Instantaneous Velocity and Speed and Velocity-time Graph Questions in Hindi

(D) विस्थापन-समय ग्राफ में कण का वेग रेखा के ढलान (slope) द्वारा दिया जाता है,जो $\tan \theta$ है,जहाँ $\theta$ वह कोण है जो रेखा समय अक्ष के साथ बनाती है।
कण $A$ के लिए,कोण $\theta_A = 30^\circ$ है,इसलिए $V_A = \tan 30^\circ = 1/\sqrt{3}$ है।
कण $B$ के लिए,कोण $\theta_B = 60^\circ$ है,इसलिए $V_B = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$ है।
वेगों का अनुपात $\frac{V_A}{V_B} = \frac{\tan 30^\circ}{\tan 60^\circ} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$ है।
अतः,अनुपात $V_A:V_B$ का मान $1:3$ है।

(D) $x-t$ (स्थिति-समय) ग्राफ पर किसी भी क्षण वक्र पर खींची गई स्पर्श रेखा पिंड का तात्क्षणिक वेग प्रदान करती है।
वाहन में लगा स्पीडोमीटर हर क्षण पिंड के तात्क्षणिक वेग को मापता है।
अतः,पिंड के तात्क्षणिक वेग को आलेखीय रूप से और स्पीडोमीटर द्वारा दोनों प्रकार से मापा जा सकता है।

(B) कण का विस्थापन $s = 6t^2 - t^3$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{ds}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$v = \frac{d}{dt}(6t^2 - t^3) = 12t - 3t^2$.
वह समय ज्ञात करने के लिए जब वेग शून्य हो,हम $v = 0$ रखते हैं:
$12t - 3t^2 = 0$.
$3t(4 - t) = 0$.
इससे $t = 0 \ s$ और $t = 4 \ s$ प्राप्त होता है।
कण $t = 0 \ s$ पर विराम अवस्था से शुरू होता है,इसलिए यह $t = 4 \ s$ पर फिर से शून्य वेग प्राप्त करेगा।

(B) कण की स्थिति समीकरण $x = a + bt^2$ द्वारा दी गई है।
तात्क्षणिक वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम स्थिति $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a + bt^2)$
चूंकि $a$ एक स्थिरांक है,इसका अवकलन $0$ होता है। अतः,$v = 2bt$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $b = 3 \, cm/s^2$ और $t = 3 \, s$,इन मानों को वेग समीकरण में रखने पर:
$v = 2 \times 3 \times 3 = 18 \, cm/s$।
अतः,$t = 3 \, s$ पर तात्क्षणिक वेग $18 \, cm/s$ है।

(D) दिया गया संबंध: $3t = \sqrt{3x} + 6$ है।
$\sqrt{3x}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{3x} = 3t - 6$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $3x = (3t - 6)^2 = 9t^2 - 36t + 36$ प्राप्त होता है।
$3$ से विभाजित करने पर: $x = 3t^2 - 12t + 12$ प्राप्त होता है।
वेग $v$,विस्थापन $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12t + 12) = 6t - 12$ है।
वेग शून्य होने के लिए: $6t - 12 = 0 \Rightarrow t = 2 \ s$ है।
विस्थापन समीकरण में $t = 2 \ s$ रखने पर: $x = 3(2)^2 - 12(2) + 12 = 12 - 24 + 12 = 0 \ m$ प्राप्त होता है।

(A) कण का वेग $v$,स्थिति $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर प्राप्त होता है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2 - 5t + 6t^2)$
$v = 0 - 5 + 12t$
$v = (12t - 5) \ m/s$
प्रारंभिक वेग ज्ञात करने के लिए,हम वेग समीकरण में $t = 0$ रखते हैं:
$v(0) = 12(0) - 5 = -5 \ m/s$
अतः,कण का प्रारंभिक वेग $-5 \ m/s$ है।

(D) दिया गया विस्थापन $x = a e^{-\alpha t} + b e^{\beta t}$ है।
वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a e^{-\alpha t} + b e^{\beta t})$
$v = -a\alpha e^{-\alpha t} + b\beta e^{\beta t}$.
यह निर्धारित करने के लिए कि वेग समय के साथ कैसे बदलता है,हम त्वरण $a_{acc}$ ज्ञात करते हैं:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-a\alpha e^{-\alpha t} + b\beta e^{\beta t})$
$a_{acc} = a\alpha^2 e^{-\alpha t} + b\beta^2 e^{\beta t}$.
चूंकि $a, b, \alpha, \beta$ धनात्मक स्थिरांक हैं और घातांकीय फलन $e^{-\alpha t}$ और $e^{\beta t}$ किसी भी समय $t$ के लिए हमेशा धनात्मक होते हैं,इसलिए त्वरण $a_{acc}$ हमेशा धनात्मक होता है।
त्वरण धनात्मक होने के कारण,वेग $v$ समय के साथ बढ़ता जाएगा।

