Pressure and Density (of Mixure) Questions in Hindi

(B) स्थिर तरल में $h$ गहराई पर दबाव का सूत्र $P = P_0 + \rho gh$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P_0$ सतह पर दबाव है,$\rho$ तरल का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
एक निरंतर स्थिर तरल में,समान क्षैतिज स्तर पर सभी बिंदुओं पर दबाव समान होता है।
चित्र को देखने पर,बिंदु $B$,$C$ और $D$ निरंतर पारे के स्तंभ में एक ही क्षैतिज स्तर पर स्थित हैं। इसलिए,इन बिंदुओं पर दबाव समान है: $P_B = P_C = P_D$।
बिंदु $A$ बिंदुओं $B$,$C$ और $D$ की तुलना में अधिक ऊँचाई पर स्थित है। चूंकि तरल स्तंभ में ऊँचाई के साथ दबाव कम हो जाता है,इसलिए $A$ पर दबाव $B$,$C$ और $D$ के स्तर पर दबाव से कम होना चाहिए।
अतः,सही संबंध $P_B = P_C = P_D > P_A$ है।

(B) माना पानी का घनत्व $\rho_w = 1 \,g/cm^3$ और पारे का घनत्व $\rho_m = 13.6 \,g/cm^3$ है।
जब एक भुजा में $h_w = 13.6 \,cm$ ऊंचाई का पानी डाला जाता है,तो उस भुजा में पारे का स्तर $y$ नीचे गिर जाता है और दूसरी भुजा में $y$ ऊपर उठ जाता है।
दोनों भुजाओं के बीच पारे के स्तर का अंतर $2y$ हो जाता है।
समान क्षैतिज स्तर पर हाइड्रोस्टेटिक दबाव के सिद्धांत के अनुसार:
$P_{\text{water}} = P_{\text{mercury}}$
$\rho_w \cdot g \cdot h_w = \rho_m \cdot g \cdot (2y)$
मान रखने पर:
$1 \cdot g \cdot 13.6 = 13.6 \cdot g \cdot (2y)$
$13.6 = 13.6 \cdot 2y$
$2y = 1$
$y = 0.5 \,cm$
अतः,दूसरी भुजा में पारा $0.5 \,cm$ ऊपर उठ जाएगा।

(D) 'Fluid' (तरल) शब्द का उपयोग किसी भी ऐसे पदार्थ के लिए किया जाता है जिसमें बहने की क्षमता होती है और जिसका कोई निश्चित आकार नहीं होता है।
चूंकि द्रव और गैस दोनों ही बाहरी बल के प्रभाव में बह सकते हैं,इसलिए उन्हें सामूहिक रूप से 'fluid' के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) सही उत्तर $D$ है।
$1$. दाब एक अदिश राशि है क्योंकि इसे प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित किया जाता है और यह सदिश योग के नियमों का पालन नहीं करती है।
$2$. दाब हमेशा संपीड़ित (compressive) प्रकृति का होता है,जिसका अर्थ है कि यह उस तरल या वस्तु को संपीड़ित करने का कार्य करता है जिस पर यह लागू होता है।
$3$. पास्कल के नियम के अनुसार,स्थिर तरल में किसी बिंदु पर दाब सभी दिशाओं में समान होता है।
चूंकि सभी कथन ($A$,$B$,और $C$) सही हैं,इसलिए गलत कथन 'इनमें से कोई नहीं' है।

(D) गेज दाब को निरपेक्ष दाब $(P)$ और वायुमंडलीय दाब $(P_{atm})$ के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसे सूत्र $P_g = P - P_{atm}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि निरपेक्ष दाब $(P)$,वायुमंडलीय दाब $(P_{atm})$ से अधिक,कम या उसके बराबर हो सकता है,इसलिए गेज दाब $(P_g)$ क्रमशः धनात्मक,ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
अतः,दिए गए सभी विकल्प सही हैं।

(B) मान लीजिए कि दो तरल स्तरों के बीच ऊंचाई का अंतर $h$ है।
हाइड्रोस्टैटिक्स के सिद्धांत के अनुसार,एक निरंतर स्थिर तरल में समान क्षैतिज स्तर पर दबाव समान होता है।
निचली तरल सतह पर क्षैतिज स्तर को देखते हुए,बाईं ओर का दबाव $P + \rho g h$ है,जहाँ $\rho$ तरल का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दाईं ओर का दबाव $p$ है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें $P + \rho g h = p$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho, g, h > 0$,इसलिए $P + \rho g h > P$ होता है।
अतः,$p > P$,जिसका अर्थ है कि $P < p$.

