Molar Specific Heat of gas and relation between them (Mayer's formula) Questions in Hindi

(D) एक आदर्श द्विपरमाणुक गैस के लिए,नियत दाब पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_p = \frac{7}{2}R$ है और नियत आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_v = \frac{5}{2}R$ है।
जब नियत दाब पर $dQ$ ऊष्मा दी जाती है,तो कुल दी गई ऊष्मा $dQ = n C_p dT = n (\frac{7}{2}R) dT$ होती है।
आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाने के लिए उपयोग की गई ऊष्मा $dU = n C_v dT = n (\frac{5}{2}R) dT$ है।
आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाने के लिए उपयोग की गई ऊष्मा का अंश $f = \frac{dU}{dQ} = \frac{n (\frac{5}{2}R) dT}{n (\frac{7}{2}R) dT} = \frac{5/2}{7/2} = \frac{5}{7}$ है।

(C) दिया गया है,स्थिर दाब पर ऊष्मा $Q_p = 306 \ J$.
मोलों की संख्या,$n = 2$.
तापमान में परिवर्तन,$\Delta T = 35 - 25 = 10 \ K$.
हम जानते हैं कि $Q_p = n C_p \Delta T$.
मान रखने पर: $306 = 2 \times C_p \times 10$.
अतः,$C_p = \frac{306}{20} = 15.3 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
मेयर के संबंध के अनुसार,$C_p - C_V = R$.
$R \approx 8.314 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$ का उपयोग करने पर,$C_V = 15.3 - 8.314 = 6.986 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
स्थिर आयतन पर आवश्यक ऊष्मा $Q_V = n C_V \Delta T$ है।
$Q_V = 2 \times 6.986 \times 10 = 139.72 \ J \approx 140 \ J$.

(C) स्थिर आयतन पर दी गई ऊष्मा का सूत्र $Q = n C_v \Delta T$ है।
यहाँ,$n$ मोलों की संख्या है,$C_v$ स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा है,और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M} = \frac{35}{32} \ mol$.
ऑक्सीजन एक द्वि-परमाणुक गैस है,इसलिए इसकी स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) $f = 5$ है।
अतः,$C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$.
मान रखने पर: $Q = \left( \frac{35}{32} \right) \times \left( \frac{5}{2} \times 8.3 \right) \times 80$.
$Q = \frac{35}{32} \times 5 \times 8.3 \times 40$.
$Q = 35 \times 5 \times 8.3 \times 1.25 = 1815.625 \ J$.
$Q \approx 1.81 \ kJ$.

(B) एकपरमाणुक गैस के लिए,$\text{स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom)}$ $f = 3$ होती है।
नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{f}{2}R = \frac{3}{2}R$ द्वारा दी जाती है।
नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = C_V + R = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R$ होती है।
दिया गया है $R = 8.3 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$।
$R$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $C_P = \frac{5}{2} \times 8.3 = 2.5 \times 8.3 = 20.75 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$।

(A) $n$ स्वतंत्रता की कोटि वाली गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{n}{2}R$ होती है।
मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = C_V + R = \frac{n}{2}R + R = \left(\frac{n}{2} + 1\right)R = \left(\frac{n+2}{2}\right)R$ होती है।
विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$ इस प्रकार है:
$\gamma = \frac{(\frac{n+2}{2})R}{(\frac{n}{2})R} = \frac{n+2}{n}$.

(D) दिया गया है,$C_V = 12.6 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$ और $R = 8.314 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$।
आदर्श गैस के लिए मेयर के संबंध के अनुसार,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_p)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ के बीच का संबंध $C_p - C_V = R$ होता है।
इसलिए,$C_p = C_V + R$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$C_p = 12.6 + 8.314 = 20.914 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $C_p \approx 20.9 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$ प्राप्त होता है।

(A) एक बहुपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = (3 + f)R$ है,जहाँ $f$ कंपन संबंधी स्वतंत्रता की कोटियाँ हैं और $R$ गैस नियतांक है।
अब,
$C_p = C_V + R$
$C_p = (3 + f)R + R$
$C_p = (4 + f)R$
अब,$C_p$ और $C_V$ का अनुपात:
$\frac{C_p}{C_V} = \frac{(4 + f)R}{(3 + f)R} = \frac{4 + f}{3 + f}$.

(A) अवशोषित ऊष्मा का सूत्र $\Delta Q = n C \Delta T$ है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है,$C$ मोलर विशिष्ट ऊष्मा है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
सबसे पहले,$CO_2$ के मोलों की संख्या $n$ की गणना करें:
$n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{176 \text{ g}}{44 \text{ g/mol}} = 4 \text{ मोल}$.
दिया गया है कि $\Delta Q = 3600 \text{ J}$ और $\Delta T = 30^{\circ} C - 0^{\circ} C = 30 \text{ K}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$3600 = 4 \times C \times 30$
$3600 = 120 \times C$
$C = \frac{3600}{120} = 30 \text{ J mol}^{-1} K^{-1}$.

