Escape Velocity and Escape Energy Questions in Gujarati

(C) પૃથ્વીની સપાટીની નજીક રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_{\text{orbit}} = \sqrt{gR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{\text{orbit}} = \sqrt{10 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{64 \times 10^6} = 8000 \, m/s = 8 \, km/s$.
પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{\text{escape}} = \sqrt{2gR} = \sqrt{2} \times v_{\text{orbit}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમત મૂકતા: $v_{\text{escape}} = 8\sqrt{2} \, km/s$.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળને દૂર કરવા માટે જરૂરી વધારાનો વેગ $\Delta v = v_{\text{escape}} - v_{\text{orbit}}$ છે.
$\Delta v = 8\sqrt{2} - 8 = 8(\sqrt{2}-1) \, km/s$.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે $M_E$ અને $R_E$ એ પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે,અને $M_P$ અને $R_P$ એ ગ્રહનું દળ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $M_P = 16 M_E$ અને $R_P = 4 R_E$.
ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $V_P = \sqrt{\frac{2GM_P}{R_P}} = \sqrt{\frac{2G(16M_E)}{4R_E}} = \sqrt{4 \times \frac{2GM_E}{R_E}} = 2 \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E}}$ છે.
કારણ કે $V_E = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E}}$,તેથી $V_P = 2 V_E$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{V_P}{V_E} = \frac{2}{1}$ એટલે કે $2:1$ થાય.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વી માટે,$V_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = 11.2 \, km/s$.
ગ્રહ માટે,$V_p = \sqrt{\frac{2G(9M_e)}{4R_e}} = \sqrt{\frac{9}{4}} \times \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$.
$V_p = \frac{3}{2} \times V_e$.
$V_e = 11.2 \, km/s$ ની કિંમત મૂકતા:
$V_p = 1.5 \times 11.2 \, km/s = 16.8 \, km/s$.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e$ નું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V_e \propto \sqrt{\frac{M}{R}}$.
તેથી,જો ગુણોત્તર $\frac{M}{R}$ વધે,તો નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e$ પણ વધવો જોઈએ. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વધુમાં,કારણ કે $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,તે સ્પષ્ટ છે કે $V_e$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા $R$ પર આધાર રાખે છે $(V_e \propto \frac{1}{\sqrt{R}})$. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.

(D) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વી માટે આપેલ છે: $V_E = 11.2 \,km/s$, $M_E$, અને $R_E$.
ગ્રહ માટે: $M_P = \frac{M_E}{6}$ અને $R_P = \frac{R_E}{3}$.
ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $V_P = \sqrt{\frac{2GM_P}{R_P}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_P = \sqrt{\frac{2G(M_E/6)}{(R_E/3)}} = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E} \times \frac{3}{6}} = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E} \times \frac{1}{2}}$.
કારણ કે $V_E = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E}} = 11.2 \,km/s$, તેથી $V_P = \frac{V_E}{\sqrt{2}}$.
$V_P = \frac{11.2}{1.414} \approx 7.9 \,km/s$.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે $M_p$ અને $R_p$ એ ગ્રહનું દળ અને ત્રિજ્યા છે,અને $M_m$ અને $R_m$ એ ચંદ્રનું દળ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $M_m = \frac{M_p}{144}$ અને $D_m = \frac{D_p}{16}$,જેનો અર્થ છે કે $R_m = \frac{R_p}{16}$.
ગ્રહ પર નિષ્ક્રમણ વેગ $V_p = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p}} = v$ છે.
ચંદ્ર પર નિષ્ક્રમણ વેગ $V_m = \sqrt{\frac{2GM_m}{R_m}} = \sqrt{\frac{2G(M_p/144)}{(R_p/16)}} = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p} \times \frac{16}{144}} = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p} \times \frac{1}{9}}$ છે.
$V_p = v$ મૂકતા,આપણને $V_m = \sqrt{\frac{v^2}{9}} = \frac{v}{3}$ મળે છે.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R_E}}$ છે.
પદાર્થને અનંત અંતરે ફેંકવા માટે,જરૂરી ગતિઊર્જા $K$ એ પૃથ્વીની સપાટી પરના ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જાના મૂલ્ય જેટલી હોવી જોઈએ.
$K = \frac{GMm}{R_E}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R_E^2}$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $GM = gR_E^2$.
$GM$ ની કિંમત ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K = \frac{(gR_E^2)m}{R_E} = mgR_E$.
તેથી,જરૂરી ગતિઊર્જા $mgR_E$ છે.

