Uniformly Accelerated Motion Questions in Hindi

(B) विरामावस्था से शुरू होने वाली वस्तु द्वारा $n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र $S_n = u + \frac{a}{2}(2n-1)$ है।
चूंकि ब्लॉक विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
अतः,$n^{th}$ अंतराल में तय की गई दूरी $S_n = \frac{a}{2}(2n-1)$ है।
इसी प्रकार,$(n+1)^{th}$ अंतराल में तय की गई दूरी $S_{n+1} = \frac{a}{2}(2(n+1)-1) = \frac{a}{2}(2n+2-1) = \frac{a}{2}(2n+1)$ है।
अब,अनुपात $\frac{S_n}{S_{n+1}}$ की गणना करने पर:
$\frac{S_n}{S_{n+1}} = \frac{\frac{a}{2}(2n-1)}{\frac{a}{2}(2n+1)} = \frac{2n-1}{2n+1}$.

(B) दिया गया संबंध: $t = m x^{2} + n x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dt}{dx} = 2mx + n$.
चूंकि वेग $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{1}{v} = \frac{dt}{dx} = 2mx + n$.
अतः,$v = (2mx + n)^{-1}$.
अब,त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए $v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \cdot \frac{dv}{dx}$.
$\frac{dv}{dx} = -1(2mx + n)^{-2} \cdot (2m) = -2m(2mx + n)^{-2}$.
चूंकि $(2mx + n) = \frac{1}{v}$,इसलिए $(2mx + n)^{-2} = v^{2}$.
अतः,$a = v \cdot (-2m \cdot v^{2}) = -2mv^{3}$.
मंदन,त्वरण का ऋणात्मक मान होता है,इसलिए मंदन $= 2mv^{3}$.

(C) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0$। मान लीजिए कि एकसमान त्वरण $a$ है।
पहले समय अंतराल $t$ के लिए,तय की गई दूरी $s_1 = 10 \, m$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$10 = 0(t) + \frac{1}{2}at^2 \implies 10 = \frac{1}{2}at^2$ --- (समीकरण $1$)
कुल समय अंतराल $2t$ के लिए,मान लीजिए कि कुल तय की गई दूरी $s_2 = 10 + x$ है,जहाँ $x$ अगले $t \, s$ में तय की गई दूरी है।
$10 + x = 0(2t) + \frac{1}{2}a(2t)^2$
$10 + x = \frac{1}{2}a(4t^2) = 4 \left( \frac{1}{2}at^2 \right)$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ में रखने पर:
$10 + x = 4(10)$
$10 + x = 40$
$x = 30 \, m$.

(D) रुकने की दूरी (stopping distance) $d$ को सूत्र $d = \frac{v^2}{2a}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $v$ प्रारंभिक वेग है और $a$ मंदन (deceleration) का परिमाण है।
चूंकि ब्रेकिंग त्वरण $a$ स्थिर रहता है,इसलिए रुकने की दूरी प्रारंभिक वेग के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है: $d \propto v^2$।
माना प्रारंभिक गति $v_1 = 150 \ km/h$ है और प्रारंभिक रुकने की दूरी $d_1 = 27 \ m$ है।
नई गति $v_2 = \frac{1}{3} v_1$ है।
अतः,नई रुकने की दूरी $d_2 = (\frac{1}{3})^2 \times d_1 = \frac{1}{9} \times 27 \ m = 3 \ m$ होगी।

(C) माना कण बिंदु $A$ से $u=0$ प्रारंभिक वेग के साथ चलना शुरू करता है। यह $s_1 = \frac{2}{3}d$ दूरी तक $f$ त्वरण के साथ चलकर बिंदु $B$ पर $v_1$ वेग प्राप्त करता है।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर:
$v_1^2 - 0^2 = 2f(\frac{2}{3}d) \Rightarrow v_1^2 = \frac{4}{3}fd \Rightarrow v_1 = 2\sqrt{\frac{fd}{3}}$.
पहले भाग के लिए लगा समय $t_1$,$v = u + at$ से प्राप्त होता है:
$v_1 = 0 + ft_1 \Rightarrow t_1 = \frac{v_1}{f} = \frac{2}{f}\sqrt{\frac{fd}{3}} = 2\sqrt{\frac{d}{3f}}$.
दूसरे भाग की गति के लिए $B$ से $C$ तक,दूरी $s_2 = \frac{1}{3}d$ है,प्रारंभिक वेग $v_1$ है और अंतिम वेग $v_2 = 0$ है। माना मंदन $a'$ है।
$v_2^2 - v_1^2 = 2a's_2$ का उपयोग करने पर:
$0 - \frac{4}{3}fd = 2a'(\frac{1}{3}d) \Rightarrow a' = -2f$.
दूसरे भाग के लिए लगा समय $t_2$,$v_2 = v_1 + a't_2$ से प्राप्त होता है:
$0 = v_1 - 2ft_2 \Rightarrow t_2 = \frac{v_1}{2f} = \frac{2\sqrt{fd/3}}{2f} = \sqrt{\frac{d}{3f}}$.
कुल समय $t = t_1 + t_2 = 2\sqrt{\frac{d}{3f}} + \sqrt{\frac{d}{3f}} = 3\sqrt{\frac{d}{3f}} = \sqrt{\frac{9d}{3f}} = \sqrt{\frac{3d}{f}}$.

