Escape Velocity and Escape Energy Questions in Gujarati

(C) પૃથ્વીની સપાટી અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા = મહત્તમ ઊંચાઈ પરની કુલ ઉર્જા
$-\frac{G M m}{R_E} + \frac{1}{2} m v^2 = -\frac{G M m}{R_E + h} + 0$
આપેલ છે કે $h = \frac{4}{5} R_E$,તેથી $R_E + h = R_E + \frac{4}{5} R_E = \frac{9}{5} R_E$.
$GM = g R_E^2$ મૂકતા:
$-\frac{g R_E^2 m}{R_E} + \frac{1}{2} m v^2 = -\frac{g R_E^2 m}{\frac{9}{5} R_E}$
$-g R_E + \frac{v^2}{2} = -\frac{5}{9} g R_E$
$\frac{v^2}{2} = g R_E - \frac{5}{9} g R_E = \frac{4}{9} g R_E$
$v^2 = \frac{8}{9} g R_E$
$v = \sqrt{\frac{8}{9} g R_E} = \frac{2}{3} \sqrt{2 g R_E}$
નિષ્ક્રમણ વેગ $v_E = \sqrt{2 g R_E}$ હોવાથી,આપણને $v = \frac{2}{3} v_E$ મળે છે.
તેથી,$\frac{v}{v_E} = \frac{2}{3}$.

(B) ધારો કે પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થની નિષ્ક્રમણ ઝડપ $V_e = V$ છે. નિષ્ક્રમણ ઝડપનું સૂત્ર $V = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા અનંત અંતરે રહેલી કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}m(4V)^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2}mV_0^2 + 0$
કારણ કે $V^2 = \frac{2GM}{R}$,તેથી $\frac{GM}{R} = \frac{V^2}{2}$ થાય.
આ કિંમત ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2}m(16V^2) - m(\frac{V^2}{2}) = \frac{1}{2}mV_0^2$
$8mV^2 - 0.5mV^2 = 0.5mV_0^2$
$7.5V^2 = 0.5V_0^2$
$V_0^2 = 15V^2$
$V_0 = \sqrt{15}V$

(B) નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
ગ્રહનું દળ $M$ ને તેની ઘનતા $d$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના પદમાં $M = d \times \frac{4}{3} \pi R^3$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \times \frac{4}{3} \pi R^3 d} = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi R^2 d} = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi d}$
પ્રથમ ગ્રહ $(A)$ માટે:
$v_1 = 16 \ km/s = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi d}$
બીજા ગ્રહ $(B)$ માટે જેની ત્રિજ્યા $R' = 3R$ અને ઘનતા $d' = 2d$ છે:
$v_2 = (3R) \sqrt{\frac{8}{3} G \pi (2d)} = 3R \sqrt{2} \sqrt{\frac{8}{3} G \pi d} = 3 \sqrt{2} \times v_1$
$v_1 = 16 \ km/s$ મૂકતા:
$v_2 = 3 \sqrt{2} \times 16 = 48 \sqrt{2} \ km/s$
આપેલ છે કે $v_2 = v \sqrt{2} \ km/s$,તેથી:
$v = 48$

(C) આપેલ છે:
ગ્રહની ત્રિજ્યા,$R = 1.7 \times 10^6 \ m$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = 1.7 \ m s^{-2}$
ગ્રહની સપાટી પર નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2gR}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$v_e = \sqrt{2 \times 1.7 \times (1.7 \times 10^6)}$
$v_e = \sqrt{2 \times (1.7)^2 \times 10^6}$
$v_e = 1.7 \times \sqrt{2} \times 10^3 \ m s^{-1}$
કારણ કે $10^3 \ m s^{-1} = 1 \ km s^{-1}$,તેથી આપણને મળે છે:
$v_e = 1.7 \sqrt{2} \ km s^{-1}$.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પર: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
કારણ કે $E_i = E_f$,તેથી $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
આપેલ છે કે $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2GM}{R}}$,તેથી $v^2 = \frac{GM}{2R}$.
$v^2$ ની કિંમત ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2}m(\frac{GM}{2R}) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h} \Rightarrow 3(R+h) = 4R \Rightarrow 3R + 3h = 4R \Rightarrow 3h = R \Rightarrow h = \frac{R}{3}$

