Uniformly Accelerated Motion Questions in Hindi

(D) दिया गया मंदन समीकरण: $\frac{dv}{dt} = -kv^3$.
समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dv}{v^3} = -k dt$.
दोनों पक्षों का वेग के लिए $v_0$ से $v$ तक और समय के लिए $0$ से $t$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{v_0}^{v} v^{-3} dv = \int_{0}^{t} -k dt$.
समाकलन का मान प्राप्त करने पर:
$\left[ \frac{v^{-2}}{-2} \right]_{v_0}^{v} = -kt$.
$-\frac{1}{2} \left( \frac{1}{v^2} - \frac{1}{v_0^2} \right) = -kt$.
$\frac{1}{v^2} - \frac{1}{v_0^2} = 2kt$.
$\frac{1}{v^2} = \frac{1}{v_0^2} + 2kt = \frac{1 + 2v_0^2kt}{v_0^2}$.
व्युत्क्रम और वर्गमूल लेने पर:
$v^2 = \frac{v_0^2}{1 + 2v_0^2kt}$.
$v = \frac{v_0}{\sqrt{1 + 2v_0^2kt}}$.

(C) माना गोली का प्रारंभिक वेग $u$ है और एक तख्ते की मोटाई $s$ है। एक तख्ते से गुजरने के बाद वेग $v = u - u/20 = 19u/20$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a$ एकसमान मंदन है:
$(19u/20)^2 = u^2 + 2as \implies 2as = (19/20)^2 u^2 - u^2 = u^2 (361/400 - 1) = -39u^2/400$.
माना गोली को रोकने के लिए आवश्यक तख्तों की संख्या $n$ है। $n$ तख्तों से गुजरने के बाद अंतिम वेग $0$ होने के लिए:
$0^2 = u^2 + 2a(ns) = u^2 + n(2as)$.
$2as = -39u^2/400$ प्रतिस्थापित करने पर:
$0 = u^2 + n(-39u^2/400) \implies 1 = n(39/400) \implies n = 400/39 \approx 10.25$.
चूँकि तख्तों की संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए गोली को रोकने के लिए कम से कम $11$ तख्तों की आवश्यकता होगी।

(C) माना कण का एकसमान त्वरण $a$ है और प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m/s$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,पहले $5 \ s$ में तय की गई दूरी है:
$x = 0(5) + \frac{1}{2}a(5)^2 = 12.5a \implies a = \frac{x}{12.5} = 0.08x \ m/s^2$.
अब,पहले $10 \ s$ (कुल समय) में तय की गई दूरी है:
$s_{10} = 0(10) + \frac{1}{2}a(10)^2 = 50a$.
$a = 0.08x$ का मान रखने पर:
$s_{10} = 50(0.08x) = 4x \ m$.
अगले $5 \ s$ में तय की गई दूरी,$10 \ s$ में तय की गई दूरी और $5 \ s$ में तय की गई दूरी का अंतर है:
$\text{दूरी} = s_{10} - x = 4x - x = 3x \ m$.

(A) मान लीजिए प्रारंभिक त्वरण $a_1$ है। चूंकि कार विराम से शुरू होती है,$u = 0$। $t_1 = 9 \ s$ के बाद,वेग $v = a_1 t_1 = 9a_1$ हो जाता है। अतः,$a_1 = v/9$।
इसके बाद,मोटर चालक $t_2 = 50 \ s$ के लिए $v$ गति बनाए रखता है।
अंत में,मोटर चालक मंदित होकर विराम में आ जाता है। मान लीजिए मंदन $a_2$ है। हमें दिया गया है कि $a_2 = 3a_1 = 3(v/9) = v/3$।
गति के समीकरण $v_f = u_f - a_2 t_3$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v_f = 0$ (अंतिम विराम),$u_f = v$ (इस चरण के लिए प्रारंभिक गति),और $t_3$ रुकने में लगा समय है:
$0 = v - (v/3) t_3$
$v = (v/3) t_3$
$t_3 = 3 \ s$।

(C) दिया गया है कि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है। त्वरण $a$ नियत है।
पहले $10\, s$ के लिए $(t_1 = 10\, s)$:
$s_1 = ut_1 + \frac{1}{2}at_1^2 = 0(10) + \frac{1}{2}a(10)^2 = 50a$.
कुल $20\, s$ के समय के लिए $(t_{total} = 20\, s)$:
$s_{total} = s_1 + s_2 = u(t_{total}) + \frac{1}{2}a(t_{total})^2 = 0(20) + \frac{1}{2}a(20)^2 = 200a$.
कुल दूरी के समीकरण में $s_1 = 50a$ रखने पर:
$50a + s_2 = 200a$.
इसलिए,$s_2 = 200a - 50a = 150a$.
$s_1$ और $s_2$ की तुलना करने पर:
$\frac{s_2}{s_1} = \frac{150a}{50a} = 3$.
अतः,$s_2 = 3s_1$.

(C) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 20\ m/s$,अंतिम वेग $v = 0\ m/s$,और मंदन $a = -5\ m/s^2$ है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 = u^2 + 2as$।
मान रखने पर: $0^2 = (20)^2 + 2(-5)s$।
$0 = 400 - 10s$।
$10s = 400$।
$s = 40\ m$।
अतः,कार के रुकने तक तय की गई दूरी $40\ m$ है।

(A) माना प्रारंभिक वेग $u$ है और समान त्वरण $a$ है।
पहले $t = 4 \ sec$ के अंतराल के लिए,तय की गई दूरी $s_1 = 24 \ m$ है।
समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$24 = u(4) + \frac{1}{2}a(4)^2$
$24 = 4u + 8a$
$4$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $6 = u + 2a$ --- $(1)$
कुल $t = 8 \ sec$ के समय के लिए,कुल तय की गई दूरी $s_{total} = 24 + 64 = 88 \ m$ है।
समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$88 = u(8) + \frac{1}{2}a(8)^2$
$88 = 8u + 32a$
$8$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $11 = u + 4a$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(u + 4a) - (u + 2a) = 11 - 6$
$2a = 5 \Rightarrow a = 2.5 \ m/s^2$
$a = 2.5$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$6 = u + 2(2.5)$
$6 = u + 5$
$u = 1 \ m/s$.