(A) $t = 5 \, s$ पर,कण का वेग $v_B = u + at = 0 + (1)(5) = 5 \, m/s$ है और इसकी स्थिति $x_B = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}(1)(5)^2 = 12.5 \, m$ है।
मान लीजिए अतिरिक्त त्वरण $a'$ है। $t > 5 \, s$ के लिए कुल त्वरण $(1 + a')$ होगा।
अतिरिक्त त्वरण वाले मामले के लिए,$t = 10 \, s$ पर (जो परिवर्तन के $5 \, s$ बाद है):
$v = v_B + (1 + a')(5) = 5 + 5 + 5a' = 10 + 5a'$
$x = x_B + v_B(5) + \frac{1}{2}(1 + a')(5)^2 = 12.5 + 25 + 12.5 + 12.5a' = 50 + 12.5a'$
यदि अतिरिक्त त्वरण प्रदान नहीं किया गया होता,तो $a' = 0$:
$v_0 = 5 + (1)(5) = 10 \, m/s$
$x_0 = 12.5 + 25 + 12.5 = 50 \, m$
दिया गया है कि $x - x_0 = 12.5 \, m$:
$(50 + 12.5a') - 50 = 12.5 \implies 12.5a' = 12.5 \implies a' = 1 \, m/s^2$.
अतः,$v - v_0 = (10 + 5a') - 10 = 5a' = 5(1) = 5 \, m/s$.

(B) $n^{\text{th}}$ सेकंड में कण द्वारा तय की गई दूरी $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $t^{\text{th}}$ और $(t+1)^{\text{th}}$ सेकंड में तय की गई दूरी का योग $100 \text{ cm}$ है।
$S_t + S_{t+1} = 100$
$[u + \frac{a}{2}(2t - 1)] + [u + \frac{a}{2}(2(t+1) - 1)] = 100$
$2u + \frac{a}{2}(2t - 1 + 2t + 2 - 1) = 100$
$2u + \frac{a}{2}(4t) = 100$
$2u + 2at = 100$
$u + at = 50$
चूंकि $t$ सेकंड के बाद वेग $v = u + at$ होता है,इसलिए $v = 50 \text{ cm/s}$ प्राप्त होता है।

(B) गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v$ अंतिम वेग है,$u$ प्रारंभिक वेग है,$a$ त्वरण है और $t$ समय है।
$t = 2 \ s$ के लिए,$v = 30 \ m/s$: $30 = u + 2a$ --- (समीकरण $1$)
$t = 4 \ s$ के लिए,$v = 60 \ m/s$: $60 = u + 4a$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$(60 - 30) = (u + 4a) - (u + 2a)$
$30 = 2a$
$a = 15 \ m/s^2$
$a = 15 \ m/s^2$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$30 = u + 2(15)$
$30 = u + 30$
$u = 0 \ m/s$
अतः,प्रारंभिक वेग $0 \ m/s$ है।

(D) दिया गया विस्थापन समीकरण: $\sqrt{x} = t + 7$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x = (t + 7)^2 = t^2 + 14t + 49$।
वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 + 14t + 49) = 2t + 14$।
त्वरण $a$ समय के सापेक्ष वेग के परिवर्तन की दर है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2t + 14) = 2 \, m/s^2$।
चूंकि त्वरण $a = 2 \, m/s^2$ एक नियत मान है,इसलिए कण नियत त्वरण के साथ गति करता है।

(B) कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है। त्वरण $a = 2 \, m/s^2$ है।
$5$ वें आधे सेकंड में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $2.5 \, s$ में तय की गई कुल दूरी और $2 \, s$ में तय की गई दूरी के बीच का अंतर निकालते हैं।
दूरी का सूत्र $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ है।
$t = 2.5 \, s$ के लिए: $S_{2.5} = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (2.5)^2 = 6.25 \, m$.
$t = 2 \, s$ के लिए: $S_2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (2)^2 = 4 \, m$.
$5$ वें आधे सेकंड में तय की गई दूरी = $S_{2.5} - S_2 = 6.25 - 4 = 2.25 \, m$.

(C) मान लीजिए ट्रेन की लंबाई $L$ है और इसका अचर त्वरण $a$ है।
पहले सिरे का वेग $v_1 = u$ और दूसरे सिरे का वेग $v_2 = 3u$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,ट्रेन की पूरी लंबाई के लिए:
$(3u)^2 = u^2 + 2aL$
$9u^2 = u^2 + 2aL$
$8u^2 = 2aL \implies aL = 4u^2$.
अब,मान लीजिए मध्य बिंदु का वेग $v_m$ है। पहले सिरे से मध्य बिंदु द्वारा तय की गई दूरी $L/2$ है।
गति के समीकरण $v_m^2 = u^2 + 2a(L/2)$ का उपयोग करते हुए:
$v_m^2 = u^2 + aL$
समीकरण में $aL = 4u^2$ रखने पर:
$v_m^2 = u^2 + 4u^2 = 5u^2$
$v_m = \sqrt{5}u$.
अतः,मध्य बिंदु का वेग $\sqrt{5}u$ है।

