Uniformly Accelerated Motion Questions in Hindi

(D) दिया गया वेग $v = k\sqrt{x}$ है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a = v \frac{dv}{dx}$ होता है।
सबसे पहले,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $\frac{dv}{dx}$ ज्ञात करें: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(k x^{1/2}) = k \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{k}{2\sqrt{x}}$.
अब,त्वरण के सूत्र में $v$ और $\frac{dv}{dx}$ का मान रखें: $a = (k\sqrt{x}) \cdot \left(\frac{k}{2\sqrt{x}}\right)$.
इसे सरल करने पर,हमें $a = \frac{k^2}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $k$ एक नियतांक है,इसलिए $a$ भी एक नियतांक है।

(B) सही उत्तर $B$ है।
एकसमान त्वरित गति के लिए,गति का समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ है,जहाँ $v$ अंतिम वेग है,$u$ प्रारंभिक वेग है,$a$ त्वरण है,और $s$ विस्थापन है।
इसकी तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = v^2$,$x = s$,$m = 2a$ (ढाल) और $c = u^2$ ($v^2$ अक्ष पर अंतःखंड) है।
चूंकि ग्राफ एक सीधी रेखा है,यह एकसमान त्वरित गति को दर्शाता है। इसलिए कथन $A$ सही है।
चूंकि ग्राफ $v^2$ अक्ष पर एक गैर-शून्य अंतःखंड रखता है,$u^2 \neq 0$,जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक वेग $u \neq 0$ है। इसलिए,कथन $B$ गलत है।
एकसमान त्वरित गति के लिए,$s = ut + \frac{1}{2}at^2$,जो $t$ में एक द्विघात समीकरण है,जो $s-t$ ग्राफ में एक परवलय को दर्शाता है। इसलिए कथन $C$ सही है।
चूंकि कथन $B$ गलत है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(D) गति के तीसरे समीकरण से,हमारे पास $v^2 = u^2 + 2as$ है,जिसे $v^2 = 2as + u^2$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = v^2$ और $x = s$ है,ग्राफ का ढाल (slope) $m = 2a$ है।
दिए गए ग्राफ से,$s = 0$ पर $v^2$ का प्रारंभिक मान $25 \, m^2/s^2$ है,और $s = 2 \, m$ पर,$v^2$ का मान $9 \, m^2/s^2$ है।
रेखा का ढाल इस प्रकार गणना की जाती है:
$\text{ढाल} = \frac{v_2^2 - v_1^2}{s_2 - s_1} = \frac{9 - 25}{2 - 0} = \frac{-16}{2} = -8 \, m/s^2$.
चूंकि ढाल $2a$ के बराबर है,इसलिए हमारे पास है:
$2a = -8 \, m/s^2$
$a = -4 \, m/s^2$.
अतः,कण का त्वरण $-4 \, m/s^2$ है।

(A) दिया गया है कि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,हमें $v = 0 + an$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = \frac{v}{n}$।
$n \ s$ में कुल विस्थापन $S_n = \frac{1}{2}an^2$ है।
पहले $(n-3) \ s$ में विस्थापन $S_{n-3} = \frac{1}{2}a(n-3)^2$ है।
अंतिम $3 \ s$ में विस्थापन $\Delta S = S_n - S_{n-3}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\Delta S = \frac{1}{2}a[n^2 - (n-3)^2]$।
पद का विस्तार करने पर: $\Delta S = \frac{1}{2}a[n^2 - (n^2 - 6n + 9)] = \frac{1}{2}a(6n - 9)$।
$a = \frac{v}{n}$ रखने पर: $\Delta S = \frac{1}{2} \cdot \frac{v}{n} \cdot (6n - 9) = \frac{v(6n - 9)}{2n}$।

(D) वेग $v$ विस्थापन $s$ के साथ रैखिक रूप से घटता है। एक सीधी रेखा का समीकरण $v = ms + c$ है।
$s=0$ पर,$v=20 \ m/s$,इसलिए $c=20$ है।
$s=30 \ m$ पर,$v=0$,इसलिए $0 = m(30) + 20$,जिससे $m = -20/30 = -2/3$ प्राप्त होता है।
अतः,वेग फलन $v = -\frac{2}{3}s + 20$ है।
त्वरण $a$ को $a = v \frac{dv}{ds}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$\frac{dv}{ds} = \frac{d}{ds}(-\frac{2}{3}s + 20) = -\frac{2}{3}$ ज्ञात करें।
$s=15 \ m$ पर,वेग $v = -\frac{2}{3}(15) + 20 = -10 + 20 = 10 \ m/s$ है।
इसलिए,त्वरण $a = (10)(-\frac{2}{3}) = -\frac{20}{3} \ m/s^2$ होगा।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 20 \; km/h$,अंतिम वेग $v = 60 \; km/h$,और समय $t = 4 \; h$ है।
सबसे पहले,हम $v = u + at$ समीकरण का उपयोग करके त्वरण $a$ की गणना करते हैं:
$60 = 20 + (a \times 4)$
$40 = 4a$
$a = 10 \; km/h^2$।
अब,हम $d = ut + \frac{1}{2}at^2$ समीकरण का उपयोग करके दूरी $d$ की गणना करते हैं:
$d = (20 \times 4) + \frac{1}{2} \times 10 \times (4)^2$
$d = 80 + 5 \times 16$
$d = 80 + 80 = 160 \; km$।

(C) विस्थापन $x = at + bt^2 - ct^3$ द्वारा दिया गया है।
वेग $(v)$ समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{dx}{dt} = a + 2bt - 3ct^2$.
त्वरण $(a_{acc})$ समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = 2b - 6ct$.
त्वरण को शून्य रखने पर: $2b - 6ct = 0 \implies t = \frac{2b}{6c} = \frac{b}{3c}$.
अब,$t = \frac{b}{3c}$ का मान वेग के समीकरण में रखने पर:
$v = a + 2b(\frac{b}{3c}) - 3c(\frac{b}{3c})^2$
$v = a + \frac{2b^2}{3c} - 3c(\frac{b^2}{9c^2})$
$v = a + \frac{2b^2}{3c} - \frac{b^2}{3c}$
$v = a + \frac{b^2}{3c}$.

