સમક્ષિતિજ સાથે $40^{\circ}$ અને $50^{\circ}$ ના ખૂણે અનુકમે બે પ્રક્ષેપણ $A$ અને $B$ કરવામાં આવે છે. જેમનો વેગ સમાન છે.પછી $.............$

સમક્ષિતિજ સાથે $15^{\circ}$ ના ખૂણે પ્રક્ષેપન કરેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $50\,m$ છે.જો આ પદાર્થનું સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે આટલા જ વેગથી પ્રક્ષેપન કરવામાં આવે તો તેની અવધિ $........\,m$ થશે.

દ્વિપરિમાણમાં ગતિનો અભ્યાસ કરવા સ્થાન, વેગ અને પ્રવેગને સદિશ સ્વરૂપમાં $\vec A \, = \,{A_x}\widehat i\, + {A_y}\widehat j$ વડે રજૂ કરાય છે. જ્યાં $\widehat i$ અને $\widehat j$ એ અનુક્રમે $x-$ અક્ષ અને $y-$ અક્ષની દિશામાંના એકમ સદિશ છે તથા $A_x$ અને $A_y$ એ અનુક્રમે $x-$ અક્ષ અને $y-$ અક્ષની દિશામાંના ઘટકો છે. આવી ગતિનો અભ્યાસ વર્તુળાકાર ઘુવીય યામોના રૂપમાં પણ કરી શકાય. જેમાં $\overrightarrow A \, = \,{A_r}\widehat r\,\, + \,{A_\theta }\hat \theta $, જ્યાં $r\, = \,\frac{{\overrightarrow r \,}}{r}\, = \,\cos \,\theta \widehat {i\,}\, + \,\sin \,\theta \,\widehat j$ અને $\hat \theta  =  - \sin \,\theta \,\widehat i + \cos \,\theta \,\widehat j\,$ તથા $\widehat r\,$ અને $\widehat \theta $ એ વધતાં મૂલ્યની દિશામાંના એકમ સદિશો છે, તો ......

$(a)$ ${\widehat {i\,}}$ અને ${\widehat {j\,}}$ ને ${\widehat {r\,}}$ અને ${\widehat {\theta }}$ ના સ્વરૂપમાં રજૂ કરો.

$(b)$ દર્શાવો કે $\widehat r$ અને $\widehat \theta $ બંને પરસ્પર લંબ એકમ સદિશો છે.

(c) દર્શાવો કે

$\frac{d}{{dr}}(\widehat r)\, = \,\omega \hat \theta \,$, જ્યાં $\omega \, = \,\frac{{d\theta }}{{dt}}$ અને $\frac{d}{{dt}}(\widehat \theta )\, = \, - \omega \widehat r\,$.

$(d)$ સ્પાયરલ ગતિ કરતા કણની ગતિ $\overrightarrow r \, = \,a\theta \widehat r$ વડે આપવામાં આવે છે. જ્યાં $a = 1$ તથા $a$ નું પારિમાણિક સૂત્ર મેળવો. 

$(e) $ સ્પાયરલ ગતિ કરતાં કણ માટે વેગ અને પ્રવેગને ધ્રુવીય સદિશોના સ્વરૂપમાં દર્શાવો.

$(a)$ દર્શાવો કે કોઈ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $x$ -અક્ષ તથા તેના વેગ સદિશ વચ્ચે બનતો ખૂણો સમયના પદમાં નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય છે :

$\theta(t)=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{0 y}-g t}{v_{0 x}}\right)$

$(b)$ ઊગમબિંદુ આગળથી પ્રલિપ્ત કરેલા પદાર્થનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ

$\theta_{0}=\tan ^{-1}\left(\frac{4 h_{m}}{R}\right)$

વડે અપાય છે તેમ સાબિત કરો. અહીં સંજ્ઞાઓને પ્રચલિત અર્થ છે.

$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ પર સમાન ઝડપથી ગતિ કરતા એ કણને એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ કરતા $T$ સમય લાગે છે. જો આ કણને આટલી જ ઝડપથી, સમક્ષિતિજ સાથે $'\theta'$ કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે તો તેના દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $4R$ છે. પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ $......$ વડે આપી શકાય.

પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના શરૂઆતના વેગના સમક્ષિતિજ $9.8 \,m/s$ અને $19.6 \,m/s$ શિરોલંબ ધટક મળે તો અવધિ ........ $m$ થાય.