Molar Specific Heat of gas and relation between them (Mayer's formula) Questions in Hindi

(D) मेयर के संबंध के अनुसार,किसी भी आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ का अंतर सार्वत्रिक गैस नियतांक $(R)$ के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$C_P - C_V = R$।
चूंकि $R$ एक सार्वत्रिक नियतांक है,यह गैस की प्रकृति पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,हाइड्रोजन गैस के लिए,$C_P - C_V = a = R$।
ऑक्सीजन गैस के लिए,$C_P - C_V = b = R$।
इनकी तुलना करने पर,हमें $a = b$ प्राप्त होता है।

(A) मोलर विशिष्ट ऊष्माओं के बीच का संबंध $C_{P,m} - C_{V,m} = R$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
इकाई द्रव्यमान के लिए विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C = C_m / M$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है।
अतः,$C_P - C_V = \frac{C_{P,m}}{M} - \frac{C_{V,m}}{M} = \frac{R}{M}$।
नाइट्रोजन गैस $(N_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M = 2 \times 14 = 28 \text{ g/mol}$ है।
इसलिए,$C_P - C_V = \frac{R}{28}$।

$(A)$ आदर्श गैस के लिए मेयर के संबंध के अनुसार, $C_P - C_V = R$ होता है।
यहाँ इकाई $\text{cal/g mol-K}$ है, इसलिए सार्वत्रिक गैस नियतांक $R$ का मान लगभग $2 \text{ cal/g mol-K}$ होता है।
अतः, सबसे विश्वसनीय सेट के लिए शर्त $C_P - C_V = 2$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $5 - 3 = 2$
$(B)$ $6 - 4 = 2$
$(C)$ $2 - 3 = -1$
$(D)$ $4.2 - 3 = 1.2$
विकल्प $(A)$ और $(B)$ दोनों $C_P - C_V = 2$ संबंध को संतुष्ट करते हैं। हालाँकि, एक गैस के लिए, $C_P$ का मान $C_V$ से अधिक होना चाहिए और अनुपात $\gamma = C_P/C_V$ का मान $1$ से अधिक होना चाहिए।
$(A)$ के लिए: $\gamma = 5/3 \approx 1.67$ (एक-परमाणुक गैस)।
$(B)$ के लिए: $\gamma = 6/4 = 1.5$ (द्वि-परमाणुक गैस)।
दोनों भौतिक रूप से संभव हैं, लेकिन $C_V = 3$ और $C_P = 5$ एक मानक एक-परमाणुक गैस (जैसे हीलियम) के लिए मान है, जो पाठ्यपुस्तकों में सामान्यतः पाया जाता है। इसलिए, $(A)$ सबसे अधिक विश्वसनीय सेट है।

(B) कथन $A$ मेयर के संबंध को दर्शाता है,जो सभी आदर्श गैसों के लिए मान्य है।
कथन $B$ रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ को दर्शाता है।
एक-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ होती है।
अतः,$\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = 1 + 0.67 = 1.67$.
इसलिए,कथन $A$ सभी आदर्श गैसों के लिए सत्य है,और कथन $B$ केवल एक-परमाणुक गैसों के लिए सत्य है।

(C) हमें अनुपात $R/C_V = 0.67$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि मेयर का संबंध $C_P - C_V = R$ है।
$C_V$ से विभाजित करने पर,हमें $(C_P/C_V) - 1 = R/C_V$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $\gamma = C_P/C_V$ रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) है।
अतः,$\gamma - 1 = 0.67$,जिसका अर्थ है $\gamma = 1.67$।
एक-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ होती है।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1 + (2/f) = 1 + (2/3) = 1 + 0.666... \approx 1.67$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गणना किया गया $\gamma$ का मान एक-परमाणुक गैस के मान से मेल खाता है,इसलिए यह गैस एक-परमाणुक है।

(A) एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ के बीच का संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है: $C_P - C_V = R$,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
यदि विशिष्ट ऊष्मा को ऊर्जा की इकाइयों (जैसे जूल) में मापा जाता है और गैस नियतांक $R$ को कार्य की इकाइयों में व्यक्त किया जाता है,तो यह संबंध सीधे लागू होता है।
हालाँकि,पुरानी प्रणालियों में जहाँ ऊष्मा को कैलोरी में और कार्य को जूल में मापा जाता है,इकाइयों को बदलने के लिए ऊष्मा के यांत्रिक तुल्यांक $J$ का उपयोग किया जाता है,जिसके परिणामस्वरूप $C_P - C_V = \frac{R}{J}$ संबंध प्राप्त होता है।

