Radiation by Stefan's Boltzmann Law Questions in Gujarati

(A) પરમ શૂન્ય $(0 \ K)$ થી ઉપરના તાપમાને રહેલા તમામ પદાર્થો ઉષ્મીય વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે. આ પદાર્થની અંદર રહેલા વિદ્યુતભારીત કણોની ઉષ્મીય ગતિનું પરિણામ છે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થની એકમ સપાટીના ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતી કુલ ઉર્જા $(E)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E = \sigma T^4$,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
આમ,વિધાન સાચું છે અને કારણ એ આ ઉત્સર્જનના દરને સમજાવતો ભૌતિક નિયમ હોવાથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(N/A) વિકિરણ ઉર્જા માધ્યમની ગેરહાજરીમાં પણ લાંબા અંતર સુધી પ્રસરણ પામી શકે છે.
પરમ તાપમાન $T$ પર રહેલા પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ વિદ્યુતચુંબકીય ઉર્જા તેના ક્ષેત્રફળ,તેની ઉત્સર્જકતા અને તેના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થ (perfect black body) માંથી એકમ સમયમાં ઉત્સર્જાતી ઉર્જા $(H)$ નીચે મુજબ છે:
$H = A \sigma T^4$ (આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થ માટે)
જ્યાં $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ પરમ તાપમાન છે.
આ સંબંધ વૈજ્ઞાનિક સ્ટીફન દ્વારા $1879$ માં પ્રાયોગિક રીતે સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો અને ત્યારબાદ બોલ્ટ્ઝમેન દ્વારા $1884$ માં સૈદ્ધાંતિક રીતે સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો. તેથી,તેને સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ કહેવામાં આવે છે.
$\sigma$ ને સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક કહેવામાં આવે છે. તેનું $SI$ એકમ મૂલ્ય $5.67 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2} \text{ K}^{-4}$ છે અને પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^{-3} K^{-4}]$ છે.
ઉત્સર્જકતા $(e)$: સમાન પરિસ્થિતિમાં રાખેલી સપાટીની કુલ ઉત્સર્જક શક્તિ અને આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થની સપાટીની કુલ ઉત્સર્જક શક્તિના ગુણોત્તરને તે સપાટીની 'ઉત્સર્જકતા' $(e)$ કહેવામાં આવે છે.
$e = \frac{\text{કુલ ઉત્સર્જક શક્તિ}}{\text{આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થની ઉત્સર્જક શક્તિ}}$. આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થ માટે $e = 1$ હોય છે.
શોષકતા $(a)$: સપાટી પર આપાત થતી વિકિરણ ઉર્જા અને સપાટી દ્વારા શોષાયેલી વિકિરણ ઉર્જાના ગુણોત્તરને તે સપાટીની 'શોષકતા' $(a)$ કહેવામાં આવે છે.
$a = \frac{\text{શોષાયેલી વિકિરણ ઉર્જા}}{\text{આપાત વિકિરણ ઉર્જા}}$. આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થ માટે $a = 1$ હોય છે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનના નિયમ પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$H = A e \sigma T^4$ ... $(1)$
જો $T$ તાપમાન ધરાવતો પદાર્થ $T_S$ તાપમાન ધરાવતા વાતાવરણમાં રાખવામાં આવે (જ્યાં $T > T_S$),તો પદાર્થ માટે ઉષ્મા વિકિરણનો ચોખ્ખો દર:
$H = e \sigma A (T^4 - T_S^4)$ ... $(2)$
આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થ માટે,$e = 1$,તેથી $H = \sigma A (T^4 - T_S^4)$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જિત પાવર $H$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$H = e \sigma A T^4$
આપેલ છે:
ઉત્સર્જકતા $e = 0.4$
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.3 \, cm^2 = 0.3 \times 10^{-4} \, m^2$
તાપમાન $T = 3000 \, K$
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, W \cdot m^{-2} \cdot K^{-4}$
કિંમતો મૂકતા:
$H = 0.4 \times (5.67 \times 10^{-8}) \times (0.3 \times 10^{-4}) \times (3000)^4$
$H = 0.4 \times 5.67 \times 10^{-8} \times 0.3 \times 10^{-4} \times 81 \times 10^{12}$
$H = 0.4 \times 5.67 \times 0.3 \times 81 \times 10^0$
$H = 55.1124 \, W$
નજીકના પ્રમાણિત મૂલ્ય મુજબ,$H \approx 55.11 \, W$ મળે છે.

(N/A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન ના નિયમ મુજબ,$T$ તાપમાને રહેલા આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = A \sigma T^4$ છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
જ્યારે $T_1$ તાપમાન ધરાવતા પદાર્થને $T_2$ તાપમાન ધરાવતા વાતાવરણમાં રાખવામાં આવે $(T_1 > T_2)$,ત્યારે પદાર્થ $\frac{dQ_1}{dt} = A \sigma T_1^4$ ના દરે ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે અને વાતાવરણમાંથી $\frac{dQ_2}{dt} = A \sigma T_2^4$ ના દરે ઉર્જાનું શોષણ કરે છે.
ઉષ્મા ઉત્સર્જનનો ચોખ્ખો દર એ ઉત્સર્જનના દર અને શોષણના દરનો તફાવત છે:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{dQ_1}{dt} - \frac{dQ_2}{dt}$
સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{dQ}{dt} = A \sigma T_1^4 - A \sigma T_2^4$
તેથી,ઉષ્મા ઉત્સર્જનનો ચોખ્ખો દર:
$\frac{dQ}{dt} = A \sigma (T_1^4 - T_2^4)$

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ શરીર દ્વારા ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર $H = A e \sigma (T^4 - T_S^4)$ છે.
અહીં,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 1.9 \, m^2$,ઉત્સર્જકતા $e = 0.97$,અને સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, W/m^2K^4$ છે.
ત્વચાનું તાપમાન $T = 273 + 28 = 301 \, K$.
ઓરડાનું તાપમાન $T_S = 273 + 22 = 295 \, K$.
કિંમતો મૂકતા:
$H = 1.9 \times 0.97 \times 5.67 \times 10^{-8} \times [(301)^4 - (295)^4]$
$H = 10.44981 \times 10^{-8} \times [8208541201 - 7573350625]$
$H = 10.44981 \times 10^{-8} \times 635190576$
$H \approx 66.38 \, W$.
આમ,ઉષ્મા ઉત્સર્જનનો દર આશરે $66.4 \, W$ છે.