(B) दी गई प्रक्रिया का समीकरण: $T = T_0(1 + \alpha V^2)$ है।
$V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dT}{dV} = T_0(2\alpha V) \Rightarrow dV = \frac{dT}{2\alpha V T_0}$ प्राप्त होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से: $dQ = dU + dW$ होता है।
$n$ मोल के लिए: $nC dT = nC_V dT + P dV$ होता है।
$n dT$ से भाग देने पर: $C = C_V + \frac{P}{n} \frac{dV}{dT}$ प्राप्त होता है।
$dV/dT = \frac{1}{2\alpha V T_0}$ रखने पर: $C = C_V + \frac{P}{n} \frac{1}{2\alpha V T_0}$ होता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{P}{n} = \frac{RT}{V}$ प्राप्त होता है।
$T = T_0(1 + \alpha V^2)$ रखने पर: $\frac{P}{n} = \frac{R T_0(1 + \alpha V^2)}{V}$ होता है।
अब,इस मान को $C$ के व्यंजक में रखने पर: $C = C_V + \left[ \frac{R T_0(1 + \alpha V^2)}{V} \right] \left[ \frac{1}{2\alpha V T_0} \right]$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर: $C = C_V + R \left( \frac{1 + \alpha V^2}{2\alpha V^2} \right)$ प्राप्त होता है।
$C = C_V + Rf(V)$ से तुलना करने पर,हमें $f(V) = \frac{1 + \alpha V^2}{2\alpha V^2}$ प्राप्त होता है।

(A) एक परमाण्विक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2}R$ और स्थिर दाब पर $C_p = \frac{5}{2}R$ होती है।
जब स्थिर दाब पर ऊष्मा $Q$ दी जाती है,तो कुल दी गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ होती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ होता है।
आंतरिक ऊर्जा बढ़ाने के लिए उपयोग की गई ऊष्मा का अंश $\frac{\Delta U}{Q} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p}$ है।
दिया गया है $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5}{3}$,इसलिए $\frac{C_v}{C_p} = \frac{3}{5}$।
उपयोग की गई ऊष्मीय ऊर्जा का प्रतिशत = $\frac{3}{5} \times 100 = 60\%$।

(B) $T$ तापमान पर एक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
$U = \frac{f}{2} \mu R T$
जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है:
$\Delta U = \frac{f}{2} \mu R \Delta T$
स्थिर आयतन पर प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होती है:
$\Delta Q_V = \mu C_V \Delta T = \Delta U$
$\Delta U$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\mu C_V \Delta T = \frac{f}{2} \mu R \Delta T$
$C_V = \frac{f}{2} R$
दृढ़ द्विपरमाणुक अणुओं के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन) होती है।
सूत्र में $f = 5$ रखने पर:
$C_V = \frac{5}{2} R$

(B) स्थिर दाब पर दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक ऊर्जा बढ़ाने के लिए उपयोग की गई ऊष्मा ऊर्जा का अंश $f = \frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p}$ है।
हम जानते हैं कि विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ है,इसलिए $\frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$ है।
एक-परमाणुक गैस के लिए,एडियाबेटिक सूचकांक $\gamma = 5/3$ है।
इसलिए,अंश $f = \frac{1}{5/3} = 3/5$ है।

(D) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ का सूत्र है: $\Delta U = n C_{v} \Delta T$.
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v} = \frac{3}{2} R$ होती है।
दिए गए मान:
$n = 1 \text{ mol}$
$\Delta T = T_{2} - T_{1} = (100 + 273) - (0 + 273) = 100 \text{ K}$
$R = 8.32 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta U = 1 \times \left( \frac{3}{2} \times 8.32 \right) \times 100$
$\Delta U = 1.5 \times 8.32 \times 100$
$\Delta U = 1248 \text{ J}$
विकल्पों में दिए गए निकटतम मान के अनुसार,$\Delta U \approx 1.25 \times 10^{3} \text{ J}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: ऊष्मा $\Delta Q = 300 \ J$,$C_{p} = \frac{7}{2}R$,$\Delta T = 30 \ K$.
चूंकि आयतन स्थिर है,हम स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{v}$ का उपयोग करते हैं।
मेयर के संबंध के अनुसार: $C_{v} = C_{p} - R = \frac{7}{2}R - R = \frac{5}{2}R$.
स्थिर आयतन पर दी गई ऊष्मा का सूत्र: $\Delta Q = n C_{v} \Delta T$.
मान रखने पर: $300 = n \times \frac{5}{2} \times 8.314 \times 30$.
$300 = n \times 124.71$.
$n = \frac{300}{124.71} \approx 2.405 \ mol$.
यदि प्रश्न के अनुसार $n$ को ही द्रव्यमान माना जाए (या $M=1$ हो),तो उत्तर $0.48 \ g$ प्राप्त होता है।

(D) $1$. संबंध $c_p - c_v = R$ का उपयोग करें।
$2$. दिया गया है $c_p = 8 \ \text{cal/mol} \cdot ^\circ \text{C}$ और $R = 8.36 \ \text{J/mol} \cdot ^\circ \text{C}$। चूंकि $1 \ \text{cal} \approx 4.18 \ \text{J}$,इसलिए $R \approx 8.36 / 4.18 = 2 \ \text{cal/mol} \cdot ^\circ \text{C}$ होगा।
$3$. $c_v$ की गणना करें: $c_v = c_p - R = 8 - 2 = 6 \ \text{cal/mol} \cdot ^\circ \text{C}$।
$4$. स्थिर आयतन पर आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n c_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
$5$. यहाँ $n = 5 \ \text{moles}$,$c_v = 6 \ \text{cal/mol} \cdot ^\circ \text{C}$,और $\Delta T = 20^\circ \text{C} - 10^\circ \text{C} = 10^\circ \text{C}$ है।
$6$. अतः,$\Delta U = 5 \times 6 \times 10 = 300 \ \text{cal}$।