(C) एक निरंतर स्थिर द्रव में समान क्षैतिज स्तर पर स्थित बिंदुओं पर दबाव समान होता है। विभिन्न गहराइयों पर स्थित बिंदुओं के लिए दबाव का अंतर $\Delta p = \rho g \Delta h$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि वृत्त की त्रिज्या $r$ है और मुक्त सतह से बिंदु $A$ की गहराई $h$ है। मान लीजिए $p_0$ वायुमंडलीय दबाव है।
बिंदुओं पर निरपेक्ष दबाव इस प्रकार हैं:
$p_A = p_0 + h \rho g$
$p_B = p_D = p_0 + (h + r) \rho g$
$p_C = p_0 + (h + 2r) \rho g$
अब,विकल्पों में दिए गए समीकरणों का मूल्यांकन करते हैं:
$1$. $p_D = p_B$ सही है क्योंकि वे समान क्षैतिज स्तर पर हैं।
$2$. चूंकि $h < h+r < h+2r$,इसलिए $p_A < p_B = p_D < p_C$ सही है।
$3$. $p_A$ और $p_C$ का औसत निकालते हुए:
$\frac{p_C + p_A}{2} = \frac{(p_0 + h \rho g + 2r \rho g) + (p_0 + h \rho g)}{2} = \frac{2p_0 + 2h \rho g + 2r \rho g}{2} = p_0 + (h + r) \rho g = p_B = p_D$.
इस प्रकार,कथन $p_D = p_B = \frac{p_C + p_A}{2}$ सही है,और कथन $p_D = p_B = \frac{p_C - p_A}{2}$ गलत है।
अतः,विकल्प $(c)$ गलत कथन है।

(A) मान लीजिए कि झील की तली पर हवा के बुलबुले का प्रारंभिक आयतन $V$ है और सतह पर इसका आयतन $2V$ है।
मान लीजिए वायुमंडलीय दबाव $P_0$ है और झील की गहराई $h$ है।
बॉयल के नियम के अनुसार,चूंकि तापमान स्थिर रहता है,$P_1 V_1 = P_2 V_2$।
सतह पर,दबाव $P_2 = P_0$ है।
तली पर,दबाव $P_1 = P_0 + \rho_w g h$ है,जहां $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
दिया गया है कि $P_1 V = P_2 (2V) \Rightarrow P_1 = 2 P_0$।
$P_1$ का मान रखने पर,हमें मिलता है $P_0 + \rho_w g h = 2 P_0 \Rightarrow \rho_w g h = P_0$।
हम जानते हैं कि $P_0 = h_m \rho_m g$,जहां $h_m = 0.75 \, m$ और $\rho_m$ पारे का घनत्व है।
इसलिए,$\rho_w g h = h_m \rho_m g \Rightarrow h = h_m \left( \frac{\rho_m}{\rho_w} \right)$।
दिया गया है कि $\frac{\rho_m}{\rho_w} = \frac{40}{3}$ और $h_m = 0.75 \, m = \frac{3}{4} \, m$।
$h = \frac{3}{4} \times \frac{40}{3} = 10 \, m$।