(B) कण द्वारा तय की गई दूरी वेग-समय $(v-t)$ ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल के बराबर होती है।
दिए गए ग्राफ से,कुल दूरी चार ज्यामितीय आकृतियों $(A_1, A_2, A_3, A_4)$ के क्षेत्रफलों का योग है:
$1$. क्षेत्रफल $A_1$ ($t=0$ से $t=1$ तक का त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 1 \times 20 = 10 \; m$.
$2$. क्षेत्रफल $A_2$ ($t=1$ से $t=2$ तक का आयत): $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 1 \times 20 = 20 \; m$.
$3$. क्षेत्रफल $A_3$ ($t=2$ से $t=3$ तक का समलंब): $\frac{1}{2} \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (20 + 10) \times 1 = 15 \; m$.
$4$. क्षेत्रफल $A_4$ ($t=3$ से $t=4$ तक का आयत): $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 1 \times 10 = 10 \; m$.
कुल दूरी = $A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = 10 + 20 + 15 + 10 = 55 \; m$.

(A) विस्थापन-समय ग्राफ की ढाल कण का वेग दर्शाती है $(v = dx/dt)$.
जैसे-जैसे समय बढ़ता है,वक्र की ढाल लगातार घटती जाती है,जो यह दर्शाता है कि कण का वेग कम हो रहा है।
इसका अर्थ है कि गति मंदित (retarded) है।
अंत में,क्षैतिज रेखा पर वक्र की ढाल शून्य हो जाती है,जिसका अर्थ है कि वेग शून्य हो जाता है और कण रुक जाता है।
इसलिए,विकल्प $(A)$ सही है।

(D) जब एक गेंद को प्रारंभिक वेग $u$ के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो यह नीचे की ओर कार्य करने वाले निरंतर गुरुत्वीय त्वरण $g$ के प्रभाव में गति करती है।
गति के समीकरण के अनुसार,$v = u - gt$।
$1$. ऊपर की ओर यात्रा के दौरान,वेग धनात्मक होता है और समय के साथ रैखिक रूप से घटता है जब तक कि यह अधिकतम ऊंचाई पर शून्य न हो जाए।
$2$. अधिकतम ऊंचाई पर,वेग शून्य होता है।
$3$. नीचे की ओर यात्रा के दौरान,वेग ऋणात्मक हो जाता है (क्योंकि यह नीचे की ओर निर्देशित होता है) और इसका परिमाण समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
$4$. वेग-समय ग्राफ का ढलान $-g$ है,जो पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है।
इसलिए,ग्राफ एक ऋणात्मक ढलान वाली सीधी रेखा है जो धनात्मक वेग अक्ष से होकर गुजरती है,समय अक्ष को पार करती है और ऋणात्मक वेग क्षेत्र में जारी रहती है। यह विकल्प $D$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) कण का त्वरण विस्थापन के समय के सापेक्ष द्वितीय अवकलज द्वारा दिया जाता है,$a = \frac{d^2x}{dt^2}$,जो $x-t$ ग्राफ की अवतलता (concavity) को दर्शाता है।
$1$. क्षेत्र $OA$: ग्राफ समय अक्ष की ओर झुक रहा है (नीचे की ओर अवतल)। ढाल (वेग) घट रहा है,इसलिए त्वरण ऋणात्मक $(-)$ है।
$2$. क्षेत्र $AB$: ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है। ढाल (वेग) स्थिर और शून्य है। इसलिए,त्वरण शून्य $(0)$ है।
$3$. क्षेत्र $BC$: ग्राफ विस्थापन अक्ष की ओर झुक रहा है (ऊपर की ओर अवतल)। ढाल (वेग) बढ़ रहा है,इसलिए त्वरण धनात्मक $(+)$ है।
$4$. क्षेत्र $CD$: ग्राफ एक स्थिर ढाल वाली सीधी रेखा है। चूंकि वेग स्थिर है,इसलिए त्वरण शून्य $(0)$ है।
अतः,$OA, AB, BC, CD$ के लिए त्वरण के चिह्न क्रमशः $-, 0, +, 0$ हैं। सही विकल्प $(b)$ है।