(D) दिया गया त्वरण $a = v \frac{dv}{dx} = -\alpha x^2$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $v dv = -\alpha x^2 dx$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $(x=0, v=v_0)$ से अंतिम स्थिति $(x=d, v=0)$ तक दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{v_0}^{0} v dv = \int_{0}^{d} -\alpha x^2 dx$.
समाकलन का मान निकालने पर:
$[\frac{v^2}{2}]_{v_0}^{0} = -\alpha [\frac{x^3}{3}]_{0}^{d}$.
$0 - \frac{v_0^2}{2} = -\alpha (\frac{d^3}{3})$.
$\frac{v_0^2}{2} = \frac{\alpha d^3}{3}$.
$d$ के लिए हल करने पर:
$d^3 = \frac{3v_0^2}{2\alpha}$.
$d = (\frac{3v_0^2}{2\alpha})^{1/3}$.

(A) माना $u_1, u_2, u_3, u_4$ क्रमशः $t=0, t_1, (t_1+t_2)$ और $(t_1+t_2+t_3)$ समय पर वेग हैं। माना $a$ नियत त्वरण है।
किसी अंतराल में औसत वेग प्रारंभिक और अंतिम वेग का औसत होता है:
$v_1 = \frac{u_1 + u_2}{2}$,$v_2 = \frac{u_2 + u_3}{2}$,$v_3 = \frac{u_3 + u_4}{2}$.
$v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$u_2 = u_1 + at_1$
$u_3 = u_2 + at_2 = u_1 + a(t_1 + t_2)$
$u_4 = u_3 + at_3 = u_1 + a(t_1 + t_2 + t_3)$
अब,$v_1 - v_2 = \frac{u_1 + u_2}{2} - \frac{u_2 + u_3}{2} = \frac{u_1 - u_3}{2} = -\frac{a(t_1 + t_2)}{2}$.
इसी प्रकार,$v_2 - v_3 = \frac{u_2 + u_3}{2} - \frac{u_3 + u_4}{2} = \frac{u_2 - u_4}{2} = -\frac{a(t_2 + t_3)}{2}$.
दोनों व्यंजकों को विभाजित करने पर:
$\frac{v_1 - v_2}{v_2 - v_3} = \frac{t_1 + t_2}{t_2 + t_3}$.

(D) $n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
चूंकि पिंड विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$ है।
$6^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_6 = 120 \, cm = 1.2 \, m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$1.2 = 0 + \frac{a}{2}(2 \times 6 - 1)$
$1.2 = \frac{a}{2}(11)$
$a = \frac{1.2 \times 2}{11} = \frac{2.4}{11} \, m/s^2 \approx 0.218 \, m/s^2$.
इसे $cm/s^2$ में बदलने पर:
$a = 0.218 \times 100 \, cm/s^2 = 21.8 \, cm/s^2$.

(A) दिया गया वेग समीकरण: $v = \sqrt{2x + 9}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $v^2 = 2x + 9$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2ax$ से करने पर,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $a$ त्वरण है:
मूल बिंदु पर,$x = 0$ होता है। वेग समीकरण में $x = 0$ रखने पर: $v = \sqrt{2(0) + 9} = \sqrt{9} = 3\, \text{unit}$। अतः,प्रारंभिक वेग $u = 3\, \text{unit}$ है।
$v^2 = 2x + 9$ की तुलना $v^2 = u^2 + 2ax$ से करने पर,हमें $2a = 2$ प्राप्त होता है,जिससे $a = 1\, \text{unit}$ मिलता है।
अतः,प्रारंभिक त्वरण $1\, \text{unit}$ है और प्रारंभिक वेग $3\, \text{unit}$ है।

(B) दिया गया है,$v = 2\sqrt{x}$।
त्वरण $a = v \frac{dv}{dx}$।
सबसे पहले,$\frac{dv}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^{1/2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$।
अब,त्वरण की गणना करें:
$a = (2\sqrt{x}) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 2\,m/s^2$।
चूंकि त्वरण नियत है और समय या स्थिति पर निर्भर नहीं करता है,इसलिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार कण पर कार्य करने वाला कुल बल $F$ है:
$F = m \cdot a = 1\,kg \cdot 2\,m/s^2 = 2\,N$।
अतः,किसी भी क्षण पर,$t = 2\,s$ सहित,कुल बल $2\,N$ है।

(B) माना कार का त्वरण $a$ है और $P$ तथा $Q$ के बीच की दूरी $s$ है।
पथ $PQ$ के लिए गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
$40^2 = 30^2 + 2as$
$1600 = 900 + 2as$
$2as = 700$
$as = 350$
माना $PQ$ के मध्य बिंदु पर वेग $V$ है। $P$ से मध्य बिंदु तक की दूरी $s/2$ है।
गति के समीकरण $V^2 = u^2 + 2a(s/2)$ का उपयोग करने पर:
$V^2 = 30^2 + as$
$V^2 = 900 + 350$
$V^2 = 1250$
$V = \sqrt{1250} = \sqrt{625 \times 2} = 25\sqrt{2}\; km/h$.
वैकल्पिक रूप से,समान त्वरण के लिए,मध्य बिंदु पर वेग $V_{mid}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$V_{mid} = \sqrt{\frac{v_P^2 + v_Q^2}{2}}$
$V_{mid} = \sqrt{\frac{30^2 + 40^2}{2}} = \sqrt{\frac{900 + 1600}{2}} = \sqrt{\frac{2500}{2}} = \sqrt{1250} = 25\sqrt{2}\; km/h$.

