Escape Velocity and Escape Energy Questions in Gujarati

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{2gR}$ છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = K$ અને ગુરુત્વપ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_1}{g_2} = g$ છે.
તેમના નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{g_1}{g_2} \times \frac{R_1}{R_2}}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{g \times K} = (Kg)^{1/2}$ મળે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: ${v_e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$.
$R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: ${v_o} = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR}$.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
${v_e} = \sqrt{2} \times \sqrt{gR}$
${v_e} = \sqrt{2} {v_o}$.
તેથી,સાચો સંબંધ $\sqrt{2} {v_o} = {v_e}$ છે.

(A) કોઈ ગ્રહની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ અભિવ્યક્તિ માત્ર ગ્રહના દળ $(M)$ અને ગ્રહની ત્રિજ્યા $(R)$ પર આધાર રાખે છે.
તે પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવતા પદાર્થના દળ અને પ્રક્ષેપણના ખૂણાથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,ઉપગ્રહને ગમે તે ખૂણે પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે,નિષ્ક્રમણ વેગ $11 \ km/s$ જેટલો જ અચળ રહે છે.

(A) $M$ દળ ધરાવતી પૃથ્વીની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ છે અને ગતિઊર્જા $E_k = \frac{GMm}{2r}$ છે.
ઉપગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E = E_k + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r} = -E_k$ થાય.
અવકાશમાં મુક્ત થવા માટે,ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા ઓછામાં ઓછી $0$ થવી જોઈએ.
ધારો કે જરૂરી વધારાની ગતિઊર્જા $\Delta E$ છે. તેથી,$E + \Delta E = 0$.
$E$ ની કિંમત મૂકતા,$-E_k + \Delta E = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta E = E_k$.
આમ,ઉપગ્રહને $E_k$ જેટલી વધારાની ગતિઊર્જા આપવી જોઈએ.

(C) $r$ ત્રિજ્યા અને $m$ દળ ધરાવતા ગોળાકાર પદાર્થની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર: $v_e = \sqrt{\frac{2Gm}{r}}$ છે.
કોઈ પદાર્થ બ્લેક હોલ બને તે માટે,પ્રકાશ પણ તેના ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાંથી છટકી શકવો જોઈએ નહીં.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગ પ્રકાશની ઝડપ $c$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
આમ,શરત $\sqrt{\frac{2Gm}{r}} \ge c$ અથવા $(2Gm/r)^{1/2} \ge c$ થાય છે.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ સપાટીથી $h$ મહત્તમ ઊંચાઈ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા = $-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m(kv_e)^2$
મહત્તમ ઊંચાઈ પરની કુલ ઉર્જા = $-\frac{GMm}{R+h} + 0$
અહીં $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ હોવાથી,$v_e^2 = \frac{2GM}{R}$ થાય.
ઉર્જાને સરખાવતા: $-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m k^2 \left(\frac{2GM}{R}\right) = -\frac{GMm}{R+h}$
$GMm$ વડે ભાગતા: $-\frac{1}{R} + \frac{k^2}{R} = -\frac{1}{R+h}$
$\frac{k^2 - 1}{R} = -\frac{1}{R+h} \implies \frac{1 - k^2}{R} = \frac{1}{R+h}$
$R+h = \frac{R}{1 - k^2}$
આમ,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R+h = \frac{R}{1 - k^2}$ થાય.

