Uniformly Accelerated Motion Questions in Hindi

(A) मान लीजिए $v_s = 0$ स्रोत (सायरन) की गति है और $v_o$ प्रेक्षक (वाहन) की गति है। डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति: $f' = f_0 \left( \frac{v - v_o}{v} \right)$, जहाँ $v = 330 \,m/s$ ध्वनि की गति है।
दिया गया है $f' = 0.94 f_0$, इसलिए $0.94 = \frac{330 - v_o}{330}$.
$v_o$ के लिए हल करने पर: $330 \times 0.94 = 330 - v_o \implies 310.2 = 330 - v_o \implies v_o = 19.8 \,m/s$.
वाहन विरामावस्था $(u = 0)$ से $a = 2 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ शुरू होता है। गति के समीकरण $v_o^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
$(19.8)^2 = 0^2 + 2(2)s \implies 392.04 = 4s$.
$s = \frac{392.04}{4} = 98.01 \,m$.
अतः, वाहन लगभग $98 \,m$ की दूरी तय कर चुका होगा।

(C) माना कुल समय $t$ है और त्वरण $a$ है। प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
समय के पहले आधे भाग के लिए,$t_{1} = t/2$:
$x_{1} = u t_{1} + \frac{1}{2} a t_{1}^{2} = 0 + \frac{1}{2} a (t/2)^{2} = \frac{1}{8} a t^{2}$।
कुल समय $t$ के लिए,कुल दूरी $x_{total} = x_{1} + x_{2} = \frac{1}{2} a t^{2}$।
कुल दूरी के समीकरण में $x_{1} = \frac{1}{8} a t^{2}$ रखने पर:
$\frac{1}{8} a t^{2} + x_{2} = \frac{1}{2} a t^{2}$।
$x_{2} = \frac{1}{2} a t^{2} - \frac{1}{8} a t^{2} = \frac{4-1}{8} a t^{2} = \frac{3}{8} a t^{2}$।
$x_{1}$ और $x_{2}$ की तुलना करने पर:
$x_{2} = 3 \times (\frac{1}{8} a t^{2}) = 3 x_{1}$।

(D) गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, $v^2 - u^2 = 2as$, जहाँ $v = 0$ (अंतिम वेग), $u$ प्रारंभिक वेग है, $a$ मंदन $(-a)$ है, और $s$ दूरी है।
$0^2 - u^2 = 2(-a)s \Rightarrow u^2 = 2as \Rightarrow s = \frac{u^2}{2a}$.
चूंकि मंदन $a$ स्थिर है, इसलिए $s \propto u^2$ है।
प्रथम स्थिति के लिए: $40 = \frac{(20)^2}{2a} \Rightarrow 2a = \frac{400}{40} = 10 \,m \,s^{-2}$.
दूसरी स्थिति के लिए, नया वेग $u' = 2 \times 20 = 40 \,m \,s^{-1}$ है।
नई दूरी $s' = \frac{(u')^2}{2a} = \frac{(40)^2}{10} = \frac{1600}{10} = 160 \,m$.

(C) $n^{\text{th}}$ सेकंड में पिंड द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
पहली सेकंड के लिए $(n=1)$: $5 = u + \frac{a}{2}(2(1) - 1) \implies 5 = u + \frac{a}{2}$ (समीकरण $i$).
तीसरी सेकंड के लिए $(n=3)$: $2 = u + \frac{a}{2}(2(3) - 1) \implies 2 = u + \frac{5a}{2}$ (समीकरण $ii$).
समीकरण $ii$ में से समीकरण $i$ को घटाने पर: $(2 - 5) = (u + \frac{5a}{2}) - (u + \frac{a}{2}) \implies -3 = 2a \implies a = -1.5 \,m/s^2$.
ऋणात्मक चिह्न मंदन (deceleration) को दर्शाता है।
बल का परिमाण $F = |m \times a| = 4 \,kg \times 1.5 \,m/s^2 = 6 \,N$ है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $= v_0$,अंतिम वेग $= v$,त्वरण $= a$,समयांतराल $= t$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 - v_0^2 = 2as$.
इससे,तय की गई कुल दूरी $s$ इस प्रकार है: $s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$.
औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समयांतराल से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
$\bar{v} = \frac{s}{t} = \frac{\frac{v^2 - v_0^2}{2a}}{t}$.
अतः,$\bar{v} = \frac{v^2 - v_0^2}{2at}$.

(A) कण का विस्थापन $x$ और समय $t$ के बीच संबंध $t = \sqrt{x} + 3$ दिया गया है।
$\sqrt{x}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{x} = t - 3$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें विस्थापन का समीकरण प्राप्त होता है: $x = (t - 3)^2 = t^2 - 6t + 9$।
कण का वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 6t + 9) = 2t - 6$।
जब वेग शून्य हो,तब विस्थापन ज्ञात करने के लिए,$v = 0$ रखने पर:
$2t - 6 = 0 \Rightarrow 2t = 6 \Rightarrow t = 3 \ s$।
अब,$t = 3 \ s$ का मान विस्थापन समीकरण में रखने पर:
$x = (3 - 3)^2 = 0^2 = 0 \ m$।
अतः,जब कण का वेग शून्य होता है,तो उसका विस्थापन $0 \ m$ होगा।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक स्थिति $x_i = 3 \ cm$,अंतिम स्थिति $x_f = -5 \ cm$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 12 \hat{i} \ cm \ s^{-1}$,और समय $t = 2 \ s$ है।
विस्थापन $\vec{s} = x_f - x_i = (-5 - 3) \hat{i} = -8 \hat{i} \ cm$ है।
गति के समीकरण $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a}t^2$ का उपयोग करने पर:
$-8 \hat{i} = (12 \hat{i})(2) + \frac{1}{2} \vec{a} (2)^2$
$-8 \hat{i} = 24 \hat{i} + 2 \vec{a}$
$2 \vec{a} = -8 \hat{i} - 24 \hat{i} = -32 \hat{i}$
$\vec{a} = -16 \ cm \ s^{-2} \hat{i}$.