(D) अधिकतम त्वरण $v - t$ ग्राफ के सबसे तीव्र ढलान के अनुरूप होता है,जो वेग में परिवर्तन की अधिकतम दर को दर्शाता है।
$1$. समय अंतराल $t = 0$ से $t = 20 \, sec$ के लिए: $a = \frac{20 - 0}{20 - 0} = 1 \, cm/sec^2$.
$2$. समय अंतराल $t = 20$ से $t = 30 \, sec$ के लिए: $a = 0 \, cm/sec^2$ (स्थिर वेग)।
$3$. समय अंतराल $t = 30$ से $t = 40 \, sec$ के लिए: $a = \frac{80 - 20}{40 - 30} = \frac{60}{10} = 6 \, cm/sec^2$.
$4$. समय अंतराल $t = 40$ से $t = 80 \, sec$ के लिए: $a = \frac{0 - 80}{80 - 40} = \frac{-80}{40} = -2 \, cm/sec^2$.
सभी अंतरालों में त्वरण के परिमाणों की तुलना करने पर,अधिकतम त्वरण $6 \, cm/sec^2$ है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) $x - t$ (विस्थापन-समय) ग्राफ में,ग्राफ की ढाल (slope) पिंड का वेग दर्शाती है।
$t < t_1$ के लिए,ग्राफ एक नियत धनात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है,जो यह दर्शाती है कि पिंड नियत वेग से गति कर रहा है।
$t > t_1$ के लिए,ग्राफ एक क्षैतिज रेखा है,जिसका अर्थ है कि ढाल शून्य है। यह दर्शाता है कि पिंड का विस्थापन नहीं बदल रहा है,इसलिए वेग शून्य है (पिंड स्थिर है)।
अतः,पिंड $t_1$ समय तक नियत चाल से चलता है और फिर रुक जाता है।

(C) लिफ्ट द्वारा प्राप्त कुल ऊंचाई (विस्थापन) वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होती है।
ग्राफ एक समलंब चतुर्भुज (trapezium) है जिसकी समानांतर भुजाओं की लंबाई $10 - 2 = 8$ और $12 - 0 = 12$ है, और ऊंचाई (वेग) $3.6$ है।
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times (\text{ऊंचाई})$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (8 + 12) \times 3.6$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 20 \times 3.6 = 10 \times 3.6 = 36\,m$.

(A) विस्थापन वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफलों का बीजगणितीय योग है।
विस्थापन $= A_1 + (-A_2) + A_3$
$= (2 \, s \times 4 \, m/s) + (2 \, s \times -2 \, m/s) + (2 \, s \times 2 \, m/s)$
$= 8 \, m - 4 \, m + 4 \, m = 8 \, m$
दूरी वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफलों के परिमाणों का योग है।
दूरी $= |A_1| + |A_2| + |A_3|$
$= |8 \, m| + |-4 \, m| + |4 \, m|$
$= 8 \, m + 4 \, m + 4 \, m = 16 \, m$
अतः,विस्थापन $8 \, m$ है और दूरी $16 \, m$ है।

(B) वह अंतराल जिसमें त्वरण और मंदन शून्य नहीं है,$t = 20 \, s$ से $t = 40 \, s$ तक है।
विस्थापन $v-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$t = 20 \, s$ से $t = 40 \, s$ के अंतराल के लिए,क्षेत्रफल में $1 \, m/s$ ऊंचाई और $20 \, s$ चौड़ाई का एक आयत,और $20 \, s$ आधार तथा $(4 - 1) = 3 \, m/s$ ऊंचाई वाला एक त्रिभुज शामिल है।
क्षेत्रफल $= (20 \times 1) + (\frac{1}{2} \times 20 \times 3)$
क्षेत्रफल $= 20 + 30 = 50 \, m$.

(C) एकसमान त्वरण के लिए विस्थापन-समय समीकरण $x = x_0 + u t + \frac{1}{2} a t^2$ द्वारा दिया जाता है।
विराम अवस्था से शुरू होने वाले कण के लिए $(u=0)$,यह समीकरण $x = x_0 + \frac{1}{2} a t^2$ हो जाता है,जो एक परवलयाकार वक्र को दर्शाता है।
चित्र $(i)$ में,विस्थापन-समय ग्राफ का ढाल (जो वेग को दर्शाता है) समय के साथ बढ़ता है,जो इंगित करता है कि कण एकसमान त्वरित गति कर रहा है।
चित्र $(ii)$ में,विस्थापन-समय ग्राफ का ढाल समय के साथ घटता है,जो इंगित करता है कि कण एकसमान मंदित गति कर रहा है।
अतः,कण $(i)$ एकसमान त्वरित गति कर रहा है जबकि कण $(ii)$ एकसमान मंदित गति कर रहा है।

(B) वेग-समय ग्राफ में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
$1$. $7 \text{ s}$ में तय की गई कुल दूरी (समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल):
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (7 - 1 + 5 - 3) \times 10 = \frac{1}{2} \times (6 + 2) \times 10 = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 = 40 \text{ m}$.
$2$. अंतिम $2 \text{ s}$ में तय की गई दूरी ($t = 5 \text{ s}$ से $t = 7 \text{ s}$ तक):
यह $t = 5$ और $t = 7$ के बीच बने त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (7 - 5) \times 10 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10 = 10 \text{ m}$.
$3$. आवश्यक भिन्न:
$\text{Fraction} = \frac{\text{अंतिम } 2 \text{ s में तय दूरी}}{\text{कुल दूरी}} = \frac{10}{40} = 0.25$.

