Radiation by Stefan's Boltzmann Law Questions in Gujarati

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થમાંથી ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર (પાવર) $P$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$P \propto T^{4}$.
અહીં તાપમાન $T = 500 \; K$ આપેલું હોવાથી,ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર $(500)^{4}$ ના સમપ્રમાણમાં હશે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ માં ઉત્સર્જિત ઊર્જા $Q = P \cdot t = \sigma A t T^4$ હોવાથી,બે ગોળાઓ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{A_1}{A_2} \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$.
અહીં $r_1 = 4 \, m$,$r_2 = 1 \, m$,$T_1 = 2000 \, K$ અને $T_2 = 4000 \, K$ આપેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{4}{1} \right)^2 = 16$ થાય.
તાપમાનનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2000}{4000} = \frac{1}{2}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{Q_1}{Q_2} = 16 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 16 \times \frac{1}{16} = 1$.
આમ,ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = A \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ગોળાઓ સમાન દ્રવ્યના અને સમાન તાપમાને હોવાથી,$\sigma$ અને $T$ અચળ રહેશે.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ હોવાથી,$P \propto r^2$ થાય.
તેથી,ઉત્સર્જન પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ થશે.
આપેલ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{P_1}{P_2} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$r$ ત્રિજ્યા અને $T$ તાપમાન ધરાવતા ગોળા દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P = A \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 4 \pi r^2$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,ઉત્સર્જન ક્ષમતા સમાન છે. આપેલ છે કે બંને ગોળાઓ માટે કુલ ઉત્સર્જિત પાવર $P$ સમાન છે,તેથી $P_1 = P_2$.
સૂત્ર મૂકતા: $4 \pi r_1^2 \sigma T_1^4 = 4 \pi r_2^2 \sigma T_2^4$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $r_1^2 T_1^4 = r_2^2 T_2^4$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મેળવવા માટે ગોઠવતા: $(\frac{r_1}{r_2})^2 = (\frac{T_2}{T_1})^4$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{r_1}{r_2} = (\frac{T_2}{T_1})^2$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો દર $(E)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન ($T$,કેલ્વિનમાં) ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
સૂત્ર $E \propto T^4$ છે.
અહીં તાપમાન સેલ્સિયસમાં $727^\circ C$ આપેલું છે,તેથી તેને કેલ્વિનમાં ફેરવતા:
$T = 727 + 273 = 1000 \ K$.
આ કિંમતને સમપ્રમાણતાના સંબંધમાં મૂકતા:
$E \propto (1000)^4$.
તેથી,ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર $(1000)^4$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P$,જે $r$ ત્રિજ્યા અને $T = (t + 273) \ K$ નિરપેક્ષ તાપમાન ધરાવતા કૃષ્ણ પદાર્થ તરીકે વર્તે છે,તે સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \sigma A T^4 = \sigma (4\pi r^2) (t + 273)^4$.
સૂર્યના કેન્દ્રથી $R$ અંતરે,આ પાવર $4\pi R^2$ જેટલી ગોળાકાર સપાટી પર ફેલાય છે.
આપાત કિરણોને લંબ સપાટી દ્વારા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પ્રાપ્ત થતો પાવર (તીવ્રતા $S$) નીચે મુજબ છે: $S = \frac{P}{4\pi R^2}$.
$P$ ની કિંમત મૂકતા: $S = \frac{\sigma (4\pi r^2) (t + 273)^4}{4\pi R^2} = \frac{r^2 \sigma (t + 273)^4}{R^2}$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ઉત્સર્જનનો દર $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^4$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 227^o C = (227 + 273) K = 500 K$.
પ્રારંભિક ઉત્સર્જન દર $E_1 = 7 \; cal/cm^2 s$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 727^o C = (727 + 273) K = 1000 K$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_2}{7} = \left( \frac{1000}{500} \right)^4$
$\frac{E_2}{7} = (2)^4$
$\frac{E_2}{7} = 16$
$E_2 = 7 \times 16 = 112 \; cal/cm^2 s$.
તેથી,$727^o C$ તાપમાને ઉત્સર્જિત ઉષ્માનો દર $112 \; cal/cm^2 s$ હશે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$T$ તાપમાને કૃષ્ણ પદાર્થ તરીકે વર્તતા $r$ ત્રિજ્યાના તારા દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P$ નીચે મુજબ છે:
$P = \sigma A T^4 = \sigma (4\pi r^2) T^4$
તારાના કેન્દ્રથી $R$ અંતરે,આ ઉર્જા $4\pi R^2$ જેટલા ગોળાકાર ક્ષેત્રફળ પર ફેલાય છે.
$R$ અંતરે મળતી એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ વિકિરણ ઉર્જા (તીવ્રતા $S$):
$S = \frac{P}{4\pi R^2}$
$P$ ની કિંમત મૂકતા:
$S = \frac{\sigma (4\pi r^2) T^4}{4\pi R^2} = \sigma \frac{r^2}{R^2} T^4$

