:
$F_{\text{net}} = mg - f = mg - \mu R$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F_{\text{net}} = ma$:
$ma = mg - \mu R$
$a = \frac{mg - \mu R}{m}$
मान रखने पर:
$a = \frac{60 \times 10 - 0.5 \times 600}{60}$
$a = \frac{600 - 300}{60}$
$a = \frac{300}{60} = 5 \ m/s^2$
अतः,फायरमैन $5 \ m/s^2$ के त्वरण के साथ नीचे फिसलेगा।

(A) मान लीजिए कि $F$ लगाए गए बल का अधिकतम मान है ताकि $m = \sqrt{3} \ kg$ द्रव्यमान का ब्लॉक खुरदरी सतह पर गति न करे।
$R$ सतह द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल है।
बलों को ऊर्ध्वाधर दिशा में वियोजित करने पर:
$R = F \sin 60^{\circ} + mg$
बलों को क्षैतिज दिशा में वियोजित करने पर,सीमांत घर्षण $f = \mu R$ को लगाए गए बल के क्षैतिज घटक $F \cos 60^{\circ}$ को संतुलित करना चाहिए:
$f = F \cos 60^{\circ}$
$\mu R = F \cos 60^{\circ}$
$R$ का मान रखने पर:
$\mu (F \sin 60^{\circ} + mg) = F \cos 60^{\circ}$
$\mu F \sin 60^{\circ} + \mu mg = F \cos 60^{\circ}$
$F (\cos 60^{\circ} - \mu \sin 60^{\circ}) = \mu mg$
$F = \frac{\mu mg}{\cos 60^{\circ} - \mu \sin 60^{\circ}}$
यहाँ $\mu = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$,$m = \sqrt{3} \ kg$,और $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है:
$F = \frac{(\frac{1}{2 \sqrt{3}}) \times \sqrt{3} \times 10}{\cos 60^{\circ} - (\frac{1}{2 \sqrt{3}}) \sin 60^{\circ}}$
$F = \frac{5}{\frac{1}{2} - (\frac{1}{2 \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{5}{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = \frac{5}{\frac{1}{4}} = 20 \ N$
अतः,बल का अधिकतम मान $20 \ N$ है।

(A) सतह ब्लॉक पर दो बल लगाती है: अभिलंब बल $(N)$ जो लंबवत ऊपर की ओर कार्य करता है और गतिज घर्षण बल $(f_{k})$ जो गति की दिशा के विपरीत क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
$1$. अभिलंब बल $N = mg$ है।
$2$. गतिज घर्षण बल $f_{k} = \mu_{k} N = \mu_{k} mg$ है।
$3$. सतह द्वारा लगाया गया कुल बल $(F_{net})$ अभिलंब बल और घर्षण बल का सदिश योग है:
$F_{net} = \sqrt{N^{2} + f_{k}^{2}}$
$F_{net} = \sqrt{(mg)^{2} + (\mu_{k} mg)^{2}}$
$F_{net} = \sqrt{(mg)^{2} (1 + \mu_{k}^{2})}$
$F_{net} = mg \sqrt{1 + \mu_{k}^{2}}$
$F_{net} = mg(1 + \mu_{k}^{2})^{1/2}$
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) ब्लॉक का प्रारंभिक संवेग $P = Mu$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है। अतः,$u = \frac{P}{M}$.
चूँकि सतह खुरदरी है,ब्लॉक पर घर्षण बल $f = \mu N = \mu Mg$ कार्य करता है।
मंदक त्वरण (deceleration) $a = \frac{f}{M} = \frac{\mu Mg}{M} = \mu g$ है।
गति के समीकरण $v^{2} = u^{2} - 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ $v = 0$ (रुकने पर अंतिम वेग):
$0 = u^{2} - 2as$
$2as = u^{2}$
$s = \frac{u^{2}}{2a}$
$u = \frac{P}{M}$ और $a = \mu g$ का मान रखने पर:
$s = \frac{(\frac{P}{M})^{2}}{2 \mu g} = \frac{P^{2}}{M^{2} \cdot 2 \mu g} = \frac{P^{2}}{2 \mu M^{2} g}$.