(B) माना ग्लिसरीन स्तंभ की ऊँचाई $h = 10 \, cm$ है और इसका सापेक्ष घनत्व $\rho_g = 1.2 \, g/cm^3$ है। पानी का घनत्व $\rho_w = 1.0 \, g/cm^3$ है।
माना दोनों तरल पदार्थों की मुक्त सतहों के स्तर के बीच का अंतर $x$ है।
$U$-ट्यूब में ग्लिसरीन और पानी के इंटरफ़ेस पर,समान क्षैतिज स्तर पर दबाव समान होना चाहिए।
ग्लिसरीन स्तंभ के निचले स्तर पर दबाव $P$ है।
इस स्तर पर बाईं भुजा में दबाव = $P_{atm} + \rho_g \cdot g \cdot h$.
इसी स्तर पर दाईं भुजा में दबाव = $P_{atm} + \rho_w \cdot g \cdot (h - x)$.
दबाव को बराबर करने पर:
$\rho_g \cdot g \cdot h = \rho_w \cdot g \cdot (h - x)$
$1.2 \times 10 = 1.0 \times (10 - x)$
यहाँ,पानी के स्तंभ की ऊँचाई जो ग्लिसरीन को संतुलित करती है,वह $h_{water} = h \times (\rho_g / \rho_w) = 10 \times 1.2 = 12 \, cm$ है।
स्तरों के बीच का अंतर $x = h_{water} - h = 12 - 10 = 2 \, cm$ है।

(C) माना $\alpha$ घनत्व वाले तरल का द्रव्यमान $M_1$ है और $\beta$ घनत्व वाले तरल का द्रव्यमान $M_2$ है।
कुल आयतन $= V$.
मिश्रण का कुल घनत्व $= \sigma$.
कुल द्रव्यमान $= M_1 + M_2 = V\sigma$.
अतः,$M_2 = V\sigma - M_1 \dots (1)$.
मिश्रण का घनत्व $\sigma = \frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{कुल आयतन}} = \frac{M_1 + M_2}{\frac{M_1}{\alpha} + \frac{M_2}{\beta}} \dots (2)$.
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\sigma = \frac{V\sigma}{\frac{M_1}{\alpha} + \frac{V\sigma - M_1}{\beta}}$.
$\frac{M_1}{\alpha} + \frac{V\sigma - M_1}{\beta} = \frac{V\sigma}{\sigma} = V$.
$\frac{M_1}{\alpha} - \frac{M_1}{\beta} = V - \frac{V\sigma}{\beta}$.
$M_1 \left( \frac{\beta - \alpha}{\alpha\beta} \right) = V \left( \frac{\beta - \sigma}{\beta} \right)$.
$M_1 = \frac{V(\beta - \sigma)}{\beta} \times \frac{\alpha\beta}{\beta - \alpha} = \frac{\alpha V(\beta - \sigma)}{\beta - \alpha}$.

(D) माना प्रत्येक द्रव का द्रव्यमान $M$ है।
घनत्व का सूत्र $\text{घनत्व} = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}}$ होता है,इसलिए प्रत्येक द्रव का आयतन $V_1 = \frac{M}{d_1}$ और $V_2 = \frac{M}{d_2}$ होगा।
मिश्रण का कुल द्रव्यमान $M_{\text{mix}} = M + M = 2M$ होगा।
मिश्रण का कुल आयतन $V_{\text{mix}} = V_1 + V_2 = \frac{M}{d_1} + \frac{M}{d_2} = M \left( \frac{d_1 + d_2}{d_1 d_2} \right)$ होगा।
मिश्रण का घनत्व $d_{\text{mix}} = \frac{M_{\text{mix}}}{V_{\text{mix}}} = \frac{2M}{M \left( \frac{d_1 + d_2}{d_1 d_2} \right)} = \frac{2 d_1 d_2}{d_1 + d_2}$ होगा।

(C) मान लीजिए गेट की ऊंचाई $H = 1\,m$ और चौड़ाई $W = 1\,m$ है। काज (hinge) मध्य-बिंदु पर है,यानी गेट के ऊपरी किनारे से $0.5\,m$ की गहराई पर। मान लीजिए $y$ गेट के ऊपर से गहराई है।
$y$ गहराई पर दबाव $P = \rho g y$ है।
$y$ गहराई पर $dy$ ऊंचाई की एक छोटी पट्टी पर बल $dF_p = P \times W \times dy = \rho g y \times 1 \times dy = \rho g y dy$ है।
काज (जो $y = 0.5\,m$ पर स्थित है) के सापेक्ष इस बल के कारण टॉर्क $d\tau = dF_p \times (0.5 - y) = \rho g y (0.5 - y) dy$ है।
गेट को स्थिर रखने के लिए,काज के सापेक्ष कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए। बल $F$ निचले किनारे $(y = 1\,m)$ पर लगाया जाता है,इसलिए काज से इसकी दूरी $0.5\,m$ है।
$\int_0^1 \rho g y (0.5 - y) dy - F \times 0.5 = 0$
$\rho g \int_0^1 (0.5y - y^2) dy = 0.5 F$
$\rho g [0.5 \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3}]_0^1 = 0.5 F$
$\rho g [0.25 - 0.333] = 0.5 F$
$\rho g [\frac{1}{4} - \frac{1}{3}] = 0.5 F$
$\rho g [-\frac{1}{12}] = 0.5 F$
परिमाण लेने पर,$F = \frac{\rho g}{12 \times 0.5} = \frac{\rho g}{6}$.

