Escape Velocity and Escape Energy Questions in Gujarati

(C) ગ્રહની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ અને કક્ષીય વેગ $(v_o)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $v_e = \sqrt{2} \cdot v_o$
કક્ષીય વેગ માટે આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $v_o = \frac{v_e}{\sqrt{2}}$
આપેલ છે કે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = 2 \, km/s$ છે,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$v_o = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \, km/s$.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R_e}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે નિષ્ક્રમણ વેગ માત્ર ગ્રહના દળ અને ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે.
તે પ્રક્ષિપ્ત કોણ (angle of projection) પર આધારિત નથી.
તેથી,જો પદાર્થને શિરોલંબ સાથે $45^o$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે,તો પણ નિષ્ક્રમણ વેગ સમાન જ રહેશે,એટલે કે $11 \ km/s$.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ ઝડપનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે. આ સૂત્ર માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G$,પૃથ્વીનું દળ $M$ અને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R$ પર આધાર રાખે છે. તે પ્રક્ષેપણની દિશા પર આધાર રાખતું નથી. તેથી,$Assertion$ સાચું છે.
$Reason$ જણાવે છે કે જો પૃથ્વીના પરિભ્રમણની દિશામાં પદાર્થને ફેંકવામાં આવે તો નિષ્ક્રમણ ઝડપ પ્રાપ્ત કરવી સરળ છે. આ સાચું છે કારણ કે પૃથ્વીનું પરિભ્રમણ પદાર્થને પ્રારંભિક સ્પર્શક વેગ આપે છે. જોકે,આ પ્રારંભિક વેગ પૃથ્વીની સપાટીના સંદર્ભમાં નિષ્ક્રમણ ઝડપ સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી વધારાના વેગને ઘટાડે છે,પરંતુ તે નિષ્ક્રમણ ઝડપના મૂલ્યમાં ફેરફાર કરતું નથી. તેથી,$Reason$ એક સાચું વિધાન છે,પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે નિષ્ક્રમણ ઝડપ (કોઈ ચોક્કસ ગ્રહ માટે નિશ્ચિત ભૌતિક અચળાંક) દિશાથી સ્વતંત્ર કેમ છે. તેથી,$Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ગ્રહ $A$ માટે,નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{A} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ગ્રહ $B$ માટે,દળ $M' = \frac{M}{2}$ અને ત્રિજ્યા $R' = \frac{R}{2}$ છે.
તેથી,ગ્રહ $B$ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{B} = \sqrt{\frac{2G(M/2)}{R/2}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ થાય.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{v_{A}}{v_{B}} = \frac{\sqrt{2GM/R}}{\sqrt{2GM/R}} = 1$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{v_{A}}{v_{B}} = \frac{n}{4}$,તેથી $1 = \frac{n}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $n = 4$.

(D) ના.
$(b)$ ના.
$(c)$ ના.
$(d)$ હા.
પૃથ્વી પરથી પદાર્થની નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_{esc}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R+h}}$
જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે,$R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે,અને $h$ એ સપાટીથી લોન્ચિંગ સ્થાનની ઊંચાઈ છે.
$1$. સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $v_{esc}$ એ પદાર્થના દળ $(m)$ પર આધાર રાખતું નથી.
$2$. તે પ્રક્ષેપણની દિશા પર આધાર રાખતું નથી,જ્યાં સુધી તે પૃથ્વીની અંદરની તરફ ન હોય.
$3$. તે લોન્ચિંગ સ્થાન $(R+h)$ પર આધાર રાખે છે. જેમ ઊંચાઈ $h$ વધે છે,તેમ નિષ્ક્રમણ ઝડપ ઘટે છે.

(B) પૃથ્વી પરથી પદાર્થની નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_{esc} = 11.2 \; km/s$ છે.
પદાર્થની પ્રક્ષેપણ ઝડપ $v_p = 3 v_{esc}$ છે.
ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ પૃથ્વીથી ખૂબ દૂરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે (જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે).
$\frac{1}{2} m v_p^2 - \frac{G M m}{R} = \frac{1}{2} m v_f^2 + 0$
નિષ્ક્રમણ ઝડપની વ્યાખ્યા મુજબ $v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,તેથી $\frac{GM}{R} = \frac{v_{esc}^2}{2}$ થાય.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} m v_p^2 - \frac{1}{2} m v_{esc}^2 = \frac{1}{2} m v_f^2$.
$v_f = \sqrt{v_p^2 - v_{esc}^2} = \sqrt{(3 v_{esc})^2 - v_{esc}^2} = \sqrt{8 v_{esc}^2} = v_{esc} \sqrt{8}$.
$v_f = 11.2 \times 2.828 = 31.68 \; km/s$.