(C) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 4 \,m/s$, अंतिम वेग $v = 0 \,m/s$, गतिज घर्षण गुणांक $\mu = 0.2$, और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$ है।
पिंड पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, मंदन $a = -f/m = -\mu g$ होता है।
मान रखने पर: $a = -(0.2) \times 10 = -2 \,m/s^2$।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
$0^2 = (4)^2 + 2(-2)s$
$0 = 16 - 4s$
$4s = 16$
$s = 4 \,m$।
अतः, विराम अवस्था में आने से पहले पिंड द्वारा तय की गई दूरी $4 \,m$ है।

(A) वाहन का प्रारंभिक संवेग $P = Mv$ है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = \frac{P}{M}$ है।
अंतिम वेग $v = 0$ है क्योंकि वाहन रुक जाता है।
वाहन पर लगने वाला घर्षण बल $f = \mu N = \mu Mg$ है,जहाँ $N = Mg$ अभिलंब प्रतिक्रिया है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,मंदन $a = -\frac{f}{M} = -\frac{\mu Mg}{M} = -\mu g$ है।
गति के समीकरण $v^{2} - u^{2} = 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $s$ रुकने की दूरी है:
$0^{2} - (\frac{P}{M})^{2} = 2(-\mu g)s$
$-\frac{P^{2}}{M^{2}} = -2\mu gs$
$s = \frac{P^{2}}{2\mu g M^{2}}$.

(D) वेग-समय ग्राफ से,ब्लॉक का त्वरण $a$ रेखा का ढलान है:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{20 - 0}{3} = \frac{20}{3} \text{ m/s}^2$
चूंकि ब्लॉक गति में है,इसलिए इस पर कार्य करने वाला घर्षण गतिज घर्षण है,$f_k = \mu_k N = \mu_k mg$.
यहाँ $\mu_k = 0.25$ और $g = 10 \text{ m/s}^2$ दिया गया है,इसलिए गतिज घर्षण $f_k = 0.25 \times m \times 10 = 2.5m$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम को लागू करने पर,$F - f_k = ma$:
$20 - 2.5m = m \times \frac{20}{3}$
$20 = m \left( \frac{20}{3} + 2.5 \right)$
$20 = m \left( \frac{20 + 7.5}{3} \right) = m \left( \frac{27.5}{3} \right)$
$m = \frac{20 \times 3}{27.5} = \frac{60}{27.5} \approx 2.18 \text{ kg}$.
निकटतम मान लेने पर,द्रव्यमान $2.2 \text{ kg}$ है।

$(A)$ दिया गया है: पिंड का द्रव्यमान,$m = 10 \,kg$। गतिज घर्षण गुणांक,$\mu_k = 0.5$। लगाया गया क्षैतिज बल,$F = 60 \,N$। गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,m/s^2$.
पिंड पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N = mg = 10 \times 10 = 100 \,N$ है।
गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N = 0.5 \times 100 = 50 \,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k = 60 \,N - 50 \,N = 10 \,N$ है।
अतः,पिंड का त्वरण $a = F_{net} / m = 10 \,N / 10 \,kg = 1 \,m/s^2$ है।