(N/A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંકનું મૂલ્ય $5.67 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2} \text{ K}^{-4}$ છે.
તેનું પારિમાણિક સૂત્ર સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ $E = \sigma T^4$ પરથી મેળવવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પાવર $([M^1 T^{-3}])$ છે અને $T$ એ તાપમાન $([K^1])$ છે.
આમ,$\sigma$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^{-3} K^{-4}]$ થાય છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$T$ તાપમાને રહેલા પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P_{emit} = e \sigma A T^4$ છે.
$T_S$ તાપમાન ધરાવતા વાતાવરણમાંથી પદાર્થ દ્વારા શોષાતો પાવર $P_{abs} = e \sigma A T_S^4$ છે.
વિકિરણ ઉર્જાના વ્યયનો ચોખ્ખો દર એ ઉત્સર્જિત પાવર અને શોષાયેલા પાવર વચ્ચેનો તફાવત છે:
$H = P_{emit} - P_{abs}$
$H = e \sigma A T^4 - e \sigma A T_S^4$
$H = e \sigma A (T^4 - T_S^4)$
જ્યાં $e$ એ ઉત્સર્જકતા છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.

(N/A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ છે.
આપેલ છે $A = 4 \pi R^2 = 4 \times 3.14 \times (0.5)^2 = 3.14 \, m^2$.
$P = 5.67 \times 10^{-8} \times 3.14 \times (10^6)^4 = 1.78 \times 10^{17} \, W \approx 1.8 \times 10^{17} \, J/s$.
$(b)$ બાષ્પીભવન માટે ઉપલબ્ધ ઉર્જા $Q = 10 \% \text{ of } P = 0.1 \times 1.78 \times 10^{17} = 1.78 \times 10^{16} \, J$.
$m$ દળના પાણીના બાષ્પીભવન માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q = m S_W \Delta T + m L_v$.
$1.78 \times 10^{16} = m [4186 \times (100 - 30) + 22.6 \times 10^5]$.
$1.78 \times 10^{16} = m [2.93 \times 10^5 + 22.6 \times 10^5] = m [25.53 \times 10^5]$.
$m = \frac{1.78 \times 10^{16}}{25.53 \times 10^5} \approx 6.97 \times 10^9 \, kg$.
$(c)$ એકમ સમય દીઠ એકમ ક્ષેત્રફળ પરનું વેગમાન એ વિકિરણ દબાણ $Pr = \frac{P}{4 \pi r^2 c}$ છે.
$Pr = \frac{1.78 \times 10^{17}}{4 \times 3.14 \times (1000)^2 \times 3 \times 10^8} = \frac{1.78 \times 10^{17}}{3.77 \times 10^{15}} \approx 47.2 \, N/m^2$.

(A) સૂર્યથી $d$ અંતરે વિકિરણની તીવ્રતા $I$ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = \frac{P}{4 \pi d^2} = \frac{\sigma T^4 (4 \pi R_s^2)}{4 \pi d^2} = \sigma T^4 \left( \frac{R_s}{d} \right)^2$
જ્યાં $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, W/m^2K^4$,$T = 6000 \, K$,$R_s = 7.2 \times 10^8 \, m$,અને $d = 1.5 \times 10^{11} \, m$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$I = (5.67 \times 10^{-8}) \times (6000)^4 \times \left( \frac{7.2 \times 10^8}{1.5 \times 10^{11}} \right)^2$
$I = (5.67 \times 10^{-8}) \times (1.296 \times 10^{15}) \times (4.8 \times 10^{-3})^2$
$I = 7.348 \times 10^7 \times 2.304 \times 10^{-5} \approx 1.4 \times 10^3 \, W/m^2$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ પદાર્થનો વિકિરણ પાવર $P = \sigma A e T^{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, W/m^{2}K^{4}$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^{2} = 4 \pi (2)^{2} = 16 \pi \, m^{2}$ છે.
ઉત્સર્જકતા $e = 0.8$ છે.
કેલ્વિનમાં તાપમાન $T = 227 + 273 = 500 \, K$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = (5.67 \times 10^{-8}) \times (16 \pi) \times 0.8 \times (500)^{4}$.
$P = (5.67 \times 10^{-8}) \times (50.265) \times 0.8 \times (625 \times 10^{8})$.
$P = 5.67 \times 50.265 \times 0.8 \times 625$.
$P \approx 142500 \, W$ (નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મૂળ પ્રશ્નના અપેક્ષિત પરિણામમાં ગણતરીની ભૂલ સૂચવે છે,પરંતુ ભૌતિકશાસ્ત્રના નિયમ મુજબ પરિણામ $142500 \, W$ મળે છે. વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,$1425$ એ હેતુપૂર્વકનો આંકડાકીય જવાબ છે).

(B) ઉષ્મીય સંતુલન માટે, પૃથ્વી દ્વારા સૂર્યમાંથી મેળવેલી ઉર્જા એ પૃથ્વી દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ。
પૃથ્વી દ્વારા મેળવેલ પાવર $P_{in} = \left( \frac{\sigma T_s^4 \cdot 4 \pi R_s^2}{4 \pi d^2} \right) \cdot \pi R_e^2$ છે。
પૃથ્વી દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P_{out} = e \sigma T_e^4 \cdot 4 \pi R_e^2$ છે。
$P_{in} = P_{out}$ લેતા:
$\frac{\sigma T_s^4 R_s^2}{d^2} \cdot \pi R_e^2 = e \sigma T_e^4 \cdot 4 \pi R_e^2$
$T_e^4$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$T_e^4 = \frac{T_s^4 R_s^2}{4 e d^2}$
આપેલ છે: $T_s = 6000 \ K$, $R_s = 7 \times 10^5 \ km$, $d = 2 \times 10^8 \ km$, $e = 0.6$.
$T_e^4 = \frac{(6000)^4 \cdot (7 \times 10^5)^2}{4 \cdot 0.6 \cdot (2 \times 10^8)^2}$
ગણતરી કરતા $T_e^4 = 81 \times 10^8$ મળે છે。
તેથી, $T_e = (81 \times 10^8)^{1/4} = 300 \ K$.