(D) અવકાશયાનનું દળ,$m_{s} = 1000 \; kg$.
સૂર્યનું દળ,$M = 2 \times 10^{30} \; kg$.
મંગળનું દળ,$m_{m} = 6.4 \times 10^{23} \; kg$.
મંગળની કક્ષાની ત્રિજ્યા,$R = 2.28 \times 10^{8} \; km = 2.28 \times 10^{11} \; m$.
મંગળની ત્રિજ્યા,$r = 3395 \; km = 3.395 \times 10^{6} \; m$.
ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક,$G = 6.67 \times 10^{-11} \; N m^{2} kg^{-2}$.
અવકાશયાનની કુલ સ્થિતિ ઉર્જા એ સૂર્ય અને મંગળને કારણે સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $U = -\frac{GMm_{s}}{R} - \frac{Gm_{m}m_{s}}{r}$.
અવકાશયાન મંગળ પર સ્થિર હોવાથી,તેની ગતિ ઉર્જા શૂન્ય છે.
કુલ ઉર્જા $E = -Gm_{s} \left( \frac{M}{R} + \frac{m_{m}}{r} \right)$.
સૌરમંડળમાંથી બહાર નીકળવા માટે જરૂરી ઉર્જા $E_{req} = -E = Gm_{s} \left( \frac{M}{R} + \frac{m_{m}}{r} \right)$.
$E_{req} = 6.67 \times 10^{-11} \times 1000 \times \left( \frac{2 \times 10^{30}}{2.28 \times 10^{11}} + \frac{6.4 \times 10^{23}}{3.395 \times 10^{6}} \right)$.
$E_{req} = 6.67 \times 10^{-8} \times (8.772 \times 10^{18} + 1.885 \times 10^{17}) \approx 5.97 \times 10^{11} \; J \approx 6 \times 10^{11} \; J$.

(N/A) જો આપણે પથ્થરને ઉપરની તરફ ફેંકીએ, તો તે અમુક ઊંચાઈ સુધી પહોંચીને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પૃથ્વી પર પાછો પડે છે.
જો તેને વધુ ઝડપથી ફેંકવામાં આવે, તો તે વધુ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે.
જો પથ્થરને એવી પ્રારંભિક ઝડપથી ફેંકવામાં આવે કે તે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રથી અનંત અંતરે પહોંચી જાય, તો તે ક્યારેય પાછો ફરશે નહીં. આ સ્થિતિમાં, તેના પર પૃથ્વીનું કોઈ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગતું નથી.
ધારો કે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે એક પદાર્થ સ્થિર છે. તેની કુલ ઊર્જા $E_i$ છે:
$E_i = \text{ગતિ ઊર્જા} + \text{સ્થિતિ ઊર્જા} = 0 + \left(-\frac{GM_E m}{r}\right) = -\frac{GM_E m}{R_E + h}$
અનંત અંતરે પદાર્થની કુલ ઊર્જા શૂન્ય ગણવામાં આવે છે. જો પદાર્થને $+\frac{GM_E m}{R_E + h}$ જેટલી ઊર્જા આપવામાં આવે, તો તેની કુલ ઊર્જા શૂન્ય થઈ જાય છે અને તે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી મુક્ત થઈ જાય છે. આ જરૂરી ઊર્જાને નિષ્ક્રમણ ઊર્જા કહેવામાં આવે છે.
આ ઊર્જાને ગતિ ઊર્જા તરીકે આપવા માટે, પદાર્થને $v_e$ જેટલી પ્રારંભિક ઝડપ આપવી પડે છે, જેને નિષ્ક્રમણ ઝડપ કહેવાય છે:
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{GM_E m}{R_E + h}$
આમ, નિષ્ક્રમણ ઝડપ:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E + h}}$
જો પદાર્થ પૃથ્વીની સપાટી પર હોય, તો $h = 0$, તેથી:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E}} = \sqrt{2gR_E}$

(N/A) કોઈ ગ્રહની સપાટી પર રહેલા પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચંદ્ર માટે,નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_{e})_{\text{moon}} = \sqrt{\frac{2GM_{m}}{R_{m}}}$ છે.
ચંદ્રનું દળ $M_{m} \approx 7.36 \times 10^{22} \text{ kg}$ અને તેની ત્રિજ્યા $R_{m} \approx 1.74 \times 10^{6} \text{ m}$ લેતા,નિષ્ક્રમણ વેગની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$(v_{e})_{\text{moon}} \approx 2.38 \text{ km/s}$.
ચંદ્રની સપાટીના તાપમાને વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ ($RMS$ velocity) આ નિષ્ક્રમણ વેગ કરતા વધારે હોય છે. કારણ કે વાયુના અણુઓનો ઉષ્મીય વેગ ચંદ્રના નિષ્ક્રમણ વેગ કરતા વધી જાય છે,તેથી વાયુના અણુઓ ચંદ્રના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી સરળતાથી બહાર નીકળી જાય છે. પરિણામે,ચંદ્ર પર વાતાવરણ ટકી શકતું નથી.

(N/A) નિષ્ક્રમણ ઉર્જા એટલે ગ્રહની સપાટી પર રહેલા $m$ દળના પદાર્થને ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી મુક્ત કરીને અનંત અંતરે મોકલવા માટે આપવી પડતી લઘુત્તમ ઉર્જા.
ગાણિતિક રીતે,તે $E_e = \frac{GMm}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે,$m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
ઉર્જા એ કાર્યનું એક સ્વરૂપ હોવાથી,તેનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.