(B) दो कणों के बीच की दूरी $s = s_1 - s_2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $s_1 = ut$ और $s_2 = \frac{1}{2}ft^2$ है।
$s = ut - \frac{1}{2}ft^2$.
अधिकतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{ds}{dt} = u - ft = 0 \implies t = \frac{u}{f}$.
इस समय $t = \frac{u}{f}$ पर,दूसरे कण का वेग पहले कण के वेग के बराबर हो जाता है।
$t = \frac{u}{f}$ को $s$ के व्यंजक में रखने पर:
$s_{\max} = u(\frac{u}{f}) - \frac{1}{2}f(\frac{u}{f})^2$
$s_{\max} = \frac{u^2}{f} - \frac{u^2}{2f} = \frac{u^2}{2f}$.

(A) समान त्वरण के साथ गति करने वाले कण की स्थिति $x(t) = ut + \frac{1}{2}at^2$ समीकरण द्वारा दी जाती है।
$t=2\,s$ पर कण $A$ के लिए:
$x_A = (10)(2) + \frac{1}{2}(-4)(2)^2 = 20 - 8 = 12\,m$.
$t=2\,s$ पर कण $B$ के लिए:
$x_B = (20)(2) + \frac{1}{2}(-2)(2)^2 = 40 - 4 = 36\,m$.
दोनों कणों के बीच की दूरी $|x_B - x_A| = |36 - 12| = 24\,m$ है।

(C) दिए गए संबंध $u^2 = kr$ से,हमारे पास $u = \sqrt{k} \cdot r^{1/2}$ है।
चूंकि $u = \frac{dr}{dt}$,हम लिख सकते हैं $\frac{dr}{dt} = \sqrt{k} \cdot r^{1/2}$।
चरों को अलग करने पर,$r^{-1/2} \, dr = \sqrt{k} \, dt$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर $r = 0$ की प्रारंभिक स्थिति के साथ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int_{0}^{r} r^{-1/2} \, dr = \int_{0}^{t} \sqrt{k} \, dt$।
यह $[2r^{1/2}]_{0}^{r} = \sqrt{k} \cdot t$ देता है,अर्थात $2\sqrt{r} = \sqrt{k} \cdot t$,जिसका अर्थ है $\sqrt{r} = \frac{\sqrt{k}}{2} t$।
वेग समीकरण $u = \sqrt{k} \cdot \sqrt{r}$ में $\sqrt{r}$ का मान रखने पर:
$u = \sqrt{k} \cdot (\frac{\sqrt{k}}{2} t) = \frac{k}{2} t$।
$t = 1 \, s$ पर,वेग $u = \frac{k}{2} (1) = \frac{k}{2}$ होगा।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1\,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 60\,ms^{-1}$,बल $F = -10\,N$ ($O$ की दिशा में,गति के विपरीत)।
त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{-10}{1} = -10\,ms^{-2}$।
बिंदु $O$ पर वापस आने में लगा समय ज्ञात करने के लिए,विस्थापन $s$ शून्य होना चाहिए।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$0 = 60t + \frac{1}{2}(-10)t^2$
$0 = 60t - 5t^2$
$5t^2 = 60t$
चूंकि $t \neq 0$,$5t$ से विभाजित करने पर:
$t = \frac{60}{5} = 12\,s$।
अतः,पिंड $12\,s$ में पुनः $O$ को पार करेगा।

(A) माना प्रारंभिक वेग $u = 10\,m/s$ है और त्वरण $a$ है। जब वेग $v_1 = 50\,m/s$ हो जाता है,तो विस्थापन $s$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
$(50)^2 = (10)^2 + 2as$
$2500 = 100 + 2as$
$2as = 2400$
अब,त्वरण को उलट दिया जाता है,इसलिए नया त्वरण $-a$ है। कण उस बिंदु से जहाँ $v = 50\,m/s$ है,वापस प्रारंभिक बिंदु तक यात्रा करता है,जो $-s$ का विस्थापन तय करता है।
गति के समीकरण $v_f^2 = v_i^2 + 2a's'$ का उपयोग करने पर:
$v_f^2 = (50)^2 + 2(-a)(-s)$
$v_f^2 = 2500 + 2as$
समीकरण में $2as = 2400$ रखने पर:
$v_f^2 = 2500 + 2400 = 4900$
$v_f = \sqrt{4900} = 70\,m/s$.

