પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહના કક્ષીય આવર્તકાળ માટેનું સમીકરણ મેળવો.

(N/A) ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $(T)$ એટલે કે ઉપગ્રહને પૃથ્વીની આસપાસ એક સંપૂર્ણ ભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ:
$v_{0} = \sqrt{\frac{GM_{E}}{R_{E}+h}}$ ... $(1)$
કક્ષીય વેગને કક્ષાના પરિઘ અને આવર્તકાળના ગુણોત્તર તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે:
$v_{0} = \frac{2\pi(R_{E}+h)}{T}$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\sqrt{\frac{GM_{E}}{R_{E}+h}} = \frac{2\pi(R_{E}+h)}{T}$
$T$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$T = \frac{2\pi(R_{E}+h)}{\sqrt{\frac{GM_{E}}{R_{E}+h}}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(R_{E}+h)^{3}}{GM_{E}}}$ ... $(3)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$T^{2} = \frac{4\pi^{2}}{GM_{E}}(R_{E}+h)^{3}$ ... $(4)$
સંબંધ $g = \frac{GM_{E}}{(R_{E}+h)^{2}}$ નો ઉપયોગ કરીને,આવર્તકાળને $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{R_{E}+h}{g}}$ ... $(5)$
સમીકરણ $(4)$ પરથી,જો $r = R_{E}+h$ લઈએ,તો $T^{2} = Kr^{3}$ મળે,જ્યાં $K = \frac{4\pi^{2}}{GM_{E}}$. આ કેપ્લરનો ગ્રહીય ગતિનો ત્રીજો નિયમ સાબિત કરે છે,$T^{2} \propto r^{3}$.