(B) ધારો કે $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ તેની ત્રિજ્યા છે. સૂર્યનું દળ $M_s = 3 \times 10^5 M$ છે અને સૂર્યનું પૃથ્વીથી અંતર $d = 2.5 \times 10^4 R$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર રોકેટની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2}mv_s^2 - \frac{GMm}{R} - \frac{GM_sm}{d}$ છે.
રોકેટ સિસ્ટમમાંથી બહાર નીકળી શકે તે માટે,અંતિમ ઉર્જા ઓછામાં ઓછી $0$ હોવી જોઈએ.
$\frac{1}{2}mv_s^2 = \frac{GMm}{R} + \frac{G(3 \times 10^5 M)m}{2.5 \times 10^4 R}$.
કારણ કે $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$,તેથી $\frac{GM}{R} = \frac{v_e^2}{2}$ મળે.
આ કિંમત ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2}v_s^2 = \frac{v_e^2}{2} + \frac{3 \times 10^5}{2.5 \times 10^4} \times \frac{v_e^2}{2}$.
$v_s^2 = v_e^2 + 12 v_e^2 = 13 v_e^2$.
$v_s = v_e \sqrt{13} = 11.2 \times 3.605 \approx 40.38 \text{ km s}^{-1}$.
સૌથી નજીકની કિંમત $42 \text{ km s}^{-1}$ છે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ છે.
તેથી,$\frac{g'}{g} = \frac{\rho' R'}{\rho R}$.
આપેલ છે કે $\frac{g'}{g} = \frac{\sqrt{6}}{11}$ અને $\frac{\rho'}{\rho} = \frac{2}{3}$,તેથી $\frac{\sqrt{6}}{11} = \frac{2}{3} \cdot \frac{R'}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{R'}{R} = \frac{3\sqrt{6}}{22}$.
નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_e = \sqrt{2gR} = \sqrt{2 (\frac{4}{3} \pi G \rho R) R} = R \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho}$ છે.
તેથી,$\frac{v_e'}{v_e} = \frac{R'}{R} \sqrt{\frac{\rho'}{\rho}} = \left( \frac{3\sqrt{6}}{22} \right) \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{22} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{22} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 2}{22} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$.
આપેલ છે કે $v_e = 11 \ km/s$,તેથી $v_e' = 11 \cdot \frac{3}{11} = 3 \ km/s$.

(B) ધારો કે વર્તુળાકાર કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ છે. ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $V = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $V^2 = \frac{GM}{r}$.
કોઈ પદાર્થ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાંથી માંડ મુક્ત થાય તે માટે,ઉત્સર્જનના બિંદુએ તેની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અનંત અંતરે તેની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા જેટલી હોવી જોઈએ,જે $0$ છે.
ધારો કે ઉત્સર્જન સમયે '$m$' દળના પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $K + U = 0$.
$K - \frac{GMm}{r} = 0$.
$K = \frac{GMm}{r}$.
$\frac{GM}{r} = V^2$ મૂકતા,આપણને $K = m V^2$ મળે છે.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e$ નું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે. દળ $M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$ હોવાથી,$V_e = \sqrt{\frac{8\pi G \rho}{3}} R$ મળે. આમ,$V_e \propto R$.
આપેલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_P = A = 4\pi R_P^2$ અને $A_Q = 4A = 4\pi R_Q^2$ છે. આથી $R_Q^2 = 4R_P^2$,એટલે કે $R_Q = 2R_P$.
ગ્રહ $R$ માટે,$M_R = M_P + M_Q$. ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી,$\frac{4}{3}\pi R_R^3 \rho = \frac{4}{3}\pi R_P^3 \rho + \frac{4}{3}\pi R_Q^3 \rho$.
તેથી,$R_R^3 = R_P^3 + R_Q^3 = R_P^3 + (2R_P)^3 = 9R_P^3$.
આમ,$R_R = 9^{1/3} R_P$.
ત્રિજ્યાઓની સરખામણી કરતા: $R_R > R_Q > R_P$,જેનો અર્થ છે કે $V_R > V_Q > V_P$. આથી વિધાન $(B)$ સાચું છે.
વિધાન $(D)$ માટે,$\frac{V_P}{V_Q} = \frac{R_P}{R_Q} = \frac{R_P}{2R_P} = \frac{1}{2}$. આથી વિધાન $(D)$ પણ સાચું છે.

