Multiplication of Vectors Questions in Hindi

(A) मान लीजिए कि उत्तर दिशा धनात्मक $y$-अक्ष $(+\hat{j})$ के अनुदिश है और पूर्व दिशा धनात्मक $x$-अक्ष $(+\hat{i})$ के अनुदिश है।
चूंकि सदिश $\vec{A}$ उत्तर की ओर है,इसलिए $\vec{A} = A\hat{j}$।
सदिश $\vec{B}$ ऊपर की ओर है,जो क्षैतिज तल के लंबवत है। मान लीजिए यह $z$-अक्ष है,तो $\vec{B} = B\hat{k}$।
सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B} = (A\hat{j}) \times (B\hat{k})$ होगा।
इकाई सदिशों के गुणनफल के नियमों का उपयोग करते हुए $(\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i})$,हमें $\vec{A} \times \vec{B} = AB\hat{i}$ प्राप्त होता है।
दिशा $\hat{i}$ पूर्व दिशा को दर्शाती है।
अतः,सदिश $\vec{A} \times \vec{B}$ पूर्व दिशा की ओर इंगित करता है।

(B) दिया गया समीकरण $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$ है।
हम लिख सकते हैं $\vec{A} = -(\vec{B} + \vec{C})$।
दोनों पक्षों का $\vec{B}$ के साथ सदिश गुणन (cross product) लेने पर:
$\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} + \vec{C}) \times \vec{B}$।
सदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{B}) - (\vec{C} \times \vec{B})$।
चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ सदिश गुणन शून्य होता है $(\vec{B} \times \vec{B} = 0)$:
$\vec{A} \times \vec{B} = 0 - (\vec{C} \times \vec{B})$।
गुणधर्म $\vec{C} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{C})$ का उपयोग करने पर:
$\vec{A} \times \vec{B} = -(-(\vec{B} \times \vec{C})) = \vec{B} \times \vec{C}$।
अतः,$\vec{A} \times \vec{B} = \vec{B} \times \vec{C} = \vec{C} \times \vec{A}$।

(B) दिए गए सदिश $\vec{A} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ और $\vec{B} = 4 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$ हैं।
सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B}$ ज्ञात करने के लिए,हम सारणिक (determinant) विधि का उपयोग करते हैं:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i} [(-3)(2) - (4)(1)] - \hat{j} [(2)(2) - (4)(4)] + \hat{k} [(2)(1) - (-3)(4)]$
$= \hat{i} [-6 - 4] - \hat{j} [4 - 16] + \hat{k} [2 + 12]$
$= -10 \hat{i} + 12 \hat{j} + 14 \hat{k}$
अब,परिमाण (magnitude) $|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{(-10)^2 + (12)^2 + (14)^2}$ की गणना करते हैं।
$= \sqrt{100 + 144 + 196}$
$= \sqrt{440}$
$= \sqrt{4 \times 110} = 2 \sqrt{110}$.

(A) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो।
$(a \hat{i} + b \hat{j} + \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) = 0$
$2a - 3b + 4 = 0 \Rightarrow 2a - 3b = -4$
हमें दूसरा समीकरण दिया गया है: $3a + 2b = 7$।
$a$ और $b$ का मान निकालने के लिए,पहले समीकरण को $2$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करें:
$4a - 6b = -8$
$9a + 6b = 21$
दोनों को जोड़ने पर: $13a = 13 \Rightarrow a = 1$।
$a = 1$ को $3a + 2b = 7$ में रखने पर: $3(1) + 2b = 7 \Rightarrow 2b = 4 \Rightarrow b = 2$।
अनुपात $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ है।
दिया गया है कि $\frac{a}{b} = \frac{x}{2}$,इसलिए $\frac{1}{2} = \frac{x}{2}$,जिसका अर्थ है $x = 1$।

(D) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0$.
दिया गया है $\vec{P} = \hat{i} + 2m \hat{j} + m \hat{k}$ और $\vec{Q} = 4 \hat{i} - 2 \hat{j} + m \hat{k}$.
अदिश गुणनफल लेने पर:
$(\hat{i} + 2m \hat{j} + m \hat{k}) \cdot (4 \hat{i} - 2 \hat{j} + m \hat{k}) = 0$
$(1)(4) + (2m)(-2) + (m)(m) = 0$
$4 - 4m + m^2 = 0$
यह एक द्विघात समीकरण है जिसे $(m - 2)^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$m = 2$.