(B) આપેલ છે: સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 7 \times 10^{-2} \,m^{2}$,દળ $m = 300 \,g$,કેલરીફિક વેલ્યુ $CV = 30 \,kJ/g$,કાર્યક્ષમતા $\eta = 10\% = 0.1$,$T_{surface} = 60^{\circ}C = 333 \,K$,$T_{room} = 0^{\circ}C = 273 \,K$,સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8} \,W/m^{2}K^{4}$.
વિકિરણ દ્વારા ગરમી ગુમાવવાનો દર (સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ) $P = e A \sigma (T_{surface}^{4} - T_{room}^{4})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્લેક બોડી માટે $e = 1$ લેતા:
$P = 1 \times (7 \times 10^{-2}) \times (5.67 \times 10^{-8}) \times (333^{4} - 273^{4})$.
$P = 3.969 \times 10^{-9} \times (1.230 \times 10^{10} - 0.556 \times 10^{10}) \approx 26.75 \,W$.
કુલ ઉપલબ્ધ ઉષ્મા ઉર્જા $H = \eta \times m \times CV = 0.1 \times 300 \,g \times 30 \,kJ/g = 900 \,kJ = 9 \times 10^{5} \,J$.
સમયગાળો $t = H / P$ દ્વારા મળે છે.
$t = (9 \times 10^{5} \,J) / (26.75 \,W) \approx 33645 \,s$.
કલાકમાં રૂપાંતર કરતા: $t = 33645 / 3600 \approx 9.35 \,h$.
નજીકના વાજબી અંદાજ મુજબ,$t \approx 10 \,h$.

(D) પૃથ્વી પર સૂર્યમાંથી મળતી વિકિરણની તીવ્રતા (સૌર અચળાંક) નીચે મુજબ છે:
$S_{1} = \frac{P}{4 \pi R_{0}^{2}} = \frac{4 \pi R_{s}^{2} \cdot \sigma \cdot T_{s}^{4}}{4 \pi R_{0}^{2}} = \sigma \left( \frac{R_{s}}{R_{0}} \right)^{2} T_{s}^{4}$ ....................$(i)$
જ્યાં $R_{s}$ એ સૂર્યની ત્રિજ્યા છે,$R_{0}$ એ પૃથ્વી-સૂર્યનું અંતર $(1 \,AU)$ છે,$\sigma$ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T_{s}$ એ સૂર્યનું તાપમાન છે.
હવે,પૃથ્વીની સપાટી પર તારકીય પદાર્થમાંથી મળતી વિકિરણની તીવ્રતા:
$S_{2} = \frac{\sigma (50 R_{s})^{2}}{(2 \times 10^{10} R_{0})^{2}} \cdot (2 T_{s})^{4}$
$S_{2} = \frac{2500 \cdot R_{s}^{2}}{4 \times 10^{20} \cdot R_{0}^{2}} \cdot 16 \cdot T_{s}^{4}$
$S_{2} = \frac{2500 \times 16}{4 \times 10^{20}} \cdot \sigma \left( \frac{R_{s}}{R_{0}} \right)^{2} T_{s}^{4}$
$S_{2} = \frac{40000}{4 \times 10^{20}} \cdot S_{1} = 10^{4} \times 10^{-20} \cdot S_{1} = 10^{-16} S_{1}$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{S_{2}}{S_{1}} = 10^{-16}$ થાય.

(C) પ્લેટો એકબીજાને સ્પર્શતી ન હોવાથી, ઉષ્માનું વિનિમય વિકિરણ સ્વરૂપે થાય છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં, મધ્ય પ્લેટ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = તેના દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા.
ધારો કે દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે, ઉત્સર્જકતા $\varepsilon$ છે, અને સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $\sigma$ છે. ધારો કે મધ્ય પ્લેટનું તાપમાન $T_1$ છે.
મધ્ય પ્લેટ દ્વારા બહારની પ્લેટોમાંથી મેળવેલી ઉષ્મા $Q_{in} = A \varepsilon \sigma T^4 + A \varepsilon \sigma (2T)^4$ છે.
મધ્ય પ્લેટ તેની બંને સપાટીઓમાંથી વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે, તેથી ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q_{out} = 2 A \varepsilon \sigma T_1^4$ છે.
$Q_{in} = Q_{out}$ ને સરખાવતા:
$A \varepsilon \sigma T^4 + A \varepsilon \sigma (16T^4) = 2 A \varepsilon \sigma T_1^4$
$17 T^4 = 2 T_1^4$
$T_1^4 = \frac{17}{2} T^4 = 8.5 T^4$
$T_1 = (8.5)^{1/4} T \approx 1.71 T$.
આમ, તાપમાન $1.7 T$ ની નજીક છે.

(A) તાપીય સંતુલનમાં, ગ્રહ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જા એ તારામાંથી ગ્રહ દ્વારા શોષાયેલી ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, $T_{p} = f T^{*}$ તાપમાને $R_{p}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P_{out} = \sigma (4 \pi R_{p}^{2}) (f T^{*})^{4}$ છે.
તારામાંથી ગ્રહને મળતો પાવર એ $d$ અંતરે વિકિરણની તીવ્રતા અને ગ્રહના આડછેદના ક્ષેત્રફળનો ગુણાકાર છે: $P_{in} = \left( \frac{\sigma (4 \pi R^{*2}) T^{*4}}{4 \pi d^{2}} \right) (\pi R_{p}^{2}) = \sigma \pi R_{p}^{2} T^{*4} \left( \frac{R^{*}}{d} \right)^{2}$.
$P_{in} = P_{out}$ ને સરખાવતા:
$4 \pi \sigma R_{p}^{2} f^{4} T^{*4} = \pi \sigma R_{p}^{2} T^{*4} \left( \frac{R^{*}}{d} \right)^{2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$4 f^{4} = \left( \frac{R^{*}}{d} \right)^{2}$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા:
$f \propto \sqrt{\frac{R^{*}}{d}}$.