(C) पिंड को एक गतिशील बेल्ट पर रखा जाता है। प्रारंभ में, पिंड जमीन के सापेक्ष स्थिर है, लेकिन बेल्ट के सापेक्ष उसका वेग है। गतिज घर्षण बल $f_k$ इस सापेक्ष गति का विरोध करता है।
$f_k = \mu_k N = \mu_k mg$
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, बेल्ट के सापेक्ष पिंड का मंदन $a$ है:
$ma = \mu_k mg$
$a = \mu_k g = 0.2 \times 10 = 2 \,m \,s^{-2}$
बेल्ट के सापेक्ष पिंड का प्रारंभिक वेग $u = 2 \,m \,s^{-1}$ है। पिंड बेल्ट के सापेक्ष तब स्थिर हो जाता है जब उसका अंतिम वेग $v = 0$ हो जाता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करते हुए:
$0^2 = (2)^2 - 2(2)s$
$4 = 4s$
$s = 1 \,m$
अतः, बेल्ट के सापेक्ष स्थिर होने से पहले पिंड द्वारा तय की गई दूरी $1 \,m$ है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \ kg$,आरोपित बल $F = 20 \ N$,त्वरण $a = 7 \ m \ s^{-2}$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m \ s^{-2}$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,ब्लॉक पर कार्य करने वाला नेट बल $F_{net} = F - f_k = ma$ है,जहाँ $f_k$ गतिज घर्षण बल है।
गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया बल है। एक क्षैतिज सतह पर,$N = mg = 2 \ kg \times 10 \ m \ s^{-2} = 20 \ N$।
समीकरण $F - f_k = ma$ में मान रखने पर:
$20 - f_k = 2 \times 7$
$20 - f_k = 14$
$f_k = 20 - 14 = 6 \ N$।
अब,$f_k = \mu_k N$ का उपयोग करने पर:
$6 = \mu_k \times 20$
$\mu_k = 6 / 20 = 0.3$।
अतः,गतिज घर्षण गुणांक $0.3$ है।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 10 \ ms^{-1}$,अंतिम वेग $v = 0 \ ms^{-1}$,दूरी $S = 12.5 \ m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$ है,जहाँ $\mu$ गतिज घर्षण गुणांक है।
इस घर्षण बल द्वारा उत्पन्न मंदन $a = \frac{f}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2aS$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v = 0$:
$0 = u^2 - 2aS$
$u^2 = 2aS$
$S = \frac{u^2}{2a} = \frac{u^2}{2 \mu g}$।
दिए गए मानों को रखने पर:
$12.5 = \frac{(10)^2}{2 \times \mu \times 10}$
$12.5 = \frac{100}{20 \mu}$
$12.5 = \frac{5}{\mu}$
$\mu = \frac{5}{12.5} = \frac{50}{125} = 0.4$।
अतः,गतिज घर्षण गुणांक $0.4$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \ kg$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$,आरोपित बल $F = 60 \ N$,और $g = 10 \ ms^{-2}$।
सबसे पहले,ब्लॉक पर कार्य करने वाले सीमांत घर्षण बल $f_l$ की गणना करें:
$f_l = \mu N = \mu mg = 0.5 \times 5 \times 10 = 25 \ N$।
चूंकि आरोपित बल $F = 60 \ N$,सीमांत घर्षण बल $f_l = 25 \ N$ से अधिक है,इसलिए ब्लॉक गति करेगा।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_l = 60 - 25 = 35 \ N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = ma$,त्वरण $a$ होगा:
$a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{35}{5} = 7 \ ms^{-2}$।