(C) આપેલ છે કે,પૃથ્વીની સપાટી પર નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = 11.2 \ km/s$ છે.
ઊંચાઈ $h = \frac{R_e}{3}$ પર,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R_e + h = R_e + \frac{R_e}{3} = \frac{4R_e}{3}$ થાય.
આ બિંદુએથી મુક્ત થવા માટે,રોકેટની ગતિઊર્જા તે અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જાના મૂલ્ય જેટલી હોવી જોઈએ.
$\frac{1}{2}mv_{e1}^2 = \frac{GM_em}{r} = \frac{GM_em}{4R_e/3} = \frac{3GM_em}{4R_e}$.
કારણ કે $v_e^2 = \frac{2GM_e}{R_e}$,તેથી $\frac{GM_e}{R_e} = \frac{v_e^2}{2}$ મળે.
આ કિંમતને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2}v_{e1}^2 = \frac{3}{4} \left(\frac{v_e^2}{2}\right) = \frac{3}{8}v_e^2$.
$v_{e1}^2 = \frac{3}{4}v_e^2 \Rightarrow v_{e1} = \frac{\sqrt{3}}{2}v_e$.
$v_e = 11.2 \ km/s$ આપેલ હોવાથી,$v_{e1} = \frac{1.732}{2} \times 11.2 = 0.866 \times 11.2 \approx 9.7 \ km/s$.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે પદાર્થને $v = x \cdot v_e$ ના પ્રારંભિક વેગથી ફેંકવામાં આવે છે.
ધારો કે સપાટીથી પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ છે. આ મહત્તમ ઊંચાઈએ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h$ છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા = મહત્તમ ઊંચાઈ પરની કુલ ઉર્જા
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v = x \cdot v_e = x \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}m \left(x^2 \cdot \frac{2GM}{R}\right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm x^2}{R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$GMm$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^2}{R} - \frac{1}{R} = - \frac{1}{R+h}$
$\frac{1-x^2}{R} = \frac{1}{R+h}$
$R+h = \frac{R}{1-x^2}$
$h = \frac{R}{1-x^2} - R = \frac{Rx^2}{1-x^2}$
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = \frac{R}{1-x^2}$ થાય. પ્રશ્નમાં પૃથ્વીના કેન્દ્રથી ઊંચાઈ પૂછવામાં આવી છે,પરંતુ આપેલા વિકલ્પો મુજબ વિકલ્પ $B$ એ સપાટીથી ઊંચાઈ $h$ દર્શાવે છે.

(D) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની $r$ અંતરે રહેલા $M$ દળના ગ્રહને કારણે બિંદુ $P$ પરની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_e$ એ શરત દ્વારા મળે છે કે કુલ ઊર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ,એટલે કે $\frac{1}{2}mv_e^2 + U = 0$,જેનો અર્થ છે $v_e = \sqrt{\frac{2|U|}{m}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$.
આપેલ છે કે માત્ર ગ્રહ $B$ ને કારણે નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_{eB} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = 5 \ km/s$ છે.
જ્યારે બંને ગ્રહો $B$ અને $C$ ને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે,ત્યારે બિંદુ $P$ પર કુલ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_{total} = U_B + U_C = -\frac{GMm}{r} - \frac{G(6M)m}{2r} = -\frac{GMm}{r} - 3\frac{GMm}{r} = -4\frac{GMm}{r}$ થાય.
બંને ગ્રહોને કારણે નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_{total}$ એ $\frac{1}{2}mv_{total}^2 = |U_{total}| = 4\frac{GMm}{r}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$v_{total} = \sqrt{\frac{8GM}{r}} = 2 \sqrt{\frac{2GM}{r}}$.
$v_{eB} = 5 \ km/s$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $v_{total} = 2 \times 5 \ km/s = 10 \ km/s$ મળે છે.