(D) आदर्श गैस के लिए मेयर के संबंध के अनुसार,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ के बीच का अंतर सार्वत्रिक गैस नियतांक $(R)$ के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$C_P - C_V = R$ होता है।
हाइड्रोजन गैस के लिए,$C_P - C_V = a$,इसलिए $a = R$ है।
ऑक्सीजन गैस के लिए,$C_P - C_V = b$,इसलिए $b = R$ है।
चूँकि $a$ और $b$ दोनों सार्वत्रिक गैस नियतांक $R$ के बराबर हैं,इसलिए $a = b$ होगा।

(C) गैस की विशिष्ट ऊष्मा को गैस के इकाई द्रव्यमान के तापमान को $1 \text{ K}$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि गैस को दी गई ऊष्मा का उपयोग उसकी आंतरिक ऊर्जा को बदलने और कार्य करने के लिए किया जा सकता है,और किया गया कार्य प्रक्रिया (समदाबी,समआयतनिक,समतापीय,रुद्धोष्म,या कोई भी पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया) पर निर्भर करता है,इसलिए विशिष्ट ऊष्मा भिन्न हो सकती है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान में परिवर्तन $0$ होता है,इसलिए $C = \Delta Q / (m \Delta T) = \infty$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$\Delta Q = 0$ होता है,इसलिए $C = 0$।
अतः,ऊष्मागतिक प्रक्रिया के आधार पर गैस की विशिष्ट ऊष्मा $0$ और $\infty$ के बीच कोई भी मान ले सकती है।

(B) एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ के बीच का संबंध मेयर के संबंध (Mayer's relation) द्वारा दिया जाता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$1$ मोल आदर्श गैस के लिए,$dQ = dU + dW$ होता है।
स्थिर आयतन पर,$dW = 0$,इसलिए $dQ = C_V dT = dU$ होता है।
स्थिर दाब पर,$dQ = C_P dT = dU + P dV$ होता है।
$1$ मोल के लिए $PV = RT$ होने के कारण,अवकलन करने पर $P dV = R dT$ प्राप्त होता है।
स्थिर दाब के समीकरण में $dU = C_V dT$ और $P dV = R dT$ का मान रखने पर,हमें $C_P dT = C_V dT + R dT$ प्राप्त होता है।
$dT$ से विभाजित करने पर,हमें $C_P - C_V = R$ प्राप्त होता है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए मेयर के संबंध के अनुसार,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ के बीच का अंतर सार्वत्रिक गैस नियतांक $(R)$ के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$C_P - C_V = R$ है।
चूंकि $R$ एक सार्वत्रिक गैस नियतांक है,इसलिए व्यंजक $C_P - C_V$ एक सार्वत्रिक नियतांक को दर्शाता है।

(B) स्थिर आयतन पर एक आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta U = n C_V \Delta T$.
आदर्श गैस के लिए,मोलर विशिष्ट ऊष्माओं के बीच संबंध $C_P - C_V = R$ है,जिसका अर्थ है $C_V = C_P - R$.
दिया गया है: $n = 5 \ mol$,$C_P = 8 \ cal/mol \cdot K$,$R = 2 \ cal/mol \cdot K$,और $\Delta T = 20^{\circ}C - 10^{\circ}C = 10 \ K$.
$C_V$ की गणना करने पर: $C_V = 8 - 2 = 6 \ cal/mol \cdot K$.
अब,सूत्र में मान रखने पर: $\Delta U = 5 \times 6 \times 10 = 300 \ cal$.

(A) पानी $(H_2O)$ एक गैर-रेखीय त्रि-परमाणुक अणु है। ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,प्रत्येक परमाणु $3$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) रखता है।
$N$ परमाणुओं वाले अणु के लिए,कुल स्वतंत्रता की कोटि $f = 3N$ होती है।
पानी के लिए,$N = 3$ (एक ऑक्सीजन और दो हाइड्रोजन परमाणु),इसलिए $f = 3 \times 3 = 9$ है।
$1 \text{ mole}$ पानी के लिए आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} RT = \frac{9}{2} RT$ द्वारा दी जाती है।
हालाँकि,ठोस अवस्था (बर्फ) में पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता के संदर्भ में या कंपन मोड को ध्यान में रखते हुए,त्रि-परमाणुक ठोस के लिए डुलॉन्ग-पेटिट नियम का उपयोग किया जाता है,जहाँ प्रत्येक परमाणु $3k_BT$ (गतिज + स्थितिज ऊर्जा) का योगदान देता है।
कुल ऊर्जा $U = 3 \times 3k_BT \times N_A = 9RT$ है।
अतः,मोलर ऊष्मा धारिता $C = \frac{dU}{dT} = 9R$ है।