(C) સ્ટેફનના નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થમાંથી ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર (પાવર) $Q$ એ $Q = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$A$ એ તારાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $4\pi R^2$ છે.
સમીકરણમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $Q = \sigma (4\pi R^2) T^4$ મળે છે.
તાપમાન $T$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $T^4 = \frac{Q}{4\pi \sigma R^2}$ મળે છે.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા,આપણને $T = \left( \frac{Q}{4\pi \sigma R^2} \right)^{1/4}$ મળે છે.

(C) $Stefan-Boltzmann$ ના નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો દર નીચે મુજબ છે:
$E = \sigma A T^4 = \sigma (4 \pi R^2) T^4$
આપેલ છે:
$E_1 = 450 \ W$,$T_1 = 500 \ K$,$R_1 = 12 \ cm$
$R_2 = \frac{R_1}{2}$,$T_2 = 2T_1$
કારણ કે $E \propto R^2 T^4$,તેથી:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \times (2)^4$
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{1}{4} \times 16 = 4$
$E_2 = 4 \times E_1 = 4 \times 450 \ W = 1800 \ W$

(D) $Wien$ ના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_{\max} T = \text{અચળ}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T$ છે અને અંતિમ તાપમાન $T'$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda_{\max, 1} = \lambda_0$ અને $\lambda_{\max, 2} = \frac{3}{4}\lambda_0$.
નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lambda_0 T = \left(\frac{3}{4}\lambda_0\right) T' \Rightarrow T' = \frac{4}{3}T$.
$Stefan-Boltzmann$ ના નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = A \sigma T^4$ છે,જેનો અર્થ છે કે $P \propto T^4$.
તેથી,$\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T'}{T}\right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \left(\frac{4/3 T}{T}\right)^4 = \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81}$.

(A) વિકિરણને કારણે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉષ્મા વ્યયનો દર,જેને ઉત્સર્જક પાવર $e$ કહેવામાં આવે છે,તે સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = \varepsilon \sigma (T^4 - T_0^4)$
આપેલ છે:
ઉત્સર્જકતા $\varepsilon = 0.6$
સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $\sigma = \frac{17}{3} \times 10^{-8} \, W/m^2 K^4$
સપાટીનું તાપમાન $T = 127^\circ C = 127 + 273 = 400 \, K$
આસપાસનું તાપમાન $T_0 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \, K$
કિંમતો મૂકતા:
$e = 0.6 \times \left( \frac{17}{3} \times 10^{-8} \right) \times [ (400)^4 - (300)^4 ]$
$e = 0.2 \times 17 \times 10^{-8} \times [ 256 \times 10^8 - 81 \times 10^8 ]$
$e = 3.4 \times 10^{-8} \times (175 \times 10^8)$
$e = 3.4 \times 175 = 595 \, J/m^2 \cdot s$

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
સેલ્સિયસમાં આપેલ તાપમાન: $T_1 = 27^oC$ અને $T_2 = 127^oC$.
તેમને કેલ્વિનમાં ફેરવતા: $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ અને $T_2 = 127 + 273 = 400 \ K$.
ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર: $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{300}{400} \right)^4 = \left( \frac{3}{4} \right)^4 = \frac{81}{256}$.
આમ,ગુણોત્તર $81:256$ છે.

(B) $T$ તાપમાને રહેલા ગોળાકાર સ્ત્રોતથી $d$ અંતરે રહેલા નાના ક્ષેત્રફળ દ્વારા મેળવેલ પાવર $P$ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ અને વિકિરણના વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ પર આધારિત છે.
સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ મુજબ,ગોળા દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P_{source} \propto T^4$ છે.
$d$ અંતરે વિકિરણની તીવ્રતા વ્યસ્ત વર્ગના નિયમનું પાલન કરે છે,$I \propto \frac{1}{d^2}$.
આમ,ફોઇલ દ્વારા મેળવેલ પાવર $P \propto \frac{T^4}{d^2}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $P_1 = k \frac{T^4}{d^2} = P$ છે.
અંતિમ સ્થિતિમાં,તાપમાન $T' = 2T$ અને અંતર $d' = 2d$ થાય છે.
નવો પાવર $P'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P' = k \frac{(2T)^4}{(2d)^2} = k \frac{16 T^4}{4 d^2} = 4 \left( k \frac{T^4}{d^2} \right) = 4P$.