(D) दिया गया है कि दूरी $s$,$t^{1/2}$ के आनुपातिक है,इसलिए हम लिख सकते हैं $s = k t^{1/2}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(k t^{1/2}) = \frac{1}{2} k t^{-1/2}$.
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष विस्थापन का द्वितीय अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2} k t^{-1/2}) = -\frac{1}{4} k t^{-3/2}$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि त्वरण गति की विपरीत दिशा में है,जो मंदन (deceleration) को दर्शाता है।
जैसे-जैसे समय $t$ बढ़ता है,त्वरण का परिमाण $|a| = \frac{k}{4 t^{3/2}}$ घटता जाता है।
अतः,गति घटते हुए मंदन की है।

(B) माना $t_1$ त्वरण का समय है और $t_2$ मंदन का समय है। प्राप्त अधिकतम वेग $v = a t_1$ है।
लिफ्ट अंत में रुक जाती है,इसलिए $v = (2a) t_2$। अतः,$a t_1 = 2a t_2$,जिसका अर्थ है $t_1 = 2 t_2$।
कुल समय $t = t_1 + t_2$ दिया गया है,इसलिए $t = 2 t_2 + t_2 = 3 t_2$। अतः,$t_2 = \frac{t}{3}$ और $t_1 = \frac{2t}{3}$।
कुल ऊँचाई $h$ त्वरण और मंदन के दौरान तय की गई दूरियों का योग है:
$h = \frac{1}{2} a t_1^2 + (v t_2 - \frac{1}{2} (2a) t_2^2)$
$v = a t_1 = 2a t_2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$h = \frac{1}{2} a (2 t_2)^2 + (2a t_2 \cdot t_2 - a t_2^2) = 2 a t_2^2 + a t_2^2 = 3 a t_2^2$।
$t_2 = \frac{t}{3}$ रखने पर:
$h = 3 a (\frac{t}{3})^2 = 3 a (\frac{t^2}{9}) = \frac{a t^2}{3}$।

(B) मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $x=0$ है। कण विरामावस्था $(u=0)$ से $a$ त्वरण के साथ $t_0$ समय तक गति करता है।
$t=t_0$ पर,विस्थापन $s_1 = \frac{1}{2} a t_0^2$ और वेग $v_1 = a t_0$ है।
$t_0$ के बाद,त्वरण $-a$ हो जाता है। मान लीजिए कण कुल $T = t_0 + t$ समय पर प्रारंभिक स्थिति $(x=0)$ पर वापस आता है,जहाँ $t$ त्वरण बदलने के बाद का समय है।
दूसरे चरण के लिए विस्थापन समीकरण $s = u t + \frac{1}{2} a t^2$ है। यहाँ,प्रारंभिक वेग $v_1 = a t_0$ और त्वरण $-a$ है। हम चाहते हैं कि शुरुआत से कुल विस्थापन शून्य हो,इसलिए दूसरे चरण में विस्थापन $-s_1 = -\frac{1}{2} a t_0^2$ होना चाहिए।
अतः,$-\frac{1}{2} a t_0^2 = (a t_0) t - \frac{1}{2} a t^2$.
$-\frac{1}{2} a$ से विभाजित करने पर,हमें $t_0^2 = -2 t_0 t + t^2$ प्राप्त होता है,जिसे $t^2 - 2 t_0 t - t_0^2 = 0$ के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है।
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$t = \frac{2 t_0 \pm \sqrt{4 t_0^2 + 4 t_0^2}}{2} = t_0 \pm \sqrt{2} t_0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $t > 0$,हम $t = (1 + \sqrt{2}) t_0$ लेते हैं।
कुल समय $T = t_0 + t = t_0 + (1 + \sqrt{2}) t_0 = (2 + \sqrt{2}) t_0$ है।

(B) कण का विस्थापन $s = t^3 - 6t^2 + 3t + 4$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 12t + 3$.
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = 6t - 12$.
वह समय ज्ञात करने के लिए जब त्वरण शून्य हो,$a = 0$ रखें: $6t - 12 = 0 \implies t = 2 \ s$.
अब,वेग समीकरण में $t = 2 \ s$ रखने पर: $v = 3(2)^2 - 12(2) + 3 = 3(4) - 24 + 3 = 12 - 24 + 3 = -9 \ m/s$.

(B) माना कण का त्वरण $x$ है और प्रारंभिक वेग $u=0$ है।
पहले $p$ समय अंतराल के लिए,तय की गई दूरी $a = \frac{1}{2} x p^2$ है।
कुल $(p+q)$ समय के लिए,तय की गई कुल दूरी $a+b = \frac{1}{2} x (p+q)^2$ है।
अब,$b$ दूरी $(p+q)$ समय में तय की गई कुल दूरी और $p$ समय में तय की गई दूरी का अंतर है।
$b = (a+b) - a = \frac{1}{2} x (p+q)^2 - \frac{1}{2} x p^2$.
$b = \frac{1}{2} x [ (p^2 + 2pq + q^2) - p^2 ] = \frac{1}{2} x (2pq + q^2)$.
$b = \frac{1}{2} x q (2p + q)$.
अतः,$x = \frac{2b}{q(2p+q)}$।

(A) ग्राउंड फ्लोर मूल बिंदु $(x = 0)$ है और ऊपर की दिशा धनात्मक है। चूंकि लिफ्ट ग्राउंड फ्लोर और $8$ वीं मंजिल के बीच है,इसलिए इसकी स्थिति $x$ धनात्मक है $(x > 0)$।
चूंकि लिफ्ट नीचे की ओर गति कर रही है,इसका वेग $v$ ऋणात्मक दिशा में है,इसलिए $v < 0$ है।
चूंकि लिफ्ट $4$ थी मंजिल पर रुकने वाली है,इसलिए यह मंदन (retardation) कर रही है। नीचे की ओर गति करने वाली वस्तु के लिए,मंदन का अर्थ है कि त्वरण $a$ वेग की विपरीत दिशा में,यानी ऊपर की (धनात्मक) दिशा में होना चाहिए। इसलिए,$a > 0$ है।
अतः,सही संकेत $x > 0, v < 0, a > 0$ हैं।