(C) हीलियम एक एकपरमाणुक गैस है,इसलिए इसकी मोलर विशिष्ट ऊष्माएँ $C_v = \frac{3}{2}R$ और $C_p = \frac{5}{2}R$ हैं।
दिया गया है: $n = 2 \text{ मोल}$,$\Delta T = 100^{\circ}C = 100 \text{ K}$,और $R \approx 2 \text{ cal/mol K}$।
स्थिर आयतन पर आवश्यक ऊष्मा $\Delta Q_v = n C_v \Delta T = 2 \times \frac{3}{2}R \times 100 = 300R = 300 \times 2 = 600 \text{ cal}$।
स्थिर दाब पर आवश्यक ऊष्मा $\Delta Q_p = n C_p \Delta T = 2 \times \frac{5}{2}R \times 100 = 500R = 500 \times 2 = 1000 \text{ cal}$।

(C) एक परमाण्विक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_P = \frac{5}{2}R$ होती है।
दिया गया संबंध $R = n \times C_P$ है।
$C_P$ का मान रखने पर,हमें $R = n \times \left( \frac{5}{2}R \right)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $R$ को काटने पर,हमें $1 = n \times \frac{5}{2}$ मिलता है।
अतः,$n = \frac{2}{5} = 0.4$।

(A) दिया गया है कि नियत आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_V = \alpha R$ है।
मेयर के संबंध के अनुसार,नियत दाब पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_P = C_V + R$ होती है।
$C_V$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C_P = \alpha R + R = R(\alpha + 1)$ प्राप्त होता है।
अब,मोलर ऊष्मा धारिताओं का अनुपात $\frac{C_P}{C_V} = \frac{R(\alpha + 1)}{\alpha R}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{C_P}{C_V} = \frac{\alpha + 1}{\alpha}$ प्राप्त होता है।

(B) स्थिर दबाव पर दी गई ऊष्मा का सूत्र $(\Delta Q)_P = \mu C_P \Delta T$ है।
यहाँ $\mu = 2 \, mol$,$\Delta T = (35 - 30) = 5 \, K$ और $(\Delta Q)_P = 70 \, cal$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $70 = 2 \times C_P \times 5 \Rightarrow C_P = 7 \, cal/mol \cdot K$ प्राप्त होता है।
मेयर के संबंध $C_P - C_V = R$ का उपयोग करने पर,$C_V = C_P - R = 7 - 2 = 5 \, cal/mol \cdot K$ मिलता है।
स्थिर आयतन पर आवश्यक ऊष्मा $(\Delta Q)_V = \mu C_V \Delta T$ है।
मान रखने पर: $(\Delta Q)_V = 2 \times 5 \times 5 = 50 \, cal$।

(A) आर्गन एक एकपरमाणुक गैस है। नियत आयतन पर इसकी मोलर विशिष्ट ऊष्मा निम्न प्रकार दी जाती है:
${C_v} = \frac{3}{2} R = \frac{3}{2} \times 2 = 3 \ cal/mol \ K$.
हम जानते हैं कि मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)$ और विशिष्ट ऊष्मा $(c_v)$ के बीच संबंध ${C_v} = M_w \times c_v$ है,जहाँ $M_w$ परमाणु भार है।
यहाँ $c_v = 0.075 \ kcal/kg \ K = 0.075 \ cal/g \ K$ दिया गया है।
मान रखने पर: $3 = M_w \times 0.075$.
$M_w = \frac{3}{0.075} = 40 \ g/mol$.

(A) स्थिर दाब पर,दी गई ऊष्मा $(\Delta Q)_P = n C_P \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $n = 1 \, mole$,$\Delta T = (30 - 20) = 10^{\circ}C$,और $(\Delta Q)_P = 40 \, cal$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $40 = 1 \times C_P \times 10$,जिससे $C_P = 4 \, cal/(mol \cdot K)$ प्राप्त होता है।
आदर्श गैस के लिए,मोलर विशिष्ट ऊष्माओं के बीच संबंध $C_P - C_V = R$ होता है।
यहाँ $R \approx 2 \, cal/(mol \cdot K)$ लेने पर,$C_V = C_P - R = 4 - 2 = 2 \, cal/(mol \cdot K)$ प्राप्त होता है।
स्थिर आयतन पर,आवश्यक ऊष्मा $(\Delta Q)_V = n C_V \Delta T$ होती है।
मान रखने पर: $(\Delta Q)_V = 1 \times 2 \times 10 = 20 \, cal$।