(C) ધારો કે ગોળા $P$ ની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ગોળા $Q$ ની ત્રિજ્યા $3r$ છે.
વિકિરણ દ્વારા ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = \sigma e A T^4$.
ઉપરાંત,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર તાપમાન ઘટવાના દર સાથે આ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે: $\frac{dQ}{dt} = -ms \frac{dT}{dt}$,જ્યાં $m$ દળ છે,$s$ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ક્ષમતા છે,અને $\frac{dT}{dt}$ તાપમાન ઘટવાનો દર છે.
બંનેને સરખાવતા: $ms \frac{dT}{dt} = \sigma e A T^4$.
$m = \rho V = \rho (\frac{4}{3} \pi r^3)$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\rho (\frac{4}{3} \pi r^3) s \frac{dT}{dt} = \sigma e (4 \pi r^2) T^4$.
આમ,તાપમાન ઘટવાનો દર $\frac{dT}{dt} = \frac{\sigma e (4 \pi r^2) T^4}{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3) s} = \frac{3 \sigma e T^4}{\rho r s}$ છે.
આ દર્શાવે છે કે $\frac{dT}{dt} \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,$\frac{(\frac{dT}{dt})_P}{(\frac{dT}{dt})_Q} = \frac{r_Q}{r_P} = \frac{3r}{r} = 3$.
આપેલ છે કે $(\frac{dT}{dt})_P = x (\frac{dT}{dt})_Q$,તેથી $x = 3$ મળે છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણ પાવર $E = \varepsilon \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\varepsilon$ ઉત્સર્જકતા છે,$\sigma$ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો $P$ અને $Q$ માટે વિકિરણ પાવર $E$ અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે,તેથી:
$E_P = E_Q$
$\varepsilon_P \sigma A_P \theta_P^4 = \varepsilon_Q \sigma A_Q \theta_Q^4$
કારણ કે $A_P = A_Q$ અને $\sigma$ અચળ છે,સમીકરણ આ રીતે સરળ બને છે:
$\varepsilon_P \theta_P^4 = \varepsilon_Q \theta_Q^4$
$\theta_Q$ માટે ગોઠવતા:
$\theta_Q^4 = \frac{\varepsilon_P}{\varepsilon_Q} \theta_P^4$
$\theta_Q = \left( \frac{\varepsilon_P}{\varepsilon_Q} \right)^{1/4} \theta_P$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થમાંથી ઉત્સર્જિત વિકિરણનો દર $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના ચતુર્થ ઘાત ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $E = \sigma A T^4$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
પગલું $1$: તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવો.
$T_1 = 273^{\circ} C = (273 + 273) K = 546 K$.
$T_2 = 0^{\circ} C = (0 + 273) K = 273 K$.
પગલું $2$: ઉત્સર્જન દરનો ગુણોત્તર લો.
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
પગલું $3$: કિંમતો મૂકો.
$\frac{E_2}{E} = \left( \frac{273}{546} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$.
તેથી,$E_2 = \frac{E}{16}$.

(C) સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P_{sun} = \sigma T^4 \times (4\pi R^2)$.
સૂર્યથી $r$ અંતરે વિકિરણની તીવ્રતા $I$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પાવર છે: $I = \frac{P_{sun}}{4\pi r^2} = \frac{\sigma T^4 \times 4\pi R^2}{4\pi r^2} = \frac{\sigma T^4 R^2}{r^2}$.
પૃથ્વી આ વિકિરણને તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ પર મેળવે છે,જે $\pi r_0^2$ છે.
તેથી,પૃથ્વી પર આપાત થતો કુલ વિકિરણ પાવર $P_{earth} = I \times \pi r_0^2 = \frac{\sigma T^4 R^2}{r^2} \times \pi r_0^2 = \frac{\pi r_0^2 R^2 \sigma T^4}{r^2}$ થાય છે.