(C) गतिकी के तीसरे समीकरण से,हमारे पास $v^2 - u^2 = 2as$ है।
यह मानते हुए कि वस्तु विरामावस्था से चलना शुरू करती है,प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v^2 = 2as$ प्राप्त होता है,जिसे $s = \frac{v^2}{2a}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $a$ एकसमान (स्थिर) त्वरण है,इसलिए विस्थापन $s$ और वेग $v$ के बीच का संबंध $s \propto v^2$ है।
यह $s$-अक्ष के अनुदिश खुलने वाले परवलय (parabola) को दर्शाता है।
ग्राफ $C$ एक परवलयाकार वक्र दिखाता है जहाँ $s$,$v$ के वर्ग के साथ बढ़ता है,जो मूल बिंदु $(0, 0)$ से शुरू होता है,जो व्युत्पन्न संबंध $s = \frac{1}{2a} v^2$ से मेल खाता है।

(D) कण का वेग $v = e^{-\beta x}$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = e^{-\beta x}$ है।
पदों को अलग करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $e^{\beta x} dx = dt$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $t = 0$ पर $x = 0$ का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_0^x e^{\beta x} dx = \int_0^t dt$
$\left[ \frac{e^{\beta x}}{\beta} \right]_0^x = [t]_0^t$
$\frac{1}{\beta} (e^{\beta x} - e^0) = t - 0$
$\frac{1}{\beta} (e^{\beta x} - 1) = t$
$e^{\beta x} - 1 = \beta t$
$e^{\beta x} = 1 + \beta t$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\beta x = \log(1 + \beta t)$
$x = \frac{1}{\beta} \log(1 + \beta t)$

(C) दिया गया विस्थापन समीकरण $3 s = 9 t + 5 t^2$ है।
पूरे समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $s = 3 t + (5/3) t^2$ प्राप्त होता है।
एकसमान त्वरण के लिए गति का मानक समीकरण $s = u t + (1/2) a t^2$ होता है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $a$ त्वरण है।
दिए गए समीकरण $s = 3 t + (5/3) t^2$ की तुलना मानक समीकरण $s = u t + (1/2) a t^2$ से करने पर,हमें $(1/2) a = 5/3$ प्राप्त होता है।
$a$ का मान निकालने पर,$a = 2 \times (5/3) = 10/3 \ m s^{-2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया विस्थापन समीकरण: $S = 30t + 5t^2$ है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है: $v = \frac{dS}{dt}$।
$S$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $v = \frac{d}{dt}(30t + 5t^2) = 30 + 10t$।
प्रारंभिक वेग $t = 0$ पर वेग होता है।
वेग समीकरण में $t = 0$ रखने पर: $v = 30 + 10(0) = 30 \ m \ s^{-1}$।
अतः,प्रारंभिक वेग $30 \ m \ s^{-1}$ है।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 6.25 \,ms^{-1}$, त्वरण $a = -2.5 \sqrt{v} \,ms^{-2}$, और अंतिम वेग $v = 0$ (विराम अवस्था)।
हम जानते हैं कि त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dv}{dt} = -2.5 \sqrt{v}$
समाकलन करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dv}{\sqrt{v}} = -2.5 dt$
दोनों पक्षों का प्रारंभिक वेग $u$ से अंतिम वेग $0$ तक और समय $0$ से $T$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{6.25}^{0} v^{-1/2} dv = \int_{0}^{T} -2.5 dt$
$[2 \sqrt{v}]_{6.25}^{0} = -2.5 [t]_{0}^{T}$
$2(\sqrt{0} - \sqrt{6.25}) = -2.5(T - 0)$
$2(0 - 2.5) = -2.5T$
$-5 = -2.5T$
$T = \frac{5}{2.5} = 2 \,s$
अतः, कार को रुकने में लगा समय $2 \,s$ है।

(B) मान लीजिए कि छात्र का न्यूनतम वेग $v$ है ताकि वह बस को पकड़ सके।
यदि छात्र $t$ समय में बस को पकड़ लेता है,तो $t$ समय में छात्र द्वारा तय की गई दूरी $= 16 \ m +$ बस द्वारा $t$ समय में तय की गई दूरी।
गति के समीकरणों का उपयोग करते हुए:
छात्र द्वारा तय की गई दूरी $= v t$
बस द्वारा तय की गई दूरी $= u t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9 \times t^2 = 4.5 t^2$
दूरी की तुलना करने पर:
$v t = 16 + 4.5 t^2$
$4.5 t^2 - v t + 16 = 0$
सरल बनाने के लिए $2$ से गुणा करने पर:
$9 t^2 - 2 v t + 32 = 0$
छात्र के बस पकड़ने के लिए,समय $t$ का मान वास्तविक होना चाहिए। इसलिए,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) शून्य या उससे अधिक होना चाहिए $(D \geq 0)$:
$(-2 v)^2 - 4 \times 9 \times 32 \geq 0$
$4 v^2 - 1152 \geq 0$
$v^2 \geq 288$
$v \geq \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = 12 \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$
न्यूनतम वेग $12 \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$ है।
इसकी तुलना $\alpha \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$ से करने पर,हमें $\alpha = 12$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0$, त्वरण $a = \frac{5}{4} \,ms^{-2}$, और समय $n = 3 \,s$ है।
$n$ वें सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र $S_{n} = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$S_{3} = 0 + \frac{5/4}{2}(2 \times 3 - 1)$
$S_{3} = \frac{5}{8}(6 - 1)$
$S_{3} = \frac{5}{8} \times 5$
$S_{3} = \frac{25}{8} \,m$.