(B) કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જા સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = \sigma A T^4 t$,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટેફનનો અચળાંક છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $t$ એ સમય છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,એકત્રિત ઉર્જા $U_1 = \sigma A T^4 t$ છે. તાપમાનમાં વધારો $\Delta T_1 = 11.0^{\circ} C - 10.0^{\circ} C = 1.0^{\circ} C$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,નવું ક્ષેત્રફળ $A' = A/2$ અને નવું તાપમાન $T' = 2T$ છે. એકત્રિત ઉર્જા $U_2 = \sigma (A/2) (2T)^4 t = \sigma (A/2) (16T^4) t = 8 \sigma A T^4 t = 8 U_1$ છે.
પાણી દ્વારા શોષાયેલી ઉર્જા તાપમાનના વધારાના પ્રમાણમાં હોવાથી $(\Delta Q = ms \Delta T)$,આપણને મળે છે $\frac{\Delta T_2}{\Delta T_1} = \frac{U_2}{U_1} = 8$.
તેથી,$\Delta T_2 = 8 \times \Delta T_1 = 8 \times 1.0^{\circ} C = 8.0^{\circ} C$.
પાણીનું અંતિમ તાપમાન $10.0^{\circ} C + 8.0^{\circ} C = 18.0^{\circ} C$ થશે.

(A) ગોળાકાર કૃષ્ણ પદાર્થનો વિકિરણ પાવર $P$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = \sigma A T^4$
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi R^2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$P = \sigma (4 \pi R^2) T^4$
આનો અર્થ એ છે કે $P \propto R^2 T^4$.
ધારો કે નવી ત્રિજ્યા $R' = 2R$ અને નવું તાપમાન $T' = T/2$ છે.
નવો વિકિરણ પાવર $P'$ નીચે મુજબ મળે:
$P' \propto (R')^2 (T')^4$
$P' \propto (2R)^2 (T/2)^4$
$P' \propto (4 R^2) (T^4 / 16)$
$P' \propto \frac{4}{16} R^2 T^4$
$P' = \frac{1}{4} P$
તેથી,વિકિરણ પાવર $P/4$ જેટલો થશે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $dQ/dt$ એ પદાર્થની સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $dQ/dt = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$.
ઠંડા પડવાનો દર $dT/dt$ એ $(dQ/dt) / (mc)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અને દળ $m$ તથા વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c$ બધા પદાર્થો માટે સમાન હોવાથી,ઠંડા પડવાનો દર સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સીધા સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ દળ અને ઘનતા માટે,જે પદાર્થનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ હોય,તેનો ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર પણ ન્યૂનતમ હોય છે.
સમાન દળ ધરાવતા ગોળા,સમઘન અને પાતળી વર્તુળાકાર પ્લેટમાંથી,ગોળાનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ સૌથી ઓછું હોય છે.
તેથી,ગોળો સૌથી ધીમેથી ઠંડો પડશે.

(B) સૌર અચળાંક $S$ એ સંબંધ $S = \left(\frac{R}{r}\right)^2 \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સૂર્યની ત્રિજ્યા છે,$r$ એ સૂર્યથી પૃથ્વીનું અંતર છે,$\sigma$ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ સૂર્યનું તાપમાન છે.
અહીં $R$,$r$ અને $\sigma$ અચળ હોવાથી,$S \propto T^4$ થાય.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta S}{S} = 4 \frac{\Delta T}{T}$ મળે છે.
આપેલ છે કે તાપમાનમાં $1 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta T}{T} = -1 \%$.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{\Delta S}{S} = 4 \times (-1 \%) = -4 \%$ મળે છે.
તેથી,સૌર અચળાંકમાં $-4 \%$ નો ફેરફાર થશે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P = (4 \pi R^2) \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સૂર્યની ત્રિજ્યા છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ સૂર્યનું સપાટીનું તાપમાન છે.
સૌર અચળાંક $(S)$ ને પૃથ્વીના અંતર $(d)$ પર સૂર્યના કિરણોને લંબ સપાટી પર એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં મળતી ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આમ,$S = \frac{P}{4 \pi d^2} = \frac{4 \pi R^2 \sigma T^4}{4 \pi d^2} = \sigma T^4 \left( \frac{R}{d} \right)^2$.
પૃથ્વી-સૂર્ય પ્રણાલી માટે $R$ અને $d$ અચળ હોવાથી,આપણને $S \propto T^4$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) સૌર અચળાંક $S$,સૂર્યનું તાપમાન $T$,સૂર્યની ત્રિજ્યા $R$ અને પૃથ્વીનું સૂર્યથી અંતર $d$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$S = \left( \frac{R}{d} \right)^2 \sigma T^4$
આપેલ છે:
$S = 1.4 \times 10^3 \, W/m^2$
$R = 7 \times 10^8 \, m$
$d = 1.5 \times 10^{11} \, m$
$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, W m^{-2} K^{-4}$
કિંમતો મૂકતા:
$1.4 \times 10^3 = \left( \frac{7 \times 10^8}{1.5 \times 10^{11}} \right)^2 \times 5.67 \times 10^{-8} \times T^4$
આ સમીકરણ ઉકેલતા:
$T^4 = \frac{1.4 \times 10^3 \times (1500)^2}{49 \times 5.67 \times 10^{-8}}$
$T \approx 5800 \, K$

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,સપાટી દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A e T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$e$ એ ઉત્સર્જકતા છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
જેহেতু $A$,$e$,અને $\sigma$ અચળ છે,આપણે $P = k T^4$ લખી શકીએ,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
સેન્સર $S = \log_{2}(P / P_0) = \log_{2}(k T^4 / P_0)$ દર્શાવે છે.
ધારો કે $C = k / P_0$,તો $S = \log_{2}(C T^4) = \log_{2}(C) + 4 \log_{2}(T)$.
$T_1 = 487^{\circ} C = 487 + 273 = 760 \ K$ તાપમાને,સેન્સરનું રીડિંગ $S_1 = 1$ છે.
તેથી,$1 = \log_{2}(C) + 4 \log_{2}(760)$.
$T_2 = 2767^{\circ} C = 2767 + 273 = 3040 \ K$ તાપમાને,સેન્સરનું રીડિંગ $S_2 = \log_{2}(C) + 4 \log_{2}(3040)$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S_2 - 1 = 4 \log_{2}(3040) - 4 \log_{2}(760) = 4 \log_{2}(3040 / 760)$.
કારણ કે $3040 / 760 = 4$,તેથી $S_2 - 1 = 4 \log_{2}(4) = 4 \times 2 = 8$.
તેથી,$S_2 = 8 + 1 = 9$.

