Position, Path Length and Displacement Questions in Hindi

(B) लड़का कोने $A$ से $B$ और फिर $C$ तक जाता है।
तय की गई दूरी वास्तविक पथ की लंबाई है: $Distance = AB + BC = 400 \, m + 300 \, m = 700 \, m$.
विस्थापन प्रारंभिक बिंदु $A$ और अंतिम बिंदु $C$ के बीच की न्यूनतम दूरी है:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$
$|\vec{AC}| = \sqrt{(AB)^2 + (BC)^2} = \sqrt{(400)^2 + (300)^2} = \sqrt{160000 + 90000} = \sqrt{250000} = 500 \, m$.
चूंकि लड़का कोने $B$ पर दिशा बदलता है,उसका वेग सदिश बदल जाता है,जिसका अर्थ है कि उसका वेग एकसमान नहीं है।
इसलिए,कथन 'उसका विस्थापन $700 \, m$ है' गलत है।

(A) स्थिति सदिश $\vec{r}(t) = 3t^2 \hat{i} + 4t^2 \hat{j} + 7 \hat{k}$ है।
$t = 0 \, s$ पर,प्रारंभिक स्थिति $\vec{r}_1 = 3(0)^2 \hat{i} + 4(0)^2 \hat{j} + 7 \hat{k} = 7 \hat{k}$ है।
$t = 10 \, s$ पर,अंतिम स्थिति $\vec{r}_2 = 3(10)^2 \hat{i} + 4(10)^2 \hat{j} + 7 \hat{k} = 300 \hat{i} + 400 \hat{j} + 7 \hat{k}$ है।
विस्थापन सदिश $\Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (300 \hat{i} + 400 \hat{j} + 7 \hat{k}) - (7 \hat{k}) = 300 \hat{i} + 400 \hat{j}$ है।
चूंकि कण एक सीधी रेखा में गति कर रहा है,इसलिए तय की गई दूरी विस्थापन के परिमाण के बराबर होगी।
दूरी $= |\Delta \vec{r}| = \sqrt{(300)^2 + (400)^2} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \, m$.

(A) मान लीजिए प्रारंभिक बिंदु $A$ है,उत्तर की ओर यात्रा करने के बाद बिंदु $B$ है,और पूर्व की ओर यात्रा करने के बाद अंतिम बिंदु $C$ है।
विस्थापन प्रारंभिक बिंदु $A$ से अंतिम बिंदु $C$ तक की सीधी दूरी है,जो समकोण त्रिभुज $ABC$ का कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
यहाँ $AB = 10\, km$ और $BC = 20\, km$ दिया गया है।
$AC = \sqrt{10^2 + 20^2} = \sqrt{100 + 400} = \sqrt{500}$
$AC = 10\sqrt{5} \approx 22.36\, km$.

(D) एक-विमीय गति को एक सीधी रेखा के अनुदिश वस्तु की गति के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ किसी भी समय उसकी स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए केवल एक निर्देशांक की आवश्यकता होती है।
$1$. विमान का उतरना त्रिविमीय गति है।
$2$. पृथ्वी का सूर्य के चारों ओर घूमना एक द्विविमीय गति (कक्षीय गति) है।
$3$. चलती ट्रेन के पहियों की गति में स्थानांतरण और घूर्णन दोनों शामिल हैं,जो जटिल और बहु-विमीय है।
$4$. सीधी पटरी पर दौड़ती ट्रेन एक ही अक्ष पर चलती है,इसलिए यह एक-विमीय गति है।

(C) विस्थापन को प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की सबसे छोटी दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है,जबकि दूरी किसी वस्तु द्वारा तय की गई कुल पथ लंबाई है।
चूंकि दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी एक सीधी रेखा होती है,इसलिए विस्थापन का परिमाण हमेशा तय की गई कुल दूरी से कम या उसके बराबर होता है $(|\text{displacement}| \le \text{distance})$।
इसलिए,विस्थापन और दूरी का अनुपात हमेशा $\le 1$ होता है।

(B) विस्थापन एक सदिश राशि है जिसे किसी वस्तु की स्थिति में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह दिया गया है कि कण $+x$ दिशा में $5 \ m$ चलता है,इसलिए इसकी प्रारंभिक स्थिति को मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ और अंतिम स्थिति को $(5, 0, 0)$ माना जा सकता है।
विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{r}_f - \vec{r}_i = (5 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}) - (0 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}) = 5 \hat{i} \ m$ होगा।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) कण वृत्ताकार चाप पर बिंदु $A(r, 0)$ से बिंदु $B(0, r)$ तक गति करता है।
पथ की लंबाई परिधि पर तय की गई दूरी है। चूंकि केंद्र पर बना कोण $90^\circ$ (या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन) है,इसलिए पथ की लंबाई $s = r\theta = r \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi r}{2}$ है।
विस्थापन प्रारंभिक बिंदु $A$ और अंतिम बिंदु $B$ के बीच की सीधी दूरी है। सदिश घटाव का उपयोग करने पर:
$\vec{r}_A = r\hat{i}$
$\vec{r}_B = r\hat{j}$
विस्थापन $\vec{d} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = r\hat{j} - r\hat{i}$.
विस्थापन का परिमाण $|\vec{d}| = \sqrt{(-r)^2 + (r)^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}$ है।
अतः,पथ की लंबाई $\frac{\pi r}{2}$ और विस्थापन $r\sqrt{2}$ है।