(D) दिया गया संबंध: $t = \alpha x^2 + \beta x$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$1 = 2 \alpha x \left( \frac{dx}{dt} \right) + \beta \left( \frac{dx}{dt} \right)$.
चूँकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए:
$1 = (2 \alpha x + \beta) v \implies v = \frac{1}{2 \alpha x + \beta}$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$.
$v = (2 \alpha x + \beta)^{-1}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = -1(2 \alpha x + \beta)^{-2} \cdot (2 \alpha) = -2 \alpha v^2$.
अतः,$a = v (-2 \alpha v^2) = -2 \alpha v^3$.
मंदन त्वरण का ऋणात्मक मान होता है:
$\text{मंदन} = -a = -(-2 \alpha v^3) = 2 \alpha v^3$.

(C) कण का वेग $v = \sqrt{196 - 16x}$ द्वारा दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $v^2 = 196 - 16x$ प्राप्त होता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dt}(v^2) = \frac{d}{dt}(196 - 16x)$
$2v \frac{dv}{dt} = -16 \frac{dx}{dt}$
हम जानते हैं कि त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ और वेग $v = \frac{dx}{dt}$ होता है, इसलिए इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2v \cdot a = -16v$
दोनों पक्षों को $2v$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $v \neq 0$):
$a = -8 \text{ m/s}^2$.
अतः, कण का त्वरण $-8 \text{ m/s}^2$ स्थिर है।

(B) दिया गया है: कार का विस्थापन,$s = 200 \,m$.
लिया गया समय,$t = 10 \,s$.
कार का अंतिम वेग,$v = 0 \,m/s$.
हम जानते हैं कि औसत वेग $\frac{v + u}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है।
विस्थापन औसत वेग और समय के गुणनफल के बराबर होता है:
$s = \left(\frac{v + u}{2}\right) \times t$
दिए गए मानों को रखने पर:
$200 = \left(\frac{0 + u}{2}\right) \times 10$
$200 = 5u$
$u = \frac{200}{5} = 40 \,m/s$.
अतः,कार की प्रारंभिक गति $40 \,m/s$ है।

(A) गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए।
यहाँ,$v$ अंतिम चाल है,$u$ प्रारंभिक चाल है और $a$ समय $t$ के लिए त्वरण है।
चूंकि गति में निरंतर मंदन है,इसलिए त्वरण ऋणात्मक है,अर्थात $a_{eff} = -a$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = u + (-a)t = u - at$।
चूंकि $t > 0$ के लिए $at > 0$ होता है,इसलिए $v < u$ प्राप्त होता है।
अतः,निरंतर मंदन के तहत वस्तु की चाल घटती है।

(D) कण का वेग विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन होता है: $v = \frac{ds}{dt}$.
दिया गया है $s = 9t^2 - 2t^3$,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$v = \frac{d}{dt}(9t^2 - 2t^3) = 18t - 6t^2$.
जब कण शून्य वेग प्राप्त करता है,तो $v = 0$ रखने पर:
$18t - 6t^2 = 0$.
$6t$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$6t(3 - t) = 0$.
इससे हमें दो हल प्राप्त होते हैं: $t = 0$ और $t = 3$.
चूंकि कण $t = 0$ पर विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए वह $t = 3 \ s$ पर पुनः शून्य वेग प्राप्त करेगा।

(C) दिया गया है कि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है। मान लीजिए एकसमान त्वरण $a$ है।
समय $t = n$ पर,वेग $v = u + at = 0 + an$,इसलिए $a = \frac{v}{n}$ है।
$k^{\text{वें}}$ सेकंड में विस्थापन $S_k = u + \frac{a}{2}(2k - 1)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $u = 0$,इसलिए $S_k = \frac{a}{2}(2k - 1)$ है।
$n^{\text{वें}}$ सेकंड में विस्थापन $S_n = \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
$(n-1)^{\text{वें}}$ सेकंड में विस्थापन $S_{n-1} = \frac{a}{2}(2(n-1) - 1) = \frac{a}{2}(2n - 3)$ है।
इन दो सेकंड में कुल विस्थापन $S_{total} = S_n + S_{n-1} = \frac{a}{2}(2n - 1 + 2n - 3) = \frac{a}{2}(4n - 4) = 2a(n - 1)$ है।
$a = \frac{v}{n}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S_{total} = 2(\frac{v}{n})(n - 1) = \frac{2v(n - 1)}{n}$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि ट्रक $v_t = 12 \,m/s$ के निरंतर वेग से चल रहा है और कार विरामावस्था $(u_c = 0)$ से $a_c = 2 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ शुरू होती है।
माना कि कार को ट्रक तक पहुँचने में लगा समय $t$ है।
समय $t$ में, ट्रक द्वारा तय की गई दूरी $s_t = v_t \times t = 12t$ है।
कार द्वारा तय की गई दूरी $s_c = u_c t + \frac{1}{2} a_c t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times t^2 = t^2$ है।
कार द्वारा ट्रक को पार करने के लिए, दोनों द्वारा तय की गई दूरी समान होनी चाहिए: $s_c = s_t$।
इसलिए, $t^2 = 12t$।
चूँकि $t \neq 0$, इसलिए $t = 12 \,s$ है।
कार द्वारा तय की गई दूरी $s_c = t^2 = (12)^2 = 144 \,m$ होगी।

(A) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u$ है और समान त्वरण $a$ है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
पहले $2 \,s$ के लिए,$S_1 = 200 \,m$:
$200 = u(2) + \frac{1}{2}a(2)^2 \implies 200 = 2u + 2a \implies u + a = 100$ ...$(1)$
पहले $6 \,s$ के लिए (पहले $2 \,s$ + अगले $4 \,s$),कुल दूरी $S_2 = 200 + 220 = 420 \,m$:
$420 = u(6) + \frac{1}{2}a(6)^2 \implies 420 = 6u + 18a \implies u + 3a = 70$ ...$(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(u + 3a) - (u + a) = 70 - 100 \implies 2a = -30 \implies a = -15 \,m/s^2$
समीकरण $(1)$ में $a$ का मान रखने पर:
$u - 15 = 100 \implies u = 115 \,m/s$
$t = 7 \,s$ के बाद वेग $v = u + at$ द्वारा प्राप्त होता है:
$v = 115 + (-15)(7) = 115 - 105 = 10 \,m/s$.