(B) ધારો કે ગ્રહની ત્રિજ્યા $R$ છે અને તેનું દળ $M$ છે. સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = GM/R^2$ છે.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ,ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = GM/(R+h)^2$ છે.
આપેલ છે કે $g' = g/4$,તેથી $GM/(R+h)^2 = (1/4) \cdot (GM/R^2)$,જે સૂચવે છે કે $(R+h)^2 = 4R^2$,એટલે કે $R+h = 2R$,અથવા $h = R$.
સપાટી પર અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h=R$ પર ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$-(GMm/R) + (1/2)mv^2 = -(GMm/(R+R))$
$-(GMm/R) + (1/2)mv^2 = -(GMm/2R)$
$(1/2)mv^2 = GMm/2R \implies v^2 = GM/R$.
નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{esc} = \sqrt{2GM/R}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$GM/R = v^2$ મૂકતા,આપણને $v_{esc} = \sqrt{2v^2} = v\sqrt{2}$ મળે છે.
આને $v_{esc} = v\sqrt{N}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $N = 2$ મળે છે.

(A) પ્રારંભિક સ્થિતિ: $R_A = R_B = R$,$M_A = M$,$M_B = 2M = 2M_A$. ઘનતા $\rho_A = \frac{M_A}{\frac{4}{3}\pi R^3}$.
આંતરક્રિયા પછી,તારા $A$ ની ત્રિજ્યા $R_A' = R/2$ છે. ઘનતા $\rho_A$ અચળ હોવાથી,નવું દળ $M_A' = \rho_A \cdot \frac{4}{3}\pi (R/2)^3 = M_A/8$.
નિષ્ક્રમણ વેગ $v_A = \sqrt{\frac{2GM_A'}{R_A'}} = \sqrt{\frac{2G(M_A/8)}{R/2}} = \sqrt{\frac{GM_A}{2R}}$.
$A$ દ્વારા ગુમાવેલ દળ $\Delta M = M_A - M_A/8 = \frac{7}{8}M_A$ છે. આ દળ $B$ માં $\rho_A$ ઘનતાના કવચ તરીકે ઉમેરવામાં આવે છે. ધારો કે $B$ ની નવી ત્રિજ્યા $R_B'$ છે.
કવચનું કદ = $\frac{4}{3}\pi(R_B'^3 - R^3) = \frac{\Delta M}{\rho_A} = \frac{7/8 M_A}{\rho_A} = \frac{7}{8} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$.
$R_B'^3 - R^3 = \frac{7}{8}R^3 \Rightarrow R_B'^3 = \frac{15}{8}R^3 \Rightarrow R_B' = R \left(\frac{15}{8}\right)^{1/3}$.
$B$ નું નવું દળ $M_B' = M_B + \Delta M = 2M_A + \frac{7}{8}M_A = \frac{23}{8}M_A$ છે.
નિષ્ક્રમણ વેગ $v_B = \sqrt{\frac{2GM_B'}{R_B'}} = \sqrt{\frac{2G(23/8)M_A}{R(15/8)^{1/3}}} = \sqrt{\frac{23GM_A}{4R(15/8)^{1/3}}} = \sqrt{\frac{23GM_A}{2R(15^{1/3})}}$.
ગુણોત્તર $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{23GM_A}{2R(15^{1/3})} \cdot \frac{2R}{GM_A}} = \sqrt{\frac{23}{15^{1/3}}} = \sqrt{\frac{10 \times 2.3}{15^{1/3}}}$.
$\sqrt{\frac{10n}{15^{1/3}}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 2.30$ મળે છે.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
આપેલ છે: $M_E = 8M_P$ અને $R_E = 2R_P$,જ્યાં $E$ પૃથ્વી દર્શાવે છે અને $P$ ગ્રહ દર્શાવે છે.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_P}{V_E} = \sqrt{\frac{M_P}{M_E} \times \frac{R_E}{R_P}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{V_P}{V_E} = \sqrt{\frac{M_P}{8M_P} \times \frac{2R_P}{R_P}} = \sqrt{\frac{1}{8} \times 2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$V_P = \frac{1}{2} V_E = \frac{1}{2} \times 11.2 \ km/s = 5.6 \ km/s$.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થને અનંત સુધી ફેંકવા માટે જરૂરી ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{1}{2}m(2gR) = mgR$ છે.
વિધાનમાં ઊર્જા $\frac{1}{2}mgR$ જણાવેલ હોવાથી,વિધાન $A$ ખોટું છે.
અનંત અંતરે પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં પદાર્થ માટે સ્થિતિઊર્જાનું મહત્તમ મૂલ્ય છે. તેથી,કારણ $R$ સાચું છે.

