Radiation by Stefan's Boltzmann Law Questions in Gujarati

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $P = A \varepsilon \sigma (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 10 \ cm^2 = 10 \times 10^{-4} \ m^2 = 10^{-3} \ m^2$.
એમિસિવિટી $\varepsilon = 1$ (કૃષ્ણ પદાર્થ માટે).
સ્ટીફનનો અચળાંક $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$.
પદાર્થનું તાપમાન $T = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \ K$.
રૂમનું તાપમાન $T_0 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
કિંમતો મૂકતા:
$P = 10^{-3} \times 1 \times 5.67 \times 10^{-8} \times (400^4 - 300^4)$
$P = 5.67 \times 10^{-11} \times (256 \times 10^8 - 81 \times 10^8)$
$P = 5.67 \times 10^{-11} \times 175 \times 10^8$
$P = 5.67 \times 1.75 = 9.9225 \times 10^{-1} \approx 0.99 \ W$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,એકમ પૃષ્ઠફળ દીઠ ઉત્સર્જિત થતી વિકિરણ ઉર્જા $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^4$.
અહીં વિકિરણ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{16}{1}$ આપેલ છે.
ધારો કે ગરમ પદાર્થનું તાપમાન $T_1 = 1000 \ K$ છે અને ઠંડા પદાર્થનું તાપમાન $T_2$ છે.
સંબંધ $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ નો ઉપયોગ કરતા:
$16 = \left( \frac{1000}{T_2} \right)^4$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા:
$2 = \frac{1000}{T_2}$.
તેથી,$T_2 = \frac{1000}{2} = 500 \ K$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $E = \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે તારા અને સૂર્યનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે,તો ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{star}}{E_{sun}} = \left( \frac{T_{star}}{T_{sun}} \right)^4$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે તારાનું તાપમાન સૂર્યના તાપમાન કરતાં બમણું છે,એટલે કે $T_{star} = 2T_{sun}$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{E_{star}}{E_{sun}} = (2)^4 = 16$.
તેથી,તારા દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા સૂર્ય કરતાં $16$ ગણી છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,બ્લેક બોડીમાંથી એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતી કુલ ઉર્જા $Q$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના ચતુર્થ ઘાત ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $Q \propto T^4$.
ધારો કે તાપમાન $T$ પર ઉત્સર્જિત ઉર્જા $Q_1$ છે અને તાપમાન $2T$ પર ઉત્સર્જિત ઉર્જા $Q_2$ છે.
તેથી,$\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{2T}{T} \right)^4 = 2^4 = 16$.
આમ,$Q_2 = 16 Q_1$.
પાણી દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = ms\Delta\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પાણીનું દળ છે અને $s$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $Q_1 = ms(20.5 - 20) = ms(0.5)$.
બીજા કિસ્સા માટે: $Q_2 = ms(\theta - 20)$,જ્યાં $\theta$ એ અંતિમ તાપમાન છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{ms(\theta - 20)}{ms(0.5)} = \frac{\theta - 20}{0.5}$.
કારણ કે $\frac{Q_2}{Q_1} = 16$,તેથી:
$16 = \frac{\theta - 20}{0.5}$.
$8 = \theta - 20$.
$\theta = 28^{\circ}C$.

(D) ઠંડા પડવાનો દર એ તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે,જે $\frac{d\theta}{dt} = \frac{P}{mc}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ ઉત્સર્જિત પાવર છે,$m$ એ દળ છે અને $c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જિત પાવર $P = A\varepsilon\sigma(T^4 - T_0^4)$ છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
ગોળા માટે,$A = 4\pi r^2$ અને દળ $m = \rho V = \rho (\frac{4}{3}\pi r^3)$ છે.
આ કિંમતોને ઠંડા પડવાના દરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{d\theta}{dt} = \frac{4\pi r^2 \varepsilon\sigma(T^4 - T_0^4)}{\rho (\frac{4}{3}\pi r^3) c}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{r^2}{r^3} \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
તેથી,ઠંડા પડવાનો દર $1/r$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર: $\frac{dQ}{dt} = \sigma A (T^4 - T_0^4)$ છે.
