Mix Examples-Motion in Straight Line Questions in Hindi

(C) कण अपने शुरुआती बिंदु पर वापस आ जाता है,जिसका अर्थ है कि अंतिम स्थिति प्रारंभिक स्थिति के समान है। इसलिए,विस्थापन $0\, m$ है। कथन $(a)$ सत्य है।
औसत चाल को कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है। दी गई कुल दूरी $= 30\, m$ और कुल समय $= 10\, s$ है,इसलिए औसत चाल $\frac{30\, m}{10\, s} = 3\, m/s$ है। कथन $(b)$ सत्य है।
चूंकि विस्थापन $0\, m$ है,इसलिए कथन $(c)$ गलत है। अतः,सही उत्तर $(c)$ है।

(D) औसत चाल को कुल तय की गई दूरी को कुल लिए गए समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
मान लीजिए कुल दूरी $x$ है।
पहले भाग ($x$ का $2/5$ भाग) को तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{2x/5}{v_1} = \frac{2x}{5v_1}$ है।
दूसरे भाग ($x$ का $3/5$ भाग) को तय करने में लगा समय $t_2 = \frac{3x/5}{v_2} = \frac{3x}{5v_2}$ है।
कुल समय $T = t_1 + t_2 = \frac{2x}{5v_1} + \frac{3x}{5v_2} = \frac{x}{5} \left( \frac{2}{v_1} + \frac{3}{v_2} \right) = \frac{x(2v_2 + 3v_1)}{5v_1 v_2}$।
औसत चाल $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{x}{\frac{x(2v_2 + 3v_1)}{5v_1 v_2}} = \frac{5v_1 v_2}{3v_1 + 2v_2}$।

(A) दिया गया संबंध: $t = \alpha x^2 + \beta x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dt}{dx} = 2\alpha x + \beta$
चूँकि वेग $v = \frac{dx}{dt}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$v = \frac{1}{2\alpha x + \beta} \implies 2\alpha x + \beta = \frac{1}{v}$
त्वरण $a = v \frac{dv}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$v = (2\alpha x + \beta)^{-1}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $\frac{dv}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dv}{dx} = -1(2\alpha x + \beta)^{-2} \cdot (2\alpha) = -\frac{2\alpha}{(2\alpha x + \beta)^2}$
$(2\alpha x + \beta) = \frac{1}{v}$ को समीकरण में रखने पर:
$\frac{dv}{dx} = -2\alpha \cdot v^2$
अब,त्वरण की गणना करें:
$a = v \cdot (-2\alpha v^2) = -2\alpha v^3$
मंदन (retardation) त्वरण का ऋणात्मक मान होता है:
$\text{Retardation} = -a = 2\alpha v^3$

(B) वेग एक सदिश राशि है जिसे $v = \frac{dr}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसमें चाल (परिमाण) और दिशा दोनों शामिल होते हैं।
यदि किसी पिंड का वेग स्थिर है,तो उसकी चाल और दिशा दोनों अपरिवर्तित रहनी चाहिए।
इसलिए,यह असंभव है कि किसी पिंड का वेग स्थिर हो और उसकी चाल बदल रही हो।
कथन $(b)$ असत्य है क्योंकि स्थिर वेग का अर्थ स्थिर चाल और स्थिर दिशा है।
कथन $(a)$ सत्य है (उदाहरण के लिए,ऊर्ध्वाधर ऊपर फेंकी गई वस्तु अपने उच्चतम बिंदु पर शून्य वेग रखती है लेकिन उसका त्वरण $g$ होता है)।
कथन $(c)$ सत्य है (उदाहरण के लिए,एकसमान वृत्तीय गति)।
कथन $(d)$ सत्य है (उदाहरण के लिए,प्रक्षेप्य गति जहाँ त्वरण $g$ नीचे की ओर स्थिर होता है,लेकिन वेग की दिशा बदलती रहती है)।

(B) माना डिब्बे का मंदन (retardation) $a$ है,और रुकने से पहले उसके द्वारा तय की गई दूरी $S_b$ है। माना डिब्बे के अलग होने के क्षण उसका प्रारंभिक वेग $u$ है (जो ट्रेन की एकसमान गति के बराबर है)।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ अंतिम वेग $v = 0$ है:
$0 = u^2 - 2aS_b \Rightarrow S_b = \frac{u^2}{2a}$
अब,$v = u + at$ का उपयोग करके डिब्बे को रुकने में लगा समय $t$ ज्ञात करें:
$0 = u - at \Rightarrow t = \frac{u}{a}$
इसी समय $t$ में,ट्रेन $u$ के एकसमान वेग से चलती रहती है। इसलिए,ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी है:
$S_t = u \times t = u \times \frac{u}{a} = \frac{u^2}{a}$
दोनों दूरियों की तुलना करने पर:
$\frac{S_b}{S_t} = \frac{u^2 / 2a}{u^2 / a} = \frac{1}{2}$
अतः,डिब्बे द्वारा तय की गई दूरी ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी की आधी है।

(A) $1$. चरण $1$: विरामावस्था से त्वरण।
प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$,त्वरण $a = 2 \, m/s^2$,समय $t = 10 \, s$।
अंतिम वेग $v = u + at = 0 + 2 \times 10 = 20 \, m/s$।
दूरी $S_1 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (10)^2 = 100 \, m$।
$2$. चरण $2$: एकसमान गति।
वेग $v = 20 \, m/s$,समय $t = 30 \, s$।
दूरी $S_2 = v \times t = 20 \times 30 = 600 \, m$।
$3$. चरण $3$: रुकने के लिए मंदन।
प्रारंभिक वेग $u = 20 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \, m/s$,त्वरण $a = -4 \, m/s^2$।
सूत्र $v^2 - u^2 = 2aS_3$ का उपयोग करने पर:
$0^2 - (20)^2 = 2 \times (-4) \times S_3$
$-400 = -8 \times S_3 \implies S_3 = 50 \, m$।
$4$. कुल दूरी:
$S_{total} = S_1 + S_2 + S_3 = 100 + 600 + 50 = 750 \, m$।

(A) न्यूनतम समय में $S$ दूरी तय करने के लिए,मोटरसाइकिल को अधिकतम त्वरण $\alpha = 5 \, m/s^2$ के साथ अधिकतम वेग $v$ तक पहुँचना चाहिए और फिर तुरंत अधिकतम मंदन $\beta = 10 \, m/s^2$ के साथ रुक जाना चाहिए।
माना $t_1$ त्वरण का समय है और $t_2$ मंदन का समय है। कुल समय $t = t_1 + t_2$ है।
गति के समीकरणों का उपयोग करते हुए:
$v = \alpha t_1 = \beta t_2 \implies 5 t_1 = 10 t_2 \implies t_1 = 2 t_2$.
कुल दूरी $S = 1.5 \, km = 1500 \, m$ वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल (त्रिभुज) द्वारा दी जाती है:
$S = \frac{1}{2} v (t_1 + t_2) = \frac{1}{2} \left( \frac{\alpha \beta}{\alpha + \beta} \right) t^2$.
मान रखने पर:
$1500 = \frac{1}{2} \left( \frac{5 \times 10}{5 + 10} \right) t^2$
$1500 = \frac{1}{2} \left( \frac{50}{15} \right) t^2 = \frac{5}{3} t^2$.
$t^2 = 1500 \times \frac{3}{5} = 900$.
$t = 30 \, s$.