(C) गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v_f^2 - v_i^2 = 2as$।
मान लीजिए ट्रेन की कुल लंबाई $L$ है।
जब इंजन पेड़ को पार करता है,तो प्रारंभिक वेग $u$ है। जब अंतिम डिब्बा पेड़ को पार करता है,तो ट्रेन ने अपनी लंबाई $L$ के बराबर दूरी तय कर ली होती है और उसका अंतिम वेग $v$ होता है।
अतः,$v^2 - u^2 = 2aL$,जिससे $a = \frac{v^2 - u^2}{2L}$ प्राप्त होता है ....$(1)$
अब,मध्य डिब्बे पर विचार करें। यह इंजन से $\frac{L}{2}$ की दूरी पर है।
मान लीजिए $v_m$ मध्य डिब्बे का वेग है जब वह पेड़ को पार करता है।
$\frac{L}{2}$ दूरी के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए:
$v_m^2 - u^2 = 2a(\frac{L}{2}) = aL$।
समीकरण $(1)$ से $a$ का मान रखने पर:
$v_m^2 = u^2 + (\frac{v^2 - u^2}{2L}) \times L$
$v_m^2 = u^2 + \frac{v^2 - u^2}{2} = \frac{2u^2 + v^2 - u^2}{2} = \frac{v^2 + u^2}{2}$
इसलिए,$v_m = \sqrt{\frac{v^2 + u^2}{2}}$।

(B) कण का वेग $v = 4t$ द्वारा दिया गया है। चूंकि कण विराम अवस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
हम जानते हैं कि कण द्वारा तय की गई दूरी $S$,समय के सापेक्ष वेग के समाकलन (integral) द्वारा दी जाती है:
$S = \int_{0}^{t} v \ dt$
$v$ के लिए दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \int_{0}^{4} 4t \ dt$
$S = 4 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$S = 2 \times [t^2]_{0}^{4}$
$S = 2 \times (4^2 - 0^2)$
$S = 2 \times 16 = 32 \ m$
वैकल्पिक रूप से,गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए,$v = 4t$ की तुलना $v = 0 + at$ से करने पर त्वरण $a = 4 \ m s^{-2}$ प्राप्त होता है।
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$S = 0(4) + \frac{1}{2}(4)(4)^2 = 2 \times 16 = 32 \ m$.

(A) दिया गया प्रारंभिक वेग $u = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} \ m/s = 10 \ m/s$ है।
चूंकि वस्तु रुक जाती है,इसलिए अंतिम वेग $v = 0 \ m/s$ है।
तय की गई दूरी $s = 200 \ m$ है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 - u^2 = 2as$।
मान रखने पर: $0^2 - (10)^2 = 2 \times a \times 200$।
$-100 = 400a$।
$a = -\frac{100}{400} = -0.25 \ m/s^2$।
ऋणात्मक चिह्न मंदन को दर्शाता है।
अतः,ब्रेक द्वारा उत्पन्न मंदन $0.25 \ m/s^2$ है।

(B) दिया गया है: पिंड का द्रव्यमान, $m = 10 \,kg$.
प्रारंभिक वेग, $u = 10 \,m \,s^{-1}$.
समय अंतराल, $t = 4 \,s$.
अंतिम वेग, $v = -2 \,m \,s^{-1}$ (चूंकि यह विपरीत दिशा में है)।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए, $v = u + at$.
त्वरण के लिए सूत्र: $a = \frac{v - u}{t}$.
मान रखने पर: $a = \frac{-2 - 10}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \,m \,s^{-2}$.
अतः, उत्पन्न त्वरण $-3 \,m \,s^{-2}$ है।

(D)
माना $u = 0$ प्रारंभिक वेग है और $a$ पिंड का एकसमान त्वरण है।
पहले $t = 2 \,s$ में तय की गई दूरी है:
$x_1 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0(2) + \frac{1}{2}a(2)^2 = 2a \quad (i)$
$2 \,s$ के अंत में वेग है:
$v = u + at = 0 + a(2) = 2a \quad (ii)$
अगले $2 \,s$ में ($t = 2 \,s$ से $t = 4 \,s$ तक) प्रारंभिक वेग $v = 2a$ के साथ तय की गई दूरी है:
$x_2 = vt + \frac{1}{2}at^2 = (2a)(2) + \frac{1}{2}a(2)^2 = 4a + 2a = 6a$
$x_1$ और $x_2$ की तुलना करने पर:
$x_2 = 6a = 3(2a) = 3x_1$
अतः, $x_2 = 3x_1$