અહીં $dQ = mc \, dT$ અને $m = \rho V = \rho (\frac{4}{3} \pi r^3)$ હોવાથી: $mc \frac{dT}{dt} = -\sigma (4 \pi r^2) T^4$ ($T_0 = 0 \, K$ હોવાથી).
$m$ ની કિંમત મૂકતા: $(\rho \frac{4}{3} \pi r^3) c \frac{dT}{dt} = -4 \pi r^2 \sigma T^4$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{dT}{T^4} = -\frac{3 \sigma}{\rho c r} dt$.
$T_i = 200 \, K$ થી $T_f = 100 \, K$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_{200}^{100} T^{-4} dT = -\frac{3 \sigma}{\rho c r} \int_{0}^{t} dt$.
$[-\frac{1}{3} T^{-3}]_{200}^{100} = -\frac{3 \sigma}{\rho c r} t$.
$\frac{1}{3} [\frac{1}{100^3} - \frac{1}{200^3}] = \frac{3 \sigma}{\rho c r} t$.
$\frac{1}{3} [\frac{8 - 1}{8 \times 10^6}] = \frac{3 \sigma}{\rho c r} t$.
$\frac{7}{24 \times 10^6} = \frac{3 \sigma}{\rho c r} t$.
$t = \frac{7}{72} \frac{r \rho c}{\sigma} \times 10^{-6} \, s$.
સમય $\mu s$ $(10^{-6} \, s)$ માં માંગેલ હોવાથી,જવાબ $\frac{7}{72} \frac{r \rho c}{\sigma} \, \mu s$ થશે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$E = \sigma T^4$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln E = \ln(\sigma T^4)$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ અને $\ln(a^n) = n \ln a$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
$\ln E = \ln \sigma + 4 \ln T$
આને સુરેખ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$\ln E = 4 \ln T + \ln \sigma$
અહીં, $y = \ln E$, $x = \ln T$, ઢાળ $m = 4$ છે, અને y-અંતઃખંડ $c = \ln \sigma$ છે.
ઢાળ ધન $(4)$ હોવાથી અને અંતઃખંડ $\ln \sigma$ હોવાથી, આલેખ એક સુરેખા છે જેનો ઢાળ ધન છે અને તે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી નથી. આ આલેખ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) શૂન્યાવકાશમાં, ઉષ્મા વહન (conduction) અથવા ઉષ્મા નયન (convection) દ્વારા ઉષ્માના સ્થાનાંતરણ માટે કોઈ માધ્યમ હોતું નથી. ઇલેક્ટ્રિક હીટર $P = I^2R$ ના દરે સતત ગરમી ઉત્પન્ન કરે છે. જેમ જેમ હીટરનું તાપમાન વધે છે, તેમ તે સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ $(P_{rad} = \sigma A \epsilon T^4)$ મુજબ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ દ્વારા આસપાસમાં ગરમી ગુમાવે છે. શરૂઆતમાં, ગરમી ઉત્પન્ન થવાનો દર ગરમી ગુમાવવાના દર કરતા વધારે હોય છે. જેમ તાપમાન વધે છે, તેમ ગરમી ગુમાવવાનો દર વધે છે જ્યાં સુધી તે ગરમી ઉત્પન્ન થવાના દર જેટલો ન થાય. આ બિંદુએ, હીટર ઉષ્મીય સંતુલન (thermal equilibrium) પ્રાપ્ત કરે છે અને તેનું તાપમાન અચળ થઈ જાય છે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ અનુસાર,કૃષ્ણ પદાર્થ (black body) દ્વારા એકમ સમયમાં અને એકમ સપાટીના ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આ સૂત્ર $E = \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા માપીને,આપણે આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને તેનું સપાટીનું તાપમાન નક્કી કરી શકીએ છીએ.

(A) સૂર્ય (કૃષ્ણ પદાર્થ) દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P_{total} = \sigma A T^4$.