(D) कण $x = 0$ ($t = 0$ पर $v = 0$) पर विरामावस्था से शुरू होता है और $x = 1$ ($t = 1$ पर $v = 0$) पर विराम में आ जाता है।
चूंकि कण $x = 0$ से $x = 1$ तक गति करता है,इसलिए इसका औसत वेग धनात्मक है। कण के विरामावस्था से शुरू होकर अंत में विराम में आने के लिए,इसे वेग प्राप्त करने के लिए शुरू में त्वरित होना होगा और अंत में रुकने के लिए मंदित होना होगा।
यदि $\alpha$ पूरे अंतराल $0 \le t \le 1$ के लिए धनात्मक रहता है,तो वेग लगातार बढ़ता रहेगा,जिसका अर्थ है कि कण $t = 1$ पर वापस विराम में नहीं आ सकता है।
इसलिए,$\alpha$ अंतराल $0 \le t \le 1$ में सभी $t$ के लिए धनात्मक नहीं रह सकता है,जिसका अर्थ है कि गति के दौरान $\alpha$ को अपना चिह्न बदलना ही होगा।
अतः,कथन $(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(A) ऊंचाई से गिराई गई गेंद के लिए,किसी भी ऊंचाई $h$ पर वेग $v$ को $v^2 = u^2 + 2a(s)$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ,$u = 0$ और $a = -g$ है,इसलिए $v^2 = -2g(h - d) = 2g(d - h)$। इसका अर्थ है $v = \pm \sqrt{2g(d - h)}$।
$1$. $h = d$ से $h = 0$ तक नीचे की गति के दौरान,वेग ऋणात्मक (नीचे की ओर) होता है और जैसे-जैसे $h$ घटता है,इसका परिमाण बढ़ता है। संबंध $v = -\sqrt{2g(d - h)}$ धनात्मक $h$-अक्ष की ओर खुलने वाले एक परवलयिक वक्र का प्रतिनिधित्व करता है।
$2$. $h = 0$ पर,गेंद जमीन से टकराती है। टक्कर के तुरंत बाद,यह $d/2$ ऊंचाई तक उछलती है। वेग धनात्मक (ऊपर की ओर) हो जाता है और इसका परिमाण $v = \sqrt{2g(d/2 - h)}$ द्वारा निर्धारित होता है।
$3$. जैसे-जैसे गेंद $h = 0$ से $h = d/2$ तक ऊपर की ओर बढ़ती है,वेग अपने अधिकतम मान से घटकर $h = d/2$ पर शून्य हो जाता है। यह भी एक परवलयिक पथ का अनुसरण करता है।
इन भौतिक आवश्यकताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,जो ग्राफ नीचे की गति (ऋणात्मक वेग) और उसके बाद की ऊपर की गति (धनात्मक वेग) को सही ढंग से दर्शाता है,वह विकल्प $(A)$ है।

(A) आवाज़ सुनने में लगा कुल समय पत्थर के गिरने में लगा समय $(t_1)$ और ध्वनि के वापस आदमी तक पहुँचने में लगा समय $(t_2)$ का योग है।
$1$. पत्थर को झील तक पहुँचने में लगा समय $(t_1)$:
गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$:
$500 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t_1^2$
$500 = 5t_1^2$
$t_1^2 = 100$
$t_1 = 10 \ s$
$2$. ध्वनि को झील से आदमी तक पहुँचने में लगा समय $(t_2)$:
सूत्र $t_2 = \frac{h}{v}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v = 340 \ m/s$:
$t_2 = \frac{500}{340} \approx 1.47 \ s \approx 1.5 \ s$
$3$. कुल समय $(T)$:
$T = t_1 + t_2 = 10 + 1.5 = 11.5 \ s$.

(A) दिया गया है कि मंदन $a = -k x$,जहाँ $k$ एक धनात्मक नियतांक है।
हम जानते हैं कि $a = v \frac{dv}{dx}$.
अतः,$v \frac{dv}{dx} = -k x$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int_{v_0}^{v} v \, dv = -k \int_{0}^{x} x \, dx$.
$\frac{1}{2} (v^2 - v_0^2) = -\frac{1}{2} k x^2$.
$v^2 - v_0^2 = -k x^2$.
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K.E. = \frac{1}{2} m (v^2 - v_0^2) = -\frac{1}{2} m k x^2$.
गतिज ऊर्जा में हानि का परिमाण $|\Delta K.E.| = \frac{1}{2} m k x^2$ है।
अतः,गतिज ऊर्जा में हानि $x^2$ के समानुपाती है।

(D) कण $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D$ पथ पर गति करता है।
कुल तय की गई दूरी = $AB + BC + CD = 25 \, m + 25 \, m + 25 \, m = 75 \, m$.
लिया गया समय $(t)$ = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{वेग}} = \frac{75 \, m}{15 \, m \, s^{-1}} = 5 \, s$.
विस्थापन प्रारंभिक बिंदु $A$ और अंतिम बिंदु $D$ के बीच की न्यूनतम दूरी है,जो कि भुजा $AD = 25 \, m$ है।
औसत वेग = $\frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल लिया गया समय}} = \frac{25 \, m}{5 \, s} = 5 \, m \, s^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है। चूंकि वस्तु प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाती है,इसलिए कुल विस्थापन $0$ है। अतः,औसत वेग $0$ है।
औसत चाल को कुल तय की गई दूरी को कुल उड़ान समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है। अधिकतम ऊँचाई $H = v^2/(2g)$ है और कुल उड़ान समय $T = 2v/g$ है।
कुल तय की गई दूरी $2H = 2(v^2/(2g)) = v^2/g$ है।
औसत चाल $= \text{कुल दूरी} / \text{कुल समय} = (v^2/g) / (2v/g) = v/2$.
इस प्रकार,औसत वेग $0$ है और औसत चाल $v/2$ है।