(B) કોઈપણ ગ્રહ કે ઉપગ્રહનું વાતાવરણ તેના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે ટકી રહે છે. વાયુના અણુઓને જાળવી રાખવા માટે,તેમનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ $(v_{rms})$ તે અવકાશી પદાર્થના નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ કરતા ઘણો ઓછો હોવો જોઈએ. ચંદ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ ખૂબ ઓછો છે,જેના પરિણામે નિષ્ક્રમણ વેગ ખૂબ જ ઓછો (આશરે $2.38 \ km/s$) મળે છે. ચંદ્રની સપાટીના તાપમાને વાયુના અણુઓનો ઉષ્મીય વેગ આ નિષ્ક્રમણ વેગ કરતા વધારે હોય છે. પરિણામે,વાયુના અણુઓ અવકાશમાં પલાયન કરી જાય છે,જેના કારણે વાતાવરણ બની શકતું નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $h$ ઊંચાઈ સુધી કૂદવા માટે જરૂરી વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણમાંથી છટકી જવા માટે,છોકરાનો કૂદવાનો વેગ ગ્રહના નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ જેટલો હોવો જોઈએ.
નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
દળ $M = \frac{4}{3}\pi R^3 d$ મૂકતા,$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 d} = \sqrt{\frac{8}{3}\pi G R^2 d} = R \sqrt{\frac{8}{3}\pi Gd}$ મળે.
$v = v_e$ ને સરખાવતા,$\sqrt{2gh} = R \sqrt{\frac{8}{3}\pi Gd}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2gh = R^2 (\frac{8}{3}\pi Gd)$.
$R^2$ માટે ઉકેલતા: $R^2 = \frac{2gh \cdot 3}{8\pi Gd} = \frac{3gh}{4\pi Gd}$.
તેથી,$R = [\frac{3}{4\pi} \frac{gh}{Gd}]^{1/2}$.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે નિષ્ક્રમણ વેગ માત્ર ગ્રહના દળ $(M)$ અને ગ્રહની ત્રિજ્યા $(R)$ પર આધાર રાખે છે.
તે ફેંકવાના ખૂણા અથવા પદાર્થના દળ પર આધારિત નથી.
તેથી,જો પદાર્થને શિરોલંબ સાથે $60^\circ$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે તો પણ,નિષ્ક્રમણ વેગ શિરોલંબ નિષ્ક્રમણ વેગ જેટલો જ રહે છે.
આમ,નિષ્ક્રમણ વેગ $11 \, km/s$ છે.

(A) નિષ્ક્રમણ ઝડપનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
કારણ કે $M = \rho V = \rho (\frac{4}{3}\pi R^3)$,આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_e = \sqrt{\frac{2G(\frac{4}{3}\pi \rho R^3)}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3}\pi \rho G R^2} = R \sqrt{\frac{8}{3}\pi \rho G}$.
અહીં ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી,$v_e \propto R$ મળે છે.
ધારો કે $v_{e1} = 11 \ km/s$ અને $R_1 = R$. નવા ગ્રહ માટે,$R_2 = 2R$.
તેથી,$\frac{v_{e2}}{v_{e1}} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{2R}{R} = 2$.
$v_{e2} = 2 \times v_{e1} = 2 \times 11 \ km/s = 22 \ km/s$.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા અને સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ પહોંચ્યા પછીની કુલ ઉર્જા સમાન હોય છે.
સપાટી પરની પ્રારંભિક ઉર્જા: $E_i = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m(k{v_e})^2$
મહત્તમ ઊંચાઈ પરની અંતિમ ઉર્જા: $E_f = -\frac{GMm}{R+h}$
આપણે જાણીએ છીએ કે ${v_e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,તેથી ${v_e}^2 = \frac{2GM}{R}$.
$E_i = E_f$ લેતા:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m k^2 \left(\frac{2GM}{R}\right) = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{GMm k^2}{R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{1}{R}(1 - k^2) = -\frac{1}{R+h}$
$R+h = \frac{R}{1-k^2}$
આમ,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી મહત્તમ અંતર $r = R+h = \frac{R}{1-k^2}$ થશે.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{R_e + h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R_e^2}$,તેથી $GM = gR_e^2$.
આ કિંમત સ્થિતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $U = -\frac{gR_e^2 m}{R_e + h} = -\frac{mgR_e}{1 + h/R_e}$.
અહીં $h = 4R_e$ આપેલ છે,તેથી સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{mgR_e}{1 + 4} = -\frac{mgR_e}{5}$ થાય.
નિષ્ક્રમણ ઊર્જા એ પદાર્થને અનંત અંતરે (જ્યાં સ્થિતિઊર્જા $0$ હોય છે) લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા છે,જે $E = 0 - U = \frac{mgR_e}{5}$ થાય.

(B) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V_s = -\frac{GM}{R}$ છે.
ગ્રહના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V_c = -\frac{3GM}{2R}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા મેળવેલી ગતિ ઉર્જા એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થયેલા ઘટાડા જેટલી હોય છે: $\frac{1}{2}mv^2 = m(V_s - V_c)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2}mv^2 = m\left(-\frac{GM}{R} - (-\frac{3GM}{2R})\right)$.
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{3GM}{2R} - \frac{GM}{R} = \frac{GM}{2R}$.
$v^2 = \frac{GM}{R}$.
નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ હોવાથી,$v_e^2 = \frac{2GM}{R}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{GM}{R} = \frac{v_e^2}{2}$.
તેથી,$v^2 = \frac{v_e^2}{2}$,જે આપણને $v = \frac{v_e}{\sqrt{2}}$ આપે છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈ પર રહેલા પદાર્થ માટે,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = 2R$ થાય છે.
આ અંતરથી પલાયન કરવા માટે જરૂરી કુલ ઉર્જા શૂન્ય હોવી જોઈએ:
$-\frac{GMm}{2R} + \frac{1}{2}m(fv)^2 = 0$.
$R$ ઊંચાઈ પર નિષ્ક્રમણ વેગ $(v')$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{GMm}{2R} \Rightarrow v' = \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
કારણ કે $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,આપણે લખી શકીએ $v' = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
આપેલ છે કે પ્લેટફોર્મ પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $fv$ છે,તેથી $fv = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$f = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) કણ પૃથ્વી પર પાછો ન આવે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અનંત અંતરે તેની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ。
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$E_{initial} = E_{final}$
$\frac{1}{2}mu^2 - \frac{GMm}{R} = 0 + 0$
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{GMm}{R}$
$u^2 = \frac{2GM}{R}$
$u = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
અહીં $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી, આપણે $u = \sqrt{2gR}$ પણ લખી શકીએ છીએ।

