Mix Examples-Motion in Plane Questions in Gujarati

(A) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત વેગ $v$ છે અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ છે.
આપેલ છે કે અવધિ $R$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ કરતા બમણી છે,એટલે કે $R = 2H$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અવધિ અને મહત્તમ ઊંચાઈના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$
$H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$
આ કિંમતોને આપેલ શરત $R = 2H$ માં મૂકતા:
$\frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = 2 \left( \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$
$\frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{g}$
$2 \cos \theta = \sin \theta \Rightarrow \tan \theta = 2$.
ત્રિકોણ પરથી જ્યાં $\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{2}{1}$,કર્ણ $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ થશે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
હવે,અવધિ $R$ ની ગણતરી કરતા:
$R = \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{2v^2}{g} \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{4v^2}{5g}$.

(D) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને ટાવરના પાયાથી $200 \ m$ અંતરે આવેલા બિંદુ $O$ થી છોડવામાં આવે છે. ટાવરની ઊંચાઈ $h = 100 \ m$ છે અને તે પ્રક્ષેપણ બિંદુથી $x = 200 \ m$ ના સમક્ષિતિજ અંતરે આવેલો છે. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ ટાવરની ટોચ પરથી પસાર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 200 \ m$ પર,ઊંચાઈ $y = 100 \ m$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right)$
જ્યાં $R$ એ સમક્ષિતિજ અવધિ (range) છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $x = 200 \ m$ પર ટાવર ઉપરથી પસાર થાય છે અને ટાવરની આગળ $200 \ m$ અંતરે જમીન પર પડે છે,તેથી કુલ અવધિ $R = 200 \ m + 200 \ m = 400 \ m$ થાય.
ગતિપથના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$100 = 200 \tan \theta \left(1 - \frac{200}{400}\right)$
$100 = 200 \tan \theta \left(1 - 0.5\right)$
$100 = 200 \tan \theta \times 0.5$
$100 = 100 \tan \theta$
$\tan \theta = 1$
$\theta = 45^{\circ}$

(C) આપેલ છે, પ્રક્ષિપ્ત કોણ, $\theta = 60^{\circ}$ અને પ્રારંભિક વેગ, $u = 140 \,ms^{-1}$.
વેગને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos 60^{\circ} = 140 \times 0.5 = 70 \,ms^{-1}$ અને શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin 60^{\circ} = 140 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 70\sqrt{3} \,ms^{-1}$.
ધારો કે $t$ સમય પછી, વેગ સદિશ સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. $t$ સમયે, સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u_x = 70 \,ms^{-1}$ અને શિરોલંબ ઘટક $v_y = u_y - gt = 70\sqrt{3} - 10t$.
ખૂણો $45^{\circ}$ હોવાથી, $\tan 45^{\circ} = \frac{v_y}{v_x} = 1$, જેનો અર્થ છે કે $v_y = v_x$.
કિંમતો મૂકતા: $70\sqrt{3} - 10t = 70$.
$10t = 70\sqrt{3} - 70$.
$t = 7(\sqrt{3} - 1) = 7(1.732 - 1) = 7(0.732) = 5.124 \,s$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે જે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે છે. વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = u \sin \theta - gt$ છે.
સમય $t$ પર સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\tan \alpha = \frac{v_y}{u_x} = \frac{u \sin \theta - gt}{u \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t_1 = 4 \ s$ સમયે,$\alpha = 30^{\circ}$:
$\tan 30^{\circ} = \frac{u \sin \theta - 10(4)}{u \cos \theta} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{u \sin \theta - 40}{u \cos \theta} \implies u \cos \theta = \sqrt{3}(u \sin \theta - 40) \quad (1)$
$t_2 = 4 + 2 = 6 \ s$ સમયે,પથ્થર સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી $\alpha = 0^{\circ}$:
$\tan 0^{\circ} = \frac{u \sin \theta - 10(6)}{u \cos \theta} = 0 \implies u \sin \theta = 60 \ ms^{-1} \quad (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$u \cos \theta = \sqrt{3}(60 - 40) = 20 \sqrt{3} \ ms^{-1} \quad (3)$
પ્રારંભિક વેગ $u$ નું મૂલ્ય $\sqrt{(u \sin \theta)^2 + (u \cos \theta)^2} = \sqrt{(60)^2 + (20 \sqrt{3})^2} = \sqrt{3600 + 1200} = \sqrt{4800} = 40 \sqrt{3} \ ms^{-1}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે, પ્રથમ કૂદકામાં કાર દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_1 = 80 \,m$ છે.
બીજા કૂદકામાં કાર દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_2 = 45 \,m$ છે.
ધારો કે કારનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને ઢાળના ખૂણા અનુક્રમે $\theta_1$ અને $\theta_2$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta_1}{2g} = 80 \,m$ ... $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $H_2 = \frac{u^2 \sin^2 \theta_2}{2g} = 45 \,m$ ... (ii)
$(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા: $\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta_1}{\sin^2 \theta_2} = \frac{80}{45} = \frac{16}{9}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{4}{3}$.
કાર નદીના બીજા કિનારે સમાન બિંદુએ પહોંચતી હોવાથી, બંને કૂદકા માટે સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ સમાન છે.
$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$.
$R_1 = R_2$ હોવાથી, $\sin \theta_1 \cos \theta_1 = \sin \theta_2 \cos \theta_2$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $\sin 2\theta_1 = \sin 2\theta_2$. આ ત્યારે થાય જો $\theta_2 = 90^\circ - \theta_1$, એટલે કે $\cos \theta_1 = \sin \theta_2$.
$\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{4}{3}$ પરથી, આપણને $\frac{\sin \theta_1}{\cos \theta_1} = \tan \theta_1 = \frac{4}{3}$ મળે છે.
આમ, $\sin \theta_1 = \frac{4}{5}$ અને $\cos \theta_1 = \frac{3}{5}$.
$(i)$ પરથી, $\frac{u^2}{2g} (\frac{4}{5})^2 = 80 \Rightarrow \frac{u^2}{g} = 80 \times 2 \times \frac{25}{16} = 250$.
અવધિ $d = \frac{u^2 \sin 2\theta_1}{g} = \frac{u^2}{g} (2 \sin \theta_1 \cos \theta_1) = 250 \times 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = 240 \,m$.