(C) मान लीजिए कि दो पत्थरों का प्रारंभिक वेग $u_1$ और $u_2$ $(u_2 > u_1)$ है।
समय $t$ पर पत्थरों की स्थिति $x_1(t) = u_1 t - \frac{1}{2} g t^2$ और $x_2(t) = u_2 t - \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दी जाती है।
सापेक्ष स्थिति $\Delta x = |x_2(t) - x_1(t)| = |(u_2 - u_1)t| = (u_2 - u_1)t$ है।
यह दर्शाता है कि जब तक दोनों पत्थर हवा में हैं,सापेक्ष स्थिति $\Delta x$ समय $t$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है।
जैसे ही पहला पत्थर ($u_1$ गति के साथ) $t_1 = \frac{2u_1}{g}$ पर जमीन से टकराता है,उसकी स्थिति $x_1 = 0$ हो जाती है। सापेक्ष स्थिति $\Delta x = |x_2(t) - 0| = |u_2 t - \frac{1}{2} g t^2|$ हो जाती है।
यह नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है। अतः,ग्राफ में एक रैखिक वृद्धि और उसके बाद दूसरे पत्थर के जमीन से टकराने तक एक परवलयिक गिरावट दिखनी चाहिए। ग्राफ $C$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 10 \, m/s$,त्वरण $a = -5 \, m/s^2$।
सबसे पहले,हम विराम अवस्था में आने के लिए लिया गया समय $t_0$ ज्ञात करते हैं: $v = u + at \implies 0 = 10 - 5t_0 \implies t_0 = 2 \, s$।
प्रारंभिक वेग की दिशा में अधिकतम विस्थापन $S_{max}$ की गणना $v^2 - u^2 = 2aS$ का उपयोग करके की जाती है: $0^2 - 10^2 = 2(-5)S_{max} \implies S_{max} = 10 \, m$। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
$3 \, s$ में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए:
पहले $2 \, s$ में,दूरी $10 \, m$ है।
शेष $1 \, s$ में ($t=2$ से $t=3$ तक),कण विराम अवस्था $(u'=0)$ से शुरू होता है और $a=5 \, m/s^2$ के त्वरण के साथ चलता है: $S' = u't + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}(5)(1)^2 = 2.5 \, m$।
$3 \, s$ में कुल दूरी = $10 + 2.5 = 12.5 \, m$। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
चूंकि $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं,इसलिए अंतिम उत्तर $(D)$ है।

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{\text{net}} = \Delta K = \frac{1}{2}m(v_f^2 - v_i^2)$.
ग्राफ से,$t = 0\,\text{s}$ पर प्रारंभिक वेग $v_i = 0\,\text{m/s}$ है,और $t = 30\,\text{s}$ पर अंतिम वेग $v_f = 0\,\text{m/s}$ है।
इसलिए,$W_{\text{net}} = \frac{1}{2} \times 1 \times (0^2 - 0^2) = 0\,\text{J}$। अतः,कथन $(A)$ सही है।
औसत त्वरण को $a_{\text{avg}} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
यहाँ,$t = 0$ से $t = 30\,\text{s}$ के अंतराल के लिए $v_f = 0\,\text{m/s}$ और $v_i = 0\,\text{m/s}$ है।
अतः,$a_{\text{avg}} = \frac{0 - 0}{30 - 0} = 0\,\text{m/s}^2$। अतः,कथन $(B)$ सही है।
चूंकि $F_{\text{avg}} = m \times a_{\text{avg}}$ और $a_{\text{avg}} = 0$ है,इसलिए औसत बल $F_{\text{avg}} = 1 \times 0 = 0\,\text{N}$ है। अतः,कथन $(C)$ सही है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(D) कथन $A$ सही है: यदि स्थिति $(x)$ धनात्मक है और वेग $(v)$ ऋणात्मक है,तो कण मूल बिंदु की ओर गति करता है। यदि $x$ ऋणात्मक है और $v$ धनात्मक है,तो भी यह मूल बिंदु की ओर गति करता है।
कथन $B$ सही है: यदि वेग एक दिए गए समय अंतराल के लिए शून्य है,तो समय के सापेक्ष इसका अवकलन (त्वरण) भी उस अंतराल के दौरान शून्य होता है।
कथन $C$ सही है: जब वेग और त्वरण के चिह्न विपरीत होते हैं,तो त्वरण गति का विरोध करता है,जिससे चाल कम हो जाती है (धीमी हो रही है)।
अतः,सभी कथन सही हैं।

(D) $1$. कण $t = T$ पर अपनी गति की दिशा बदलता है क्योंकि वेग ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है।
$2$. कण का त्वरण $v-t$ ग्राफ का ढाल है। चूंकि ग्राफ एक सीधी रेखा है,इसलिए ढाल स्थिर है,जिसका अर्थ है कि त्वरण स्थिर है।
$3$. कण का विस्थापन $v-t$ ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल है। $t$-अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल ($0$ से $T$ तक) $t$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल ($T$ से $2T$ तक) के परिमाण में बराबर है,लेकिन विपरीत संकेतों के साथ। इसलिए,कुल विस्थापन $zero$ है।
$4$. चूंकि तीनों कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) वेग एक सदिश राशि है,जिसका अर्थ है कि यह चाल (परिमाण) और दिशा दोनों पर निर्भर करती है। त्वरण को वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है $(a = dv/dt)$।
$1$. यदि चाल बदलती है,तो वेग का परिमाण बदलता है,जिसका अर्थ है कि वेग बदलता है। चूंकि वेग बदलता है,इसलिए त्वरण होना चाहिए। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
$2$. यदि वेग बदलता है,तो यह चाल में परिवर्तन,दिशा में परिवर्तन,या दोनों के कारण हो सकता है। यदि केवल दिशा बदलती है (जैसे,एकसमान वृत्तीय गति),तो चाल स्थिर रहती है,लेकिन वेग बदलता है,जिसके परिणामस्वरूप अभिकेंद्र त्वरण उत्पन्न होता है। इसलिए,कथन $(B)$ गलत है क्योंकि चाल का बदलना आवश्यक नहीं है।
$3$. चूंकि वेग में परिवर्तन का अर्थ त्वरण है,और गति की दिशा बदलने या न बदलने के आधार पर चाल बदल भी सकती है और नहीं भी,इसलिए कथन $(C)$ सत्य है।
निष्कर्ष: $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) $1$. उस स्थिति पर विचार करें जहाँ $v = 0$ है: जब किसी पिंड को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो अपने उच्चतम बिंदु पर उसका वेग $v = 0$ होता है,लेकिन उसका त्वरण $a$ गुरुत्वीय त्वरण $(g \approx 9.8 \ m/s^2)$ के बराबर होता है। अतः,जब $v = 0$ हो तो $a$ गैर-शून्य हो सकता है। कथन $(A)$ सही है.
$2$. उस स्थिति पर विचार करें जहाँ $v \neq 0$ है: जब कोई पिंड एक सीधी रेखा में एकसमान वेग से गति करता है,तो उसका त्वरण $a = 0$ होता है क्योंकि वेग में कोई परिवर्तन नहीं होता है। अतः,जब $v \neq 0$ हो तो $a$ शून्य हो सकता है। कथन $(C)$ सही है.
$3$. चूंकि $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है.

