એક ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસની કક્ષામાં $6R$ અંતરે (અફેલિયન અંતર) અને $2R$ અંતરે (પેરેહિલિયન અંતર) લંબવૃત્તીય ભ્રમણ કરે છે. જ્યાં $R = 6400 \,km$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે તો કક્ષાની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો. તેમને પૃથ્વીની નજીક અને દુરના બિંદુઓએ ઉપગ્રહના વેગ શોધો. $6R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ઉપગ્રહને સ્થાનાંતરિત કરવા માટે શું કરવું જોઈએ ? ($G = 6.67 \times 10^{-11}\,SI$ એકમ અને $M = 6 \times 10^{24}\,kg$ ) 

$r_{a}=$ અફેલિયનની ત્રિજ્યા $=6 R$

$r_{p}=$ પેરેહિલિયનની ત્રિજ્યા $=2 R$

તેથી $r_{a}=a(1+e) \Rightarrow 6 R =a(1+e)$

$r_{p} =a(1-e) \Rightarrow 2 R =a(1-e)$

$\therefore \frac{1+e}{1-e}$ $=\frac{6 R }{2 R }=\frac{3}{11}$

યોગ-વિયોગ કરતાં

$\frac{2}{2 e}=\frac{4}{2}$

$\therefore e =\frac{1}{2}=0.5$ 

કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,

$p$ઉપગ્રહ પાસેનું કોણીય વેગમાન $= A$ પાસેનું કોણીય વેગમાન

$m v_{p} r_{p}=m v_{a} r_{a} \quad$ (જ્યાં,$m=$ ઉપગ્રહનું દળ)

$\therefore v_{p} \times 2 R =v_{a} \times 6 R$

$\therefore \frac{v_{p}}{v_{a}}=3 \Rightarrow v_{a}=\frac{v_{p}}{3}$

ઊર્જા સંરક્ષણની નિયમ અનુસાર,

ઉપગ્રહની $p$ પાસે કુલ ઊર્જા $= A$ પાસેની તેની કુલ ઊર્જા

$\therefore \frac{1}{2} m v_{p}^{2}-\frac{ GM m}{r_{p}}=\frac{1}{2} m v_{a}^{2}-\frac{ GM m}{r_{a}}$

$\therefore \frac{1}{2} m\left(v_{p}^{2}-v_{a}^{2}\right)= GM m\left[\frac{1}{r_{p}}-\frac{1}{r_{a}}\right]$

$\therefore v_{p}^{2}-v_{a}^{2}=2 GM \left[\frac{1}{r_{p}}-\frac{1}{r_{a}}\right]$

$\therefore v_{p}^{2}-\left(\frac{v_{p}}{3}\right)^{2}=2 GM \left[\frac{1}{2 R }-\frac{1}{6 R }\right]$

$\therefore v_{p}^{2}\left[1-\frac{1}{9}\right]=2 GM \times \frac{4 R }{12 R ^{2}}$

$\therefore v_{p}^{2} \times \frac{8}{9}=\frac{2 GM }{3 R }$