(C) પગલું $1$. આપેલ માહિતી:
પ્રારંભિક વેગ,$u = 10 \ m/s$
પ્રક્ષિપ્ત કોણ,$\theta = 60^{\circ}$
સમય,$t = 1 \ s$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \ m/s^2$
પગલું $2$. $t = 1 \ s$ સમયે વેગના ઘટકો:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $v_x = u \cos 60^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5 \ m/s$
શિરોલંબ ઘટક: $v_y = u \sin 60^{\circ} - gt = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 10(1) = 5\sqrt{3} - 10 \approx 8.66 - 10 = -1.34 \ m/s$
પગલું $3$. વક્રતા ત્રિજ્યાનું સૂત્ર:
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = \frac{v^3}{a_{\perp}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ઝડપ છે અને $a_{\perp}$ એ વેગને લંબ પ્રવેગનો ઘટક છે.
$v^2 = v_x^2 + v_y^2 = 5^2 + (5\sqrt{3} - 10)^2 = 25 + (75 + 100 - 100\sqrt{3}) = 200 - 100\sqrt{3} \approx 26.8 \ (m/s)^2$
$a_{\perp} = g \cos \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ વેગ સદિશ સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલ ખૂણો છે.
$\cos \alpha = \frac{v_x}{v} = \frac{5}{\sqrt{26.8}} \approx 0.966$
$a_{\perp} = 10 \times 0.966 = 9.66 \ m/s^2$
$R = \frac{v^2}{a_{\perp}} = \frac{26.8}{9.66} \approx 2.77 \ m \approx 2.8 \ m$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ન્યૂનતમ ગતિઊર્જા તેના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ હોય છે,જ્યાં વેગ $v_x = u \cos \theta$ હોય છે. તેથી,$K_{min} = \frac{1}{2} m (u \cos \theta)^2$.
આપેલ છે કે $\frac{K_{min,1}}{K_{min,2}} = \frac{u_1^2 \cos^2 \theta_1}{u_2^2 \cos^2 \theta_2} = 4:1$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે. આપેલ છે કે $\frac{H_1}{H_2} = \frac{u_1^2 \sin^2 \theta_1}{u_2^2 \sin^2 \theta_2} = 4:1$.
ઊંચાઈના ગુણોત્તરને ગતિઊર્જાના ગુણોત્તર વડે ભાગતા: $\frac{H_1/H_2}{K_{min,1}/K_{min,2}} = \frac{\tan^2 \theta_1}{\tan^2 \theta_2} = \frac{4}{4} = 1$,તેથી $\tan \theta_1 = \tan \theta_2$,જેનો અર્થ છે કે $\theta_1 = \theta_2$.
કારણ કે $\theta_1 = \theta_2$,પ્રારંભિક વેગનો ગુણોત્તર $\frac{u_1^2}{u_2^2} = 4$ થાય,તેથી $\frac{u_1}{u_2} = 2$.
અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે. અવધિનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{u_1^2}{u_2^2} = 4:1$ થાય.

(D) પદાર્થો અથડાય તે માટે,સમાન સમય $t$ પર તેમના $x$ અને $y$ યામ સમાન હોવા જોઈએ.
ધારો કે પ્રથમ પદાર્થ $A$ છે અને બીજો $B$ છે.
પદાર્થ $A$ માટે: $x_A = (10 \cos 30^\circ)t = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot t = 5\sqrt{3}t$ અને $y_A = (10 \sin 30^\circ)t - \frac{1}{2}gt^2 = 5t - 5t^2$ ($g = 10 \ ms^{-2}$ લેતા).
પદાર્થ $B$ માટે: $x_B = (\sqrt{3}-1) + (v \cos 45^\circ)t = (\sqrt{3}-1) + \frac{v}{\sqrt{2}}t$ અને $y_B = (v \sin 45^\circ)t - \frac{1}{2}gt^2 = \frac{v}{\sqrt{2}}t - 5t^2$.
$y_A = y_B$ સરખાવતા: $5t - 5t^2 = \frac{v}{\sqrt{2}}t - 5t^2 \implies 5 = \frac{v}{\sqrt{2}} \implies v = 5\sqrt{2} \ ms^{-1}$.
$x_A = x_B$ સરખાવતા: $5\sqrt{3}t = (\sqrt{3}-1) + \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}t \implies 5\sqrt{3}t = \sqrt{3}-1 + 5t$.
$t(5\sqrt{3}-5) = \sqrt{3}-1 \implies t(5(\sqrt{3}-1)) = \sqrt{3}-1$.
$t = \frac{\sqrt{3}-1}{5(\sqrt{3}-1)} = \frac{1}{5} = 0.2 \ s$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રથમ પથ્થર માટે,$H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
બીજા પથ્થર માટે,$H_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^{\circ}-\theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$.
આપેલ છે કે $H_2 = H_1 + 10$,તેથી $\frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g} - \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = 10$.
$u = 20 \ ms^{-1}$ અને $g = 10 \ ms^{-2}$ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{400}{20} (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 10$.
$20 (\cos 2\theta) = 10$.
$\cos 2\theta = 0.5$.
$2\theta = 60^{\circ}$,તેથી $\theta = 30^{\circ}$.