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक भुजा में पानी की प्रारंभिक ऊँचाई $H = 0.29 \ m$ है। पानी का कुल आयतन स्थिर रहता है। जब बाईं भुजा में $h_k = 0.1 \ m$ ऊँचाई का केरोसिन डाला जाता है,तो बाईं भुजा में पानी का स्तर $x$ नीचे गिर जाता है और दाईं भुजा में $x$ ऊपर उठ जाता है।
बाईं भुजा में द्रव की कुल ऊँचाई: $h_1 = (H - x) + h_k = 0.29 - x + 0.1 = 0.39 - x$.
दाईं भुजा में द्रव की ऊँचाई: $h_2 = H + x = 0.29 + x$.
$U$-ट्यूब के तल पर दबाव को समान करने पर:
$P_{left} = P_{right}$
$P_0 + \rho_k g h_k + \rho_w g (h_1 - h_k) = P_0 + \rho_w g h_2$
$\rho_k h_k + \rho_w (h_1 - h_k) = \rho_w h_2$
$800 \times 0.1 + 1000 \times (h_1 - 0.1) = 1000 \times h_2$
$80 + 1000 h_1 - 100 = 1000 h_2$
$1000 (h_1 - h_2) = 20 \implies h_1 - h_2 = 0.02 \ m$.
हमारे पास समीकरणों की प्रणाली है:
$1$) $h_1 + h_2 = (0.29 - x + 0.1) + (0.29 + x) = 0.68 \ m$.
$2$) $h_1 - h_2 = 0.02 \ m$.
समीकरणों को जोड़ने पर: $2h_1 = 0.70 \implies h_1 = 0.35 \ m$.
समीकरणों को घटाने पर: $2h_2 = 0.66 \implies h_2 = 0.33 \ m$.
अतः,अनुपात $\frac{h_1}{h_2} = \frac{0.35}{0.33} = \frac{35}{33}$.

(A) $3 \ m$ की गहराई $h$ पर पानी की तरफ दबाव $P_w = P_0 + \rho_w gh$ है और द्रव की तरफ दबाव $P_{\ell} = P_0 + \rho_{\ell} gh$ है।
पानी द्वारा दरवाजे पर लगाया गया बल $F_w = P_w A = (P_0 + \rho_w gh) A$ है।
द्रव द्वारा दरवाजे पर लगाया गया बल $F_{\ell} = P_{\ell} A = (P_0 + \rho_{\ell} gh) A$ है।
दरवाजे को बंद रखने के लिए,पानी की तरफ लगाया गया बाहरी बल $F_{ext}$ को $F_{ext} + F_w = F_{\ell}$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,$F_{ext} = F_{\ell} - F_w = (P_0 + \rho_{\ell} gh) A - (P_0 + \rho_w gh) A = (\rho_{\ell} - \rho_w) ghA$.
दिया है: $\rho_{\ell} = 1500 \ kg/m^3$,$\rho_w = 1000 \ kg/m^3$,$g = 10 \ m/s^2$,$h = 3 \ m$,और $A = 100 \ cm^2 = 0.01 \ m^2$.
मान रखने पर: $F_{ext} = (1500 - 1000) \times 10 \times 3 \times 0.01 = 500 \times 30 \times 0.01 = 150 \ N$.