(D) $1\, g$ हीलियम गैस के लिए,विशिष्ट गैस नियतांक $r = \frac{R}{M_w}$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{m}{M_w}$,हमें $r = \frac{PV}{mT}$ प्राप्त होता है।
$NTP$ पर,$P = 76\, cm$ ऑफ $Hg = 76 \times 13.6 \times 981\, dyne/cm^2$,$V = 22400\, cm^3$ ($4\, g$ हीलियम का आयतन),$m = 4\, g$,और $T = 273\, K$ है।
अतः,$r = \frac{76 \times 13.6 \times 981 \times 22400}{4 \times 273} \approx 2.08 \times 10^7\, erg\, g^{-1} K^{-1}$।
मेयर के संबंध के अनुसार,$c_p - c_v = \frac{r}{J}$।
मान रखने पर: $c_p - c_v = \frac{2.08 \times 10^7}{4.186 \times 10^7} \approx 0.5\, cal\, g^{-1} K^{-1}$।

(A) हम जानते हैं कि स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया अनुपात $\frac{R}{C_v} = 0.67$ है।
$C_v$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{R}{R / (\gamma - 1)} = \gamma - 1 = 0.67$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\gamma = 1.67$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} \approx 1.67$ होता है।
अतः,गैस एकपरमाणुक है।

(A) दिया गया है: $\mu = 1 \, mole$,$\Delta T = 30^{\circ}C - 20^{\circ}C = 10 \, K$,$(\Delta Q)_p = 40 \, cal$,$R = 2 \, cal \, mol^{-1} K^{-1}$.
स्थिर दबाव पर,दी गई ऊष्मा $(\Delta Q)_p = \mu C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $40 = 1 \times C_p \times 10$,जिससे $C_p = 4 \, cal \, mol^{-1} K^{-1}$ प्राप्त होता है।
मेयर के संबंध $C_p - C_v = R$ का उपयोग करते हुए,$C_v = C_p - R = 4 - 2 = 2 \, cal \, mol^{-1} K^{-1}$ प्राप्त होता है।
स्थिर आयतन पर,दी गई ऊष्मा $(\Delta Q)_v = \mu C_v \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $(\Delta Q)_v = 1 \times 2 \times 10 = 20 \, calories$.

(C) स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ होता है।
दिया गया है कि $C_v = \frac{3R}{2}$,अतः दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{R}{\gamma - 1} = \frac{3R}{2}$.
दोनों पक्षों से $R$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{\gamma - 1} = \frac{3}{2}$.
व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,$\gamma - 1 = \frac{2}{3}$.
इसलिए,$\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
दशमलव मान की गणना करने पर,$\gamma \approx 1.67$।

(D) दिया गया है:
विशिष्ट ऊष्माओं का अंतर: $c_p - c_v = 4150 \, J/kg \cdot K$ ... $(i)$
विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात: $\gamma = \frac{c_p}{c_v} = 1.4$
इससे हमें प्राप्त होता है: $c_p = 1.4 c_v$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$1.4 c_v - c_v = 4150$
$0.4 c_v = 4150$
$c_v = \frac{4150}{0.4}$
$c_v = 10375 \, J/kg \cdot K$
अतः,स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा $10375 \, J/kg \cdot K$ है।

(A) एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \mu C_v T$ है,जहाँ $\mu$ मोलों की संख्या है,$C_v$ स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा है और $T$ परम तापमान है।
आदर्श गैस के लिए अवस्था समीकरण $PV = \mu RT$ है,जिसका अर्थ है $\mu T = \frac{PV}{R}$।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक सूचकांक है।
इन व्यंजकों को आंतरिक ऊर्जा के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$U = \mu \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) T = \left( \frac{\mu RT}{\gamma - 1} \right)$।
चूंकि $\mu RT = PV$,इसलिए हमें $U = \frac{PV}{\gamma - 1}$ प्राप्त होता है।

(D) एक द्वि-परमाणुक गैस के लिए,नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{5}{2}R$ है और नियत दाब पर $C_P = \frac{7}{2}R$ है।
जब नियत दाब पर $\Delta Q$ ऊष्मा दी जाती है,तो दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_P \Delta T$ होती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ होता है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित ऊष्मा का भाग $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{n C_V \Delta T}{n C_P \Delta T} = \frac{C_V}{C_P}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{5/2 R}{7/2 R} = \frac{5}{7}$ प्राप्त होता है।