(D) सबसे पहले,सारणिक विधि का उपयोग करके सदिश गुणनफल $\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & \sqrt{3} & 2.5 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(\sqrt{3} \times 2.5 - 2 \times \sqrt{3}) - \hat{j}(3 \times 2.5 - 2 \times 4) + \hat{k}(3 \times \sqrt{3} - 4 \times \sqrt{3})$
$= 0.5\sqrt{3}\hat{i} + 0.5\hat{j} - \sqrt{3}\hat{k} = \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \sqrt{3}\hat{k}$
अब,इसका परिमाण $|\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q}| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 3} = \sqrt{4} = 2$ है।
इकाई सदिश = $\frac{\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q}}{|\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q}|} = \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \sqrt{3}\hat{k}) = \frac{1}{4}(\sqrt{3}\hat{i} + \hat{j} - 2\sqrt{3}\hat{k})$।
इसकी तुलना करने पर,$x = 4$ प्राप्त होता है।

(B) अदिश त्रिक गुणनफल $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0$ यह दर्शाता है कि तीनों सदिश समतलीय (coplanar) हैं।
इसकी गणना घटकों के सारणिक (determinant) का उपयोग करके की जा सकती है:
$\begin{vmatrix} -x & -6 & -2 \\ -1 & 4 & 3 \\ -8 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$-x(4(3) - 3(-1)) - (-6)((-1)(3) - 3(-8)) + (-2)((-1)(-1) - 4(-8)) = 0$
$-x(12 + 3) + 6(-3 + 24) - 2(1 + 32) = 0$
$-15x + 6(21) - 2(33) = 0$
$-15x + 126 - 66 = 0$
$-15x + 60 = 0$
$15x = 60$
$x = 4$

(A) दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{5}{9}\right)$ है,इसलिए $\cos \theta = \frac{5}{9}$।
हमें शर्त $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{2}|\vec{a}-\vec{b}|$ दी गई है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 2|\vec{a}-\vec{b}|^2$।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर: $a^2 + b^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} = 2(a^2 + b^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b})$।
$a^2 + b^2 + 2ab\cos\theta = 2a^2 + 2b^2 - 4ab\cos\theta$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $6ab\cos\theta = a^2 + b^2$।
$\cos\theta = \frac{5}{9}$ रखने पर: $6ab\left(\frac{5}{9}\right) = a^2 + b^2$।
$\frac{10}{3}ab = a^2 + b^2$।
दिया गया है कि $|\vec{a}| = n|\vec{b}|$,इसलिए $a = nb$। इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{10}{3}(nb)b = (nb)^2 + b^2$।
$\frac{10}{3}nb^2 = n^2b^2 + b^2$।
$b^2$ से विभाजित करने पर ($b \neq 0$ मानते हुए): $\frac{10}{3}n = n^2 + 1$।
$3n^2 - 10n + 3 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(3n - 1)(n - 3) = 0$।
अतः,$n = \frac{1}{3}$ या $n = 3$।
$n$ का पूर्णांक मान $3$ है।

(A) दिया गया है: $|\vec{A}|=4$,$|\vec{A}+\vec{B}|=10$,और $\vec{A} \cdot(\vec{A}+\vec{B})=20$.
डॉट गुणन का विस्तार करने पर: $\vec{A} \cdot \vec{A} + \vec{A} \cdot \vec{B} = 20$.
चूंकि $\vec{A} \cdot \vec{A} = |\vec{A}|^2 = 4^2 = 16$,इसलिए $16 + \vec{A} \cdot \vec{B} = 20$,जिसका अर्थ है कि $\vec{A} \cdot \vec{B} = 4$.
अब,योग का परिमाण लेने पर: $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = (\vec{A}+\vec{B}) \cdot (\vec{A}+\vec{B}) = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2(\vec{A} \cdot \vec{B})$.
ज्ञात मान रखने पर: $10^2 = 4^2 + |\vec{B}|^2 + 2(4)$.
$100 = 16 + |\vec{B}|^2 + 8$.
$100 = 24 + |\vec{B}|^2$.
$|\vec{B}|^2 = 100 - 24 = 76$.
अतः,$|\vec{B}| = \sqrt{76}$ इकाई।

