Molar Specific Heat of gas and relation between them (Mayer's formula) Questions in Hindi

(B) स्थिर दाब पर आपूर्ति की गई ऊष्मा $Q_p = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाने के लिए उपयोग की गई ऊष्मा ऊर्जा का अंश $f = \frac{\Delta U}{Q_p} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$ है।
एक आदर्श अरेखीय त्रि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f_{deg} = 6$ होती है।
रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = 1 + \frac{2}{f_{deg}} = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ होता है।
अतः,अंश $f = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4} = 0.75$ प्राप्त होता है।

(D) ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार, स्वतंत्रता की प्रत्येक कोटि (degree of freedom) अणु की औसत ऊर्जा में $\frac{1}{2} k_B T$ का योगदान देती है।
एक ठोस के लिए, प्रत्येक परमाणु एक $3D$ हार्मोनिक ऑसिलेटर के रूप में कार्य करता है, जिसमें गतिज ऊर्जा के लिए $3$ और स्थितिज ऊर्जा के लिए $3$ स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं, कुल $6$ स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं।
प्रति परमाणु औसत ऊर्जा $U = 6 \times \frac{1}{2} k_B T = 3 k_B T$ है।
$1 \, \text{mole}$ पदार्थ के लिए, आंतरिक ऊर्जा $U_m = 3 R T$ होती है।
मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C_v = \frac{dU_m}{dT} = 3 R$ है।
यहाँ $R = 8.314 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$ और परमाणु भार $M = 27 \times 10^{-3} \, kg/mol$ दिया गया है, इसलिए विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c = \frac{C_v}{M} = \frac{3 R}{M}$ प्राप्त होती है।
मान रखने पर: $c = \frac{3 \times 8.314}{27 \times 10^{-3}} \approx \frac{24.942}{0.027} \approx 923.77 \, J \, kg^{-1} \, K^{-1}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $925 \, J \, kg^{-1} \, K^{-1}$ है।

(A) समदाबीय प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है और $C_p$ स्थिर दबाव पर मोलर ऊष्मा धारिता है।
ग्राफ से,रेखा का ढाल (slope) $\frac{Q}{\Delta T} = n C_p$ है।
चूंकि सभी गैसों के लिए मोलों की संख्या $n$ समान है,इसलिए ढाल सीधे $C_p$ के समानुपाती है।
स्थिर दबाव पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_p = C_v + R = \left( \frac{f}{2} + 1 \right) R$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
मोनोएटॉमिक गैस $(M)$ के लिए,$f = 3$,इसलिए $C_p = (1.5 + 1) R = 2.5 R$.
डायएटॉमिक गैस $(D)$ के लिए,$f = 5$,इसलिए $C_p = (2.5 + 1) R = 3.5 R$.
पॉलीएटॉमिक गैस $(P)$ के लिए,$f = 6$,इसलिए $C_p = (3 + 1) R = 4 R$.
इस प्रकार,$C_p(P) > C_p(D) > C_p(M)$.
चूंकि ढाल $C_p$ के समानुपाती है,इसलिए ढाल का क्रम: $\text{slope}(a) > \text{slope}(b) > \text{slope}(c)$ होगा।
अतः,रेखा $a$ $P$ के अनुरूप है,रेखा $b$ $D$ के अनुरूप है,और रेखा $c$ $M$ के अनुरूप है।

(C) $STP$ पर,एक आदर्श गैस का मोलर आयतन $22.4 \, L/mol$ होता है।
हीलियम गैस के मोलों की संख्या $n = \frac{67.2 \, L}{22.4 \, L/mol} = 3 \, mol$ है।
हीलियम एक एकपरमाणुक गैस है,इसलिए स्थिर आयतन पर इसकी मोलर ऊष्मा धारिता $C_v = \frac{3}{2}R$ होती है।
आवश्यक ऊष्मा $\Delta Q = n C_v \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\Delta Q = 3 \times \left(\frac{3}{2} \times 8.31 \right) \times 20$.
$\Delta Q = 3 \times 1.5 \times 8.31 \times 20 = 4.5 \times 166.2 = 747.9 \, J$.
निकटतम पूर्णांक में,$\Delta Q \approx 748 \, J$ प्राप्त होता है।

(C) कठोर अणुओं वाली द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{5}{2} R$ होती है।
दिया गया है कि स्थिर आयतन पर $Q$ ऊष्मा दी जाती है,इसलिए $Q = n C_V \Delta T = n (\frac{5}{2} R) \Delta T$ है।
स्थिर दाब पर तापमान में समान परिवर्तन $\Delta T$ के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q' = n C_P \Delta T$ है,जहाँ $C_P = \frac{7}{2} R$ है।
अनुपात लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{Q'}{Q} = \frac{n C_P \Delta T}{n C_V \Delta T} = \frac{C_P}{C_V} = \frac{7/2 R}{5/2 R} = \frac{7}{5}$।
अतः,$Q' = \frac{7}{5} Q$।

(C) आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ का उपयोग करने पर,हमें $\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) (T_f - T_i)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $PV = nRT$,इसलिए $nRT_f = P_f V_f$ और $nRT_i = P_i V_i$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\Delta U = \frac{P_f V_f - P_i V_i}{\gamma - 1}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना विकल्प $C$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि $\frac{P_f V_f - P_i V_i}{1 - \gamma} = - \left( \frac{P_f V_f - P_i V_i}{\gamma - 1} \right)$,जो गलत है। अतः,विकल्प $C$ गलत संबंध है।

(B) एक आदर्श एक-परमाणुक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = nC_v dT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $C_v = \frac{3}{2}R$ है।
दी गई प्रक्रिया की शर्त $dQ = 3dU$ है।
हम जानते हैं कि मोलर ऊष्मा धारिता $C$ को $C = \frac{dQ}{n dT}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दी गई शर्त को प्रतिस्थापित करने पर: $C = \frac{3dU}{n dT} = \frac{3(nC_v dT)}{n dT} = 3C_v$.
एक-परमाणुक गैस के लिए $C_v$ का मान रखने पर: $C = 3 \times \left(\frac{3}{2}R\right) = \frac{9}{2}R = 4.5R$.

