Molar Specific Heat of gas and relation between them (Mayer's formula) Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा $\frac{5}{2} R$ है।
हम जानते हैं कि $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) वाली गैस के लिए:
$C_V = \frac{fR}{2}$ और $C_P = \left(1 + \frac{f}{2}\right) R$ होता है।
स्थिति $1$: यदि दी गई विशिष्ट ऊष्मा $C_V$ है,तो $\frac{fR}{2} = \frac{5}{2} R$,जिसका अर्थ है $f = 5$। $f = 5$ वाली गैस एक दृढ़ द्विपरमाणुक गैस होती है।
स्थिति $2$: यदि दी गई विशिष्ट ऊष्मा $C_P$ है,तो $\left(1 + \frac{f}{2}\right) R = \frac{5}{2} R$। इसे सरल करने पर $1 + \frac{f}{2} = 2.5$,अतः $\frac{f}{2} = 1.5$,जिसका अर्थ है $f = 3$। $f = 3$ वाली गैस एकपरमाणुक गैस होती है।
चूंकि प्रश्न में यह निर्दिष्ट नहीं है कि यह मान $C_P$ है या $C_V$,इसलिए गैस एकपरमाणुक या दृढ़ द्विपरमाणुक हो सकती है।

(C) एक-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ होती है। विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma_1 = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए जो एक दृढ़ रोटेटर के रूप में कार्य करती है,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ ($3$ स्थानांतरणीय + $2$ घूर्णन) होती है। विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma_2 = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{\gamma_1}{\gamma_2} = \frac{5/3}{7/5} = \frac{5}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{25}{21}$ होगा।

(D) द्विपरमाणुक गैस के अणुओं में $3$ स्थानांतरण (translational) स्वतंत्रता की कोटि और $2$ घूर्णन (rotational) स्वतंत्रता की कोटि होती है।
यह दिया गया है कि अणु में एक अतिरिक्त कंपन विधा (vibrational mode) है।
प्रत्येक कंपन विधा $2$ स्वतंत्रता की कोटि का योगदान देती है (एक गतिज ऊर्जा के लिए और एक स्थितिज ऊर्जा के लिए)।
अतः, स्वतंत्रता की कुल कोटि $f = 3$ (translational) $+ 2$ (rotational) $+ 2$ (vibrational) $= 7$ है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र $C_V = \frac{fR}{2}$ है।
$f = 7$ रखने पर, हमें $C_V = \frac{7R}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ को $1 + \frac{2}{f}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $f$ गैस के अणु की स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
आदर्श गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f$ केवल गैस की परमाणुकता (एकपरमाणुक,द्विपरमाणुक या बहुपरमाणुक) पर निर्भर करती है,न कि तापमान $T$ पर।
इसलिए,$\gamma$ तापमान $T$ से स्वतंत्र है,जिसे $\gamma \propto T^0$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(C) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)_{\text{mono}} = \frac{3}{2}R$ होती है।
दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)_{\text{dia}} = \frac{5}{2}R$ होती है।
स्थिर आयतन पर इन गैसों की विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{(C_v)_{\text{mono}}}{(C_v)_{\text{dia}}} = \frac{\frac{3}{2}R}{\frac{5}{2}R} = \frac{3}{5}$.