(N/A) પદાર્થની નિષ્ક્રમણ ઉર્જા એટલે પદાર્થને પૃથ્વીની સપાટી પરથી અનંત અંતરે લઈ જવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા,જેથી અનંત અંતરે તેની અંતિમ ગતિ ઉર્જા શૂન્ય થાય.
પૃથ્વીની સપાટી પર (કેન્દ્રથી $R_E$ અંતરે) $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નીચે મુજબ છે:
$U = -\frac{GM_Em}{R_E}$
પદાર્થને અનંત અંતરે લઈ જવા માટે,જ્યાં સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે,આપણે આ સ્થિતિ ઉર્જાના મૂલ્ય જેટલી ઉર્જા આપવી પડે છે.
તેથી,નિષ્ક્રમણ ઉર્જા $E_e$ નીચે મુજબ છે:
$E_e = -U = -\left(-\frac{GM_Em}{R_E}\right) = +\frac{GM_Em}{R_E}$
આ ઉર્જા સામાન્ય રીતે પદાર્થને ગતિ ઉર્જાના સ્વરૂપમાં આપવામાં આવે છે જેથી તે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાંથી મુક્ત થઈ શકે.

(N/A) નિષ્ક્રમણ ઝડપ એટલે કોઈ પદાર્થને ગ્રહ કે ઉપગ્રહની સપાટી પરથી ઉર્ધ્વ દિશામાં ફેંકવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપ,જેથી તે પદાર્થ તે ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળી જાય અને ક્યારેય પાછો ન આવે.
નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
નિષ્ક્રમણ વેગ નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખતો નથી:
$1$. ફેંકવામાં આવતા પદાર્થનું દળ $(m)$.
$2$. ફેંકવાની દિશા (જ્યાં સુધી તે ગ્રહની અંદરની તરફ ન હોય).
$3$. ગ્રહની સપાટી પરનું સ્થાન જ્યાંથી તેને ફેંકવામાં આવે છે.

(A) કોઈ ગ્રહની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ ગ્રહનું દળ છે અને $R$ તેની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વી માટે,દળ $M_e \approx 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}$ અને ત્રિજ્યા $R_e \approx 6.37 \times 10^6 \text{ m}$ છે. આ મૂલ્યો મૂકતા,આપણને $v_e \approx 11.2 \text{ km/s}$ મળે છે.
ચંદ્ર માટે,દળ $M_m \approx 7.35 \times 10^{22} \text{ kg}$ અને ત્રિજ્યા $R_m \approx 1.74 \times 10^6 \text{ m}$ છે. આ મૂલ્યો મૂકતા,આપણને $v_e \approx 2.38 \text{ km/s}$ મળે છે.

(N/A) આ વિધાન ખોટું છે.
સાચું વિધાન: "કોઈ ગ્રહની સપાટી પરના સ્થિર પદાર્થ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું મૂલ્ય ગ્રહના દળ અને તેની ત્રિજ્યાના ગુણોત્તરના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે."
સમજૂતી: નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે. આમ,$v_e \propto \sqrt{\frac{M}{R}}$ થાય.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પરથી પદાર્થની નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_e$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_e$ એ પદાર્થના દળ પર આધારિત નથી.
તેથી,પદાર્થનું દળ ગમે તે હોય,નિષ્ક્રમણ ઝડપ સમાન રહે છે.
આમ,$1\,kg$ દળ માટે નિષ્ક્રમણ ઝડપ $11.2\,km/s$ હોવાથી,$10\,kg$ દળ માટે પણ નિષ્ક્રમણ ઝડપ $11.2\,km/s$ જ રહેશે.

(A, B) નિષ્ક્રમણ ઝડપનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દ્રવ્યમાન છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે નિષ્ક્રમણ ઝડપ ફક્ત તે ગ્રહ (અથવા અવકાશી પદાર્થ) ના દ્રવ્યમાન અને ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે જ્યાંથી પદાર્થને ફેંકવામાં આવે છે.
તે પદાર્થના દ્રવ્યમાન $(m)$ અથવા પ્રક્ષિપ્ત કોણ $( \theta)$ પર આધારિત નથી.

(B) ના,રોકેટને શરૂઆતમાં $11.2 \, km/s$ ની ઝડપ આપવી જરૂરી નથી.
નિષ્ક્રમણ ઝડપ એ એવી ઝડપ છે જે કોઈપણ વધારાના પ્રણોદન (propulsion) વગર પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણમાંથી બહાર નીકળવા માટે જરૂરી છે.
જોકે,રોકેટ એ સ્વયં-પ્રણોદિત વાહન છે.
તેમાં બળતણ હોય છે જે બળીને ધક્કો (thrust) ઉત્પન્ન કરે છે,જે તેની ઝડપમાં સતત વધારો કરે છે અને તેને ધીમે ધીમે ગુરુત્વાકર્ષણ બળને પાર કરવામાં મદદ કરે છે,ભલે તેની પ્રારંભિક ઝડપ ઘણી ઓછી હોય.

(N/A) કોઈ ગ્રહ પર વાતાવરણની હાજરી માટે જવાબદાર બે પરિબળો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ તે ગ્રહ પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$
$(ii)$ તે ગ્રહની સપાટી પરનું તાપમાન
આનું કારણ એ છે કે વાયુના અણુઓની ઝડપ તે ગ્રહના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v_{0} = \sqrt{\frac{GM_{e}}{R_{e}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM_{e}}{R_{e}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિષ્ક્રમણ ઝડપના સમીકરણને કક્ષીય ઝડપના સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{v_{e}}{v_{0}} = \frac{\sqrt{\frac{2GM_{e}}{R_{e}}}}{\sqrt{\frac{GM_{e}}{R_{e}}}} = \sqrt{2}$.
તેથી,સંબંધ $v_{e} = \sqrt{2} v_{0}$ છે.