(A, B, C) $1$. શરીર દ્વારા પ્રતિ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉર્જા $P = \sigma A (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે $T = T_0 + 10$, તેથી $T^4 = (T_0 + 10)^4 = T_0^4(1 + 10/T_0)^4 \approx T_0^4(1 + 40/T_0) = T_0^4 + 40 T_0^3$.
$2$. આમ, $P = \sigma A (T_0^4 + 40 T_0^3 - T_0^4) = 40 \sigma A T_0^3 = 40 \sigma A T_0^4 / T_0 = 40 \times 460 / 300 \approx 61.3 \,W$. તેથી, વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$3$. વિકલ્પ $B$ માટે, $P = \sigma A (T^4 - T_0^4)$. $T_0$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા ($T$ અચળ રાખીને), $dP/dT_0 = -4 \sigma A T_0^3$. પાવરમાં ફેરફાર $\Delta P = 4 \sigma A T_0^3 \Delta T_0$. $A = 1 \,m^2$ હોવાથી, $\Delta W = 4 \sigma T_0^3 \Delta T_0$. તેથી, વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$4$. વિકલ્પ $C$ માટે, $P \propto A$. $A$ ઘટાડવાથી $P$ ઘટે છે, જે તાપમાન જાળવવામાં મદદ કરે છે. તેથી, વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$5$. વિકલ્પ $D$ માટે, વિનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ મુજબ, $\lambda_m T = b$. જો $T$ વધે, તો $\lambda_m$ ઘટે છે (ટૂંકી તરંગલંબાઇ તરફ ખસે છે). તેથી, વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,વસ્તુ દ્વારા ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $P = \sigma A T^4$ છે.
પાત્ર $0 \ K$ તાપમાને હોવાથી,ચોખ્ખો ઉષ્મા વ્યય $\sigma A T^4 = -ms \frac{dT}{dt}$ છે,જ્યાં $ms$ એ ઉષ્મા ધારિતા $C$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dT}{T^4} = -\frac{\sigma A}{C} dt = -k dt$.
$T_i$ થી $T_f$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_{T_i}^{T_f} T^{-4} dT = -k \int_0^t dt$.
આનાથી મળે છે: $\left[ \frac{T^{-3}}{-3} \right]_{T_i}^{T_f} = -kt$,અથવા $\frac{1}{3} \left( \frac{1}{T_f^3} - \frac{1}{T_i^3} \right) = kt$.
$t_1$ માટે: $kt_1 = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{100^3} - \frac{1}{200^3} \right) = \frac{1}{3 \cdot 100^3} \left( 1 - \frac{1}{8} \right) = \frac{7}{24 \cdot 10^6}$.
$t_2$ માટે: $kt_2 = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{50^3} - \frac{1}{200^3} \right) = \frac{1}{3 \cdot 50^3} \left( 1 - \frac{1}{64} \right) = \frac{63}{24 \cdot 10^6}$.
તેથી,$\frac{t_2}{t_1} = \frac{63}{7} = 9$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા શોષાયેલ પાવર તે ઉત્સર્જિત કરેલા પાવર જેટલો હોય છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા શોષાયેલ પાવર $P_{abs} = I \times A_{proj} = I \pi R^2$ છે.
$T_0$ તાપમાન ધરાવતા વાતાવરણમાં કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P_{rad} = \sigma A_{surf} (T^4 - T_0^4) = \sigma (4 \pi R^2) (T^4 - T_0^4)$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $I \pi R^2 = 4 \pi R^2 \sigma (T^4 - T_0^4)$.
સાદું રૂપ આપતા: $I = 4 \sigma (T^4 - T_0^4)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $912 = 4 \times (5.7 \times 10^{-8}) \times (T^4 - 300^4)$.
$T^4 - 300^4 = \frac{912}{4 \times 5.7 \times 10^{-8}} = \frac{912}{22.8 \times 10^{-8}} = 40 \times 10^8$.
$T^4 = 40 \times 10^8 + 81 \times 10^8 = 121 \times 10^8$.
$T = (121 \times 10^8)^{1/4} = (11^2 \times 10^8)^{1/4} = 11^{1/2} \times 10^2 \approx 3.316 \times 100 \approx 331.6 \ K$.
આમ,તાપમાન $330 \ K$ ની નજીક છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 4 \pi r^2$ એ ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,$P \propto r^2 T^4$.
ધારો કે $r_1 = 0.2 \ m$,$T_1 = 800 \ K$,અને $P_1 = E$.
ધારો કે $r_2 = 0.8 \ m$,$T_2 = 400 \ K$,અને $P_2$ એ મોટા પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જા છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_2}{E} = \left( \frac{0.8}{0.2} \right)^2 \left( \frac{400}{800} \right)^4$.
$\frac{P_2}{E} = (4)^2 \times (\frac{1}{2})^4 = 16 \times \frac{1}{16} = 1$.
તેથી,$P_2 = E$.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$,વ્યાસ $d = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$,તાપમાન $T = 1727^{\circ} C = 1727 + 273 = 2000 \ K$,પાવર $P = 94.2 \ W$,સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $\sigma = 6.0 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$.
વિકિરણ માટે સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ વાપરતા: $P = \varepsilon \sigma A T^4$,જ્યાં $A$ એ તારની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
તારનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ (નળાકાર) $A = \pi d L$ છે.
$A = 3.14 \times (0.5 \times 10^{-3} \ m) \times (0.1 \ m) = 1.57 \times 10^{-4} \ m^2$.
પાવરના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$94.2 = \varepsilon \times (6.0 \times 10^{-8}) \times (1.57 \times 10^{-4}) \times (2000)^4$.
$94.2 = \varepsilon \times (6.0 \times 10^{-8}) \times (1.57 \times 10^{-4}) \times (16 \times 10^{12})$.
$94.2 = \varepsilon \times (6.0 \times 1.57 \times 16) \times 10^0$.
$94.2 = \varepsilon \times (150.72)$.
$\varepsilon = \frac{94.2}{150.72} = 0.625$.
કારણ કે $\varepsilon = \frac{x}{8}$,તેથી $0.625 = \frac{x}{8} \implies x = 0.625 \times 8 = 5$.