(A) एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए:
$C_{v} = \frac{3}{2}R$,$C_{p} = \frac{5}{2}R$.
अतः,$C_{p} - C_{v} = R$,$C_{p} + C_{v} = 4R$,$C_{p}/C_{v} = 5/3 \approx 1.67$,और $C_{p} \cdot C_{v} = 3.75 R^2$.
द्विपरमाणुक आदर्श गैस के लिए:
$C_{v} = \frac{5}{2}R$,$C_{p} = \frac{7}{2}R$.
अतः,$C_{p} - C_{v} = R$,$C_{p} + C_{v} = 6R$,$C_{p}/C_{v} = 7/5 = 1.4$,और $C_{p} \cdot C_{v} = 8.75 R^2$.
मानों की तुलना करने पर:
$1$. $C_{p} - C_{v} = R$ दोनों के लिए समान है,इसलिए $(A)$ गलत है।
$2$. $C_{p} + C_{v}$ का मान $6R$ (द्विपरमाणुक) > $4R$ (एकपरमाणुक) है,इसलिए $(B)$ सही है।
$3$. $C_{p}/C_{v}$ का मान $1.4$ (द्विपरमाणुक) < $1.67$ (एकपरमाणुक) है,इसलिए $(C)$ गलत है।
$4$. $C_{p} \cdot C_{v}$ का मान $8.75 R^2$ (द्विपरमाणुक) > $3.75 R^2$ (एकपरमाणुक) है,इसलिए $(D)$ सही है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ और $(D)$ हैं।

$(A)$ विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
त्रि-परमाणुक दृढ़ गैस के लिए, $f = 6$, इसलिए $\gamma = 1 + \frac{2}{6} = \frac{4}{3}$. $(A-III)$
द्वि-परमाणुक अदृढ़ गैस के लिए, $f = 7$, इसलिए $\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$. $(B-IV)$
एक-परमाणुक गैस के लिए, $f = 3$, इसलिए $\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$. $(C-I)$
द्वि-परमाणुक दृढ़ गैस के लिए, $f = 5$, इसलिए $\gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$. $(D-II)$
अतः, सही मिलान $A-III, B-IV, C-I, D-II$ है।

(C) हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,मेयर का संबंध $C_P - C_V = R$ है।
दोनों पक्षों को $C_V$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{C_P}{C_V} - 1 = \frac{R}{C_V}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{9}{7}$।
$\gamma$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{R}{C_V} = \gamma - 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{R}{C_V} = \frac{9}{7} - 1 = \frac{9-7}{7} = \frac{2}{7}$।
दशमलव मान की गणना करने पर,$\frac{2}{7} \approx 0.2857$।
अतः,मान लगभग $0.28$ है।

(C) हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,मेयर का संबंध इस प्रकार है: $C_{p} - C_{V} = R$।
साथ ही,मोलर विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात इस प्रकार परिभाषित है: $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{V}}$,जिसका अर्थ है $C_{V} = \frac{C_{p}}{\gamma}$।
मेयर के संबंध में $C_{V}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$C_{p} - \frac{C_{p}}{\gamma} = R$
$C_{p} \left(1 - \frac{1}{\gamma}\right) = R$
$C_{p} \left(\frac{\gamma - 1}{\gamma}\right) = R$
अतः,$C_{p} = \frac{R \gamma}{\gamma - 1}$।

(A) हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,मेयर का संबंध $C_{p} - C_{v} = R$ होता है।
दिया गया है कि $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$,इसलिए हम $C_{v} = \frac{C_{p}}{\gamma}$ लिख सकते हैं।
इस मान को मेयर के संबंध में रखने पर:
$C_{p} - \frac{C_{p}}{\gamma} = R$
$C_{p} \left(1 - \frac{1}{\gamma}\right) = R$
$C_{p} \left(\frac{\gamma - 1}{\gamma}\right) = R$
अतः,$C_{p} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$.

(C) हम जानते हैं कि स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v} = \frac{n R}{2}$ द्वारा दी जाती है।
मेयर के संबंध $C_{p} - C_{v} = R$ से,हम लिख सकते हैं $C_{p} = C_{v} + R$।
$C_{v}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $C_{p} = \frac{n R}{2} + R = R \left( \frac{n}{2} + 1 \right)$।
अब,अनुपात $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\gamma = \frac{R \left( \frac{n}{2} + 1 \right)}{\frac{n R}{2}} = \frac{\frac{n+2}{2}}{\frac{n}{2}} = \frac{n+2}{n} = 1 + \frac{2}{n}$।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,मोलर विशिष्ट ऊष्माओं के बीच का संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है:
$C_p - C_v = R$
समीकरण के दोनों पक्षों को $C_v$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{C_p}{C_v} - 1 = \frac{R}{C_v}$
चूंकि $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\gamma - 1 = \frac{R}{C_v}$
$C_v$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$