(C) जब एक कार दूसरी कार को ओवरटेक करती है,तो पार करने के उस विशिष्ट क्षण पर,दोनों कारें राजमार्ग पर बिल्कुल एक ही स्थान पर होती हैं।
चूंकि कारों को बिंदु कणों के रूप में माना गया है,इसलिए उस क्षण उनकी स्थिति $x_1$ और $x_2$ के लिए $x_1 = x_2$ होना आवश्यक है।
गति और त्वरण स्वतंत्र चर हैं जो वाहनों की गतिशीलता पर निर्भर करते हैं और ओवरटेक करने के लिए उनका समान होना आवश्यक नहीं है।
इसलिए,एकमात्र कथन जो सत्य होना चाहिए वह यह है कि उस क्षण उनकी स्थिति समान है।

(B) $1$. पूर्ण विराम या गति की अवधारणा पर्यवेक्षक के संदर्भ फ्रेम पर निर्भर करती है,इसलिए विकल्प $A$ सही है।
$2$. दूरी तय किए गए कुल पथ की लंबाई है,जबकि विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी है। यदि वस्तु बिना दिशा बदले सीधी रेखा में चलती है,तो दूरी विस्थापन के परिमाण के बराबर होती है। हालाँकि,यदि वस्तु दिशा बदलती है,तो दूरी विस्थापन के परिमाण से अधिक होती है। इसलिए,यह कथन कि विस्थापन 'हमेशा' दूरी के बराबर होता है,गलत है।
$3$. विस्थापन का परिमाण हमेशा तय की गई दूरी के बराबर या उससे कम होता है $(|displacement| \leq distance)$,इसलिए विकल्प $C$ सही है।
$4$. तात्क्षणिक चाल,तात्क्षणिक वेग का परिमाण होती है,इसलिए विकल्प $D$ सही है।
$5$. अतः,गलत कथन $B$ है।

(D) विस्थापन $\Delta r$ अंतिम स्थिति सदिश $r_f$ और प्रारंभिक स्थिति सदिश $r_i$ के बीच का अंतर है।
दिया गया है $r(t) = 3 \hat{i} + 4t \hat{j} - t \hat{k}$.
$t = 1 \ s$ पर,$r_1 = 3 \hat{i} + 4(1) \hat{j} - (1) \hat{k} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} - \hat{k}$.
$t = 3 \ s$ पर,$r_3 = 3 \hat{i} + 4(3) \hat{j} - (3) \hat{k} = 3 \hat{i} + 12 \hat{j} - 3 \hat{k}$.
विस्थापन $\Delta r = r_3 - r_1 = (3 \hat{i} + 12 \hat{j} - 3 \hat{k}) - (3 \hat{i} + 4 \hat{j} - \hat{k})$.
$\Delta r = (3-3) \hat{i} + (12-4) \hat{j} + (-3 - (-1)) \hat{k} = 0 \hat{i} + 8 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
चूंकि $8 \hat{j} - 2 \hat{k}$ विकल्पों $A, B,$ या $C$ में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) कण की स्थिति $x(t) = 2 + t - 3t^2$ द्वारा दी गई है।
$1$. विस्थापन:
अंतराल $t = 0$ से $t = 1$ में विस्थापन $\Delta x = x(1) - x(0)$ है।
$x(1) = 2 + 1 - 3(1)^2 = 0 \, m$.
$x(0) = 2 + 0 - 3(0)^2 = 2 \, m$.
विस्थापन $\Delta x = 0 - 2 = -2 \, m$.
$2$. दूरी:
कण का वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = 1 - 6t$ है।
कण तब दिशा बदलता है जब $v(t) = 0$,जो $t = \frac{1}{6} \, s$ पर होता है।
चूंकि $t = \frac{1}{6} \, s$ अंतराल $[0, 1]$ के भीतर है,इसलिए कुल दूरी $[0, 1/6]$ और $[1/6, 1]$ अंतरालों में निरपेक्ष विस्थापन का योग है।
दूरी $d = |x(1/6) - x(0)| + |x(1) - x(1/6)|$.
$x(1/6) = 2 + 1/6 - 3(1/6)^2 = 2 + 1/6 - 3/36 = 2 + 1/6 - 1/12 = 2 + 1/12 = 25/12 \, m$.
$|x(1/6) - x(0)| = |25/12 - 2| = |1/12| = 1/12 \, m$.
$|x(1) - x(1/6)| = |0 - 25/12| = 25/12 \, m$.
कुल दूरी $d = 1/12 + 25/12 = 26/12 = 13/6 \approx 2.167 \, m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,दूरी $2.1 \, m$ है।
अतः,विस्थापन $-2 \, m$ और दूरी $2.1 \, m$ है।

(C) तय की गई दूरी कण द्वारा तय किए गए कुल पथ की लंबाई है,जबकि विस्थापन का परिमाण प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की न्यूनतम दूरी है।
दूरी को विस्थापन के परिमाण के बराबर होने के लिए,कण को अपनी दिशा बदले बिना एक सीधी रेखा में चलना चाहिए।
यदि कण नियत वेग के साथ चलता है,तो इसका अर्थ है कि उसकी चाल और दिशा (सीधी रेखा में गति) दोनों नियत रहती हैं।
इसलिए,दूरी को विस्थापन के परिमाण के बराबर होने के लिए कण को नियत वेग के साथ चलना चाहिए।