અહીં,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $T = (t + 273) \, K$ છે.
તેથી,$P_{total} = \sigma (4 \pi r^2) (t + 273)^4$.
આ પાવર સૂર્યના કેન્દ્રથી $R$ અંતરે રહેલા $R$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર પૃષ્ઠ પર સમાન રીતે વિતરિત થાય છે.
આ ગોળાનું ક્ષેત્રફળ $A' = 4 \pi R^2$ છે.
$R$ અંતરે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ મળતો પાવર (તીવ્રતા $I$) $I = \frac{P_{total}}{A'} = \frac{\sigma (4 \pi r^2) (t + 273)^4}{4 \pi R^2}$ દ્વારા મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $I = \frac{r^2 \sigma (t + 273)^4}{R^2}$ મળે છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ મુજબ,કાળા પદાર્થ દ્વારા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત ઉર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
ધારો કે $T_1 = T$ તાપમાને $E_1 = E$ છે.
ધારો કે $T_2 = T/2$ તાપમાને ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E_2$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_2}{E} = \left( \frac{T/2}{T} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$.
તેથી,$E_2 = \frac{E}{16}$.

(C) આપેલ છે કે બંને પદાર્થો દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ વિકિરણ પાવર સમાન છે: $P_A = P_B$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$P = e \sigma A T^4$.
અહીં $A_A = A_B$ અને $\sigma$ અચળાંક હોવાથી,$e_A T_A^4 = e_B T_B^4$ મળે.
$T_B$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $T_B = T_A \left( \frac{e_A}{e_B} \right)^{1/4}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $T_B = 5802 \times \left( \frac{0.01}{0.81} \right)^{1/4}$.
$T_B = 5802 \times \left( \frac{1}{81} \right)^{1/4} = 5802 \times \frac{1}{3} = 1934 \ K$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કાળા પદાર્થમાંથી ઉત્સર્જિત ઊર્જાનો દર $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^4$.
અહીં $T_1 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \ K$ તાપમાને $E_1 = 1 \ cal/cm^2 \cdot s$ આપેલ છે.
આપણે $T_2 = 527^{\circ}C = 527 + 273 = 800 \ K$ તાપમાને $E_2$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_2}{1} = \left( \frac{800}{400} \right)^4 = (2)^4 = 16$.
તેથી,$E_2 = 16 \ cal/cm^2 \cdot s$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઊર્જા ઉત્સર્જનનો દર $H$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $H \propto T^4$.
પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવો:
$T_A = 727 + 273 = 1000 \ K$
$T_B = 327 + 273 = 600 \ K$
હવે,ઊર્જા ઉત્સર્જનના દરનો ગુણોત્તર શોધો:
$\frac{H_A}{H_B} = \left( \frac{T_A}{T_B} \right)^4$
$\frac{H_A}{H_B} = \left( \frac{1000}{600} \right)^4 = \left( \frac{10}{6} \right)^4 = \left( \frac{5}{3} \right)^4$
$\frac{H_A}{H_B} = \frac{5^4}{3^4} = \frac{625}{81}$
તેથી,ગુણોત્તર $H_A : H_B$ એ $625 : 81$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉર્જા $\frac{dQ}{Adt} = \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$\frac{dQ}{Adt} = 1 \ cal/(m^2 \cdot s)$.
$1 \ cal = 4.2 \ J$ હોવાથી,ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર $4.2 \ J/(m^2 \cdot s)$ થાય.
$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W/(m^2 \cdot K^4)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4.2 = 5.67 \times 10^{-8} \times T^4$.
$T^4 = \frac{4.2}{5.67 \times 10^{-8}} \approx 0.74 \times 10^8 = 74 \times 10^6$.
$T = (74 \times 10^6)^{1/4} \approx 92.7 \ K$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $T \approx 100 \ K$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કાળા પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 327^{\circ}C = 327 + 273 = 600 \ K$.