(D) दिया गया समीकरण $\left( \frac{T^7}{P^2} \right)^{1/5} = \text{स्थिरांक}$ है।
इसे $T^{7/5} P^{-2/5} = \text{स्थिरांक}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और दबाव $P$ से संबंधित समीकरण $T^{\gamma} P^{1-\gamma} = \text{स्थिरांक}$ होता है।
$T$ और $P$ के घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\gamma = 7/5$ और $1 - \gamma = -2/5$ प्राप्त होता है।
$\gamma$ के लिए हल करने पर,हमें $\gamma = 1 + 2/5 = 7/5 = 1.4$ मिलता है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v$ का सूत्र $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ है।
$\gamma = 7/5$ रखने पर,हमें $C_v = \frac{R}{7/5 - 1} = \frac{R}{2/5} = 2.5 R$ प्राप्त होता है।

(B) विशिष्ट ऊष्मा धारिता के लिए मेयर के संबंध के अनुसार,स्थिर दाब पर विशिष्ट ऊष्मा $(c_p)$ और स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा $(c_v)$ के बीच का अंतर $c_p - c_v = R/M$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
नाइट्रोजन गैस $(N_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M = 28 \ g/mol$ है।
इस मान को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $c_p - c_v = R/28$ प्राप्त होता है।

(D) विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ के रूप में परिभाषित है।
मेयर के संबंध से,हम जानते हैं कि $C_P - C_V = R$,जिसका अर्थ है $C_V = C_P - R$।
इस मान को अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\gamma = \frac{C_P}{C_P - R}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$C_P - C_V = R$ से,हम $C_P = C_V + R$ लिख सकते हैं,इसलिए $\gamma = \frac{C_V + R}{C_V} = 1 + \frac{R}{C_V}$।
इसके अतिरिक्त,$\gamma = \frac{C_P}{C_P - R} = \frac{1}{\frac{C_P - R}{C_P}} = \frac{1}{1 - \frac{R}{C_P}}$।
चूंकि तीनों व्यंजक समान हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) चूंकि गैस का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा $\Delta Q = n C_v \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$1\,g$ हीलियम (मोलर द्रव्यमान $M = 4\,g/mol$) के लिए मोलों की संख्या $n = \frac{1}{4}$ है।
हीलियम जैसी एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2} R$ होती है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1$ है।
इन मानों को रखने पर,हमें $\Delta Q = \frac{1}{4} \times \left( \frac{3}{2} R \right) \times (T_2 - T_1) = \frac{3}{8} R (T_2 - T_1)$ प्राप्त होता है।
संबंध $R = N_a k_B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $N_a$ आवोगाद्रो संख्या है और $k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है,हमें $\Delta Q = \frac{3}{8} N_a k_B (T_2 - T_1)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) गैस की विशिष्ट ऊष्मा को $1 \text{ mole}$ गैस का तापमान $1 \text{ K}$ (या $1^{\circ}C$) बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
विभिन्न ऊष्मागतिक प्रक्रियाओं के दौरान,गैस द्वारा किया गया कार्य और आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन भिन्न-भिन्न होते हैं।
चूंकि विशिष्ट ऊष्मा $C$ को $C = \frac{dQ}{dT} = \frac{dU}{dT} + \frac{dW}{dT}$ द्वारा दिया जाता है,और किया गया कार्य $dW$ अपनाए गए पथ (प्रक्रिया) पर निर्भर करता है,इसलिए $C$ का मान निश्चित नहीं होता है।
चूंकि अनंत संख्या में संभावित ऊष्मागतिक प्रक्रियाएं हो सकती हैं,इसलिए एक गैस की अनंत विशिष्ट ऊष्माएँ हो सकती हैं।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) यदि $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है,तो अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ को $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
एक-परमाणुक गैस के लिए,$f = 3$ होता है।
इसलिए,$\gamma_{\text{mono}} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.67$ है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,$f = 5$ होता है।
इसलिए,$\gamma_{\text{dia}} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5} = 1.4$ है।
चूंकि $1.4 < 1.67$,इसलिए द्वि-परमाणुक गैस के लिए अनुपात वास्तव में एक-परमाणुक गैस की तुलना में कम है।
कारण सही है क्योंकि द्वि-परमाणुक अणुओं के लिए स्वतंत्रता की कोटि $(f=5)$ एक-परमाणुक परमाणुओं $(f=3)$ की तुलना में अधिक होती है,जिसके परिणामस्वरूप $\gamma$ का मान छोटा प्राप्त होता है।