(B) माना प्रारंभिक वेग $v$ है और निरंतर मंदन $a$ है।
$3\,cm$ अंदर जाने के बाद,वेग $v/2$ हो जाता है।
गति के समीकरण $v_f^2 = v_i^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
$(v/2)^2 = v^2 - 2a(3) \implies v^2/4 = v^2 - 6a \implies 6a = 3v^2/4 \implies a = v^2/8$.
अब,माना अंतिम वेग $0$ होने तक तय की गई कुल दूरी $s_2$ है।
$0^2 = v^2 - 2a(s_2) \implies v^2 = 2(v^2/8)s_2 \implies v^2 = (v^2/4)s_2 \implies s_2 = 4\,cm$.
तय की गई अतिरिक्त दूरी $s_2 - s_1 = 4\,cm - 3\,cm = 1\,cm$ है।

(D) विराम अवस्था $(u = 0)$ से एकसमान त्वरण $(a)$ के अंतर्गत गति कर रहे कण के लिए:
$n$ सेकंड में विस्थापन गति के समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$s_n = ut + \frac{1}{2}an^2 = 0 + \frac{1}{2}an^2 = \frac{1}{2}an^2$
$n^{th}$ सेकंड में विस्थापन इस प्रकार है:
$s_{nth} = u + \frac{a}{2}(2n - 1) = 0 + \frac{a}{2}(2n - 1) = \frac{a}{2}(2n - 1)$
$n$ सेकंड में विस्थापन और $n^{th}$ सेकंड में विस्थापन का अनुपात लेने पर:
$\frac{s_n}{s_{nth}} = \frac{\frac{1}{2}an^2}{\frac{a}{2}(2n - 1)} = \frac{n^2}{2n - 1}$
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(C) मान लीजिए कि गति को तीन भागों में विभाजित किया गया है: $A$ से $B$,$B$ से $C$,और $C$ से $D$ तक।
भाग $A$ से $B$ के लिए: प्रारंभिक वेग $u = 0$,त्वरण $a = \alpha$,दूरी $d_1 = d$ है। $v^2 = u^2 + 2ad$ का उपयोग करने पर,हमें $v^2 = 2\alpha d$ प्राप्त होता है।
भाग $C$ से $D$ के लिए: अंतिम वेग $v' = 0$,त्वरण $a = -\alpha/2$,दूरी $d_3$ है। $v'^2 = v^2 + 2ad_3$ का उपयोग करने पर,हमें $0 = v^2 - 2(\alpha/2)d_3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v^2 = \alpha d_3$। चूंकि $v^2 = 2\alpha d$ है,इसलिए $2\alpha d = \alpha d_3$,अर्थात $d_3 = 2d$।
कुल दूरी $d_1 + d_2 + d_3 = 15d$ दी गई है। $d_1 = d$ और $d_3 = 2d$ रखने पर,हमें $d + d_2 + 2d = 15d$ प्राप्त होता है,जिससे $d_2 = 12d$ मिलता है।
भाग $B$ से $C$ के लिए: कार $t$ समय तक एकसमान वेग $v$ से चलती है। अतः,$d_2 = v \cdot t$,जिसका अर्थ है $12d = vt$,या $v = 12d/t$।
$v$ का मान समीकरण $v^2 = 2\alpha d$ में रखने पर: $(12d/t)^2 = 2\alpha d$।
$144d^2 / t^2 = 2\alpha d$।
$d = (2\alpha t^2) / 144 = \frac{1}{72} \alpha t^2$।

(D) माना त्वरण $\alpha$ है और मंदन $\beta$ है। दिया गया है कि $\beta = 3\alpha$.
माना $t_1$ त्वरण का समय है और $t_2$ मंदन का समय है。
कुल समय $t_1 + t_2 = 8 \, s$ है。
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है और विरामावस्था में आ जाता है, इसलिए प्राप्त अधिकतम वेग $v = \alpha t_1 = \beta t_2$ है。
$\beta = 3\alpha$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\alpha t_1 = 3\alpha t_2$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $t_1 = 3t_2$.
कुल समय के समीकरण में $t_1 = 3t_2$ रखने पर: $3t_2 + t_2 = 8 \, s$.
$4t_2 = 8 \, s$, इसलिए $t_2 = 2 \, s$.
अतः, त्वरण का समय $t_1 = 3 \times 2 = 6 \, s$ है।

(B) मान लीजिए कि अधिकतम गति $v$ तक पहुँचने में लगा समय $t_1$ है और रुकने में लगा समय $t_2$ है।
$v = u + at$ का उपयोग करते हुए,$v = 0 + at_1 \implies t_1 = \frac{v}{a}$।
मंदन के लिए,$0 = v - at_2 \implies t_2 = \frac{v}{a}$।
कुल समय $T = t_1 + t_2 = \frac{2v}{a}$।
त्वरण के दौरान तय की गई दूरी $s_1 = \frac{1}{2}at_1^2 = \frac{1}{2}a(\frac{v}{a})^2 = \frac{v^2}{2a}$।
मंदन के दौरान तय की गई दूरी $s_2 = \frac{v^2}{2a}$।
कुल दूरी $s = s_1 + s_2 = \frac{v^2}{a} \implies v^2 = as \implies v = \sqrt{as}$।
$T = \frac{2v}{a}$ में $v$ का मान रखने पर,$T = \frac{2\sqrt{as}}{a} = 2\sqrt{\frac{s}{a}}$।
अतः,कुल समय $2\sqrt{\frac{s}{a}}$ है और अधिकतम गति $\sqrt{as}$ है।

(B) माना प्रारंभिक वेग $u$ है और स्थिर त्वरण $a$ है।
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए,$t = 10 \, s$ पर,$v = 20 \, m/s$:
$20 = u + 10a \quad \dots(i)$
$n$ वें सेकंड में तय की गई दूरी के सूत्र $s_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ का उपयोग करते हुए,$n = 10$ और $s_{10} = 10 \, m$ के लिए:
$10 = u + \frac{a}{2}(2 \times 10 - 1)$
$10 = u + \frac{19a}{2} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(20 - 10) = (u - u) + (10a - 9.5a)$
$10 = 0.5a$
$a = \frac{10}{0.5} = 20 \, m/s^2$.