(D) ધારો કે દળ $M_1 = M$ અને $M_2 = 2M$ છે. તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 10R$ છે. $m = \frac{M}{10}$ દળનો કણ મધ્યબિંદુથી ફેંકવામાં આવે છે,જે $M_1$ થી $r_1 = 5R$ અને $M_2$ થી $r_2 = 5R$ અંતરે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મધ્યબિંદુ પરની કુલ ઉર્જા અનંત પરની કુલ ઉર્જા (જ્યાં સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જા શૂન્ય છે) જેટલી હોવી જોઈએ.
પ્રારંભિક ઉર્જા $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GM_1m}{r_1} - \frac{GM_2m}{r_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $E_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{5R} - \frac{G(2M)m}{5R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{3GMm}{5R}$.
અંતિમ ઉર્જા $E_f = 0$.
$E_i = E_f$ લેતા: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{3GMm}{5R}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v^2 = \frac{6GM}{5R}$,તેથી $v = \sqrt{\frac{6GM}{5R}}$.

(C) ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગ અને કક્ષીય વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $v_e = \sqrt{2} v_0$ છે.
મુક્ત થવા માટે જરૂરી વધારાનો વેગ $\Delta v = v_e - v_0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta v = \sqrt{2} v_0 - v_0 = v_0(\sqrt{2} - 1)$.
આપેલ છે કે $v_0 = 10 \ km/s$ અને $\sqrt{2} \approx 1.414$,તેથી:
$\Delta v = 10 \times (1.414 - 1) = 10 \times 0.414 = 4.14 \ km/s$.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે $M_e$ અને $R_e$ એ પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે,અને $M_p$ અને $R_p$ એ ગ્રહનું દળ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $M_p = \frac{M_e}{2}$ અને $R_p = \frac{R_e}{4}$.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{M_e/2}{M_e} \times \frac{R_e}{R_e/4}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times 4} = \sqrt{2}$.
તેથી,$v_p = v_e \times \sqrt{2} = 11 \times 1.414 = 15.55 \ km \ s^{-1}$.

(B) પ્રક્ષેપણ વેગ $v = \frac{3}{4} v_e$ છે,જ્યાં $v_e = \sqrt{2gR}$ એ નિષ્ક્રમણ વેગ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2}m(\frac{9}{16} \cdot \frac{2GM}{R}) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{9GMm}{16R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{7GMm}{16R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{7}{16R} = \frac{1}{R+h}$
$16R = 7(R+h) = 7R + 7h$
$7h = 9R$
$h = \frac{9}{7}R$

(D) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા અનંત અંતરે રહેલી કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f}$
આપેલ પ્રારંભિક વેગ $v_{i} = 2 v_{e}$,જ્યાં $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R_{E}}}$ એ નિષ્ક્રમણ વેગ છે.
સપાટી પર: $K_{i} = \frac{1}{2} m(2 v_{e})^2 = 2 m v_{e}^2$ અને $U_{i} = -\frac{GMm}{R_{E}} = -m v_{e}^2$.
અનંત અંતરે: $U_{f} = 0$ અને $K_{f} = \frac{1}{2} m v^2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$2 m v_{e}^2 - m v_{e}^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$m v_{e}^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$v^2 = 2 v_{e}^2$
$v = \sqrt{2} v_{e}$

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા અનંત અંતરે રહેલી કુલ ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ.
ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે અને પૃથ્વીનું દળ $M$ છે.
પ્રારંભિક ઝડપ $v = \sqrt{5} V_{e}$ છે, જ્યાં $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
કુલ પ્રારંભિક ઉર્જા $E_{i} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
$v = \sqrt{5} V_{e}$ મૂકતા, આપણને મળે $E_{i} = \frac{1}{2}m(5 V_{e}^2) - \frac{GMm}{R} = \frac{5}{2}m(\frac{2GM}{R}) - \frac{GMm}{R} = \frac{5GMm}{R} - \frac{GMm}{R} = \frac{4GMm}{R}$.
અનંત અંતરે, સ્થિતિ ઉર્જા $0$ છે. ધારો કે અંતિમ ઝડપ $v_{f}$ છે.
કુલ અંતિમ ઉર્જા $E_{f} = \frac{1}{2}mv_{f}^2 + 0$.
$E_{i} = E_{f}$ સરખાવતા, આપણને મળે $\frac{4GMm}{R} = \frac{1}{2}mv_{f}^2$.
$v_{f}^2 = \frac{8GM}{R} = 4 \times (\frac{2GM}{R}) = 4 V_{e}^2$.
તેથી, $v_{f} = 2 V_{e}$.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અનંત અંતરે ઉલ્કાપિંડની કુલ ઉર્જા અને પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા સમાન હોય છે.
અનંત અંતરે સ્થિતિ ઉર્જા $0$ છે અને ગતિ ઉર્જા $\frac{1}{2}mv^2$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર સ્થિતિ ઉર્જા $-\frac{GMm}{R}$ છે અને ગતિ ઉર્જા $\frac{1}{2}mv_f^2$ છે,જ્યાં $v_f$ એ અંતિમ ઝડપ છે.
તેથી,$\frac{1}{2}mv^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{GMm}{R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,જેનો અર્થ છે કે $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$,અથવા $\frac{GM}{R} = \frac{v_e^2}{2}$.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - m(\frac{v_e^2}{2})$.
$\frac{m}{2}$ વડે ભાગતા આપણને $v^2 = v_f^2 - v_e^2$ મળે છે.
તેથી,$v_f^2 = v^2 + v_e^2$,જેનો અર્થ છે કે $v_f = \sqrt{v^2 + v_e^2}$.