(D) दिया गया है,$x = \alpha t^2 - \beta t^3$.
$1$. कण अपने प्रारंभिक बिंदु पर वापस आता है जब $x = 0$ हो:
$\alpha t^2 - \beta t^3 = 0 \implies t^2(\alpha - \beta t) = 0$.
चूंकि $t \neq 0$,हमें $t = \frac{\alpha}{\beta}$ प्राप्त होता है।
$2$. वेग $v = \frac{dx}{dt} = 2\alpha t - 3\beta t^2$.
$t = 0$ पर,$v = 0$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = 2\alpha - 6\beta t$.
$t = 0$ पर,$a = 2\alpha$. चूंकि $\alpha \neq 0$,प्रारंभिक त्वरण शून्य नहीं है।
$3$. कण विराम अवस्था में आता है जब $v = 0$ हो:
$2\alpha t - 3\beta t^2 = 0 \implies t(2\alpha - 3\beta t) = 0$.
$t > 0$ के लिए,$t = \frac{2\alpha}{3\beta}$.
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) विरामावस्था से $x=0$ पर एकसमान त्वरण $a$ के साथ शुरू होने वाले पिंड के लिए:
$x_{1} = \frac{1}{2}at^{2}$
$x=0$ से शुरू होकर एकसमान चाल $v$ के साथ गति करने वाले पिंड के लिए:
$x_{2} = vt$
माना $f(t) = x_{1} - x_{2} = \frac{1}{2}at^{2} - vt$.
यह $t$ में एक द्विघात समीकरण है जो ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है।
$t=0$ पर,$f(0) = 0$.
अवकलन $f'(t) = at - v$ है।
$f'(t) = 0$ रखने पर $t = \frac{v}{a}$ प्राप्त होता है।
$t = \frac{v}{a}$ पर,फलन अपना न्यूनतम मान प्राप्त करता है: $f(\frac{v}{a}) = \frac{1}{2}a(\frac{v}{a})^{2} - v(\frac{v}{a}) = \frac{v^{2}}{2a} - \frac{v^{2}}{a} = -\frac{v^{2}}{2a}$.
चूंकि न्यूनतम मान ऋणात्मक है और परवलय ऊपर की ओर खुलता है,ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होता है,$t$-अक्ष के नीचे जाता है,$t = \frac{v}{a}$ पर न्यूनतम मान तक पहुँचता है,और फिर बढ़ता है,जो $t = \frac{2v}{a}$ पर $t$-अक्ष को काटता है।
यह समाधान छवि में दिखाए गए ग्राफ से मेल खाता है।

(C) मान लें कि चट्टान का किनारा मूल बिंदु $(y = 0)$ है और ऊपर की दिशा धनात्मक है। समय $t$ पर दोनों पत्थरों की स्थिति इस प्रकार है:
$y_1 = 10t - 5t^2$
$y_2 = 40t - 5t^2$
पहले पत्थर के लिए,वह जमीन से टकराता है जब $y_1 = -240 \ m$:
$-240 = 10t - 5t^2 \implies t^2 - 2t - 48 = 0 \implies (t-8)(t+6) = 0$. अतः,$t = 8 \ s$.
$t \le 8 \ s$ के लिए,सापेक्ष स्थिति $y_{rel} = y_2 - y_1 = (40t - 5t^2) - (10t - 5t^2) = 30t$. यह मूल बिंदु से गुजरने वाला एक रैखिक ग्राफ है।
$t = 8 \ s$ पर,$y_{rel} = 30(8) = 240 \ m$.
$t > 8 \ s$ के लिए,पहला पत्थर जमीन पर स्थिर है $(y_1 = -240 \ m)$। दूसरा पत्थर जमीन से टकराता है जब $y_2 = -240 \ m$:
$-240 = 40t - 5t^2 \implies t^2 - 8t - 48 = 0 \implies (t-12)(t+4) = 0$. अतः,$t = 12 \ s$.
$8 \ s < t \le 12 \ s$ के लिए,$y_{rel} = y_2 - y_1 = (40t - 5t^2) - (-240) = -5t^2 + 40t + 240$. यह नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है।
इसलिए,ग्राफ $t \le 8 \ s$ के लिए रैखिक है और $8 \ s < t \le 12 \ s$ के लिए परवलयाकार है।

(B) ग्राफ द्वारा वर्णित गति एक समान त्वरित गति है जो प्रारंभिक वेग $u$ और निरंतर त्वरण $a = -2b$ के साथ शुरू होती है।
स्थिति-समय संबंध $s = ut + \frac{1}{2}at^2 = at - bt^2$ द्वारा दिया गया है,जो एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है,जिसे ग्राफ $(C)$ द्वारा दर्शाया गया है।
वेग-समय संबंध $v = u + at = a - 2bt$ है,जो एक ऋणात्मक ढलान वाली सीधी रेखा है,जिसे ग्राफ $(D)$ द्वारा दर्शाया गया है।
वेग-स्थिति ग्राफ के लिए,$v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,हमें $v^2 = a^2 - 4bs$ प्राप्त होता है,जो ऋणात्मक स्थिति अक्ष की ओर खुलने वाला एक परवलय है,जो ग्राफ $(A)$ के अनुरूप है।
ग्राफ $(B)$ एक दूरी-समय ग्राफ का प्रतिनिधित्व करता है। चूंकि दूरी एक अदिश राशि है जो गतिमान वस्तु के लिए हमेशा बढ़ती है,इसलिए यदि वस्तु गति में है तो यह घट नहीं सकती या स्थिर नहीं रह सकती। ग्राफ $(B)$ में दिखाया गया है कि दूरी बढ़ती है और फिर स्थिर हो जाती है,जो अन्य ग्राफ द्वारा वर्णित गति के विपरीत है जहाँ वस्तु अपनी दिशा बदलती है। अतः,ग्राफ $(B)$ गलत है।

(C) जब वीडियो को उल्टी दिशा में चलाया जाता है,तो समय चर $t$ को $-t$ से बदल दिया जाता है।
$1$. स्थिति सदिश $\vec{r}(t)$ विशिष्ट क्षण $A$ पर समान रहता है क्योंकि वस्तु उसी स्थानिक स्थान पर है,इसलिए $\vec{r}_{obs} = \vec{r}$।
$2$. वेग को $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। उल्टी दिशा में,$\vec{v}_{obs} = \frac{d\vec{r}}{d(-t)} = -\frac{d\vec{r}}{dt} = -\vec{v}$।
$3$. त्वरण को $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। उल्टी दिशा में,$\vec{a}_{obs} = \frac{d(\vec{v}_{obs})}{d(-t)} = \frac{d(-\vec{v})}{-dt} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{a}$।
अतः,देखे गए मान $\vec{r}, -\vec{v}, \vec{a}$ हैं।