(B) मान लीजिए कि पिंड $t=0$ पर बिंदु $A$ से प्रारंभिक वेग $u=0$ और एकसमान त्वरण $a$ के साथ गति शुरू करता है। $t=2 \ s$ पर,यह बिंदु $B$ पर पहुँचता है। तय की गई दूरी $s_1 = \frac{1}{2} a (2)^2 = 2a$ है। $B$ पर वेग $v_B = a(2) = 2a$ है।
$t=2 \ s$ पर,पिंड अपनी दिशा उलट देता है लेकिन त्वरण $a$ उसी दिशा में रहता है (जो मंदन के रूप में कार्य करता है)। यह बिंदु $C$ पर रुक जाता है जहाँ इसका वेग $0$ हो जाता है। मान लीजिए $B$ से $C$ तक का समय $t'$ है। $v = u + at$ का उपयोग करने पर,$0 = 2a - a(t')$,जिससे $t' = 2 \ s$ प्राप्त होता है। दूरी $BC$ का मान $s_2 = (2a)(2) - \frac{1}{2} a (2)^2 = 4a - 2a = 2a$ है।
$A$ से $C$ तक की कुल दूरी $AC = s_1 + s_2 = 2a + 2a = 4a$ है।
अब,पिंड $C$ पर विरामावस्था से शुरू होता है और एकसमान त्वरण $a$ के साथ $A$ की ओर गति करता है। मान लीजिए $AC$ दूरी तय करने में लगा समय $T$ है। $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,$4a = 0 + \frac{1}{2} a T^2$,जिससे $T^2 = 8$ प्राप्त होता है,अतः $T = 2\sqrt{2} \ s$ है।
कुल समय $t_0$ बिंदु $C$ तक पहुँचने के समय और $A$ पर वापस लौटने के समय का योग है। $C$ तक पहुँचने का समय $2 \ s + 2 \ s = 4 \ s$ है। अतः,$t_0 = 4 + 2\sqrt{2} \ s$ है।

(D) मान लीजिए कि गोली का प्रारंभिक वेग $u$ है। एक तख्ते से गुजरने के बाद,वेग $v = u - \frac{u}{25} = \frac{24u}{25}$ हो जाता है।
गतिकीय समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $s$ एक तख्ते की मोटाई है और $a$ स्थिर मंदन है:
$\left(\frac{24u}{25}\right)^2 - u^2 = 2as$
$\frac{576u^2}{625} - u^2 = 2as$
$2as = -\frac{49u^2}{625}$.
यदि गोली को रोकने के लिए $n$ तख्तों की आवश्यकता है,तो कुल दूरी $ns$ तय करने के बाद अंतिम वेग $0$ हो जाता है:
$0^2 - u^2 = 2a(ns)$
$-u^2 = n(2as)$
$-u^2 = n \left(-\frac{49u^2}{625}\right)$
$n = \frac{625}{49} \approx 12.75$.
चूंकि तख्तों की संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए गोली को रोकने के लिए कम से कम $13$ तख्तों की आवश्यकता होगी।

(A) दिया गया है कि गतिज ऊर्जा $K \propto t$ है।
चूंकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,हमारे पास $\frac{1}{2}mv^2 \propto t$ है,जिसका अर्थ है $v^2 \propto t$ या $v \propto t^{1/2}$।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ होता है।
चूंकि $v = kt^{1/2}$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है),$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $a = k \cdot \frac{1}{2} t^{-1/2} = \frac{k}{2\sqrt{t}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a \propto \frac{1}{\sqrt{t}}$।

(C) माना गोली का प्रारंभिक वेग $u$ है।
$x$ मीटर की दूरी तय करने के बाद,वेग $v_1 = u - \frac{1}{3}u = \frac{2u}{3}$ हो जाता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a$ लक्ष्य के अंदर मंदन (deceleration) है:
$(\frac{2u}{3})^2 = u^2 - 2ax$
$\frac{4u^2}{9} = u^2 - 2ax$
$2ax = u^2 - \frac{4u^2}{9} = \frac{5u^2}{9} \quad \dots (1)$
अब,गति के दूसरे भाग के लिए,गोली $\frac{2u}{3}$ वेग से शुरू होती है और $x^{\prime}$ अतिरिक्त दूरी तय करके रुक (अंतिम वेग $v_2 = 0$) जाती है:
$0^2 = (\frac{2u}{3})^2 - 2ax^{\prime}$
$2ax^{\prime} = \frac{4u^2}{9} \quad \dots (2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2ax^{\prime}}{2ax} = \frac{4u^2/9}{5u^2/9}$
$\frac{x^{\prime}}{x} = \frac{4}{5}$.

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m \ s^{-1}$,अंतिम वेग $v = 10 \ m \ s^{-1}$,समय $t = 2 \ s$।
समान त्वरण के लिए,हम गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हैं:
$v = u + at$
$10 = 0 + a \times 2$
$a = \frac{10}{2} = 5 \ m \ s^{-2}$।
अब,तय की गई दूरी $(s)$ के लिए,हम गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करते हैं:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
$s = 0 \times 2 + \frac{1}{2} \times 5 \times (2)^2$
$s = 0 + \frac{1}{2} \times 5 \times 4$
$s = 10 \ m$।
अतः,त्वरण $5 \ m \ s^{-2}$ है और तय की गई दूरी $10 \ m$ है।

(B) कण का वेग $v(t) = 1 - 3t^2 + 2t^3$ द्वारा दिया गया है।
हम जानते हैं कि वेग,स्थिति में परिवर्तन की दर है,$v = \frac{dx}{dt}$।
अतः,विस्थापन $x$ को समय के सापेक्ष वेग का समाकलन करके प्राप्त किया जा सकता है:
$x(t) = \int v(t) \ dt = \int (1 - 3t^2 + 2t^3) \ dt$।
समाकलन करने पर:
$x(t) = t - t^3 + \frac{2t^4}{4} + C = t - t^3 + \frac{t^4}{2} + C$।
दिया गया है कि $t = 0$ पर,$x = 0$,इसलिए स्थिरांक $C$ ज्ञात करने के लिए इन मानों को रखने पर:
$0 = 0 - 0^3 + \frac{0^4}{2} + C \Rightarrow C = 0$।
अतः,स्थिति का फलन $x(t) = t - t^3 + \frac{t^4}{2}$ है।
$t = 2 \ s$ पर,स्थिति होगी:
$x(2) = 2 - (2)^3 + \frac{(2)^4}{2} = 2 - 8 + \frac{16}{2} = 2 - 8 + 8 = 2 \ m$।