(D) પૃથ્વીની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \quad ...(i)$
જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ નીચે મુજબ છે:
$v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે $v_e$ ના સમીકરણમાં $\sqrt{\frac{GM}{R}}$ ની જગ્યાએ $v_0$ મૂકી શકીએ છીએ:
$v_e = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{GM}{R}}$
$v_e = \sqrt{2} v_0$

(C) કોઈપણ પદાર્થ બ્લેક હોલ બને તે માટે તેનો નિષ્ક્રમણ વેગ પ્રકાશની ગતિ $(c)$ જેટલો હોવો જોઈએ.
નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
$v_{esc} = c$ લેતા,$c = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{2GM}{c^2}$.
અહીં $G = 6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2/kg^2$,$M = 5.98 \times 10^{24} \, kg$,અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ છે:
$R = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24}}{(3 \times 10^8)^2}$
$R = \frac{79.77 \times 10^{13}}{9 \times 10^{16}}$
$R \approx 8.86 \times 10^{-3} \, m \approx 10^{-2} \, m$.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
દળ $M = \rho \times V = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ હોવાથી,આપણે તેને સૂત્રમાં મૂકીએ:
$v = \sqrt{\frac{2G}{R} \times \frac{4}{3}\pi R^3 \rho} = R \sqrt{\frac{8\pi G \rho}{3}}$.
આમ,નિષ્ક્રમણ વેગ $R\sqrt{\rho}$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $v \propto R\sqrt{\rho}$.
ગ્રહ માટે આપેલ છે: $R_p = 2R_e$ અને $\rho_p = 2\rho_e$.
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{v_e}{v_p} = \frac{R_e}{R_p} \times \sqrt{\frac{\rho_e}{\rho_p}} = \frac{R_e}{2R_e} \times \sqrt{\frac{\rho_e}{2\rho_e}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 2\sqrt{2}$ છે.

(D) કોઈપણ ગ્રહ કે ઉપગ્રહનું વાતાવરણ ત્યારે જ ટકી શકે જો તેનો નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ ત્યાં હાજર વાયુના અણુઓના રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(v_{rms})$ કરતા ઘણો વધારે હોય.
ચંદ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ ખૂબ જ ઓછો છે,જેના પરિણામે નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e \approx 2.38 \ km/s)$ ઓછો હોય છે.
ચંદ્રની સપાટીના તાપમાને,વાયુના અણુઓનો ($O_2$,$N_2$ વગેરે) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(v_{rms})$ આ નિષ્ક્રમણ વેગ કરતા વધારે હોય છે.
પરિણામે,વાયુના અણુઓ સરળતાથી ચંદ્રના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને પાર કરીને અવકાશમાં પલાયન કરી જાય છે.
તેથી,સાચું કારણ એ છે કે ચંદ્ર પર વાયુના અણુઓનો નિષ્ક્રમણ વેગ તેમના રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ કરતા ઓછો છે.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2gR}$ છે.
તેથી,પૃથ્વી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ અને ચંદ્ર પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_m)$ નો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{v_e}{v_m} = \sqrt{\frac{g_e}{g_m} \times \frac{R_e}{R_m}}$
અહીં $\frac{R_e}{R_m} = 10$ અને $\frac{g_e}{g_m} = 6$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_e}{v_m} = \sqrt{6 \times 10} = \sqrt{60}$
કારણ કે $\sqrt{60} \approx 7.74$,તેથી ગુણોત્તર આશરે $8$ થાય છે.