(A) वेग-समय ग्राफ में किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी वेग-समय वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
यहाँ,ग्राफ के नीचे का आकार एक समलंब चतुर्भुज (trapezium) है जिसकी समानांतर भुजाओं की लंबाई $10 \; s$ ($10 \; s$ से $20 \; s$ तक) और $30 \; s$ ($0 \; s$ से $30 \; s$ तक) है,और ऊँचाई $10 \; m/s$ है।
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई}$
दूरी $= \frac{1}{2} \times (10 + 30) \times 10$
दूरी $= \frac{1}{2} \times 40 \times 10 = 200 \; m$.

(D) कण का तात्क्षणिक वेग विस्थापन-समय ग्राफ के उस बिंदु पर ढलान (slope) द्वारा दिया जाता है।
गणितीय रूप से,$v = \frac{ds}{dt}$।
- बिंदु $C$ पर,ढलान धनात्मक है क्योंकि विस्थापन बढ़ रहा है।
- बिंदु $D$ पर,ढलान शून्य है क्योंकि यह वक्र का उच्चतम बिंदु है।
- बिंदु $E$ पर,ढलान ऋणात्मक है क्योंकि समय के साथ विस्थापन घट रहा है।
- बिंदु $F$ पर,ढलान धनात्मक है क्योंकि विस्थापन फिर से बढ़ रहा है।
इसलिए,बिंदु $E$ पर तात्क्षणिक वेग ऋणात्मक है।

(A) एकसमान गति वह गति है जिसमें कोई वस्तु समान समय अंतराल में समान दूरी तय करती है। स्थिति-समय $(s-t)$ ग्राफ में,यह एक स्थिर ढलान वाली सीधी रेखा के रूप में दिखाई देता है,क्योंकि वेग $(v = \frac{ds}{dt})$ स्थिर रहता है। ग्राफ $(A)$ स्थिति और समय के बीच एक रैखिक संबंध दिखाता है,जो स्थिर वेग को इंगित करता है,और यह एकसमान गति का प्रतिनिधित्व करता है।

(A) किसी पिंड का वेग $v$,विस्थापन-समय ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है,अर्थात $v = \frac{ds}{dt}$।
$1$. प्रारंभ में,विस्थापन-समय ग्राफ का ढाल धनात्मक है और घट रहा है,जिसका अर्थ है कि वेग धनात्मक है और घट रहा है।
$2$. ग्राफ के शीर्ष पर,ढाल शून्य है,इसलिए वेग शून्य है।
$3$. शीर्ष के बाद,ढाल ऋणात्मक हो जाता है,जिसका अर्थ है कि वेग ऋणात्मक हो जाता है।
$4$. दिए गए विकल्पों में से,जो ग्राफ वेग को धनात्मक मान से शुरू होकर,शून्य तक घटते हुए और फिर ऋणात्मक होते हुए दर्शाता है,वह विकल्प $A$ द्वारा प्रदर्शित है।

(B) त्वरण गति-समय ग्राफ के ढलान (slope) द्वारा दिया जाता है।
भाग $AB$ के लिए: ढलान $= \frac{20 - 0}{0.75 - 0} = \frac{20}{0.75} \approx 26.67 \; km\, h^{-2}$।
भाग $BC$ के लिए: ढलान $= 0$ (स्थिर गति)।
भाग $CD$ के लिए: ढलान $= \frac{60 - 20}{1.25 - 1.00} = \frac{40}{0.25} = 160 \; km\, h^{-2}$।
भाग $DE$ के लिए: ढलान $= \frac{0 - 60}{2.00 - 1.25} = \frac{-60}{0.75} = -80 \; km\, h^{-2}$ (मंदक)।
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम त्वरण $160 \; km\, h^{-2}$ है,जो खंड $CD$ के अनुरूप है।

(D) सही विकल्प $D$ है।
परिभाषा के अनुसार,त्वरण $a$ समय के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर है,जिसे सूत्र $a = \frac{dv}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $dv = a \cdot dt$ प्राप्त होता है।
समय अंतराल $t_1$ से $t_2$ तक वेग में कुल परिवर्तन ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का समाकलन करते हैं: $\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a \cdot dt$।
ज्यामितीय रूप से,समाकलन $\int a \cdot dt$ त्वरण-समय ग्राफ के अंतर्गत के क्षेत्रफल को दर्शाता है।
अतः,त्वरण-समय ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल वस्तु के वेग में परिवर्तन को दर्शाता है।

(A) एकसमान त्वरण के लिए,गति का समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ द्वारा दिया जाता है।
यदि प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,तो $s = \frac{1}{2}at^2$ होगा।
यह समीकरण एक परवलय को दर्शाता है जहाँ $s \propto t^2$ है।
ग्राफ $(A)$ एक परवलयाकार वक्र दिखाता है,जो स्थिर (एकसमान) त्वरण के साथ गति की विशेषता है।