(C) कण का त्वरण $f = f_0 \left(1 - \frac{t}{T}\right)$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि $f = \frac{dv}{dt}$,वेग $v$ को समय के सापेक्ष त्वरण का समाकलन करके प्राप्त किया जाता है:
$v = \int f dt = \int f_0 \left(1 - \frac{t}{T}\right) dt = f_0 \left(t - \frac{t^2}{2T}\right) + C$.
यह दिया गया है कि $t = 0$ पर $v = 0$,इसलिए समाकलन स्थिरांक $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,किसी भी समय $t$ पर वेग $v = f_0 \left(t - \frac{t^2}{2T}\right)$ है।
त्वरण तब शून्य हो जाता है जब $f = 0$,जिसका अर्थ है $1 - \frac{t}{T} = 0$,इसलिए $t = T$।
वेग समीकरण में $t = T$ रखने पर:
$v = f_0 \left(T - \frac{T^2}{2T}\right) = f_0 \left(T - \frac{T}{2}\right) = \frac{f_0 T}{2}$.

(A) दिया गया है,$v = \alpha \sqrt{x}$।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = \alpha \sqrt{x}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{\sqrt{x}} = \alpha dt$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int x^{-1/2} dx = \int \alpha dt \Rightarrow 2\sqrt{x} = \alpha t + C$।
$t = 0$ पर,$x = 0$ है,इसलिए $C = 0$। अतः,$2\sqrt{x} = \alpha t \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{\alpha t}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x = \frac{\alpha^2 t^2}{4}$।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\alpha^2 t^2}{4} \right) = \frac{\alpha^2}{4} (2t) = \frac{\alpha^2 t}{2}$।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\alpha^2 t}{2} \right) = \frac{\alpha^2}{2}$।

(B) दिया गया है कि मंदन $a = -3 v^{2/3} \,m/s^2$ है।
प्रारंभिक बिंदु $(t=0)$ पर,वेग $u = 8 \,m/s$ है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a = v \frac{dv}{ds}$ होता है।
$a$ के लिए दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$-3 v^{2/3} = v \frac{dv}{ds}$
$-3 v^{2/3} ds = v dv$
$ds = -\frac{1}{3} v^{1 - 2/3} dv = -\frac{1}{3} v^{1/3} dv$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{s} ds = -\frac{1}{3} \int_{8}^{0} v^{1/3} dv$
$s = -\frac{1}{3} \left[ \frac{v^{4/3}}{4/3} \right]_{8}^{0}$
$s = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} [0 - 8^{4/3}]$
$s = -\frac{1}{4} [0 - (2^3)^{4/3}]$
$s = -\frac{1}{4} [0 - 16] = 4 \,m$.
अतः,रुकने से पहले वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $4 \,m$ है।

(A) दिया गया मंदन $\omega = -\frac{dv}{dt} = a \sqrt{v}$ है।
$1$. समय $t$ ज्ञात करने के लिए:
$\frac{dv}{dt} = -a \sqrt{v} \implies \int_{v_0}^{0} v^{-1/2} dv = \int_{0}^{t} -a dt$
$[2 \sqrt{v}]_{v_0}^{0} = -at \implies -2 \sqrt{v_0} = -at \implies t = \frac{2 \sqrt{v_0}}{a}$.
$2$. दूरी $s$ ज्ञात करने के लिए:
$\omega = v \frac{dv}{ds} = a \sqrt{v}$ का उपयोग करते हुए $\implies v \frac{dv}{ds} = -a \sqrt{v} \implies \sqrt{v} dv = -a ds$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int_{v_0}^{0} v^{1/2} dv = \int_{0}^{s} -a ds$
$[\frac{2}{3} v^{3/2}]_{v_0}^{0} = -as \implies -\frac{2}{3} v_0^{3/2} = -as \implies s = \frac{2 v_0^{3/2}}{3 a}$.

(B) कण का विस्थापन $x = A t^3 + B t^2 + C t + D$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = 3At^2 + 2Bt + C$.
प्रारंभिक वेग $(v_{\text{initial}})$ $t = 0$ पर वेग है:
$v_{\text{initial}} = 3A(0)^2 + 2B(0) + C = C$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम $v$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = 6At + 2B$.
प्रारंभिक त्वरण $(a_{\text{initial}})$ $t = 0$ पर त्वरण है:
$a_{\text{initial}} = 6A(0) + 2B = 2B$.
प्रारंभिक त्वरण और प्रारंभिक वेग का अनुपात $\frac{a_{\text{initial}}}{v_{\text{initial}}} = \frac{2B}{C}$ है।

(D) $n^{th}$ सेकंड में कण का विस्थापन सूत्र $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $a$ एकसमान त्वरण है।
तीसरे सेकंड के लिए $(n=3)$: $10 = u + \frac{a}{2}(2(3) - 1) \implies 10 = u + 2.5a$ --- (समीकरण $1$)
पांचवें सेकंड के लिए $(n=5)$: $18 = u + \frac{a}{2}(2(5) - 1) \implies 18 = u + 4.5a$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(18 - 10) = (u + 4.5a) - (u + 2.5a) \implies 8 = 2a \implies a = 4 \ ms^{-2}$।
$a = 4$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $10 = u + 2.5(4) \implies 10 = u + 10 \implies u = 0 \ ms^{-1}$।
समय $t$ पर वेग $v = u + at$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 4 \ s$ पर: $v = 0 + (4)(4) = 16 \ ms^{-1}$।