(B) माना कि दो कारों के प्रस्थान के बीच का समय अंतराल $\Delta t$ सेकंड है।
माना कि पहली कार $t_1 = 120\, s$ ($2$ मिनट) तक चलती है।
पहली कार द्वारा तय की गई दूरी $S_1 = \frac{1}{2} a t_1^2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times (120)^2 = 0.2 \times 14400 = 2880\, m$ है।
दूसरी कार $\Delta t$ सेकंड बाद शुरू होती है,इसलिए उसका यात्रा समय $t_2 = (120 - \Delta t)\, s$ है।
दूसरी कार द्वारा तय की गई दूरी $S_2 = \frac{1}{2} a t_2^2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times (120 - \Delta t)^2 = 0.2(120 - \Delta t)^2$ है।
कारों के बीच की दूरी $S_1 - S_2 = 1.9\, km = 1900\, m$ है।
मान रखने पर: $2880 - 0.2(120 - \Delta t)^2 = 1900$.
$0.2(120 - \Delta t)^2 = 2880 - 1900 = 980$.
$(120 - \Delta t)^2 = \frac{980}{0.2} = 4900$.
वर्गमूल लेने पर: $120 - \Delta t = 70$.
$\Delta t = 120 - 70 = 50\, s$.

(A) दिया गया है कि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
$n$ सेकंड के बाद वेग $v$ है।
गति के पहले समीकरण $v = u + an$ का उपयोग करने पर,हमें $v = 0 + an$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = \frac{v}{n}$।
अंतिम $2 \ s$ में विस्थापन,$n$ सेकंड में कुल विस्थापन और $(n - 2)$ सेकंड में विस्थापन के बीच का अंतर है।
$S_{last 2s} = S_n - S_{n-2} = \frac{1}{2}an^2 - \frac{1}{2}a(n-2)^2$।
$S_{last 2s} = \frac{1}{2}a [n^2 - (n^2 - 4n + 4)] = \frac{1}{2}a [4n - 4] = 2a(n - 1)$।
$a = \frac{v}{n}$ रखने पर,हमें $S_{last 2s} = 2(\frac{v}{n})(n - 1) = \frac{2v(n - 1)}{n}$ प्राप्त होता है।

(D) कण $x=-A$ पर विरामावस्था से शुरू होता है। त्वरण $a = F/m$ दाईं ओर है।
मान लीजिए $x=-A$ से $x=0$ तक यात्रा करने में लगा समय $t_1$ है। $u=0$ और $s=A$ के साथ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$A = 0 + \frac{1}{2} (F/m) t_1^2 \implies t_1 = \sqrt{\frac{2mA}{F}}$.
मान लीजिए $x=-A$ से $x=-A/2$ तक यात्रा करने में लगा समय $t_2$ है। $s = A/2$ का उपयोग करने पर:
$A/2 = 0 + \frac{1}{2} (F/m) t_2^2 \implies t_2 = \sqrt{\frac{mA}{F}}$.
$x=-A/2$ से $x=0$ तक यात्रा करने में लगा समय $\Delta t = t_1 - t_2$ है।
$\Delta t = \sqrt{\frac{2mA}{F}} - \sqrt{\frac{mA}{F}} = \sqrt{\frac{mA}{F}}(\sqrt{2}-1)$.

(B) दिया गया वेग फलन: $v = \sqrt{c_1 - c_2 x}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $v^2 = c_1 - c_2 x$.
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dt}(v^2) = \frac{d}{dt}(c_1 - c_2 x)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर: $2v \frac{dv}{dt} = -c_2 \frac{dx}{dt}$.
चूंकि त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ और वेग $v = \frac{dx}{dt}$ है,इसलिए:
$2v a = -c_2 v$.
यदि $v \neq 0$ है,तो दोनों पक्षों को $2v$ से विभाजित करने पर:
$a = -\frac{c_2}{2}$.
अतः,कण का त्वरण नियत है और इसका मान $-\frac{c_2}{2}$ है।

(C) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 0\,m/s$ (विराम अवस्था से)।
समय $t = 8\,s$।
त्वरण $a = 20\,cm/s^2 = 0.2\,m/s^2$।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$s = (0)(8) + \frac{1}{2} \times (0.2) \times (8)^2$
$s = 0 + 0.1 \times 64$
$s = 6.4\,m$
चूंकि $1\,m = 100\,cm$,इसलिए $s = 6.4 \times 100 = 640\,cm$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v$ अंतिम वेग है,$u$ प्रारंभिक वेग है,$a$ त्वरण (मंदन) है और $s$ रुकने की दूरी है।
पहले मामले के लिए: $u_1 = 40\, km/h$,$v_1 = 0$,$s_1 = 40\, m$.
$0^2 - u_1^2 = 2a(40) \implies a = -u_1^2 / 80$.
समान ब्रेकिंग बल के लिए मंदन $a$ स्थिर रहता है,इसलिए $s \propto u^2$ होता है।
अतः,$s_2 / s_1 = (u_2 / u_1)^2$.
यहाँ $u_2 = 80\, km/h$,$u_1 = 40\, km/h$,और $s_1 = 40\, m$ दिया गया है।
$s_2 = 40 \times (80 / 40)^2 = 40 \times 2^2 = 40 \times 4 = 160\, m$.
अतः,न्यूनतम रुकने की दूरी $160\, m$ है।