(A) કોઈ પદાર્થને અનંત અંતરે મોકલવા માટે જરૂરી ગતિઊર્જા એ પૃથ્વીની સપાટી પર તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જાના મૂલ્ય જેટલી હોય છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{R}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$ થાય.
આ કિંમત સ્થિતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $U = -\frac{(gR^2)m}{R} = -mgR$.
તેથી,જરૂરી ગતિઊર્જા $K = |U| = mgR$ થાય.

(C) કોઈપણ અવકાશી પદાર્થની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ ઝડપ $(v_{e})$ નું સૂત્ર $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
બ્લેકહોલ માટે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એટલું પ્રબળ હોય છે કે પ્રકાશ પણ તેની સપાટી પરથી બહાર નીકળી શકતો નથી.
વ્યાખ્યા મુજબ,બ્લેકહોલની ઘટના ક્ષિતિજ (event horizon) પર નિષ્ક્રમણ ઝડપ પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ જેટલી અથવા તેનાથી વધારે હોવી જોઈએ.
તેથી,બ્લેકહોલ માટે $v_{e} \geq c$ થાય છે.

(A) ઉપગ્રહની સ્થિતિ-ઊર્જા $(U)$ $-8 \times 10^9 \ J$ આપેલી છે.
બંધન-ઊર્જા $(BE)$ એટલે ઉપગ્રહને તેની કક્ષામાંથી અનંત અંતરે લઈ જવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઊર્જા,જ્યાં કુલ ઊર્જા શૂન્ય થાય છે.
$BE = -U$
$BE = -(-8 \times 10^9 \ J)$
$BE = 8 \times 10^9 \ J$
આમ,બંધન-ઊર્જા $8 \times 10^9 \ J$ છે.

(A) નિષ્ક્રમણ ઝડપનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
અહીં,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દ્રવ્યમાન છે,અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે નિષ્ક્રમણ ઝડપ માત્ર ગ્રહ (પૃથ્વી) ના દ્રવ્યમાન અને ત્રિજ્યા પર જ આધાર રાખે છે.
તે ફેંકવામાં આવતા પદાર્થના દ્રવ્યમાન $(m)$ અથવા પ્રક્ષિપ્ત કોણ $(\theta)$ પર આધારિત નથી.

(D) નિષ્ક્રમણ ઊર્જા એટલે કોઈ નિષ્ક્રિય કણ (જેમ કે પદાર્થ) ને ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઊર્જા.
રોકેટ એ નિષ્ક્રિય કણ નથી; તે એક સ્વયં-સંચાલિત સિસ્ટમ છે.
જેમ જેમ રોકેટ બળતણ બાળે છે,તેમ તેમ તે વાયુઓના ઉત્સર્જન દ્વારા સતત વેગમાન અને ગતિઊર્જા મેળવે છે.
તેથી,તે ગુરુત્વાકર્ષણને દૂર કરવા માટે પ્રારંભિક 'નિષ્ક્રમણ ઊર્જા' પર આધાર રાખતું નથી; તે સતત બળતણ બાળીને ઓછા પ્રારંભિક વેગ સાથે પણ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળી શકે છે.

(D) નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વી માટે,નિષ્ક્રમણ વેગ આશરે $11.2 \, km \, s^{-1}$ છે. તેથી,$(1)$ એ $(c)$ સાથે જોડાય છે.
ચંદ્ર માટે,નિષ્ક્રમણ વેગ આશરે $2.38 \, km \, s^{-1}$ છે. તેથી,$(2)$ એ $(a)$ સાથે જોડાય છે.
આમ,સાચી જોડ $(1-c), (2-a)$ છે.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે નવી ત્રિજ્યા $R'$ છે જેથી નવો નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e' = 10V_e$ થાય.
આમ,$10V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R'}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને $10 = \sqrt{\frac{R}{R'}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$100 = \frac{R}{R'}$.
તેથી,$R' = \frac{R}{100}$.
અહીં $R = 6400 \ km$ આપેલ છે,તેથી $R' = \frac{6400}{100} = 64 \ km$.

(B) ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $V_{e}$ એ સૂત્ર $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
જો બે ગ્રહો $A$ અને $B$ ના નિષ્ક્રમણ વેગ સમાન હોય,તો $\sqrt{\frac{2GM_{1}}{R_{1}}} = \sqrt{\frac{2GM_{2}}{R_{2}}}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{M_{1}}{R_{1}} = \frac{M_{2}}{R_{2}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{M_{1}}{M_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$.
આ શરત અલગ-અલગ દળ $(M_{1} \neq M_{2})$ માટે શક્ય છે,જો તેમની ત્રિજ્યા પણ સમાન પ્રમાણમાં અલગ હોય. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
કારણ $R$ જણાવે છે કે ગુણાકાર $M_{1}R_{1} = M_{2}R_{2}$ સમાન હોવો જોઈએ,જે આપેલી શરત માટે ગાણિતિક રીતે ખોટું છે. તેથી,$R$ ખોટું છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h = 10 R$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા = $h$ ઊંચાઈ પરની કુલ ઉર્જા.
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv_{i}^{2} = -\frac{GMm}{R+h} + 0$.
અહીં $h = 10R$ હોવાથી,કેન્દ્રથી કુલ અંતર $R + 10R = 11R$ થાય.
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv_{i}^{2} = -\frac{GMm}{11R}$.
$\frac{1}{2}mv_{i}^{2} = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{11R} \right) = GMm \left( \frac{10}{11R} \right)$.
$v_{i}^{2} = \frac{20GM}{11R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,તેથી $v_{e}^{2} = \frac{2GM}{R}$.
આ કિંમત $v_{i}^{2}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v_{i}^{2} = \frac{10}{11} \times \left( \frac{2GM}{R} \right) = \frac{10}{11} v_{e}^{2}$.
$v_{i} = \sqrt{\frac{x}{y}} v_{e}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{x}{y} = \frac{10}{11}$ મળે છે.
આમ,$x = 10$.