(B) माना $S_1$ और $S_2$ क्रमशः पहले और दूसरे भाग की पथ लंबाई हैं।
दिया गया है: $\frac{S_2}{S_1} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
औसत गति $V_{avg}$ कुल दूरी और कुल समय का अनुपात है:
$V_{avg} = \frac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2} = \frac{S_1 + S_2}{\frac{S_1}{V_1} + \frac{S_2}{V_2}}$.
अंश और हर को $S_1$ से विभाजित करने पर:
$V_{avg} = \frac{1 + \frac{S_2}{S_1}}{\frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2} \cdot \frac{S_2}{S_1}}$.
$\frac{S_2}{S_1} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$ रखने पर:
$V_{avg} = \frac{1 + \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}}{\frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2} \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}} = \sqrt{V_1 V_2}$.
अतः,औसत गति $V_1$ और $V_2$ का गुणोत्तर माध्य है।

(C) चरण $1$: माध्यम $1$ में तय की गई दूरी $(d_1)$:
$d_1 = \text{गति} \times \text{समय} = 1\, m/s \times 2.5\, s = 2.5\, m$.
चरण $2$: हवा में गति:
मनका $u = 1\, m/s$ के प्रारंभिक वेग के साथ हवा में प्रवेश करता है। यह गुरुत्वाकर्षण $(g = 10\, m/s^2)$ के तहत $h = 2\, m$ की दूरी तक मुक्त रूप से गिरता है।
समीकरण $v^2 - u^2 = 2gh$ का उपयोग करते हुए:
$v^2 - (1)^2 = 2 \times 10 \times 2$
$v^2 - 1 = 40$
$v^2 = 41$
$v = \sqrt{41} \approx 6.4\, m/s$.
चरण $3$: माध्यम $2$ में तय की गई दूरी $(d_2)$:
मनका $v = \sqrt{41}\, m/s$ के वेग के साथ माध्यम $2$ में प्रवेश करता है और $t = 1.5\, s$ तक इस एकसमान गति से चलता है।
$d_2 = v \times t = \sqrt{41} \times 1.5 \approx 6.403 \times 1.5 = 9.6045\, m$.
चरण $4$: कुल दूरी $(D)$:
$D = d_1 + h + d_2 = 2.5 + 2 + 9.6045 = 14.1045\, m$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, कुल दूरी $14.1\, m$ है।

(A) चरण $1$: $u_1 = 0$ और $a_1 = g = 10\,m/s^2$ के साथ $t_1 = 10\,s$ के लिए मुक्त पतन।
मुक्त पतन के अंत में वेग: $v_1 = u_1 + a_1 t_1 = 0 + 10 \times 10 = 100\,m/s$.
मुक्त पतन के दौरान तय की गई दूरी: $h_1 = u_1 t_1 + \frac{1}{2} a_1 t_1^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2 = 500\,m$.
चरण $2$: पैराशूट खुलता है,मंदन $a_2 = -2.5\,m/s^2$। प्रारंभिक वेग $u_2 = 100\,m/s$।
शेष ऊँचाई: $h_2 = 2495 - 500 = 1995\,m$.
सूत्र $v_2^2 = u_2^2 + 2 a_2 h_2$ का उपयोग करते हुए:
$v_2^2 = (100)^2 + 2 \times (-2.5) \times 1995$
$v_2^2 = 10000 - 9975 = 25$
$v_2 = \sqrt{25} = 5\,m/s$.

(A) माना कुल दूरी $2s$ है। पहली आधी दूरी $s$,$v_0$ वेग से तय की गई है। लिया गया समय $t_1 = s/v_0$ है।
शेष दूरी $s$ के लिए,माना कुल समय $2t$ लगता है। यह दूरी $t$ समय के लिए $v_1$ वेग से और $t$ समय के लिए $v_2$ वेग से तय की जाती है। अतः,$s = v_1 t + v_2 t = (v_1 + v_2)t$,जिससे $t = s/(v_1 + v_2)$ प्राप्त होता है।
कुल समय $T = t_1 + 2t = s/v_0 + 2s/(v_1 + v_2)$ है।
औसत वेग $v_{avg} = \text{कुल दूरी} / \text{कुल समय} = 2s / [s/v_0 + 2s/(v_1 + v_2)]$ है।
$v_{avg} = 2 / [1/v_0 + 2/(v_1 + v_2)] = 2 / [(v_1 + v_2 + 2v_0) / (v_0(v_1 + v_2))]$.
$v_{avg} = \frac{2 v_0(v_1 + v_2)}{2 v_0 + v_1 + v_2}$.

(A) यात्रा के लिए कुल समय $T = 60\,min$ है। पूरी यात्रा के लिए औसत गति $v_{avg} = 21\,m/s$ है।
तय की गई कुल दूरी $D = v_{avg} \times T = 21\,m/s \times 60\,min = 21\,m/s \times 3600\,s = 75600\,m$ है।
पहले $18\,min$ $(1080\,s)$ में $11\,m/s$ की गति से तय की गई दूरी $d_1 = 11\,m/s \times 1080\,s = 11880\,m$ है।
शेष दूरी $d_2 = D - d_1 = 75600\,m - 11880\,m = 63720\,m$ है।
शेष समय $t_2 = 42\,min = 2520\,s$ है।
शेष समय के लिए आवश्यक औसत गति $v_2 = \frac{d_2}{t_2} = \frac{63720\,m}{2520\,s} \approx 25.285\,m/s \approx 25.3\,m/s$ है।

(A) मान लीजिए कि कार बिंदु $M$ से $x$ दूरी पर राजमार्ग छोड़ती है। इसलिए,$RM = x$.
मान लीजिए कि राजमार्ग पर कार की गति $v_h = v$ है और खेत में गति $v_f = v/2$ है।
दूरी $QM$ स्थिर है। मान लीजिए $QM = L$ है। राजमार्ग पर तय की गई दूरी $QM - x = L - x$ है।
राजमार्ग पर यात्रा करने में लगा समय $t_1 = \frac{L - x}{v}$ है।
खेत में दूरी $RP = \sqrt{d^2 + x^2}$ है।
खेत में यात्रा करने में लगा समय $t_2 = \frac{\sqrt{d^2 + x^2}}{v/2} = \frac{2\sqrt{d^2 + x^2}}{v}$ है।
कुल समय $t = t_1 + t_2 = \frac{L - x}{v} + \frac{2\sqrt{d^2 + x^2}}{v}$ है।
न्यूनतम समय के लिए,$\frac{dt}{dx} = 0$ होना चाहिए।
$\frac{d}{dx} \left( \frac{L - x}{v} + \frac{2\sqrt{d^2 + x^2}}{v} \right) = 0$.
$\frac{1}{v} \left( -1 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{d^2 + x^2}} \cdot 2x \right) = 0$.
$-1 + \frac{2x}{\sqrt{d^2 + x^2}} = 0 \implies \frac{2x}{\sqrt{d^2 + x^2}} = 1$.
$4x^2 = d^2 + x^2 \implies 3x^2 = d^2 \implies x = \frac{d}{\sqrt{3}}$.