(C) ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \sqrt{2gR}$.
આપેલ છે કે બે ગ્રહોની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = r$ છે.
આપેલ છે કે બે ગ્રહો પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_1}{g_2} = x$ છે.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{2g_1R_1}{2g_2R_2}} = \sqrt{\left(\frac{g_1}{g_2}\right) \left(\frac{R_1}{R_2}\right)}$.
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{x \cdot r} = \sqrt{rx}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(A) $M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની સપાટીની નજીક પદાર્થનો કક્ષીય વેગ $(v_o)$ નીચે મુજબ છે: $v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$.
તે જ ગ્રહની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ નીચે મુજબ છે: $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$.
કક્ષીય વેગ અને નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર: $\frac{v_o}{v_e} = \frac{\sqrt{\frac{GM}{r}}}{\sqrt{\frac{2GM}{r}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ રોકેટ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા = $h$ ઊંચાઈ પરની કુલ ઉર્જા
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mu^2 = -\frac{GMm}{R+h} + 0$
$m$ વડે ભાગતા અને $GM = gR^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-\frac{gR^2}{R} + \frac{1}{2}u^2 = -\frac{gR^2}{R+h}$
$-gR + \frac{1}{2}u^2 = -\frac{gR^2}{R+h}$
અહીં $u = 4000 \ m/s$, $R = 6.4 \times 10^6 \ m$, અને $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે:
$-(10)(6.4 \times 10^6) + \frac{1}{2}(4000)^2 = -\frac{10 \times (6.4 \times 10^6)^2}{6.4 \times 10^6 + h}$
$-6.4 \times 10^7 + 8 \times 10^6 = -\frac{4.096 \times 10^{14}}{6.4 \times 10^6 + h}$
$-5.6 \times 10^7 = -\frac{4.096 \times 10^{14}}{6.4 \times 10^6 + h}$
$6.4 \times 10^6 + h = \frac{4.096 \times 10^{14}}{5.6 \times 10^7} = 0.7314 \times 10^7 = 7.314 \times 10^6 \ m$
$h = 7.314 \times 10^6 - 6.4 \times 10^6 = 0.914 \times 10^6 \ m = 914 \ km$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $914.28 \ km$ છે.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ પૃથ્વીથી દૂરના બિંદુ પરની કુલ ઉર્જા (જ્યાં સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય છે) જેટલી હોવી જોઈએ.
ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે અને પૃથ્વીનું દળ $M$ છે.
નિષ્ક્રમણ ઝડપ $V_0 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે. તેથી,$V_0^2 = \frac{2GM}{R}$.
સપાટી પર: $E_i = \frac{1}{2} m(5V_0)^2 - \frac{GMm}{R}$.
દૂરના અંતરે: $E_f = \frac{1}{2} mV^2 + 0$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} m(25V_0^2) - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2} mV^2$.
$\frac{GM}{R} = \frac{V_0^2}{2}$ મૂકતા:
$\frac{25}{2} mV_0^2 - m(\frac{V_0^2}{2}) = \frac{1}{2} mV^2$.
$12 mV_0^2 = \frac{1}{2} mV^2$.
$V^2 = 24 V_0^2$.
$V = \sqrt{24} V_0 = 2\sqrt{6} V_0$.