(C) मेयर के संबंध के अनुसार,$C_p - C_v = R$ होता है। चूंकि $R > 0$ है,इसलिए $C_p > C_v$ होता है। इसका कारण यह है कि जब गैस को स्थिर दाब पर गर्म किया जाता है,तो वह प्रसारित होती है और बाहरी दाब के विरुद्ध कार्य करती है। इसलिए,आंतरिक ऊर्जा बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा के अलावा इस कार्य को करने के लिए अतिरिक्त ऊष्मा की आवश्यकता होती है। इसके विपरीत,स्थिर आयतन पर,गैस द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता है,इसलिए प्रदान की गई सभी ऊष्मा का उपयोग केवल आंतरिक ऊर्जा बढ़ाने के लिए किया जाता है। अतः,Assertion सही है,लेकिन Reason विपरीत बात कहता है (कि स्थिर आयतन पर अतिरिक्त ऊष्मा की आवश्यकता होती है),इसलिए Reason गलत है।

(N/A) तालिका में सूचीबद्ध गैसें द्वि-परमाणुक हैं। स्थानांतरण (translational) स्वतंत्रता की कोटि के अलावा,इनमें घूर्णन (rotational) स्वतंत्रता की कोटि भी होती है।
गैस को दी गई ऊष्मा इन सभी गति के प्रकारों की औसत ऊर्जा को बढ़ाती है। परिणामस्वरूप,द्वि-परमाणुक गैसों की मोलर विशिष्ट ऊष्मा एक-परमाणुक गैसों की तुलना में अधिक होती है।
यदि केवल स्थानांतरण और घूर्णन गति पर विचार किया जाए,तो द्वि-परमाणुक गैस की सैद्धांतिक मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{5}{2} R$ द्वारा दी जाती है।
$R \approx 1.98 \; cal\, mol^{-1}\, K^{-1}$ का उपयोग करने पर,हमें $C_v = 2.5 \times 1.98 = 4.95 \; cal\, mol^{-1}\, K^{-1}$ प्राप्त होता है।
तालिका में अधिकांश गैसें $4.95 \; cal\, mol^{-1}\, K^{-1}$ के करीब मान दिखाती हैं। हालाँकि,क्लोरीन का मान काफी अधिक $(6.17 \; cal\, mol^{-1}\, K^{-1})$ है। यह दर्शाता है कि कमरे के तापमान पर,क्लोरीन के अणुओं में स्थानांतरण और घूर्णन गति के अलावा कंपन (vibrational) स्वतंत्रता की कोटि भी होती है,जो कुल आंतरिक ऊर्जा में योगदान करती है और इस प्रकार मोलर विशिष्ट ऊष्मा को बढ़ा देती है।

(B) नाइट्रोजन का द्रव्यमान,$m = 2.0 \times 10^{-2} \; kg = 20 \; g$.
तापमान में वृद्धि,$\Delta T = 45 \; ^{\circ}C$.
$N_{2}$ का आणविक द्रव्यमान,$M = 28 \; g/mol$.
सार्वत्रिक गैस नियतांक,$R = 8.3 \; J \; mol^{-1} K^{-1}$.
मोलों की संख्या,$n = \frac{m}{M} = \frac{20}{28} = \frac{5}{7} \; mol$.
नाइट्रोजन जैसी द्वि-परमाणुक गैस के लिए,अचर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{p} = \frac{7}{2} R$ होती है।
$C_{p} = \frac{7}{2} \times 8.3 = 29.05 \; J \; mol^{-1} K^{-1}$.
अचर दाब पर दी गई कुल ऊष्मा $\Delta Q = n C_{p} \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
$\Delta Q = \left( \frac{5}{7} \right) \times 29.05 \times 45$.
$\Delta Q = \frac{5}{7} \times \left( \frac{7}{2} \times 8.3 \right) \times 45 = \frac{5}{2} \times 8.3 \times 45$.
$\Delta Q = 2.5 \times 373.5 = 933.75 \; J$.
निकटतम पूर्णांक में,दी गई ऊष्मा $933 \; J$ है।

(N/A) यदि पदार्थ की मात्रा को $kg$ में द्रव्यमान $m$ के बजाय मोल $\mu$ के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है,तो हम पदार्थ की प्रति मोल ऊष्मा धारिता को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:
$C = \frac{1}{\mu} \frac{\Delta Q}{\Delta T}$
जहाँ $C$ को पदार्थ की मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता के रूप में जाना जाता है। $C$ पदार्थ की प्रकृति और उसके तापमान पर निर्भर करता है।
मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता का $SI$ मात्रक $J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ है।
हम गैसों के लिए मोलर विशिष्ट ऊष्मा को दो तरीकों से परिभाषित कर सकते हैं:
$(i)$ अचर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)$: यदि ऊष्मा स्थानांतरण के दौरान गैस का दाब स्थिर रखा जाता है,तो इसे अचर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता कहा जाता है,जिसे $C_P$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$(ii)$ अचर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$: यदि ऊष्मा स्थानांतरण के दौरान गैस का आयतन स्थिर रखा जाता है,तो संबंधित मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता को अचर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता कहा जाता है,जिसे $C_V$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(N/A) $1$. नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$: किसी गैस के $1 \text{ mole}$ का तापमान $1 \text{ K}$ (या $1^{\circ}\text{C}$) बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा,जब उसका आयतन स्थिर रखा जाता है,उसे नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा कहते हैं।
$2$. नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)$: किसी गैस के $1 \text{ mole}$ का तापमान $1 \text{ K}$ (या $1^{\circ}\text{C}$) बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा,जब उसका दाब स्थिर रखा जाता है,उसे नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा कहते हैं।