(B) कण पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f_r = \mu m g$ है।
चूंकि कण गति कर रहा है,इसलिए त्वरण $a = \frac{-f_r}{m} = \frac{-\mu m g}{m} = -\mu g$ है।
रुकने में लगा समय $v = u + at$ से प्राप्त होता है। $v = 0$ रखने पर,$0 = u - \mu g t$,जिससे $t = \frac{u}{\mu g}$ प्राप्त होता है।
घर्षण द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_f = \Delta K = 0 - \frac{1}{2} m u^2 = -\frac{1}{2} m u^2$।
घर्षण द्वारा प्रदान की गई औसत शक्ति $P_{av} = \frac{|W_f|}{t} = \frac{\frac{1}{2} m u^2}{\frac{u}{\mu g}} = \frac{1}{2} \mu m g u$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \,kg$, प्रारंभिक वेग $u = 4 \,ms^{-1}$, अंतिम वेग $v = 0 \,ms^{-1}$, समय $t = 2 \,s$, और $g = 10 \,ms^{-2}$।
सबसे पहले, गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करके मंदन $a$ की गणना करें:
$0 = 4 + a(2) \Rightarrow 2a = -4 \Rightarrow a = -2 \,ms^{-2}$।
मंदन का परिमाण $|a| = 2 \,ms^{-2}$ है।
घर्षण बल $f$ यह मंदन प्रदान करता है, इसलिए $f = ma$।
साथ ही, घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$ द्वारा दिया जाता है।
$f$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$ma = \mu mg \Rightarrow \mu = \frac{a}{g}$।
मान रखने पर:
$\mu = \frac{2}{10} = 0.2$।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \,kg$, प्रारंभिक वेग $u = 10 \,ms^{-1}$, अंतिम वेग $v = 0 \,ms^{-1}$, गतिज घर्षण गुणांक $\mu = 0.4$ और $g = 10 \,ms^{-2}$।
जब बल को हटा दिया जाता है, तो पिंड पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल गतिज घर्षण बल $f_k = \mu N = \mu mg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, मंदन $a = \frac{f_k}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$ है।
मान रखने पर: $a = 0.4 \times 10 = 4 \,ms^{-2}$।
गति के पहले समीकरण $v = u - at$ का उपयोग करने पर (जहाँ $a$ मंदन है):
$0 = 10 - 4t$
$4t = 10$
$t = \frac{10}{4} = 2.5 \,s$।
अतः, पिंड $2.5 \,s$ में विरामावस्था में आ जाएगा।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \,kg$, घर्षण गुणांक $\mu = 0.3$, आरोपित बल $F = 50 \,N$, गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,ms^{-2}$।
सबसे पहले, सीमांत घर्षण बल की गणना करें: $f_l = \mu mg = 0.3 \times 10 \times 10 = 30 \,N$।
चूंकि आरोपित बल $F = 50 \,N$, सीमांत घर्षण बल $f_l = 30 \,N$ से अधिक है, इसलिए वस्तु गति करेगी।
वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_l = 50 \,N - 30 \,N = 20 \,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, $F_{net} = ma$, हमें प्राप्त होता है $20 = 10 \times a$।
अतः, वस्तु का त्वरण $a = 2 \,ms^{-2}$ है।

(B) क्षैतिज खुरदरी सतह पर पिंड की प्रारंभिक गति,$u = 10 \,ms^{-1}$ है।
अंतिम वेग,$v = 4 \,ms^{-1}$ और समय,$t = 2 \,s$ है।
यदि घर्षण के कारण मंदन $a$ है,तो गति के समीकरण का उपयोग करने पर:
$v = u - at$
$4 = 10 - a \times 2$
$2a = 6 \Rightarrow a = 3 \,ms^{-2}$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,घर्षण बल $f_k = ma$ है।
चूंकि $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$,इसलिए:
$\mu_k mg = ma$
$\mu_k = \frac{a}{g} = \frac{3}{10} = 0.3$।

(A) दिया गया है: बेलन का द्रव्यमान, $m = 12 \,kg$. प्रारंभिक वेग, $u = 20 \,m/s$. घर्षण गुणांक, $\mu = 0.5$. गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 \,m/s^2$.
बेलन पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, $f = ma$, इसलिए $ma = \mu mg$, जिससे मंदन $a = -\mu g$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर, $a = -0.5 \times 10 = -5 \,m/s^2$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, $v^2 = u^2 + 2as$, जहाँ $v = 0$ (विराम अवस्था में अंतिम वेग):
$0 = (20)^2 + 2(-5)s$
$0 = 400 - 10s$
$10s = 400$
$s = 40 \,m$.
अतः, बेलन रुकने से पहले $40 \,m$ की दूरी तय करेगा।

(A) दिया गया है: वस्तु का भार,$W = 64 \ N$।
स्थैतिक घर्षण गुणांक,$\mu_s = 0.8$।
गतिक घर्षण गुणांक,$\mu_d = 0.6$।
वस्तु को गति में लाने के लिए आवश्यक बल सीमांत घर्षण के बराबर होता है: $F = \mu_s \times W = 0.8 \times 64 \ N$।
एक बार जब वस्तु गति करना शुरू कर देती है,तो उस पर कार्य करने वाला गतिक घर्षण बल $f_k = \mu_d \times W = 0.6 \times 64 \ N$ होता है।
वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k = (0.8 \times 64) - (0.6 \times 64) = 64(0.8 - 0.6) = 64 \times 0.2 \ N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = m \times a$,जहाँ द्रव्यमान $m = \frac{W}{g} = \frac{64}{g}$ है।
मान रखने पर: $\frac{64}{g} \times a = 64 \times 0.2$।
अतः,$a = 0.2 \ g$।