પ્રારંભિક ઉર્જા $E_1 = 10 \ J$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{E_2}{10} = \left( \frac{600}{300} \right)^4$
$\frac{E_2}{10} = (2)^4 = 16$
$E_2 = 16 \times 10 = 160 \ J$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કાળા પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર તેના નિરપેક્ષ તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T$ છે અને પ્રારંભિક વિકિરણ $E = \sigma A T^4$ છે.
જ્યારે તાપમાનમાં $50\%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવું તાપમાન $T' = T + 0.5T = 1.5T = \frac{3}{2}T$ થાય છે.
નવું વિકિરણ $E' = \sigma A (T')^4 = \sigma A (1.5T)^4 = (1.5)^4 E = 5.0625 E$ થાય છે.
ટકાવારી વધારો શોધવા માટે: $\text{ટકાવારી વધારો} = \frac{E' - E}{E} \times 100\%$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5.0625 E - E}{E} \times 100\% = 4.0625 \times 100\% = 406.25\%$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $400\%$ છે.

(A) એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત ઉર્જા માટે સ્ટિફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ છે: $E = \sigma T^4$.
આપેલ છે $E = 5.67 \, W \, cm^{-2}$.
$E$ ને $SI$ એકમમાં ફેરવતા: $E = 5.67 \times 10^4 \, W \, m^{-2}$.
આપેલ છે $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, W \, m^{-2} K^{-4}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $T^4 = \frac{E}{\sigma}$.
$T^4 = \frac{5.67 \times 10^4}{5.67 \times 10^{-8}} = 10^{12}$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા: $T = (10^{12})^{1/4} = 10^3 = 1000 \, K$.

(B) કાળા પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર સ્ટિફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \sigma A T^{4}$.
આપેલ છે: $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, W/m^{2} \cdot K^{4}$,$A = 0.1 \, m^{2}$,$T = 727 + 273 = 1000 \, K$.
પાવર $P = (5.67 \times 10^{-8}) \times 0.1 \times (1000)^{4} = 5.67 \times 10^{-9} \times 10^{12} = 5670 \, W$ (અથવા $J/s$).
$t = 1 \, min = 60 \, s$ માં ઉત્સર્જિત ઉષ્મા $Q = P \times t = 5670 \times 60 = 340200 \, J$.
જૂલને કેલરીમાં ફેરવવા માટે,આપણે $1 \, cal = 4.2 \, J$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$Q_{cal} = \frac{340200}{4.2} = 81000 \, cal$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ ગોળા દ્વારા એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઉર્જા: $E = \sigma A T^4$,જ્યાં $A = 4\pi r^2$.
આમ,$P$ અને $Q$ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_P}{E_Q} = \frac{\sigma (4\pi r_P^2) T_P^4}{\sigma (4\pi r_Q^2) T_Q^4} = \left( \frac{r_P}{r_Q} \right)^2 \times \left( \frac{T_P}{T_Q} \right)^4$
આપેલ છે: $r_P = 8 \ cm$,$r_Q = 2 \ cm$,$T_P = 127 + 273 = 400 \ K$,$T_Q = 527 + 273 = 800 \ K$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_P}{E_Q} = \left( \frac{8}{2} \right)^2 \times \left( \frac{400}{800} \right)^4$
$\frac{E_P}{E_Q} = (4)^2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 16 \times \frac{1}{16} = 1$.
તેથી,ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = e \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$P = 25 \ W$,$e = 0.3$,$T = 2000 \ K$,અને $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W/m^2K^4$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$A = \frac{P}{e \sigma T^4}$
$A = \frac{25}{0.3 \times 5.67 \times 10^{-8} \times (2000)^4}$
$A = \frac{25}{0.3 \times 5.67 \times 10^{-8} \times 16 \times 10^{12}}$
$A = \frac{25}{27216} \approx 0.9185 \times 10^{-3} \ m^2 = 9.185 \ cm^2$.
આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,ગણતરી મુજબ નજીકનો જવાબ $0.92$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,સંપૂર્ણ કાળા પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = A \sigma T^4 = 4 \pi r^2 \sigma T^4$ છે.