(C) ऊर्जा के समविभाजन के नियम का उपयोग ठोस पदार्थों की मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है। मान लीजिए कि एक ठोस $N$ परमाणुओं से बना है,जिनमें से प्रत्येक अपनी माध्य स्थिति के चारों ओर कंपन करता है।
एक आयाम में एक दोलक की औसत ऊर्जा $= 2 \times \frac{1}{2} k_{B} T = k_{B} T$ होती है,जहाँ $k_{B}$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है।
तीन आयामों में,औसत ऊर्जा $= 3 k_{B} T$ होती है।
इसलिए,एक मोल ठोस के लिए,कुल आंतरिक ऊर्जा $U$ औसत ऊर्जा और एक मोल में परमाणुओं की संख्या $(N_{A})$ का गुणनफल है:
$U = 3 k_{B} T \times N_{A}$
चूंकि $k_{B} N_{A} = R$ (सार्वत्रिक गैस नियतांक),इसलिए:
$U = 3 RT$
मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C$ ज्ञात करने के लिए,हम तापमान $T$ के सापेक्ष $U$ का अवकलन करते हैं:
$C = \frac{dU}{dT} = \frac{d}{dT}(3 RT) = 3R$
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$। ठोस के लिए,आयतन में परिवर्तन $\Delta V$ नगण्य है,इसलिए किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V \approx 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta U$। इसलिए,ठोस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C = 3R$ प्राप्त होती है।

(N/A) गैसों के लिए,विशिष्ट ऊष्मा धारिता को मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$1$. नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(C_{V})$: नियत आयतन पर $1$ मोल गैस का तापमान $1 \ K$ (या $1^{\circ}C$) बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा को नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(C_{V})$ कहते हैं।
$2$. नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(C_{P})$: नियत दाब पर $1$ मोल गैस का तापमान $1 \ K$ (या $1^{\circ}C$) बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा को नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $(C_{P})$ कहते हैं।
इन दो मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिताओं के बीच का संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है: $C_{P} - C_{V} = R$,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।

(N/A) $1$ मोल आदर्श गैस के लिए,ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
नियत आयतन पर,$\Delta W = 0$,इसलिए $\Delta Q = \Delta U$। चूँकि $\Delta U = C_V \Delta T$,इसलिए $C_V = \frac{\Delta U}{\Delta T}$ प्राप्त होता है।
आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान पर निर्भर करती है,इसलिए किसी भी प्रक्रिया के लिए $\Delta U = C_V \Delta T$ सत्य है।
नियत दाब पर,$\Delta Q = \Delta U + P \Delta V$। $\Delta T$ से भाग देने पर,हमें $\frac{\Delta Q}{\Delta T} = \frac{\Delta U}{\Delta T} + P \frac{\Delta V}{\Delta T}$ प्राप्त होता है।
इससे $C_P = C_V + P \frac{\Delta V}{\Delta T}$ प्राप्त होता है।
$1$ मोल के लिए आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ है। नियत दाब पर अवकलन करने पर,$P \Delta V = R \Delta T$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $P \frac{\Delta V}{\Delta T} = R$।
इस मान को $C_P$ के समीकरण में रखने पर,हमें $C_P = C_V + R$ प्राप्त होता है।
अतः,संबंध $C_P - C_V = R$ है।

(B) संबंध $C_P - C_V = R$ सभी आदर्श गैसों के लिए सत्य है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
हालाँकि,अनुपात $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ गैस की परमाणुकता पर निर्भर करता है।
एकपरमाणुक गैसों के लिए,$\gamma = 1.67$ होता है।
द्विपरमाणुक गैसों के लिए,$\gamma = 1.40$ होता है।
बहुपरमाणुक गैसों के लिए,$\gamma$ के मान अलग-अलग होते हैं।
चूँकि $\gamma$ गैस के अणुओं की स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) पर निर्भर करता है,इसलिए यह सभी गैसों के लिए समान नहीं होता है।

(A) हाँ,हम गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता निर्धारित करने के लिए स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ का उपयोग कर सकते हैं।
ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,प्रति अणु प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि से जुड़ी ऊर्जा $\frac{1}{2} k_{B} T$ होती है।
$f$ स्वतंत्रता की कोटि वाली गैस के लिए,$1$ मोल गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा $(U)$ इस प्रकार है:
$U = f \times \left( \frac{1}{2} k_{B} T \right) \times N_{A} = \frac{f}{2} RT$ (चूंकि $k_{B} N_{A} = R$)
नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_{V})$ को तापमान के सापेक्ष आंतरिक ऊर्जा के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है:
$C_{V} = \frac{dU}{dT} = \frac{d}{dT} \left( \frac{f}{2} RT \right) = \frac{f}{2} R$
मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए,नियत दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_{P})$ है:
$C_{P} = C_{V} + R = \frac{f}{2} R + R = \left( \frac{f}{2} + 1 \right) R$
विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $(\gamma)$ है:
$\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}} = \frac{(\frac{f}{2} + 1)R}{\frac{f}{2}R} = 1 + \frac{2}{f}$