(C) स्थिर दाब (isobaric) प्रक्रिया के लिए, दी गई ऊष्मा ऊर्जा का सूत्र है: $(\Delta Q)_p = \mu C_p \Delta T$।
चूंकि $H_2$ एक द्वि-परमाणुक (diatomic) गैस है, इसलिए स्थिर दाब पर इसकी मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \frac{7}{2}R$ होती है।
यहाँ, $\mu = 5 \, \text{mole}$, $\Delta T = 60^{\circ}C - 30^{\circ}C = 30 \, K$ और $R = 2 \, \text{cal/mol} \cdot K$ दिया गया है।
मान रखने पर: $(\Delta Q)_p = 5 \times (\frac{7}{2} \times 2) \times 30$।
$(\Delta Q)_p = 5 \times 7 \times 30 = 1050 \, \text{calorie}$।

(C) आदर्श गैस के लिए,मोलर विशिष्ट ऊष्माओं के बीच संबंध $C_p - C_v = R$ होता है।
यहाँ $C_p = 7.2\,cal/mol/^{\circ}C$ और $R = 2\,cal/mol/^{\circ}C$ दिया गया है।
इसलिए,$C_v = C_p - R = 7.2 - 2 = 5.2\,cal/mol/^{\circ}C$ होगा।
नियत आयतन (समआयतनिक) प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_v \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $n = 5\,mol$,$C_v = 5.2\,cal/mol/^{\circ}C$,और $\Delta T = 20^{\circ}C - 10^{\circ}C = 10^{\circ}C$ है।
मान रखने पर: $\Delta Q = 5 \times 5.2 \times 10 = 260\,cal$ प्राप्त होता है।
नोट: दिए गए संदर्भ के अनुसार $C_v \approx 5\,cal/mol/^{\circ}C$ का उपयोग करने पर,$\Delta Q = 5 \times 5 \times 10 = 250\,cal$ प्राप्त होता है।

(A) चूंकि गैस का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा $\Delta Q = n C_V \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
हीलियम $(He)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $4\, g/mol$ है। इसलिए,$1\, g$ हीलियम में मोल की संख्या $n = \frac{1}{4}$ है।
हीलियम एक एकपरमाणुक गैस है,इसलिए स्थिर आयतन पर इसकी मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{3}{2} R$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1$ दिया गया है,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta Q = n C_V \Delta T = \left( \frac{1}{4} \right) \left( \frac{3}{2} R \right) (T_2 - T_1) = \frac{3}{8} R (T_2 - T_1)$।
संबंध $R = N_a k_B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $N_a$ एवोगैड्रो संख्या है और $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta Q = \frac{3}{8} N_a k_B (T_2 - T_1)$।

(A) नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{f}{2}R$ द्वारा दी जाती है।
मेयर के संबंध के अनुसार,नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = C_v + R$ होती है।
$C_v$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $C_p = \frac{f}{2}R + R = R(1 + \frac{f}{2}) = R(\frac{f+2}{2})$।
विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ है।
व्यंजकों का मान रखने पर,$\gamma = \frac{R(\frac{f+2}{2})}{\frac{f}{2}R} = \frac{f+2}{f} = 1 + \frac{2}{f}$।

(B) स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा ${C_p} = \frac{7}{2}R$ दी गई है।
मेयर के संबंध ${C_p} - {C_V} = R$ का उपयोग करके,हम स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा ${C_V}$ ज्ञात कर सकते हैं।
${C_V} = {C_p} - R = \frac{7}{2}R - R = \frac{5}{2}R$.
स्थिर दाब पर विशिष्ट ऊष्मा और स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{{C_p}}{{C_V}}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
मान रखने पर,$\gamma = \frac{(7/2)R}{(5/2)R} = \frac{7}{5}$.