(C) दिया गया है,त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \alpha t^{3/2}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष $0$ से $t$ तक दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{u}^{v} dv = \int_{0}^{t} a dt$
$\int_{u}^{v} dv = \int_{0}^{t} \alpha t^{3/2} dt$
$[v]_{u}^{v} = \alpha \left[ \frac{t^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} \right]_{0}^{t}$
$v - u = \alpha \left[ \frac{t^{5/2}}{5/2} \right]_{0}^{t}$
$v - u = \frac{2}{5} \alpha t^{5/2}$
$v = u + \frac{2}{5} \alpha t^{5/2}$

(B) दी गई स्थिति का समीकरण: $x^2 = t + 2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dt} = 1 \Rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2x}$।
अब,त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए वेग $v = \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} x^{-1}$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} x^{-1}) = \frac{1}{2} (-1) x^{-2} \frac{dx}{dt}$।
समीकरण में $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2x}$ का मान रखने पर:
$a = -\frac{1}{2x^2} \times \frac{1}{2x} = -\frac{1}{4x^3}$।

(C) दी गई स्थिति फलन: $x = -2t^3 + 3t^2 + 5$ है।
वेग $v$,स्थिति का समय के सापेक्ष प्रथम अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(-2t^3 + 3t^2 + 5) = -6t^2 + 6t$ है।
समय $t$ ज्ञात करने के लिए वेग को शून्य रखें: $-6t^2 + 6t = 0 \Rightarrow 6t(1 - t) = 0$ है। इससे $t = 0 \ s$ या $t = 1 \ s$ प्राप्त होता है। चूंकि कण गतिमान है,हम $t = 1 \ s$ लेते हैं।
त्वरण $a$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-6t^2 + 6t) = -12t + 6$ है।
त्वरण समीकरण में $t = 1 \ s$ रखने पर: $a = -12(1) + 6 = -6 \ m/s^2$ प्राप्त होता है।

(D) एकसमान त्वरण $(a = \text{constant})$ के साथ गति कर रहे पिंड के लिए, वेग $(v)$ और स्थिति $(x)$ के बीच का संबंध गति के तीसरे समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$v^2 = u^2 + 2ax$
यह मानते हुए कि पिंड विरामावस्था से चलना शुरू करता है $(u = 0)$, समीकरण सरल होकर हो जाता है:
$v^2 = 2ax$
चूंकि $2a$ एक स्थिरांक है, इसलिए $v^2 \propto x$, जिसका अर्थ है $v \propto \sqrt{x}$।
$v = k\sqrt{x}$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है) का ग्राफ $x$-अक्ष की दिशा में खुलने वाला एक परवलय है। दिए गए विकल्पों में से, जो वक्र इस संबंध को दर्शाता है, वह विकल्प $(D)$ में दिखाया गया है।

(C) दिया गया है कि त्वरण $a = kx$ है।
हम जानते हैं कि त्वरण को $a = v \frac{dv}{dx}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$a$ के लिए दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$v \frac{dv}{dx} = kx$
समाकलन करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$v \, dv = kx \, dx$
प्रारंभिक स्थितियों $x=0$ पर $v=u$ और अंतिम स्थिति $x$ पर वेग $v$ लेकर दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{u}^{v} v \, dv = \int_{0}^{x} kx \, dx$
समाकलन का मान प्राप्त करने पर:
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{u}^{v} = k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x}$
$\frac{v^2 - u^2}{2} = \frac{kx^2}{2}$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$v^2 - u^2 = kx^2$
अतः,$v^2 = u^2 + kx^2$.