(C) एक-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है। विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma_1 = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ है।
दृढ़ द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ ($3$ स्थानांतरणीय + $2$ घूर्णन) है। विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma_2 = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{\gamma_2}{\gamma_1} = \frac{7/5}{5/3} = \frac{7}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{21}{25}$ है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब $(C_p)$ और स्थिर आयतन $(C_v)$ पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा के बीच का संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है: $C_p - C_v = R$
हमें विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $C_p = \gamma C_v$
इस मान को मेयर के संबंध में रखने पर: $\gamma C_v - C_v = R$
$C_v$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $C_v(\gamma - 1) = R$
अतः,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$

(D) दिया गया है: $C_P = \frac{7}{2} R$,और हम जानते हैं कि $C_P - C_V = R$।
अतः,$C_V = C_P - R = \frac{7}{2} R - R = \frac{5}{2} R$।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma$ इस प्रकार है: $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{7/2 R}{5/2 R} = \frac{7}{5} = 1.4$।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है,इसलिए $C_V = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ और $C_P = C_V + R = \frac{7}{2} R$।
अतः,यह गैस द्विपरमाणुक अणुओं से बनी है।

(A) नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा,$C_{V}$,का सूत्र $C_{V} = f \times \frac{R}{2}$ होता है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि की संख्या है।
यहाँ $f = 6$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$C_{V} = 6 \times \frac{R}{2} = 3R$.
इस समीकरण को $R$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$R = \frac{C_{V}}{3}$.

(A) एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_{P})$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_{V})$ के बीच संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है: $C_{P} - C_{V} = R$.
इससे,हम लिख सकते हैं कि $C_{P} = C_{V} + R$. इसलिए,विकल्प $(A)$ में दिया गया व्यंजक $C_{V} = C_{P} + R$ गलत है।
आइए अन्य विकल्पों की जाँच करें:
$(B)$ $R = C_{P} - C_{V}$. चूंकि $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$,इसलिए $C_{P} = \gamma C_{V}$. इसे प्रतिस्थापित करने पर,$R = \gamma C_{V} - C_{V} = C_{V}(\gamma - 1)$. यह सही है।
$(C)$ $\frac{C_{V}}{C_{P}} = \frac{1}{\gamma}$. चूंकि $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$,इसलिए यह सही है।
$(D)$ $R = C_{P} - C_{V} = C_{P} - \frac{C_{P}}{\gamma} = C_{P}(1 - \frac{1}{\gamma}) = C_{P}(\frac{\gamma - 1}{\gamma})$. यह सही है।

(D) नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v} = \frac{n R}{2}$ द्वारा दी जाती है।
नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{p} = C_{v} + R$ द्वारा दी जाती है।
$C_{v}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $C_{p} = \frac{n R}{2} + R = R \left(1 + \frac{n}{2}\right)$।
अनुपात $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\gamma = \frac{R \left(1 + \frac{n}{2}\right)}{\frac{n R}{2}} = \frac{\frac{2+n}{2}}{\frac{n}{2}} = \frac{2+n}{n} = 1 + \frac{2}{n}$।

(B) दिया गया है,$\frac{R}{C_{V}} = 0.4$।
मेयर के संबंध से,$C_{P} - C_{V} = R$,इसलिए $C_{P} = C_{V} + R$।
$R = 0.4 C_{V}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C_{P} = C_{V} + 0.4 C_{V} = 1.4 C_{V}$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma$ को $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,$\gamma = \frac{1.4 C_{V}}{C_{V}} = 1.4$।
एक दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.4$ है।
अतः,गैस दृढ़ द्विपरमाणुक अणुओं से बनी है।