આથી,$P \propto r^2 T^4$ મળે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = 12 \, cm$ અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 500 \, K$ છે. પ્રારંભિક પાવર $P_1 = 450 \, W$ છે.
નવી સ્થિતિ માટે,ત્રિજ્યા અડધી કરવામાં આવે છે,તેથી $r_2 = r_1 / 2$,અને તાપમાન બમણું કરવામાં આવે છે,તેથી $T_2 = 2 T_1$.
પાવરનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{2}{1} \right)^4 = \frac{1}{4} \times 16 = 4$.
તેથી,$P_2 = 4 P_1 = 4 \times 450 = 1800 \, W$.

(B) પદાર્થ દ્વારા ઉષ્મા ઉત્સર્જનનો દર (પાવર) સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \sigma e A T^4$.
ઉત્સર્જકો સમાન પ્રકારના હોવાથી,ઉત્સર્જકતા $e$ અને સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $\sigma$ સમાન રહેશે.
નળાકારની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 2\pi r L + 2\pi r^2$ છે. આપેલ છે કે લંબાઈ $L$ એ ત્રિજ્યા $r$ ના પ્રમાણમાં છે $(L \propto r)$,તેથી ક્ષેત્રફળ $A$ એ $r^2$ ના પ્રમાણમાં છે.
આમ,$E \propto r^2 T^4$.
ઉત્સર્જાતી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \times \left( \frac{2}{1} \right)^4 = \frac{1}{16} \times 16 = 1$.
તેથી,ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E \propto T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 727^{\circ}C = 727 + 273 = 1000 \ K$.
ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T_2$ છે.
આપણને આપેલ છે કે અંતિમ વિકિરણ $E_2 = 2E_1$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \left( \frac{T_2}{1000} \right)^4$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા: $\frac{T_2}{1000} = (2)^{1/4}$.
કારણ કે $(2)^{1/4} \approx 1.1892$,તેથી $T_2 = 1.1892 \times 1000 = 1189.2 \ K \approx 1190 \ K$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ઉત્સર્જનનો દર $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^4$.
આપેલ છે:
$T_1 = 227^{\circ}C = 227 + 273 = 500 \, K$
$T_2 = 727^{\circ}C = 727 + 273 = 1000 \, K$
$E_1 = 20 \, cal \, m^{-2} \, s^{-1}$
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{E_2}{20} = \left( \frac{1000}{500} \right)^4$
$\frac{E_2}{20} = (2)^4 = 16$
$E_2 = 16 \times 20 = 320 \, cal \, m^{-2} \, s^{-1}$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma e A T^{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$\sigma = 5.7 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$
$e = 0.85$
$A = 5 \times 10^{-5} \ m^{2}$
$T = 2000 \ K$
પ્રથમ,પાવર $P$ (પ્રતિ સેકન્ડ ઊર્જા) ની ગણતરી કરો:
$P = (5.7 \times 10^{-8}) \times 0.85 \times (5 \times 10^{-5}) \times (2000)^{4}$
$P = 5.7 \times 0.85 \times 5 \times 10^{-13} \times 16 \times 10^{12}$
$P = 5.7 \times 0.85 \times 5 \times 16 \times 10^{-1}$
$P = 38.76 \ W$ (જૂલ પ્રતિ સેકન્ડ).
પ્રતિ મિનિટ ઉત્સર્જિત ઊર્જા શોધવા માટે,$60 \ s$ વડે ગુણાકાર કરો:
$E = P \times 60 = 38.76 \times 60 = 2325.6 \ J$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $2325 \ J$ છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જાતી પાવર (ઉત્સર્જન શક્તિ) $E = \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\sigma$ (સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક) $= 5.67 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$ છે.
તાપમાન $T = 10^{3} \ K$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E = 5.67 \times 10^{-8} \times (10^{3})^4$
$E = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{12}$
$E = 5.67 \times 10^{4} \ J \ m^{-2} \ s^{-1}$
$E = 56700 \ J \ m^{-2} \ s^{-1}$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કાળા પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જાતી વિકિરણની તીવ્રતા $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^4$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ છે અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = T + 0.10T = 1.1T$ છે.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4 = (1.1)^4$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $(1.1)^4 = 1.4641$ મળે.