(C) माना $C_p$ और $C_v$ आदर्श गैस की क्रमशः स्थिर दाब और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्माएँ हैं।
मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C)$ और प्रति इकाई द्रव्यमान विशिष्ट ऊष्मा $(c)$ के बीच का संबंध $C = M \times c$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ अणु भार है।
इसलिए,$C_p = M c_p$ और $C_v = M c_v$ होगा।
आदर्श गैस के लिए मेयर के संबंध के अनुसार,मोलर विशिष्ट ऊष्माओं का अंतर सार्वत्रिक गैस नियतांक के बराबर होता है: $C_p - C_v = R$।
$C_p$ और $C_v$ के व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $M c_p - M c_v = R$।
दोनों पक्षों को $M$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $c_p - c_v = R/M$।

(A) एक आदर्श गैस के लिए मेयर के संबंध के अनुसार,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_{P})$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_{V})$ के बीच का अंतर सार्वत्रिक गैस नियतांक $(R)$ के बराबर होता है:
$C_{P} - C_{V} = R$
दिया गया है कि एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma$ मोलर विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात है:
$\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$
इससे,हम $C_{P}$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$C_{P} = \gamma C_{V}$
$C_{P}$ के इस मान को मेयर के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:
$\gamma C_{V} - C_{V} = R$
$C_{V}$ को कॉमन लेने पर:
$C_{V}(\gamma - 1) = R$
$C_{V}$ के लिए हल करने पर:
$C_{V} = \frac{R}{\gamma - 1}$

(B) हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_p)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)$ के बीच का संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है:
$C_p - C_v = R$
हमें रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ दिया गया है,जिसका अर्थ है कि $C_p = \gamma C_v$.
इस मान को मेयर के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:
$\gamma C_v - C_v = R$
$C_v$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$C_v(\gamma - 1) = R$
$C_v$ के लिए हल करने पर:
$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$

(C) $n$ स्वतंत्रता की कोटि के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{n}{2}R$ द्वारा दी जाती है।
मेयर के संबंध से,हम जानते हैं कि $C_p - C_v = R$,जिसका अर्थ है $C_p = C_v + R$।
$C_v$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $C_p = \frac{n}{2}R + R = R\left(\frac{n}{2} + 1\right) = R\left(\frac{n+2}{2}\right)$।
विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma$ को $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$C_p$ और $C_v$ के व्यंजक रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\gamma = \frac{R(\frac{n+2}{2})}{\frac{n}{2}R} = \frac{n+2}{n} = 1 + \frac{2}{n}$।

(D) $CO$ एक द्वि-परमाणुक गैस है। द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = \frac{7}{2}R$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{5}{2}R$ होती है।
विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma$ को $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
मान रखने पर: $\gamma = \frac{7R/2}{5R/2} = \frac{7}{5} = 1.4$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) एक आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए,अचर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = \frac{5}{2}R$ और अचर आयतन पर $C_V = \frac{3}{2}R$ होती है।
अचर दाब पर दी गई ऊष्मा $(\Delta Q)_P = n C_P \Delta T = 210 \, J$ है।
अचर आयतन पर दी गई ऊष्मा $(\Delta Q)_V = n C_V \Delta T$ है।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{(\Delta Q)_V}{(\Delta Q)_P} = \frac{C_V}{C_P} = \frac{\frac{3}{2}R}{\frac{5}{2}R} = \frac{3}{5}$.
अतः,$(\Delta Q)_V = \frac{3}{5} \times 210 \, J = 126 \, J$.

(C) द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = \frac{7}{2}R$ होती है।
स्थिर दाब पर दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_P \Delta T = n (\frac{7}{2}R) \Delta T$ है।
स्थिर दाब पर प्रसार के दौरान किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V = n R \Delta T$ है।
प्रसार के लिए उपयोग की गई ऊष्मा का अंश $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{n R \Delta T}{n (\frac{7}{2}R) \Delta T} = \frac{1}{7/2} = \frac{2}{7}$ है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दबाव $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर, हमें $\ln(PV^{\gamma}) = \ln(\text{स्थिरांक})$ प्राप्त होता है।
यह $\ln P + \gamma \ln V = \text{स्थिरांक}$ या $\ln P = -\gamma \ln V + \text{स्थिरांक}$ में सरल हो जाता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर, ढाल $m$ का मान $-\gamma$ के बराबर है।
दिए गए ग्राफ से, $B$ के लिए ढाल का परिमाण $A$ के लिए ढाल के परिमाण से अधिक है, अर्थात $|\text{slope}_B| > |\text{slope}_A|$.
इसलिए, $\gamma_B > \gamma_A$.
चूंकि एकपरमाणुक गैस के लिए रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma$ का मान $1.67$ है और द्विपरमाणुक गैस के लिए यह $1.4$ है, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि गैस $B$ एकपरमाणुक है और गैस $A$ द्विपरमाणुक है।