(D) दिया गया है $x^{2} = at^{2} + 2bt + c$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dt} = 2at + 2b$
$x v = at + b$,जहाँ $v = \frac{dx}{dt}$.
पुनः समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$v \frac{dx}{dt} + x \frac{dv}{dt} = a$
$v^{2} + x a' = a$,जहाँ $a' = \frac{dv}{dt}$ त्वरण है।
$x v = at + b$ से,$v = \frac{at+b}{x}$ प्राप्त होता है।
$v$ का मान समीकरण में रखने पर:
$x a' = a - v^{2} = a - \left(\frac{at+b}{x}\right)^{2}$
$x a' = \frac{ax^{2} - (at+b)^{2}}{x^{2}}$
$x^{2} = at^{2} + 2bt + c$ रखने पर:
$x a' = \frac{a(at^{2} + 2bt + c) - (a^{2}t^{2} + 2abt + b^{2})}{x^{2}}$
$x a' = \frac{a^{2}t^{2} + 2abt + ac - a^{2}t^{2} - 2abt - b^{2}}{x^{2}}$
$x a' = \frac{ac - b^{2}}{x^{2}}$
$a' = \frac{ac - b^{2}}{x^{3}}$
अतः,$a' \propto x^{-3}$. $x^{-n}$ से तुलना करने पर,$n = 3$ प्राप्त होता है।

(N/A) परिभाषा के अनुसार,त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $dv = a dt$ प्राप्त होता है।
समय $t=0$ पर प्रारंभिक वेग $v_0$ से समय $t$ पर वेग $v$ तक दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{v_0}^{v} dv = \int_{0}^{t} a dt = a \int_{0}^{t} dt$
$v - v_0 = at \implies v = v_0 + at$.
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $dx = v dt = (v_0 + at) dt$ है।
समय $t=0$ पर स्थिति $x_0$ से समय $t$ पर स्थिति $x$ तक दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{x_0}^{x} dx = \int_{0}^{t} (v_0 + at) dt$
$x - x_0 = v_0 t + \frac{1}{2} at^2 \implies x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} at^2$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$।
अतः,$v dv = a dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $v_0$ से $v$ और $x_0$ से $x$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{v_0}^{v} v dv = \int_{x_0}^{x} a dx$
$\frac{v^2 - v_0^2}{2} = a(x - x_0)$
$v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$.

(N/A) माना वाहन के रुकने से पहले तय की गई दूरी $d_{s}$ है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^{2} = v_{0}^{2} + 2ax$,जहाँ $v$ अंतिम वेग है,$v_{0}$ प्रारंभिक वेग है,$a$ त्वरण है (जो इस स्थिति में ऋणात्मक है,अर्थात $-a$),और $x$ विस्थापन है।
जिस बिंदु पर वाहन रुकता है,वहां अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $0^{2} = v_{0}^{2} + 2(-a)d_{s}$।
$d_{s}$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$2ad_{s} = v_{0}^{2}$
$d_{s} = \frac{v_{0}^{2}}{2a}$।
अतः,रुकने की दूरी प्रारंभिक वेग के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है $(d_{s} \propto v_{0}^{2})$।

(D) सबसे पहले,प्रारंभिक वेग को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
$u = 126 \times \frac{5}{18} = 35 \; m/s$.
चूंकि कार रुक जाती है,इसलिए अंतिम वेग $v = 0 \; m/s$ और तय की गई दूरी $s = 200 \; m$ है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 - u^2 = 2as$:
$0^2 - (35)^2 = 2 \times a \times 200$.
$-1225 = 400a$.
$a = -3.0625 \; m/s^2$.
अब,समय $t$ ज्ञात करने के लिए गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करें:
$0 = 35 + (-3.0625)t$.
$t = \frac{35}{3.0625} \approx 11.4 \; s$.

(B) सबसे पहले,प्रारंभिक वेग को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
$u = 126 \; km/h = 126 \times \frac{5}{18} \; m/s = 35 \; m/s$.
चूंकि कार रुक जाती है,इसलिए अंतिम वेग $v = 0 \; m/s$.
तय की गई दूरी $s = 200 \; m$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 - u^2 = 2as$.
मान रखने पर: $0^2 - (35)^2 = 2 \times a \times 200$.
$-1225 = 400a$.
$a = -\frac{1225}{400} = -3.0625 \; m/s^2$.
मंदन ऋणात्मक त्वरण का परिमाण है,जो $3.0625 \; m/s^2$ है।

(A) आलेख एक सीधी रेखा है।
$n^{\text{th}}$ सेकंड में किसी पिंड द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है:
$D_{n} = u + \frac{a}{2}(2n - 1) \quad \dots(i)$
जहाँ:
$u = \text{प्रारंभिक वेग}$
$a = \text{त्वरण}$
$n = \text{सेकंड में समय अंतराल}$
दिए गए मामले में,$u = 0$ और $a = 1\; m/s^{2}$ है। इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$D_{n} = 0 + \frac{1}{2}(2n - 1) = n - 0.5$
यह संबंध $D_{n} = n - 0.5$ दर्शाता है कि $D_{n}$,$n$ का एक रैखिक फलन है। इसलिए,$D_{n}$ बनाम $n$ का आलेख एक सीधी रेखा है।
$n$ के $1$ से $10$ तक के विभिन्न मान रखने पर:

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$D_{n}$	$0.5$	$1.5$	$2.5$	$3.5$	$4.5$	$5.5$	$6.5$	$7.5$	$8.5$	$9.5$

चूंकि तिपहिया वाहन $10\; s$ के बाद एकसमान वेग से चलता है,इसलिए त्वरण शून्य हो जाता है। $n > 10$ के लिए,प्रत्येक क्रमिक सेकंड में तय की गई दूरी स्थिर रहती है,इसलिए आलेख $n$-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा बन जाता है।