(D) एकसमान त्वरित गति के लिए,समय $(t)$ के फलन के रूप में स्थिति $(x)$ को $x = ut + \frac{1}{2}at^2$ के रूप में एक द्विघात समीकरण होना चाहिए,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $a$ एकसमान त्वरण है।
आइए विकल्प $(d)$ का विश्लेषण करें:
$\alpha t = \sqrt{\beta + x}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\alpha t)^2 = \beta + x$
$\alpha^2 t^2 = \beta + x$
$x = \alpha^2 t^2 - \beta$
इसकी तुलना मानक गतिज समीकरण $x = ut + \frac{1}{2}at^2$ से करने पर,हम देखते हैं कि स्थिति $x$,समय $t$ का एक द्विघात फलन है (जहाँ $u = 0$ और $a = 2\alpha^2$ है)।
चूंकि त्वरण $a = 2\alpha^2$ एक स्थिरांक है,इसलिए यह समीकरण एकसमान त्वरित गति को दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) दिया गया है कि वेग $v = \alpha \sqrt{x}$ है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a = v \frac{dv}{dx}$ होता है।
सबसे पहले,$\frac{dv}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dv}{dx} = \alpha \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\alpha}{2\sqrt{x}}$.
अब,$v$ और $\frac{dv}{dx}$ के मान को त्वरण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$a = (\alpha \sqrt{x}) \cdot \left( \frac{\alpha}{2\sqrt{x}} \right) = \frac{\alpha^2}{2}$.
चूँकि $\alpha$ एक स्थिरांक है,इसलिए त्वरण $a = \frac{\alpha^2}{2}$ भी एक स्थिरांक है।
अतः,त्वरण $a$ और समय $t$ के बीच का ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज सीधी रेखा होगी,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(B) माना कुल तय की गई दूरी $d$ है।
पूरी यात्रा के लिए:
प्रारंभिक वेग $= u$,अंतिम वेग $= 0$,त्वरण $= -a$,समय $= T$।
$v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$0 = u - aT \Rightarrow u = aT$
कुल दूरी $d = uT - \frac{1}{2}aT^2 = (aT)T - \frac{1}{2}aT^2 = \frac{1}{2}aT^2$।
यात्रा के पहले आधे भाग के लिए:
दूरी $= \frac{d}{2} = \frac{1}{4}aT^2$।
माना लगा समय $t$ है।
$s = ut - \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{4}aT^2 = (aT)t - \frac{1}{2}at^2$
$a$ से भाग देने पर:
$\frac{T^2}{4} = Tt - \frac{t^2}{2}$
$T^2 = 4Tt - 2t^2 \Rightarrow 2t^2 - 4Tt + T^2 = 0$।
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{4T \pm \sqrt{16T^2 - 8T^2}}{4} = \frac{4T \pm \sqrt{8T^2}}{4} = \frac{4T \pm 2\sqrt{2}T}{4} = T \pm \frac{T}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $t < T$,हम $t = T(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ लेते हैं।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(C) कण की प्रारंभिक स्थिति $(x_0, y_0) = (3, 7)$ है।
चूंकि पिंड विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
त्वरण $\vec{a} = 4 \hat{i}$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $a_x = 4$ और $a_y = 0$ है।
दोनों अक्षों के लिए गति के समीकरण $s = s_0 + ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$x$-निर्देशांक के लिए:
$x = x_0 + u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$
$x = 3 + (0)(3) + \frac{1}{2} \times 4 \times (3)^2$
$x = 3 + 0 + 2 \times 9 = 3 + 18 = 21$.
$y$-निर्देशांक के लिए:
$y = y_0 + u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$
$y = 7 + (0)(3) + \frac{1}{2} \times 0 \times (3)^2$
$y = 7 + 0 + 0 = 7$.
अतः,$3 \,s$ के बाद अंतिम निर्देशांक $(21, 7)$ हैं।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 500 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 2 \, ms^{-1}$,त्वरण $a = 2 \, ms^{-2}$,और दूरी $s = 6 \, m$ है।
अंतिम वेग $v$ ज्ञात करने के लिए गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
$v^2 = (2)^2 + 2(2)(6)$
$v^2 = 4 + 24 = 28 \, m^2s^{-2}$।
गतिज ऊर्जा $KE$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} Mv^2$ है।
मान रखने पर:
$KE = \frac{1}{2} \times 500 \times 28$
$KE = 250 \times 28 = 7000 \, J$।
किलोजूल में बदलने पर: $7000 \, J = 7 \, kJ$।

(D) प्रारंभिक वेग $u = 20 \; m/s$. अंतिम वेग $v = 0$. दूरी $S_1 = 500 \; m$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 = u^2 - 2aS_1$:
$0 = (20)^2 - 2 \cdot a \cdot 500$
$1000a = 400 \Rightarrow a = 0.4 \; m/s^2$.
अब,यदि ब्रेक आधी दूरी पर लगाए जाते हैं,तो $S_2 = 250 \; m$:
$v^2 = u^2 - 2aS_2$
$v^2 = (20)^2 - 2 \cdot 0.4 \cdot 250$
$v^2 = 400 - 200 = 200$
$v = \sqrt{200} \; m/s$.
$\sqrt{x} \; m/s$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 200$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5\,g = 0.005\,kg$,रैखिक संवेग $p = 0.3\,kg\,m/s$,समय $t = 5\,s$।
हम जानते हैं कि रैखिक संवेग $p = mv$,जहाँ $v$ वेग है।
मान रखने पर: $0.005 \times v = 0.3$।
वेग के लिए हल करने पर: $v = \frac{0.3}{0.005} = \frac{300}{5} = 60\,m/s$।
यह मानते हुए कि पिंड एकसमान वेग से गति कर रहा है,तय की गई दूरी $d = v \times t$ होगी।
$d = 60\,m/s \times 5\,s = 300\,m$।

(D) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 10.0 \, m/s$
अंतिम वेग $v = 60.0 \, m/s$
त्वरण $a = 2.0 \, m/s^2$
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए:
$v = u + at$
मान रखने पर:
$60.0 = 10.0 + (2.0)t$
$60.0 - 10.0 = 2.0t$
$50.0 = 2.0t$
$t = \frac{50.0}{2.0} = 25.0 \, s$
अतः,लगा समय $25 \, s$ है।

(B) माना लकड़ी के ब्लॉक द्वारा उत्पन्न मंदन $a$ है। गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
प्रथम $24\,cm$ $(s_1 = 24\,cm)$ के लिए:
$(\frac{u}{3})^2 = u^2 - 2a(24)$
$\frac{u^2}{9} = u^2 - 48a$
$48a = u^2 - \frac{u^2}{9} = \frac{8u^2}{9}$
$a = \frac{8u^2}{9 \times 48} = \frac{u^2}{54}.........(1)$
अब,माना ब्लॉक की कुल लंबाई $L$ है। गोली के रुकने तक की पूरी गति के लिए $(v=0)$:
$0^2 = u^2 - 2aL$
$2aL = u^2$
$L = \frac{u^2}{2a}.........(2)$
समीकरण $(1)$ से $a$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$L = \frac{u^2}{2 \times (u^2/54)} = \frac{54}{2} = 27\,cm$.