(C) दिया गया संबंध: $t = ax^2 + bx$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dt}{dx} = 2ax + b$ प्राप्त होता है।
चूंकि वेग $v = \frac{dx}{dt}$ है,इसलिए $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$ होगा।
अतः,$\frac{1}{v} = 2ax + b$,जिसका अर्थ है $v = (2ax + b)^{-1}$।
त्वरण $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \cdot \frac{dv}{dx}$ होता है।
$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dv}{dx} = -1(2ax + b)^{-2} \cdot (2a) = -2a(2ax + b)^{-2}$।
$(2ax + b) = \frac{1}{v}$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} = -2a \cdot (\frac{1}{v})^{-2} = -2av^2$।
इस प्रकार,त्वरण $a_{acc} = v \cdot (-2av^2) = -2av^3$ होगा।

(B) दिया गया है, प्रतिरोध बल $F \propto \sqrt{v}$, अतः $ma = -k\sqrt{v}$, जिसका अर्थ है $a = -c\sqrt{v}$ जहाँ $c$ एक नियतांक है।
हम जानते हैं कि $a = \frac{dv}{dt} = -c\sqrt{v}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर, $\frac{dv}{\sqrt{v}} = -c \, dt$.
$t=0$ $(v=u)$ से $t=T$ $(v=0)$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{u}^{0} v^{-1/2} \, dv = \int_{0}^{T} -c \, dt \Rightarrow [2\sqrt{v}]_{u}^{0} = -cT \Rightarrow -2\sqrt{u} = -cT \Rightarrow c = \frac{2\sqrt{u}}{T}$.
अब, $v \frac{dv}{ds} = -c\sqrt{v} \Rightarrow \sqrt{v} \, dv = -c \, ds$.
$s=0$ $(v=u)$ से $s=S$ $(v=0)$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{u}^{0} v^{1/2} \, dv = \int_{0}^{S} -c \, ds \Rightarrow [\frac{2}{3} v^{3/2}]_{u}^{0} = -cS \Rightarrow -\frac{2}{3} u^{3/2} = -cS \Rightarrow S = \frac{2u^{3/2}}{3c}$.
$c = \frac{2\sqrt{u}}{T}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \frac{2u^{3/2}}{3(2\sqrt{u}/T)} = \frac{uT}{3}$.
दिया गया है $u = 120 \,m/s$ और $T = 1.5 \,s$:
$S = \frac{120 \times 1.5}{3} = \frac{180}{3} = 60 \,m$.
अतः, $60 \,m$ विकल्पों में नहीं है, इसलिए दिए गए विकल्प गलत हैं।

(C) यात्रा के पहले भाग के लिए: $u = 0, a = 4 \,m/s^2$, समय $= t_1$। $t_1$ समय के अंत में प्राप्त वेग $v_1 = u + at_1 = 4t_1$ है।
पहले $t_1$ सेकंड में विस्थापन $s_1 = \frac{1}{2}at_1^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times t_1^2 = 2t_1^2$ है।
यात्रा के दूसरे भाग के लिए: प्रारंभिक वेग $v_1 = 4t_1$, समय $= t_2$, और त्वरण $= 0$।
अगले $t_2$ सेकंड में विस्थापन $s_2 = v_1 t_2 = 4t_1 t_2$ है।
यात्रा के तीसरे भाग के लिए: प्रारंभिक वेग $v_1 = 4t_1$, अंतिम वेग $= 0$, समय अंतराल $= t_1$।
तीसरे भाग में विस्थापन $s_3 = \frac{v_1 + v_f}{2} \times t_1 = \frac{4t_1 + 0}{2} \times t_1 = 2t_1^2$ है।
कुल समय $T = t_1 + t_2 + t_1 = 2t_1 + t_2 = 10 \,s$, इसलिए $t_2 = 10 - 2t_1$।
औसत वेग $v_{\text{avg}} = \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{s_1 + s_2 + s_3}{10} = 5.1$।
मान रखने पर: $5.1 = \frac{2t_1^2 + 4t_1 t_2 + 2t_1^2}{10} = \frac{4t_1^2 + 4t_1(10 - 2t_1)}{10}$।
$51 = 4t_1^2 + 40t_1 - 8t_1^2$।
$4t_1^2 - 40t_1 + 51 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $t_1 = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4(4)(51)}}{2(4)} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 816}}{8} = \frac{40 \pm \sqrt{784}}{8} = \frac{40 \pm 28}{8}$।
$t_1 = \frac{68}{8} = 8.5 \,s$ (संभव नहीं) या $t_1 = \frac{12}{8} = 1.5 \,s$।
अतः, $t_1 = 1.5 \,s$।

(C)
1. पहले $3 \,s$ के लिए, कण विरामावस्था $(u=0)$ से $a_1 = 2 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ गति शुरू करता है।
2. $t = 3 \,s$ पर वेग:
$v = u + a_1 t = 0 + 2(3) = 6 \,m/s$
3. $t = 3 \,s$ पर विस्थापन:
$s_1 = ut + \frac{1}{2} a_1 t^2 = 0 + \frac{1}{2}(2)(3^2) = 9 \,m$
4. $t = 3 \,s$ के बाद, त्वरण उलट जाता है, इसलिए $a_2 = -2 \,m/s^2$। मान लीजिए अतिरिक्त समय $t'$ है।
5. समय $t'$ पर स्थिति:
$s = s_1 + vt' + \frac{1}{2} a_2 (t')^2$
6. कण के अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आने के लिए $s = 0$ होना चाहिए।
7. $0 = 9 + 6t' - \frac{1}{2}(2)(t')^2$
$0 = 9 + 6t' - (t')^2$
$(t')^2 - 6t' - 9 = 0$
8. द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$t' = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(1)(-9)}}{2}
= \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2}
= 3 \pm 3\sqrt{2}$
9. चूँकि $t' > 0$, इसलिए:
$t' = 3 + 3\sqrt{2} = 3(1+\sqrt{2}) \,s$
10. कुल समय:
$T = 3 + t' = 3 + 3 + 3\sqrt{2} = 6 + 3\sqrt{2} = 3(2+\sqrt{2}) \,s$