(D) द्विपरमाणुक दृढ़ रोटेटर गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $5$ है और प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि से जुड़ी ऊर्जा $\frac{1}{2} k_{B} T$ है।
ऊर्जा के समविभाजन के नियम से,$1 \text{ mole}$ गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा $(U)$:
$U = 5 \times \frac{1}{2} k_{B} T \times N_{A}$
$U = \frac{5}{2} (k_{B} N_{A}) T$
चूंकि $k_{B} N_{A} = R$,इसलिए:
$U = \frac{5}{2} RT \quad \dots(1)$
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_{V})$:
$C_{V} = \frac{dU}{dT} \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ में रखने पर:
$C_{V} = \frac{d}{dT} \left[ \frac{5}{2} RT \right] = \frac{5}{2} R$
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_{P})$ के लिए मेयर के संबंध का उपयोग करने पर:
$C_{P} - C_{V} = R$
$C_{P} = C_{V} + R = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R$
अतः,अनुपात $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$ है:
$\frac{C_{P}}{C_{V}} = \frac{\frac{7}{2} R}{\frac{5}{2} R} = \frac{7}{5} = 1.4$

(D) एक अ-रेखीय त्रि-परमाणुक गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $6$ होती है ($3$ स्थानांतरण + $3$ घूर्णन)। हालाँकि,यदि प्रश्न उच्च तापमान पर ऐसी गैस की बात कर रहा है जहाँ कंपन मोड सक्रिय हैं,तो $f = 7$ हो सकता है। कमरे के तापमान पर अ-रेखीय त्रि-परमाणुक गैस के मानक मामले को मानते हुए,$f = 6$ है।
$C_V = \frac{f}{2} R = \frac{6}{2} R = 3R$
मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए,$C_P = C_V + R = 3R + R = 4R$
अतः,$\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{4R}{3R} = 1.33$.
यदि गैस में $f=7$ (कंपन मोड सहित) लिया जाए,तो $C_V = \frac{7}{2}R$ और $C_P = \frac{9}{2}R$ होगा,जिससे $\gamma = \frac{9}{7} \approx 1.28$ प्राप्त होता है।

(D) एक बहुपरमाणुक गैस में $3$ स्थानांतरीय,$3$ घूर्णन और $f$ कंपन की स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं। अतः,स्वतंत्रता की कुल कोटि $f_{total} = (3 + 3 + f) = (6 + f)$ है।
ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f_{total}}{2} RT = \frac{6+f}{2} RT$ है।
नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{V} = \frac{dU}{dT} = \frac{6+f}{2} R$ है।
मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए,$C_{P} = C_{V} + R = \left(\frac{6+f}{2} + 1\right) R = \left(\frac{8+f}{2}\right) R$ है।
अतः,अनुपात $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}} = \frac{\frac{8+f}{2} R}{\frac{6+f}{2} R} = \frac{8+f}{6+f}$ है।

(D) $f$ स्वतंत्रता की कोटि वाली गैस के लिए,$1 \text{ mole}$ गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ इस प्रकार है:
$U = f \times \frac{1}{2} k_B T \times N_A = \frac{1}{2} f RT$ (चूंकि $k_B N_A = R$ है)।
नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा की परिभाषा से:
$C_V = \frac{dU}{dT} = \frac{d}{dT} \left( \frac{1}{2} f RT \right) = \frac{1}{2} f R$.
नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा के लिए मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए:
$C_P = C_V + R = \frac{1}{2} f R + R = \left( \frac{f}{2} + 1 \right) R$.
रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma$ को विशिष्ट ऊष्माओं के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{(\frac{f}{2} + 1) R}{\frac{1}{2} f R}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\gamma = \frac{f + 2}{f} = 1 + \frac{2}{f}$.

(N/A) यदि हम जल के अणु को एक ठोस के रूप में मानें,तो इसमें तीन परमाणु ($2$ हाइड्रोजन और $1$ ऑक्सीजन) होते हैं जो अपनी माध्य स्थिति के चारों ओर कंपन करते हैं।
ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,जल के एक अणु से जुड़ी ऊर्जा:
$= 2 \times \frac{1}{2} k_{B} T = k_{B} T$ (गतिज ऊर्जा के लिए)।
तीन आयामों में कंपन ऊर्जा पर विचार करते हुए (प्रत्येक परमाणु के पास कंपन के लिए $3$ स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं,जो प्रति परमाणु $k_{B} T$ का योगदान देती हैं):
जल के एक अणु की कुल ऊर्जा $= 3 \times k_{B} T = 3 k_{B} T$ (गतिज भाग के लिए) और $3 \times k_{B} T$ (स्थितिज भाग के लिए)।
जल के एक अणु की कुल ऊर्जा $= 3 \times (k_{B} T + k_{B} T) = 6 k_{B} T$ (ठोस जैसे व्यवहार के लिए सरल मॉडल)।
जल के एक मोल की कुल ऊर्जा:
$U = 6 k_{B} T \times N_{A} = 6 RT$.
जल की मोलर विशिष्ट ऊष्मा:
$C = \frac{dU}{dT} = \frac{d}{dT}(6 RT) = 6R$.
$C = 6 \times 8.31 = 49.86 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$.
(नोट: तरल जल की वास्तविक विशिष्ट ऊष्मा हाइड्रोजन बॉन्डिंग के कारण बहुत अधिक होती है,जिसे सरल गतिज सिद्धांत मॉडल में शामिल नहीं किया जाता है।)