(B) गतिमान वस्तु के लिए,समय $t$ के किसी भी एक क्षण पर,वेग $v$ का केवल एक ही अद्वितीय मान हो सकता है।
ग्राफ $A$,$C$ और $D$ में,समय $t$ के एक ही मान के लिए,ग्राफ वेग $v$ के कई मान दर्शाता है,जो भौतिक रूप से असंभव है।
ग्राफ $B$ एक यथार्थवादी स्थिति को दर्शाता है जहाँ वेग समय के साथ लगातार बदलता रहता है,और प्रत्येक क्षण $t$ के लिए इसका एक अद्वितीय मान होता है।

(A) एकसमान गति को स्थिर वेग के साथ गति के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसका अर्थ है कि त्वरण शून्य $(a = 0)$ है।
वेग-समय $(v-t)$ ग्राफ में,ढाल (slope) त्वरण को दर्शाता है।
ग्राफ $(A)$ के लिए,वेग समय के साथ स्थिर रहता है,जिसके परिणामस्वरूप समय अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा प्राप्त होती है। इस रेखा की ढाल शून्य है,जिसका अर्थ है कि $a = 0$ है। इसलिए,ग्राफ $(A)$ एकसमान गति को दर्शाता है।
ग्राफ $(B)$,$(C)$,और $(D)$ असमान गति को दर्शाते हैं क्योंकि उनकी ढाल शून्य नहीं है या बदल रही है,जो त्वरण का संकेत देती है।

(D) त्वरण-समय ग्राफ से,हम गति के तीन अलग-अलग चरणों का अवलोकन कर सकते हैं:
$1$. पहले चरण में,त्वरण $a$ स्थिर और धनात्मक है। चूंकि $v = \int a \, dt$,वेग समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है,जिसे वेग-समय ग्राफ पर धनात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।
$2$. दूसरे चरण में,त्वरण $a = 0$ है। इसका मतलब है कि वेग स्थिर रहता है,जिसे वेग-समय ग्राफ पर एक क्षैतिज रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।
$3$. तीसरे चरण में,त्वरण $a$ फिर से स्थिर और धनात्मक है। इसका मतलब है कि वेग फिर से समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है,जिसे धनात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,वह ग्राफ जो वेग में रैखिक वृद्धि,उसके बाद स्थिर वेग,और फिर एक और रैखिक वृद्धि दिखाता है,वह विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया ग्राफ एक धनात्मक अंतःखंड $v_0$ और ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है। रेखा का समीकरण इस प्रकार है:
$v = -mx + v_0$ ... $(i)$
जहाँ $m = \tan \theta = \frac{v_0}{x_0}$ ढाल का परिमाण है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a = v \frac{dv}{dx}$ होता है।
समीकरण $(i)$ से,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = -m$
इस मान को त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$a = (-mx + v_0)(-m)$
$a = m^2x - mv_0$
यह एक सीधी रेखा का समीकरण है जिसकी ढाल धनात्मक $(m^2)$ है और $a$-अक्ष पर अंतःखंड ऋणात्मक $(-mv_0)$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,ग्राफ $B$ एक ऐसी सीधी रेखा को दर्शाता है जिसका $a$-अक्ष पर अंतःखंड ऋणात्मक है और ढाल धनात्मक है। इसलिए,ग्राफ $B$ सही है।

(D) दिए गए $a-t$ ग्राफ से यह स्पष्ट है कि त्वरण एक स्थिर दर से बढ़ रहा है।
$\therefore \frac{da}{dt} = k$ (स्थिरांक) $\implies a = kt$ (समाकलन द्वारा)।
चूंकि $a = \frac{dv}{dt}$,इसलिए $\frac{dv}{dt} = kt \implies dv = kt \, dt$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int dv = \int kt \, dt \implies v = \frac{1}{2}kt^2$।
यह दर्शाता है कि $v$ समय पर परवलयाकार रूप से निर्भर करता है,जहाँ ग्राफ ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है।
जब त्वरण अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाता है,तो यह अचानक शून्य हो जाता है। जब त्वरण शून्य होता है,तो पिंड का वेग स्थिर हो जाता है।
इसलिए,वेग-समय ग्राफ एक परवलयाकार वृद्धि और उसके बाद स्थिर वेग को दर्शाने वाली एक क्षैतिज रेखा दिखाएगा। यह ग्राफ $(d)$ के अनुरूप है।

(C) विस्थापन-समय ग्राफ का ढाल (slope) वेग प्रदान करता है। हालाँकि,ढाल को $\tan \theta$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\theta$ रेखा द्वारा समय अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
दिए गए ग्राफ में,$30^{\circ}$ का कोण विस्थापन अक्ष के साथ बनाया गया है।
इसलिए,समय अक्ष के साथ कोण $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ होगा।
अतः,वेग $v = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \, m/s$ प्राप्त होता है।