(A, B) रेलवे बोगी का आकार दो स्टेशनों के बीच की दूरी की तुलना में बहुत छोटा होता है। इसलिए,बोगी को एक बिंदु-आकार की वस्तु माना जा सकता है।
$(b)$ बंदर का आकार वृत्ताकार ट्रैक के आकार की तुलना में बहुत छोटा होता है। इसलिए,ट्रैक पर बंदर को एक बिंदु-आकार की वस्तु माना जा सकता है।
$(c)$ घूमती हुई क्रिकेट की गेंद का आकार उस दूरी के तुलनीय है जिससे वह जमीन पर टकराने के बाद मुड़ती है। इसलिए,क्रिकेट की गेंद को बिंदु वस्तु नहीं माना जा सकता है।
$(d)$ बीकर का आकार उस मेज की ऊंचाई के तुलनीय है जिससे वह फिसल गया है। इसलिए,बीकर को बिंदु वस्तु नहीं माना जा सकता है।

(B) विस्थापन को किसी कण की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की न्यूनतम दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए मामले में,तीनों लड़कियाँ बिंदु $P$ से शुरू करती हैं और बिंदु $Q$ पर पहुँचती हैं।
चूँकि $P$ और $Q$ त्रिज्या $R = 200 \; m$ वाले वृत्ताकार मैदान पर व्यासांत विपरीत बिंदु हैं,इसलिए प्रत्येक लड़की के लिए विस्थापन का परिमाण वृत्त के व्यास के बराबर होगा।
विस्थापन का परिमाण $= 2 \times R = 2 \times 200 \; m = 400 \; m$।
चूँकि विस्थापन दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी सीधी दूरी है,यह केवल तभी वास्तविक पथ की लंबाई के बराबर होता है जब लिया गया रास्ता एक सीधी रेखा हो।
चित्र को देखने पर,लड़की $B$ बिंदु $P$ से $Q$ तक एक सीधी रेखा के पथ का अनुसरण करती है।
इसलिए,लड़की $B$ के लिए,विस्थापन का परिमाण स्केट किए गए पथ की वास्तविक लंबाई के बराबर है।

(N/A) मोटर चालक द्वारा अनुसरण किया गया पथ $500\; m$ भुजा वाला एक नियमित षट्भुज है,जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।
मान लीजिए मोटर चालक बिंदु $P$ से शुरू होता है। मोटर चालक $S$ पर तीसरा मोड़ लेता है।
$\therefore$ विस्थापन का परिमाण $= PS = PV + VS = 500 + 500 = 1000\; m$.
कुल पथ लंबाई $= PQ + QR + RS = 500 + 500 + 500 = 1500\; m$.
मोटर चालक बिंदु $P$ पर छठा मोड़ लेता है,जो शुरुआती बिंदु है।
$\therefore$ विस्थापन का परिमाण $= 0$.
कुल पथ लंबाई $= PQ + QR + RS + ST + TU + UP = 6 \times 500 = 3000\; m$.
मोटर चालक बिंदु $R$ पर आठवां मोड़ लेता है।
$\therefore$ विस्थापन का परिमाण $= PR = \sqrt{PQ^2 + QR^2 + 2(PQ)(QR) \cos 60^{\circ}}$.
$= \sqrt{500^2 + 500^2 + (2 \times 500 \times 500 \times 0.5)} = \sqrt{250000 + 250000 + 250000} = \sqrt{750000} \approx 866.03\; m$.
$PQ$ के साथ कोण $\beta$ का मान $\tan \beta = \frac{500 \sin 60^{\circ}}{500 + 500 \cos 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1 + 1/2} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए $\beta = 30^{\circ}$.
कुल पथ लंबाई $= 8 \times 500 = 4000\; m$.

मोड़	विस्थापन का परिमाण	कुल पथ लंबाई
तीसरा	$1000\; m$	$1500\; m$
छठा	$0\; m$	$3000\; m$
आठवां	$866.03\; m$ ($30^{\circ}$ कोण पर)	$4000\; m$

(N/A) जब कोई वस्तु किसी दूसरी वस्तु के सापेक्ष समय के साथ अपनी स्थिति बदलती है,तो उस वस्तु को दूसरी वस्तु के सापेक्ष गति में कहा जाता है।
गति के विभिन्न प्रकार निम्नलिखित हैं:
$(1)$ सरल रेखीय गति,
$(2)$ प्रक्षेप्य गति,
$(3)$ आवर्ती गति,
$(4)$ दोलनी गति,
$(5)$ सरल आवर्त गति,
$(6)$ एकसमान गति और
$(7)$ असमान गति।

(A) गति को समय और एक संदर्भ बिंदु (प्रेक्षक) के सापेक्ष किसी वस्तु की स्थिति में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि कोई वस्तु समय के साथ अपने परिवेश के सापेक्ष अपनी स्थिति नहीं बदलती है,तो उसे विराम अवस्था में कहा जाता है। यदि वह अपनी स्थिति बदलती है,तो उसे गति में कहा जाता है।

(N/A) गति ब्रह्मांड की हर वस्तु में सामान्य है। हम चलते हैं,दौड़ते हैं और साइकिल चलाते हैं। यहाँ तक कि जब हम सो रहे होते हैं,तब भी हवा हमारे फेफड़ों में अंदर-बाहर जाती है और रक्त धमनियों और नसों में प्रवाहित होता है। हम पेड़ों से गिरते पत्ते और बांध से बहता पानी देखते हैं। ऑटोमोबाइल और विमान लोगों को एक स्थान से दूसरे स्थान तक ले जाते हैं। पृथ्वी हर $24$ घंटे में एक बार घूमती है और वर्ष में एक बार सूर्य के चारों ओर चक्कर लगाती है। सूर्य स्वयं आकाशगंगा (Milky Way) में गतिमान है,जो फिर से आकाशगंगाओं के अपने स्थानीय समूह के भीतर गति कर रही है।