(A) ધારો કે દડાને $V_0$ ઝડપે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે. દડાના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $V_x = V_0 \cos \theta$ છે.
વ્યક્તિ દડાને પકડવા માટે તે જ સમક્ષિતિજ દિશામાં $V_p = 0.5 V_0$ ની અચળ ઝડપે દોડે છે.
વ્યક્તિ દડાને પકડી શકે તે માટે,વ્યક્તિ દ્વારા કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર એ ઉડ્ડયન સમય $T$ દરમિયાન દડાની સમક્ષિતિજ અવધિ (Range) જેટલું હોવું જોઈએ.
દડાની સમક્ષિતિજ અવધિ $R = (V_0 \cos \theta) T$ છે,જ્યાં $T = \frac{2 V_0 \sin \theta}{g}$.
સમય $T$ માં વ્યક્તિ દ્વારા કાપેલું અંતર $d = V_p T = (0.5 V_0) T$ છે.
વ્યક્તિ દ્વારા કાપેલા અંતરને દડાની સમક્ષિતિજ અવધિ સાથે સરખાવતા: $0.5 V_0 T = V_0 \cos \theta T$.
બંને બાજુ $V_0 T$ વડે ભાગતા (ધારી લઈએ કે $T \neq 0$),આપણને મળે છે: $0.5 = \cos \theta$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(0.5) = 60^{\circ}$.

$(A)$ પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{v}_i = 4 \hat{i} \,m \,s^{-1}$ છે.
અંતિમ વેગ સદિશ $\vec{v}_f = 4 \sqrt{2} (\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j}) = 4 \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}) = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} \,m \,s^{-1}$ છે.
સ્થાનાંતર $\vec{s}$ એ સમય સાથે વેગનું સંકલન છે. અચળ પ્રવેગ ધારતા, $\vec{s} = \vec{v}_{avg} \times t = \frac{\vec{v}_i + \vec{v}_f}{2} \times t$ થાય.
$\vec{v}_{avg} = \frac{(4 \hat{i}) + (4 \hat{i} + 4 \hat{j})}{2} = \frac{8 \hat{i} + 4 \hat{j}}{2} = 4 \hat{i} + 2 \hat{j} \,m \,s^{-1}$ મળે.
સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}_{avg}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \,m \,s^{-1}$ થાય.

(C) આપેલ છે: કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = 18 \,m/s^2$, ત્રિજ્યા $r = 50 \,cm = 0.5 \,m$, સમય $t = \frac{\pi}{18} \,s$.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં, $a_c = \frac{v^2}{r}$, તેથી $v = \sqrt{a_c \cdot r} = \sqrt{18 \times 0.5} = \sqrt{9} = 3 \,m/s$.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{r} = \frac{3}{0.5} = 6 \,rad/s$ છે.
સમય $t$ માં કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \omega t = 6 \times \frac{\pi}{18} = \frac{\pi}{3} \,rad$ છે.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $\Delta v = 2v \sin(\frac{\theta}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, $\Delta v = 2 \times 3 \times \sin(\frac{\pi/3}{2}) = 6 \times \sin(\frac{\pi}{6}) = 6 \times 0.5 = 3 \,m/s$.

(B) ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = as^2$ છે. તેથી,$v^2 = \frac{2as^2}{m}$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = v \frac{dv}{ds}$ છે.
$v = s\sqrt{\frac{2a}{m}}$ હોવાથી,$\frac{dv}{ds} = \sqrt{\frac{2a}{m}}$ મળે.
તેથી,$a_t = (s\sqrt{\frac{2a}{m}})(\sqrt{\frac{2a}{m}}) = \frac{2as}{m}$.
સ્પર્શકીય બળ $F_t = ma_t = 2as$ થાય.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R} = \frac{m(2as^2/m)}{R} = \frac{2as^2}{R}$ થાય.
પરિણામી બળ $F = \sqrt{F_t^2 + F_c^2} = \sqrt{(2as)^2 + (\frac{2as^2}{R})^2}$ છે.
$2as$ સામાન્ય કાઢતા,$F = 2as \sqrt{1 + \frac{s^2}{R^2}}$ મળે.

(B) કણની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
કણ અચળ ઝડપ $v$ સાથે ગતિ કરતો હોવાથી,તેની ગતિની સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન તેના વેગનું મૂલ્ય બદલાતું નથી.
દળ $m$ અને ઝડપ $v$ અચળ હોવાથી,વર્તુળાકાર માર્ગના દરેક બિંદુએ ગતિઊર્જા $K$ અચળ રહે છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta K)$ એ અંતિમ ગતિઊર્જા $(K_f)$ અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K_i)$ નો તફાવત છે.
અહીં $K_f = K_i = \frac{1}{2} m v^2$ હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = K_f - K_i = 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે બે કણોના સ્થાન સદિશો $\vec{r}_1 = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 57\hat{k}$ અને $\vec{r}_2 = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
કણો $t = 10 \ s$ સમયે અથડાય તે માટે,તે ક્ષણે તેમના સ્થાન સમાન હોવા જોઈએ: $\vec{r}_1 + \vec{v}_1 t = \vec{r}_2 + \vec{v}_2 t$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(4\hat{i} + 4\hat{j} + 57\hat{k}) + (0.4\hat{i})(10) = (2\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}) + \vec{v}_2(10)$.
પ્રશ્નમાં આપેલ ઉકેલ મુજબ,પ્રથમ સદિશ $4\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ લેતા:
$10\vec{v}_2 = (4\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k} + 4\hat{i}) - (2\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}) = 6\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{v}_2 = 0.6(\hat{i} - \hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k}) \ ms^{-1}$.

(B) કણ $v$ જેટલી અચળ ઝડપથી વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે. ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_i = v \hat{i}$ છે.
વ્યાસાંત બિંદુએ,વેગ $\vec{v}_f = -v \hat{i}$ થશે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p} = m \vec{v}_f - m \vec{v}_i = M(-v \hat{i}) - M(v \hat{i}) = -2 M v \hat{i}$ છે.
વેગમાનના ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{p}| = 2 M v$ થાય છે.
ઝડપ $v$ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} M v^2$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
તેથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $0$ છે.