(A) औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय अंतराल से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
$v-t$ ग्राफ में,विस्थापन वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$t = 0$ से $t = 5$ सेकंड के अंतराल के लिए,क्षेत्रफल $5$ आधार और $5$ ऊंचाई वाला एक त्रिभुज है,इसलिए विस्थापन $s_1 = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5 \ m$ है।
$t = 5$ से $t = 10$ सेकंड के अंतराल के लिए,क्षेत्रफल $5$ आधार और $-5$ ऊंचाई वाला एक त्रिभुज है,इसलिए विस्थापन $s_2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (-5) = -12.5 \ m$ है।
कुल विस्थापन $s = s_1 + s_2 = 12.5 + (-12.5) = 0 \ m$ है।
औसत वेग = $\frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{0}{10} = 0 \ m/s$.

(D) लिफ्ट द्वारा तय की गई दूरी वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होती है।
यह ग्राफ एक समलंब चतुर्भुज (trapezium) है जिसकी समानांतर भुजाओं की लंबाई $12\, s$ और $(10 - 2) = 8\, s$ है,और ऊंचाई $3.6\, m/s$ है।
वैकल्पिक रूप से,क्षेत्रफल की गणना दो त्रिभुजों और एक आयत के क्षेत्रफल के योग के रूप में की जा सकती है:
क्षेत्रफल $= (\text{पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल}) + (\text{आयत का क्षेत्रफल}) + (\text{दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल})$
क्षेत्रफल $= (\frac{1}{2} \times 2 \times 3.6) + (8 \times 3.6) + (\frac{1}{2} \times 2 \times 3.6)$
क्षेत्रफल $= 3.6 + 28.8 + 3.6 = 36\, m$.
अतः,लिफ्ट द्वारा प्राप्त कुल ऊंचाई $36\, m$ है।

(D) न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,यदि किसी कण पर कार्य करने वाला नेट बल शून्य है,तो वह नियत वेग से गति करता है।
विस्थापन-समय $(x-t)$ ग्राफ में,वेग को ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा दर्शाया जाता है।
यदि ढाल नियत है,तो वेग नियत रहता है,जिसका अर्थ है कि त्वरण शून्य है और कण पर कार्य करने वाला नेट बल शून्य है।
दिए गए ग्राफ में,खंड $AB$ और $CD$ सीधी रेखाएं हैं,जिसका अर्थ है कि इन क्षेत्रों में ढाल (वेग) नियत है।
अतः,$AB$ और $CD$ क्षेत्रों में कण पर कार्य करने वाला बल शून्य है।

(C) जब एक बल्लेबाज गेंद को मारता है,तो वह एक प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग के साथ ऊपर की ओर बढ़ती है। गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में,इसका ऊर्ध्वाधर वेग समय के साथ रैखिक रूप से तब तक घटता है जब तक कि यह अपने प्रक्षेपवक्र के उच्चतम बिंदु तक नहीं पहुंच जाता,जहां ऊर्ध्वाधर वेग शून्य हो जाता है। इस बिंदु के बाद,गेंद नीचे की ओर बढ़ना शुरू कर देती है,और इसका ऊर्ध्वाधर वेग नीचे की दिशा में बढ़ता है (जिसे ऋणात्मक वेग के रूप में दर्शाया जाता है)। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ स्थिर है और पूरी गति के दौरान नीचे की ओर कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि वेग-समय ग्राफ का ढलान $(dv/dt = -g)$ स्थिर और ऋणात्मक है। एक धनात्मक मान से ऋणात्मक मान तक वेग में इस रैखिक कमी को ग्राफ $C$ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(D) दिया गया समीकरण: $t = \sqrt{x} + 3$
$x$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{x} = t - 3$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x = (t - 3)^2$
वेग $v$,समय के सापेक्ष स्थिति का अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t - 3)^2 = 2(t - 3)$
जब वेग शून्य हो: $2(t - 3) = 0 \implies t = 3 \text{ s}$
$t = 3 \text{ s}$ पर स्थिति: $x = (3 - 3)^2 = 0 \text{ m}$
$t = 0 \text{ s}$ पर प्रारंभिक स्थिति: $x_0 = (0 - 3)^2 = 9 \text{ m}$
विस्थापन $\Delta x = x - x_0 = 0 - 9 = -9 \text{ m}$
विस्थापन का परिमाण $9 \text{ m}$ है।

(B) कण की स्थिति $x = a + bt^2$ द्वारा दी गई है।
वेग $v$,स्थिति $x$ का समय के सापेक्ष अवकलन (derivative) है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a + bt^2)$
चूंकि $a$ एक स्थिरांक है,इसलिए इसका अवकलन $0$ होगा:
$v = 0 + 2bt = 2bt$
दिया गया है कि $b = 3 \, cm/s^2$ और $t = 3 \, s$:
$v = 2 \times 3 \times 3$
$v = 18 \, cm/s$.