(C) दिया गया है: $\frac{R}{C_{v}} = 0.67$।
हम जानते हैं कि गैस नियतांक $R = C_{p} - C_{v}$ होता है।
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $\frac{C_{p} - C_{v}}{C_{v}} = 0.67$।
$\frac{C_{p}}{C_{v}} - 1 = 0.67$।
चूंकि एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}}$ है,इसलिए $\gamma - 1 = 0.67$,जिसका अर्थ है $\gamma = 1.67$।
एक-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ होती है,इसलिए $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = 1 + 0.666... \approx 1.67$।
अतः,यह गैस एक-परमाणुक है।

(A) हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \left(1 + \frac{f}{2}\right)R$ है और स्थिर आयतन पर $C_v = \frac{f}{2}R$ है।
विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{2}{f} = \gamma - 1$,या $\frac{f}{2} = \frac{1}{\gamma - 1}$।
इस मान को $C_p$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$C_p = \left(1 + \frac{1}{\gamma - 1}\right)R$
$C_p = \left(\frac{\gamma - 1 + 1}{\gamma - 1}\right)R$
$C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$।

(D) एक आदर्श गैस के लिए मेयर के संबंध के अनुसार,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ के बीच का अंतर सार्वत्रिक गैस नियतांक $(R)$ के बराबर होता है:
$C_P - C_V = R$
हमें मोलर विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ भी दिया गया है,जिसका अर्थ है कि $C_P = \gamma C_V$।
मेयर के संबंध में $C_P$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\gamma C_V - C_V = R$
$C_V(\gamma - 1) = R$
अतः,$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$।

(C) एक दृढ़ द्विपरमाणुक अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ होती है।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = C_V + R = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R$ होती है।
हमें संबंध $R = n C_P$ दिया गया है।
$C_P$ का मान रखने पर,हमें $R = n (\frac{7}{2} R)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $R$ से विभाजित करने पर,$1 = n (\frac{7}{2})$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = \frac{2}{7} \approx 0.2857$ है।

(B) स्थिर दबाव पर दी गई ऊष्मीय ऊर्जा $Q$ का सूत्र $Q = n C_p \Delta T$ है।
सबसे पहले,नाइट्रोजन $(N_2)$ के मोलों की संख्या $n$ की गणना करें:
$n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आणविक भार}} = \frac{14 \ g}{28 \ g/mol} = 0.5 \ mol$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 48^{\circ} C$ और स्थिर दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \frac{7}{2} R$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Q = 0.5 \times \left(\frac{7}{2} R\right) \times 48$.
$Q = 0.5 \times 3.5 R \times 48$.
$Q = 1.75 R \times 48 = 84 R$.
अतः,दी गई ऊष्मीय ऊर्जा $84 R$ है।

(B) गैस की आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाने के लिए उपयोग की जाने वाली ऊष्मा ऊर्जा का अंश,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ और कुल दी गई ऊष्मा $(\Delta Q)$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$
एक आदर्श द्विपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म गुणांक $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{7}{5}$ होता है।
अतः,आंतरिक ऊर्जा बढ़ाने के लिए उपयोग की गई ऊर्जा का अंश:
$\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{1}{7/5} = \frac{5}{7}$ है।

(C) एकपरमाणुक गैस के लिए स्थिर दाब पर किया गया कार्य $W = p \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $W = nR \Delta T$ है।
स्थिर आयतन पर,दी गई ऊष्मा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होती है,जो $Q = n C_v \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2} R$ होती है।
इस मान को ऊष्मा के समीकरण में रखने पर,हमें $Q = n \left( \frac{3}{2} R \right) \Delta T$ प्राप्त होता है।
चूंकि $W = nR \Delta T$ है,इसलिए हम $nR \Delta T$ को $W$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,$Q = \frac{3}{2} W$।

(C) आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ है।
स्थिर दाब पर किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V = n R \Delta T$ है।
अतः,अनुपात $\Delta W : \Delta U : \Delta Q = n R \Delta T : n C_v \Delta T : n C_p \Delta T = R : C_v : C_p$ है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है।
इस प्रकार,$C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ है।
मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए,$C_p = C_v + R = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R$ है।
इन मानों को अनुपात में रखने पर: $R : \frac{5}{2} R : \frac{7}{2} R = 1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2 : 5 : 7$ का अनुपात प्राप्त होता है।