(N/A) यदि कोई वस्तु किसी अन्य वस्तु (प्रेक्षक या संदर्भ फ्रेम) के सापेक्ष अपनी स्थिति बदलती है,तो उसे उस वस्तु के सापेक्ष गति में कहा जाता है; अन्यथा उसे विराम अवस्था में कहा जाता है।
उदाहरण के लिए,यदि आप एक स्थिर वेग से चलती बस में यात्रा कर रहे हैं और आपके बगल में एक किताब रखी है,तो वह किताब आपके सापेक्ष स्थिर है।
हालाँकि,सड़क पर खड़े एक स्थिर प्रेक्षक के सापेक्ष वही किताब गति में है।
इस प्रकार,किसी भी वस्तु की गति वस्तु और प्रेक्षक का संयुक्त गुण है। बिना किसी परिभाषित अवलोकन स्थिति या संदर्भ फ्रेम के कोई भी गति निरपेक्ष नहीं होती है।

(B) यांत्रिकी में कण की अवधारणा सबसे महत्वपूर्ण है।
$1$. कण का अर्थ है द्रव्यमान वाला एक बिंदु-समान वस्तु। कण आयामहीन (dimensionless) होता है,इसलिए यह एक आदर्श अवधारणा है,यह वास्तविकता में नहीं पाया जाता है।
$2$. यह केवल रेखीय गति कर सकता है।
$3$. निम्नलिखित मामलों में वस्तु को कण माना जा सकता है:
- $(i)$ जब कोई वस्तु एक सीधी रेखा में इस प्रकार गति कर रही हो कि उसके सभी भाग समान समय में समान दूरी तय करें।
- $(ii)$ जब किसी वस्तु का आयाम उसके द्वारा तय की गई दूरी या दो वस्तुओं के बीच की दूरी की तुलना में नगण्य हो।
उदाहरण: पृथ्वी और सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण बल की गणना करते समय उन्हें कण माना जाता है।

(N/A) यांत्रिकी (Mechanics): भौतिकी की वह शाखा जो वस्तुओं की गति का अध्ययन करती है और उससे संबंधित है,यांत्रिकी कहलाती है। इसे मुख्य रूप से दो उप-शाखाओं में विभाजित किया गया है:
$(1)$ शुद्धगतिकी (Kinematics): यांत्रिकी की वह शाखा जो गति के कारणों (अर्थात बलों) पर विचार किए बिना वस्तुओं की गति का वर्णन करती है,शुद्धगतिकी कहलाती है।
$(2)$ गतिविज्ञान (Dynamics): यांत्रिकी की वह शाखा जो गति के कारणों (अर्थात बलों) पर विचार करके वस्तुओं की गति का वर्णन करती है,गतिविज्ञान कहलाती है।

(C) यदि कोई वस्तु समय के साथ एक संदर्भ बिंदु (प्रेक्षक) के सापेक्ष अपनी स्थिति बदलती है,तो उसे गति में कहा जाता है।
यदि किसी वस्तु की स्थिति एक संदर्भ बिंदु के सापेक्ष स्थिर रहती है,तो उसे विराम अवस्था में कहा जाता है।
उदाहरण के लिए,यदि आप एक चलती हुई बस में बैठे हैं,तो आपके बगल में रखी किताब आपके सापेक्ष स्थिर है।
हालाँकि,सड़क पर खड़े एक प्रेक्षक के सापेक्ष वही किताब गति में है।
इस प्रकार,गति एक सापेक्ष अवधारणा है और यह प्रेक्षक के संदर्भ फ्रेम पर निर्भर करती है।

(N/A) यांत्रिकी (mechanics) में कण की अवधारणा सबसे महत्वपूर्ण है।
कण का अर्थ है द्रव्यमान वाला एक बिंदु-समान (point-like) पिंड।
कण आयामहीन (dimensionless) होता है,इसलिए यह एक आदर्श अवधारणा है,यह वास्तविकता में नहीं पाया जाता है।
यह केवल रैखिक गति कर सकता है।
निम्नलिखित मामलों में वस्तु को कण माना जा सकता है:
$(1)$ किसी वस्तु को कण तब कहा जा सकता है यदि वह सीधी रेखा में इस प्रकार गति कर रही हो कि उसके सभी भाग समान समय में समान दूरी तय करें।
$(2)$ जब दो वस्तुओं के आयाम उनके बीच की दूरी की तुलना में नगण्य (negligible) हों,तो उन वस्तुओं को कण माना जा सकता है।
उदाहरण: पृथ्वी और सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण बल की गणना करते समय उन्हें कण माना जाता है।

(N/A) गतिकी (Kinematics) यांत्रिकी की वह शाखा है जो गति उत्पन्न करने वाले बलों या कारणों पर विचार किए बिना वस्तुओं की गति का वर्णन करती है। यह स्थिति,वेग,त्वरण और समय जैसे मापदंडों पर केंद्रित है।