(A) दिया गया है: स्वतंत्रता की कोटि $f = 6$,किया गया कार्य $\Delta W = 25 \ J$ है।
आदर्श गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ है।
स्थिर दाब पर,किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V = nR \Delta T$ होता है।
दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ है।
हम जानते हैं कि $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$ होता है।
अतः,$\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{nR \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p} = \frac{\gamma - 1}{\gamma}$ है।
$\gamma = \frac{4}{3}$ रखने पर:
$\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{\frac{4}{3} - 1}{\frac{4}{3}} = \frac{1/3}{4/3} = \frac{1}{4}$ है।
इसलिए,$\Delta Q = 4 \times \Delta W = 4 \times 25 \ J = 100 \ J$।

(D) गैस का रुद्धोष्म बल्क मापांक $(B_{ad})$ इस प्रकार परिभाषित है: $B_{ad} = -V \frac{dp}{dV}$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $(p)$ और आयतन $(V)$ के बीच संबंध $pV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ है।
$V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dp}{dV} V^{\gamma} + p \gamma V^{\gamma-1} = 0$।
इसे सरल करने पर $\frac{dp}{dV} = -\gamma \frac{p}{V}$ प्राप्त होता है।
इस मान को बल्क मापांक के सूत्र में रखने पर,$B_{ad} = -V (-\gamma \frac{p}{V}) = \gamma p$ प्राप्त होता है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.4$ है।
वायुमंडलीय दाब पर,$p = 1.013 \times 10^5 \, Nm^{-2}$ है।
अतः,$B_{ad} = 1.4 \times 1.013 \times 10^5 \, Nm^{-2} \approx 1.4 \times 10^5 \, Nm^{-2}$।

(D) $Mayer$ के संबंध के अनुसार,मोलर विशिष्ट ऊष्माओं का अंतर $C_{p,m} - C_{v,m} = R$ द्वारा दिया जाता है।
प्रति इकाई द्रव्यमान विशिष्ट ऊष्मा ज्ञात करने के लिए,हम मोलर विशिष्ट ऊष्माओं को गैस के मोलर द्रव्यमान $M$ से विभाजित करते हैं।
नाइट्रोजन गैस $(N_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M = 28 \ g/mol$ है।
इसलिए,विशिष्ट ऊष्मा का अंतर $C_p - C_v = \frac{C_{p,m}}{M} - \frac{C_{v,m}}{M} = \frac{R}{M}$ होता है।
$M = 28$ रखने पर,हमें $C_p - C_v = \frac{R}{28}$ प्राप्त होता है।

(C) मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिताओं $C_P$ और $C_V$ के बीच का संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है: $C_P - C_V = R$,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c$ (प्रति इकाई द्रव्यमान) का मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C$ के साथ संबंध $c = \frac{C}{M}$ है,जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
अतः,$c_P - c_V = \frac{C_P - C_V}{M} = \frac{R}{M}$.
हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_H = 2 \ g/mol$ है। अतः,$a = \frac{R}{2}$.
नाइट्रोजन गैस $(N_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_N = 28 \ g/mol$ है। अतः,$b = \frac{R}{28}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{a}{b} = \frac{R/2}{R/28} = \frac{28}{2} = 14$.
इसलिए,$a = 14b$.

(B) $1$. मेयर के संबंध के अनुसार,$C_p - C_v = R$,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है। यह मान गैस की परमाणुकता से स्वतंत्र है।
$2$. अनुपात $\gamma = C_p/C_v$ को $1 + 2/f$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है। एकपरमाणुक गैस $(f=3)$ के लिए,$\gamma = 1.67$। द्विपरमाणुक गैस $(f=5)$ के लिए,$\gamma = 1.4$। अतः,परमाणुकता बढ़ने पर $\gamma$ घटता है।
$3$. योग $C_p + C_v$ को $C_v(1 + \gamma)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। चूँकि $C_v = fR/2$,इसलिए $C_p + C_v = (fR/2)(1 + 1 + 2/f) = (fR/2)(2 + 2/f) = R(f + 1)$।
$4$. एकपरमाणुक गैस $(f=3)$ के लिए,$C_p + C_v = 4R$। द्विपरमाणुक गैस $(f=5)$ के लिए,$C_p + C_v = 6R$। इसलिए,$C_p + C_v$ द्विपरमाणुक आदर्श गैस के लिए बड़ा है।