(B) બંને દળોના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રભાવમાંથી મુક્ત થવા માટે,કણે એવા બિંદુએ પહોંચવું જોઈએ જ્યાં કુલ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય હોય,જે અનંત અંતરે છે. ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મધ્યબિંદુ પરની કુલ ઊર્જા અનંત અંતરે રહેલી કુલ ઊર્જા $(0)$ જેટલી હોવી જોઈએ.
મધ્યબિંદુ પર,દરેક દળથી અંતર $r/2$ છે.
મધ્યબિંદુ પર કુલ ઊર્જા એ ગતિ ઊર્જા અને ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે:
$E_i = \frac{1}{2}mV^2 - \frac{GM_1m}{r/2} - \frac{GM_2m}{r/2}$
કુલ ઊર્જાને શૂન્ય લેતા:
$\frac{1}{2}mV^2 - \frac{2GM_1m}{r} - \frac{2GM_2m}{r} = 0$
$\frac{1}{2}mV^2 = \frac{2Gm}{r}(M_1 + M_2)$
$V^2 = \frac{4G(M_1 + M_2)}{r}$
$V = \sqrt{\frac{4G(M_1 + M_2)}{r}}$

(D) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકીએ:
$v_{e} = \sqrt{\frac{2G}{R} \times \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho} = \sqrt{\frac{8 \pi G \rho}{3} R^{2}} = R \sqrt{\frac{8 \pi G \rho}{3}}$.
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે ઘનતા $\rho$ અચળ હોય ત્યારે $v_{e} \propto R$ થાય છે.
નવા ગ્રહની ત્રિજ્યા $R' = 4R$ હોવાથી,નવો નિષ્ક્રમણ વેગ $v'$ નીચે મુજબ થશે:
$v' = 4 \times v_{e} = 4v$.

(D) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $r$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે, જ્યાં વેગ શૂન્ય થાય છે।
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2} m v^2 = -\frac{GMm}{r}$
આપેલ છે કે $v = k V_{e}$ અને $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$, તેથી $v^2 = k^2 \frac{2GM}{R}$ થાય.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2} m \left( k^2 \frac{2GM}{R} \right) = -\frac{GMm}{r}$
$GMm$ વડે ભાગતા:
$-\frac{1}{R} + \frac{k^2}{R} = -\frac{1}{r}$
$\frac{1}{r} = \frac{1}{R} - \frac{k^2}{R} = \frac{1-k^2}{R}$
$r = \frac{R}{1-k^2}$
અહીં $r = R + h$ હોવાથી, મહત્તમ ઊંચાઈ $h$:
$h = r - R = \frac{R}{1-k^2} - R = R \left( \frac{1 - (1-k^2)}{1-k^2} \right) = \frac{R k^2}{1-k^2}$.

(A) પદાર્થને નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R_e}}$ સાથે ફેંકવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર અને પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = 0$ (કારણ કે નિષ્ક્રમણ વેગ માટે કુલ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે).
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{r} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \frac{dr}{dt}$.
ચલને અલગ કરતા: $dt = \frac{dr}{\sqrt{2GM}} \cdot \sqrt{r}$.
$r=R_e$ પર $t=0$ થી $r=R_e+h$ પર સમય $t$ સુધી સંકલન કરતા:
$t = \frac{1}{\sqrt{2GM}} \int_{R_e}^{R_e+h} r^{1/2} dr = \frac{1}{\sqrt{2GM}} \cdot \frac{2}{3} [r^{3/2}]_{R_e}^{R_e+h}$.
$t = \frac{2}{3\sqrt{2GM}} [ (R_e+h)^{3/2} - R_e^{3/2} ] = \frac{2}{3\sqrt{2GM}} R_e^{3/2} [ (1 + \frac{h}{R_e})^{3/2} - 1 ]$.
$GM = gR_e^2$ હોવાથી,$\sqrt{GM} = \sqrt{g}R_e$ મળે.
આ કિંમત મૂકતા: $t = \frac{2 R_e^{3/2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{g} R_e} [ (1 + \frac{h}{R_e})^{3/2} - 1 ] = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2R_e}{g}} [ (1 + \frac{h}{R_e})^{3/2} - 1 ]$.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
દળ $M = \rho \times \text{કદ} = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $V_e = \sqrt{\frac{2G \rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho R^2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $V_e \propto R \sqrt{\rho}$.
ગ્રહ $B$ માટે આપેલ છે: $\rho_B = 4\rho_A$ અને $R_B = \frac{1}{2}R_A$.
તેથી,$\frac{V_{eB}}{V_{eA}} = \frac{R_B}{R_A} \sqrt{\frac{\rho_B}{\rho_A}} = \left(\frac{1}{2}\right) \sqrt{4} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$.
આમ,$V_{eB} = V_{eA} = 12 \, km/s$.