(N/A) किसी वस्तु की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए,हमें एक संदर्भ बिंदु और अक्षों के एक सेट की आवश्यकता होती है। तीन परस्पर लंबवत अक्षों,जिन्हें $X$,$Y$ और $Z$-अक्ष कहा जाता है,से मिलकर बनी एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली चुनना सुविधाजनक होता है।
इन तीन अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु को मूल बिंदु $(O)$ कहा जाता है और यह संदर्भ बिंदु के रूप में कार्य करता है।
किसी वस्तु के निर्देशांक $(x, y, z)$ इस निर्देशांक प्रणाली के संबंध में वस्तु की स्थिति का वर्णन करते हैं।
समय मापने के लिए,हम इस प्रणाली में एक घड़ी रखते हैं।
यदि किसी वस्तु का एक या अधिक निर्देशांक समय के साथ बदलते हैं,तो हम कहते हैं कि वस्तु गति में है। अन्यथा,वस्तु को इस निर्देश तंत्र के संबंध में विराम अवस्था में कहा जाता है।
निर्देश तंत्र में अक्षों के सेट का चुनाव स्थिति पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए,एक आयाम में गति का वर्णन करने के लिए,हमें केवल एक अक्ष की आवश्यकता होती है। दो या तीन आयामों में गति का वर्णन करने के लिए,हमें दो या तीन अक्षों के सेट की आवश्यकता होती है।
एक सीधी रेखा के साथ गति का वर्णन करने के लिए,हम एक अक्ष चुन सकते हैं,मान लीजिए $X$-अक्ष,ताकि यह वस्तु के पथ के साथ संपाती हो।
फिर हम चित्र में दिखाए अनुसार,सुविधाजनक रूप से चुने गए मूल बिंदु $O$ के संदर्भ में वस्तु की स्थिति को मापते हैं। $O$ के दाईं ओर की स्थितियों को धनात्मक और $O$ के बाईं ओर की स्थितियों को ऋणात्मक लिया जाता है।
चित्र में बिंदुओं $P$ और $Q$ के स्थिति निर्देशांक $+360 \ m$ और $+240 \ m$ हैं। इसी प्रकार,बिंदु $R$ का स्थिति निर्देशांक $-120 \ m$ है।

(N/A) एक सीधी रेखा पर कार की गति पर विचार करें।
मान लीजिए कि अक्ष का मूल बिंदु वह बिंदु है जहाँ से कार ने चलना शुरू किया,यानी $t=0$ पर कार $x=0$ पर थी। मान लीजिए $P, Q$ और $R$ अलग-अलग समय पर कार की स्थिति को दर्शाते हैं।
गति के दो मामलों पर विचार करें:
मामला $1$: कार $O$ से $P$ तक चलती है। कार द्वारा तय की गई दूरी $OP = 360 \ m$ है।
इस दूरी को पथ लंबाई कहा जाता है।
मामला $2$: कार $O$ से $P$ तक जाती है और फिर $P$ से वापस $Q$ तक आती है। गति के इस दौरान,तय की गई पथ लंबाई $OP + PQ = 360 \ m + 120 \ m = 480 \ m$ है।
पथ लंबाई एक अदिश राशि है,जिसका अर्थ है कि इसमें केवल परिमाण होता है और कोई दिशा नहीं होती है।

(N/A) समय के एक विशेष अंतराल में कण की स्थिति में परिवर्तन को विस्थापन कहा जाता है। मान लीजिए कि समय $t_{1}$ और $t_{2}$ पर किसी वस्तु की स्थितियाँ $x_{1}$ और $x_{2}$ हैं।
समय $\Delta t = (t_{2} - t_{1})$ में इसके विस्थापन को $\Delta x$ द्वारा दर्शाया जाता है,जो अंतिम और प्रारंभिक स्थितियों के बीच के अंतर द्वारा दिया जाता है।
$\Delta x = x_{2} - x_{1}$
हम किसी राशि में परिवर्तन को दर्शाने के लिए ग्रीक अक्षर डेल्टा $(\Delta)$ का उपयोग करते हैं।
यदि $x_{2} > x_{1}$ है,तो $\Delta x$ धनात्मक है; और यदि $x_{2} < x_{1}$ है,तो $\Delta x$ ऋणात्मक है।
विस्थापन में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
एक-आयामी गति में,केवल दो दिशाएँ (पीछे और आगे,ऊपर और नीचे) होती हैं जिनमें कोई वस्तु गति कर सकती है।
इन दो दिशाओं को $+$ और $-$ संकेतों द्वारा आसानी से निर्दिष्ट किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए,$O$ से $P$ तक जाने में कार का विस्थापन है:
$\Delta x = x_{2} - x_{1} = (+360 \ m) - 0 \ m = +360 \ m$
विस्थापन का परिमाण $360 \ m$ है और यह $+$ संकेत द्वारा इंगित धनात्मक $x$-दिशा में निर्देशित है।
इसी प्रकार,$P$ से $Q$ तक कार का विस्थापन $240 \ m - 360 \ m = -120 \ m$ है। ऋणात्मक संकेत विस्थापन की दिशा को दर्शाता है।

कार की $O$ से $P$ तक की गति के लिए, पथ-लंबाई $360 \text{ m}$ है और विस्थापन $360 \text{ m}$ है।
इस स्थिति में, विस्थापन का परिमाण पथ-लंबाई के बराबर है।
अब, कार की $O$ से $P$ तक और वापस $Q$ तक की गति पर विचार करें। इस स्थिति में, पथ-लंबाई तय की गई कुल दूरी है: $360 \text{ m} + 120 \text{ m} = 480 \text{ m}$.
विस्थापन स्थिति में परिवर्तन है: $240 \text{ m} - 0 \text{ m} = 240 \text{ m}$.
अतः, विस्थापन का परिमाण $(240 \text{ m})$ पथ-लंबाई $(480 \text{ m})$ के बराबर नहीं है।