(D) वेग विस्थापन-समय ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है।
पहले $1 \ s$ के लिए ($t=0$ से $t=1$):
$v_1 = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{30 - 0}{1 - 0} = 30 \ m/s$.
अगले $2 \ s$ के लिए ($t=1$ से $t=3$):
$v_2 = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0 - 30}{3 - 1} = \frac{-30}{2} = -15 \ m/s$.
अगले $2 \ s$ में वेग का परिमाण $|v_2| = 15 \ m/s$ है।
पहले $1 \ s$ के वेग और अगले $2 \ s$ के वेग के परिमाण का अनुपात $\frac{30}{15} = \frac{2}{1}$ है,जो $2:1$ है।

(B) त्वरण चाल-समय ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है।
खंड $AB$ के लिए: $a_1 = \frac{20 - 0}{0.75 - 0} = \frac{20}{0.75} \approx 26.67 \ km \ h^{-2}$.
खंड $BC$ के लिए: $a_2 = 0 \ km \ h^{-2}$ (नियत चाल)।
खंड $CD$ के लिए: $a_3 = \frac{60 - 20}{1.25 - 1.00} = \frac{40}{0.25} = 160 \ km \ h^{-2}$.
खंड $DE$ के लिए: $a_4 = \frac{0 - 60}{2.00 - 1.25} = \frac{-60}{0.75} = -80 \ km \ h^{-2}$.
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम त्वरण $160 \ km \ h^{-2}$ है।

(A) वेग $v$ विस्थापन-समय $(s-t)$ ग्राफ की ढाल द्वारा दिया जाता है,अर्थात $v = \frac{ds}{dt}$।
दिए गए $s-t$ ग्राफ में,वक्र नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है,जिसे समीकरण $s = at - bt^2$ द्वारा दर्शाया जा सकता है,जहाँ $a$ और $b$ धनात्मक स्थिरांक हैं।
समय $t$ के सापेक्ष इसका अवकलन करने पर,हमें वेग $v = \frac{ds}{dt} = a - 2bt$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $v = a - 2bt$ ऋणात्मक ढाल $(-2b)$ और वेग अक्ष पर धनात्मक अंतःखंड $(a)$ वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
अतः,वेग-समय ग्राफ ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है,जो विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ से मेल खाता है।

(A) किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी वेग-समय $(v-t)$ ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल के बराबर होती है।
यह ग्राफ एक समलंब (trapezium) है जिसकी समांतर भुजाओं की लंबाई $30 \ s$ और $(20 - 10) = 10 \ s$ है,और ऊँचाई $10 \ m/s$ है।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई}$
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (30 + 10) \times 10$
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 40 \times 10 = 200 \ m$.
अतः,लिफ्ट द्वारा तय की गई दूरी $200 \ m$ है।

(B) तय की गई दूरी वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होती है।
कुल $7\,s$ में तय की गई दूरी समलंब $ABCD$ का क्षेत्रफल है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (\text{समानांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (6 + 2) \times 10 = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 = 40\,m$.
अंतिम $2\,s$ में ($t = 5\,s$ से $t = 7\,s$ तक) तय की गई दूरी त्रिभुज $CQD$ का क्षेत्रफल है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (7 - 5) \times 10 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10 = 10\,m$.
अभीष्ट भाग $\frac{10}{40} = 0.25$ है।

(B) दिया गया त्वरण-समय $(a-t)$ ग्राफ दर्शाता है कि त्वरण समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है $(a \propto t)$ और फिर शून्य हो जाता है।
$1$. जिस अंतराल में त्वरण रैखिक रूप से बढ़ता है: $a = kt$ (जहाँ $k$ एक नियतांक है)।
चूंकि $a = \frac{dv}{dt}$,इसलिए $\frac{dv}{dt} = kt$ होगा।
दोनों पक्षों का समय के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int dv = \int kt \, dt$।
इससे $v = \frac{1}{2} kt^2 + C$ प्राप्त होता है। चूंकि ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होता है,इसलिए $C = 0$,अतः $v = \frac{1}{2} kt^2$।
यह एक परवलयाकार वक्र को दर्शाता है।
$2$. जब त्वरण शून्य हो जाता है,तो वेग नियत हो जाता है (क्योंकि $\frac{dv}{dt} = 0$)।
अतः,वेग-समय ग्राफ में परवलयाकार वृद्धि और उसके बाद नियत वेग को दर्शाने वाली एक क्षैतिज रेखा होनी चाहिए। यह विकल्प $B$ में दिए गए ग्राफ से मेल खाता है।