(B) ब्लॉक का भार नीचे की ओर कार्य करता है: $w = mg = 2 \times 10 = 20 \,N$.
प्रयुक्त बल $F = 90 \,N$ क्षैतिज के साथ $37^{\circ}$ के कोण पर है।
बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F_V = F \sin 37^{\circ} = 90 \times \frac{3}{5} = 54 \,N$ (ऊपर की ओर)।
बल का क्षैतिज घटक $F_H = F \cos 37^{\circ} = 90 \times \frac{4}{5} = 72 \,N$ (दीवार की ओर)।
यह क्षैतिज घटक दीवार द्वारा ब्लॉक पर लगाए गए अभिलंब बल $N$ के रूप में कार्य करता है: $N = 72 \,N$.
अधिकतम घर्षण बल $f_k = \mu N = 0.25 \times 72 = 18 \,N$.
चूंकि ब्लॉक ऊपर की ओर गति कर रहा है, इसलिए घर्षण बल नीचे की ओर कार्य करेगा।
ऊर्ध्वाधर दिशा में कुल बल $F_{\text{net}} = F_V - w - f_k = 54 - 20 - 18 = 16 \,N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, $F_{\text{net}} = ma$, हमें $16 = 2 \times a$ प्राप्त होता है।
अतः, $a = 8 \,ms^{-2}$.

(B) मान लीजिए कि चेन का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ है। चेन की कुल लंबाई $L$ है। मान लीजिए $l^{\prime}$ मेज के किनारे से लटकने वाली चेन की लंबाई है।
तब,मेज पर बची हुई चेन की लंबाई $(L - l^{\prime})$ होगी।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m_h = \lambda l^{\prime}$ है,और मेज पर स्थित भाग का द्रव्यमान $m_t = \lambda (L - l^{\prime})$ है।
चेन को नीचे खींचने वाला बल लटकते हुए भाग का भार है: $F_g = m_h g = \lambda l^{\prime} g$।
मेज पर स्थित भाग पर कार्य करने वाला अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu m_t g = \mu \lambda (L - l^{\prime}) g$ है।
चेन के संतुलन में रहने के लिए,खींचने वाला बल अधिकतम घर्षण बल के बराबर होना चाहिए:
$\lambda l^{\prime} g = \mu \lambda (L - l^{\prime}) g$
$l^{\prime} = \mu (L - l^{\prime})$
$l^{\prime} = \mu L - \mu l^{\prime}$
$l^{\prime} (1 + \mu) = \mu L$
$l^{\prime} = \frac{\mu L}{(1 + \mu)}$

(D) दिया गया है: भार $W = 64 \,N$, स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s = 0.6$, गतिक घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.4$।
गति शुरू करने के लिए लगाया गया बल सीमांत घर्षण के बराबर होता है: $F = f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s W$।
चूंकि $W = mg$, इसलिए $F = 0.6 \times mg$।
एक बार जब वस्तु गति करना शुरू कर देती है, तो उस पर कार्य करने वाला गतिक घर्षण $f_k = \mu_k N = \mu_k mg = 0.4 \times mg$ होता है।
वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k = 0.6 mg - 0.4 mg = 0.2 mg$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, $F_{net} = ma$।
अतः, $ma = 0.2 mg$, जिससे $a = 0.2 g$ प्राप्त होता है।

(B) ब्लॉक पर कार्य करने वाला गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$ द्वारा दिया जाता है।
ब्लॉक $A$ के लिए: द्रव्यमान $m_A = 2 \ kg$,बल $F = 20 \ N$। घर्षण $f_A = 0.3 \times 2 \times 10 = 6 \ N$। परिणामी बल $F_{net,A} = F - f_A = 20 - 6 = 14 \ N$। त्वरण $a_A = F_{net,A} / m_A = 14 / 2 = 7 \ m \ s^{-2}$।
ब्लॉक $B$ के लिए: द्रव्यमान $m_B = 4 \ kg$,बल $F = 20 \ N$। घर्षण $f_B = 0.3 \times 4 \times 10 = 12 \ N$। परिणामी बल $F_{net,B} = F - f_B = 20 - 12 = 8 \ N$। त्वरण $a_B = F_{net,B} / m_B = 8 / 4 = 2 \ m \ s^{-2}$।
त्वरण का अनुपात $a_A : a_B = 7 : 2$ है।