(A) પદાર્થ પૃથ્વી પર પાછો ન આવે તે માટે,અનંત અંતરે તેની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ.
ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી પદાર્થનું અંતર $r = R + 3R = 4R$ છે.
આ બિંદુએ સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{4R}$ છે.
ધારો કે પ્રક્ષેપણ ઝડપ $v$ છે. ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{4R} = 0 + 0$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{4R}$
$v^2 = \frac{GM}{2R}$
$v = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરો.
પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા = મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા.
$\frac{-GMm}{R} + \frac{1}{2}m\left(\frac{v_e}{2}\right)^2 = \frac{-GMm}{R+h} + 0$
નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ હોવાથી,$v_e^2 = \frac{2GM}{R}$ થાય.
આ કિંમત ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{-GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{2GM}{R}\right) = \frac{-GMm}{R+h}$
$\frac{-GMm}{R} + \frac{GMm}{4R} = \frac{-GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = \frac{-GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = \frac{R}{3}$

(B) પૃથ્વીની સપાટી પરથી કોઈ પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
જ્યાં:
$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,
$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે,
$R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે નિષ્ક્રમણ વેગ માત્ર પૃથ્વીના દળ $(M)$,પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R)$ અને ગુરુત્વાકર્ષણના અચળાંક $(G)$ પર આધાર રાખે છે.
તે ફેંકવામાં આવતી વસ્તુના દળ $(m)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત વેગ $v = \frac{1}{3} v_e = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ વચ્ચે:
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા = મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા.
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{GMm}{R+h} + 0$.
$v^2 = \frac{1}{9} \left(\frac{2GM}{R}\right) = \frac{2GM}{9R}$ મૂકતા:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left(\frac{2GM}{9R}\right) = -\frac{GMm}{R+h}$.
$-\frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$.
$-GMm$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{R} - \frac{1}{9R} = \frac{1}{R+h}$.
$\frac{8}{9R} = \frac{1}{R+h}$.
$8(R+h) = 9R \implies 8R + 8h = 9R$.
$8h = R \implies h = \frac{R}{8}$.

(D) $M$ દળ ધરાવતા પદાર્થની પૃથ્વીથી $r/3$ અને ચંદ્રથી $2r/3$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નીચે મુજબ છે:
$U = -\frac{G M_1 M}{r/3} - \frac{G M_2 M}{2r/3} = -\frac{3 G M_1 M}{r} - \frac{3 G M_2 M}{2r} = -\frac{3 G M}{r} \left( M_1 + \frac{M_2}{2} \right)$.
અનંત સુધી પલાયન કરવા માટે,કુલ ઊર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ. જો $v$ એ જરૂરી પલાયન ઝડપ હોય,તો ગતિ ઊર્જા $\frac{1}{2} M v^2$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2} M v^2 + U = 0$.
$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{3 G M}{r} \left( M_1 + \frac{M_2}{2} \right)$.
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{6 G}{r} \left( M_1 + \frac{M_2}{2} \right)$.
$v = \left[ \frac{6 G}{r} \left( M_1 + \frac{M_2}{2} \right) \right]^{1/2}$.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના પદમાં $M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ તરીકે લખી શકાય છે, તેથી:
$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \rho} = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho R^2} = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho}$.
અહીં ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી, $v_e \propto R$ થાય.
ધારો કે પૃથ્વીનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ છે અને ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e'$ છે.
આપેલ છે કે $R' = 2R$, તેથી:
$\frac{v_e'}{v_e} = \frac{R'}{R} = \frac{2R}{R} = 2$.
આમ, $v_e' = 2 \times v_e = 2 \times 11 \,km/s = 22 \,km/s$.