(C) माना प्रारंभिक वेग $u$ है और स्थिर मंदन $a$ है। गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2aS$ का उपयोग करने पर:
$4 \ cm = 4 \times 10^{-2} \ m$ की दूरी तय करने के बाद,वेग $v_1 = u - \frac{1}{3}u = \frac{2}{3}u$ हो जाता है।
समीकरण में मान रखने पर: $(\frac{2}{3}u)^2 - u^2 = 2(-a)(4 \times 10^{-2})$
$\frac{4}{9}u^2 - u^2 = -8a \times 10^{-2}$
$-\frac{5}{9}u^2 = -8a \times 10^{-2} \implies a = \frac{5u^2}{72 \times 10^{-2}} \dots(1)$
अब,शेष दूरी $x = D \times 10^{-3} \ m$ के लिए,प्रारंभिक वेग $\frac{2}{3}u$ है और अंतिम वेग $0$ है:
$0^2 - (\frac{2}{3}u)^2 = 2(-a)(x)$
$-\frac{4}{9}u^2 = -2ax \implies x = \frac{4u^2}{18a} = \frac{2u^2}{9a} \dots(2)$
समीकरण $(1)$ से $a$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$x = \frac{2u^2}{9} \times \frac{72 \times 10^{-2}}{5u^2} = \frac{2 \times 8 \times 10^{-2}}{5} = \frac{16}{5} \times 10^{-2} = 3.2 \times 10^{-2} \ m = 32 \times 10^{-3} \ m$.
$D \times 10^{-3} \ m$ के साथ तुलना करने पर,हमें $D = 32$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि पिंड विरामावस्था से गति प्रारंभ करता है,अतः प्रारंभिक वेग $u = 0$ है। अचर त्वरण $a$ के साथ $t$ समय में तय किया गया विस्थापन $S = \frac{1}{2}at^2$ द्वारा दिया जाता है।
पहले $(p-1)$ सेकंड के लिए,विस्थापन $S_1 = \frac{1}{2}a(p-1)^2$ है।
पहले $p$ सेकंड के लिए,विस्थापन $S_2 = \frac{1}{2}ap^2$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जिसके लिए कुल विस्थापन $S_1 + S_2 = \frac{1}{2}at^2$ हो।
$S_1$ और $S_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}a(p-1)^2 + \frac{1}{2}ap^2 = \frac{1}{2}at^2$
दोनों पक्षों को $\frac{1}{2}a$ से विभाजित करने पर:
$(p-1)^2 + p^2 = t^2$
$p^2 - 2p + 1 + p^2 = t^2$
$2p^2 - 2p + 1 = t^2$
$t = \sqrt{2p^2 - 2p + 1} \ s$.

(B) दी गई स्थिति: $x = t^3 - 6t^2 + 20t + 15 \ m$.
वेग $v$,समय के सापेक्ष स्थिति का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{dx}{dt} = 3t^2 - 12t + 20 \ m/s$.
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = 6t - 12 \ m/s^2$.
समय ज्ञात करने के लिए त्वरण को शून्य रखने पर: $6t - 12 = 0 \implies t = 2 \ s$.
वेग समीकरण में $t = 2 \ s$ रखने पर: $v = 3(2)^2 - 12(2) + 20 = 12 - 24 + 20 = 8 \ m/s$.

(B) मान लीजिए कि समय $t$ पर प्रारंभिक वेग $u$ है और त्वरण $a$ है।
यह दिया गया है कि $1 \ s$ में वेग में वृद्धि $50 \ m/s$ है,इसलिए $v = u + a(1) = u + 50$।
अतः,$a = 50 \ m/s^2$।
$t$ से $t+1$ के अंतराल में विस्थापन $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ द्वारा दिया जाता है। $t$ से शुरू होने वाले $1 \ s$ के अंतराल के लिए,विस्थापन $s = u(1) + \frac{1}{2}a(1)^2 = 125$ है।
$a = 50$ रखने पर,हमें $u + 25 = 125$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $u = 100 \ m/s$।
$(t+2)^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = t+2$ है।
चूंकि $u$ समय $t$ पर वेग है,अगली सेकंड ($(t+1)^{th}$ सेकंड) में दूरी $125 \ m$ है। $(t+2)^{th}$ सेकंड में दूरी $S = (u+a) + \frac{a}{2} = 100 + 50 + 25 = 175 \ m$ है।

(B) दिया गया है कि कण का वेग स्थिति के फलन के रूप में है: $v = 4\sqrt{x}$।
त्वरण $a$ को स्थिति $x$ के संदर्भ में इस सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: $a = v \frac{dv}{dx}$।
सबसे पहले,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(4x^{1/2}) = 4 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = 2x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$।
अब,$v$ और $\frac{dv}{dx}$ के मानों को त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$a = (4\sqrt{x}) \cdot (\frac{2}{\sqrt{x}})$।
$a = 4 \cdot 2 = 8 \ m/s^2$।
अतः,कण का त्वरण $8 \ m/s^2$ के बराबर स्थिर है।