(D) दिया गया है: नाव का द्रव्यमान, $m = 700 \,kg$. प्रारंभिक गति, $v_1 = 24 \,ms^{-1}$. अंतिम गति, $v_2 = 6 \,ms^{-1}$. घर्षण बल, $f = 35v$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, मंदक बल $f = -m \frac{dv}{dt}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $35v = -700 \frac{dv}{dt}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dv}{v} = -\frac{35}{700} dt = -\frac{1}{20} dt$.
दोनों पक्षों का $v_1$ से $v_2$ और $0$ से $t$ तक समाकलन करने पर: $\int_{24}^{6} \frac{dv}{v} = -\int_{0}^{t} \frac{1}{20} dt$.
$\ln(\frac{6}{24}) = -\frac{t}{20}$.
$\ln(\frac{1}{4}) = -\frac{t}{20}$.
$-\ln(4) = -\frac{t}{20} \Rightarrow t = 20 \ln(4) = 20 \ln(2^2) = 40 \ln(2)$.
$\ln(2) \approx 0.693$ का उपयोग करने पर, $t = 40 \times 0.693 = 27.72 \,s$.
निकटतम पूर्णांक में, $t \approx 28 \,s$.

(A) स्थिर गति बनाए रखने के लिए, इंजन को ट्रेन पर लगने वाले घर्षण बल के बराबर बल लगाना होगा।
घर्षण बल $F_f$ को $F_f = \mu N$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\mu$ गतिज घर्षण गुणांक है और $N$ अभिलंब बल है।
चूंकि ट्रेन क्षैतिज पटरी पर है, इसलिए $N = mg$ होगा।
दिया गया है: $m = 3 \times 10^6 \,kg$, $\mu = 0.05$, $g = 10 \,m \,s^{-2}$, और वेग $v = 50 \,m \,s^{-1}$।
$F_f = 0.05 \times (3 \times 10^6 \,kg) \times (10 \,m \,s^{-2}) = 0.05 \times 3 \times 10^7 \,N = 1.5 \times 10^6 \,N$।
आवश्यक शक्ति $P$ को $P = F_f \times v$ द्वारा दिया जाता है।
$P = (1.5 \times 10^6 \,N) \times (50 \,m \,s^{-1}) = 75 \times 10^6 \,W = 75 \,MW$।

(B) दिया है,डोरी में तनाव $(T) = 27 \,N$ है।
लटकते हुए ब्लॉक का द्रव्यमान $(m) = 3 \,kg$ है।
माना निकाय का त्वरण $a$ है।
$3 \,kg$ द्रव्यमान वाले लटकते ब्लॉक के लिए,गति का समीकरण है:
$m g - T = m a$
$3 \times 10 - 27 = 3 a$
$30 - 27 = 3 a$
$3 = 3 a$
$a = 1 \,m/s^2$.
क्षैतिज सतह पर गति कर रहे $M = 20 \,kg$ द्रव्यमान वाले पिंड के लिए,गति का समीकरण है:
$T - f_k = M a$
जहाँ $f_k = \mu M g$ गतिज घर्षण बल है।
$27 - \mu \times 20 \times 10 = 20 \times 1$
$27 - 200 \mu = 20$
$200 \mu = 27 - 20$
$200 \mu = 7$
$\mu = \frac{7}{200} = 0.035$.
अतः,गतिज घर्षण गुणांक $0.035$ है।