(C) यदि समय के समान अंतरालों में वेग में कमी समान है,तो त्वरण $a$ स्थिर और ऋणात्मक $(a < 0)$ होता है।
चूंकि $v = u + at$,वेग समय के साथ रैखिक रूप से घटता है।
स्थिति $x$ को गति के समीकरण $x(t) = ut + \frac{1}{2}at^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $a$ ऋणात्मक है,इसलिए $x-t$ ग्राफ नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय होता है।
यह एक समान मंदन (retardation) से गतिमान कण को दर्शाता है।

(A) औसत वेग को कुल विस्थापन और कुल समय अंतराल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,$v_{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$.
तात्क्षणिक वेग को समय के किसी विशिष्ट क्षण पर वेग के रूप में परिभाषित किया जाता है,$v = \frac{dx}{dt}$.
यदि किसी वस्तु का वेग समय अंतराल के दौरान स्थिर रहता है,तो स्थिति में परिवर्तन की दर स्थिर रहती है।
इस स्थिति में,$\Delta t$ समय में विस्थापन $\Delta x = v \cdot \Delta t$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$v_{avg} = \frac{v \cdot \Delta t}{\Delta t} = v$.
यह स्थिति दर्शाती है कि वेग समय के साथ नहीं बदलता है,जो कि एकसमान गति की परिभाषा है।

(N/A) समान त्वरण के साथ गति के लिए वेग-समय $(v-t)$ ग्राफ निम्नलिखित हैं:
$(a)$ एक वस्तु धनात्मक दिशा में धनात्मक त्वरण के साथ गति कर रही है।
$(b)$ एक वस्तु धनात्मक दिशा में ऋणात्मक त्वरण (मंदन) के साथ गति कर रही है।
$(c)$ एक वस्तु ऋणात्मक दिशा में ऋणात्मक त्वरण के साथ गति कर रही है।
$(d)$ एक वस्तु $t_{1}$ समय तक धनात्मक दिशा में गति करती है और फिर वापस मुड़कर उसी ऋणात्मक त्वरण के साथ गति करती है।
किसी भी गतिमान वस्तु के लिए वेग-समय ग्राफ की एक दिलचस्प विशेषता यह है कि वक्र के नीचे का क्षेत्रफल एक निश्चित समयांतराल में विस्थापन को दर्शाता है।

(C) स्थिर ऋणात्मक त्वरण $(a < 0)$ के साथ गति के लिए,स्थिति-समय समीकरण शुद्धगतिकी के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $x(t) = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$।
चूंकि त्वरण $a$ ऋणात्मक है,इसलिए $t^2$ पद का गुणांक ऋणात्मक है।
यह समीकरण $t$ में एक द्विघात फलन का प्रतिनिधित्व करता है,जो ग्राफीय रूप से एक परवलय के अनुरूप है।
चूंकि $t^2$ का गुणांक ऋणात्मक है,इसलिए परवलय नीचे की ओर खुलता है।
अतः,ऋणात्मक त्वरण के लिए $x-t$ ग्राफ नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है।

(N/A) मान लीजिए $t=0$ पर कण का वेग $v_{0}$ है और समय $t$ पर वेग $v$ है।
$1$. गति का प्रथम समीकरण $(v = v_{0} + at)$:
त्वरण $a$,वेग-समय ग्राफ की रेखा $AB$ का ढाल है।
$a = \text{ढाल} = \frac{v - v_{0}}{t - 0} = \frac{v - v_{0}}{t}$
$\therefore v = v_{0} + at$.
$2$. गति का द्वितीय समीकरण $(x = v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2})$:
विस्थापन $x$,$v-t$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल (समलंब चतुर्भुज $OABD$) है।
$x = \text{आयत } OACD \text{ का क्षेत्रफल} + \Delta ACB \text{ का क्षेत्रफल}$
$x = (v_{0} \times t) + \frac{1}{2} \times (t) \times (v - v_{0})$
चूंकि $(v - v_{0}) = at$,हमें प्राप्त होता है:
$x = v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}$.
$3$. गति का तृतीय समीकरण $(v^{2} - v_{0}^{2} = 2ax)$:
विस्थापन $x$,समलंब चतुर्भुज $OABD$ का क्षेत्रफल है।
$x = \frac{1}{2} \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$
$x = \frac{1}{2} (v_{0} + v) \times t$
चूंकि $t = \frac{v - v_{0}}{a}$,$t$ का मान रखने पर:
$x = \frac{1}{2} (v + v_{0}) \times \frac{(v - v_{0})}{a}$
$2ax = v^{2} - v_{0}^{2}$
$\therefore v^{2} = v_{0}^{2} + 2ax$.

(A) $n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $n$ सेकंड में तय की गई कुल दूरी और $(n-1)$ सेकंड में तय की गई कुल दूरी के बीच का अंतर है।
गति के समीकरण $s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ का उपयोग करते हुए:
$d_n = s_n - s_{n-1}$
$d_n = (v_0 n + \frac{1}{2} a n^2) - [v_0 (n-1) + \frac{1}{2} a (n-1)^2]$
$d_n = v_0 n + \frac{1}{2} a n^2 - [v_0 n - v_0 + \frac{1}{2} a (n^2 - 2n + 1)]$
$d_n = v_0 n + \frac{1}{2} a n^2 - v_0 n + v_0 - \frac{1}{2} a n^2 + a n - \frac{1}{2} a$
$d_n = v_0 + a n - \frac{1}{2} a$
$d_n = v_0 + \frac{a}{2} (2n - 1)$