(A) दिया गया है कि $|\vec{A}_1|=2, |\vec{A}_2|=3$ और $|\vec{A}_1+\vec{A}_2|=3$.
योग के परिमाण का वर्ग करने पर:
$(|\vec{A}_1+\vec{A}_2|)^2 = 3^2$
$A_1^2 + A_2^2 + 2 \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 = 9$
$4 + 9 + 2 \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 = 9$
$13 + 2 \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 = 9$
$2 \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 = -4$
$\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 = -2$
अब,$(\vec{A}_1+2 \vec{A}_2) \cdot (3 \vec{A}_1-4 \vec{A}_2)$ व्यंजक का विस्तार करने पर:
$= 3 \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_1 - 4 \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 + 6 \vec{A}_2 \cdot \vec{A}_1 - 8 \vec{A}_2 \cdot \vec{A}_2$
$= 3 |\vec{A}_1|^2 + 2 \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 - 8 |\vec{A}_2|^2$
मान रखने पर:
$= 3(2)^2 + 2(-2) - 8(3)^2$
$= 3(4) - 4 - 8(9)$
$= 12 - 4 - 72$
$= 8 - 72 = -64$

(D) सदिश गुणनफल $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}$ एक ऐसा सदिश है जो $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ दोनों के लंबवत होता है।
चूंकि $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}$ उस तल के लंबवत है जिसमें $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ स्थित हैं,इसलिए यह उस तल में स्थित किसी भी सदिश के लंबवत होगा।
$(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B})$ और $(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ दोनों $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ के रैखिक संयोजन हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक ही तल में स्थित हैं।
इसलिए,$(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) \perp (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B})$ और $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) \perp (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ दोनों सही हैं।
कथन $(e)$ गलत है क्योंकि $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}$ एक अदिश राशि है,सदिश नहीं,और लंबवत होने की अवधारणा केवल सदिशों के लिए परिभाषित है।

(C) दिया गया है कि $|\hat{a} \cdot \hat{b}| = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{a}| = 1$ और $|\hat{b}| = 1$.
अतः,$|\cos \theta| = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 60^\circ$ या $\theta = 120^\circ$.
हम जानते हैं कि $|\hat{a} - \hat{b}|^2 = |\hat{a}|^2 + |\hat{b}|^2 - 2(\hat{a} \cdot \hat{b})$.
स्थिति $1$: यदि $\hat{a} \cdot \hat{b} = \frac{1}{2}$ है,तो $|\hat{a} - \hat{b}|^2 = 1 + 1 - 2(\frac{1}{2}) = 1$,इसलिए $|\hat{a} - \hat{b}| = 1$.
स्थिति $2$: यदि $\hat{a} \cdot \hat{b} = -\frac{1}{2}$ है,तो $|\hat{a} - \hat{b}|^2 = 1 + 1 - 2(-\frac{1}{2}) = 3$,इसलिए $|\hat{a} - \hat{b}| = \sqrt{3}$.
अतः,$|\hat{a} - \hat{b}|$ का मान $1$ या $\sqrt{3}$ हो सकता है।

(D) दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ हो।
मान लीजिए $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
विकल्प $A$ के लिए: $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(1) = 1 - 1 + 1 = 1 \neq 0$.
विकल्प $B$ के लिए: $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(-1) = 1 - 1 - 1 = -1 \neq 0$.
विकल्प $C$ के लिए: $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (-\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = (1)(-1) + (1)(-1) + (1)(-1) = -1 - 1 - 1 = -3 \neq 0$.
विकल्प $D$ के लिए: $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}) = (1)(3) + (1)(2) + (1)(-5) = 3 + 2 - 5 = 0$.
चूंकि विकल्प $D$ के लिए अदिश गुणनफल शून्य है,इसलिए यह सही उत्तर है।

(C) क्रॉस प्रोडक्ट के वितरण नियम (distributive property) का उपयोग करते हुए:
$(\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b}$
चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस प्रोडक्ट शून्य होता है,इसलिए $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{b} = 0$ है।
साथ ही,एंटी-कम्यूटेटिव गुण का उपयोग करते हुए,$-\vec{b} \times \vec{a} = \vec{a} \times \vec{b}$ होता है।
अतः,व्यंजक $0 + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} - 0 = 2(\vec{a} \times \vec{b})$ हो जाता है।