(A) वायुमंडल में जलवाष्प केवल इसकी सबसे निचली परत,यानी क्षोभमंडल (Troposphere) तक ही सीमित है।
यही कारण है कि सभी मौसमी घटनाएं,जैसे बादलों का बनना,बारिश और तूफान,केवल इसी परत में होती हैं।

(C) मान लीजिए कि $U$-नली में पारे का स्तर शुरू में दोनों भुजाओं में समान ऊंचाई पर है। जब बाईं भुजा में $11.2 \,cm$ पानी डाला जाता है, तो बाईं भुजा में पारे का स्तर $x \,cm$ नीचे गिर जाता है और दाईं भुजा में $x \,cm$ ऊपर उठ जाता है। दोनों भुजाओं के बीच पारे के स्तर का कुल अंतर $2x \,cm$ हो जाता है।
समान क्षैतिज स्तर पर (बाईं भुजा में पानी और पारे का इंटरफ़ेस, बिंदु $A$, और दाईं भुजा में उसी स्तर पर, बिंदु $B$) दबाव को बराबर करने पर:
$p_A = p_B$
$h_{water} \times \rho_{water} \times g = h_{Hg} \times \rho_{Hg} \times g$
यहाँ $h_{water} = 11.2 \,cm = 0.112 \,m$, $\rho_{water} = 1000 \,kg/m^3$, और $\rho_{Hg} = 13600 \,kg/m^3$ है।
$0.112 \times 1000 = 2x \times 13600$
$112 = 27200x$
$x = \frac{112}{27200} \,m \approx 0.004117 \,m = 0.41 \,cm$.
अतः, दूसरी भुजा में पारा $0.41 \,cm$ ऊपर उठेगा।

(C) पात्र के आधार पर द्रव द्वारा लगाया गया बल उस पात्र में निहित द्रव के भार के बराबर होता है,बशर्ते पात्र की दीवारें ऊर्ध्वाधर हों (जैसे घनाकार पात्र)।
बल $F$ को $F = mg$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तीनों पात्रों में द्रवों का द्रव्यमान समान है $(m_{A} = m_{B} = m_{C} = m)$,इसलिए प्रत्येक पात्र के आधार पर लगाया गया बल $F_{A} = F_{B} = F_{C} = mg$ होगा।
अतः,द्रव द्वारा आधार पर लगाया गया बल सभी पात्रों में समान है।

(A) किसी पात्र के तल पर $h$ ऊंचाई पर स्थित तरल (घनत्व $\rho$) के कारण दबाव का सूत्र $P = P_0 + \rho gh$ है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है।
चूंकि दोनों पात्र समान ऊंचाई $h$ तक पानी (समान घनत्व $\rho$) से भरे हुए हैं और समान क्षैतिज तल पर रखे गए हैं (समान वायुमंडलीय दबाव $P_0$),इसलिए दोनों पात्रों के तल पर दबाव केवल ऊंचाई $h$ और घनत्व $\rho$ पर निर्भर करता है।
अतः,पात्र $A$ के तल पर दबाव $P_A = P_0 + \rho gh$ है और पात्र $B$ के तल पर दबाव $P_B = P_0 + \rho gh$ है।
इस प्रकार,$P_A = P_B$ है।
पात्रों $A$ और $B$ के तल पर दबाव का अनुपात $P_A : P_B = 1 : 1$ है।

(A) सिर और पैरों के बीच दबाव का अंतर $\Delta P = \rho gh$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $\rho = 1.1 \times 10^3 \,kg \,m^{-3}$, $g = 10 \,ms^{-2}$, और $h = 1.65 \,m$ है।
$\Delta P = 1.1 \times 10^3 \times 10 \times 1.65 = 1.815 \times 10^4 \,Pa$.
रक्त वाहिका पर इस दबाव को संतुलित करने के लिए आवश्यक बल $F = \Delta P \times A$ है, जहाँ $A$ रक्त वाहिका का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
रक्त वाहिका $L = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$ लंबाई और $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ व्यास (त्रिज्या $r = 0.5 \times 10^{-3} \,m$) वाला एक बेलन है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ (पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल) $A = 2 \pi r L$ है।
$A = 2 \times 3.14159 \times 0.5 \times 10^{-3} \times 10^{-2} = 3.14159 \times 10^{-5} \,m^2$.
$F = (1.815 \times 10^4) \times (3.14159 \times 10^{-5}) \approx 0.57 \,N$.