(C) माना कण द्वारा प्राप्त अधिकतम चाल $v_m$ है।
$1$. पहले भाग के लिए (त्वरण): $v_m^2 = 0 + 2a_1 l \implies a_1 = v_m^2 / (2l)$। लगा समय $t_1 = v_m / a_1 = 2l / v_m$ है।
$2$. दूसरे भाग के लिए (एकसमान गति): दूरी $2l$ है और चाल $v_m$ है। लगा समय $t_2 = 2l / v_m$ है।
$3$. तीसरे भाग के लिए (मंदन): $0 = v_m^2 - 2a_2(3l) \implies a_2 = v_m^2 / (6l)$। लगा समय $t_3 = v_m / a_2 = 6l / v_m$ है।
कुल दूरी $D = l + 2l + 3l = 6l$ है।
कुल समय $T = t_1 + t_2 + t_3 = (2l / v_m) + (2l / v_m) + (6l / v_m) = 10l / v_m$ है।
औसत चाल $v_{av} = D / T = 6l / (10l / v_m) = 0.6 v_m = (3/5) v_m$ है।
अतः,अनुपात $v_{av} / v_m = 3/5$ है।

(B) विस्थापन $x = \alpha t^3 + \beta t^2 + \gamma t + \delta$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = 3\alpha t^2 + 2\beta t + \gamma$.
$t = 0$ पर प्रारंभिक वेग $(v_i)$ $v_i = \gamma$ है।
त्वरण $a$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $a = \frac{dv}{dt} = 6\alpha t + 2\beta$.
$t = 0$ पर प्रारंभिक त्वरण $(a_i)$ $a_i = 2\beta$ है।
प्रारंभिक त्वरण और प्रारंभिक वेग का अनुपात $\frac{a_i}{v_i} = \frac{2\beta}{\gamma}$ है।
अतः,यह अनुपात केवल $\beta$ और $\gamma$ पर निर्भर करता है।

(D) दिया गया है $a = \frac{dv}{dt} = -0.5t$. प्रारंभिक वेग $v(0) = 16 \; m/s$ के साथ समाकलन करने पर:
$\int_{16}^{v} dv = \int_{0}^{t} -0.5t \; dt \implies v - 16 = -0.25t^2 \implies v(t) = 16 - 0.25t^2$.
वेग की दिशा तब बदलती है जब $v = 0$ होता है,इसलिए $16 - 0.25t^2 = 0 \implies t^2 = 64 \implies t = 8 \; s$. अतः,विकल्प $A$ सही है।
$4 \; s$ में दूरी: $S_4 = \int_{0}^{4} (16 - 0.25t^2) dt = [16t - \frac{0.25t^3}{3}]_{0}^{4} = 64 - 5.33 = 58.67 \; m \approx 59 \; m$. अतः,विकल्प $B$ सही है।
$10 \; s$ में दूरी: कण $t=8 \; s$ तक आगे बढ़ता है और $t=8 \; s$ से $t=10 \; s$ तक पीछे की ओर जाता है।
दूरी $d = \int_{0}^{8} v \; dt + |\int_{8}^{10} v \; dt|$.
$\int_{0}^{8} (16 - 0.25t^2) dt = [16t - \frac{0.25t^3}{3}]_{0}^{8} = 128 - 42.67 = 85.33 \; m$.
$\int_{8}^{10} (16 - 0.25t^2) dt = [16t - \frac{0.25t^3}{3}]_{8}^{10} = (160 - 83.33) - (128 - 42.67) = 76.67 - 85.33 = -8.66 \; m$.
कुल दूरी $= 85.33 + |-8.66| = 93.99 \; m \approx 94 \; m$. अतः,विकल्प $C$ सही है।
इसलिए,सभी कथन सही हैं।

(D) $1$. वेग को $SI$ इकाइयों में बदलें: $v = 108 \, km/h = 108 \times \frac{5}{18} = 30 \, m/s$.
$2$. पहले भाग में तय की गई दूरी (त्वरण): $d_1 = \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 5 \times 30 = 75 \, m$.
$3$. अंतिम भाग में तय की गई दूरी (मंदन): $d_3 = 45 \, m$.
$4$. मध्य भाग में तय की गई दूरी (नियत वेग): $d_2 = \text{कुल दूरी} - (d_1 + d_3) = 395 - (75 + 45) = 395 - 120 = 275 \, m$.
$5$. मध्य भाग के लिए लगा समय: $t_2 = \frac{d_2}{v} = \frac{275}{30} = 9.166 \approx 9.2 \, s$.
$6$. अंतिम भाग के लिए लगा समय: $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,$0^2 = 30^2 + 2(-a)(45) \implies 90a = 900 \implies a = 10 \, m/s^2$. समय $t_3 = \frac{v}{a} = \frac{30}{10} = 3 \, s$.
$7$. कुल समय: $T = t_1 + t_2 + t_3 = 5 + 9.2 + 3 = 17.2 \, s$.

(D) $1$. विकल्प $A$: यदि किसी कण का वेग धनात्मक है और त्वरण धनात्मक है लेकिन घट रहा है (जैसे,$a = 2 - t$),तो जब तक $a > 0$ है,वेग बढ़ता रहेगा। अतः,यह संभव है।
$2$. विकल्प $B$: एक सीधी रेखा में गति करने वाले कण पर विचार करें। यदि त्वरण का चिह्न बदलता है (जैसे,धनात्मक से ऋणात्मक) जबकि वेग अपनी दिशा बनाए रखने के लिए पर्याप्त है,तो वेग कम हो जाएगा लेकिन जरूरी नहीं कि वह तुरंत उलट जाए। अतः,यह संभव है।
$3$. विकल्प $C$: विराम अवस्था में स्थित एक पिंड $(v = 0)$ त्वरित हो सकता है यदि उस पर कोई नेट बल कार्य करे (न्यूटन का गति का दूसरा नियम,$F = ma$)। उदाहरण के लिए,गुरुत्वाकर्षण के तहत विराम से शुरू होने वाली वस्तु का त्वरण $v = 0$ होने के क्षण पर भी $g$ होता है। अतः,यह संभव है।
$4$. चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) जब एक गेंद को ऊपर फेंका जाता है और वह उसी बिंदु पर वापस आती है:
$1$. दूरी तय किए गए कुल पथ की लंबाई है,जो $2h$ है (जहाँ $h$ अधिकतम ऊँचाई है)। अतः,दूरी शून्य नहीं हो सकती। कथन $(a)$ गलत है।
$2$. विस्थापन स्थिति में परिवर्तन है। चूंकि अंतिम स्थिति प्रारंभिक स्थिति के समान है,इसलिए विस्थापन $0$ है। कथन $(b)$ सही है।
$3$. औसत वेग को $\text{कुल विस्थापन} / \text{कुल समय}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि विस्थापन $0$ है,इसलिए औसत वेग $0$ है। कथन $(c)$ सही है।
$4$. पूरी गति के दौरान,गेंद गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में होती है,इसलिए इसका त्वरण $g \approx 9.8 \ m/s^2$ नीचे की ओर स्थिर रहता है। यह शून्य नहीं है। कथन $(d)$ गलत है।
अतः,कथन $(b)$ और $(c)$ सही हैं।