(B) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહ/ચંદ્રનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
ચંદ્રનું દળ $(M_m \approx 7.35 \times 10^{22} \ kg)$ પૃથ્વીના દળ $(M_e \approx 5.97 \times 10^{24} \ kg)$ કરતા ઘણું ઓછું છે અને તેની ત્રિજ્યા $(R_m \approx 1.74 \times 10^6 \ m)$ પણ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R_e \approx 6.37 \times 10^6 \ m)$ કરતા ઓછી છે,તેથી ચંદ્ર માટે $\frac{M}{R}$ નો ગુણોત્તર પૃથ્વી કરતા ઘણો ઓછો છે.
પરિણામે,ચંદ્રની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ આશરે $2.38 \ km/s$ છે,જે પૃથ્વીના નિષ્ક્રમણ વેગ આશરે $11.2 \ km/s$ કરતા ઘણો ઓછો છે.
તેથી,સાચું કારણ એ છે કે ચંદ્રનું દળ અને ત્રિજ્યા પૃથ્વીની તુલનામાં તેની સપાટી પર ઓછું ગુરુત્વાકર્ષણ પોટેન્શિયલ ઉત્પન્ન કરે છે.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2gR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{R_A}{R_B} = r$ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_A}{g_B} = x$ છે.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{2g_A R_A}{2g_B R_B}} = \sqrt{\frac{g_A}{g_B} \times \frac{R_A}{R_B}}$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{x \times r} = \sqrt{rx}$ મળે છે.

(A) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g_e)$ અને ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g_p)$ વચ્ચેનો સંબંધ: $g_e = g_p - R\omega^2$ છે.
આપેલ છે કે $g_e = g_p / 2$,તેથી: $g_p / 2 = g_p - R\omega^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $R\omega^2 = g_p / 2$ મળે.
વિષુવવૃત્ત પરના બિંદુનો વેગ $V = R\omega$ હોવાથી,$V^2 = R^2\omega^2 = R(R\omega^2) = R(g_p / 2)$ થાય.
આમ,$V^2 = g_p R / 2$,જેનો અર્થ છે કે $g_p R = 2V^2$.
નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e$ નું સૂત્ર: $V_e = \sqrt{2g_p R}$ છે.
$g_p R = 2V^2$ ની કિંમત નિષ્ક્રમણ વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$V_e = \sqrt{2(2V^2)} = \sqrt{4V^2} = 2V$.

(A) ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e$ એ સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ગ્રહો માટે ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી,આપણે દળ $M$ ને $M = \rho \times \text{Volume} = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને નિષ્ક્રમણ વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$V_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho} = \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho} \times R$.
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે ઘનતા $\rho$ અચળ હોય ત્યારે $V_e \propto R$ થાય છે.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \frac{R_A}{R_B}$ થશે.
આપેલ છે કે $R_A = 2R_B$,તેથી $\frac{V_A}{V_B} = \frac{2R_B}{R_B} = 2$.

(D) અનંત અંતરેથી પૃથ્વીની સપાટી પર પડતા દડા $A$ માટે,પૃથ્વીની સપાટી પર પહોંચતી વખતે તેનો વેગ $v_A$ એ નિષ્ક્રમણ વેગ જેટલો હોય છે:
$v_A = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
$h = 6R$ ઊંચાઈએથી પડતા દડા $B$ માટે,ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{GMm}{R+h} = 0 - \frac{GMm}{R}$
$\frac{1}{2}v_B^2 = GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{7R} \right) = GM \left( \frac{6}{7R} \right)$
$v_B = \sqrt{\frac{12GM}{7R}}$
હવે,$A$ અને $B$ ના વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{\sqrt{\frac{2GM}{R}}}{\sqrt{\frac{12GM}{7R}}} = \sqrt{\frac{2GM}{R} \times \frac{7R}{12GM}} = \sqrt{\frac{14}{12}} = \sqrt{\frac{7}{6}}$
આમ,$A$ અને $B$ ના વેગનો ગુણોત્તર $\sqrt{\frac{7}{6}}$ છે.

(C) ધારો કે $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $M$ તેનું દળ છે. સપાટી પર નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 11.2 \ km/s$ છે.
જ્યારે રોકેટ $h = \frac{R}{4}$ ઊંચાઈ પર હોય,ત્યારે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી તેનું અંતર $r = R + h = R + \frac{R}{4} = \frac{5R}{4}$ થાય.
આ બિંદુએથી પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણમાંથી મુક્ત થવા માટે,રોકેટ પાસે એવો વેગ $v'$ હોવો જોઈએ કે જેથી તેની કુલ ઉર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોય.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2}mv'^2 - \frac{GMm}{r} = 0$.
$v' = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{\frac{2GM}{5R/4}} = \sqrt{\frac{8GM}{5R}} = \sqrt{\frac{4}{5}} \times \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
$v_e = 11.2 \ km/s$ મૂકતા:
$v' = \sqrt{0.8} \times 11.2 \approx 0.8944 \times 11.2 \approx 10.02 \ km/s$.
આમ,લઘુત્તમ વેગ આશરે $10 \ km/s$ છે.