(A) ધારો કે $v_e$ એ નિષ્ક્રમણ વેગ છે,જે $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પર: $E_i = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m v^2$,જ્યાં $v = \frac{v_e}{3}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર: $E_f = -\frac{GMm}{R+h}$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left(\frac{v_e}{3}\right)^2 = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left(\frac{2GM}{9R}\right) = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{8GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$\frac{8}{9R} = \frac{1}{R+h}$
$8(R+h) = 9R$
$8R + 8h = 9R$
$8h = R$
$h = \frac{R}{8} = \frac{6400 \ km}{8} = 800 \ km$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા = $h$ ઊંચાઈ પરની કુલ ઉર્જા
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m(\lambda v_{e})^{2} = -\frac{GMm}{h} + 0$
નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ હોવાથી,$v_{e}^{2} = \frac{2GM}{R}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m\lambda^{2}(\frac{2GM}{R}) = -\frac{GMm}{h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{\lambda^{2}GMm}{R} = -\frac{GMm}{h}$
બંને બાજુને $-GMm$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{R} - \frac{\lambda^{2}}{R} = \frac{1}{h}$
$\frac{1-\lambda^{2}}{R} = \frac{1}{h}$
$h = \frac{R}{1-\lambda^{2}}$

(A) રોકેટ સૌરમંડળ સાથે બંધાયેલું રહે તે માટે પ્રક્ષેપણ સમયે તેની કુલ ઉર્જા શૂન્ય અથવા તેનાથી ઓછી હોવી જોઈએ.
લઘુગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r_0}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v_0^2 = \frac{GM}{r_0}$.
સૂર્યની સાપેક્ષ રોકેટની કુલ ઉર્જા $E$ એ તેની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E = -\frac{GMm}{r_0} + \frac{1}{2}mv^2$
આપેલ છે કે સૂર્યની સાપેક્ષ રોકેટની ઝડપ $v = \alpha v_0$ છે,તેથી:
$E = -\frac{GMm}{r_0} + \frac{1}{2}m(\alpha v_0)^2$
રોકેટ બંધાયેલું રહે તે માટે,$E \leq 0$:
$-\frac{GMm}{r_0} + \frac{1}{2}m \alpha^2 v_0^2 \leq 0$
$v_0^2 = \frac{GM}{r_0}$ મૂકતા:
$-\frac{GMm}{r_0} + \frac{1}{2}m \alpha^2 \left(\frac{GM}{r_0}\right) \leq 0$
$\frac{GMm}{r_0}$ વડે ભાગતા:
$-1 + \frac{1}{2} \alpha^2 \leq 0$
$\alpha^2 \leq 2$
$\alpha \leq \sqrt{2}$
આમ,$\alpha$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{2}$ છે.

(D) આપેલ છે: નિષ્ક્રમણ વેગ $= u$.
પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ નિષ્ક્રમણ વેગ કરતા $200 \%$ વધુ છે.
$V_{\text{initial}} = u + (200/100)u = u + 2u = 3u$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2} m V_{\text{initial}}^2 + (P.E.)_{\text{initial}} = \frac{1}{2} m V_{\text{final}}^2 + (P.E.)_{\text{final}}$.
ગ્રહની સપાટી પર સ્થિતિ ઉર્જા $P.E. = -\frac{GMm}{R} = -\frac{m u^2}{2}$ છે (કારણ કે $u = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$).
આંતરતારકીય અવકાશમાં સ્થિતિ ઉર્જા $0$ છે.
$\frac{1}{2} m (3u)^2 - \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} m V_{\text{final}}^2$.
$\frac{9}{2} u^2 - \frac{1}{2} u^2 = \frac{1}{2} V_{\text{final}}^2$.
$8 u^2 = V_{\text{final}}^2$.
$V_{\text{final}} = \sqrt{8} u = 2\sqrt{2} u$.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e$ નું સૂત્ર: $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R+h}}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર $(h=0)$ નિષ્ક્રમણ વેગ $V_0 = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \approx 11.2 \, km/s$ છે.
તેથી,$h$ ઊંચાઈએ નિષ્ક્રમણ વેગ $V_h = V_0 \sqrt{\frac{R}{R+h}}$ થાય.
અહીં $R = 6400 \, km$ અને $h = 1000 \, km$ આપેલ છે,તેથી $R+h = 7400 \, km$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $V_h = 11.2 \times \sqrt{\frac{6400}{7400}}$.
$V_h = 11.2 \times \sqrt{\frac{64}{74}} = 11.2 \times \sqrt{0.8648} \approx 11.2 \times 0.93 = 10.416 \, km/s$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $10.4 \, km/s$ મળે છે.