(D) माना $S$ ट्रेन की कुल लंबाई है और $a$ समान त्वरण है।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2aS$ का उपयोग करने पर:
$v^2 - u^2 = 2aS \implies aS = \frac{v^2 - u^2}{2}$.
माना $V_c$ मध्य डिब्बे का वेग है जब वह खंभे को पार करता है। इंजन से मध्य डिब्बे तक की दूरी $S/2$ है।
इस दूरी के लिए गति का समीकरण लागू करने पर:
$V_c^2 - u^2 = 2a(S/2) = aS$.
$aS$ का मान रखने पर:
$V_c^2 - u^2 = \frac{v^2 - u^2}{2}$.
$V_c^2 = u^2 + \frac{v^2 - u^2}{2} = \frac{2u^2 + v^2 - u^2}{2} = \frac{u^2 + v^2}{2}$.
अतः,$V_c = \sqrt{\frac{u^2 + v^2}{2}}$.

(C) मान लीजिए कि दौड़ की दूरी $L$ है। कार $A$ के लिए,$L = \frac{1}{2}a_1 t_1^2$,इसलिए $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{a_1}}$.
कार $B$ के लिए,$L = \frac{1}{2}a_2 t_2^2$,इसलिए $t_2 = \sqrt{\frac{2L}{a_2}}$.
दिया गया है $t_2 - t_1 = t$,इसलिए $\sqrt{2L} \left( \frac{1}{\sqrt{a_2}} - \frac{1}{\sqrt{a_1}} \right) = t \Rightarrow \sqrt{2L} \left( \frac{\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2}}{\sqrt{a_1 a_2}} \right) = t$.
अंतिम गति $v_A = a_1 t_1 = \sqrt{2a_1 L}$ और $v_B = a_2 t_2 = \sqrt{2a_2 L}$ है।
दिया गया है $v_A - v_B = v$,इसलिए $\sqrt{2L} (\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2}) = v$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{v}{t} = \frac{\sqrt{2L}(\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2})}{\sqrt{2L} \frac{(\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2})}{\sqrt{a_1 a_2}}} = \sqrt{a_1 a_2}$.
अतः,$v = \sqrt{a_1 a_2} t$.

(D) दिया गया है कि कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
चूंकि कण एकसमान त्वरण के साथ गति करता है,इसलिए त्वरण $a$ समय के साथ स्थिर रहता है।
$1$. त्वरण-समय ग्राफ के लिए: चूंकि $a$ स्थिर है,ग्राफ $(a)$ $t$-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है,जो सही है।
$2$. वेग-समय ग्राफ के लिए: समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,हमें $v = 0 + at = at$ प्राप्त होता है। यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है,इसलिए ग्राफ $(b)$ सही है।
$3$. विस्थापन-समय ग्राफ के लिए: समीकरण $x = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,हमें $x = 0(t) + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$ प्राप्त होता है। यह मूल बिंदु से शुरू होने वाला ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय दर्शाता है,इसलिए ग्राफ $(d)$ सही है।
अतः,आकृतियाँ $(a)$,$(b)$ और $(d)$ गति का सही प्रतिनिधित्व करती हैं।

(D) दी गई स्थिति का फलन: $x(t) = at + bt^2 - ct^3$.
वेग $v(t)$,स्थिति का समय के सापेक्ष प्रथम अवकलन है:
$v(t) = \frac{dx}{dt} = a + 2bt - 3ct^2$.
त्वरण $a(t)$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = 2b - 6ct$.
त्वरण को शून्य के बराबर रखने पर समय $t$ प्राप्त होता है:
$0 = 2b - 6ct \implies 6ct = 2b \implies t = \frac{b}{3c}$.
अब,$t = \frac{b}{3c}$ का मान वेग के समीकरण में रखने पर:
$v = a + 2b\left(\frac{b}{3c}\right) - 3c\left(\frac{b}{3c}\right)^2$
$v = a + \frac{2b^2}{3c} - 3c\left(\frac{b^2}{9c^2}\right)$
$v = a + \frac{2b^2}{3c} - \frac{b^2}{3c}$
$v = a + \frac{b^2}{3c}$.

(B) दी गई चाल $v = b\sqrt{x}$ है।
हम जानते हैं कि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = b\sqrt{x}$।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dx}{\sqrt{x}} = b dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $t = 0$ (जहाँ $x = 0$) से $t = \tau$ (जहाँ $x = x$) तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{x} x^{-1/2} dx = \int_{0}^{\tau} b dt$
$[2\sqrt{x}]_{0}^{x} = b\tau$
$2\sqrt{x} = b\tau$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{x} = \frac{b\tau}{2}$।
इस मान को चाल के समीकरण $v = b\sqrt{x}$ में रखने पर:
$v = b \left( \frac{b\tau}{2} \right) = \frac{b^2\tau}{2}$।

(A) माना प्रारंभिक वेग $u$ है और त्वरण $a$ है।
पहले $4\,s$ के लिए ($A$ से $B$ तक):
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$40 = u(4) + \frac{1}{2}a(4)^2$
$40 = 4u + 8a$
$4$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $u + 2a = 10$ --- $(i)$
कुल $8\,s$ समय के लिए ($A$ से $C$ तक):
कुल तय की गई दूरी $40\,m + 120\,m = 160\,m$ है।
$160 = u(8) + \frac{1}{2}a(8)^2$
$160 = 8u + 32a$
$8$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $u + 4a = 20$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(u + 4a) - (u + 2a) = 20 - 10$
$2a = 10 \implies a = 5\,m/s^2$
समीकरण $(i)$ में $a = 5$ रखने पर:
$u + 2(5) = 10$
$u + 10 = 10 \implies u = 0\,m/s$
अतः,प्रारंभिक वेग $0\,m/s$ और त्वरण $5\,m/s^2$ है।