(C) મધ્યની પ્લેટ સ્થાયી અવસ્થામાં રહે તે માટે,પ્લેટ દ્વારા મેળવેલ કુલ પાવર એ પ્લેટ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે મધ્યની પ્લેટનું તાપમાન $\theta$ છે.
પ્રથમ પ્લેટ ($2T$ પર) અને ત્રીજી પ્લેટ ($3T$ પર) દ્વારા મધ્યની પ્લેટને મળતો પાવર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ છે: $P_{\text{received}} = \sigma A (2T)^4 + \sigma A (3T)^4$.
મધ્યની પ્લેટ તેની બંને બાજુઓથી વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે,તેથી કુલ ઉત્સર્જિત પાવર: $P_{\text{emitted}} = 2 \times \sigma A \theta^4$.
મેળવેલ અને ઉત્સર્જિત પાવરને સરખાવતા:
$\sigma A (2T)^4 + \sigma A (3T)^4 = 2 \sigma A \theta^4$
$16 T^4 + 81 T^4 = 2 \theta^4$
$97 T^4 = 2 \theta^4$
$\theta^4 = \frac{97}{2} T^4$
$\theta = \left( \frac{97}{2} \right)^{1/4} T$

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર: $P = \sigma A_{sun} T^4 = \sigma (4\pi R^2) T^4$ છે.
સૂર્યથી $r$ અંતરે,આ પાવર $4\pi r^2$ જેટલા ગોળાકાર પૃષ્ઠફળ પર ફેલાય છે.
$r$ અંતરે વિકિરણની તીવ્રતા $I = P / (4\pi r^2) = (\sigma 4\pi R^2 T^4) / (4\pi r^2) = \sigma R^2 T^4 / r^2$ થાય છે.
પૃથ્વી આ વિકિરણને તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $\pi r_0^2$ દ્વારા ગ્રહણ કરે છે.
તેથી,પૃથ્વી પર આપાત થતો કુલ વિકિરણ પાવર $P_{Earth} = I \times \pi r_0^2 = (\sigma R^2 T^4 / r^2) \times \pi r_0^2 = \pi r_0^2 R^2 \sigma T^4 / r^2$ મળે છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = e A \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ ઉત્સર્જકતા છે,$A$ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\sigma$ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,અને $T$ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
બંને લેમ્પ સમાન પાવર $(P_A = P_B)$ ઉત્સર્જિત કરે છે અને સમાન પરિમાણો (સમાન સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$) ધરાવે છે,તેથી:
$e_A A \sigma T_A^4 = e_B A \sigma T_B^4$
સામાન્ય પદો $A$ અને $\sigma$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$e_A T_A^4 = e_B T_B^4$
ગુણોત્તર $\frac{T_A}{T_B}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{T_A^4}{T_B^4} = \frac{e_B}{e_A}$
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા:
$\frac{T_A}{T_B} = (\frac{e_B}{e_A})^{1/4}$

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ ગોળા દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $P = \sigma A T^4$ છે,જ્યાં $A = 4\pi r^2$ એ ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ ત્રિજ્યા $r_1 = 1\ m$,$r_2 = 4\ m$ અને તાપમાન $T_1 = 4000\ K$,$T_2 = 2000\ K$ છે.
ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{\sigma (4\pi r_1^2) T_1^4}{\sigma (4\pi r_2^2) T_2^4} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{4000}{2000}\right)^4 = \left(\frac{1}{16}\right) \times (2)^4 = \frac{1}{16} \times 16 = 1$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 1$ છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$T$ તાપમાને $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P = A \sigma T^4$ છે.
$d$ અંતરે રહેલા નાના ડિટેક્ટર દ્વારા મેળવવામાં આવતી પાવર તીવ્રતા $I$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે વ્યસ્ત વર્ગના નિયમનું પાલન કરે છે: $I = \frac{P}{4 \pi d^2} = \frac{A \sigma T^4}{4 \pi d^2}$.
આપેલ છે કે જ્યારે તાપમાન $T_1$ થી $T_2$ થાય અને અંતર $d_1$ થી $d_2$ થાય ત્યારે ડિટેક્ટર દ્વારા મેળવવામાં આવતી પાવર સમાન રહે છે,તેથી:
$\frac{A \sigma T_1^4}{4 \pi d_1^2} = \frac{A \sigma T_2^4}{4 \pi d_2^2}$
સામાન્ય અચળાંકો $A, \sigma,$ અને $4 \pi$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{T_1^4}{d_1^2} = \frac{T_2^4}{d_2^2}$
$d_2/d_1$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$(\frac{d_2}{d_1})^2 = (\frac{T_2}{T_1})^4$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{d_2}{d_1} = (\frac{T_2}{T_1})^2$

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનના નિયમ મુજબ,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત પાવર $(E)$ નીચે મુજબ છે:
$E = \sigma T^4$
જ્યાં $E$ નો એકમ $watt/m^2$ છે અને $T$ નો એકમ $Kelvin$ $(K)$ છે.
$\sigma$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\sigma = \frac{E}{T^4}$
એકમો મૂકતા:
$\sigma$ નો એકમ $= \frac{watt/m^2}{K^4} = \frac{watt}{m^2 \times K^4}$.