(N/A) मान लीजिए कि एक कार मूल बिंदु $O$ $(0 \ m)$ से शुरू होकर बिंदु $P$ $(360 \ m)$ तक जाती है और फिर वापस मूल बिंदु $O$ पर आ जाती है।
इस स्थिति में,प्रारंभिक स्थिति $x_i = 0 \ m$ है और अंतिम स्थिति $x_f = 0 \ m$ है।
विस्थापन को $\Delta x = x_f - x_i = 0 \ m - 0 \ m = 0 \ m$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
हालाँकि,तय की गई कुल पथ लंबाई दोनों खंडों की दूरियों का योग है: $OP + PO = 360 \ m + 360 \ m = 720 \ m$.
इस प्रकार,यह प्रदर्शित होता है कि विस्थापन का परिमाण शून्य हो सकता है जबकि पथ की लंबाई शून्य नहीं होती है।

(N/A)

पथ लंबाई	विस्थापन
$(1)$ गतिमान वस्तु द्वारा तय की गई कुल दूरी को पथ लंबाई कहते हैं।	$(1)$ वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी को विस्थापन कहते हैं।
$(2)$ यह हमेशा धनात्मक होती है।	$(2)$ यह धनात्मक,ऋणात्मक या शून्य हो सकती है।
$(3)$ यह एक अदिश राशि है।	$(3)$ यह एक सदिश राशि है।
$(4)$ किसी भी गतिमान वस्तु के लिए यह कभी शून्य नहीं हो सकती।	$(4)$ यदि वस्तु वापस प्रारंभिक बिंदु पर आ जाए तो गतिमान वस्तु के लिए यह शून्य हो सकती है।
$(5)$ यदि गति रेखीय नहीं है,तो पथ लंबाई > विस्थापन।	$(5)$ यदि गति रेखीय नहीं है,तो विस्थापन < पथ लंबाई।
$(6)$ पथ लंबाई से अंतिम स्थिति निर्धारित नहीं की जा सकती।	$(6)$ यदि प्रारंभिक स्थिति ज्ञात हो,तो विस्थापन से अंतिम स्थिति निर्धारित की जा सकती है।

(N/A) किसी वस्तु की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए,हमें एक संदर्भ बिंदु और अक्षों के एक सेट का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। तीन परस्पर लंबवत अक्षों,जिन्हें $X$,$Y$ और $Z$-अक्ष कहा जाता है,से मिलकर बनी एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली चुनना सुविधाजनक होता है।
इन तीन अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु को मूल बिंदु $(O)$ कहा जाता है और यह संदर्भ बिंदु के रूप में कार्य करता है।
किसी वस्तु के निर्देशांक $(x, y, z)$ इस निर्देशांक प्रणाली के संबंध में वस्तु की स्थिति का वर्णन करते हैं।
समय को मापने के लिए,हम इस प्रणाली में एक घड़ी रखते हैं।
यदि किसी वस्तु का एक या अधिक निर्देशांक समय के साथ बदलते हैं,तो हम कहते हैं कि वस्तु गति में है। अन्यथा,वस्तु को इस निर्देश तंत्र के संबंध में विराम अवस्था में कहा जाता है। निर्देश तंत्र में अक्षों के सेट का चुनाव स्थिति पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए,एक आयाम में गति का वर्णन करने के लिए,हमें केवल एक अक्ष की आवश्यकता होती है। दो या तीन आयामों में गति का वर्णन करने के लिए,हमें दो या तीन अक्षों के एक सेट की आवश्यकता होती है।

(A) किसी वस्तु को गति में तब कहा जाता है यदि समय बीतने के साथ अपने परिवेश या संदर्भ बिंदु के सापेक्ष उसकी स्थिति लगातार बदलती रहती है।
यदि समय के साथ किसी वस्तु की स्थिति नहीं बदलती है,तो उसे विराम अवस्था में कहा जाता है।

(N/A) पथ लंबाई किसी वस्तु द्वारा अपनी गति के दौरान दो बिंदुओं के बीच तय की गई कुल दूरी है। यह एक अदिश राशि है,जिसका अर्थ है कि इसका केवल परिमाण होता है,कोई दिशा नहीं।
विस्थापन समय के एक निश्चित अंतराल में किसी वस्तु की स्थिति में परिवर्तन है। इसे अंतिम स्थिति $(x_2)$ और प्रारंभिक स्थिति $(x_1)$ के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है: $\Delta x = x_2 - x_1$। विस्थापन एक सदिश राशि है,क्योंकि इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
उदाहरण: मान लीजिए एक कार मूल बिंदु $O$ $(x=0)$ से बिंदु $P$ $(x=360 \ m)$ तक जाती है और फिर वापस बिंदु $Q$ $(x=240 \ m)$ पर आती है।
$1$. पथ लंबाई: तय की गई कुल दूरी $OP + PQ = 360 \ m + (360 \ m - 240 \ m) = 360 \ m + 120 \ m = 480 \ m$ है।
$2$. विस्थापन: विस्थापन अंतिम स्थिति और प्रारंभिक स्थिति का अंतर है: $\Delta x = x_Q - x_O = 240 \ m - 0 \ m = +240 \ m$। धनात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि दिशा धनात्मक $x$-अक्ष की ओर है।