(B) પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 3 \hat{i} \text{ m s}^{-1}$ અને પ્રવેગ $\vec{a} = -1 \hat{i} - 0.5 \hat{j} \text{ m s}^{-2}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ નો ઉપયોગ કરતા,$t$ સમયે વેગ:
$\vec{v}(t) = (3 - t) \hat{i} - 0.5t \hat{j}$.
મહત્તમ $x$-યામ માટે,વેગનો $x$-ઘટક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$v_x = 3 - t = 0 \implies t = 3 \text{ s}$.
હવે,સ્થાનના સમીકરણ $\vec{r} = \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{r}(3) = (3 \hat{i})(3) + \frac{1}{2}(-1 \hat{i} - 0.5 \hat{j})(3)^2$
$\vec{r}(3) = 9 \hat{i} + \frac{1}{2}(-9 \hat{i} - 4.5 \hat{j})$
$\vec{r}(3) = 9 \hat{i} - 4.5 \hat{i} - 2.25 \hat{j} = 4.5 \hat{i} - 2.25 \hat{j}$.
$\frac{9}{2}$ સામાન્ય લેતા:
$\vec{r}(3) = \frac{9}{2} \hat{i} - \frac{9}{4} \hat{j} = \frac{9}{2} (\hat{i} - \frac{\hat{j}}{2}) \text{ m}$.

(A) આપેલ છે: પ્રવેગ $\vec{a} = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} \, m \, s^{-2}$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 4 \hat{i} \, m \, s^{-1}$.
$x$-અક્ષ પર સ્થાનાંતર $s_x = 6 \, m$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s_x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$6 = 4t + \frac{1}{2}(4)t^2$
$6 = 4t + 2t^2 \Rightarrow 2t^2 + 4t - 6 = 0 \Rightarrow t^2 + 2t - 3 = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $(t+3)(t-1) = 0$. $t > 0$ હોવાથી,$t = 1 \, s$ મળે.
હવે,$t = 1 \, s$ સમયે વેગના ઘટકો શોધો:
$v_x = u_x + a_x t = 4 + 4(1) = 8 \, m \, s^{-1}$.
$v_y = u_y + a_y t = 0 + 4(1) = 4 \, m \, s^{-1}$.
પરિણામી ઝડપ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5} \, m \, s^{-1}$.

(D) આપેલ છે કે,કણનો વેગ $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ m s}^{-1}$ છે.
તેથી,$v_x = \frac{dx}{dt} = 2 \text{ m s}^{-1}$ અને $v_y = \frac{dy}{dt} = 2 \text{ m s}^{-1}$ છે.
$x$-દિશામાં પ્રવેગ $a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0$ છે (કારણ કે $v_x$ અચળ છે).
$y$-દિશામાં પ્રવેગ $a_y = \frac{dv_y}{dt} = a$ છે.
ગતિપથનું સમીકરણ $y = 4x^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dt} = 8x \frac{dx}{dt}$,એટલે કે $v_y = 8x v_x$ મળે.
ફરીથી સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv_y}{dt} = 8 \left( x \frac{dv_x}{dt} + v_x \frac{dx}{dt} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $a_y = a$,$a_x = 0$,$v_x = 2$,અને $\frac{dx}{dt} = v_x = 2$:
$a = 8(x \cdot 0 + 2 \cdot 2) = 8(4) = 32 \text{ m s}^{-2}$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થ $A$ છે અને બીજો પદાર્થ $B$ છે. બંનેને $t=0$ સમયે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી ફેંકવામાં આવે છે.
પદાર્થ $A$ માટે (સીધો ઉપર ફેંકાયેલ): $\vec{v}_A = v_0 \hat{j}$,$\vec{a}_A = -g \hat{j}$.
$t$ સમયે $A$ નું સ્થાન: $\vec{r}_A = (v_0 t) \hat{j} - \frac{1}{2} g t^2 \hat{j}$.
પદાર્થ $B$ માટે (શિરોલંબ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકાયેલ,એટલે કે સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$): $\vec{v}_B = v_0 \cos 30^{\circ} \hat{i} + v_0 \sin 30^{\circ} \hat{j}$.
$t$ સમયે $B$ નું સ્થાન: $\vec{r}_B = (v_0 \cos 30^{\circ} t) \hat{i} + (v_0 \sin 30^{\circ} t - \frac{1}{2} g t^2) \hat{j}$.
સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (v_0 \cos 30^{\circ} t) \hat{i} + (v_0 \sin 30^{\circ} t - v_0 t) \hat{j}$.
કિંમતો $v_0 = 10 \ m \ s^{-1}$ અને $t = 2 \ s$ મૂકતા:
$\vec{r}_{AB} = (10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2) \hat{i} + (10 \times \frac{1}{2} \times 2 - 10 \times 2) \hat{j} = 10\sqrt{3} \hat{i} - 10 \hat{j}$.
અંતર એ $\vec{r}_{AB}$ નું માન છે:
$|\vec{r}_{AB}| = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 + (-10)^2} = \sqrt{300 + 100} = \sqrt{400} = 20 \ m$.

(C) આપેલ છે કે,સ્થાન સદિશ $r = a \cos \omega t \hat{i} + b \sin \omega t \hat{j}$ છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $r$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dr}{dt} = \frac{d}{dt}(a \cos \omega t \hat{i} + b \sin \omega t \hat{j}) = -a \omega \sin \omega t \hat{i} + b \omega \cos \omega t \hat{j}$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-a \omega \sin \omega t \hat{i} + b \omega \cos \omega t \hat{j}) = -a \omega^2 \cos \omega t \hat{i} - b \omega^2 \sin \omega t \hat{j}$.
$-\omega^2$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$a = -\omega^2 (a \cos \omega t \hat{i} + b \sin \omega t \hat{j})$.
કૌંસમાં રહેલું પદ એ મૂળ સ્થાન સદિશ $r$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$a = -\omega^2 r$.
આ દર્શાવે છે કે પ્રવેગ સદિશ $-r$ ની દિશામાં છે.