(D) કૃષ્ણ પદાર્થ માટે,ઉત્સર્જિત પાવર $P$ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \sigma A T^4$,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ તાપમાન છે.
પદાર્થ ગોલીય હોવાથી,$A = 4\pi r^2$,તેથી $P \propto r^2$. આમ,વિધાન $(ii)$ સાચું છે.
ઠંડા પડવાનો દર $R$ ને $R = -\frac{dT}{dt} = \frac{P_{net}}{ms}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $s$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
$m = \rho V = \rho (\frac{4}{3}\pi r^3)$,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે.
આ કિંમતોને $R$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $R = \frac{\sigma (4\pi r^2) (T^4 - T_s^4)}{(\rho \frac{4}{3}\pi r^3) s} \propto \frac{r^2}{r^3} \propto \frac{1}{r}$.
આમ,વિધાન $(iv)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા સંબંધો $(ii)$ અને $(iv)$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$T$ તાપમાને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળા દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = A \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 4 \pi r^2$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
બંને ગોળાઓ સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,તેમની ઉત્સર્જકતા સમાન છે.
તેથી,$P \propto r^2 T^4$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4$ થશે.
આપેલ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{4}$ અને $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{3}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^4$.
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{1}{16} \times \frac{16}{81} = \frac{1}{81}$.

(B) આકૃતિ $1$ માટે,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ સ્થાનાંતરિત પાવર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$W_0 = \sigma(T_P^4 - T_Q^4)$
આકૃતિ $2$ માટે,ધારો કે બે મધ્યવર્તી પ્લેટોના તાપમાન $T_1$ અને $T_2$ છે. સ્થાયી અવસ્થામાં,દરેક ગેપમાંથી પસાર થતો ઉષ્મા ફ્લક્સ $W_S$ સમાન હોવો જોઈએ:
$W_S = \sigma(T_P^4 - T_1^4) = \sigma(T_1^4 - T_2^4) = \sigma(T_2^4 - T_Q^4)$
આ સમીકરણો પરથી,આપણને મળે છે:
$T_P^4 - T_1^4 = T_1^4 - T_2^4 = T_2^4 - T_Q^4 = W_S / \sigma$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(T_P^4 - T_1^4) + (T_1^4 - T_2^4) + (T_2^4 - T_Q^4) = 3(W_S / \sigma)$
$T_P^4 - T_Q^4 = 3(W_S / \sigma)$
$W_0 = \sigma(T_P^4 - T_Q^4)$ મૂકતા:
$W_0 / \sigma = 3(W_S / \sigma)$
$W_0 = 3W_S$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{W_0}{W_S} = 3$ થાય.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$T$ તાપમાને $A$ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ છે.
તેથી,પ્રારંભિક પાવર $P_1 = \sigma (4 \pi R^2) T^4$ છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા બમણી $(R' = 2R)$ અને તાપમાન બમણું $(T' = 2T)$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો પાવર $P_2$ નીચે મુજબ મળે:
$P_2 = \sigma (4 \pi (2R)^2) (2T)^4$
$P_2 = \sigma (4 \pi \cdot 4R^2) (16T^4)$
$P_2 = 16 \cdot 4 \cdot \sigma (4 \pi R^2) T^4$
$P_2 = 64 P_1$.
તેથી,નવો ઉત્સર્જિત પાવર $64 P$ થશે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત ઉર્જા (પાવર) $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_1 = E = \sigma A T_1^4$,જ્યાં $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ સ્થિતિ: લંબાઈ અને પહોળાઈ અડધી કરવામાં આવે છે,તેથી નવું ક્ષેત્રફળ $A' = (L/2) \times (B/2) = A/4$. નવું તાપમાન $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$.
નવો પાવર $P_2 = \sigma A' T_2^4 = \sigma (A/4) (600)^4$.
ગુણોત્તર લેતા: $P_2 / P_1 = [\sigma (A/4) (600)^4] / [\sigma A (300)^4] = (1/4) \times (600/300)^4 = (1/4) \times 2^4 = (1/4) \times 16 = 4$.
તેથી,$P_2 = 4 E$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત ઉષ્મા (ઉત્સર્જક પાવર) $E = \epsilon \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\epsilon$ એ ઉત્સર્જકતા છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ સમાન ઉષ્માનું વિકિરણ કરે છે,તેથી $E_A = E_B$.
તેથી,$\epsilon_A \sigma T_1^4 = \epsilon_B \sigma T_2^4$.
ઉત્સર્જકતાનો ગુણોત્તર $\frac{\epsilon_A}{\epsilon_B} = \frac{16}{1}$ આપેલ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $16 \sigma T_1^4 = 1 \sigma T_2^4$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $16 T_1^4 = T_2^4$ મળે છે.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા: $2 T_1 = T_2$,જેનો અર્થ છે કે $T_1 = 0.5 T_2$.
આને $T_1 = x T_2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 0.5$ મળે છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$A$ ક્ષેત્રફળ અને $T$ તાપમાન ધરાવતા કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ છે.
ગોળાકાર કૃષ્ણ પદાર્થ માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma (4 \pi R^2) T^4$ થાય.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો સમાન પાવરનું ઉત્સર્જન કરે છે,તેથી $P_1 = P_2$.
માટે,$\sigma (4 \pi R_1^2) T_1^4 = \sigma (4 \pi R_2^2) T_2^4$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$R_1^2 T_1^4 = R_2^2 T_2^4$ મળે.
ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2}$ શોધવા માટે,$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{T_2^4}{T_1^4}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{T_2^4}{T_1^4}} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$ મળે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,વિકિરણનો દર $E = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ એ પૃષ્ઠફળ છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$,$A_1 = 4 \ cm \times 2 \ cm = 8 \ cm^2$,$E_1 = E = \sigma A_1 T_1^4$.
અંતિમ સ્થિતિ: $T_2 = T_1 + 400 = 400 + 400 = 800 \ K$,$A_2 = A_1 / 2 = 4 \ cm^2$.
નવો વિકિરણનો દર $E_2 = \sigma A_2 T_2^4$.
ગુણોત્તર લેતા: $E_2 / E_1 = (A_2 / A_1) \times (T_2 / T_1)^4$.
$E_2 / E = (1/2) \times (800 / 400)^4 = (1/2) \times (2)^4 = 16 / 2 = 8$.
તેથી,$E_2 = 8E$.