(C) ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
કારણ કે ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના સંદર્ભમાં $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી આપણે આ કિંમત નિષ્ક્રમણ વેગના સૂત્રમાં મૂકીએ:
$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 \rho} = \sqrt{\frac{8}{3}G\pi\rho R^2} = R \sqrt{\frac{8}{3}G\pi\rho}$.
આપેલ છે કે ગ્રહ અને પૃથ્વી બંને માટે ઘનતા $\rho$ સમાન છે,તેથી નિષ્ક્રમણ વેગ એ ત્રિજ્યાના સમપ્રમાણમાં છે: $v_e \propto R$.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર: $\frac{V_p}{V_E} = \frac{R_p}{R_E}$ થાય.
આપેલ છે કે ગ્રહની ત્રિજ્યા પૃથ્વી કરતાં બમણી છે $(R_p = 2R_E)$,તેથી:
$\frac{V_p}{V_E} = \frac{2R_E}{R_E} = 2$.
આમ,$x$ નું મૂલ્ય $2$ છે.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
$M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ મૂકતા,આપણને મળે $v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \rho} = R \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho}$.
આનો અર્થ એ છે કે $v_e \propto R \sqrt{\rho}$.
આપેલ છે કે $R_p = 4R_E$ અને $\rho_p = 4\rho_E$,તેથી પૃથ્વી પરના નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_E)$ અને ગ્રહ પરના નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_p)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v_E}{v_p} = \frac{R_E \sqrt{\rho_E}}{R_p \sqrt{\rho_p}} = \frac{R_E \sqrt{\rho_E}}{(4R_E) \sqrt{4\rho_E}} = \frac{1}{4 \times 2} = \frac{1}{8}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 8$ છે.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$(K.E + P.E)_{\text{સપાટી}} = (K.E + P.E)_{\text{મહત્તમ ઊંચાઈ}}$
મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ $0$ હોવાથી:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2} m(n V_e)^2 = -\frac{GMm}{R + h} + 0$
આપણે જાણીએ છીએ કે નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,તેથી $V_e^2 = \frac{2GM}{R}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} m n^2 \left( \frac{2GM}{R} \right) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R + h} \right)$
$\frac{n^2 GMm}{R} = GMm \left( \frac{R + h - R}{R(R + h)} \right)$
$\frac{n^2}{R} = \frac{h}{R(R + h)}$
$n^2 = \frac{h}{R + h}$
$n^2(R + h) = h$
$n^2 R + n^2 h = h$
$n^2 R = h(1 - n^2)$
$h = \frac{n^2 R}{1 - n^2}$

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પર: $E_i = K + U = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
આપેલ છે કે $v = \frac{v_e}{2}$,જ્યાં $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,તેથી $v^2 = \frac{v_e^2}{4} = \frac{2GM}{4R} = \frac{GM}{2R}$.
$E_i = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{2R}) - \frac{GMm}{R} = \frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = -\frac{3GMm}{4R}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,વેગ $0$ છે,તેથી $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$.
$E_i = E_f$ સરખાવતા: $-\frac{3GMm}{4R} = -\frac{GMm}{R+h}$.
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h} \implies 3R + 3h = 4R \implies 3h = R \implies h = \frac{R}{3}$.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના સંદર્ભમાં $M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ તરીકે લખી શકાય છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$v_e = \sqrt{\frac{2G(\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi R^2 \rho} = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે જ્યારે ઘનતા $\rho$ અચળ હોય ત્યારે $v_e \propto R$ થાય.
આપેલ છે કે ગ્રહની ઘનતા પૃથ્વી જેટલી જ છે પરંતુ ત્રિજ્યા બમણી $(R' = 2R_e)$ છે,તેથી નવો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e'$:
$v_e' = 2 \times v_e = 2 \times 11.2 \,km/s = 22.4 \,km/s$.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $V_{e}$ નું સૂત્ર: $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વી માટે,$V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
આપેલ ગ્રહ માટે,દળ $M' = 6M$ અને ત્રિજ્યા $R' = 2R$ છે.
તેથી,આ ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $V_{e}'$ નીચે મુજબ થશે:
$V_{e}' = \sqrt{\frac{2G(6M)}{2R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3 \times \frac{2GM}{R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3} V_{e}$.

(A) $m_0$ દળના કણની પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેના મધ્યબિંદુએ સ્થિતિઊર્જા $U$ બંને પદાર્થોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = -\frac{G M m_0}{d/2} - \frac{G m m_0}{d/2} = -\frac{2 G m_0}{d} (M + m)$
અનંત સુધી પહોંચવા માટે,કણની કુલ ઊર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ. ધારો કે $V$ એ લઘુત્તમ પ્રક્ષેપણ વેગ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2} m_0 V^2 - \frac{2 G m_0}{d} (M + m) = 0 + 0$
$\frac{1}{2} m_0 V^2 = \frac{2 G m_0}{d} (M + m)$
$V^2 = \frac{4 G}{d} (M + m)$
$V = 2 \sqrt{\frac{G(M+m)}{d}}$

(A) નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e$ નું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી અને અનંત અંતર વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા = અનંત અંતરે કુલ ઉર્જા
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m(2V_e)^2 = 0 + \frac{1}{2}mV^2$
અહીં,$V$ એ અનંત અંતરે અંતિમ વેગ છે.
$V_e^2 = \frac{2GM}{R}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$-\frac{GM}{R} + \frac{1}{2}(4 \cdot \frac{2GM}{R}) = \frac{1}{2}V^2$
$-\frac{GM}{R} + \frac{4GM}{R} = \frac{1}{2}V^2$
$\frac{3GM}{R} = \frac{1}{2}V^2$
$V^2 = \frac{6GM}{R} = 3 \left( \frac{2GM}{R} \right) = 3V_e^2$
$V = \sqrt{3}V_e$