(D) વેગના ઘટકો સ્થાનના યામોના સમય સાપેક્ષ વિકલન દ્વારા મળે છે:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5t) = 5 \text{ m/s}$
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(135t - 5t^3) = 135 - 15t^2 \text{ m/s}$
પ્રવેગના ઘટકો વેગના ઘટકોના સમય સાપેક્ષ વિકલન દ્વારા મળે છે:
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0 \text{ m/s}^2$
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt}(135 - 15t^2) = -30t \text{ m/s}^2$
બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય:
$\vec{v} \cdot \vec{a} = v_x a_x + v_y a_y = 0$
$(5)(0) + (135 - 15t^2)(-30t) = 0$
$t > 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$135 - 15t^2 = 0$
$15t^2 = 135$
$t^2 = 9$
$t = 3 \text{ s}$

(A) ધારો કે દરેક ડગલાની લંબાઈ $d$ છે. પ્રારંભિક સ્થાન $(0, 0)$ છે.
$1$. $2$ ડગલાં પૂર્વમાં: સ્થાન $(2d, 0)$ થાય છે.
$2$. જમણી તરફ (દક્ષિણ) વળીને $4$ ડગલાં: સ્થાન $(2d, -4d)$ થાય છે.
$3$. જમણી તરફ (પશ્ચિમ) વળીને $6$ ડગલાં: સ્થાન $(2d - 6d, -4d) = (-4d, -4d)$ થાય છે.
$4$. જમણી તરફ (ઉત્તર) વળીને બાકીના ડગલાં ચાલે છે. અત્યાર સુધી કુલ $2 + 4 + 6 = 12$ ડગલાં ચાલ્યા છે. બાકી રહેલા ડગલાં $= 20 - 12 = 8$ ડગલાં ઉત્તરમાં.
અંતિમ સ્થાન $= (-4d, -4d + 8d) = (-4d, 4d)$.
અંતિમ સ્થાન બીજા ચરણમાં (પશ્ચિમ અને ઉત્તર) છે. $x$ અને $y$ યામ સમાન મૂલ્યના હોવાથી $(|-4d| = |4d|)$,આ સ્થાન પશ્ચિમથી ઉત્તર તરફ બરાબર $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે,એટલે કે ઉત્તર-પશ્ચિમ દિશામાં છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $x_1 = u \cos \theta \times t_1$ છે,જ્યાં $t_1 = \frac{u \sin \theta}{g}$.
તેથી,$x_1 = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{u^2 \sin 2\theta}{2g}$.
બીજા પદાર્થ માટે જે '$(90^{\circ}-\theta)$' ખૂણે ફેંકવામાં આવ્યો છે,મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટેનું અંતર $x_2 = u \cos(90^{\circ}-\theta) \times t_2 = u \sin \theta \times \frac{u \cos \theta}{g} = \frac{u^2 \sin 2\theta}{2g}$ છે.
બંને પદાર્થો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું કુલ અંતર $D = x_1 + x_2 = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ થાય.

(B) પદાર્થ $P$ માટે,સમક્ષિતિજ સાથેનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta_P = 30^{\circ}$ છે.
પદાર્થ $Q$ માટે,શિરોલંબ સાથેનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ $30^{\circ}$ છે,તેથી સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta_Q = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થાય.
સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{R_P}{R_Q} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{u_P^2 \sin(2 \times 30^{\circ}) / g}{u_Q^2 \sin(2 \times 60^{\circ}) / g} = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\sin 60^{\circ} = \sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,ગુણોત્તર $\frac{u_P^2}{u_Q^2} = \frac{1}{2}$ થાય,એટલે કે $u_P^2 : u_Q^2 = 1 : 2$.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
તેથી,$\frac{H_P}{H_Q} = \frac{u_P^2 \sin^2 30^{\circ}}{u_Q^2 \sin^2 60^{\circ}} = \left(\frac{u_P^2}{u_Q^2}\right) \times \left(\frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{H_P}{H_Q} = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
આમ,ગુણોત્તર $H_P : H_Q = 1 : 6$ છે.

(D) પ્રારંભિક વેગના ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$u_x = u \cos \theta = 40 \cos 30^{\circ} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \sqrt{3} \ m \ s^{-1}$
$u_y = u \sin \theta = 40 \sin 30^{\circ} = 40 \times \frac{1}{2} = 20 \ m \ s^{-1}$
સમય $t = 2.0 \ s$ માં સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $(x)$:
$x = u_x \times t = (20 \sqrt{3}) \times 2 = 40 \sqrt{3} \ m$
સમય $t = 2.0 \ s$ માં ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર $(y)$:
$y = u_y \times t - \frac{1}{2} g t^2 = (20 \times 2) - \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 40 - 20 = 20 \ m$
કુલ સ્થાનાંતર $(S)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$S = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(40 \sqrt{3})^2 + (20)^2}$
$S = \sqrt{1600 \times 3 + 400} = \sqrt{4800 + 400} = \sqrt{5200}$
$S = \sqrt{400 \times 13} = 20 \sqrt{13} \ m$

(A) ધારો કે વિમાન $t=0$ સમયે અવલોકનકાર $O$ ની બરાબર ઉપર $H$ ઊંચાઈએ બિંદુ $A$ પર છે. સમય $T$ પછી,વિમાન બિંદુ $B$ પર પહોંચે છે જેથી આડું અંતર $AB = VT$ થાય.
અવલોકન બિંદુ $O$ પાસે પથ $AB$ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\alpha$ છે.
$t=0$ સમયે ઉત્સેધકોણ $\theta_1 = 0$ છે.
બિંદુ $O$ પાસે રેખાખંડ $AB$ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\theta = \theta_2 - \theta_1$ છે,જ્યાં $\theta_2 = \tan^{-1}(\frac{VT}{H})$ અને $\theta_1 = 0$ છે.
આમ,આંતરાતો ખૂણો $\tan^{-1}(\frac{VT}{H})$ છે.