(C) વિકિરણ દ્વારા ઉષ્મા ઉત્સર્જનનો દર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta E = e A \sigma (T^4 - T_0^4)$.
દ્રવ્ય,તાપમાન અને આસપાસનું વાતાવરણ સમાન હોવાથી,ઉત્સર્જિત વિકિરણનો ગુણોત્તર માત્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ પર આધાર રાખે છે: $\frac{(\Delta E)_{\text{sphere}}}{(\Delta E)_{\text{cube}}} = \frac{A_{\text{sphere}}}{A_{\text{cube}}} = \frac{4 \pi R^2}{6 a^2}$.
આપેલ છે કે કદ સમાન છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = a^3$,જેનો અર્થ છે કે $a = R \left( \frac{4\pi}{3} \right)^{1/3}$.
ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તરમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{4 \pi R^2}{6 [R (4\pi/3)^{1/3}]^2} = \frac{4 \pi}{6 (4\pi/3)^{2/3}} = \left( \frac{\pi}{6} \right)^{1/3}$.
આમ,ગુણોત્તર $\left( \frac{\pi}{6} \right)^{1/3} : 1$ છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$d$ વ્યાસ ધરાવતા ગોળાકાર પદાર્થ માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi r^2 = 4\pi (d/2)^2 = \pi d^2$ થાય.
પ્રારંભિક ઉર્જા $E_1 = \sigma (\pi d^2) T^4 = E$.
નવું તાપમાન $T_2 = 2T$ અને નવો વ્યાસ $d_2 = d/4$ છે.
નવું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (d_2)^2 = \pi (d/4)^2 = \pi d^2 / 16 = A_1 / 16$ થાય.
નવી ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E_2 = \sigma A_2 T_2^4 = \sigma (A_1 / 16) (2T)^4$ થાય.
$E_2 = \sigma (A_1 / 16) (16 T^4) = \sigma A_1 T^4 = E$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા વિકિરણનો દર $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^{4}$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_{1} = 227 + 273 = 500\,K$.
અંતિમ તાપમાન $T_{2} = 727 + 273 = 1000\,K$.
પ્રારંભિક વિકિરણ દર $E_{1} = 7\,cal\,cm^{-2}\,s^{-1}$.
ગુણોત્તર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E_{2} = E_{1} \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{4}$
$E_{2} = 7 \times \left(\frac{1000}{500}\right)^{4}$
$E_{2} = 7 \times (2)^{4}$
$E_{2} = 7 \times 16 = 112\,cal\,cm^{-2}\,s^{-1}$.
તેથી,$727\,^{\circ}C$ તાપમાને ઉત્સર્જિત ઉષ્માનો દર $112\,cal\,cm^{-2}\,s^{-1}$ થશે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $R$ એ $(T^4 - T_0^4)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે અને $T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $R_1 = R \propto (600^4 - 200^4) = (6^4 - 2^4) \times 10^8 = (1296 - 16) \times 10^8 = 1280 \times 10^8$.
બીજા કિસ્સા માટે: $R_2 \propto (400^4 - 200^4) = (4^4 - 2^4) \times 10^8 = (256 - 16) \times 10^8 = 240 \times 10^8$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{R_2}{R_1} = \frac{240 \times 10^8}{1280 \times 10^8} = \frac{24}{128} = \frac{3}{16}$.
તેથી,$R_2 = \frac{3}{16} R$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે $(E \propto T^4)$.
તીવ્રતા-તરંગલંબાઇ વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ તે તાપમાને કૃષ્ણ પદાર્થની કુલ ઉત્સર્જક શક્તિ દર્શાવે છે.
તેથી,તાપમાન $T_1$ અને $T_2$ ને અનુરૂપ ક્ષેત્રફળ $A_1$ અને $A_2$ નો ગુણોત્તર $\frac{A_2}{A_1} = \frac{T_2^4}{T_1^4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તાપમાન $T_1 = 27\,^oC = (27 + 273)\,K = 300\,K$ અને $T_2 = 327\,^oC = (327 + 273)\,K = 600\,K$ છે.
આ મૂલ્યોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{A_2}{A_1} = \left( \frac{600}{300} \right)^4 = (2)^4 = 16$.
આમ,$\frac{A_2}{A_1}$ નો ગુણોત્તર $16 : 1$ છે.