(N/A) जब किसी गतिशील वाहन पर ब्रेक लगाया जाता है,तो रुकने से पहले उसके द्वारा तय की गई दूरी को स्टॉपिंग डिस्टेंस कहा जाता है।
मान लीजिए कि गतिशील वाहन का प्रारंभिक वेग $v_{0}$ है। ब्रेक लगाने के बाद मंदन (retardation) $-a$ है।
माना तय की गई दूरी $d_{s}$ (स्टॉपिंग डिस्टेंस) है और अंतिम वेग $v = 0$ है।
गति के समीकरण $v^{2} - v_{0}^{2} = 2as$ का उपयोग करने पर:
$0 - v_{0}^{2} = 2(-a)(d_{s})$
$v_{0}^{2} = 2ad_{s}$
$d_{s} = \frac{v_{0}^{2}}{2a}$
यहाँ,$a$ मंदन का मान है,जो स्थिर है।
इस प्रकार,स्टॉपिंग डिस्टेंस प्रारंभिक वेग के वर्ग के समानुपाती होता है: $d_{s} \propto v_{0}^{2}$.
यदि प्रारंभिक वेग दोगुना कर दिया जाए,अर्थात $(v_{0})_{2} = 2(v_{0})_{1}$,तो:
$\frac{(d_{s})_{2}}{(d_{s})_{1}} = \frac{(v_{0})_{2}^{2}}{(v_{0})_{1}^{2}} = (2)^{2} = 4$.
अतः,स्टॉपिंग डिस्टेंस मूल दूरी का $4$ गुना हो जाएगा।

(N/A) वाहन की रुकने की दूरी वह दूरी है जो ब्रेक लगाने के बाद वाहन पूरी तरह से रुकने से पहले तय करता है। यह निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करती है:
$1$. वाहन का प्रारंभिक वेग $(v_0)$: रुकने की दूरी प्रारंभिक वेग के वर्ग के समानुपाती होती है $(d \propto v_0^2)$।
$2$. मंदन क्षमता: यह ब्रेकिंग दक्षता या उस अधिकतम मंदन $(a)$ पर निर्भर करती है जिसे वाहन प्राप्त कर सकता है,जो टायरों और सड़क की सतह के बीच घर्षण द्वारा निर्धारित होता है।

(B) समय अंतराल $\Delta t$ पर औसत त्वरण $a_{avg}$ को वेग में परिवर्तन और समय अंतराल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $a_{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$.
तात्क्षणिक त्वरण $a$ को $\Delta t$ के शून्य की ओर अग्रसर होने पर औसत त्वरण की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है: $a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}$.
किसी भी समय तात्क्षणिक त्वरण और औसत त्वरण के समान होने के लिए,त्वरण का स्थिर (एकसमान त्वरण) होना आवश्यक है।
यदि त्वरण स्थिर है,तो वेग परिवर्तन की दर स्थिर रहती है,जिससे किसी भी अंतराल के लिए औसत त्वरण उस अंतराल के भीतर किसी भी बिंदु पर तात्क्षणिक त्वरण के बराबर हो जाता है।

(N/A) स्टॉपिंग डिस्टेंस वह दूरी है जो एक वाहन ब्रेक लगाने के बाद पूरी तरह से रुकने तक तय करता है।
यह वाहन के प्रारंभिक वेग $(v_0)$ और ब्रेक द्वारा उत्पन्न मंदन $(a)$ पर निर्भर करता है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 = v_0^2 + 2as$,जहाँ $v$ अंतिम वेग $(0 \ m/s)$ है,$v_0$ प्रारंभिक वेग है,$a$ मंदन (ऋणात्मक त्वरण) है,और $s$ स्टॉपिंग डिस्टेंस है।
$v = 0$ रखने पर,हमें $0 = v_0^2 - 2as$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $s = \frac{v_0^2}{2a}$ मिलता है।

(A) दिया गया है कि कार विरामावस्था $(u = 0)$ से शुरू होती है और एकसमान त्वरण $(a = \text{constant})$ के साथ चलती है।
$(i)$ $x-t$ ग्राफ के लिए: गति के समीकरण $x = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर, चूंकि $u=0$ है, हमें $x = \frac{1}{2}at^2$ प्राप्त होता है। यह मूल बिंदु से गुजरने वाला एक परवलय (parabola) दर्शाता है।
$(ii)$ $v-t$ ग्राफ के लिए: समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर, चूंकि $u=0$ है, हमें $v = at$ प्राप्त होता है। यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक धनात्मक ढाल वाली सीधी रेखा (straight line) दर्शाता है।
$(iii)$ $a-t$ ग्राफ के लिए: चूंकि त्वरण एकसमान है, $a$ समय के सापेक्ष नियत रहता है। यह समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा दर्शाता है।

(A) समय अंतराल $\Delta t$ के दौरान औसत त्वरण को $a_{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
तात्कालिक त्वरण को $a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
औसत त्वरण और तात्कालिक त्वरण के किसी भी समय समान होने के लिए,वेग के परिवर्तन की दर स्थिर होनी चाहिए।
इसलिए,त्वरण स्थिर होना चाहिए।

(A) गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 - u^2 = 2as$।
यहाँ,अंतिम वेग $v = 0$ है (क्योंकि वाहन रुक जाता है)।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u$ है और त्वरण $a = -|a|$ (मंदक) है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0^2 - u^2 = 2(-|a|)s$।
$-u^2 = -2|a|s$।
$s = \frac{u^2}{2|a|}$।
चूंकि दिए गए त्वरण के लिए $2|a|$ स्थिर है,इसलिए रुकने की दूरी $s$ प्रारंभिक गति के वर्ग के समानुपाती होती है $(s \propto u^2)$।