(D) वेग-समय ग्राफ में,वेग $v$ को $y$-अक्ष पर और समय $t$ को $x$-अक्ष पर दर्शाया जाता है।
किसी ग्राफ के भौतिक रूप से संभव होने के लिए,समय $t$ के प्रत्येक क्षण पर,वेग $v$ का एक अद्वितीय मान होना चाहिए।
ग्राफ $D$ में,समय $t$ के एक ही क्षण के लिए,वेग $v$ के दो अलग-अलग मान प्राप्त होते हैं,जो भौतिक रूप से असंभव है।
इसलिए,ग्राफ $D$ संभव नहीं है।

(A) जब एक स्टील की गेंद को ऊंचाई से गिराया जाता है,तो वह गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर त्वरित होती है,इसलिए उसका वेग ऋणात्मक दिशा (नीचे की ओर) में बढ़ता है। इसे मूल बिंदु से शुरू होने वाली ऋणात्मक ढलान वाली एक सीधी रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।
जब यह संगमरमर के फर्श से टकराती है,तो यह एक प्रत्यास्थ टक्कर से गुजरती है,जिससे वेग की दिशा में ऋणात्मक से धनात्मक में तात्कालिक परिवर्तन होता है। इसे ग्राफ में एक ऊर्ध्वाधर छलांग द्वारा दर्शाया जाता है।
उछलने के बाद,यह धनात्मक वेग के साथ ऊपर की ओर बढ़ती है जो गुरुत्वाकर्षण के कारण घटता है,जिसे धनात्मक वेग क्षेत्र में ऋणात्मक ढलान वाली एक सीधी रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।
जैसे-जैसे गेंद उछलती रहती है,ऊर्जा की हानि के कारण प्रत्येक बाद के उछाल की ऊंचाई कम हो जाती है,जिसके परिणामस्वरूप वेग में छोटे परिवर्तन होते हैं और उछाल के बीच का समय अंतराल कम हो जाता है। ऋणात्मक ढलान और ऊर्ध्वाधर छलांग वाले रैखिक खंडों का यह पैटर्न विकल्प $A$ में सही ढंग से दर्शाया गया है।

(A) त्वरण वेग-समय ग्राफ के ढलान (slope) द्वारा प्राप्त किया जाता है।
खंड $OA$ के लिए: त्वरण $a_{OA} = \frac{v_A - v_O}{t_A - t_O} = \frac{10 - 0}{10 - 0} = 1 \ m/s^2$.
खंड $AB$ के लिए: चूंकि वेग स्थिर है,इसलिए त्वरण $a_{AB} = 0 \ m/s^2$.
खंड $BC$ के लिए: त्वरण $a_{BC} = \frac{v_C - v_B}{t_C - t_B} = \frac{0 - 10}{40 - 20} = \frac{-10}{20} = -0.5 \ m/s^2$.
अतः,त्वरण $1, 0, -0.5$ है।

(A) दी गई स्थिति का समीकरण: $x = 9t^2 - t^3$।
वेग $v$,समय के सापेक्ष स्थिति का अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(9t^2 - t^3) = 18t - 3t^2$।
वह समय ज्ञात करने के लिए जिस पर गति अधिकतम है,हम वेग का समय के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dv}{dt} = 18 - 6t = 0$।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = 3 \ s$ प्राप्त होता है।
अब,उस क्षण पर स्थिति ज्ञात करने के लिए $t = 3 \ s$ को स्थिति के समीकरण में रखने पर: $x = 9(3)^2 - (3)^3 = 9(9) - 27 = 81 - 27 = 54 \ m$।

(B) कण का वेग $v(x) = \beta x^{-2n}$ के रूप में दिया गया है।
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम संबंध $a = v \frac{dv}{dx}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} (\beta x^{-2n}) = \beta (-2n) x^{-2n-1} = -2n \beta x^{-2n-1}$.
अब,त्वरण के सूत्र में $v$ और $\frac{dv}{dx}$ का मान रखने पर:
$a = (\beta x^{-2n}) \times (-2n \beta x^{-2n-1})$.
$a = -2n \beta^2 x^{-2n + (-2n) - 1}$.
$a = -2n \beta^2 x^{-4n-1}$.

(B) किसी भी समय $t$ पर कार $P$ की स्थिति $x_P(t) = at + bt^2$ है।
कार $P$ का वेग $v_P(t) = \frac{dx_P(t)}{dt} = a + 2bt$ है ... $(i)$.
इसी प्रकार,कार $Q$ के लिए,स्थिति $x_Q(t) = ft - t^2$ है।
कार $Q$ का वेग $v_Q(t) = \frac{dx_Q(t)}{dt} = f - 2t$ है ... $(ii)$.
यह दिया गया है कि कारों का वेग समान है,इसलिए $v_P(t) = v_Q(t)$।
अतः,$a + 2bt = f - 2t$।
$t$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर: $2bt + 2t = f - a$।
$2t(b + 1) = f - a$।
इस प्रकार,$t = \frac{f - a}{2(1 + b)}$।