(A) કોઈ ગ્રહ પર પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
આના પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_e \propto \sqrt{\frac{M}{R}}$.
ધારો કે $M_1$ અને $R_1$ એ પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે, અને $M_2$ અને $R_2$ એ બીજા ગ્રહનું દળ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $M_2 = 8M_1$ અને $R_2 = 2R_1$.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{(v_e)_1}{(v_e)_2} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2} \times \frac{R_2}{R_1}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{11.2}{(v_e)_2} = \sqrt{\frac{M_1}{8M_1} \times \frac{2R_1}{R_1}}$
$\frac{11.2}{(v_e)_2} = \sqrt{\frac{1}{8} \times 2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
$(v_e)_2 = 2 \times 11.2 = 22.4 \text{ km/s}$.

(C) ગ્રહની સપાટી પરથી કણનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,આપણને $GM = gR^2$ મળે છે. તેથી,$v_e = \sqrt{2gR}$.
ધ્રુવો પર,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_P = g$ છે (જ્યાં $g$ એ પરિભ્રમણ વગરનો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે).
વિષુવવૃત્ત પર,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_E = g - \omega^2 R$ છે,જ્યાં $\omega$ એ ગ્રહનો કોણીય વેગ છે.
આપેલ છે કે $g_E = \frac{1}{3} g_P$,તેથી $g_E = \frac{1}{3} g_P \implies g_P = 3g_E$.
વિષુવવૃત્ત પરના બિંદુની ઝડપ $v = \omega R$ છે. વિષુવવૃત્ત પર નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e,E} = \sqrt{2g_E R}$ છે.
ધ્રુવ પર નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e,P} = \sqrt{2g_P R}$ છે.
$g_P = 3g_E$ મૂકતા,આપણને $v_{e,P} = \sqrt{2(3g_E)R} = \sqrt{3} \sqrt{2g_E R}$ મળે છે.
પ્રશ્નમાં વિષુવવૃત્ત પરના બિંદુની ઝડપ $v$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,ધ્રુવ પર નિષ્ક્રમણ વેગ $\sqrt{3}v$ થાય છે.

(B) ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$v_e^2 = \frac{2GM}{R}$
ત્રિજ્યા $R$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$R = \frac{2GM}{v_e^2}$
આપેલ કિંમતો:
$M = 6.4 \times 10^{23} \ kg$
$v_e = 8 \times 10^4 \ m/s$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$R = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{(8 \times 10^4)^2}$
$R = \frac{85.376 \times 10^{12}}{64 \times 10^8}$
$R = 1.334 \times 10^4 \ m \approx 13.3 \times 10^3 \ m = 13.3 \ km$
આપેલા વિકલ્પોમાં વપરાયેલ અંદાજને ધ્યાનમાં લેતા,સૌથી નજીકની કિંમત $13.2 \ km$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2gR}$ છે.
આપેલ પ્રારંભિક મૂલ્યો: $g = 10 \ m/s^2$ અને $R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$.
પ્રારંભિક નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{2 \times 10 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{128 \times 10^6} \approx 11.3 \times 10^3 \ m/s = 11.3 \ km/s$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g' = 2g$ અને નવી ત્રિજ્યા $R' = R/2$ છે.
નવો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_e' = \sqrt{2g'R'} = \sqrt{2(2g)(R/2)} = \sqrt{2gR} = v_e$.
તેથી,નવો નિષ્ક્રમણ વેગ પ્રારંભિક મૂલ્ય જેટલો જ રહે છે,જે આશરે $11.3 \ km/s$ છે,જેને $12 \ km/s$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પર: $E_i = K + U = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર: $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
આપેલ છે કે $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2}m \left(\frac{GM}{2R}\right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = \frac{R}{3}$

(D) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા અને અનંત અંતરે રહેલી કુલ ઉર્જા સમાન હોવી જોઈએ.
ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે અને પૃથ્વીનું દળ $M$ છે.
સપાટી પર: $E_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_e^2$ (કારણ કે $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$).
અનંત અંતરે: $E_f = \frac{1}{2}mv'^2 - 0 = \frac{1}{2}mv'^2$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{1}{2}mv'^2$.
આમ,$v'^2 = v^2 - v_e^2$.
આપેલ છે કે $v = \sqrt{5}v_e$,તેથી $v'^2 = (\sqrt{5}v_e)^2 - v_e^2 = 5v_e^2 - v_e^2 = 4v_e^2$.
તેથી,$v' = \sqrt{4v_e^2} = 2v_e$.