(B) ધારો કે કણ $t$ સમયમાં બિંદુ $P$ પર પહોંચે છે. સમક્ષિતિજ અંતર નીચે મુજબ છે:
$x = u \cos \theta \cdot t$
$10 = u \cos 45^{\circ} \cdot t$
$10 = u \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot t \implies t = \frac{10 \sqrt{2}}{u} \quad \dots (i)$
શિરોલંબ અંતર નીચે મુજબ છે:
$y = u \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$
$7.5 = u \sin 45^{\circ} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2$
$7.5 = u \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot t - 5 t^2 \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $t$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$7.5 = u \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left( \frac{10 \sqrt{2}}{u} \right) - 5 \left( \frac{10 \sqrt{2}}{u} \right)^2$
$7.5 = 10 - 5 \cdot \frac{100 \cdot 2}{u^2}$
$7.5 = 10 - \frac{1000}{u^2}$
$\frac{1000}{u^2} = 10 - 7.5 = 2.5$
$u^2 = \frac{1000}{2.5} = 400$
$u = 20 \ m/s$

(A) ધારો કે $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે.
પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{v}_1 = u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}$ છે.
$t$ સમય પછી,વેગ સદિશ $\vec{v}_2 = u \cos \theta \hat{i} + (u \sin \theta - gt) \hat{j}$ થશે.
ગતિની દિશા પ્રારંભિક દિશાને લંબ હોવાથી,બંને વેગ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ: $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$.
$(u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}) \cdot (u \cos \theta \hat{i} + (u \sin \theta - gt) \hat{j}) = 0$
$u^2 \cos^2 \theta + u \sin \theta (u \sin \theta - gt) = 0$
$u^2 \cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta - ugt \sin \theta = 0$
$u^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = ugt \sin \theta$
$u^2 = ugt \sin \theta$
$t = \frac{u}{g \sin \theta}$
અહીં $u = 15 \ m/s$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે:
$t = \frac{15}{10 \times \sin 30^{\circ}} = \frac{15}{10 \times 0.5} = \frac{15}{5} = 3 \ s$.

(A) પ્રોજેક્ટાઈલને બિંદુ $A$ પરથી લોન્ચ કરવામાં આવે છે. બિંદુ $C$ અને $D$ ની વચ્ચે પડવા માટે, પ્રોજેક્ટાઈલની અવધિ (Range) $R$ એ શરત $AB + BC \leq R \leq AB + BC + CD$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
આકૃતિ પરથી, $AB = 8 \,m$, $BC = 12 \,m$, અને $CD = 4.2 \,m$ છે.
તેથી, લઘુત્તમ અવધિ $R_{min} = 8 + 12 = 20 \,m$ અને મહત્તમ અવધિ $R_{max} = 8 + 12 + 4.2 = 24.2 \,m$ છે.
પ્રોજેક્ટાઈલની અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
અહીં $\theta = 15^{\circ}$ આપેલ છે, તેથી $2\theta = 30^{\circ}$ અને $\sin 30^{\circ} = 0.5$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $20 \leq \frac{u^2 \times 0.5}{10} \leq 24.2$.
$20 \leq \frac{u^2}{20} \leq 24.2$.
$400 \leq u^2 \leq 484$.
વર્ગમૂળ લેતા, આપણને $20 \,m/s \leq u \leq 22 \,m/s$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, $21.5 \,m/s$ આ રેન્જમાં આવે છે. તેથી, વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(A) ગતિઊર્જા $KE$ એ $KE = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $m$ અચળ હોવાથી, $KE \propto p^2$. આમ, $KE$ અને $p^2$ વચ્ચેનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે. આ આલેખ $(D)$ સાથે સુસંગત છે.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y$ માટે, $v_y^2 = (u \sin \theta)^2 - 2gy$ નો ઉપયોગ કરતા, ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2) = \frac{1}{2}m(u^2 \cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta - 2gy) = \frac{1}{2}mu^2 - mgy$ થાય છે. આ $KE = -mgy + C$ સ્વરૂપનું સુરેખ સમીકરણ છે, જે ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે. આલેખ $(A)$ $V$-આકાર દર્શાવે છે, જે આ સુરેખ સંબંધ માટે ખોટું છે.
સમય $t$ માટે, $KE = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2) = \frac{1}{2}m(u^2 \cos^2 \theta + (u \sin \theta - gt)^2)$ થાય છે. આ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ $(KE \propto t^2)$ છે, જે પરવલય દર્શાવે છે. આલેખ $(B)$ પરવલયાકાર ફેરફાર દર્શાવે છે.
સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x$ માટે, $x = (u \cos \theta)t \Rightarrow t = \frac{x}{u \cos \theta}$. આ કિંમત $KE$ ના સમીકરણમાં મૂકતા દ્વિઘાત સંબંધ $KE \propto x^2$ મળે છે, જે પણ પરવલયાકાર છે. આલેખ $(C)$ પરવલયાકાર ફેરફાર દર્શાવે છે.
તેથી, આલેખ $(A)$ એ $y$ સાથે $KE$ ના ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવતો નથી.