(B) ધારો કે ઉપગ્રહનું દળ $m$ છે અને પૃથ્વીનું દળ $M$ છે. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R$ છે.
$1$. પલાયન માટે જરૂરી ગતિઊર્જા $(E_1)$: પલાયન વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે. તેથી,$E_1 = \frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{2GM}{R}\right) = \frac{GMm}{R}$.
$2$. સપાટીની નજીક કક્ષીય ગતિ માટે જરૂરી ગતિઊર્જા $(E_2)$: કક્ષીય વેગ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ છે. તેથી,$E_2 = \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{GM}{R}\right) = \frac{GMm}{2R}$.
$3$. ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{GMm/R}{GMm/2R} = 2:1$ થાય.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = -\frac{G M m}{R}$ છે,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
એકમ દળ દીઠ સ્થિતિઊર્જા $\frac{U}{m} = -\frac{G M}{R}$ થાય.
આ મૂલ્યનું માન $E = \frac{G M}{R}$ આપેલું છે.
નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ છે.
હવે,$E = \frac{G M}{R}$ ની કિંમત નિષ્ક્રમણ વેગના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $v_e = \sqrt{2 E}$ મળે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી $(r = R_e)$ અને મહત્તમ ઊંચાઈ $(r = r_{max})$ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$U_i + K_i = U_f + K_f$
$-\frac{G M m}{R_e} + \frac{1}{2} m v^2 = -\frac{G M m}{r_{max}} + 0$
અહીં $v^2 = \frac{4 g R_e}{3}$ અને $g = \frac{G M}{R_e^2}$ હોવાથી,$v^2 = \frac{4 G M}{3 R_e}$ થાય.
$-\frac{G M m}{R_e} + \frac{1}{2} m (\frac{4 G M}{3 R_e}) = -\frac{G M m}{r_{max}}$
$-\frac{G M m}{R_e} + \frac{2 G M m}{3 R_e} = -\frac{G M m}{r_{max}}$
$-\frac{1}{3} \frac{G M m}{R_e} = -\frac{G M m}{r_{max}} \Rightarrow r_{max} = 3 R_e$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h_{max} = r_{max} - R_e = 2 R_e$ છે.
આપણે $h = \frac{h_{max}}{2} = R_e$ ઊંચાઈએ વેગ $v'$ શોધવાનો છે,જે $r = 2 R_e$ ને અનુરૂપ છે.
ફરીથી ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$-\frac{G M m}{R_e} + \frac{1}{2} m v^2 = -\frac{G M m}{2 R_e} + \frac{1}{2} m (v')^2$
$-\frac{G M m}{R_e} + \frac{2 G M m}{3 R_e} = -\frac{G M m}{2 R_e} + \frac{1}{2} m (v')^2$
$-\frac{1}{3} \frac{G M m}{R_e} + \frac{1}{2} \frac{G M m}{R_e} = \frac{1}{2} m (v')^2$
$\frac{1}{6} \frac{G M m}{R_e} = \frac{1}{2} m (v')^2$
$(v')^2 = \frac{G M}{3 R_e} = \frac{g R_e}{3} \Rightarrow v' = \sqrt{\frac{g R_e}{3}}$.

(D) ઉપગ્રહ-ગ્રહ તંત્રની કુલ ઉર્જા $E$ એ $E = K + U$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ગતિ ઉર્જા છે અને $U$ એ સ્થિતિ ઉર્જા છે.
જો $E < 0$ હોય,તો ઉપગ્રહ બંધન અવસ્થામાં છે (વર્તુળાકાર અથવા લંબગોળ કક્ષા).
જો $E = 0$ હોય,તો ઉપગ્રહ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવાની સીમા પર છે (તે પલાયન વેગ $v_e$ સાથે ગતિ કરે છે).
જો $E > 0$ હોય,તો ગતિ ઉર્જા એ સ્થિતિ ઉર્જાના મૂલ્ય કરતા વધારે છે,જેનો અર્થ છે કે ઉપગ્રહ પાસે વધારાની ઉર્જા છે.
તેથી,ઉપગ્રહ પલાયન વેગ કરતા વધારે ઝડપ સાથે ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળી જશે.

(D) પૃથ્વીની નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રક્ષેપણ ઝડપ $v = \frac{1}{2} v_e = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
પૃથ્વીની સપાટી અને મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ (જ્યાં અંતિમ વેગ શૂન્ય છે) વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$E_i = E_f$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{GMm}{R+H} + 0$
$v^2 = \frac{1}{4} \left(\frac{2GM}{R}\right) = \frac{GM}{2R}$ મૂકતા:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left(\frac{GM}{2R}\right) = -\frac{GMm}{R+H}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{4R} = -\frac{GMm}{R+H}$
$-\frac{3GMm}{4R} = -\frac{GMm}{R+H}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+H}$
$3(R+H) = 4R$
$3R + 3H = 4R$
$3H = R$
$H = \frac{R}{3}$