(B) स्थिर संतुलन में,एक निरंतर तरल पदार्थ में समान क्षैतिज स्तर पर दबाव समान होता है।
मान लीजिए कि बाईं भुजा में तरल $A$ और तरल $B$ के इंटरफ़ेस पर दबाव $P$ है।
बाईं भुजा के लिए,इस स्तर पर दबाव $P_0 + \rho_A g h_A$ है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है।
दाईं भुजा के लिए,समान क्षैतिज स्तर पर दबाव $P_0 + \rho_B g h_B$ है।
दबाव को बराबर करने पर:
$P_0 + \rho_A g h_A = P_0 + \rho_B g h_B$
$\rho_A h_A = \rho_B h_B$
यह दिया गया है कि तरल $A$ का घनत्व तरल $B$ के घनत्व का दोगुना है,अर्थात $\rho_A = 2\rho_B$।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(2\rho_B) h_A = \rho_B h_B$
$2 h_A = h_B$
$h_A = \frac{h_B}{2}$

(C) जब $\rho$ घनत्व वाला तरल $h$ ऊँचाई तक एक पात्र में भरा हो और पात्र $a_0$ त्वरण के साथ नीचे की ओर त्वरित हो रहा हो,तो तरल पर कार्य करने वाला प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण निम्न प्रकार दिया जाता है:
$g^{\prime} = g - a_0$ ...$(i)$
पात्र के तल पर दाब $p$,वायुमंडलीय दाब $p_0$ और प्रभावी गुरुत्व के तहत तरल स्तंभ के कारण गेज दाब का योग होता है:
$p = p_0 + \rho g^{\prime} h$
समीकरण $(i)$ से $g^{\prime}$ का मान रखने पर:
$p = p_0 + \rho(g - a_0)h$

(C) मान लीजिए झील की गहराई $h$ है। वायुमंडलीय दबाव $P_0$,$10 \ m$ पानी के स्तंभ के बराबर है,इसलिए $P_0 = 10 \rho g$।
झील की तली पर दबाव $P_1$,वायुमंडलीय दबाव और $h$ गहराई के पानी के स्तंभ के दबाव का योग है:
$P_1 = P_0 + h \rho g = 10 \rho g + h \rho g = \rho g(10 + h)$।
तली पर बुलबुले का आयतन $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
सतह पर दबाव $P_2$,वायुमंडलीय दबाव के बराबर है:
$P_2 = P_0 = 10 \rho g$।
सतह पर बुलबुले का आयतन $V_2 = \frac{4}{3} \pi (\frac{5r}{4})^3$ है।
चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम $(P_1 V_1 = P_2 V_2)$ का उपयोग करते हैं:
$\rho g(10 + h) \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = 10 \rho g \cdot \frac{4}{3} \pi (\frac{5r}{4})^3$।
$(10 + h) = 10 \cdot \frac{125}{64}$।
$10 + h = \frac{1250}{64} = 19.53125$।
$h = 19.53125 - 10 = 9.53125 \ m$।
अतः,झील की गहराई लगभग $9.53 \ m$ है।

(B) दिया गया है: गहराई $h = 100 \ m$,संपीड्यता $k = 0.5 \times 10^{-9} \ N^{-1} \ m^2$,पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \ kg/m^3$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$.
नदी के तल पर दबाव $P = \rho gh$ द्वारा दिया जाता है।
$P = 10^3 \times 10 \times 100 = 10^6 \ N/m^2$.
संपीड्यता $k$ को बल्क मापांक $B$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $k = \frac{1}{B} = \frac{(\Delta V / V)}{P}$ है।
अतः,आंशिक संपीड़न (आयतन में आंशिक परिवर्तन) $\frac{\Delta V}{V} = k \times P$ है।
$\frac{\Delta V}{V} = (0.5 \times 10^{-9}) \times 10^6 = 0.5 \times 10^{-3}$.