(N/A) पथ लंबाई और विस्थापन का परिमाण तब समान होते हैं जब कोई वस्तु बिना अपनी गति की दिशा बदले एक सीधी रेखा में एक ही दिशा में चलती है।
उदाहरण के लिए,दी गई संख्या रेखा के आधार पर,$O$ से $P$ तक कार की गति पर विचार करें:
- पथ लंबाई $360 \ m$ है।
- विस्थापन $360 \ m$ है।
इस स्थिति में,विस्थापन का परिमाण पथ लंबाई के बराबर है।
हालाँकि,$O$ से $P$ तक और फिर वापस $Q$ तक कार की गति पर विचार करें:
- पथ लंबाई = $(360 \ m) + (120 \ m) = 480 \ m$ है।
- विस्थापन = $(240 \ m) - (0 \ m) = 240 \ m$ है।
इस स्थिति में,विस्थापन का परिमाण $(240 \ m)$ पथ लंबाई $(480 \ m)$ के बराबर नहीं है।

(A) गतिमान वस्तु के लिए,पथ लंबाई तय की गई कुल दूरी है,जो हमेशा धनात्मक होती है।
यदि कोई वस्तु बिंदु $O$ से शुरू होकर बिंदु $P$ $(360 \ m)$ तक जाती है और वापस $O$ पर आती है,तो अंतिम स्थिति प्रारंभिक स्थिति के साथ संपाती होती है।
इस मामले में,विस्थापन $0 \ m$ है क्योंकि स्थिति में परिवर्तन शून्य है।
हालाँकि,पथ लंबाई $OP + PO = 360 \ m + 360 \ m = 720 \ m$ है।
इसलिए,एक गतिमान वस्तु के लिए पथ लंबाई शून्य नहीं हो सकती है,जबकि विस्थापन शून्य हो सकता है।

(B) गति का परिणामी प्रभाव किसी वस्तु की प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति तक के शुद्ध परिवर्तन को संदर्भित करता है। इसे विस्थापन के रूप में परिभाषित किया गया है।
विस्थापन एक सदिश राशि है जो किसी वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की सबसे छोटी दूरी का प्रतिनिधित्व करती है,जिसे $\vec{s} = \vec{x}_f - \vec{x}_i$ द्वारा दिया जाता है।
पथ लंबाई के विपरीत,जो तय किए गए वास्तविक मार्ग पर निर्भर करती है,विस्थापन केवल शुरुआती और अंतिम बिंदुओं पर विचार करता है,जो इसे गति के परिणामी प्रभाव को मापने के लिए सही माप बनाता है।

(A) भौतिकी में,स्थिति और गति की अवधारणाओं को निर्देश तंत्र (frame of reference) के सापेक्ष परिभाषित किया जाता है।
किसी वस्तु की स्थिति का वर्णन करने के लिए,हमें एक निर्देशांक प्रणाली या एक संदर्भ बिंदु (मूल बिंदु) की आवश्यकता होती है।
इसी प्रकार,गति को समय और चुनी गई निर्देश तंत्र के सापेक्ष वस्तु की स्थिति में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि ये दोनों प्रेक्षक के निर्देश तंत्र पर निर्भर करते हैं,इसलिए इन्हें सापेक्ष राशियाँ माना जाता है।

(N/A) गति सापेक्ष होती है। यदि कोई वस्तु किसी दूसरी वस्तु के सापेक्ष समय के साथ अपनी स्थिति बदलती है,तो उस वस्तु को दूसरी वस्तु के सापेक्ष गति में कहा जाता है।
किसी वस्तु की गति का वर्णन उसके विस्थापन,वेग और त्वरण के मानों को निर्धारित करके किया जा सकता है।

(C) पथ लंबाई किसी वस्तु द्वारा उसके वास्तविक पथ पर तय की गई कुल दूरी है।
विस्थापन किसी वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी है।
चूंकि दो बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी एक सीधी रेखा होती है,इसलिए पथ लंबाई हमेशा विस्थापन के परिमाण से अधिक या उसके बराबर होती है।
अतः,संबंध इस प्रकार है: $\text{पथ लंबाई} \geq \text{विस्थापन}$.

(B) विस्थापन को किसी वस्तु की स्थिति में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $\Delta x = x_f - x_i$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x_f$ अंतिम स्थिति है और $x_i$ प्रारंभिक स्थिति है।
यदि निर्देशांक प्रणाली के मूल बिंदु को $d$ दूरी से स्थानांतरित किया जाता है,तो नए निर्देशांक $x'_f = x_f - d$ और $x'_i = x_i - d$ हो जाते हैं।
नया विस्थापन $\Delta x' = x'_f - x'_i = (x_f - d) - (x_i - d) = x_f - x_i = \Delta x$ है।
चूंकि मूल बिंदु के बदलने पर भी विस्थापन समान रहता है,इसलिए यह मूल बिंदु के चयन पर निर्भर नहीं करता है।

(B) दूरी और विस्थापन का परिमाण तब समान होता है जब कोई वस्तु एक सीधी रेखा के पथ पर एक ही निश्चित दिशा में गति करती है।
इस स्थिति में,पथ की लंबाई (दूरी) प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की सीधी दूरी (विस्थापन) के बिल्कुल बराबर होती है।

(A) बिंदु $B$ पर पहली स्थिति में,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $45^{\circ}$ है। अतः,जमीन के साथ कोण $90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ होगा।
$\tan 45^{\circ} = \frac{h_{1}}{d} \Rightarrow 1 = \frac{h_{1}}{d} \Rightarrow h_{1} = d$.
जब गुब्बारा $h_{1} + h_{2}$ ऊंचाई पर होता है,तो लड़की बिंदु $C$ पर होती है। $A$ से $C$ की दूरी $d + 2.464d = 3.464d$ है। ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए जमीन के साथ कोण $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा।
$\tan 30^{\circ} = \frac{h_{1} + h_{2}}{3.464d}$.
दिया गया है $\tan 30^{\circ} = 0.5774$,अतः $0.5774 = \frac{d + h_{2}}{3.464d}$.
$d + h_{2} = 0.5774 \times 3.464d \approx 2d$.
$h_{2} = 2d - d = d$.