(D) दिया गया है कि $\hat{a}_{1}$ और $\hat{a}_{2}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{a}_{1}| = 1$ और $|\hat{a}_{2}| = 1$.
दिया गया है $|\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}| = \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}|^2 = 3$ प्राप्त होता है।
$(\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}) \cdot (\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}) = 3 \implies |\hat{a}_{1}|^2 + |\hat{a}_{2}|^2 - 2(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) = 3$.
$1 + 1 - 2(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) = 3 \implies 2 - 2(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) = 3 \implies \hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2} = -1/2$.
अब,हमें $(\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}) \cdot (2\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2})$ का मान ज्ञात करना है।
$= 2(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{1}) - (\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) - 2(\hat{a}_{2} \cdot \hat{a}_{1}) + (\hat{a}_{2} \cdot \hat{a}_{2})$.
$= 2(1) - 3(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) + 1$.
$= 3 - 3(-1/2) = 3 + 3/2 = 9/2 = 4.5$.

(A) दी गई शर्त $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A} \times \vec{B}|$ से।
डॉट और क्रॉस गुणन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$AB \cos \theta = AB \sin \theta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $AB$ से विभाजित करने पर,$\cos \theta = \sin \theta$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan \theta = 1$।
अतः,$\theta = 45^{\circ}$ या $\frac{\pi}{4}$ रेडियन है।
परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ का परिमाण $|\vec{R}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 45^{\circ}$ रखने पर,$|\vec{R}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2AB \cos 45^{\circ}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $|\vec{R}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2AB \times \frac{1}{\sqrt{2}}}$।
सरल करने पर,$|\vec{R}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + \sqrt{2} AB}$ प्राप्त होता है।

(D) यदि दो सदिश एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,तो उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होता है।
दिए गए सदिश $A = 2i + 2j + 3k$ और $B = 3i + 6j + nk$ हैं।
अदिश गुणनफल $A \cdot B = (2)(3) + (2)(6) + (3)(n) = 0$ होगा।
पदों की गणना करने पर: $6 + 12 + 3n = 0$.
$18 + 3n = 0$.
$3n = -18$.
$n = -6$.
अतः,$n$ का मान $-6$ है।

(D) दो सदिश $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0$.
दिया है $\overrightarrow{A} = a_{1} \hat{\imath} + a_{2} \hat{\jmath}$ और $\overrightarrow{B} = b_{1} \hat{\imath} + b_{2} \hat{\jmath}$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(a_{1} \hat{\imath} + a_{2} \hat{\jmath}) \cdot (b_{1} \hat{\imath} + b_{2} \hat{\jmath}) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0$.
इसका अर्थ है $a_{1}b_{1} = -a_{2}b_{2}$.
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{a_{1}}{b_{2}} = -\frac{a_{2}}{b_{1}}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) मान लीजिए $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ एक समतल में दो सदिश हैं। उनका योग $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ एक सदिश है जो उसी समतल में स्थित है जिसमें $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ स्थित हैं।
सदिश गुणन (cross product) की परिभाषा के अनुसार,$\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}$ एक ऐसा सदिश है जो $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ दोनों को समाहित करने वाले समतल के लंबवत होता है।
चूंकि सदिश $(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B})$ समतल में स्थित है और सदिश $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$ समतल के लंबवत है,इसलिए उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2} \text{ rad}$ है।
गणितीय रूप से,इन दो सदिशों का अदिश गुणन (dot product) है:
$(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) + \overrightarrow{B} \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट के गुण का उपयोग करते हुए,$\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) = 0$ और $\overrightarrow{B} \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) = 0$ होता है।
अतः,$(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) = 0$,जो यह पुष्टि करता है कि सदिश परस्पर लंबवत हैं और उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(B) दो सदिश $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0$।
दिया है $\vec{P} = b \hat{i} + 6 \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{Q} = \hat{i} - a \hat{j} + 4 \hat{k}$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(b)(1) + (6)(-a) + (1)(4) = 0$।
यह $b - 6a + 4 = 0$ या $b - 6a = -4$ में सरल हो जाता है।
हमें समीकरण $3b - a = 5$ भी दिया गया है,जिसका अर्थ है $a = 3b - 5$।
$a$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $b - 6(3b - 5) = -4$।
$b - 18b + 30 = -4$।
$-17b = -34$,इसलिए $b = 2$।
अब,$a$ का मान ज्ञात करें: $a = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1$।
अतः,$a = 1$ और $b = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के सदिश गुणनफल (क्रॉस प्रोडक्ट) का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta$
दिया गया है:
$|\vec{A}| = 5 \sqrt{3}$ इकाई
$|\vec{B}| = 10$ इकाई
$\theta = 30^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = (5 \sqrt{3}) \times (10) \times \sin 30^{\circ}$
$|\vec{A} \times \vec{B}| = 50 \sqrt{3} \times \frac{1}{2}$
$|\vec{A} \times \vec{B}| = 25 \sqrt{3}$ इकाई
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) हमें $|\vec{a}| = \sqrt{26}$,$|\vec{b}| = 7$,और $|\vec{a} \times \vec{b}| = 35$ दिया गया है।
सदिश गुणनफल के सूत्र का उपयोग करते हुए: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = 35$।
मान रखने पर: $\sqrt{26} \times 7 \times \sin \theta = 35$।
$\sin \theta = \frac{35}{7 \sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$।
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$।
अतः,$|\cos \theta| = \frac{1}{\sqrt{26}}$।
अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{26} \times 7 \times \left( \pm \frac{1}{\sqrt{26}} \right) = \pm 7$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $7$ है।