(B) ગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ કેન્દ્ર પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V_S = -\frac{GM}{R}$ છે.
કેન્દ્ર પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V_C = -\frac{3GM}{2R}$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = ગતિ ઉર્જામાં વધારો:
$m(V_S - V_C) = \frac{1}{2}mv^2$
$m\left(-\frac{GM}{R} - (-\frac{3GM}{2R})\right) = \frac{1}{2}mv^2$
$m\left(\frac{3GM}{2R} - \frac{2GM}{2R}\right) = \frac{1}{2}mv^2$
$\frac{GM}{2R} = \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = \frac{GM}{R}$
કારણ કે $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$,તેથી $\frac{GM}{R} = \frac{v_e^2}{2}$ થાય.
તેથી,$v^2 = \frac{v_e^2}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{v_e}{\sqrt{2}}$.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા $M_e$ અને $R_e$ છે,અને ગ્રહનું દળ અને ત્રિજ્યા $M_p$ અને $R_p$ છે.
આપેલ છે: $M_p = 10 M_e$ અને $R_p = \frac{R_e}{10}$.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{(v_e)_p}{(v_e)_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(v_e)_p}{(v_e)_e} = \sqrt{\frac{10 M_e}{M_e} \times \frac{R_e}{R_e/10}} = \sqrt{10 \times 10} = \sqrt{100} = 10$.
તેથી,$(v_e)_p = 10 \times (v_e)_e = 10 \times 11 \ km/s = 110 \ km/s$.

(A) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થને પૃથ્વીની સપાટી પરથી અનંત (મુક્ત અવકાશ) સુધી લોન્ચ કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ સપાટી પરની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે,જેનું સૂત્ર: $E = \frac{GMm}{R}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,આપણે $GM = gR^2$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $E = \frac{(gR^2)m}{R} = mgR$.
આપેલ મૂલ્યો: $m = 1000 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$.
ઉર્જાની ગણતરી કરતા: $E = 1000 \times 10 \times 6.4 \times 10^6 = 6.4 \times 10^{10} \ J$.

(D) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત કણનું દળ $m_0$ છે. દરેક સ્થિર દળ $m$ થી કણનું અંતર $l/2$ છે.
મધ્યબિંદુ પર કણ $m_0$ ની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નીચે મુજબ છે:
$U = -\frac{Gmm_0}{l/2} - \frac{Gmm_0}{l/2} = -\frac{2Gmm_0}{l} - \frac{2Gmm_0}{l} = -\frac{4Gmm_0}{l}$.
કણ અનંત અંતરે પલાયન કરી શકે તે માટે,તેની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ.
$E_{total} = KE + PE = 0$
$\frac{1}{2}m_0v^2 + U = 0$
$\frac{1}{2}m_0v^2 - \frac{4Gmm_0}{l} = 0$
$\frac{1}{2}m_0v^2 = \frac{4Gmm_0}{l}$
$v^2 = \frac{8Gm}{l}$
$v = \sqrt{\frac{8Gm}{l}} = 2\sqrt{\frac{2Gm}{l}}$.

(B) $m$ દળના કણની પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેના મધ્યબિંદુ પર સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$:
$U = -\left(\frac{GM_1 m}{d/2} + \frac{GM_2 m}{d/2}\right) = -\frac{2Gm(M_1 + M_2)}{d}$
જો કણની કુલ ઊર્જા શૂન્ય થાય તો તે પલાયન કરી શકશે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$U + K = 0$,જ્યાં $K$ એ ગતિ ઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2$ છે.
$-\frac{2Gm(M_1 + M_2)}{d} + \frac{1}{2}mv^2 = 0$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{2Gm(M_1 + M_2)}{d}$
$v^2 = \frac{4G(M_1 + M_2)}{d}$
$v = \sqrt{\frac{4G(M_1 + M_2)}{d}}$

(B) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2} = \frac{G}{R^2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \rho = \frac{4}{3} \pi G R \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_p}{g_e} = \frac{R_p \rho_p}{R_e \rho_e}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{g_p}{g_e} = \frac{\sqrt{6}}{11}$ અને $\frac{\rho_p}{\rho_e} = \frac{2}{3}$,તેથી $\frac{R_p}{R_e} = \frac{g_p}{g_e} \cdot \frac{\rho_e}{\rho_p} = \frac{\sqrt{6}}{11} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{22}$ મળે.
નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{2gR}$ છે.
તેથી,$\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{g_p R_p}{g_e R_e}} = \sqrt{\frac{g_p}{g_e} \cdot \frac{R_p}{R_e}} = \sqrt{\frac{\sqrt{6}}{11} \cdot \frac{3\sqrt{6}}{22}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 6}{11 \cdot 22}} = \sqrt{\frac{18}{242}} = \sqrt{\frac{9}{121}} = \frac{3}{11}$ થાય.
આપેલ $v_e = 11 \ km/s$ હોવાથી,$v_p = \frac{3}{11} \times 11 = 3 \ km/s$ મળે.