(C) ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = e \sigma A T^4$.
કૃષ્ણ પદાર્થ માટે,ઉત્સર્જકતા $e = 1$ છે.
ધારો કે ટંગસ્ટન પદાર્થની ત્રિજ્યા $R_1$ છે અને કૃષ્ણ પદાર્થની ત્રિજ્યા $R$ છે.
ટંગસ્ટન પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P_T = e_T \sigma (4 \pi R_1^2) T^4$ છે,જ્યાં $e_T = 0.3$.
સમાન ત્રિજ્યા $R_1$ ધરાવતા કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P_B = 1 \cdot \sigma (4 \pi R_1^2) T^4$ છે.
આપેલ છે કે ટંગસ્ટન પદાર્થ સમાન ત્રિજ્યાના કૃષ્ણ પદાર્થની $30 \%$ ઉર્જા ઉત્સર્જિત કરે છે,તેથી $P_T = 0.3 P_B$.
આપણે તે કૃષ્ણ પદાર્થની ત્રિજ્યા $R_{new}$ શોધવા માંગીએ છીએ જે સમાન તાપમાને ટંગસ્ટન પદાર્થ જેટલા જ દરે ઉર્જા ઉત્સર્જિત કરે છે: $P_{new} = 1 \cdot \sigma (4 \pi R_{new}^2) T^4 = P_T$.
કારણ કે $P_T = 0.3 \cdot \sigma (4 \pi R_1^2) T^4$,આપણે બંનેને સરખાવીએ છીએ:
$\sigma (4 \pi R_{new}^2) T^4 = 0.3 \sigma (4 \pi R_1^2) T^4$.
$R_{new}^2 = 0.3 R_1^2$.
$R_{new} = \sqrt{0.3} \cdot R_1$.
વ્યાસ $d = 2.3 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $R_1 = 1.15 \ cm$.
$R_{new} = \sqrt{0.3} \cdot 1.15 \approx 0.5477 \cdot 1.15 \approx 0.6299 \ cm \approx 0.63 \ cm$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $E = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $\sigma$ અચળ હોવાથી,ઉત્સર્જિત પાવર નિરપેક્ષ તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ છે અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = T/2$ છે.
અંતિમ પાવર $E_2$ અને પ્રારંભિક પાવર $E_1$ નો ગુણોત્તર:
$E_2 / E_1 = (T_2 / T_1)^4 = ( (T/2) / T )^4 = (1/2)^4 = 1/16$.
આમ,ઉત્સર્જિત વિકિરણોનો જથ્થો તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $1/16$ ભાગ જેટલો થઈ જશે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થમાંથી ઉત્સર્જિત ઉષ્માનો દર $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^{4}$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_{1} = 227 + 273 = 500\, K$.
પ્રારંભિક ઉત્સર્જન દર $E_{1} = 7\, cal\, cm^{-2} \,s^{-1}$.
અંતિમ તાપમાન $T_{2} = 727 + 273 = 1000\, K$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E_{2} = E_{1} \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{4}$
કિંમતો મૂકતા:
$E_{2} = 7 \times \left(\frac{1000}{500}\right)^{4}$
$E_{2} = 7 \times (2)^{4}$
$E_{2} = 7 \times 16 = 112\, cal\, cm^{-2} \,s^{-1}$.
આમ,ઉત્સર્જિત ઉષ્માનો દર $112$ એકમ થશે.

(B) કૃષ્ણ પદાર્થ માટે ઉષ્માના વ્યયનો દર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = \sigma A T^4$.
$0.25$ ઉત્સર્જકતા $(e)$ અને $2T$ તાપમાન ધરાવતા બીજા પદાર્થ માટે ઉષ્માના વ્યયનો દર $Q'$ નીચે મુજબ છે: $Q' = e \sigma A (T')^4$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $Q' = 0.25 \times \sigma A (2T)^4$.
$Q' = 0.25 \times \sigma A \times 16 T^4$.
$Q' = 0.25 \times 16 \times (\sigma A T^4)$.
અહીં $Q = \sigma A T^4$ હોવાથી,$Q' = 4 \times Q = 4Q$ મળે છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાત ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
સેલ્સિયસમાં આપેલ તાપમાન: $T_1 = 7\,^oC$ અને $T_2 = 287\,^oC$.
તેને કેલ્વિનમાં ફેરવતા: $T_1 = 7 + 273 = 280\,K$ અને $T_2 = 287 + 273 = 560\,K$.
ઉત્સર્જિત વિકિરણનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{280}{560}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:16$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા (ઉત્સર્જન પાવર $E$) તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$E \propto T^4$
તીવ્રતા-તરંગલંબાઇ વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ કુલ ઉત્સર્જન પાવર દર્શાવે છે,તેથી $A \propto T^4$ થાય.
આપેલ તાપમાન $T_1 = 27\,^oC = (27 + 273)\,K = 300\,K$ અને $T_2 = 327\,^oC = (327 + 273)\,K = 600\,K$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{T_2^4}{T_1^4} = \left(\frac{600}{300}\right)^4 = (2)^4 = 16$.
આમ,$\frac{A_2}{A_1}$ નું મૂલ્ય $16 : 1$ છે.