(B) ધારો કે અથડામણનો સમય $t$ છે. અથડામણ સમયે,બંને કણોના $x$ અને $y$ યામ સમાન હોવા જોઈએ.
કણ $A$ માટે:
$x_A = v t$,$y_A = 30 \ m$.
કણ $B$ માટે:
$a_x = a \sin 60^{\circ} = 0.4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.2\sqrt{3} \ m/s^2$.
$a_y = a \cos 60^{\circ} = 0.4 \times \frac{1}{2} = 0.2 \ m/s^2$.
કણ $B$ ઉગમબિંદુથી શૂન્ય પ્રારંભિક વેગ સાથે શરૂ થાય છે:
$x_B = \frac{1}{2} a_x t^2 = \frac{1}{2} (0.2\sqrt{3}) t^2 = 0.1\sqrt{3} t^2$.
$y_B = \frac{1}{2} a_y t^2 = \frac{1}{2} (0.2) t^2 = 0.1 t^2$.
અથડામણ માટે,$y_A = y_B$:
$30 = 0.1 t^2 \Rightarrow t^2 = 300 \Rightarrow t = 10\sqrt{3} \ s$.
અથડામણ માટે,$x_A = x_B$:
$v t = 0.1\sqrt{3} t^2 \Rightarrow v = 0.1\sqrt{3} t$.
$t = 10\sqrt{3}$ મૂકતા:
$v = 0.1\sqrt{3} \times 10\sqrt{3} = 1 \times 3 = 3 \ m/s$.
આમ,$|v|$ નું મૂલ્ય $3 \ m/s$ છે.

(B) રેખીય વેગ $\vec{v}$,કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણ માટે,કોણીય વેગ $\vec{\omega} = \frac{\vec{r} \times \vec{v}}{|\vec{r}|^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{r} = \hat{i} + 9 \hat{j} - 8 \hat{k}$ અને $\vec{v} = 3 \hat{i} - 4 \hat{j} + 5 \hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{r} \times \vec{v}$ શોધો:
$\vec{r} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 9 & -8 \\ 3 & -4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(45 - 32) - \hat{j}(5 - (-24)) + \hat{k}(-4 - 27) = 13 \hat{i} - 29 \hat{j} - 31 \hat{k}$.
ત્યારબાદ,$|\vec{r}|^2 = 1^2 + 9^2 + (-8)^2 = 1 + 81 + 64 = 146$ શોધો.
તેથી,$\vec{\omega} = \frac{13 \hat{i} - 29 \hat{j} - 31 \hat{k}}{146}$.

(A) બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} = a \sin(\omega t)\hat{i} + a(1 - \cos(\omega t))\hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ સ્થાન સદિશનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = a\omega \cos(\omega t)\hat{i} + a\omega \sin(\omega t)\hat{j}$.
પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ એ વેગ સદિશનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -a\omega^2 \sin(\omega t)\hat{i} + a\omega^2 \cos(\omega t)\hat{j}$.
$\vec{v}$ અને $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,આપણે ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{v}| |\vec{a}|}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{v} \cdot \vec{a}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{v} \cdot \vec{a} = (a\omega \cos(\omega t))(-a\omega^2 \sin(\omega t)) + (a\omega \sin(\omega t))(a\omega^2 \cos(\omega t))$
$\vec{v} \cdot \vec{a} = -a^2\omega^3 \cos(\omega t)\sin(\omega t) + a^2\omega^3 \sin(\omega t)\cos(\omega t) = 0$.
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,તેથી $\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(D) વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ગતિ ઊર્જાને કોણીય વેગમાનના પદમાં $K = \frac{1}{2}L\omega$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
આના પરથી,કોણીય વેગમાન $L = \frac{2K}{\omega}$ થાય.
આવૃત્તિ $f$ બમણી થતી હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f$ પણ બમણો થાય છે,તેથી $\omega_2 = 2\omega_1$.
ગતિ ઊર્જા અડધી થાય છે,તેથી $K_2 = \frac{K_1}{2}$.
હવે,નવા કોણીય વેગમાન $L_2$ ની ગણતરી કરતા:
$L_2 = \frac{2K_2}{\omega_2} = \frac{2(K_1/2)}{2\omega_1} = \frac{K_1}{2\omega_1} = \frac{1}{4} \left( \frac{2K_1}{\omega_1} \right) = \frac{L_1}{4}$.
તેથી,નવું કોણીય વેગમાન $\frac{L}{4}$ થશે.

(B) સરેરાશ ટોર્ક $\tau_{avg}$ એ કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\tau_{avg} = \frac{\Delta L}{\Delta t}$.
પ્રક્ષેપણ બિંદુ પર,કોણીય વેગમાન $L_i = 0$ છે.
જમીન પર અથડાય ત્યારે,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પ્રક્ષેપણ બિંદુથી $R$ (અવધિ) જેટલા સમક્ષિતિજ અંતરે હોય છે. શિરોલંબ વેગ ઘટક $v_y = -u \sin \theta$ અને સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ છે.
અથડામણના બિંદુએ કોણીય વેગમાન $L_f = m \times v_y \times R = m(-u \sin \theta) \times \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = -\frac{m u^3 \sin \theta \sin 2\theta}{g}$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ટોર્કનો ઉપયોગ કરતા: $\tau = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times m\vec{g}$.
સરેરાશ ટોર્ક $\tau_{avg} = \frac{1}{T} \int_0^T \tau dt = \frac{1}{T} \int_0^T (mg \cdot x) dt = \frac{mg}{T} \int_0^T (u \cos \theta) t dt = \frac{mg u \cos \theta}{T} [\frac{t^2}{2}]_0^T = \frac{mg u \cos \theta T}{2}$.
કારણ કે $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$,તેથી $\tau_{avg} = \frac{mg u \cos \theta}{2} \times \frac{2u \sin \theta}{g} = m u^2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} m u^2 \sin 2\theta$.
કિંમતો મૂકતા: $m = 1 \ kg$,$u = 10 \ ms^{-1}$,$\theta = 45^{\circ}$.
$\tau_{avg} = \frac{1}{2} \times 1 \times (10)^2 \times \sin(90^{\circ}) = \frac{1}{2} \times 100 \times 1 = 50 \ Nm$.