(N/A) ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,स्वतंत्रता की प्रत्येक कोटि (degree of freedom) प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा में $\frac{1}{2} k_B T$ का योगदान देती है।
$f$ स्वतंत्रता की कोटि वाली गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = f \cdot \frac{1}{2} n R T$ द्वारा दी जाती है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{dU}{dT} = \frac{f}{2} R$ है।
स्थिर दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = C_V + R = (\frac{f}{2} + 1) R$ है।
यह शास्त्रीय अनुमान यह मानता है कि स्वतंत्रता की सभी कोटियाँ सभी तापमानों पर सक्रिय होती हैं।
हालाँकि,प्रायोगिक अवलोकन दर्शाते हैं कि विशिष्ट ऊष्मा तापमान के साथ बदलती है और $T \to 0 \ K$ पर शून्य के करीब पहुँच जाती है,जो यह संकेत देता है कि कम तापमान पर स्वतंत्रता की कोटियाँ 'स्थिर' या निष्क्रिय हो जाती हैं।
शास्त्रीय यांत्रिकी की इस सीमा को क्वांटम यांत्रिकी द्वारा समझाया गया है,जहाँ स्वतंत्रता की कोटि को उत्तेजित करने के लिए न्यूनतम ऊर्जा सीमा की आवश्यकता होती है।

(A) एक-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $(f)$ $3$ होती है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{f}{2}R = \frac{3}{2}R$ द्वारा दी जाती है।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = C_V + R = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R$ द्वारा दी जाती है।
विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\gamma = \frac{\frac{5}{2}R}{\frac{3}{2}R} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.

(B) स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ के अनुपात को रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) या विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात कहा जाता है,जिसे $\gamma$ द्वारा दर्शाया जाता है।
आदर्श गैस के लिए,$\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f}$,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) की संख्या है।
कमरे के तापमान पर द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन) होती है।
सूत्र में $f$ का मान रखने पर: $\gamma = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.40$।
अतः,द्वि-परमाणुक गैस के लिए अनुपात $1.40$ है।

(A) बहुपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ सामान्यतः $6$ होती है (यह मानते हुए कि गैर-रेखीय अणुओं के लिए मध्यम तापमान पर घूर्णन और कंपन मोड को अनदेखा किया गया है)।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma$ का सूत्र $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ है।
सूत्र में $f = 6$ रखने पर:
$\gamma = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = 1.33$.
अतः,बहुपरमाणुक गैस के लिए $\gamma$ का मान लगभग $1.33$ होता है।

(A) एकपरमाणुक गैस के लिए, स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ होती है। स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा ${C_V} = \frac{f}{2}R = \frac{3}{2}R$ होती है। मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए, ${C_P} = {C_V} + R = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R$। अतः, $(a)$ का मिलान $(ii)$ से होता है।
कंपन के साथ द्विपरमाणुक गैस के लिए, स्वतंत्रता की कोटि $f = 7$ ($3$ स्थानांतरणीय + $2$ घूर्णी + $2$ कंपन) होती है। स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा ${C_V} = \frac{f}{2}R = \frac{7}{2}R$ होती है। मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए, ${C_P} = {C_V} + R = \frac{7}{2}R + R = \frac{9}{2}R$। अतः, $(b)$ का मिलान $(iv)$ से होता है।
सही मिलान $(a-ii, b-iv)$ है।

(B) ऊष्मा धारिता अनुपात $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$ एक विमाहीन राशि है जो गैस की परमाणुकता के बारे में जानकारी प्रदान करती है।
$\gamma$ का मान ज्ञात होने पर,$\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ संबंध का उपयोग करके गैस के अणुओं की स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ निर्धारित की जा सकती है।
यह हमें एकपरमाणुक,द्विपरमाणुक और बहुपरमाणुक गैसों के बीच अंतर करने की अनुमति देता है।

(N/A) $C_P - C_V = R$ मेयर का संबंध है,जहाँ $C_P$ और $C_V$ मोलर विशिष्ट ऊष्माएँ हैं जिन्हें ऊर्जा की इकाइयों (जूल प्रति मोल प्रति केल्विन) में मापा जाता है और $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक $(8.314 \ J \ mol^{-1} K^{-1})$ है।
जब $C_P$ और $C_V$ को तापीय इकाइयों (कैलोरी प्रति मोल प्रति केल्विन) में व्यक्त किया जाता है,तब $C_P - C_V = \frac{R}{J}$ का उपयोग किया जाता है। यहाँ,$J$ ऊष्मा का यांत्रिक तुल्यांक $(J \approx 4.18 \ J/cal)$ है,जो ऊर्जा इकाई $R$ को कैलोरी में परिवर्तित करता है।
जब $C_P$ और $C_V$ मोलर विशिष्ट ऊष्मा के बजाय प्रति इकाई द्रव्यमान विशिष्ट ऊष्मा (विशिष्ट ऊष्मा धारिता) होती है,तब $C_P - C_V = \frac{r}{J}$ का उपयोग किया जाता है। यहाँ,$r$ विशिष्ट गैस नियतांक है,जिसे $r = \frac{R}{M}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है। यह समीकरण कैलोरी प्रति ग्राम प्रति केल्विन की इकाइयों में अंतर देता है।

(C) दिया गया है:
नियत दाब पर ऊष्मा: $Q_P = n C_P \Delta T_1 = 160 \text{ cal}$,जहाँ $\Delta T_1 = 50^{\circ} C$.
नियत आयतन पर ऊष्मा: $Q_V = n C_V \Delta T_2 = 240 \text{ cal}$,जहाँ $\Delta T_2 = 100^{\circ} C$.
पहले समीकरण से: $n C_P = \frac{160}{50} = 3.2$.
दूसरे समीकरण से: $n C_V = \frac{240}{100} = 2.4$.
अनुपात लेने पर: $\frac{C_P}{C_V} = \gamma = \frac{3.2}{2.4} = \frac{4}{3}$.
स्वतंत्रता की कोटि $f$ और रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma$ के बीच संबंध $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ है।
$\gamma = \frac{4}{3}$ रखने पर: $\frac{4}{3} = 1 + \frac{2}{f} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{2}{f} \Rightarrow f = 6$.