(A) ધારો કે $m$ દળ $M_1$ ના કેન્દ્રથી $r_1 = \frac{2d}{3}$ અંતરે છે. તેથી,$M_2$ ના કેન્દ્રથી તેનું અંતર $r_2 = d - \frac{2d}{3} = \frac{d}{3}$ થશે.
સિસ્ટમના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રભાવમાંથી બહાર નીકળવા માટે,અનંત અંતરે પદાર્થની કુલ ઉર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક સ્થાને આપેલી ગતિ ઉર્જા તે સ્થાને ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઉર્જાના મૂલ્ય જેટલી હોવી જોઈએ:
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{G M_1 m}{r_1} + \frac{G M_2 m}{r_2}$
$r_1$ અને $r_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{G M_1 m}{(2d/3)} + \frac{G M_2 m}{(d/3)}$
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{3 G M_1 m}{2d} + \frac{3 G M_2 m}{d}$
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{3 G m}{2d} (M_1 + 2 M_2)$
$v_e^2 = \frac{3 G (M_1 + 2 M_2)}{d}$
$v_e = \left[\frac{3 G (M_1 + 2 M_2)}{d}\right]^{\frac{1}{2}}$

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\frac{R}{2}$ ઊંચાઈએ કુલ ઉર્જા એ પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$\frac{R}{2}$ ઊંચાઈએ કુલ ઉર્જા:
$E_i = K_i + U_i = 0 + \left( -\frac{GMm}{R + \frac{R}{2}} \right) = -\frac{GMm}{\frac{3R}{2}} = -\frac{2GMm}{3R}$
પૃથ્વીની સપાટી પર કુલ ઉર્જા:
$E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2}mv^2 + \left( -\frac{GMm}{R} \right)$
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$-\frac{2GMm}{3R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{2GMm}{3R} = \frac{GMm}{3R}$
$v^2 = \frac{2GM}{3R}$
નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ હોવાથી,$v_e^2 = \frac{2GM}{R}$ થાય.
આ કિંમત $v^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v^2 = \frac{v_e^2}{3}$
$v = \frac{v_e}{\sqrt{3}}$

(C) પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે જરૂરી ઉર્જા $E_{esc} = \frac{1}{2} m V_{e}^2$ છે.
પદાર્થને આપવામાં આવેલી પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2} m (3 V_{e})^2 = \frac{9}{2} m V_{e}^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળ્યા પછીની અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f$ એ પ્રારંભિક ઉર્જા અને નિષ્ક્રમણ માટે જરૂરી ઉર્જાનો તફાવત છે:
$K_f = K_i - E_{esc}$
$\frac{1}{2} m V^2 = \frac{9}{2} m V_{e}^2 - \frac{1}{2} m V_{e}^2$
$\frac{1}{2} m V^2 = 4 m V_{e}^2$
$V^2 = 8 V_{e}^2$
$V = \sqrt{8} V_{e} = 2 \sqrt{2} V_{e}$.

(A) કણ પાછો ન આવે તે માટે,અનંત અંતરે તેની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ.
ધારો કે પૃથ્વીની સપાટીથી $h = 3R$ ઊંચાઈ પર પ્રક્ષેપણ ઝડપ $v$ છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + 3R = 4R$ થશે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $K_i + U_i = K_f + U_f$.
અહીં,$K_i = \frac{1}{2}mv^2$,$U_i = -\frac{GMm}{4R}$,$K_f = 0$,અને $U_f = 0$.
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{4R} = 0$.
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{4R}$.
$v^2 = \frac{GM}{2R}$.
$v = [\frac{GM}{2R}]^{1/2}$.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વી માટે,નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ગ્રહ માટે,દળ $M_p = 6M$ અને ત્રિજ્યા $R_p = 2R$ છે.
તેથી,ગ્રહ પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $V_p = \sqrt{\frac{2G(6M)}{2R}} = \sqrt{3 \times \frac{2GM}{R}}$ થશે.
સમીકરણમાં $V_e$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V_p = \sqrt{3} V_e$ મળે છે.