(B) किसी पिंड द्वारा $n^{\text{th}}$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
$n^{\text{th}}$ सेकंड के लिए: $102.5 = u + \frac{a}{2}(2n - 1) \quad \dots(1)$
$(n+2)^{\text{th}}$ सेकंड के लिए: $115.0 = u + \frac{a}{2}(2(n+2) - 1) = u + \frac{a}{2}(2n + 3) \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$115.0 - 102.5 = [u + \frac{a}{2}(2n + 3)] - [u + \frac{a}{2}(2n - 1)]$
$12.5 = \frac{a}{2} (2n + 3 - 2n + 1)$
$12.5 = \frac{a}{2} (4)$
$12.5 = 2a$
$a = \frac{12.5}{2} = 6.25 \ m/s^2$.
अतः,त्वरण $6.25 \ m/s^2$ है।

(B) प्रारंभिक वेग $u = 72 \,km/h = 72 \times \frac{5}{18} \,m/s = 20 \,m/s$.
अंतिम वेग $v = 0 \,m/s$ (क्योंकि बस रुक जाती है)।
समय $t = 4 \,s$.
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करके, हम त्वरण ज्ञात करते हैं:
$0 = 20 + a(4) \Rightarrow 4a = -20 \Rightarrow a = -5 \,m/s^2$.
बस द्वारा तय की गई दूरी $s$ को गति के दूसरे समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:
$s = (20)(4) + \frac{1}{2}(-5)(4)^2$
$s = 80 - \frac{1}{2}(5)(16)$
$s = 80 - 40 = 40 \,m$.

(B) $n^{th}$ सेकंड में पिंड द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र $S_n = u + \frac{a}{2}(2n-1)$ है।
चूंकि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,$u = 0$,इसलिए $S_n = \frac{a}{2}(2n-1)$.
$n=10$ के लिए,$S_{10} = \frac{a}{2}(2(10)-1) = \frac{19a}{2}$.
$n-1=9$ के लिए,$S_{9} = \frac{a}{2}(2(9)-1) = \frac{17a}{2}$.
अनुपात $\frac{S_{n-1}}{S_n} = \frac{17a/2}{19a/2} = \frac{17}{19}$ है।
दिया गया है कि अनुपात $1 - \frac{2}{x}$ है,इसलिए $1 - \frac{2}{x} = \frac{17}{19}$.
इसका अर्थ है $\frac{2}{x} = 1 - \frac{17}{19} = \frac{2}{19}$.
अतः,$x = 19$.

(C) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x^2 = 1 + t^2$.
$t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $2x \frac{dx}{dt} = 2t$,जो सरल होकर $x v = t$ हो जाता है,जहाँ $v$ वेग है।
गुणन नियम का उपयोग करके $x v = t$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $x \frac{dv}{dt} + v \frac{dx}{dt} = 1$.
चूँकि $\frac{dv}{dt} = a$ (त्वरण) और $\frac{dx}{dt} = v$,हमें $x a + v^2 = 1$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $v = \frac{t}{x}$ रखने पर: $x a + (\frac{t}{x})^2 = 1$.
$x a = 1 - \frac{t^2}{x^2} = \frac{x^2 - t^2}{x^2}$.
मूल समीकरण से $x^2 - t^2 = 1$ होने के कारण,हमें $x a = \frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$.
इसे $x^{-n}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कार $P$ का त्वरण $a_P = kt$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
मान लीजिए कार $Q$ का त्वरण $a_Q = a$ है,जहाँ $a$ एक स्थिरांक है।
$P$ के सापेक्ष $Q$ का सापेक्ष त्वरण $a_{QP} = a_Q - a_P = a - kt$ है।
सापेक्ष वेग $v_{QP}$ सापेक्ष त्वरण का समाकलन है: $v_{QP} = u_{QP} + at - \frac{1}{2}kt^2$।
सापेक्ष विस्थापन $s_{QP}$ सापेक्ष वेग का समाकलन है: $s_{QP} = u_{QP}t + \frac{1}{2}at^2 - \frac{1}{6}kt^3$।
कारों के एक-दूसरे को पार करने के लिए,सापेक्ष विस्थापन $s_{QP}$ शून्य होना चाहिए।
$s_{QP} = 0$ रखने पर,$t(u_{QP} + \frac{1}{2}at - \frac{1}{6}kt^2) = 0$ प्राप्त होता है।
एक समाधान $t = 0$ है (जो दिया गया है)।
अन्य पार करने की घटनाएं तब होती हैं जब द्विघात समीकरण $u_{QP} + \frac{1}{2}at - \frac{1}{6}kt^2 = 0$ के $t > 0$ के लिए वास्तविक मूल हों।
एक द्विघात समीकरण के अधिकतम $2$ धनात्मक मूल हो सकते हैं।
इसलिए,पार करने की कुल संख्या $1$ ($t=0$ पर) $+ 2$ (द्विघात समीकरण से) $= 3$ है।

(B) दिया गया संबंध: $t = x^2 + x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dt}{dx} = 2x + 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि वेग $v = \frac{dx}{dt}$ होता है,इसलिए $\frac{1}{v} = 2x + 1$,जिसका अर्थ है $v = (2x + 1)^{-1}$।
त्वरण $a$ का मान $a = v \frac{dv}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dv}{dx} = -1(2x + 1)^{-2} \times 2 = -2(2x + 1)^{-2}$ प्राप्त होता है।
त्वरण के सूत्र में $v$ और $\frac{dv}{dx}$ का मान रखने पर: $a = (2x + 1)^{-1} \times [-2(2x + 1)^{-2}]$।
अतः,$a = -2(2x + 1)^{-3} = -\frac{2}{(2x + 1)^3}$।