(D) समान त्वरित गति के लिए,$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = u + (2n - 1) \frac{a}{2}$ द्वारा दी जाती है।
चौथी सेकंड के लिए $(n=4)$: $25 = u + (2 \times 4 - 1) \frac{a}{2} = u + 3.5a$ ...$(i)$
छठी सेकंड के लिए $(n=6)$: $37 = u + (2 \times 6 - 1) \frac{a}{2} = u + 5.5a$ ...(ii)
समीकरण (ii) से $(i)$ को घटाने पर: $12 = 2a \implies a = 6 \ m/s^2$.
$a$ का मान $(i)$ में रखने पर: $25 = u + 3.5(6) = u + 21 \implies u = 4 \ m/s$.
$t=6 \ s$ पर वेग $v = u + at = 4 + (6 \times 6) = 40 \ m/s$ होगा।
अगले $2 \ s$ में तय की गई दूरी $S = vt + \frac{1}{2}at^2 = (40 \times 2) + \frac{1}{2} \times 6 \times (2)^2 = 80 + 12 = 92 \ m$ होगी।

(D) दिया गया है कि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
मान लीजिए कि एकसमान त्वरण $a$ है।
$n$ सेकंड के बाद वेग $v = u + at$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$V = 0 + a(n)$,जिससे $a = \frac{V}{n}$ प्राप्त होता है।
अंतिम $t = 2 \text{ s}$ में विस्थापन $S$ की गणना $S = v_{final}t - \frac{1}{2}at^2$ सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है,जहाँ $v_{final} = V$ है।
$S = V(2) - \frac{1}{2} \left(\frac{V}{n}\right)(2)^2$.
$S = 2V - \frac{1}{2} \left(\frac{V}{n}\right)(4)$.
$S = 2V - \frac{2V}{n}$.
$S = 2V \left(1 - \frac{1}{n}\right) = \frac{2V(n-1)}{n}$.

(B) प्रारंभिक वेग $u = 10 \,m/s$ और त्वरण $a = 2 \,m/s^2$ है।
समय अंतराल $\Delta t = 1 \,s$ के लिए गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$S_1$ के लिए ($t=3 \,s$ से $t=4 \,s$ का अंतराल):
$t=3 \,s$ पर वेग $v_3 = u + at = 10 + 2(3) = 16 \,m/s$ है।
$S_1 = v_3(1) + \frac{1}{2}a(1)^2 = 16(1) + \frac{1}{2}(2)(1)^2 = 16 + 1 = 17 \,m$.
$S_2$ के लिए ($t=4 \,s$ से $t=5 \,s$ का अंतराल):
$t=4 \,s$ पर वेग $v_4 = u + at = 10 + 2(4) = 18 \,m/s$ है।
$S_2 = v_4(1) + \frac{1}{2}a(1)^2 = 18(1) + \frac{1}{2}(2)(1)^2 = 18 + 1 = 19 \,m$.
अतः,अनुपात $\frac{S_2}{S_1} = \frac{19}{17}$ है।

(B) दिया गया है: त्वरण $a = 6t$,प्रारंभिक वेग $u = 10 \ m/s$,प्रारंभिक स्थिति $x_0 = 0$.
चरण $1$: त्वरण का समाकलन करके वेग $v(t)$ ज्ञात करें।
$v(t) = \int a \ dt = \int 6t \ dt = 3t^2 + C$.
$t = 0$ पर,$v = 10 \ m/s$,इसलिए $C = 10$. अतः,$v(t) = 3t^2 + 10$.
चरण $2$: वेग का समाकलन करके स्थिति $x(t)$ ज्ञात करें।
$x(t) = \int v(t) \ dt = \int (3t^2 + 10) \ dt = t^3 + 10t + C'$.
$t = 0$ पर,$x = 0$,इसलिए $C' = 0$. अतः,$x(t) = t^3 + 10t$.
चरण $3$: $t = 2 \ s$ पर दूरी की गणना करें।
$x(2) = (2)^3 + 10(2) = 8 + 20 = 28 \ m$.
चूंकि वेग $v(t) = 3t^2 + 10$ हमेशा $t \ge 0$ के लिए धनात्मक है,इसलिए तय की गई दूरी विस्थापन के बराबर है।
सही उत्तर $28 \ m$ है।

(B) दिया गया है,ट्रक का प्रारंभिक वेग,$u = 54 \,km/h = 54 \times \frac{5}{18} = 15 \,m/s$.
अंतिम वेग,$v = 0$.
मंदन,$a = -10 \,m/s^2$.
गति के समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 = u^2 + 2as$.
मान रखने पर,$(0)^2 = (15)^2 + 2 \times (-10) \times s$.
$0 = 225 - 20s$.
$20s = 225$.
$s = \frac{225}{20} = 11.25 \,m$.

(A) दिया गया है कि वेग $v$ समय का एक फलन है: $v(t) = 10t \text{ cm/s}$।
चूंकि कण $t=0$ पर मूल बिंदु से चलना शुरू करता है, इसलिए प्रारंभिक वेग $u = v(0) = 0 \text{ cm/s}$ है।
त्वरण $a$ वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(10t) = 10 \text{ cm/s}^2$।
एकसमान त्वरण के लिए गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, $t$ समय में तय की गई दूरी $s$ इस प्रकार है:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
मान $u = 0 \text{ cm/s}$, $a = 10 \text{ cm/s}^2$, और $t = 8 \text{ s}$ रखने पर:
$s = (0)(8) + \frac{1}{2} \times 10 \times (8)^2$
$s = 0 + 5 \times 64$
$s = 320 \text{ cm}$।
अतः, $8 \text{ s}$ में कण द्वारा तय की गई दूरी $320 \text{ cm}$ है।