(A) विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{v}} = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
$(A)$ एकपरमाणुक: $f = 3$,अतः $\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ $(IV)$।
$(B)$ द्विपरमाणुक दृढ़ अणु: $f = 5$,अतः $\gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ $(I)$।
$(C)$ द्विपरमाणुक अदृढ़ अणु: $f = 7$,अतः $\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$ $(II)$।
$(D)$ त्रिपरमाणुक दृढ़ अणु: $f = 6$,अतः $\gamma = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ $(III)$।
अतः,सही मिलान $A-IV, B-I, C-II, D-III$ है।

(C) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
चूंकि कोई कार्य नहीं किया गया है, इसलिए $\Delta W = 0$ है।
अतः, दी गई ऊष्मा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है: $\Delta Q = \Delta U = n C_v \Delta T$।
एक कठोर द्वि-परमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{5}{2} R$ होती है।
यहाँ $n = 4 \, \text{mole}$ और $\Delta T = 50^{\circ} \text{C} - 0^{\circ} \text{C} = 50 \, \text{K}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\Delta Q = 4 \times \frac{5}{2} R \times 50 = 10 \times 50 \, R = 500 \, R$।

(B) नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{V} = \frac{fR}{2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि है और $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा मेयर के संबंध द्वारा दी जाती है: $C_{P} = C_{V} + R$.
$C_{V}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $C_{P} = \frac{fR}{2} + R = R\left(1 + \frac{f}{2}\right) = R\left(\frac{f+2}{2}\right)$.
विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\gamma = \frac{R\left(\frac{f+2}{2}\right)}{\frac{fR}{2}} = \frac{f+2}{f} = 1 + \frac{2}{f}$.

(C) आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = n C_v T$ होता है।
एक-परमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2} R$ होती है।
दिया गया है: $n = 2\,mol$,$T = 300\,K$,और $R = 8.31\,J/mol\cdot K$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$U = 2 \times \left( \frac{3}{2} R \right) \times 300$
$U = 3 \times R \times 300$
$U = 900 \times 8.31$
$U = 7479\,J$।

(C) $STP$ पर गैस के मोलों की संख्या $n$,आयतन को $STP$ पर मोलर आयतन $(22.4 \, L/mol)$ से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:
$n = \frac{44.8 \, L}{22.4 \, L/mol} = 2 \, mol$.
चूंकि हीलियम एक एकपरमाणुक गैस है,इसलिए स्थिर आयतन पर इसकी मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{3}{2} R$ है।
तापमान को $\Delta T = 20.0^{\circ} C$ (जो $20.0 \, K$ के बराबर है) बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा का सूत्र है:
$\Delta Q = n C_V \Delta T$.
मान रखने पर:
$\Delta Q = 2 \times (\frac{3}{2} R) \times 20.0$
$\Delta Q = 3 \times R \times 20.0 = 60 R$.
$R = 8.3 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$ दिया गया है:
$\Delta Q = 60 \times 8.3 = 498 \, J$.

(A) स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{nR}{2}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = C_v + R = \frac{nR}{2} + R = \frac{(n+2)R}{2}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा और स्थिर दाब पर विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\frac{C_v}{C_p} = \frac{\frac{nR}{2}}{\frac{(n+2)R}{2}} = \frac{n}{n+2}$ होगा।

(B) सही विकल्प $(b)$ है।
मेयर का संबंध,$C_p - C_V = R$,एक आदर्श गैस के अवस्था समीकरण $(PV = nRT)$ के आधार पर व्युत्पन्न किया गया है।
यह संबंध किसी भी आदर्श गैस के लिए सत्य है,चाहे वह एकपरमाणुक,द्विपरमाणुक या बहुपरमाणुक हो।
वास्तविक गैसों के लिए,संबंध $C_p - C_V = TV \beta^2 / K_T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K_T$ समतापीय संपीड्यता है और $\beta$ समदाबी तापीय प्रसार गुणांक है। चूँकि वास्तविक गैसें आदर्श गैस नियम का सटीक पालन नहीं करती हैं,इसलिए यह संबंध $C_p - C_V = R$ केवल आदर्श गैसों के लिए ही पूरी तरह से मान्य है।