ટકાવારીમાં વધારો શોધવા માટે: $\frac{\Delta E}{E_1} \times 100 = \left( \frac{E_2 - E_1}{E_1} \right) \times 100 = (1.4641 - 1) \times 100 = 46.41\%$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,તીવ્રતામાં $46\%$ નો વધારો થાય છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કાળા પદાર્થમાંથી ઉત્સર્જાતી ઊર્જાનો દર $P = A\sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આમ,$P \propto T^4$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 7^{\circ}C = 7 + 273 = 280 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 287^{\circ}C = 287 + 273 = 560 \ K$.
ઊર્જા ઉત્સર્જનના દરમાં થતો વધારો $\frac{P_2}{P_1} = (\frac{T_2}{T_1})^4$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_2}{P_1} = (\frac{560}{280})^4 = (2)^4 = 16$.
તેથી,ઊર્જા ઉત્સર્જનનો દર $16$ ગણો વધે છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ગોળાકાર પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 4\pi r^2$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો સમાન પાવરનું વિકિરણ કરે છે,તેથી $P_1 = P_2$.
તેથી,$\sigma (4\pi r_1^2) T_1^4 = \sigma (4\pi r_2^2) T_2^4$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $r_1^2 T_1^4 = r_2^2 T_2^4$ મળે છે.
ત્રિજ્યાના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા,$(\frac{r_1}{r_2})^2 = (\frac{T_2}{T_1})^4$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{r_1}{r_2} = (\frac{T_2}{T_1})^2$ મળે છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 4\pi r^2$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E \propto r^2 T^4$ થાય.
અહીં $r_1 = 1 \ m$,$r_2 = 4 \ m$,$T_1 = 4000 \ K$ અને $T_2 = 2000 \ K$ આપેલ છે.
ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \left( \frac{4000}{2000} \right)^4$.
$\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{1}{16} \right) \times (2)^4 = \frac{1}{16} \times 16 = 1$.
આમ,ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = e \sigma A T^4$ છે.
અહીં,$e = 0.453$,$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W/m^2K^4$,$A = 4 \times 10^{-4} \ m^2$,અને $T = 2100 \ K$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P = 0.453 \times (5.67 \times 10^{-8}) \times (4 \times 10^{-4}) \times (2100)^4$.
$P = 0.453 \times 5.67 \times 4 \times 10^{-12} \times (2.1 \times 10^3)^4$.
$P = 10.26792 \times 10^{-12} \times 19.4481 \times 10^{12}$.
$P \approx 199.73 \ W$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,પાવર $200 \ W$ મળે છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડે ઉત્સર્જાતી ઊર્જા (પાવર) $Q = A \varepsilon \sigma T^{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ગોળાઓ એક જ દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,તેમની ઉત્સર્જકતા $\varepsilon$ સમાન છે. આપેલ છે કે બંને સમાન તાપમાન $T$ પર છે,તેથી $Q \propto A$ થાય.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi r^{2}$ હોવાથી,$Q \propto r^{2}$ મળે.
તેથી,પ્રતિ સેકન્ડે ઉત્સર્જાતી ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4}$ થાય.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર (પાવર) $P = A \varepsilon \sigma T^4$ છે.
અહીં,ચોરસ પ્લેટની બાજુ $s = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = s^2 = (0.1 \ m)^2 = 0.01 \ m^2$.
પ્લેટ હોવાથી,તે બંને બાજુથી વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે,તેથી કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_{total} = 2 \times A = 2 \times 0.01 = 0.02 \ m^2$ થાય.
આપેલ છે $P = 1134 \ W$,$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$,અને $\varepsilon = 1$ લેતા:
$1134 = 0.02 \times 1 \times 5.67 \times 10^{-8} \times T^4$.