(C) माना व्यक्ति का द्रव्यमान $m$ है। व्यक्ति का भार $w = mg$ है। व्यक्ति पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर उसका भार $mg$ और ऊपर की ओर घर्षण बल $F$ हैं।
चूंकि व्यक्ति $a = g/4$ के त्वरण के साथ नीचे फिसल रहा है,न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार:
$mg - F = ma$
$a = g/4$ रखने पर:
$mg - F = m(g/4)$
$mg - F = mg/4$
$F = mg - mg/4$
$F = 3mg/4$
चूंकि $w = mg$,हमें प्राप्त होता है:
$F = 3w/4$

(C) ब्लॉक एक क्षैतिज सतह पर है। ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $mg$ नीचे की ओर।
$2$. अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ ऊपर की ओर।
$3$. क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ पर कार्य करने वाला बल $F$।
$F$ को घटकों में विभाजित करने पर: $F_x = F \cos 45^{\circ}$ और $F_y = F \sin 45^{\circ}$।
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए: $N + F \sin 45^{\circ} = mg$।
अतः, $N = mg - F \sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \times 10 - F \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} - \frac{F}{\sqrt{2}}$।
ब्लॉक तब गति करना शुरू करता है जब बल का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण के बराबर होता है: $F \cos 45^{\circ} = \mu N$।
मान रखने पर: $F \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 0.25 \times (10\sqrt{2} - \frac{F}{\sqrt{2}})$।
$\sqrt{2}$ से गुणा करने पर: $F = 0.25 \times (10 \times 2 - F) = 0.25 \times (20 - F)$।
$F = 5 - 0.25F$।
$1.25F = 5$।
$F = \frac{5}{1.25} = 4 \,N$।

(C) ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k = ma$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f_k = \mu_k mg$ गतिज घर्षण बल है।
अतः,त्वरण $a = \frac{F - \mu_k mg}{m}$ है।
प्रथम स्थिति के लिए: $6 = \frac{20 - \mu_k mg}{m} \implies 6m = 20 - \mu_k mg$ --- $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $11 = \frac{30 - \mu_k mg}{m} \implies 11m = 30 - \mu_k mg$ --- (ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(11m - 6m) = (30 - \mu_k mg) - (20 - \mu_k mg)$
$5m = 10 \implies m = 2 \ kg$.
$m = 2 \ kg$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$6(2) = 20 - \mu_k (2)(10)$
$12 = 20 - 20\mu_k$
$20\mu_k = 8$
$\mu_k = \frac{8}{20} = 0.4$.

(A) ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. दीवार द्वारा लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N = F \cos 30^{\circ} = F \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
$2$. अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \sqrt{3} \times (F \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2} F$ है।
$3$. ब्लॉक पर कार्य करने वाले ऊर्ध्वाधर बलों में नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $mg$ और लगाए गए बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F \sin 30^{\circ}$ है।
$4$. ब्लॉक के संतुलन में रहने और नीचे गिरने से बचने के लिए, ऊपर की ओर कार्य करने वाले घर्षण बल को नीचे की ओर कार्य करने वाले कुल बल को संतुलित करना चाहिए:
$f = mg + F \sin 30^{\circ}$
$\frac{3}{2} F = (3 \times 10) + F \times \frac{1}{2}$
$\frac{3}{2} F - \frac{1}{2} F = 30$
$F = 30 \,N$.

(A) $1$. सबसे पहले,हम ब्लॉक पर कार्य करने वाले अभिलंब बल $F_N$ का निर्धारण करते हैं। ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर बल $F_2$,अभिलंब बल $F_N$ और नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं। चूंकि ब्लॉक ऊर्ध्वाधर दिशा में गति नहीं कर रहा है,इसलिए ऊर्ध्वाधर दिशा में कुल बल शून्य है:
$F_2 + F_N - mg = 0$
$10 \ N + F_N - (2 \ kg)(10 \ m/s^2) = 0$
$10 \ N + F_N - 20 \ N = 0$
$F_N = 10 \ N$
$2$. इसके बाद,हम सीमांत स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max}$ की गणना करते हैं:
$f_{s,max} = \mu_s F_N = 0.4 \times 10 \ N = 4.0 \ N$
$3$. लगाया गया क्षैतिज बल $F_1 = 6 \ N$ है। यहाँ लगाया गया क्षैतिज बल $F_1$,सीमांत स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max}$ से अधिक है $(6 \ N > 4.0 \ N)$,इसलिए ब्लॉक गति करना शुरू कर देगा।
$4$. जब ब्लॉक गति में होता है,तो उस पर कार्य करने वाला घर्षण बल गतिज घर्षण बल $f_k$ होता है:
$f_k = \mu_k F_N = 0.25 \times 10 \ N = 2.5 \ N$
अतः,ब्लॉक पर कार्य करने वाले घर्षण बल का परिमाण $2.5 \ N$ है।