(B) माना कण $P$ का त्वरण $a$ है और कण $Q$ का त्वरण $-a$ है।
माना $P$ को $B$ बिंदु पर $Q$ को ओवरटेक करने में लगा समय $t$ है।
कण $P$ के लिए,समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$30 = 15 + at \implies at = 15\,m/s$.
चूंकि दोनों कण बिंदु $A$ से एक साथ चलना शुरू करते हैं और $B$ पर मिलते हैं,इसलिए दोनों का विस्थापन $s$ समान है।
$s_P = u_P t + \frac{1}{2} a t^2$ और $s_Q = u_Q t + \frac{1}{2} (-a) t^2$.
$s_P = s_Q$ होने के कारण,$15t + \frac{1}{2} a t^2 = 20t - \frac{1}{2} a t^2$ प्राप्त होता है।
इससे $at^2 = 5t$ अर्थात $at = 5$ प्राप्त होता है।
परंतु $P$ के वेग से $at = 15$ प्राप्त होता है।
$Q$ का वेग $v_Q = u_Q + a_Q t = 20 - at = 20 - 15 = 5\,m/s$ होगा।

(A) दिया गया त्वरण $a = b - cx$ है।
हम जानते हैं कि $a = v \frac{dv}{dx}$ होता है।
अतः,$v \frac{dv}{dx} = b - cx$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int v \, dv = \int (b - cx) \, dx$।
$\frac{v^2}{2} = bx - \frac{cx^2}{2} + C$। चूँकि $x = 0$ पर $v = 0$ है,इसलिए स्थिरांक $C = 0$ है।
इस प्रकार,$v^2 = 2bx - cx^2$ है।
अगले स्टेशन $B$ पर,वेग $v = 0$ होता है।
$0 = x(2b - cx) \implies x = 2b/c$ (क्योंकि $x=0$ स्टेशन $A$ है)।
अधिकतम वेग के लिए,$\frac{dv}{dx} = 0$ होना चाहिए। $v^2 = 2bx - cx^2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2v \frac{dv}{dx} = 2b - 2cx$ प्राप्त होता है।
$\frac{dv}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $2b - 2cx = 0$ मिलता है,इसलिए $x = b/c$ है।
$x = b/c$ को $v^2$ के समीकरण में रखने पर:
$v_{\max}^2 = 2b(b/c) - c(b/c)^2 = 2b^2/c - b^2/c = b^2/c$ प्राप्त होता है।
अतः,$v_{\max} = b/\sqrt{c}$ है।

(B) गति का दिया गया समीकरण: $a = \frac{dv}{dt} = -4v + 8$ है।
त्वरण के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,$a$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{da}{dt} = \frac{d}{dt}(-4v + 8) = -4 \frac{dv}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dv}{dt} = -4v + 8$ रखने पर:
$\frac{da}{dt} = -4(-4v + 8) = 16v - 32$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,प्रारंभिक वेग $v = 0$ है,इसलिए त्वरण के परिवर्तन की प्रारंभिक दर $\left(\frac{da}{dt}\right)_{t=0} = 16(0) - 32 = -32\,m/s^3$ है। अतः,विकल्प $(a)$ गलत है।
अंतिम वेग तब प्राप्त होता है जब त्वरण शून्य हो जाता है:
$a = \frac{dv}{dt} = 0 \implies -4v + 8 = 0$.
$4v = 8 \implies v = 2\,m/s$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(A) ग्राफ से:
$t=0$ पर प्रारंभिक वेग $v_i = 10\,m/s$ है।
$t=6\,s$ पर अंतिम वेग $v_f = 0\,m/s$ है।
$(A)$ वेग में परिवर्तन $\Delta v = v_f - v_i = 0 - 10 = -10\,m/s$। अतः,$(A \rightarrow r)$।
$(B)$ औसत त्वरण $a_{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-10}{6} = -5/3\,m/s^2$। अतः,$(B \rightarrow p)$।
$(C)$ कुल विस्थापन $v-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल (0 से 2)} + \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल (2 से 6)}$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 2 \times 10 + \frac{1}{2} \times 4 \times (-5) = 10 - 10 = 0\,m$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही मिलान $(A \rightarrow r, B \rightarrow p, C \rightarrow r, D \rightarrow s)$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $s(t) = 10 + 20t - 5t^2$.
$(A)$ $3\,s$ में तय की गई दूरी: $t=0$ पर,$s(0) = 10$. $t=2\,s$ (मोड़ बिंदु) पर,$v = ds/dt = 20 - 10t = 0 \implies t=2\,s$. $s(2) = 10 + 20(2) - 5(4) = 30$. $t=3\,s$ पर,$s(3) = 10 + 20(3) - 5(9) = 25$. दूरी = $|s(2)-s(0)| + |s(3)-s(2)| = |30-10| + |25-30| = 20 + 5 = 25$ इकाई। अतः,$(A \rightarrow r)$.
$(B)$ $1\,s$ में विस्थापन: $s(1) - s(0) = (10 + 20(1) - 5(1)^2) - 10 = 25 - 10 = 15$ इकाई। अतः,$(B \rightarrow q)$.
$(C)$ प्रारंभिक त्वरण: $v = ds/dt = 20 - 10t$. त्वरण $a = dv/dt = -10$ इकाई। अतः,$(C \rightarrow s)$.
$(D)$ $4\,s$ पर वेग: $v(4) = 20 - 10(4) = 20 - 40 = -20$ इकाई। अतः,$(D \rightarrow p)$.
सही मिलान: $(A \rightarrow r, B \rightarrow q, C \rightarrow s, D \rightarrow p)$.

(D) $Assertion$ गलत है क्योंकि नियत त्वरण वाला पिंड हमेशा सीधी रेखा में गति करे यह आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,प्रक्षेप्य गति में,गुरुत्वीय त्वरण नियत होता है,लेकिन पथ परवलयाकार होता है।
$Reason$ सही है क्योंकि नियत त्वरण वाले पिंड की गति नहीं भी बढ़ सकती है। उदाहरण के लिए,एकसमान वृत्तीय गति में,अभिकेंद्र त्वरण का परिमाण नियत होता है,लेकिन पिंड की चाल स्थिर रहती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) आकृति से,$O$ की स्थिति $0\; m$,$P$ की स्थिति $360\; m$ और $Q$ की स्थिति $240\; m$ है।
कुल विस्थापन = अंतिम स्थिति - प्रारंभिक स्थिति = $240\; m - 0\; m = 240\; m$.
कुल समय = $18\; s + 6.0\; s = 24\; s$.
औसत वेग = $\frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{240\; m}{24\; s} = 10\; m s^{-1}$.
कुल पथ की लंबाई = दूरी $OP$ + दूरी $PQ = 360\; m + (360\; m - 240\; m) = 360\; m + 120\; m = 480\; m$.
औसत चाल = $\frac{\text{कुल पथ की लंबाई}}{\text{कुल समय}} = \frac{480\; m}{24\; s} = 20\; m s^{-1}$.