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$ होता है।
स्थिर आयतन पर गैस के लिए,आयतन में परिवर्तन $dV = 0$ होता है,इसलिए किया गया कार्य $dW = P dV = 0$ होता है। अतः,दी गई समस्त ऊष्मा आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाने में व्यय होती है $(dQ = dU = C_v dT)$।
स्थिर दाब पर गैस के लिए,जब ऊष्मा दी जाती है,तो दाब को स्थिर रखने के लिए गैस का प्रसार होता है। इस प्रसार के लिए गैस को बाहरी दाब के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है $(dW = P dV > 0)$।
इसलिए,तापमान में समान वृद्धि $(dT)$ प्राप्त करने के लिए,स्थिर दाब पर अधिक ऊष्मा देनी पड़ती है ताकि आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि और प्रसार के दौरान किए गए कार्य दोनों को पूरा किया जा सके $(C_p dT = dU + P dV)$।
चूंकि $C_p dT > C_v dT$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $C_p > C_v$।

(B) स्थिर दाब प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = nR \Delta T = 25 \ J$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \left(1 + \frac{f}{2}\right) R$ होती है।
स्वतंत्रता की कोटि $f = 6$ दी गई है,इसलिए $C_p = \left(1 + \frac{6}{2}\right) R = (1 + 3) R = 4R$ है।
गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ है।
$C_p = 4R$ और $nR \Delta T = 25 \ J$ का मान रखने पर,$Q = n(4R) \Delta T = 4(nR \Delta T) = 4 \times 25 \ J = 100 \ J$ प्राप्त होता है।

(D) मोलर ऊष्मा धारिता $C$ का सूत्र $C = C_V + \frac{dW}{n dT}$ है।
आदर्श गैस के लिए,$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ होता है।
प्रक्रिया $P = \alpha V$ में किया गया कार्य $W = \int P dV = \int \alpha V dV = \frac{1}{2} \alpha (V_f^2 - V_i^2) = \frac{1}{2} (P_f V_f - P_i V_i)$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर,$W = \frac{1}{2} nR (T_f - T_i) = \frac{1}{2} nR \Delta T$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रति मोल प्रति तापमान परिवर्तन के लिए किया गया कार्य $\frac{W}{n \Delta T} = \frac{R}{2}$ है।
इसलिए,$C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{2} = R \left( \frac{1}{\gamma - 1} + \frac{1}{2} \right) = \frac{R(\gamma + 1)}{2(\gamma - 1)}$।

(C) नियत दाब पर,आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
$Q_{p} = \mu C_{p} \Delta T = 600 \, J$ (दिया गया है),
जहाँ $\mu$ आदर्श गैस के मोलों की संख्या है।
नियत आयतन पर,आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा:
$Q_{v} = \mu C_{v} \Delta T = \mu (C_{p} - R) \Delta T$
चूंकि $C_{p} - C_{v} = R$,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$Q_{v} = \mu C_{p} \Delta T - \mu R \Delta T$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$Q_{v} = 600 - (5 \times 8.31 \times 5)$
$Q_{v} = 600 - 207.75 = 392.25 \, J$.

(B) एकपरमाणुक गैस के लिए, स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है। स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V(\text{mono}) = \frac{3}{2}R$ और स्थिर दाब पर $C_P(\text{mono}) = \frac{5}{2}R$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए, स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ है। स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V(\text{dia}) = \frac{5}{2}R$ और स्थिर दाब पर $C_P(\text{dia}) = \frac{7}{2}R$ है।
मानों की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि $C_P(\text{mono}) = \frac{5}{2}R$ और $C_V(\text{dia}) = \frac{5}{2}R$ है।
अतः, संबंध $C_P(\text{mono}) = C_V(\text{dia})$ मान्य है।

(B) स्थिर दाब पर,दी गई ऊष्मा $Q_P = n C_P \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $Q_P = 310 \ J$,$n = 2 \ moles$,और $\Delta T = 35 - 25 = 10 \ K$ दिया गया है।
$310 = 2 \times C_P \times 10 = 20 C_P$.
$C_P = \frac{310}{20} = 15.5 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
संबंध $C_P - C_V = R$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $R \approx 8.3 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$ है:
$C_V = C_P - R = 15.5 - 8.3 = 7.2 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
स्थिर आयतन पर,आवश्यक ऊष्मा $Q_V = n C_V \Delta T$ है।
$Q_V = 2 \times 7.2 \times 10 = 144 \ J$.

(D) दिया गया है कि विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1.4$ और अंतर $C_p - C_v = 4150 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ है।
अनुपात से,हमें प्राप्त होता है $C_p = 1.4 C_v$.
इस मान को अंतर के समीकरण में रखने पर:
$1.4 C_v - C_v = 4150$
$0.4 C_v = 4150$
$C_v = \frac{4150}{0.4} = 10375 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$.