(C) ગ્રહની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^{2}}$ હોવાથી,$v_{e} = \sqrt{2gR}$ થાય.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^{2}} = \frac{G}{R^{2}} \cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}\rho = \frac{4}{3}G\pi R\rho$ છે.
આમ,ત્રિજ્યા $R$ એ $\frac{g}{\rho}$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $R \propto \frac{g}{\rho}$.
આ કિંમત $v_{e}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{e} = \sqrt{2g \cdot \left(\frac{3g}{4\pi G\rho}\right)} = \sqrt{\frac{3g^{2}}{2\pi G\rho}} \propto \frac{g}{\sqrt{\rho}}$.
આપેલ છે કે $\frac{g_{1}}{g_{2}} = \frac{5}{2}$ અને $\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} = \frac{2}{1}$,તેથી નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{g_{1}}{g_{2}} \cdot \sqrt{\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}} = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $5:2\sqrt{2}$ છે.

(D) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ અનંત અંતરે (જ્યાં સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે) કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2} m(\sqrt{3} v_e)^2 - \frac{GMm}{R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,તેથી $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{GM}{R} = \frac{v_e^2}{2}$.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $E_i = \frac{1}{2} m(3 v_e^2) - m(\frac{v_e^2}{2}) = \frac{3}{2} m v_e^2 - \frac{1}{2} m v_e^2 = m v_e^2$.
ખૂબ મોટા અંતરે,સ્થિતિ ઉર્જા $0$ હોય છે,તેથી અંતિમ ઉર્જા $E_f = \frac{1}{2} m v^2$ થાય.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા: $m v_e^2 = \frac{1}{2} m v^2$.
$v^2 = 2 v_e^2 \implies v = \sqrt{2} v_e$.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે. દળ $M = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^{3}$ મૂકતા,આપણને મળે $V_{e} = \sqrt{\frac{2G \times \rho \times 4\pi R^{3}}{3R}} = R \sqrt{\frac{8\pi G \rho}{3}}$.
આમ,$V_{e} \propto R\sqrt{\rho}$.
આપેલ છે કે ગ્રહ $B$ માટે,$\rho_{B} = 0.1 \rho_{A}$ અને $R_{B} = 0.1 R_{A}$.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{(V_{e})_{B}}{(V_{e})_{A}} = \frac{R_{B}}{R_{A}} \times \sqrt{\frac{\rho_{B}}{\rho_{A}}} = (0.1) \times \sqrt{0.1} = \frac{1}{10} \times \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{1}{10\sqrt{10}}$.
આપેલ છે $(V_{e})_{A} = 10 \ km/s = 10000 \ m/s$.
તેથી,$(V_{e})_{B} = 10000 \times \frac{1}{10\sqrt{10}} = \frac{1000}{\sqrt{10}} = 100\sqrt{10} \ m/s$.

(A) અનંત અંતરેથી પૃથ્વીની સપાટી પર પડતા પદાર્થનો વેગ એ નિષ્ક્રમણ વેગ જેટલો હોય છે,$v_e = \sqrt{2gR}$.
અહીં $g = 9.8\text{ m/s}^2$ અને $R = 6400\text{ km} = 6.4 \times 10^6\text{ m}$ આપેલ છે.
$v_e = \sqrt{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{125.44 \times 10^6} = 11.2 \times 10^3\text{ m/s} = 11.2\text{ km/s}$.
ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$m = 1\text{ kg}$ અને $v = 11.2 \times 10^3\text{ m/s}$ મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} \times 1 \times (11.2 \times 10^3)^2 = 0.5 \times 125.44 \times 10^6 = 62.72 \times 10^6\text{ J} = 6.27 \times 10^7\text{ J}$.