(B) वाहन का स्टॉपिंग डिस्टेंस $d$ सूत्र $d = \frac{v_0^2}{2|a|}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $v_0$ प्रारंभिक वेग है और $a$ स्थिर मंदन है।
चूँकि $d \propto v_0^2$, इसलिए $v_1 = 80 \, km/hr$ और $v_2 = 40 \, km/hr$ प्रारंभिक वेग वाले दो वाहनों के लिए स्टॉपिंग डिस्टेंस का अनुपात होगा:
$\frac{d_1}{d_2} = \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 = \left(\frac{80}{40}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
अतः, $80 \, km/hr$ की गति से चल रहे वाहन का स्टॉपिंग डिस्टेंस $40 \, km/hr$ की गति से चल रहे वाहन की तुलना में $4$ गुना होता है।

(B) किसी वस्तु का औसत वेग कुल विस्थापन को कुल समय अंतराल से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। तात्क्षणिक वेग समय के किसी विशेष क्षण पर वेग होता है। जब कोई वस्तु एक सीधी रेखा में एकसमान वेग (नियत वेग) से गति करती है,तो उसका वेग समय के साथ नहीं बदलता है। इसलिए,किसी भी समय अंतराल के लिए औसत वेग,किसी भी क्षण पर तात्क्षणिक वेग के बराबर होता है।

(A) समीकरण $\Delta S = v \Delta t$ एक नियत वेग $(v)$ के साथ गति को दर्शाता है।
चूंकि वेग $v$ स्थिर है और समय के साथ नहीं बदलता है,इसलिए विस्थापन $\Delta S$ समय अंतराल $\Delta t$ के सीधे आनुपातिक है।
यह एक सीधी रेखा में एकसमान गति के लिए विशिष्ट समीकरण है।

(B) दिया गया है कि विस्थापन $x$,समय $t$ के वर्ग के समानुपाती है,इसलिए $x = k t^{2}$,जहाँ $k$ एक नियतांक है।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष प्रथम अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(k t^{2}) = 2kt$.
त्वरण $a$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2kt) = 2k$.
चूंकि $k$ एक नियतांक है,इसलिए $2k$ भी एक नियत मान है। अतः,वस्तु का त्वरण नियत है।

(N/A) आवर्ती गति को दर्शाने के लिए,हम $\sin t$ या $\cos t$ जैसे त्रिकोणमितीय फलनों का उपयोग करते हैं।
$(a)$ गति $x(t) = t - \sin t$ पर विचार करें।
वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = 1 - \cos t$।
जब $t = 2n\pi$ होता है,तब $v = 1 - 1 = 0$,इसलिए कण विराम अवस्था में आ जाता है। चूँकि सभी $t$ के लिए $v \ge 0$ है,इसलिए कण हमेशा धनात्मक $x$-दिशा में ही गति करता है।
$(b)$ गति $x(t) = \sin t$ पर विचार करें।
वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = \cos t$।
जब $t = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$ होता है,तब वेग $v = 0$ हो जाता है,इसलिए कण विराम अवस्था में आ जाता है। चूँकि $\cos t$ धनात्मक और ऋणात्मक मानों के बीच बदलता रहता है,इसलिए कण समय-समय पर आगे और पीछे गति करता है।

(N/A) मान लीजिए कि एक कण की गति की स्थिति $x(t) = x_0 + A e^{-kt}$ फलन द्वारा दी गई है,जहाँ $x_0 > 0$,$A > 0$ और $k > 0$ है।
$1$. स्थिति: $x(t) = x_0 + A e^{-kt}$। चूँकि $x_0, A, k, t > 0$ हैं,इसलिए $A e^{-kt}$ पद धनात्मक है,अतः $x(t) > 0$ है।
$2$. वेग: $v(t) = \frac{dx}{dt} = -Ak e^{-kt}$। चूँकि $A, k, e^{-kt} > 0$ हैं,इसलिए $-Ak e^{-kt}$ पद ऋणात्मक है,अतः $v(t) < 0$ है।
$3$. त्वरण: $a(t) = \frac{dv}{dt} = Ak^2 e^{-kt}$। चूँकि $A, k^2, e^{-kt} > 0$ हैं,इसलिए त्वरण $a(t) > 0$ है।
ऐसी गति का एक उदाहरण वह कण है जो $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा से मूल बिंदु की ओर गति कर रहा हो और $x_0$ जैसी सीमित स्थिति के करीब पहुँचने पर धीमा हो रहा हो।

(N/A) दिया गया है,$x(t) = x_0 (1 - e^{-\gamma t})$.
वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = x_0 \gamma e^{-\gamma t}$.
त्वरण $a(t) = \frac{dv}{dt} = -x_0 \gamma^2 e^{-\gamma t}$.
$(a)$ $t = 0$ पर,$x(0) = x_0(1 - e^0) = 0$. कण मूल बिंदु से शुरू होता है।
$t = 0$ पर वेग $v(0) = x_0 \gamma e^0 = x_0 \gamma$ है।
$(b)$
$x(t)$: जैसे $t \to \infty$,$x(t) \to x_0$ (अधिकतम)। $t = 0$ पर,$x(t) = 0$ (न्यूनतम)। चूँकि $\frac{dx}{dt} > 0$,$x(t)$ समय के साथ बढ़ता है।
$v(t)$: $t = 0$ पर,$v(0) = x_0 \gamma$ (अधिकतम)। जैसे $t \to \infty$,$v(t) \to 0$ (न्यूनतम)। चूँकि $\frac{dv}{dt} < 0$,$v(t)$ समय के साथ घटता है।
$a(t)$: $t = 0$ पर,$a(0) = -x_0 \gamma^2$ (न्यूनतम)। जैसे $t \to \infty$,$a(t) \to 0$ (अधिकतम)। चूँकि $\frac{da}{dt} = x_0 \gamma^3 e^{-\gamma t} > 0$,$a(t)$ समय के साथ बढ़ता है।