(D) मान लीजिए कि कक्ष $B$ का द्रव्यमान $M$ है और प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m$ है। कक्ष और गेंदों द्वारा गैस पर लगाया गया कुल नीचे की ओर बल $F = (M + nm)g$ है।
यदि $A$ कक्ष का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है,तो गैस का दबाव $P = F/A = (M + nm)g / A$ द्वारा दिया जाता है।
जब एक गेंद हटा दी जाती है,तो नया बल $F^{\prime} = (M + (n-1)m)g$ होता है।
नया दबाव $P^{\prime} = F^{\prime} / A = (M + (n-1)m)g / A$ है।
दबाव में अंतर $P - P^{\prime} = (M + nm)g/A - (M + nm - m)g/A = mg/A$ है।
इस प्रकार,$(P - P^{\prime}) / P = (mg/A) / ((M + nm)g/A) = m / (M + nm)$।
यदि हम यह मान लें कि कक्ष का द्रव्यमान $M$ गेंदों के कुल द्रव्यमान की तुलना में नगण्य है (या प्रश्न का तात्पर्य यह है कि वजन मुख्य रूप से गेंदों के कारण है),तो $M \approx 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(P - P^{\prime}) / P = m / (nm) = 1/n$।

(D) घनत्व $\rho$ और ऊँचाई $h$ वाले द्रव से भरे पात्र के तल पर दाब $P$ का सूत्र $P = \rho g h$ होता है।
चूंकि तीनों पात्रों के लिए ऊँचाई $h$ समान है और $g$ स्थिर है,इसलिए दाब $P$ द्रव के घनत्व $\rho$ के सीधे समानुपाती होता है $(P \propto \rho)$।
दिया गया है कि घनत्व $\rho_A > \rho_B > \rho_C$ है,इसलिए पात्रों के तल पर दाब $P_A > P_B > P_C$ होगा।
अतः,द्रव $A$ वाले पात्र में दाब अधिकतम होगा।

(A) द्रव स्तंभ के कारण पात्र के तल पर दबाव $P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ द्रव स्तंभ की ऊँचाई है,$\rho$ घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि पात्र समान हैं,इसलिए उनका अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ समान है।
द्रव का द्रव्यमान $m$,$m = \rho V = \rho A h$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि द्रव्यमान समान हैं $(m_A = m_B = m_C = M)$,इसलिए:
$M = \rho_A A h_A = \rho_B A h_B = \rho_C A h_C$।
इसका अर्थ है कि $\rho_A h_A = \rho_B h_B = \rho_C h_C = \frac{M}{A} = \text{स्थिरांक}$।
तल पर दबाव $P = \rho g h = g (\rho h)$ है।
चूंकि तीनों द्रवों के लिए $\rho h$ का गुणनफल स्थिर है,इसलिए प्रत्येक पात्र के तल पर दबाव $P$ समान होगा।

(D) माना घनाकार ब्लॉक की भुजा की लंबाई $L = 10 \,cm = 0.1 \,m$ है।
ब्लॉक अंतरापृष्ठ पर तैर रहा है। माना $h_w = 1.5 \,cm = 0.015 \,m$ पानी में ब्लॉक की गहराई है और $h_o = 10 \,cm - 1.5 \,cm = 8.5 \,cm = 0.085 \,m$ तेल में ब्लॉक की ऊँचाई है।
निचली सतह पर दबाव (पानी में) $P_{lower} = P_{interface} + \rho_w g h_w$ है।
ऊपरी सतह पर दबाव (तेल में) $P_{upper} = P_{interface} - \rho_o g h_o$ है।
निचली और ऊपरी सतह के बीच दबाव का अंतर $\Delta P = P_{lower} - P_{upper} = (P_{interface} + \rho_w g h_w) - (P_{interface} - \rho_o g h_o) = \rho_w g h_w + \rho_o g h_o$ है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$\Delta P = (1000 \,kg/m^3 \times 10 \,m/s^2 \times 0.015 \,m) + (800 \,kg/m^3 \times 10 \,m/s^2 \times 0.085 \,m)$
$\Delta P = 150 \,Pa + 680 \,Pa = 830 \,Pa$.