(B) $1$ कदम में तय की गई दूरी $= 1\; m$.
$1$ कदम में लगा समय $= 1\; s$.
$5\; m$ आगे बढ़ने में लगा समय $= 5\; s$.
$3\; m$ पीछे हटने में लगा समय $= 3\; s$.
एक चक्र में तय की गई कुल दूरी $= 5 - 3 = 2\; m$.
एक चक्र में लगा कुल समय $= 5 + 3 = 8\; s$.
$13\; m$ दूर स्थित गड्ढे तक पहुँचने के लिए,शराबी को पहले $8\; m$ तक पहुँचना होगा,क्योंकि अगले $5\; m$ की आगे की गति में वह $8 + 5 = 13\; m$ पर पहुँचकर गड्ढे में गिर जाएगा।
$8\; m$ की दूरी तय करने में लगा समय ($4$ चक्र) $= 4 \times 8\; s = 32\; s$.
$32\; s$ के बाद,शराबी $8\; m$ पर है। अगले $5\; s$ में,वह $5$ कदम आगे बढ़कर $8 + 5 = 13\; m$ पर पहुँच जाएगा।
कुल लगा समय $= 32\; s + 5\; s = 37\; s$.

(A) सत्य। जब किसी वस्तु को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो अधिकतम ऊँचाई पर उसकी चाल शून्य हो जाती है। हालाँकि,उस पर नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ अभी भी मौजूद रहता है।
$(b)$ असत्य। चाल वेग का परिमाण है। यदि चाल शून्य है,तो वेग का परिमाण शून्य है,जिसका अर्थ है कि वेग स्वयं शून्य है।
$(c)$ असत्य। नियत चाल का अर्थ नियत वेग नहीं है क्योंकि गति की दिशा बदल सकती है। उदाहरण के लिए,एकसमान वृत्तीय गति में चाल नियत रहती है,लेकिन दिशा बदलने के कारण वेग बदलता है,जिससे अभिकेंद्र त्वरण शून्य नहीं होता है।
$(d)$ असत्य। यदि त्वरण धनात्मक है लेकिन वेग ऋणात्मक है (जैसे कि कोई वस्तु ऋणात्मक दिशा में गति कर रही हो और धनात्मक बल द्वारा मंदित हो रही हो),तो वस्तु की चाल कम हो रही होती है। चाल केवल तभी बढ़ती है जब वेग और त्वरण दोनों एक ही दिशा में हों।

(C) बाजार तक पहुँचने में लगा समय: $t_1 = \frac{2.5 \; km}{5 \; km \; h^{-1}} = 0.5 \; h = 30 \; min$.
घर वापस आने में लगा समय: $t_2 = \frac{2.5 \; km}{7.5 \; km \; h^{-1}} = \frac{1}{3} \; h = 20 \; min$.
$40 \; min$ में तय की गई कुल दूरी:
पहले $30 \; min$ में,व्यक्ति बाजार तक पहुँचने के लिए $2.5 \; km$ चलता है।
शेष $10 \; min$ $(= \frac{1}{6} \; h)$ में,वह $7.5 \; km \; h^{-1}$ की चाल से वापस आता है।
वापस आते समय तय की गई दूरी: $d_2 = 7.5 \; km \; h^{-1} \times \frac{1}{6} \; h = 1.25 \; km$.
कुल दूरी = $2.5 \; km + 1.25 \; km = 3.75 \; km$.
औसत चाल = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{3.75 \; km}{40/60 \; h} = \frac{3.75}{2/3} \; km \; h^{-1} = 5.625 \; km \; h^{-1}$.

(ALL OF THE ABOVE) में दिखाया गया $x-t$ ग्राफ कण की एक-विमीय गति का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक कण समय के एक ही क्षण पर दो स्थितियों में नहीं हो सकता है।
$(b)$ में दिखाया गया $v-t$ ग्राफ कण की एक-विमीय गति का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक कण समय के एक ही क्षण पर वेग के दो मान कभी नहीं रख सकता है।
$(c)$ में दिखाया गया चाल-समय ग्राफ कण की एक-विमीय गति का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि चाल एक अदिश राशि है और यह कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
$(d)$ में दिखाया गया कुल पथ लंबाई-समय ग्राफ कण की एक-विमीय गति का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि कण द्वारा तय की गई कुल पथ लंबाई (दूरी) समय के साथ कभी भी घट नहीं सकती है।

(N/A) विस्थापन को किसी वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की न्यूनतम दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि साइकिल चालक $O$ से शुरू करता है और पूरी यात्रा के बाद $O$ पर वापस आ जाता है,इसलिए प्रारंभिक और अंतिम स्थितियाँ समान हैं। अतः,कुल विस्थापन $0 \; km$ है।
$(b)$ औसत वेग को कुल विस्थापन और कुल लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\text{औसत वेग} = \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}}$
चूंकि कुल विस्थापन $0$ है,इसलिए औसत वेग $0 \; km/h$ होगा।
$(c)$ औसत चाल को कुल तय की गई दूरी और कुल लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\text{औसत चाल} = \frac{\text{कुल तय की गई दूरी}}{\text{कुल समय}}$
कुल तय की गई दूरी $OP$,$PQ$ (चाप की लंबाई),और $QO$ की दूरियों का योग है:
$OP = 1 \; km$
$PQ = \frac{1}{4} \times (2 \pi r) = \frac{1}{4} \times 2 \times \pi \times 1 = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \; km$
$QO = 1 \; km$
$\text{कुल तय की गई दूरी} = 1 + 1.57 + 1 = 3.57 \; km$
$\text{कुल समय} = 10 \; min = \frac{10}{60} \; h = \frac{1}{6} \; h$
$\text{औसत चाल} = \frac{3.57}{1/6} = 3.57 \times 6 = 21.42 \; km/h$

(A) कुल तय की गई दूरी $= 23 \;km$.
कुल लगा समय $= 28 \;min = \frac{28}{60} \;h$.
$\therefore$ टैक्सी की औसत चाल $= \frac{\text{कुल तय की गई दूरी}}{\text{कुल लगा समय}} = \frac{23}{(28/60)} \approx 49.29 \;km/h$.
$(b)$ विस्थापन $= 10 \;km$ (स्टेशन और होटल के बीच की सीधी दूरी)।
$\therefore$ औसत वेग $= \frac{\text{विस्थापन}}{\text{कुल लगा समय}} = \frac{10}{(28/60)} \approx 21.43 \;km/h$.
चूँकि कुल तय की गई दूरी विस्थापन के परिमाण से अधिक है,इसलिए औसत चाल और औसत वेग बराबर नहीं हैं।