(A) आदर्श गैस के लिए,मोलर विशिष्ट ऊष्माओं के बीच का संबंध $C_p - C_v = R$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
चूंकि $C_p$ और $C_v$ विशिष्ट ऊष्मा (प्रति इकाई द्रव्यमान) के रूप में दिए गए हैं,हम $C_p - C_v = \frac{R}{M}$ संबंध का उपयोग करते हैं,जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
अतः,$R = M(C_p - C_v)$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ मोलों की संख्या है।
समीकरण में $n$ और $R$ का मान रखने पर: $PV = \frac{m}{M} \cdot M(C_p - C_v) \cdot T$।
सरल करने पर,हमें $PV = m(C_p - C_v)T$ प्राप्त होता है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ है,हम समीकरण को $P = \frac{m}{V}(C_p - C_v)T$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसलिए,$\rho = \frac{P}{(C_p - C_v)T}$।

(D) एकपरमाणुक गैस के लिए,मोलर विशिष्ट ऊष्माएँ $C_p = \frac{5}{2}R$ और $C_v = \frac{3}{2}R$ होती हैं।
नियत दाब पर किया गया कार्य $W = nR \Delta T$ है।
नियत आयतन पर दी गई ऊष्मा $Q_v = nC_v \Delta T = n \left( \frac{3}{2}R \right) \Delta T$ है।
$nR \Delta T = W$ को $Q_v$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Q_v = \frac{3}{2} W$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब $(C_p)$ और स्थिर आयतन $(C_v)$ पर विशिष्ट ऊष्माओं के बीच का संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है: $C_p - C_v = R$।
यह दिया गया है कि विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ है,इसलिए हम लिख सकते हैं $C_p = \gamma C_v$।
इस मान को मेयर के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: $\gamma C_v - C_v = R$।
$C_v$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $C_v(\gamma - 1) = R$।
अतः,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$।

(A) मोलर विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $(\gamma = C_p / C_V)$ सूत्र $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ गैस अणु की स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ कमरे के तापमान पर एक द्वि-परमाणुक गैस है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ होती है ($3$ स्थानांतरण और $2$ घूर्णन)।
सूत्र में $f$ का मान रखने पर:
$\gamma = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.4$.

(B) स्थिर दाब पर,आवश्यक ऊष्मा $Q_p = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $n = 2 \ moles$,$\Delta T = 35^{\circ} C - 25^{\circ} C = 10 \ K$,और $Q_p = 310 \ J$ है।
$310 = 2 \times C_p \times 10 \Rightarrow C_p = \frac{310}{20} = 15.5 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$।
संबंध $C_p - C_V = R$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $R \approx 8.3 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$:
$C_V = C_p - R = 15.5 - 8.3 = 7.2 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$।
स्थिर आयतन पर,आवश्यक ऊष्मा $Q_V = n C_V \Delta T$ है।
$Q_V = 2 \times 7.2 \times 10 = 144 \ J$।

(C) आदर्श गैस के लिए मेयर के संबंध के अनुसार:
$C_{p} - C_{V} = R$ $(i)$
जहाँ $C_{p}$ स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा है और $C_{V}$ स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा है।
परिभाषा के अनुसार,विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात है:
$\gamma = \frac{C_{p}}{C_{V}}$
इसका अर्थ है $C_{p} = \gamma C_{V}$ (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\gamma C_{V} - C_{V} = R$
$C_{V}(\gamma - 1) = R$
अतः,$C_{V} = \frac{R}{\gamma - 1}$