(B) અવકાશયાન પર લાગતા બળો પૃથ્વીને કારણે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને ચંદ્રને કારણે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે.
પૃથ્વીનું દળ $(M_E)$ ચંદ્રના દળ $(M_M)$ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી,પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે જરૂરી ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઉર્જા ચંદ્ર કરતા ઘણી વધારે હોય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,પૃથ્વી પરથી પલાયન વેગ આશરે $11.2 \ km/s$ છે,જ્યારે ચંદ્ર પરથી તે માત્ર $2.38 \ km/s$ જેટલો છે.
તેથી,પૃથ્વીની સપાટી પરથી ટેક-ઓફ કરતી વખતે ગુરુત્વાકર્ષણ બળને દૂર કરવા માટે અવકાશયાનને સૌથી વધુ ઉર્જાની જરૂર પડે છે.

(A) $M_1$ અને $M_2$ ની વચ્ચેના મધ્યબિંદુએ $m$ દળની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $U$ એ બંને દળોને કારણે ઉદ્ભવતી સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$U = -\frac{G M_1 m}{d/2} - \frac{G M_2 m}{d/2} = -\frac{2 G m}{d} (M_1 + M_2)$
સિસ્ટમમાંથી મુક્ત થવા માટે,કુલ ઊર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ. ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,આપવામાં આવેલી ગતિઊર્જા એ સ્થિતિઊર્જાના મૂલ્ય જેટલી હોવી જોઈએ:
$\frac{1}{2} m v_e^2 = |U| = \frac{2 G m}{d} (M_1 + M_2)$
નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ માટે ઉકેલતા:
$v_e^2 = \frac{4 G (M_1 + M_2)}{d}$
$v_e = \sqrt{\frac{4 G (M_1 + M_2)}{d}}$

(B) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v^2 = \frac{GM_e}{r}$.
$r$ અંતરે $m$ દળના પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GM_em}{r}$ છે.
પદાર્થ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાંથી મુક્ત થાય તે માટે,અનંત અંતરે તેની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા શૂન્ય હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે ઉત્સર્જનના બિંદુએ તેની કુલ ઊર્જા પણ શૂન્ય હોવી જોઈએ.
ધારો કે ઉત્સર્જન સમયે પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ છે.
કુલ ઊર્જા $E = K + U = 0$.
$K - \frac{GM_em}{r} = 0$.
$K = \frac{GM_em}{r}$.
$\frac{GM_e}{r} = v^2$ મૂકતા,આપણને $K = mv^2$ મળે છે.

(D) ધારો કે ઉલ્કાનું દળ $m$ છે. દરેક તારાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ થી અંતર $r = d/2 = (2\times10^{11} \ m)/2 = 1\times10^{11} \ m$ છે.
બંને તારાઓને કારણે બિંદુ $O$ પર ઉલ્કાની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{2GMm}{r}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી છૂટવા માટે,$O$ આગળ ઉલ્કાની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ. ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2}mv^2 + U = 0$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{2GMm}{r} = 0$
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{4GM}{r}$
$v = \sqrt{\frac{4 \times 6.67\times10^{-11} \times 3\times10^{31}}{1\times10^{11}}}$
$v = \sqrt{4 \times 6.67 \times 3 \times 10^9}$
$v = \sqrt{80.04 \times 10^9} = \sqrt{8.004 \times 10^{10}}$
$v \approx 2.83 \times 10^5 \ m/s$.