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા અને પૃથ્વીથી ખૂબ દૂરના અંતરે (અનંત પર) કુલ ઉર્જા સમાન હોવી જોઈએ.
ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે,પૃથ્વીનું દળ $M$ છે અને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,વેગ $v = n v_e$ છે,જ્યાં $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા: $E_i = \frac{1}{2} m (n v_e)^2 - \frac{GMm}{R}$.
ખૂબ દૂરના અંતરે,સ્થિતિ ઉર્જા $0$ છે. ધારો કે અંતિમ વેગ $v_f$ છે.
ખૂબ દૂરના અંતરે કુલ ઉર્જા: $E_f = \frac{1}{2} m v_f^2$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} m n^2 v_e^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2} m v_f^2$.
કારણ કે $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$,તેથી $\frac{GM}{R} = \frac{v_e^2}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} m n^2 v_e^2 - m \left(\frac{v_e^2}{2}\right) = \frac{1}{2} m v_f^2$.
$\frac{1}{2} m$ વડે ભાગતા:
$n^2 v_e^2 - v_e^2 = v_f^2$.
$v_f^2 = v_e^2 (n^2 - 1)$.
$v_f = v_e \sqrt{n^2 - 1}$.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
આપેલ છે કે પૃથ્વીનું દળ $(M_e)$ એ ચંદ્રના દળ $(M_m)$ કરતા $81$ ગણું છે,તેથી $M_e = 81 M_m$.
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R_e)$ એ ચંદ્રની ત્રિજ્યા $(R_m)$ કરતા $4$ ગણી છે,તેથી $R_e = 4 R_m$.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{V_{e,e}}{V_{e,m}} = \sqrt{\frac{M_e}{M_m} \times \frac{R_m}{R_e}} = \sqrt{81 \times \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2} = 4.5$.
તેથી,ચંદ્ર પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $V_{e,m} = \frac{V_{e,e}}{4.5} = \frac{11.2}{4.5} \approx 2.48 \, km/s$ થાય.

(C) કોઈ ગ્રહની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ છે.
બ્લેક હોલ એ એક એવો અવકાશી પદાર્થ છે કે જેમાંથી તેના પ્રબળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે પ્રકાશ પણ બહાર નીકળી શકતો નથી.
પ્રકાશ બહાર ન નીકળી શકે તે માટે,ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ પ્રકાશની ગતિ $c$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,શરત $v_e \geq c$ છે.
$v_e$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\sqrt{\frac{2 G M}{R}} \geq c$ મળે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીની નજીક વર્તુળાકાર ભ્રમણકક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કક્ષીય ઝડપ $v_0 = \sqrt{\frac{GM_e}{R_e}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે જરૂરી નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$ છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $v_e = \sqrt{2} v_0$.
કારણ કે $\sqrt{2} \approx 1.414$,જરૂરી નિષ્ક્રમણ ઝડપ એ કક્ષીય ઝડપ કરતા $1.414$ ગણી છે.
જરૂરી ટકાવારી વધારો $x$ એ $x = \left( \frac{v_e - v_0}{v_0} \right) \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = (\sqrt{2} - 1) \times 100 = (1.414 - 1) \times 100 = 41.4 \%$.

(A) ધારો કે કણનું દળ $m$ છે,ગ્રહનું દળ $M$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે.
ગ્રહથી ઘણા દૂરના અંતરે (અનંત પર) ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન શૂન્ય લેતા,અનંત પર કણની કુલ ઊર્જા $E_i = 0$ છે.
ગ્રહના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V_c = -\frac{3GM}{2R}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અનંત પરની કુલ ઊર્જા એ ગ્રહના કેન્દ્ર પરની કુલ ઊર્જા જેટલી હોય છે:
$K_i + U_i = K_c + U_c$
$0 + 0 = \frac{1}{2}mv^2 + m(-\frac{3GM}{2R})$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{3GMm}{2R}$
$v^2 = \frac{3GM}{R}$
$v = \sqrt{\frac{3GM}{R}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગ્રહની સપાટી પર નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{GM}{R} = \frac{v_e^2}{2}$.
આ કિંમત $v$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{3 \cdot \frac{v_e^2}{2}} = \sqrt{1.5} v_e$.

(A) કોઈપણ ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા $M_e$ અને $R_e$ છે,અને ગ્રહ $P$ નું દળ અને ત્રિજ્યા $M_p$ અને $R_p$ છે.
આપેલ છે: $M_e = 9M_p$ (તેથી $M_p = \frac{M_e}{9}$) અને $R_e = 2R_p$ (તેથી $R_p = \frac{R_e}{2}$).
પૃથ્વી પરનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$ છે.
ગ્રહ $P$ પરનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_p = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p}} = \sqrt{\frac{2G(M_e/9)}{(R_e/2)}} = \sqrt{\frac{4GM_e}{9R_e}} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{GM_e}{R_e}}$.
કારણ કે $v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$,તેથી $\sqrt{\frac{GM_e}{R_e}} = \frac{v_e}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમત $v_p$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $v_p = \frac{2}{3} \left( \frac{v_e}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{2} v_e}{3} = \frac{v_e}{3} \sqrt{2}$.
આને $\frac{v_e}{3} \sqrt{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(D) ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{2gR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સરખામણીમાં ચંદ્રનું દળ અને ત્રિજ્યા ઘણી ઓછી હોવાથી,તેનો નિષ્ક્રમણ વેગ પૃથ્વી (આશરે $11.2 \ km/s$) કરતા ઘણો ઓછો (આશરે $2.38 \ km/s$) છે.
ચંદ્ર પર નિષ્ક્રમણ વેગ ઓછો હોવાને કારણે,ચંદ્રની સપાટીના તાપમાને વાયુના અણુઓનો થર્મલ વેગ (rms વેગ) નિષ્ક્રમણ વેગ કરતા વધી જાય છે.
પરિણામે,વાયુના અણુઓ ચંદ્રના ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાંથી છટકી જાય છે,જેના કારણે ત્યાં વાતાવરણ બની શકતું નથી.
તેથી,વિધાન $A$ અને કારણ $R$ બંને સાચા છે,અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.