(A) दिया गया वेग $v = 5 \sqrt{x}$ है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$ होता है।
सबसे पहले,$v = 5x^{1/2}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $\frac{dv}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dv}{dx} = 5 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{2.5}{\sqrt{x}}$.
अब,$v$ और $\frac{dv}{dx}$ का मान त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$a = (5 \sqrt{x}) \cdot \left( \frac{2.5}{\sqrt{x}} \right) = 5 \cdot 2.5 = 12.5 \, m/s^2$.
अतः,कण का त्वरण $12.5 \, m/s^2$ है।

(C) कण एकसमान त्वरित गति करता है। मान लीजिए $t = 0$ पर प्रारंभिक बिंदु $x = 0$ है। किसी भी समय $t$ पर कण की स्थिति $x(t) = ut + \frac{1}{2}at^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कण $t = 10\,s$ पर प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाता है,इसलिए $x(10) = 0$ है।
$10u + \frac{1}{2}a(10)^2 = 0 \implies 10u + 50a = 0 \implies u = -5a$.
अब,समय $t$ पर स्थिति $x(t) = (-5a)t + \frac{1}{2}at^2 = a(\frac{t^2}{2} - 5t)$ है।
हमें वह समय $t'$ ज्ञात करना है जिसके लिए $x(7) = x(t')$ हो।
$x(7) = a(\frac{49}{2} - 35) = a(24.5 - 35) = -10.5a$.
$x(t') = -10.5a$ रखने पर,हमें मिलता है $a(\frac{t'^2}{2} - 5t') = -10.5a$.
$\frac{t'^2}{2} - 5t' + 10.5 = 0 \implies t'^2 - 10t' + 21 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(t' - 7)(t' - 3) = 0$.
अतः,$t' = 7\,s$ या $t' = 3\,s$ है।
चूंकि हम $7\,s$ के अलावा समय ढूंढ रहे हैं,इसलिए $3\,s$ पर स्थिति समान होगी।

(B) माना कि दोनों वस्तुएं $t$ सेकंड के बाद मिलती हैं।
पहली वस्तु के लिए जो $v = 8\,m/s$ के एकसमान वेग से चल रही है,$t$ समय में विस्थापन $s_1 = v \times t = 8t$ होगा।
दूसरी वस्तु के लिए जो विरामावस्था $(u = 0)$ से $a = 4\,m/s^2$ के त्वरण के साथ चलना शुरू करती है,$t$ समय में विस्थापन $s_2 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times t^2 = 2t^2$ होगा।
चूंकि दोनों वस्तुएं मिलती हैं,इसलिए उनका विस्थापन समान होना चाहिए: $s_1 = s_2$.
अतः,$8t = 2t^2$.
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $2t^2 - 8t = 0$,जिससे $2t(t - 4) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $t = 0$ संभव नहीं है,इसलिए $t = 4\,s$ प्राप्त होता है।

(D) गति के समीकरण $v^{2} = u^{2} + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v$ अंतिम वेग है,$u$ प्रारंभिक वेग है,$a$ त्वरण (मंदक) है,और $s$ रुकने की दूरी है।
चूंकि ट्रेन रुक जाती है,$v = 0$,इसलिए $0 = u^{2} - 2as$,जिससे $s = \frac{u^{2}}{2a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि मंदक बल $F = ma$ स्थिर है,इसलिए मंदन $a$ स्थिर है।
अतः,$s \propto u^{2}$.
दिया गया है कि प्रारंभिक गति $u_{1} = u$ के लिए $s_{1} = 80 \ m$ है।
यदि गति को दोगुना कर दिया जाए,तो $u_{2} = 2u$.
तब,$\frac{s_{2}}{s_{1}} = \left(\frac{u_{2}}{u_{1}}\right)^{2} = \left(\frac{2u}{u}\right)^{2} = 4$.
$s_{2} = 4 \times s_{1} = 4 \times 80 \ m = 320 \ m$.
इस प्रकार,रुकने की दूरी मूल दूरी की चार गुना हो जाएगी।

(C) दिया गया है:
त्वरण $a = 2\,m/s^2$.
पिंड $A$ समय $t = 0$ पर चलना शुरू करता है और $t_A = 2\,s$ तक चलता है ($B$ के शुरू होने के एक सेकंड बाद,यानी कुल $1+1=2\,s$)।
पिंड $B$ समय $t = 1\,s$ पर चलना शुरू करता है और $t_B = 1\,s$ तक चलता है (अगली एक सेकंड के अंत में)।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$:
$2\,s$ में $A$ द्वारा तय की गई दूरी $s_A = \frac{1}{2} \times 2 \times (2)^2 = 4\,m$ है।
$1\,s$ में $B$ द्वारा तय की गई दूरी $s_B = \frac{1}{2} \times 2 \times (1)^2 = 1\,m$ है।
दोनों पिंडों के बीच की दूरी $s_A - s_B = 4\,m - 1\,m = 3\,m$ है।

(A) माना प्रारंभिक वेग $u$ है। $t_0$ समय में वेग $\frac{3}{4}u$ कम हो जाता है,इसलिए $t_0$ समय पर अंतिम वेग $v = u - \frac{3}{4}u = \frac{1}{4}u$ होगा।
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए,जहाँ त्वरण ऋणात्मक है (मंदक),हमें मिलता है: $\frac{1}{4}u = u - at_0$.
इसे हल करने पर $at_0 = u - \frac{1}{4}u = \frac{3}{4}u$,जिसका अर्थ है $a = \frac{3u}{4t_0}$.
माना वेग शून्य होने में लगा कुल समय $T$ है। $v = u - aT$ में $v = 0$ रखने पर,$0 = u - aT$,इसलिए $T = \frac{u}{a}$.
$a$ का मान रखने पर,$T = \frac{u}{(3u / 4t_0)} = \frac{4}{3}t_0$ प्राप्त होता है।