(D) दिया गया है: $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
सबसे पहले,सदिशों $(\vec{a} + 3\vec{b})$ और $(2\vec{a} - \vec{b})$ की गणना करें:
$\vec{a} + 3\vec{b} = (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + 3(3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (1+9)\hat{i} + (1+6)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = 10\hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}$.
$2\vec{a} - \vec{b} = 2(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) - (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (2-3)\hat{i} + (2-2)\hat{j} + (4+1)\hat{k} = -\hat{i} + 0\hat{j} + 5\hat{k}$.
अब,अदिश गुणन (dot product) ज्ञात करें: $[(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b})] = (10\hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}) \cdot (-\hat{i} + 0\hat{j} + 5\hat{k})$.
$= (10 \times -1) + (7 \times 0) + (-1 \times 5) = -10 + 0 - 5 = -15$.
$-15$ का परिमाण (magnitude) $|-15| = 15$ है।

(C) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) शून्य हो।
माना $\vec{A} = a \hat{i} + b \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{B} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है।
$\vec{A} \cdot \vec{B} = (a)(2) + (b)(-3) + (1)(4) = 0$.
$2a - 3b + 4 = 0$,जिसका अर्थ है $2a - 3b = -4$.
हमें समीकरणों का निकाय दिया गया है:
$1) 2a - 3b = -4$
$2) 3a + 2b = 7$
समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$4a - 6b = -8$
$9a + 6b = 21$
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $13a = 13$,अतः $a = 1$ प्राप्त होता है।
$a = 1$ को $3a + 2b = 7$ में रखने पर: $3(1) + 2b = 7 \implies 2b = 4 \implies b = 2$ प्राप्त होता है।
अनुपात $a/b = 1/2$ है।
हमें $a/b = x/2$ दिया गया है,इसलिए $1/2 = x/2$,जिसका अर्थ है कि $x = 1$।

(B) दिया गया है कि $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$,इसका अर्थ है कि सदिश $\vec{A}$,सदिश $\vec{B}$ के लंबवत है।
दिया गया है कि $\vec{A} \cdot \vec{C} = 0$,इसका अर्थ है कि सदिश $\vec{A}$,सदिश $\vec{C}$ के लंबवत है।
चूंकि सदिश $\vec{A}$,$\vec{B}$ और $\vec{C}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए इसे $\vec{B}$ और $\vec{C}$ के सदिश गुणनफल (cross product) की दिशा के समांतर होना चाहिए।
सदिश गुणनफल $\vec{B} \times \vec{C}$ एक ऐसा सदिश प्रदान करता है जो $\vec{B}$ और $\vec{C}$ दोनों वाले तल के लंबवत होता है।
अतः,$\vec{A}$,$\vec{B} \times \vec{C}$ के समांतर है।