(B) मध्य स्टील प्लेट को स्थानांतरित करने के लिए,लागू बल $F$ को इसकी ऊपरी और निचली दोनों सतहों पर कार्य करने वाले गतिज घर्षण बलों को दूर करना होगा।
$1$. सतहों पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $R$ लागू भार के बराबर है,$R = 100 \ N$।
$2$. ऊपरी सतह पर घर्षण बल (स्टील और स्टील के बीच) $f_{SS} = \mu_{SS} \times R = 0.57 \times 100 = 57 \ N$ है।
$3$. निचली सतह पर घर्षण बल (स्टील और पीतल के बीच) $f_{SB} = \mu_{SB} \times R = 0.44 \times 100 = 44 \ N$ है।
$4$. प्लेट को स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक कुल बल $F$ इन दो घर्षण बलों का योग है:
$F = f_{SS} + f_{SB} = 57 \ N + 44 \ N = 101 \ N$।

(B) ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं: क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर लगाया गया बल $F$, नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $mg$, ऊपर की ओर कार्य करने वाली अभिलंब प्रतिक्रिया $N$, और बाईं ओर कार्य करने वाला गतिज घर्षण $f_k$।
बल $F$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर: $F_x = F \cos 30^{\circ}$ और $F_y = F \sin 30^{\circ}$।
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए: $N + F \sin 30^{\circ} = mg \Rightarrow N = mg - F \sin 30^{\circ}$।
यहाँ $m = 5 \,kg$, $g = 9.8 \,m/s^2$, और $\mu = 0.1$ दिया गया है, इसलिए $N = (5 \times 9.8) - F \sin 30^{\circ} = 49 - 0.5F$।
गतिज घर्षण $f_k = \mu N = 0.1(49 - 0.5F) = 4.9 - 0.05F$ है।
क्षैतिज दिशा में कुल बल $F_{\text{net}} = F \cos 30^{\circ} - f_k = ma$ है।
मान रखने पर: $F(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (4.9 - 0.05F) = 5 \times 3$।
$0.866F - 4.9 + 0.05F = 15$।
$0.916F = 19.9$।
$F = \frac{19.9}{0.916} \approx 21.73 \,N$।
यह मान $22 \,N$ के सबसे निकट है।

(C) दिया गया है: आरोपित बल $F_{\text{app}} = 5 \ N$,द्रव्यमान $m = 0.5 \ kg$,गतिज घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.2$,समय $t = 4 \ s$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$.
गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$ द्वारा दिया जाता है।
$f_k = 0.2 \times 0.5 \times 10 = 1 \ N$.
ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{\text{net}} = F_{\text{app}} - f_k = 5 - 1 = 4 \ N$ है।
ब्लॉक का त्वरण $a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{4}{0.5} = 8 \ m/s^2$ है।
$4 \ s$ के बाद ब्लॉक का वेग $v = u + at = 0 + (8 \times 4) = 32 \ m/s$ है।
ब्लॉक की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (32)^2 = 0.25 \times 1024 = 256 \ J$ है।

(A) वाहन की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2M}$ द्वारा दी जाती है।
जब इंजन बंद कर दिया जाता है,तो वाहन को रोकने के लिए कार्य करने वाला एकमात्र बल गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k M g$ है।
$s$ दूरी तय करके वाहन को रोकने में घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$|W| = f_k \cdot s = \mu_k M g s$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,घर्षण द्वारा किया गया कार्य प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के बराबर होता है:
$\mu_k M g s = \frac{p^2}{2M}$.
$s$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$s = \frac{p^2}{2 M^2 \mu_k g}$.