(B) ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા એ સપાટી પરના પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જાના મૂલ્ય જેટલી હોય છે: $E = \frac{GMm}{R}$.
આપેલ છે કે પૃથ્વી અને ચંદ્રની ઘનતા $\rho$ સમાન છે,તેથી $M = \rho V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$.
કારણ કે $V_e = 64 V_m$,તેથી $R_e^3 = 64 R_m^3$,જેનો અર્થ છે કે $R_e = 4 R_m$.
વળી,$M_e = \rho V_e = 64 \rho V_m = 64 M_m$.
જરૂરી ઉર્જા $E = \frac{GMm}{R}$ છે.
તેથી,$\frac{E_m}{E_e} = \frac{M_m}{M_e} \cdot \frac{R_e}{R_m} = \frac{1}{64} \cdot \frac{4}{1} = \frac{1}{16}$.
આમ,$E_m = \frac{E}{16}$.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$ છે.
અહીં,કણ પૃથ્વીની સપાટીથી $R$ અંતરે છે,તેથી પૃથ્વીના કેન્દ્રથી તેનું અંતર $r = R + R = 2R$ થશે.
સૂત્રમાં $r = 2R$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{2R}}$
$v_e = \sqrt{\frac{GM}{R}}$
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપ $\sqrt{\frac{GM}{R}}$ છે.

(B) અવકાશયાન પર લાગતા બળો પૃથ્વીને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણ ખેંચાણ અને ચંદ્રને કારણે ગુરુત્વાકર્ષણ ખેંચાણ છે.
પૃથ્વીનું દળ $(M_E)$ ચંદ્રના દળ $(M_M)$ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી,પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઉર્જા અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ચંદ્રની સપાટી કરતા ઘણા વધારે હોય છે.
પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રભાવમાંથી બહાર નીકળવા માટે,અવકાશયાનને ચંદ્રની સરખામણીમાં ઘણા મોટા ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ અવરોધને દૂર કરવો પડે છે.
તેથી,પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી ટેક-ઓફ કરવા માટે સૌથી વધુ ઉર્જાની જરૂર પડે છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થની કુલ ઊર્જા એ તેની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ અને ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નો સરવાળો છે.
$U = -\frac{GM_E m}{R}$
પદાર્થને અનંત અંતરે મોકલવા માટે,અંતિમ કુલ ઊર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $K.E. + U = 0$
$K.E. - \frac{GM_E m}{R} = 0$
$K.E. = \frac{GM_E m}{R}$
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM_E}{R^2}$ હોવાથી,આપણે $GM_E = gR^2$ લખી શકીએ.
આ કિંમત ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K.E. = \frac{(gR^2)m}{R} = mgR$

(D) પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
પૃથ્વીની સપાટીની નજીક વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_0$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$v_e = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{GM}{R}}$
$v_e = \sqrt{2} v_0$
આમ,સાચો સંબંધ $v_e = \sqrt{2} v_0$ છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈએ,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = R + R = 2R$ થાય.
આ ઊંચાઈએ નિષ્ક્રમણ વેગ $v'$ નું સૂત્ર $v' = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{\frac{2GM}{2R}}$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા,$v' = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2GM}{R}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ મળે.
$v_e$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $v' = \frac{v_e}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી પદાર્થનું અંતર $r = R + 2R = 3R$ છે.
આ અંતરે પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ નીચે મુજબ છે: $PE = -\frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{3R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$.
આ કિંમત સ્થિતિ ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $PE = -\frac{(gR^2)m}{3R} = -\frac{mgR}{3}$.
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી મુક્ત થવા માટે જરૂરી ઊર્જા એ સ્થિતિ ઊર્જાના મૂલ્ય જેટલી હોય છે,જે બંધન ઊર્જા છે: $E_{escape} = -PE = \frac{mgR}{3}$.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{R_e + h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h = 4R_e$ આપેલ છે,તેથી સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{R_e + 4R_e} = -\frac{GMm}{5R_e}$ થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R_e^2}$,તેથી $GM = gR_e^2$ થાય.
આ કિંમત $U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$U = -\frac{(gR_e^2)m}{5R_e} = -\frac{mgR_e}{5}$ મળે.
પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે,પદાર્થની કુલ ઊર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ. તેથી,જરૂરી ન્યૂનતમ ઊર્જા $E = -U = \frac{mgR_e}{5}$ થશે.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન ગોળાની અંદર $r = \frac{R}{2}$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = -\frac{GM}{2R^3} (3R^2 - r^2)$
$r = \frac{R}{2}$ મૂકતા:
$V = -\frac{GM}{2R^3} (3R^2 - \frac{R^2}{4}) = -\frac{GM}{2R^3} (\frac{11R^2}{4}) = -\frac{11GM}{8R}$
આ સ્થાન પર $m_0$ દળના કણની કુલ ઉર્જા $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}m_0 v_e^2 + m_0 V$ છે.
કણ પૃથ્વીમાંથી બહાર નીકળી જાય તે માટે,અનંત અંતરે અંતિમ કુલ ઉર્જા $E_f$ ઓછામાં ઓછી $0$ હોવી જોઈએ.
$E_i = E_f \implies \frac{1}{2}m_0 v_e^2 - \frac{11GMm_0}{8R} = 0$
$\frac{1}{2} v_e^2 = \frac{11GM}{8R}$
$v_e^2 = \frac{11GM}{4R}$
$v_e = \sqrt{\frac{11GM}{4R}}$