(B) આપેલ દળ $m = 250 \ g = 0.25 \ kg$,દોરીની લંબાઈ $l = 50 \ cm = 0.5 \ m$,અને મહત્તમ તણાવ $T_{\max} = 72 \ N$.
સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર ગતિ માટે,દોરીમાં રહેલું તણાવ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$T = m \omega^2 R$.
અહીં,વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R$ એ દોરીની લંબાઈ $l$ જેટલી છે (ધારો કે દોરી સમક્ષિતિજ રહે છે).
$T_{\max} = m \omega_{\max}^2 l$.
કિંમતો મૂકતા:
$72 = 0.25 \times \omega_{\max}^2 \times 0.5$.
$72 = 0.125 \times \omega_{\max}^2$.
$\omega_{\max}^2 = \frac{72}{0.125} = 576$.
$\omega_{\max} = \sqrt{576} = 24 \ rad/s$.

(C) જ્યારે પથ્થરને પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{u^2}{2g}$
આના પરથી,આપણે પ્રારંભિક વેગના વર્ગને આ રીતે દર્શાવી શકીએ:
$u^2 = 2gh$
જ્યારે તે જ પથ્થરને સમક્ષિતિજ દિશામાં (પ્રક્ષિપ્ત ગતિ તરીકે) મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{\max}$ પ્રાપ્ત કરવા માટે ફેંકવામાં આવે,ત્યારે પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$ હોવો જોઈએ. મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર છે:
$R_{\max} = \frac{u^2}{g}$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $u^2$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$R_{\max} = \frac{2gh}{g}$
$R_{\max} = 2h$
આમ,વ્યક્તિ પથ્થરને જે મહત્તમ સમક્ષિતિજ અંતરે ફેંકી શકે છે તે $2h$ છે.

(A, B) આપેલ સ્થાન સદિશ: $\vec{r} = b \cos \omega t \hat{i} + b \sin \omega t \hat{j}$.
વેગ સદિશ: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = -b \omega \sin \omega t \hat{i} + b \omega \cos \omega t \hat{j}$.
વેગનું મૂલ્ય: $v = |\vec{v}| = \sqrt{(-b \omega \sin \omega t)^2 + (b \omega \cos \omega t)^2} = b \omega$.
કારણ કે $v$ અચળ છે,ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mb^2\omega^2$ અચળ છે. તેથી,$\frac{E}{\omega} = \frac{1}{2}mb^2\omega$ અચળ છે. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
ગતિપથ: $x = b \cos \omega t$ અને $y = b \sin \omega t$. વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા: $x^2 + y^2 = b^2(\cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t) = b^2$. આ એક વર્તુળ છે. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
પ્રવેગ: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -b \omega^2 \cos \omega t \hat{i} - b \omega^2 \sin \omega t \hat{j} = -\omega^2 \vec{r}$.
ઘટકો: $a_x = -b \omega^2 \cos \omega t$ અને $a_y = -b \omega^2 \sin \omega t$. તેથી,$a_x^2 + a_y^2 = (b \omega^2)^2$,જે $a_x-a_y$ સમતલમાં એક વર્તુળ છે. વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
કારણ કે $\vec{a} = -\omega^2 \vec{r}$ અને $\vec{v} \perp \vec{r}$,$\vec{a}$ એ $\vec{v}$ ને સમાંતર નથી. વિધાન $(D)$ ખોટું છે.

(D) પ્રક્ષેપણ બિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,કણનો વેગ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ હોય છે,જે $v_x = u \cos \theta$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થાન સદિશનો શિરોલંબ ઘટક મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ જેટલો હોય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = m v_x H = m (u \cos \theta) \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$ છે.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $L = \frac{m u^3}{2g} \sin^2 \theta \cos \theta$ મળે છે.
$\theta = 0^{\circ}$ માટે,$L = 0$. $\theta = 90^{\circ}$ (અથવા $\frac{\pi}{2}$) માટે,$L = 0$.
$0$ અને $\frac{\pi}{2}$ ની વચ્ચે,વિધેય $f(\theta) = \sin^2 \theta \cos \theta$ ધન છે અને મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે. આ આલેખ $D$ માં દર્શાવેલ આકારને અનુરૂપ છે.

(D) બિંદુ $A$ આગળ, ગતિઊર્જા $(KE)_A = K = \frac{1}{2}mu^2$ છે.
સૌથી ઊંચા બિંદુ $B$ આગળ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે, તેથી વેગ $v_B = u \cos 60^{\circ} = \frac{u}{2}$ થાય.
બિંદુ $B$ આગળ ગતિઊર્જા $(KE)_B = \frac{1}{2}m(\frac{u}{2})^2 = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}mu^2) = \frac{K}{4}$ થાય.
બિંદુ $A$ અને $C$ એક જ સમક્ષિતિજ સપાટી પર હોવાથી, $C$ આગળની ઝડપ $A$ આગળની ઝડપ જેટલી જ હોય છે. તેથી, $(KE)_C = (KE)_A = K$.
બિંદુ $B$ અને $C$ આગળની ગતિઊર્જાનો તફાવત $|(KE)_C - (KE)_B| = |K - \frac{K}{4}| = \frac{3K}{4}$ થાય.
આ તફાવતનો બિંદુ $A$ આગળની ગતિઊર્જા સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{3K/4}{K} = \frac{3}{4}$ થાય.

(D) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $u$ છે. પ્રારંભિક વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે કોઈ એક બિંદુએ,સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે ઝડપ $v = 20 \text{ m/s}$ છે,તેથી આ વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos 45^{\circ} = 20 \cos 45^{\circ} = 20 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} \text{ m/s}$ થાય.
કારણ કે $u_x = v_x$,તેથી:
$u \cos 60^{\circ} = \frac{20}{\sqrt{2}}$
$u \times \frac{1}{2} = \frac{20}{\sqrt{2}}$
$u = \frac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2} \text{ m/s}$.