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, $\lambda_m T = \text{અચળ}$, તેથી $T \propto \frac{1}{\lambda_m}$.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_P}{\lambda_Q} = \frac{4}{5}$ આપેલ છે, તેથી તાપમાનનો ગુણોત્તર $\frac{T_P}{T_Q} = \frac{\lambda_Q}{\lambda_P} = \frac{5}{4}$ થશે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ ઉત્સર્જિત પાવર $E = \sigma A T^4 = \sigma (4 \pi r^2) T^4$ છે.
તેથી, ઉત્સર્જિત પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_P}{P_Q} = \left( \frac{r_P}{r_Q} \right)^2 \left( \frac{T_P}{T_Q} \right)^4$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_P}{r_Q} = \frac{4}{3}$ અને $\frac{T_P}{T_Q} = \frac{5}{4}$.
$\frac{P_P}{P_Q} = \left( \frac{4}{3} \right)^2 \times \left( \frac{5}{4} \right)^4 = \frac{16}{9} \times \frac{625}{256} = \frac{625}{9 \times 16} = \frac{625}{144}$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ (black body) માંથી વિકિરણનો દર (પાવર) $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ગોળા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ છે.
તેથી,$E = \sigma (4 \pi R^2) T^4$.
જ્યારે ત્રિજ્યા $R' = R/2$ અને તાપમાન $T' = 3T$ થાય છે,ત્યારે નવો વિકિરણનો દર $E'$ નીચે મુજબ મળે:
$E' = \sigma (4 \pi (R/2)^2) (3T)^4$
$E' = \sigma (4 \pi R^2 / 4) (81 T^4)$
$E' = \frac{81}{4} \sigma (4 \pi R^2) T^4$
કારણ કે $E = \sigma (4 \pi R^2) T^4$,તેથી $E' = \frac{81}{4} E$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$A$ ક્ષેત્રફળ અને $T$ તાપમાન ધરાવતા કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ છે.
ગોળાકાર પદાર્થ માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma (4 \pi r^2) T^4$ થાય.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો સમાન પાવરનું ઉત્સર્જન કરે છે,તેથી $P_1 = P_2$.
માટે,$\sigma (4 \pi r_1^2) T_1^4 = \sigma (4 \pi r_2^2) T_2^4$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$r_1^2 T_1^4 = r_2^2 T_2^4$ મળે.
ગુણોત્તર $\frac{r_2}{r_1}$ શોધવા માટે,$\frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{T_1^4}{T_2^4}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{r_2}{r_1} = \frac{T_1^2}{T_2^2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2$ મળે.

(A) સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$T$ તાપમાને $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P = A \sigma T^4$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર તારા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ છે.
તેથી,તારા દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P = (4 \pi r^2) \sigma T^4$ છે.
આ પાવર તારાના કેન્દ્રથી $R$ અંતરે આવેલા $R$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર પૃષ્ઠ પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
$R$ અંતરે તીવ્રતા $I$ (એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં મળતી વિકિરણ ઉર્જા) $I = \frac{P}{4 \pi R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I = \frac{4 \pi r^2 \sigma T^4}{4 \pi R^2} = \frac{\sigma r^2 T^4}{R^2}$ મળે છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$R$ ત્રિજ્યા અને $T$ તાપમાન ધરાવતા ગોળાકાર કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 4 \pi R^2$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
આમ,$P = 4 \pi R^2 \sigma T^4$.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો સમાન પાવરનું ઉત્સર્જન કરે છે,તેથી $P_1 = P_2$.
$4 \pi R_1^2 \sigma T_1^4 = 4 \pi R_2^2 \sigma T_2^4$.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $R_1^2 T_1^4 = R_2^2 T_2^4$ મળે છે.
$R_1/R_2$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે ગોઠવતા:
$(R_1/R_2)^2 = (T_2/T_1)^4$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$R_1/R_2 = (T_2/T_1)^2$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$T$ તાપમાને રહેલા પદાર્થનો $T_0$ તાપમાનવાળા વાતાવરણમાં ઠંડા પડવાનો દર $R$ નીચે મુજબ છે:
$R = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$T = 600 \ K$ અને $T_0 = 200 \ K$:
$R = k (600^4 - 200^4)$
બીજા કિસ્સા માટે,$T' = 400 \ K$ અને $T_0 = 200 \ K$:
$R' = k (400^4 - 200^4)$
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{R'}{R} = \frac{400^4 - 200^4}{600^4 - 200^4} = \frac{(4^4 - 2^4) \times 10^8}{(6^4 - 2^4) \times 10^8}$
$\frac{R'}{R} = \frac{256 - 16}{1296 - 16} = \frac{240}{1280} = \frac{24}{128} = \frac{3}{16}$
તેથી,$R' = \frac{3}{16} R$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા (ઉત્સર્જક શક્તિ $E$) $E = \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
બે પદાર્થો $X$ અને $Y$ માટે સમાન પરિમાણો (ક્ષેત્રફળ $A$) અને સમાન ઉત્સર્જકતા $(e)$ હોય,તો તેમની ઉત્સર્જક શક્તિ સમાન હોવા માટે:
$E_X = E_Y$
$\sigma e A T_1^4 = \sigma e A T_2^4$
આનો અર્થ એ થાય કે $T_1^4 = T_2^4$,એટલે કે $T_1 = T_2$ અથવા $T_1 / T_2 = 1$.
જો કે,આપેલા વિકલ્પોને જોતા,પ્રશ્નમાં ઉત્સર્જક શક્તિ અને તાપમાન વચ્ચેના સંબંધમાં ભૂલ જણાય છે. જો પ્રશ્નનો અર્થ એવો હોય કે ઉત્સર્જક શક્તિનો ગુણોત્તર $1:81$ છે,તો $T_1^4 / T_2^4 = 1/81$,જેનો અર્થ $T_1 / T_2 = 1/3$ થાય છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$T_1 / T_2 = 1/3$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જનનો દર $E = A \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ગોળા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ છે.
તેથી,$E = (4 \pi R^2) \sigma T^4$,જે સૂચવે છે કે $E \propto R^2 T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $E_1 = E$,$R_1 = R$ અને $T_1 = T$ છે.
ધારો કે અંતિમ સ્થિતિ $E_2$,$R_2 = R/2$ અને $T_2 = 4T$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_2}{E} = \left( \frac{R/2}{R} \right)^2 \left( \frac{4T}{T} \right)^4$.
$\frac{E_2}{E} = (1/2)^2 \times (4)^4 = (1/4) \times 256 = 64$.
તેથી,$E_2 = 64E$.