(A) हमें अनुपात $\frac{R}{C_v} = 0.67$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि मेयर का संबंध $C_p - C_v = R$ है,जिसे $\frac{C_p}{C_v} - 1 = \frac{R}{C_v}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) है।
अतः,$\gamma - 1 = 0.67$,जिसका अर्थ है $\gamma = 1.67$।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$\gamma = \frac{5}{3} \approx 1.67$ होता है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,$\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ होता है।
बहुपरमाणुक गैस के लिए,$\gamma < 1.4$ होता है।
चूंकि $\gamma = 1.67$ है,इसलिए गैस एकपरमाणुक है।

(B) द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ है।
नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C_{v_1} = \frac{f_1 R}{2} = \frac{5 R}{2}$ है।
नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C_{p_1} = C_{v_1} + R = \frac{5 R}{2} + R = \frac{7 R}{2} = C$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है।
नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C_{v_2} = \frac{f_2 R}{2} = \frac{3 R}{2}$ है।
अब,अनुपात लेने पर $\frac{C}{C_{v_2}} = \frac{\frac{7 R}{2}}{\frac{3 R}{2}} = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$C_{v_2} = \frac{3 C}{7}$ होगा।

(A) विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए: $f=3$,इसलिए $\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$। अतः,$A-II$।
द्विपरमाणुक (दृढ़) गैस के लिए: $f=5$,इसलिए $\gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$। अतः,$B-III$।
द्विपरमाणुक (अदृढ़) गैस के लिए: $f=7$,इसलिए $\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$। अतः,$C-IV$।
बहुपरमाणुक गैस के लिए: $\gamma$ का सामान्य सूत्र $\frac{4+f}{3+f}$ है। अतः,$D-I$।
इसलिए,सही मिलान $A-II, B-III, C-IV, D-I$ है।

(B) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है।
$\therefore (C_{p})_1 = (1 + \frac{f}{2}) R = (1 + \frac{3}{2}) R = \frac{5 R}{2}$.
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ है।
$\therefore (C_{p})_2 = (1 + \frac{f}{2}) R = (1 + \frac{5}{2}) R = \frac{7 R}{2}$.
अतः,अनुपात $\frac{(C_{p})_1}{(C_{p})_2} = \frac{5 R / 2}{7 R / 2} = 5 : 7$ है।

(C) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C_V = \frac{3}{2} R$ होती है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C_P = \frac{5}{2} R$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,$C_V = \frac{x}{100} \times C_P$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{3}{2} R = \frac{x}{100} \times \frac{5}{2} R$।
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2} R$ को हटाने पर,हमें मिलता है $3 = \frac{x}{100} \times 5$।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है $x = \frac{3 \times 100}{5} = 60$।

(C) एक गैर-दृढ़ द्वि-परमाणुक अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
स्थानांतरणीय स्वतंत्रता की कोटि $= 3$
घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि $= 2$
कंपन स्वतंत्रता की कोटि $= 2$ (एक गतिज ऊर्जा के लिए और एक स्थितिज ऊर्जा के लिए)।
कुल स्वतंत्रता की कोटि $(f) = 3 + 2 + 2 = 7$ है।
विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
$f = 7$ रखने पर,हमें $\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{C_p}{C_v} = \frac{9}{7}$,जिसका अर्थ है $7 C_p = 9 C_v$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $49 C_p^2 = 81 C_v^2$ प्राप्त होता है।

(C) नियत दाब पर दी गई ऊष्मा $dQ_p = n C_p \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = n C_v \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाने में उपयोग की गई ऊष्मीय ऊर्जा का अंश अनुपात $\frac{dU}{dQ_p} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$ द्वारा दिया जाता है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है।
नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ है।
नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = C_v + R = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R$ है।
अतः,अभीष्ट अंश $\frac{C_v}{C_p} = \frac{\frac{5}{2} R}{\frac{7}{2} R} = \frac{5}{7}$ है।

(C) मेयर के सूत्र से,हम जानते हैं कि $C_p - C_V = R$,जिसका अर्थ है $C_p = C_V + R$।
नियत आयतन पर,ऊष्मा धारिता $C_V$ को तापमान के सापेक्ष आंतरिक ऊर्जा के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$C_V = \frac{d U}{d T}$।
मेयर के सूत्र में $C_V$ के लिए यह मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$C_p = \frac{d U}{d T} + R$।