(D) गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा को $C = \frac{dQ}{n dT}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया (कोई ऊष्मा विनिमय नहीं) के लिए,$dQ = 0$,इसलिए $C_A = 0$ है।
समतापीय प्रक्रिया (नियत तापमान) के लिए,$dT = 0$,इसलिए $C_T = \frac{dQ}{0} = \infty$ है।
समदाबी प्रक्रिया (नियत दाब) के लिए,$C_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$ है।
समआयतनिक प्रक्रिया (नियत आयतन) के लिए,$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कथन $C_V = \frac{R}{\gamma}$ गलत है क्योंकि सही सूत्र $C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) एकपरमाणुक गैस के लिए,एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma = 5/3$ है।
स्थिर दबाव पर,दी गई ऊष्मा $\Delta Q_P = n C_P \Delta T = 20 \, J$ द्वारा दी जाती है।
स्थिर आयतन पर,दी गई ऊष्मा $\Delta Q_V = n C_V \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि $C_P = \gamma C_V$,इसलिए $C_V = C_P / \gamma$ है।
इस मान को स्थिर आयतन के समीकरण में रखने पर:
$\Delta Q_V = n (C_P / \gamma) \Delta T = \frac{1}{\gamma} (n C_P \Delta T)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta Q_V = \frac{1}{5/3} \times 20 = \frac{3}{5} \times 20 = 12 \, J$।

(C) स्थिर दाब पर आंतरिक ऊर्जा को बदलने के लिए उपयोग की जाने वाली ऊष्मा ऊर्जा का अंश $\frac{\Delta U}{\Delta Q}$ अनुपात द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\Delta Q = n C_P \Delta T$ और $\Delta U = n C_V \Delta T$,हमारे पास है:
$\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{n C_V \Delta T}{n C_P \Delta T} = \frac{C_V}{C_P} = \frac{1}{\gamma}$.
एक-परमाणुक गैस के लिए,$\gamma = \frac{5}{3}$,इसलिए $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{1}{5/3} = \frac{3}{5} = 0.60$.
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,$\gamma = \frac{7}{5}$,इसलिए $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{1}{7/5} = \frac{5}{7} \approx 0.71$.
त्रि-परमाणुक गैस (अरेखीय) के लिए,$\gamma = \frac{4}{3}$,इसलिए $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4} = 0.75$.
मानों की तुलना करने पर,$0.75 > 0.71 > 0.60$। अतः,आंतरिक ऊर्जा बदलने के लिए उपयोग की जाने वाली आंशिक ऊर्जा त्रि-परमाणुक गैस में अधिकतम होती है।

(B) स्थिर दबाव पर अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q_P = n C_P \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\Delta Q_P = 105 \, cal$, $n = 3 \, moles$ और $\Delta T = 35^{\circ} C - 30^{\circ} C = 5^{\circ} C$ है।
स्थिर आयतन पर अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q_V = n C_V \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$, जिसका अर्थ है $C_P = \gamma C_V$।
अतः, $\frac{\Delta Q_P}{\Delta Q_V} = \frac{n C_P \Delta T}{n C_V \Delta T} = \frac{C_P}{C_V} = \gamma$।
मान रखने पर: $\frac{105}{\Delta Q_V} = 1.4$।
$\Delta Q_V = \frac{105}{1.4} = 75 \, cal$।
चूंकि दोनों स्थितियों में तापमान परिवर्तन $\Delta T$ समान $(5^{\circ} C)$ है, इसलिए स्थिर आयतन पर आवश्यक ऊष्मा $75 \, cal$ होगी।

(A) एक आदर्श त्रि-परमाणुक गैस (अरेखीय) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 6$ है (कंपन मोड को नगण्य मानने पर)।
नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \frac{f+2}{2} R = \frac{6+2}{2} R = 4R$ द्वारा दी जाती है।
नियत दाब पर दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T = n(4R) \Delta T = 800 \,cal$ है।
नियत दाब पर गैस द्वारा किया गया कार्य $\Delta W = n R \Delta T$ है।
ऊष्मा समीकरण से,हमें प्राप्त होता है $n R \Delta T = \frac{800}{4} = 200 \,cal$।
अतः,गैस द्वारा परिवेश के विरुद्ध किए गए कार्य में प्रयुक्त ऊर्जा $\Delta W = 200 \,cal$ है।

(A) एक अरेखीय त्रि-परमाणुक गैस अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$1$. स्थानांतरण स्वतंत्रता की कोटि: $3$ ($x, y, z$ अक्षों के अनुदिश)।
$2$. घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि: $3$ (चूंकि यह अरेखीय है,यह तीन परस्पर लंबवत अक्षों के परितः घूम सकता है)।
$3$. कुल स्वतंत्रता की कोटि: $f = 3 + 3 = 6$।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)$ का सूत्र है:
$C_v = \frac{f}{2} R$
सूत्र में $f = 6$ रखने पर:
$C_v = \frac{6}{2} R = 3 R$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है: स्थिर दबाव पर ऊष्मा $Q_P = 50 \, cal$,मोलों की संख्या $n = 1 \, mol$,तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 25^{\circ} C - 20^{\circ} C = 5 \, K$,और गैस नियतांक $R = 2 \, cal / mol \cdot K$।
सबसे पहले,हम स्थिर दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)$ की गणना करते हैं:
$Q_P = n C_P \Delta T$
$50 = 1 \times C_P \times 5$
$C_P = 10 \, cal / mol \cdot K$।
मेयर के संबंध $C_P - C_V = R$ का उपयोग करके,हम स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ ज्ञात करते हैं:
$C_V = C_P - R$
$C_V = 10 - 2 = 8 \, cal / mol \cdot K$।
अब,स्थिर आयतन पर आवश्यक ऊष्मा $(Q_V)$ की गणना करते हैं:
$Q_V = n C_V \Delta T$
$Q_V = 1 \times 8 \times 5 = 40 \, cal$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।