(C) કૃષ્ણ પદાર્થ માટે ઉત્સર્જનનો દર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R = \left(\frac{dQ}{dt}\right)_1 = e A \sigma T^4$.
તે કૃષ્ણ પદાર્થ હોવાથી,ઉત્સર્જકતા $e = 1$ છે,તેથી $R = A \sigma T^4$.
બીજા પદાર્થ માટે,ઉત્સર્જનનો દર:
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = e' A' \sigma (T')^4$.
અહીં $e' = 0.2$,$A' = A$,અને $T' = 3T$ આપેલ છે:
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = 0.2 \times A \times \sigma \times (3T)^4$.
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = 0.2 \times A \times \sigma \times 81 T^4$.
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = 16.2 \times A \sigma T^4$.
$R = A \sigma T^4$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = 16.2 R$.

(B) પદાર્થની ઉત્સર્જક શક્તિ $E$ એ $E = e \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ ઉત્સર્જકતા છે,$\sigma$ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે બંને ગોળાઓ માટે ઉત્સર્જક શક્તિ સમાન છે,તેથી $E_1 = E_2$.
તેથી,$e_1 \sigma T_1^4 = e_2 \sigma T_2^4$.
$\sigma$ અચળ હોવાથી,આપણને $e_1 T_1^4 = e_2 T_2^4$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{T_1^4}{T_2^4} = \frac{e_2}{e_1}$ મળે છે.
ઉત્સર્જકતાનો ગુણોત્તર $e_1: e_2 = 1: 4$ આપેલ છે,તેથી $\frac{e_2}{e_1} = \frac{4}{1}$ થાય.
આમ,$\frac{T_1^4}{T_2^4} = 4$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા,$\frac{T_1}{T_2} = (4)^{1/4} = (2^2)^{1/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.
તેથી,$T_1: T_2$ નો ગુણોત્તર $\sqrt{2}: 1$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ છે અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = T + 0.5T = 1.5T$ છે.
પ્રારંભિક વિકિરણ $E_1 = \sigma T^4$ છે.
અંતિમ વિકિરણ $E_2 = \sigma (1.5T)^4 = \sigma (5.0625) T^4 = 5.0625 E_1$ છે.
વિકિરણમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5.0625 E_1 - E_1}{E_1} \times 100 = 4.0625 \times 100 = 406.25 \%$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,વધારો આશરે $400 \%$ થાય છે.

(B) કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \sigma A T^4$,જ્યાં $A = 4\pi r^2$ એ ગોળાનું પૃષ્ઠફળ છે.
પ્રથમ કૃષ્ણ પદાર્થ માટે: $P_1 = \sigma (4\pi r_1^2) T_1^4$.
બીજા કૃષ્ણ પદાર્થ માટે: $P_2 = \sigma (4\pi r_2^2) T_2^4$.
પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{1}{2}$ આપેલ છે.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \frac{\sigma 4\pi r_1^2 T_1^4}{\sigma 4\pi r_2^2 T_2^4} = \frac{r_1^2 T_1^4}{r_2^2 T_2^4}$.
ત્રિજ્યાના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{1}{2} \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનના નિયમ મુજબ,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉષ્મા $E = e \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ ઉત્સર્જકતા છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો માટે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉષ્મા સમાન છે,તેથી $e_1 \sigma T_1^4 = e_2 \sigma T_2^4$.
$\sigma$ અચળ હોવાથી,આ સમીકરણ $e_1 T_1^4 = e_2 T_2^4$ માં પરિણમે છે.
ઉત્સર્જકતાનો ગુણોત્તર $e_1 : e_2 = 1 : 3$ આપેલ હોવાથી,$\frac{e_1}{e_2} = \frac{1}{3}$ થાય.
તાપમાનના ગુણોત્તર માટે સમીકરણને ગોઠવતા: $\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4 = \frac{e_2}{e_1} = \frac{3}{1}$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા,આપણને $\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{3}{1}\right)^{1/4} = 3^{1/4} : 1$ મળે છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કાળા પદાર્થમાંથી ઉત્સર્જન દર $E = A \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ગોળા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ છે.
તેથી,$E = (4 \pi R^2) \sigma T^4$,જે સૂચવે છે કે $E \propto R^2 T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $E_1 = E$,$R_1 = R$ અને $T_1 = T$ છે.
ધારો કે અંતિમ સ્થિતિ $E_2$,$R_2 = R/3$ અને $T_2 = 3T$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_2}{E} = \left( \frac{R/3}{R} \right)^2 \left( \frac{3T}{T} \right)^4$.
$\frac{E_2}{E} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times (3)^4 = \frac{1}{9} \times 81 = 9$.
તેથી,$E_2 = 9E$.