(B) स्थिति समीकरण दिया गया है: $x = 4(t-2) + a(t-2)^2$.
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[4(t-2) + a(t-2)^2] = 4 + 2a(t-2)$.
त्वरण $a_{acc}$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग $v$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}[4 + 2a(t-2)] = 2a$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(a)$ $t=0$ पर प्रारंभिक वेग $v = 4 + 2a(0-2) = 4 - 4a$ है। यह $4$ नहीं है जब तक कि $a=0$ न हो।
$(b)$ त्वरण $2a$ है,जो हमारे व्युत्पन्न से मेल खाता है।
$(c)$ $t=0$ पर,$x = 4(0-2) + a(0-2)^2 = -8 + 4a$ है। यह $0$ नहीं है जब तक कि $a=2$ न हो।
अतः,सही कथन यह है कि कण का त्वरण $2a$ है।

(C) एकसमान त्वरित गति के लिए,स्थिति $x$ समय $t$ का द्विघात फलन होना चाहिए,अर्थात $x = x_0 + u t + \frac{1}{2} a t^2$।
दिया गया विकल्प $(C)$: $t = \sqrt{\frac{x+a}{b}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$t^2 = \frac{x+a}{b}$
$b t^2 = x + a$
$x = b t^2 - a$
इस समीकरण की तुलना मानक गति के समीकरण $x = x_0 + u t + \frac{1}{2} a t^2$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि त्वरण नियत है $(a_{accel} = 2b)$ और प्रारंभिक वेग शून्य है। अतः,यह एकसमान त्वरित गति को दर्शाता है।

(B) मान लीजिए कुल समय $T$ है। पहला आधा समय $t = T/2$ है।
कण $A$ के लिए:
$t = T/2$ पर वेग $v_A = 0 + 2(T/2) = T$ है।
पहले आधे भाग में तय की गई दूरी $s_{A1} = 0 + 1/2(2)(T/2)^2 = T^2/4$ है।
दूसरे आधे भाग में तय की गई दूरी $s_{A2} = v_A(T/2) + 1/2(4)(T/2)^2 = T(T/2) + 2(T^2/4) = T^2/2 + T^2/2 = T^2$ है।
कुल दूरी $S_A = T^2/4 + T^2 = 5T^2/4$ है।
कण $B$ के लिए:
$t = T/2$ पर वेग $v_B = 0 + 4(T/2) = 2T$ है।
पहले आधे भाग में तय की गई दूरी $s_{B1} = 0 + 1/2(4)(T/2)^2 = T^2/2$ है।
दूसरे आधे भाग में तय की गई दूरी $s_{B2} = v_B(T/2) + 1/2(2)(T/2)^2 = 2T(T/2) + 1(T^2/4) = T^2 + T^2/4 = 5T^2/4$ है।
$v-t$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन को दर्शाता है। ग्राफ से स्पष्ट है कि $B$ के लिए क्षेत्रफल $A$ से अधिक है,इसलिए $B$ ने अधिक दूरी तय की है।

(B) दिया गया वेग $v = \frac{dx}{dt} = \alpha \sqrt{x}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dx}{\sqrt{x}} = \alpha dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int_{0}^{x} x^{-1/2} dx = \int_{0}^{t} \alpha dt$।
इससे $[2x^{1/2}]_{0}^{x} = \alpha t$ प्राप्त होता है।
अतः,$2\sqrt{x} = \alpha t$,जिसका अर्थ है $\sqrt{x} = \frac{\alpha}{2} t$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x = \frac{\alpha^2}{4} t^2$।
इसलिए,विस्थापन $x$,$t^2$ के समानुपाती है।

(B) दिया गया स्थिति-समय संबंध: $x^2 = 2 + t$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dt} = 1$.
चूंकि वेग $v = \frac{dx}{dt}$ है,इसलिए $2xv = 1$,जिसका अर्थ है $v = \frac{1}{2x}$.
त्वरण $a$ को $a = v \frac{dv}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$v = \frac{1}{2} x^{-1}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $\frac{dv}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2} (-1) x^{-2} = -\frac{1}{2x^2}$.
अब,$v$ और $\frac{dv}{dx}$ के मानों को त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$a = (\frac{1}{2x}) \times (-\frac{1}{2x^2}) = -\frac{1}{4x^3}$.