(B) दिया गया सदिश $\vec{P} = P \sin \theta \hat{i} - P \cos \theta \hat{j}$ है।
दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) शून्य हो,अर्थात $\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0$।
आइए विकल्प $B$ की जाँच करें: $\vec{Q} = Q \cos \theta \hat{i} + Q \sin \theta \hat{j}$।
$\vec{P} \cdot \vec{Q} = (P \sin \theta \hat{i} - P \cos \theta \hat{j}) \cdot (Q \cos \theta \hat{i} + Q \sin \theta \hat{j})$
$= (P \sin \theta)(Q \cos \theta) + (-P \cos \theta)(Q \sin \theta)$
$= PQ \sin \theta \cos \theta - PQ \sin \theta \cos \theta = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए सदिश लंबवत हैं।

(C) मान लीजिए कि दो सदिश $P$ और $Q$ चित्र में दिखाए गए अनुसार हैं।
यहाँ,$Q_P$ सदिश $P$ की दिशा में सदिश $Q$ का घटक है।
$Q$ का $P$ पर प्रक्षेप द्वारा बने समकोण त्रिभुज से,हमें प्राप्त होता है:
$\cos \theta = \frac{Q_P}{Q}$
$\Rightarrow Q_P = Q \cos \theta$
हम जानते हैं कि दो सदिशों का अदिश गुणनफल $P \cdot Q = PQ \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$\cos \theta = \frac{P \cdot Q}{PQ}$।
इस मान को $Q_P$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$Q_P = Q \left( \frac{P \cdot Q}{PQ} \right)$
$Q_P = \frac{P \cdot Q}{P}$
अतः,$P$ की दिशा में $Q$ का घटक $\frac{P \cdot Q}{P}$ है।

(B) दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.
दिया गया है $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}$ और $\vec{B} = -4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}) = 0$.
$(2)(-4) + (3)(4) + (8)(\alpha) = 0$.
$-8 + 12 + 8\alpha = 0$.
$4 + 8\alpha = 0$.
$8\alpha = -4$.
$\alpha = -4/8 = -1/2$.

(C) दिया गया है कि सदिश $A$ और $B$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $A \cdot B = 0$ है।
हमें सदिश $(A+B)$ की दिशा में सदिश $(A-B)$ का घटक ज्ञात करना है।
किसी सदिश $P$ का सदिश $Q$ की दिशा में घटक ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Component} = \frac{P \cdot Q}{|Q|}$।
यहाँ,$P = A-B$ और $Q = A+B$ है।
सबसे पहले,$(A+B)$ का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|A+B| = \sqrt{(A+B) \cdot (A+B)} = \sqrt{A \cdot A + B \cdot B + 2(A \cdot B)} = \sqrt{|A|^2 + |B|^2 + 0} = \sqrt{|A|^2 + |B|^2}$।
अब,अदिश गुणनफल $(A-B) \cdot (A+B)$ ज्ञात करते हैं:
$(A-B) \cdot (A+B) = A \cdot A + A \cdot B - B \cdot A - B \cdot B = |A|^2 + 0 - 0 - |B|^2 = |A|^2 - |B|^2$।
अंत में,घटक होगा:
$\text{Component} = \frac{(A-B) \cdot (A+B)}{|A+B|} = \frac{|A|^2 - |B|^2}{\sqrt{|A|^2 + |B|^2}}$।

(C) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) $0$ के बराबर हो।
माना दिया गया सदिश $\vec{A} = 4 \hat{i} - 3 \hat{j}$ है।
हम प्रत्येक विकल्प के साथ $\vec{A}$ का अदिश गुणनफल जाँचते हैं:
विकल्प $C$ के लिए: $\vec{B} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$।
$\vec{A} \cdot \vec{B} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) = (4 \times 3) + (-3 \times 4) = 12 - 12 = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश $(3 \hat{i} + 4 \hat{j})$,$(4 \hat{i} - 3 \hat{j})$ के लंबवत है।

(B) दो सदिशों $\overrightarrow{r}$ और $\overrightarrow{F}$ का सदिश गुणनफल (cross product) सारणिक विधि द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:
$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ r_x & r_y & r_z \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$
यहाँ $\overrightarrow{r} = (-5 \hat{i} - 3 \hat{j} + 0 \hat{k}) \text{ m}$ और $\overrightarrow{F} = (4 \hat{i} - 10 \hat{j} + 0 \hat{k}) \text{ N}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & -3 & 0 \\ 4 & -10 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-3)(0) - (0)(-10)) - \hat{j}((-5)(0) - (0)(4)) + \hat{k}((-5)(-10) - (-3)(4))$
$= \hat{i}(0) - \hat{j}(0) + \hat{k}(50 - (-12))$
$= \hat{k}(50 + 12) = 62 \hat{k} \text{ Nm}$.