(C) એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત ઉર્જા સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = \frac{P}{A} = \sigma T^4$.
આપેલ છે,$I = 5.67 \times 10^4 \, W/m^2$ અને સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, W/m^2 \cdot K^4$.
કિંમતો મૂકતા: $5.67 \times 10^4 = 5.67 \times 10^{-8} \times T^4$.
$T^4 = \frac{5.67 \times 10^4}{5.67 \times 10^{-8}} = 10^{12}$.
ચતુર્થ મૂળ લેતા: $T = (10^{12})^{1/4} = 10^3 \, K = 1000 \, K$.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરવા માટે: $T(^{\circ}C) = T(K) - 273 = 1000 - 273 = 727 \, ^{\circ}C$.

(C) ગોળા દ્વારા ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $dQ/dt = \sigma A (T^4 - T_0^4)$,જ્યાં $A = 4\pi R^2$.
વળી,ગોળા દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $dQ = -Mc dT$ છે,જ્યાં $c = \alpha T^3$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $-M(\alpha T^3) dT = \sigma (4\pi R^2) (T^4 - T_0^4) dt$.
$dt$ માટે ગોઠવતા: $dt = -\frac{M\alpha T^3 dT}{\sigma (4\pi R^2) (T^4 - T_0^4)}$.
$T = 3T_0$ થી $T = 2T_0$ સુધી સંકલન કરતા: $t = \int_{2T_0}^{3T_0} \frac{M\alpha T^3}{4\pi R^2 \sigma (T^4 - T_0^4)} dT$.
ધારો કે $u = T^4 - T_0^4$,તો $du = 4T^3 dT$,તેથી $T^3 dT = du/4$.
$t = \frac{M\alpha}{4\pi R^2 \sigma} \int_{T=2T_0}^{T=3T_0} \frac{du/4}{u} = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} [\ln(u)]_{T=2T_0}^{T=3T_0}$.
$t = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} [\ln(T^4 - T_0^4)]_{2T_0}^{3T_0} = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} \ln \left( \frac{(3T_0)^4 - T_0^4}{(2T_0)^4 - T_0^4} \right)$.
$t = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} \ln \left( \frac{81T_0^4 - T_0^4}{16T_0^4 - T_0^4} \right) = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} \ln \left( \frac{80}{15} \right) = \frac{M\alpha}{16\pi R^2 \sigma} \ln \left( \frac{16}{3} \right)$.