(A) ધારો કે પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા: $E_i = KE_i + PE_i = \frac{1}{2} m v_p^2 - \frac{GMm}{R}$,જ્યાં $v_p$ એ પ્રક્ષેપણ વેગ છે.
આપેલ છે કે પ્રક્ષેપણ વેગ એ નિષ્ક્રમણ વેગના અડધા છે: $v_p = \frac{1}{2} v_e = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
તેથી,$KE_i = \frac{1}{2} m (\frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}})^2 = \frac{1}{2} m (\frac{1}{4} \cdot \frac{2GM}{R}) = \frac{GMm}{4R}$.
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા: $E_i = \frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = -\frac{3GMm}{4R}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,વેગ શૂન્ય છે,તેથી $KE_f = 0$. સ્થિતિ ઉર્જા $PE_f = -\frac{GMm}{R+h}$ છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ ઉર્જાને સરખાવતા: $-\frac{3GMm}{4R} = -\frac{GMm}{R+h}$.
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h} \implies 3(R+h) = 4R \implies 3R + 3h = 4R \implies 3h = R \implies h = R/3$.

(D) નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e$ નું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ હોવાથી,આપણે $M$ ને સૂત્રમાં મૂકીએ:
$V_e = \sqrt{\frac{2G(\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3)}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho R^2} = R \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho}$.
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે ઘનતા $\rho$ અચળ હોય ત્યારે $V_e \propto R$ થાય.
આપેલ છે કે $R' = 2R$ અને $\rho' = \rho$,તેથી નવો નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e'$:
$\frac{V_e'}{V_e} = \frac{R'}{R} = \frac{2R}{R} = 2$.
તેથી,$V_e' = 2 \times V_e = 2 \times 11.2 \, km/s = 22.4 \, km/s$.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પરથી પલાયન વેગ $v_e = \sqrt{2gR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પદાર્થની પ્રારંભિક ઝડપ $v = 50\% \text{ of } v_e = \frac{v_e}{2} = \frac{\sqrt{2gR}}{2}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$.
$v = \frac{\sqrt{2gR}}{2}$ અને $GM = gR^2$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}m \left(\frac{2gR}{4}\right) - \frac{mgR^2}{R} = - \frac{mgR^2}{R+h}$.
$\frac{mgR}{4} - mgR = - \frac{mgR^2}{R+h}$.
$-\frac{3}{4}mgR = - \frac{mgR^2}{R+h}$.
$\frac{3}{4} = \frac{R}{R+h}$.
$3(R+h) = 4R \Rightarrow 3R + 3h = 4R \Rightarrow 3h = R \Rightarrow h = \frac{R}{3}$.

(B) ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_{0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે જરૂરી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e} = \sqrt{2} v_{0} \approx 1.414 v_{0}$ છે.
વેગમાં જરૂરી ટકાવારી વધારો શોધવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંક ફેરફારની ગણતરી કરીએ છીએ:
$\frac{\Delta v}{v_{0}} = \frac{v_{e} - v_{0}}{v_{0}} = \frac{1.414 v_{0} - v_{0}}{v_{0}} = 0.414$.
તેથી,જરૂરી ટકાવારી વધારો $0.414 \times 100 \% = 41.4 \%$ છે.

(D) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ રોકેટ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $r$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પર: $K_1 + U_1 = \frac{1}{2}m(kv_e)^2 - \frac{GMm}{R_e}$
મહત્તમ ઊંચાઈ $r$ પર: $K_2 + U_2 = 0 - \frac{GMm}{r}$ (કારણ કે મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ શૂન્ય હોય છે).
આપણે જાણીએ છીએ કે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R_e}}$,તેથી $v_e^2 = \frac{2GM}{R_e}$.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2}m k^2 (\frac{2GM}{R_e}) - \frac{GMm}{R_e} = - \frac{GMm}{r}$
$GMm$ વડે ભાગતા:
$\frac{k^2}{R_e} - \frac{1}{R_e} = - \frac{1}{r}$
$\frac{k^2 - 1}{R_e} = - \frac{1}{r}$
$\frac{1 - k^2}{R_e} = \frac{1}{r}$
તેથી,$r = \frac{R_e}{1 - k^2}$.