(C) दो सदिशों $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ का सदिश गुणनफल $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = AB \sin \theta \hat{n}$ के रूप में परिभाषित होता है।
दो समांतर सदिशों के लिए,उनके बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = AB \sin(0^\circ) \hat{n} = AB(0) \hat{n} = \vec{0}$.
अतः,दो समांतर सदिशों का सदिश गुणनफल एक शून्य सदिश होता है।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(C) दो सदिशों का डॉट गुणन (अदिश गुणन) एक अदिश परिणाम देता है,जबकि क्रॉस गुणन (सदिश गुणन) एक सदिश परिणाम देता है।
$1$. $(\vec{A} \cdot \vec{A})(\vec{B} \cdot \vec{C})$ के लिए: $(\vec{A} \cdot \vec{A})$ और $(\vec{B} \cdot \vec{C})$ दोनों अदिश हैं। दो अदिशों का गुणनफल एक अदिश होता है। यह कथन सत्य है।
$2$. $(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot(\vec{B} \times \vec{C})$ के लिए: $(\vec{A} \times \vec{B})$ और $(\vec{B} \times \vec{C})$ दोनों सदिश हैं। दो सदिशों का डॉट गुणन एक अदिश होता है। यह कथन सत्य है।
$3$. $(\vec{A} \times \vec{C}) \times(\vec{B} \times \vec{C})$ के लिए: $(\vec{A} \times \vec{C})$ और $(\vec{B} \times \vec{C})$ दोनों सदिश हैं। दो सदिशों का क्रॉस गुणन एक सदिश होता है। इसलिए,यह कथन कि यह एक अदिश मान है,गलत है।
$4$. $\vec{A} \times(\vec{B} \times \vec{C})$ के लिए: $(\vec{B} \times \vec{C})$ एक सदिश है। $\vec{A}$ का इस सदिश के साथ क्रॉस गुणन एक अन्य सदिश परिणाम देता है। यह कथन सत्य है।

(A) मान लीजिए कि दिए गए सदिश $\vec{A} = 5 \hat{i} + 12 \hat{j}$ और $\vec{B} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ हैं।
सबसे पहले,हम इन सदिशों का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|\vec{A}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
$|\vec{B}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
अब,इकाई सदिश $\hat{n}_1 = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{1}{13}(5 \hat{i} + 12 \hat{j})$ और $\hat{n}_2 = \frac{\vec{B}}{|\vec{B}|} = \frac{1}{5}(3 \hat{i} + 4 \hat{j})$ हैं।
अदिश गुणनफल $\hat{n}_1 \cdot \hat{n}_2 = \left[ \frac{1}{13}(5 \hat{i} + 12 \hat{j}) \right] \cdot \left[ \frac{1}{5}(3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \right]$ है।
$= \frac{1}{65} (5 \times 3 + 12 \times 4) = \frac{1}{65} (15 + 48) = \frac{63}{65}$.

(A) दिए गए सदिश $\overrightarrow{r_1} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{r_2} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम सारणिक विधि का उपयोग करके सदिश गुणनफल $\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}$ की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1 - (-1)) - \hat{j}(1 - 1) + \hat{k}(-1 - 1)$
$= \hat{i}(2) - \hat{j}(0) + \hat{k}(-2) = 2\hat{i} - 2\hat{k}$.
अब,इस सदिश का परिमाण $|\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
$\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}}{|\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}|} = \frac{2\hat{i} - 2\hat{k}}{2\sqrt{2}} = \frac{\hat{i}}{\sqrt{2}} - \frac{\hat{k}}{\sqrt{2}}$ होगा।