(A) ગ્રહની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2 g R}$ છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_1}{g_2} = K_1$ અને ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = K_2$ છે.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{e1}}{v_{e2}} = \sqrt{\frac{2 g_1 R_1}{2 g_2 R_2}}$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમતો મૂકતા,$\frac{v_{e1}}{v_{e2}} = \sqrt{\frac{g_1}{g_2} \cdot \frac{R_1}{R_2}} = \sqrt{K_1 K_2}$ મળે છે.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકીએ:
$v = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \rho} = \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho R^2} = R \sqrt{\frac{8 \pi G \rho}{3}}$.
આમ,$v \propto R \sqrt{\rho}$.
આપેલ છે કે સરેરાશ દળ ઘનતા $\rho$ સમાન છે,તેથી નિષ્ક્રમણ વેગ ત્રિજ્યાના સમપ્રમાણમાં છે: $v \propto R$.
તેથી,$\frac{V_P}{V_E} = \frac{R_P}{R_E}$.
અહીં $R_P = 2 R_E$ હોવાથી,$\frac{V_P}{V_E} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $V_P = 2 V_E$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ અનંત અંતરે રહેલી કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પરની પ્રારંભિક ઉર્જા: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2} m(2 v_e)^2 - \frac{G M m}{R} = 2 m v_e^2 - m v_e^2 = m v_e^2$ (કારણ કે $v_e^2 = \frac{2 G M}{R}$).
અનંત અંતરે અંતિમ ઉર્જા: $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2} m v^2 + 0$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$m v_e^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$v^2 = 2 v_e^2$
$v = \sqrt{2} v_e$ એ ઉર્જા સંતુલન પદ્ધતિ મુજબ છે. જો આપણે આપેલી ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2} m (2 v_e)^2 = 2 m v_e^2$ લઈએ અને નિષ્ક્રમણ માટે જરૂરી ઉર્જા $K_{req} = \frac{1}{2} m v_e^2$ બાદ કરીએ,તો અનંત અંતરે બાકી રહેતી ગતિ ઉર્જા $K_f = 2 m v_e^2 - 0.5 m v_e^2 = 1.5 m v_e^2$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{3}{2} m v_e^2$,જે આપણને $v^2 = 3 v_e^2$ આપે છે,એટલે કે $v = \sqrt{3} v_e$.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વી માટે,$V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
નવા ગ્રહ માટે,દળ $M^{\prime} = 3M$ અને ત્રિજ્યા $R^{\prime} = 3R$ છે.
આ ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $V_{e}^{\prime} = \sqrt{\frac{2G(3M)}{3R}}$ થશે.
પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $V_{e}^{\prime} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = V_{e}$ મળે છે.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગ સમાન જ રહેશે.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વી માટે,$V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
આપેલ ગ્રહ માટે,દળ $M' = 6M$ અને ત્રિજ્યા $R' = 2R$ છે.
તેથી,આ ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $V_{e}'$:
$V_{e}' = \sqrt{\frac{2G(6M)}{2R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3 \times \frac{2GM}{R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3} V_{e}$.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના સંદર્ભમાં $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આ કિંમતને નિષ્ક્રમણ વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{e} = \sqrt{\frac{2G}{R} \times \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho} = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi R^{2} \rho}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $v_{e} = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho}$ મળે છે.
અહીં $\frac{8}{3}$,$G$,અને $\pi$ અચળાંકો હોવાથી,$v_{e} \propto R \sqrt{\rho}$ થાય છે.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રક્ષેપણ વેગ $v = \frac{1}{3} v_e = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$TE_{\text{surface}} = TE_{\text{height } h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{GMm}{R+h} + 0$
$v^2 = \frac{1}{9} \times \frac{2GM}{R}$ મૂકતા:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left( \frac{2GM}{9R} \right) = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{8GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$\frac{8}{9R} = \frac{1}{R+h}$
$8(R+h) = 9R$
$8R + 8h = 9R$
$8h = R$
$h = \frac{R}{8}$

(B) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે અને પૃથ્વીનું દળ $M$ છે. નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ (જ્યાં અંતિમ વેગ $0$ છે) વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{2GM}{R} = \frac{GM}{2R}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}m \left( \frac{GM}{2R} \right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = R/3$

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે $M_{e}$ અને $R_{e}$ એ પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે,અને $M_{m}$ અને $R_{m}$ એ ચંદ્રનું દળ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $M_{e} = 81 M_{m}$ અને $R_{e} = 3.5 R_{m}$.
પૃથ્વી પરના નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_{e})$ અને ચંદ્ર પરના નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_{m})$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{e}}{v_{m}} = \sqrt{\frac{M_{e}}{R_{e}} \times \frac{R_{m}}{M_{m}}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_{e}}{v_{m}} = \sqrt{\frac{81 M_{m}}{3.5 R_{m}} \times \frac{R_{m}}{M_{m}}}$
$\frac{v_{e}}{v_{m}} = \sqrt{\frac{81}{3.5}} = \sqrt{23.14} \approx 4.81$.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી માટે,અંતર $r = R$ છે,તેથી નિષ્ક્રમણ વેગ $V_{E} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ થાય.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈ પર આવેલા સ્પેસ સ્ટેશન માટે,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = R + R = 2R$ થાય.
સ્પેસ સ્ટેશન પર નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{s} = \sqrt{\frac{2GM}{2R}} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ થાય.
$v_{s}$ ની $V_{E}$ સાથે સરખામણી કરતા:
$v_{s} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \frac{1}{\sqrt{2}} V_{E}$.
આમ,સ્પેસ સ્ટેશન પર નિષ્ક્રમણ વેગ $V_{E}$ ના $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણો છે.