(B) विरामावस्था से त्वरित होने वाले चरण के लिए: $v_{\max} = \alpha t_1$ और $x_1 = \frac{1}{2} \alpha t_1^2$.
विरामावस्था में आने वाले मंदन चरण के लिए: $v_{\max} = \beta t_2$ और $x_2 = \frac{1}{2} \beta t_2^2$.
अधिकतम वेगों की तुलना करने पर: $\alpha t_1 = \beta t_2$,जिसका अर्थ है $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\beta}{\alpha}$.
अब,दूरियों का अनुपात लेने पर: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{\frac{1}{2} \alpha t_1^2}{\frac{1}{2} \beta t_2^2} = \frac{\alpha}{\beta} \left( \frac{t_1}{t_2} \right)^2$.
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{t_2}{t_1}$ को दूरी के अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{x_1}{x_2} = \left( \frac{t_2}{t_1} \right) \left( \frac{t_1}{t_2} \right)^2 = \frac{t_1}{t_2}$.
चूंकि $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\beta}{\alpha}$,इसलिए हमें $\frac{x_1}{x_2} = \frac{t_1}{t_2} = \frac{\beta}{\alpha}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $x \propto t^{5/2}$,इसलिए $x = K t^{5/2}$ जहाँ $K$ एक स्थिरांक है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(K t^{5/2}) = K \cdot \frac{5}{2} t^{3/2}$.
अतः,$v \propto t^{3/2}$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{5}{2} K t^{3/2}) = \frac{5}{2} K \cdot \frac{3}{2} t^{1/2} = \frac{15}{4} K t^{1/2}$.
अतः,$a \propto t^{1/2}$ या $a \propto \sqrt{t}$.
इसलिए,$(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(A) माना प्रारंभिक वेग $u$ है और त्वरण $a$ है।
पहले $t = 4\, s$ के अंतराल के लिए,दूरी $s_1 = 24\, m$:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
$24 = u(4) + \frac{1}{2}a(4)^2$
$24 = 4u + 8a$
$4$ से भाग देने पर,हमें मिलता है: $6 = u + 2a$ $...(i)$
कुल समय $t = 8\, s$ के लिए,कुल दूरी $s_{total} = 24 + 64 = 88\, m$:
$88 = u(8) + \frac{1}{2}a(8)^2$
$88 = 8u + 32a$
$8$ से भाग देने पर,हमें मिलता है: $11 = u + 4a$ $...(ii)$
समीकरण $(ii)$ से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(u + 4a) - (u + 2a) = 11 - 6$
$2a = 5 \implies a = 2.5\, m/s^2$
$a = 2.5$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$u + 2(2.5) = 6$
$u + 5 = 6$
$u = 1\, m/s$.

(D) दिया गया त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = 3t^2 + 2t + 2$ है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम त्वरण का समय के सापेक्ष समाकलन करेंगे: $dv = (3t^2 + 2t + 2)dt$.
दी गई सीमाओं के साथ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int_{v_0}^{v} dv = \int_{0}^{t} (3t^2 + 2t + 2) dt$.
$t = 0$ पर $v_0 = 2\,m/s$ दिया गया है,इसलिए: $v - 2 = [t^3 + t^2 + 2t]_0^2$.
ऊपरी सीमा $t = 2$ रखने पर: $v - 2 = (2^3 + 2^2 + 2(2)) - 0$.
$v - 2 = 8 + 4 + 4 = 16$.
$v = 16 + 2 = 18\,m/s$.

(B) दिया गया है,त्वरण $a = 4t$ है।
चूंकि कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए $t = 0$ पर प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
हम जानते हैं कि $a = \frac{dv}{dt}$,इसलिए $dv = a \ dt = 4t \ dt$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $v = \int 4t \ dt = 2t^2 + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर $v = 0$ है,इसलिए $C = 0$ है। अतः,$v = 2t^2$ है।
हम जानते हैं कि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $dx = v \ dt = 2t^2 \ dt$ है।
मूल बिंदु से ($t=0$ पर $x=0$) तय की गई दूरी $d$ ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$d = \int_{0}^{3} 2t^2 \ dt = \left[ \frac{2t^3}{3} \right]_{0}^{3}$ है।
$d = \frac{2(3)^3}{3} = \frac{2 \times 27}{3} = 2 \times 9 = 18 \ m$।

(C) दिया गया है कि पिंड विराम अवस्था से गति शुरू करता है,इसलिए $t = 0$ पर प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$,इसलिए $dv = a \ dt$ है।
दोनों पक्षों का $t = 0$ से $t = 2 \ s$ तक समाकलन करने पर:
$v = \int_{0}^{2} a \ dt = \int_{0}^{2} (3t + 4) \ dt$.
$v = \left[ \frac{3t^2}{2} + 4t \right]_{0}^{2}$.
$v = \left( \frac{3(2)^2}{2} + 4(2) \right) - (0)$.
$v = \left( \frac{3 \times 4}{2} + 8 \right) = 6 + 8 = 14 \ m/s$.

(D) विस्थापन $x = \alpha t^2 - \beta t^3$ द्वारा दिया गया है।
$1$. यह जांचने के लिए कि क्या कण अपने प्रारंभिक बिंदु पर वापस आता है,$x = 0$ रखें:
$\alpha t^2 - \beta t^3 = 0 \implies t^2(\alpha - \beta t) = 0$.
इससे $t = 0$ और $t = \frac{\alpha}{\beta}$ प्राप्त होता है। चूंकि कण $t = \frac{\alpha}{\beta}$ पर $x = 0$ पर वापस आ जाता है,इसलिए कथन $(a)$ गलत है।
$2$. वेग $v = \frac{dx}{dt} = 2\alpha t - 3\beta t^2$. विराम अवस्था के लिए $v = 0$ रखने पर:
$t(2\alpha - 3\beta t) = 0 \implies t = 0$ या $t = \frac{2\alpha}{3\beta}$. अतः,कथन $(b)$ सही है।
$3$. त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = 2\alpha - 6\beta t$. $t = 0$ पर,$a = 2\alpha$. चूंकि $2\alpha \neq 0$,प्रारंभिक त्वरण शून्य नहीं है। अतः,कथन $(c)$ गलत है।
चूंकि $(a)$ और $(c)$ दोनों गलत हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(B) कण की स्थिति $x = 32t - \frac{8t^3}{3}$ द्वारा दी गई है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(32t - \frac{8t^3}{3}) = 32 - 8t^2$.
कण विराम अवस्था में तब होता है जब $v = 0$:
$32 - 8t^2 = 0 \implies 8t^2 = 32 \implies t^2 = 4 \implies t = 2 \, s$ (चूंकि $t > 0$).
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम $v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(32 - 8t^2) = -16t$.
$t = 2 \, s$ के क्षण पर,त्वरण है:
$a = -16(2) = -32 \, m/s^2$.