(D) दिया गया है,$A=2 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}$ और $B=4 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$।
मान लीजिए $A$ और $B$ के बीच का कोण $\theta$ है।
अदिश गुणन (dot product) के सूत्र का उपयोग करते हुए,$A \cdot B = |A| |B| \cos \theta$,जहाँ $|A|$ और $|B|$ क्रमशः सदिशों $A$ और $B$ के परिमाण हैं।
सबसे पहले,परिमाणों की गणना करें:
$|A| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$|B| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
अब,अदिश गुणन की गणना करें:
$A \cdot B = (2)(4) + (4)(2) + (4)(-4) = 8 + 8 - 16 = 0$.
इन मानों को अदिश गुणन के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$0 = (6)(6) \cos \theta$.
$0 = 36 \cos \theta$.
$\cos \theta = 0$.
अतः,$\theta = 90^{\circ}$।

(A) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र है: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल (dot product) की गणना करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(5) + (2)(3) + (5)(1) = 15 + 6 + 5 = 26$।
इसके बाद,सदिशों के परिमाण (magnitudes) ज्ञात करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 9 + 1} = \sqrt{35}$।
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$\cos \theta = \frac{26}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{35}} = \frac{26}{\sqrt{1330}}$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{26}{\sqrt{1330}}\right)$।

(B) दो सदिशों $\vec{F}$ और $\vec{d}$ के बीच का कोण $\theta$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\cos \theta = \frac{\vec{F} \cdot \vec{d}}{|\vec{F}| |\vec{d}|}$
सबसे पहले,डॉट प्रोडक्ट की गणना करें: $\vec{F} \cdot \vec{d} = (3)(5) + (4)(4) + (-5)(3) = 15 + 16 - 15 = 16$
इसके बाद,परिमाण (magnitudes) ज्ञात करें: $|\vec{F}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$
$|\vec{d}| = \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{16}{\sqrt{50} \times \sqrt{50}} = \frac{16}{50}$
अतः,$\cos \theta = 0.32$,जिसका अर्थ है $\theta = \cos^{-1}(0.32)$।

(C) एक सदिश $\vec{P}$ का दूसरे सदिश $\vec{Q}$ की दिशा में घटक प्रक्षेप सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{घटक} = \vec{P} \cdot \hat{Q} = \vec{P} \cdot \frac{\vec{Q}}{|\vec{Q}|}$.
यहाँ $\vec{P} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j}$ और $\vec{Q} = \hat{i} + \hat{j}$ दिया गया है।
सबसे पहले,सदिश $\vec{Q}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{Q}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
अब,अदिश गुणनफल $\vec{P} \cdot \vec{Q}$ ज्ञात करें:
$\vec{P} \cdot \vec{Q} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = (2 \times 1) + (3 \times 1) = 2 + 3 = 5$.
अंत में,$\vec{Q}$ की दिशा में $\vec{P}$ का घटक है:
$\frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{|\vec{Q}|} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.

(C) सदिश $\vec{A}$ का $\vec{B}$ की दिशा में घटक $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $\vec{B}$ का $\vec{A}$ की दिशा में घटक $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$\vec{A}$ का $\vec{B}$ की दिशा में घटक,$\vec{B}$ के $\vec{A}$ की दिशा में घटक का दोगुना है:
$\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|} = 2 \left( \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|} \right)$.
मान लीजिए कि $\vec{A} \cdot \vec{B} \neq 0$,तो दोनों पक्षों को $(\vec{A} \cdot \vec{B})$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{|\vec{B}|} = \frac{2}{|\vec{A}|}$.
परिमाणों का अनुपात $\frac{|\vec{A}|}{|\vec{B}|}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{|\vec{A}|}{|\vec{B}|} = 2$.
अतः,अनुपात $2: 1$ है।

(A) चींटी का विस्थापन सदिश $\vec{a}$,$x$ और $y$ अक्षों पर गति द्वारा इस प्रकार है:
$\vec{a} = 10 \hat{i} + 20 \hat{j}$
$r = \sqrt{2} \ cm$ परिमाण और $x$-अक्ष के साथ $\theta = 45^{\circ}$ कोण वाले बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{b}$ है:
$\vec{b} = r \cos \theta \hat{i} + r \sin \theta \hat{j}$
$\vec{b} = \sqrt{2} \cos 45^{\circ} \hat{i} + \sqrt{2} \sin 45^{\circ} \hat{j}$
$\vec{b} = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{i} + \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{j} = \hat{i} + \hat{j}$
अतः,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b}$ होगा:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (10 \hat{i} + 20 \hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j})$
$= (10 \times 1) + (20 \times 1) = 10 + 20 = 30 \ cm^2$