(C) कण की स्थिति $x(t) = 10 + 6t - 3t^2$ द्वारा दी गई है।
वेग ज्ञात करने के लिए,हम स्थिति का समय के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $v(t) = \frac{dx}{dt} = 6 - 6t$.
$v(t) = 0$ रखने पर,हमें पता चलता है कि कण $t = 1 \ s$ पर रुकता है।
चूंकि दिया गया अंतराल $t = 1 \ s$ से $t = 4 \ s$ है,इसलिए $t = 1 \ s$ के बाद कण केवल एक ही दिशा (ऋणात्मक दिशा) में गति करता है।
$t = 1 \ s$ पर,स्थिति $x(1) = 10 + 6(1) - 3(1)^2 = 10 + 6 - 3 = 13 \ m$ है।
$t = 4 \ s$ पर,स्थिति $x(4) = 10 + 6(4) - 3(4)^2 = 10 + 24 - 48 = -14 \ m$ है।
तय की गई दूरी विस्थापन का परिमाण है: $d = |x(4) - x(1)| = |-14 - 13| = |-27| = 27 \ m$.

(B) माना त्वरण $\alpha = 2 \ m/s^2$ और मंदन $\beta = 4 \ m/s^2$ है। कुल समय $t = 3 \ s$ है।
माना त्वरण का समय $t_1$ और मंदन का समय $t_2$ है। अतः $t_1 + t_2 = 3$ है।
चूंकि कार विरामावस्था से शुरू होती है और अंत में विरामावस्था में आ जाती है,इसलिए प्राप्त अधिकतम वेग $v = \alpha t_1 = \beta t_2$ होगा।
मान रखने पर,$2t_1 = 4t_2$,जिसका अर्थ है $t_1 = 2t_2$ है।
समय के समीकरण में मान रखने पर: $2t_2 + t_2 = 3$,अतः $3t_2 = 3$,जिससे $t_2 = 1 \ s$ और $t_1 = 2 \ s$ प्राप्त होता है।
अधिकतम वेग $v = 2 \times 2 = 4 \ m/s$ है।
कुल विस्थापन $d$ वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल है,जो एक त्रिभुज है: $d = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \ m$.

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 20 \ m/s$
अंतिम वेग $v = 80 \ m/s$
दूरी $s = 200 \ m$
समान त्वरण के लिए,औसत वेग $\frac{u+v}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
तय की गई दूरी $s = \text{औसत वेग} \times t$ है।
$s = \left(\frac{u+v}{2}\right) t$
$200 = \left(\frac{20+80}{2}\right) t$
$200 = \left(\frac{100}{2}\right) t$
$200 = 50t$
$t = \frac{200}{50} = 4 \ s$.

(B) गति के तीसरे समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर। चूँकि वाहन रुक जाता है, $v = 0$, इसलिए $0 = u^2 - 2as$, जिससे $s = \frac{u^2}{2a}$ प्राप्त होता है।
समान वाहन के लिए मंदन $a$ स्थिर है, इसलिए $s \propto u^2$ होगा।
यहाँ $u_1 = 15 \,km/hr$ और $s_1 = 5 \,m$ दिया गया है।
और $u_2 = 45 \,km/hr = 3 \times u_1$ है।
अतः, नई दूरी $s_2 = s_1 \times (\frac{u_2}{u_1})^2$ द्वारा प्राप्त होगी।
$s_2 = 5 \,m \times (3)^2 = 5 \,m \times 9 = 45 \,m$.

(D) माना पिंड $A$ का वेग $v_A = u$ (स्थिर) है।
माना पिंड $B$ का वेग $v_B = at$ (विरामावस्था से त्वरण $a$ के साथ) है।
उनके वेग तब समान होते हैं जब $v_A = v_B$,जिसका अर्थ है $u = at$। अतः,लगा समय $t = \frac{u}{a}$ है।
समय $t$ में पिंड $A$ द्वारा तय की गई दूरी $s_A = u \cdot t = u \left( \frac{u}{a} \right) = \frac{u^2}{a}$ है।
समय $t$ में पिंड $B$ द्वारा तय की गई दूरी $s_B = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} a \left( \frac{u}{a} \right)^2 = \frac{u^2}{2a}$ है।
उनके बीच की दूरी $d = s_A - s_B = \frac{u^2}{a} - \frac{u^2}{2a} = \frac{u^2}{2a}$ होगी।