(A) $Stefan's\,law$ મુજબ, એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત પાવર $E = \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
તાપમાન $T = 3000\,K$
$Stefan$ નો અચળાંક $\sigma = 5.7 \times 10^{-8}\,W\,m^{-2}\,K^{-4}$
સમય $t = 1\,\text{કલાક }= 3600\,\text{સેકન્ડ}$
સમય $t$ માં એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત ઉષ્મા $(Q/A)$:
$Q/A = E \times t = \sigma T^4 \times t$
કિંમતો મૂકતા:
$Q/A = (5.7 \times 10^{-8}) \times (3000)^4 \times 3600$
$Q/A = 5.7 \times 10^{-8} \times 81 \times 10^{12} \times 3600$
$Q/A = 5.7 \times 81 \times 3600 \times 10^4$
$Q/A = 1662120 \times 10^4 = 1.66212 \times 10^{10}\,J \approx 1.7 \times 10^{10}\,J$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા વિકિરણનો દર $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E = \sigma T^4$.
આપેલ છે:
$E_1 = 2 \times 10^5 \, J/s \cdot m^2$
$T_1 = 127 + 273 = 400 \, K$
$E_2 = 32 \times 10^5 \, J/s \cdot m^2$
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$
$\frac{32 \times 10^5}{2 \times 10^5} = \left(\frac{T_2}{400}\right)^4$
$16 = \left(\frac{T_2}{400}\right)^4$
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા:
$2 = \frac{T_2}{400}$
$T_2 = 800 \, K$
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા:
$T_2 = 800 - 273 = 527 \, ^\circ C$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma \varepsilon A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$P = \frac{1.58 \times 10^5 \ cal}{1 \ hour} = \frac{1.58 \times 10^5 \times 4.2 \ J}{3600 \ s} \approx 184.33 \ W$.
આપેલ છે: $A = 10^{-4} \ m^2$,$\varepsilon = 0.80$,$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W/m^2K^4$.
કિંમતો મૂકતા: $184.33 = 5.67 \times 10^{-8} \times 0.80 \times 10^{-4} \times T^4$.
$T^4 = \frac{184.33}{5.67 \times 0.80 \times 10^{-12}} \approx 4.06 \times 10^{13} \approx 3906250000000$.
ચતુર્થ મૂળ લેતા,$T \approx 2500 \ K$ મળે છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઊર્જા ઉત્સર્જનનો દર $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^4$.
આપેલ છે:
$T_1 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400\,K$
$E_1 = 1.0 \times 10^6\,J/s\cdot m^2$
$E_2 = 16.0 \times 10^6\,J/s\cdot m^2$
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{16.0 \times 10^6}{1.0 \times 10^6} = \left(\frac{T_2}{400}\right)^4$
$16 = \left(\frac{T_2}{400}\right)^4$
$2^4 = \left(\frac{T_2}{400}\right)^4$
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા:
$2 = \frac{T_2}{400}$
$T_2 = 800\,K$
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા:
$T_2 = 800 - 273 = 527^{\circ}C$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાત (fourth power) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(E \propto T^4)$.
વર્ણપટ ઉર્જા ઘનતા વક્ર $E_\lambda$ વિરુદ્ધ $\lambda$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ કૃષ્ણ પદાર્થની કુલ ઉત્સર્જન શક્તિ દર્શાવે છે.
આપેલ છે કે વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = 16 : 1$ છે,જ્યાં $A_1$ એ તાપમાન $T$ ને અનુરૂપ છે અને $A_2$ એ $2000 \ K$ ને અનુરૂપ છે.
$\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{T}{2000}\right)^4$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$16 = \left(\frac{T}{2000}\right)^4$
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા:
$2 = \frac{T}{2000}$
$T = 2 \times 2000 = 4000 \ K$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300\,K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 127 + 273 = 400\,K$.
ઉત્સર્જિત વિકિરણનો ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{400}{300} \right)^4 = \left( \frac{4}{3} \right)^4$.
ગણતરી કરતા: $\frac{4^4}{3^4} = \frac{256}{81}$.
આમ,ઉત્સર્જિત વિકિરણમાં $\frac{256}{81}$ ગણો વધારો થાય છે.

(A) આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 1\, cm^2 = 10^{-4}\, m^2$
તાપમાન $T = 1000\, K = 10^3\, K$
સમય $t = 1\, s$
સ્ટીફનનો અચળાંક $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\, W\, m^{-2}K^{-4}$
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E$ નીચે મુજબ છે:
$E = \sigma A T^4 t$
કિંમતો મૂકતા:
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^{-4}) \times (10^3)^4 \times 1$
$E = 5.67 \times 10^{-12} \times 10^{12} \times 1$
$E = 5.67\, J$
આમ,ઉત્સર્જિત ઉર્જાનું પ્રમાણ $5.67\, J$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત ઊર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
ધારો કે તાપમાન $T_1 = T$ પર $E_1 = E$ છે.
ધારો કે તાપમાન $T_2 = T/2$ પર ઉત્સર્જિત ઊર્જા $E_2$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_2}{E} = \left( \frac{T/2}{T} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$.
તેથી,$E_2 = E/16$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો દર $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $E = A\sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 7^{\circ}C = 7 + 273 = 280\,K$ છે.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 287^{\circ}C = 287 + 273 = 560\,K$ છે.
ઉર્જા ઉત્સર્જનના દરનો ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_1} = (\frac{T_2}{T_1})^4$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_2}{E_1} = (\frac{560}{280})^4 = (2)^4 = 16$.
તેથી,ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર $16$ ગણો વધે છે.

(A) દ્રવ્યના ગતિવાદ મુજબ,નિરપેક્ષ શૂન્ય $(0 \ K)$ થી ઉપરના તાપમાને રહેલા તમામ પદાર્થો ઉષ્મીય ઊર્જા ધરાવે છે અને વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણોનું ઉત્સર્જન કરે છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ જણાવે છે કે,કૃષ્ણ પદાર્થની સપાટીના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જાતી કુલ ઊર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $E = \sigma T^4$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. આ નિયમ સમજાવે છે કે ઉત્સર્જનનો દર પદાર્થના તાપમાન પર કેવી રીતે આધાર રાખે છે. તેથી,કારણ સાચું છે અને તે વિધાનની યોગ્ય સમજૂતી આપે છે.