(A) नियत त्वरण के लिए गति के समीकरण इस प्रकार हैं:
$1$. वेग-समय संबंध: $v = v_0 + at$। अतः,$(1) \to (a)$।
$2$. स्थिति-समय संबंध: $S = v_0t + \frac{1}{2}at^2$।
$3$. वेग-विस्थापन संबंध: $v^2 = v_0^2 + 2as$। अतः,$(2) \to (c)$।
अतः,सही मिलान $(1-a, 2-c)$ है।

(C) $n^{\text{वें}}$ सेकंड में किसी पिंड द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र $S_{n} = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
पिंड $A$ के लिए,जो विरामावस्था $(u=0)$ से $t=0$ पर शुरू होता है,पांचवें सेकंड में तय की गई दूरी:
$S_{A, 5} = 0 + \frac{a_{1}}{2}(2 \times 5 - 1) = \frac{9a_{1}}{2}$.
पिंड $B$,$A$ के $2$ सेकंड बाद शुरू होता है। इसलिए,$A$ के शुरू होने के पांचवां सेकंड,पिंड $B$ के लिए $(5-2) = 3^{\text{रे}}$ सेकंड के बराबर है।
पिंड $B$ के लिए,विरामावस्था $(u=0)$ से,उसके तीसरे सेकंड में तय की गई दूरी:
$S_{B, 3} = 0 + \frac{a_{2}}{2}(2 \times 3 - 1) = \frac{5a_{2}}{2}$.
दिया गया है कि $S_{A, 5} = S_{B, 3}$,इसलिए:
$\frac{9a_{1}}{2} = \frac{5a_{2}}{2}$.
अतः,$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{5}{9}$.

(B) वेग $v = \frac{dx}{dt} = v_{0} + gt + Ft^{2}$ द्वारा दिया गया है।
$t = 1$ पर विस्थापन $s$ ज्ञात करने के लिए,हम $t = 0$ से $t = 1$ तक समय के सापेक्ष वेग का समाकलन करते हैं:
$s = \int_{0}^{1} v dt = \int_{0}^{1} (v_{0} + gt + Ft^{2}) dt$
$s = [v_{0}t + \frac{gt^{2}}{2} + \frac{Ft^{3}}{3}]_{0}^{1}$
सीमाओं $t = 0$ और $t = 1$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$s = (v_{0}(1) + \frac{g(1)^{2}}{2} + \frac{F(1)^{3}}{3}) - (0)$
$s = v_{0} + \frac{g}{2} + \frac{F}{3}$

(A) मान लीजिए कि ट्रेन की कुल लंबाई $L = 2d$ है,जहाँ $d$ इंजन से मध्य बिंदु तक की दूरी है,और मध्य बिंदु से अंतिम डिब्बे तक की दूरी भी $d$ है।
मान लीजिए कि ट्रेन का समान त्वरण $a$ है।
जब इंजन सिग्नल पोस्ट को पार करता है,तो उसका वेग $u$ है। जब मध्य बिंदु सिग्नल पोस्ट को पार करता है,तो उसका वेग $v^{\prime}$ मान लीजिए।
गति के समीकरण $v_f^2 = v_i^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए:
ट्रेन के पहले आधे भाग के लिए (इंजन से मध्य बिंदु तक):
$(v^{\prime})^2 = u^2 + 2ad$ --- $(1)$
ट्रेन के दूसरे आधे भाग के लिए (मध्य बिंदु से अंतिम डिब्बे तक):
$v^2 = (v^{\prime})^2 + 2ad$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$2ad = (v^{\prime})^2 - u^2$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$v^2 = (v^{\prime})^2 + ((v^{\prime})^2 - u^2)$
$v^2 = 2(v^{\prime})^2 - u^2$
$2(v^{\prime})^2 = v^2 + u^2$
$(v^{\prime})^2 = \frac{v^2 + u^2}{2}$
$v^{\prime} = \sqrt{\frac{v^2 + u^2}{2}}$

(A) दिया गया वेग फलन: $v = \sqrt{5000 + 24x}$ है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a$ का मान $a = v \frac{dv}{dx}$ होता है।
सबसे पहले,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} (5000 + 24x)^{1/2} = \frac{1}{2} (5000 + 24x)^{-1/2} \times 24 = \frac{12}{\sqrt{5000 + 24x}}$ प्राप्त होता है।
अब,त्वरण के सूत्र में $v$ और $\frac{dv}{dx}$ का मान रखने पर:
$a = \sqrt{5000 + 24x} \times \frac{12}{\sqrt{5000 + 24x}}$।
$a = 12 \; \text{m/s}^2$।

(D) गति के समीकरण $v^{2} = u^{2} + 2ax$ से,जो $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = v^{2}$ और $x$ विस्थापन है।
इसे ग्राफ के साथ तुलना करने पर,$v^{2}$ बनाम $x$ रेखा की ढाल $2a$ है।
ग्राफ से,हम दो बिंदुओं का उपयोग करके ढाल $m$ की गणना कर सकते हैं,उदाहरण के लिए,$(10, 40)$ और $(20, 60)$:
$m = \frac{v_{2}^{2} - v_{1}^{2}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{60 - 40}{20 - 10} = \frac{20}{10} = 2 \text{ m/s}^{2}$.
चूँकि ढाल $m = 2a$ है,इसलिए $2a = 2$ है।
अतः,त्वरण $a = 1 \text{ m/s}^{2}$ है।