(A) दी गई स्थिति: $x(t) = t^2 - 4t + 6$.
वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = 2t - 4$.
पिंड तब विराम अवस्था में आता है जब $v(t) = 0$,जिससे $2t - 4 = 0$ अर्थात $t = 2 \, s$ प्राप्त होता है।
चूंकि $t = 2 \, s$ पर गति की दिशा बदलती है,हम दूरी की गणना दो भागों में करेंगे: $t = 0$ से $t = 2 \, s$ तक और $t = 2 \, s$ से $t = 3 \, s$ तक।
$t = 0 \, s$ पर: $x(0) = 0^2 - 4(0) + 6 = 6 \, m$.
$t = 2 \, s$ पर: $x(2) = 2^2 - 4(2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2 \, m$.
$t = 3 \, s$ पर: $x(3) = 3^2 - 4(3) + 6 = 9 - 12 + 6 = 3 \, m$.
$t = 0$ से $t = 2 \, s$ तक की दूरी $|x(2) - x(0)| = |2 - 6| = 4 \, m$ है।
$t = 2$ से $t = 3 \, s$ तक की दूरी $|x(3) - x(2)| = |3 - 2| = 1 \, m$ है।
कुल दूरी = $4 \, m + 1 \, m = 5 \, m$.

(D) औसत चाल का परिमाण $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
औसत वेग का परिमाण $\frac{|\text{कुल विस्थापन}|}{\text{कुल समय}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इन दोनों राशियों के बराबर होने के लिए, तय की गई कुल दूरी कुल विस्थापन के परिमाण के बराबर होनी चाहिए।
यह स्थिति तभी पूरी होती है जब कण अपनी गति की दिशा बदले बिना एक सीधी रेखा में चलता है।
इसलिए, सही विकल्प $D$ है।

(C) कार $60 \, km/h$ की गति से $1 \, h$ तक पूर्व दिशा में चलती है। पूर्व दिशा में तय की गई दूरी $d_1 = 60 \, km/h \times 1 \, h = 60 \, km$ है।
इसके बाद कार उसी $60 \, km/h$ की गति से $30 \, min$ $(0.5 \, h)$ तक दक्षिण दिशा में चलती है। दक्षिण दिशा में तय की गई दूरी $d_2 = 60 \, km/h \times 0.5 \, h = 30 \, km$ है।
चूंकि पूर्व और दक्षिण दिशाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए विस्थापन $60 \, km$ और $30 \, km$ भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है।
विस्थापन $= \sqrt{d_1^2 + d_2^2} = \sqrt{60^2 + 30^2} = \sqrt{3600 + 900} = \sqrt{4500} = \sqrt{900 \times 5} = 30 \sqrt{5} \, km$.

(B) साइकिल चालक बिंदु $P$ से बिंदु $S$ तक परिधि के अनुदिश गति करता है।
चूंकि पथ वृत्ताकार है, बिंदु $P, O, S$ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जहाँ $O$ वृत्त का केंद्र है।
विस्थापन प्रारंभिक बिंदु $P$ और अंतिम बिंदु $S$ के बीच की सीधी रेखा की दूरी है।
$\triangle POS$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, विस्थापन $d$ इस प्रकार है:
$d = \sqrt{OP^2 + OS^2}$
त्रिज्या $R = 2 \,km$ दी गई है, इसलिए $OP = OS = R = 2 \,km$ है।
$d = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$
$R$ का मान रखने पर:
$d = 2\sqrt{2} \,km = \sqrt{4 \times 2} \,km = \sqrt{8} \,km$.

(C) मान लीजिए कि प्रारंभिक बिंदु मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है।
हवाई जहाज $400 \,m$ उत्तर की ओर उड़ता है,इसलिए इसकी स्थिति $(0, 400, 0)$ है।
फिर यह $300 \,m$ दक्षिण की ओर उड़ता है,इसलिए इसकी नई स्थिति $(0, 400-300, 0) = (0, 100, 0)$ है।
अंत में,यह $1200 \,m$ ऊपर की ओर उड़ता है,इसलिए इसकी अंतिम स्थिति $(0, 100, 1200)$ है।
कुल विस्थापन मूल बिंदु से अंतिम स्थिति तक की दूरी है:
$d = \sqrt{0^2 + 100^2 + 1200^2}$
$d = \sqrt{10000 + 1440000}$
$d = \sqrt{1450000}$
$d = 100 \sqrt{145} \approx 100 \times 12.04 = 1204.16 \,m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लेने पर,कुल विस्थापन लगभग $1200 \,m$ है।

(D) दूरी किसी वस्तु द्वारा तय की गई कुल पथ की लंबाई है,जबकि विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की न्यूनतम दूरी है।
किसी भी गति के लिए,विस्थापन का परिमाण हमेशा तय की गई दूरी से कम या उसके बराबर होता है $(|\text{displacement}| \le \text{distance})$।
जब वस्तु बिना दिशा बदले एक सीधी रेखा में चलती है,तो दूरी और विस्थापन समान होते हैं,इसलिए अनुपात $1$ होता है।
जब वस्तु वक्र पथ पर चलती है या दिशा बदलती है,तो विस्थापन हमेशा दूरी से कम होता है,इसलिए अनुपात $1$ से कम होता है।
अतः,विस्थापन और दूरी का अनुपात हमेशा $1$ या $1$ से कम होता है।