(C) माना प्रारंभिक वेग $u = 0$ और एकसमान त्वरण $a$ है।
$n^{\text{th}}$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
चूंकि $u = 0$,इसलिए $S_n = \frac{a}{2}(2n - 1)$.
$n$ सेकंड में तय की गई कुल दूरी का सूत्र है: $S_{total} = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}an^2 = \frac{1}{2}an^2$.
$n^{\text{th}}$ सेकंड में तय की गई दूरी और $n$ सेकंड में तय की गई कुल दूरी का अनुपात है:
अनुपात $= \frac{S_n}{S_{total}} = \frac{\frac{a}{2}(2n - 1)}{\frac{1}{2}an^2} = \frac{2n - 1}{n^2} = \frac{2n}{n^2} - \frac{1}{n^2} = \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) मान लीजिए प्रारंभिक गति $V$ है और अंतिम गति $0$ है। तय की गई दूरी $s$ है और मंदन $a$ है। गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर,$0 = V^2 - 2as$,जिससे $s = \frac{V^2}{2a}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$v = u + at$ का उपयोग करने पर,$0 = V - at$,जिससे $t = \frac{V}{a}$ प्राप्त होता है।
अब,नई स्थिति के लिए,प्रारंभिक गति $u' = nV$,अंतिम गति $v' = 0$,दूरी $s' = s$,और समय $t' = t$ है। मान लीजिए नया मंदन $a'$ है।
$v' = u' - a't'$ से,$0 = nV - a't$ प्राप्त होता है। $t = \frac{V}{a}$ रखने पर,$0 = nV - a'(\frac{V}{a})$,जिसका अर्थ है $a' = na$.
दूरी की शर्त के साथ जाँच करने पर: $s' = u't' - \frac{1}{2}a't'^2$। $s' = s = \frac{V^2}{2a}$,$u' = nV$,$t' = t = \frac{V}{a}$,और $a' = na$ रखने पर,हमें $\frac{V^2}{2a} = (nV)(\frac{V}{a}) - \frac{1}{2}(na)(\frac{V}{a})^2 = \frac{nV^2}{a} - \frac{nV^2}{2a} = \frac{nV^2}{2a}$ प्राप्त होता है।
इसके $\frac{V^2}{2a}$ के बराबर होने के लिए $n = 1$ होना चाहिए। हालाँकि,प्रश्न दोनों शर्तों को पूरा करने के लिए आवश्यक मंदन पूछता है। दी गई बाधाओं के अनुसार,समय की शर्त को पूरा करने के लिए मंदन $n \cdot a$ होना चाहिए।

(D) प्रारंभिक वेग $u = 15 \ m/s$,मंदन $a = -0.3 \ m/s^2$,और अंतिम वेग $v = 0 \ m/s$ (जब वाहन रुक जाता है)।
सबसे पहले,रुकने में लगा समय ज्ञात करें: $t = \frac{v-u}{a} = \frac{0-15}{-0.3} = 50 \ s$.
चूंकि वाहन $50 \ s$ में रुक जाता है,जो $60 \ s$ (एक मिनट) से कम है,इसलिए $60 \ s$ के बाद का विस्थापन $50 \ s$ के बाद के विस्थापन के बराबर ही रहेगा।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$s = (15 \times 50) + \frac{1}{2} \times (-0.3) \times (50)^2$
$s = 750 - 0.15 \times 2500 = 750 - 375 = 375 \ m$.
ट्रैफिक लाइट से प्रारंभिक दूरी $400 \ m$ थी।
अतः,एक मिनट बाद ट्रैफिक लाइट से वाहन की दूरी $400 \ m - 375 \ m = 25 \ m$ होगी।

(B) मान लीजिए कि वस्तु का त्वरण $a$ है और बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए:
$A$ से $B$ तक के पथ के लिए:
$(30)^2 = (20)^2 + 2ad$
$900 = 400 + 2ad$
$2ad = 500$
$ad = 250$
मान लीजिए $v_m$,$AB$ के मध्य बिंदु पर वेग है। $A$ से मध्य बिंदु तक की दूरी $d/2$ है।
$A$ से मध्य बिंदु तक के पथ के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए:
$v_m^2 = (20)^2 + 2a(d/2)$
$v_m^2 = 400 + ad$
$ad = 250$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v_m^2 = 400 + 250 = 650$
$v_m = \sqrt{650} \approx 25.495 \,m/s \approx 25.5 \,m/s$.

(A) पिंड $A$ के लिए जो विरामावस्था से शुरू होता है (प्रारंभिक वेग $u=0$):
$S_A = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$
पिंड $B$ के लिए जो एकसमान वेग $V$ के साथ गति करता है:
$S_B = Vt$
चूंकि वे $t$ समय के बाद एक ही बिंदु पर मिलते हैं,इसलिए उनका विस्थापन समान होना चाहिए:
$S_A = S_B$
$\frac{1}{2}at^2 = Vt$
दोनों पक्षों को $t$ से विभाजित करने पर ($t \neq 0$ मानते हुए):
$\frac{1}{2}at = V$
$t = \frac{2V}{a}$

(B) दिया गया है कि दूरी $s$ समय $t$ के वर्ग के समानुपाती है,इसलिए $s \propto t^{2}$ है।
इसे $s = k t^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
वेग $v$ समय के सापेक्ष दूरी का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(k t^{2}) = 2kt$.
त्वरण $a$ समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2kt) = 2k$.
चूंकि $k$ एक स्थिरांक है,इसलिए $2k$ भी एक स्थिरांक है और यह शून्य के बराबर नहीं है।
अतः,पिंड का त्वरण स्थिर है लेकिन शून्य नहीं है।

(D) गति का समीकरण $x=ut+\frac{1}{2}at^2$ निरंतर त्वरण के तहत एक वस्तु की गति का वर्णन करता है।
यह समीकरण वेग और त्वरण की परिभाषाओं से कलन (calculus) या ग्राफ़िकल विधियों का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।
यह एक शुद्धगतिक (kinematic) संबंध है और यह सीधे न्यूटन के गति के नियमों से प्राप्त नहीं होता है,जो बल,द्रव्यमान और त्वरण $(F=ma)$ के बीच संबंध बताते हैं।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।