(D) परिवर्तनीय घनत्व वाले तरल में दबाव का परिवर्तन हाइड्रोस्टेटिक नियम द्वारा दिया जाता है: $dP = -\rho(z) g dz$.
निचली सतह ($z=0$,$P=P_1$) से ऊपरी सतह ($z=H$,$P=P_2$) तक समाकलन करने पर:
$\int_{P_1}^{P_2} dP = -\int_{0}^{H} \rho(z) g dz$
$P_2 - P_1 = -g \int_{0}^{H} \rho_0 \left[ 2 - \left( \frac{z}{H} \right)^2 \right] dz$
$P_1 - P_2 = g \rho_0 \int_{0}^{H} \left( 2 - \frac{z^2}{H^2} \right) dz$
$P_1 - P_2 = g \rho_0 \left[ 2z - \frac{z^3}{3H^2} \right]_{0}^{H}$
$P_1 - P_2 = g \rho_0 \left( 2H - \frac{H^3}{3H^2} \right)$
$P_1 - P_2 = g \rho_0 \left( 2H - \frac{H}{3} \right)$
$P_1 - P_2 = g \rho_0 \left( \frac{5H}{3} \right) = \frac{5}{3} \rho_0 g H$.

(C) बाईं भुजा में $\rho_3$ घनत्व वाले तरल के निचले स्तर पर क्षैतिज सतह पर विचार करें। दोनों भुजाओं में इस स्तर पर दबाव समान होना चाहिए।
बाईं भुजा में,दबाव $\rho_1$ घनत्व वाले तरल (ऊंचाई $h$) और $\rho_3$ घनत्व वाले तरल (ऊंचाई $h/2$) के कारण है।
$P_{left} = P_{atm} + \rho_1 gh + \rho_3 g(h/2)$
दाहिनी भुजा में,उसी क्षैतिज स्तर पर दबाव $\rho_2$ घनत्व वाले तरल (ऊंचाई $h$) के कारण है।
$P_{right} = P_{atm} + \rho_2 gh$
दबाव को बराबर करने पर: $P_{atm} + \rho_1 gh + \rho_3 g(h/2) = P_{atm} + \rho_2 gh$
$gh$ से विभाजित करने पर: $\rho_1 + \frac{\rho_3}{2} = \rho_2$
$\rho_3$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{\rho_3}{2} = \rho_2 - \rho_1 \implies \rho_3 = 2(\rho_2 - \rho_1)$

(A) मान लीजिए कि केंद्र से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा संदर्भ है। दो द्रवों के बीच का इंटरफेस ऊर्ध्वाधर से $\theta$ कोण पर है।
चूंकि नली एक ऊर्ध्वाधर तल में है,इसलिए सबसे निचले बिंदु पर दबाव दोनों तरफ से समान होना चाहिए।
मान लीजिए कि बाईं ओर के द्रव का घनत्व $\delta$ है और दाईं ओर के द्रव का घनत्व $\rho$ है।
सबसे निचले बिंदु से $\delta$ घनत्व वाले द्रव स्तंभ के द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h_1 = R(1 - \cos \theta)$ है।
सबसे निचले बिंदु से $\rho$ घनत्व वाले द्रव स्तंभ के द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h_2 = R(1 - \cos \theta)$ है।
संतुलन के लिए,नली के सबसे निचले बिंदु पर दबाव दोनों तरफ से समान होना चाहिए।
एक गोलाकार नली में द्रव स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव उसके द्रव्यमान केंद्र की ऊर्ध्वाधर गहराई के समानुपाती होता है।
संतुलन की स्थिति इस प्रकार है:
$\delta g R(\cos \theta + \sin \theta) = \rho g R(\cos \theta - \sin \theta)$
दोनों पक्षों को $gR$ से विभाजित करने पर:
$\delta(\cos \theta + \sin \theta) = \rho(\cos \theta - \sin \theta)$
$\delta \cos \theta + \delta \sin \theta = \rho \cos \theta - \rho \sin \theta$
$\sin \theta(\rho + \delta) = \cos \theta(\rho - \delta)$
$\tan \theta = \frac{\rho - \delta}{\rho + \delta}$
$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{\rho - \delta}{\rho + \delta}\right)$