(B) પૃથ્વીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ છે.
આ કક્ષામાં ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{GMm}{2R}$ છે.
પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાંથી મુક્ત થવા માટે,ઉપગ્રહે નિષ્ક્રમણ વેગ પ્રાપ્ત કરવો પડે,જે $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2}v_0$ છે.
મુક્ત થવા માટે જરૂરી ગતિઊર્જા $K_e = \frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{1}{2}m(2v_0^2) = 2(\frac{1}{2}mv_0^2) = 2K$ છે.
તેથી,જરૂરી વધારાની ગતિઊર્જા $\Delta K = K_e - K = 2K - K = K$ થાય.

(A) ધારો કે પદાર્થ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $v$ વેગ ધરાવે છે. યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$(TE)_{\text{સપાટી પર}} = (TE)_{\text{r અંતરે}}$
$\frac{1}{2} m v_e^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{GMm}{r}$
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ હોવાથી,$\frac{1}{2} v_e^2 = \frac{GM}{R} = gR$ મળે.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{1}{2} v^2 = \frac{GM}{r} = \frac{gR^2}{r}$.
તેથી,$v = \frac{dr}{dt} = R \sqrt{\frac{2g}{r}}$.
$r = R$ થી $r = R + h = 4R$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_0^t dt = \int_R^{4R} \sqrt{\frac{r}{2gR^2}} dr = \frac{1}{R\sqrt{2g}} \int_R^{4R} r^{1/2} dr$
$t = \frac{1}{R\sqrt{2g}} \left[ \frac{2}{3} r^{3/2} \right]_R^{4R} = \frac{2}{3R\sqrt{2g}} \left[ (4R)^{3/2} - R^{3/2} \right]$
$t = \frac{2}{3R\sqrt{2g}} R^{3/2} [8 - 1] = \frac{7}{3} \sqrt{\frac{2R}{g}}$
$R = 6.4 \times 10^6 \ m$ અને $g = 9.8 \ m/s^2$ મૂકતા:
$t = \frac{7}{3} \sqrt{\frac{2 \times 6.4 \times 10^6}{9.8}} \approx 2666.5 \ s$
$t = \frac{2666.5}{60} \approx 44.44 \ min$.

(D)
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$v_e^2 = \frac{2GM}{R}$
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$R = \frac{2GM}{v_e^2}$
આપેલ કિંમતો:
$M = 6 \times 10^{24} \,kg$
$v_e = 3 \times 10^4 \,ms^{-1}$
$G = 6.66 \times 10^{-11} \,N \,m^2 \,kg^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{2 \times 6.66 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{(3 \times 10^4)^2}$
$R = \frac{79.92 \times 10^{13}}{9 \times 10^8}$
$R = 8.88 \times 10^5 \,m$
કિલોમીટરમાં ફેરવતા:
$R = 888 \,km$
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે।

(A) નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પ્રથમ ગ્રહ માટે આપેલ છે: $v_{e1} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 14 \,km \,s^{-1}$.
બીજા ગ્રહ માટે,દળ $M$ છે અને વ્યાસ $8R$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R' = \frac{8R}{2} = 4R$ થાય.
બીજા ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e2} = \sqrt{\frac{2GM}{R'}} = \sqrt{\frac{2GM}{4R}}$ થશે.
આને $v_{e2} = \frac{1}{\sqrt{4}} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \frac{1}{2} v_{e1}$ તરીકે લખી શકાય.
$v_{e1}$ ની કિંમત મૂકતા: $v_{e2} = \frac{14}{2} = 7 \,km \,s^{-1}$.

(C) રોકેટની પ્રારંભિક ઝડપ $v_i = 0.5 v_e = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,અંતિમ વેગ $v_f = 0$ થાય છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2} m v_i^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v_i^2 = \frac{1}{4} \left( \frac{2GM}{R} \right) = \frac{GM}{2R}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2} m \left( \frac{GM}{2R} \right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = \frac{R}{3}$