(C) एक त्रि-परमाणुक अ-रेखीय गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) $f = 6$ है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{f R}{2} = \frac{6 R}{2} = 3 R$ है।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = C_V + R = 3 R + R = 4 R$ है।
रुद्धोष्म प्रत्यास्थता और समतापीय प्रत्यास्थता का अनुपात रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma$ के बराबर होता है।
$\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{4 R}{3 R} = \frac{4}{3}$.
अतः,अनुपात $4: 3$ है।

(B) हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)$,सार्वत्रिक गैस नियतांक $(R)$,और रुद्धोष्म अनुपात $(\gamma)$ के बीच संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है: $C_p - C_v = R$।
$C_v$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{C_p}{C_v} - 1 = \frac{R}{C_v}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$,इसलिए $\gamma - 1 = \frac{R}{C_v}$।
यह दिया गया है कि $\frac{R}{C_v} = 0.4$,इस मान को समीकरण में रखने पर: $\gamma - 1 = 0.4$,जिससे $\gamma = 1.4$ प्राप्त होता है।
$\gamma = 1.4$ का मान द्वि-परमाणुक गैस के लिए होता है।

(D) दिया गया है,स्थिर दाब पर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = 620 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ और स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = 420 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ है।
गैस का मोलर द्रव्यमान $M$,गैस नियतांक $R$ के साथ $M(C_p - C_v) = R$ संबंध द्वारा संबंधित है।
मान रखने पर: $M(620 - 420) = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$।
$M(200) = 8.314 \implies M = \frac{8.314}{200} = 0.04157 \ kg \ mol^{-1}$।
$STP$ पर,दाब $P = 1.013 \times 10^5 \ Pa$ और तापमान $T = 273.15 \ K$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ का उपयोग करने पर,घनत्व $\rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}$ प्राप्त होता है।
$\rho = \frac{(1.013 \times 10^5) \times 0.04157}{8.314 \times 273.15} \approx 1.855 \ kg \ m^{-3}$।
निकटतम मान लेने पर,$\rho \approx 1.86 \ kg \ m^{-3}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) हीलियम एक एकपरमाणुक गैस है। एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_p)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ के बीच का संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है: $C_p - C_V = R$।
दिया गया है: $C_V = 12.6 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ और $R = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $C_p = C_V + R$।
$C_p = 12.6 + 8.314 = 20.914 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$।
इस मान को निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $C_p \approx 21 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) एक परमाण्विक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है।
नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{f}{2}R = \frac{3}{2}R$ है।
नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = C_v + R = \frac{5}{2}R$ है।
नियत दाब पर अवशोषित ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T = 40 \ J$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{\Delta U}{Q} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{3/2 R}{5/2 R} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\Delta U = \frac{3}{5} \times Q = \frac{3}{5} \times 40 \ J = 24 \ J$ होगा।

(A) $STP$ पर, एक आदर्श गैस का मोलर आयतन $22.4 \text{ litres/mol}$ होता है।
हीलियम गैस के मोलों की संख्या, $n = \frac{67.2 \text{ L}}{22.4 \text{ L/mol}} = 3 \text{ mol}$ है।
हीलियम एक एक-परमाणुक गैस है, इसलिए स्थिर आयतन पर इसकी मोलर ऊष्मा धारिता $C_v = \frac{3}{2} R$ है।
स्थिर आयतन पर तापमान को $dT = 20^{\circ} C$ (या $20 \text{ K}$) बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा:
$dQ = n C_v dT$
$dQ = 3 \times \left( \frac{3}{2} \times 8.314 \text{ J/mol K} \right) \times 20 \text{ K}$
$dQ = 3 \times 1.5 \times 8.314 \times 20 = 748.26 \text{ J} \approx 748 \text{ J}$.