$T^4 = \frac{1134}{0.02 \times 5.67 \times 10^{-8}} = \frac{1134}{0.1134 \times 10^{-8}} = 10^4 \times 10^8 = 10^{12}$.
$T = (10^{12})^{1/4} = 10^3 = 1000 \ K$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જન દર $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક ઉત્સર્જન દર $E = k T^4$ છે.
જ્યારે તાપમાન ઘટાડીને $T' = T/2$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ઉત્સર્જન દર $E'$ આ મુજબ મળે છે: $E' = k (T/2)^4 = k (T^4 / 16) = E / 16$.
ઉત્સર્જન દરમાં થતો ઘટાડો $\Delta E = E - E' = E - E/16 = 15E/16$ છે.
ટકાવારી ઘટાડો આ મુજબ મળે છે: $\text{ટકાવારી ઘટાડો} = (\Delta E / E) \times 100\% = (15E/16E) \times 100\% = (15/16) \times 100\% = 0.9375 \times 100\% = 93.75\% \approx 94\%.$

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કાળા પદાર્થ દ્વારા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત કુલ ઊર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
આપેલ તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$ અને $T_2 = 927^{\circ}C = 927 + 273 = 1200 \ K$ છે.
ઉત્સર્જિત ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{300}{1200} \right)^4 = \left( \frac{1}{4} \right)^4 = \frac{1}{256}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1 : 256$ છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = A \varepsilon \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
અહીં $A$,$\varepsilon$ અને $\sigma$ અચળ હોવાથી,$P \propto T^4$ થાય.
આપેલ છે કે $T_1 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \ K$ અને $P_1 = 5 \ W$.
નવું તાપમાન $T_2 = 927^{\circ}C = 927 + 273 = 1200 \ K$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
$\frac{P_2}{5} = \left( \frac{1200}{400} \right)^4 = (3)^4 = 81$.
તેથી,$P_2 = 5 \times 81 = 405 \ W$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 400^{\circ}C = 400 + 273 = 673 \ K$ છે.
આપણે એવું તાપમાન $T_2$ શોધવું છે કે જેથી ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E_2 = 2E_1$ થાય.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \left( \frac{T_2}{673} \right)^4$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા: $T_2 = 673 \times 2^{1/4}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $2^{1/4} \approx 1.189$.
$T_2 = 673 \times 1.189 \approx 800 \ K$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત ચોખ્ખી પાવર $P = \sigma A (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે અને $T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
આપેલ છે:
$T_1 = 727^{\circ} C = 727 + 273 = 1000 \; K$
$T_0 = 227^{\circ} C = 227 + 273 = 500 \; K$
$P_1 = 60 \; W$
$P_1 = k(T_1^4 - T_0^4) \Rightarrow 60 = k(1000^4 - 500^4) \quad \dots(1)$
હવે,$T_2 = 1227^{\circ} C = 1227 + 273 = 1500 \; K$
$P_2 = k(T_2^4 - T_0^4) \Rightarrow P_2 = k(1500^4 - 500^4) \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{P_2}{60} = \frac{1500^4 - 500^4}{1000^4 - 500^4} = \frac{500^4 (3^4 - 1^4)}{500^4 (2^4 - 1^4)}$
$\frac{P_2}{60} = \frac{81 - 1}{16 - 1} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3}$
$P_2 = 60 \times \frac{16}{3} = 20 \times 16 = 320 \; W$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કાળા પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = A \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $A_1 = 8 \ cm \times 4 \ cm = 32 \ cm^2$,$T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$,$P_1 = E$.
અંતિમ સ્થિતિ: લંબાઈ અને પહોળાઈ અડધી કરવામાં આવે છે,તેથી $A_2 = (8/2) \ cm \times (4/2) \ cm = 4 \ cm \times 2 \ cm = 8 \ cm^2$. આમ,$A_2 = A_1 / 4$.
તાપમાન $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{A_2}{A_1} \times \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
$\frac{P_2}{E} = \frac{1}{4} \times \left( \frac{600}{400} \right)^4 = \frac{1}{4} \times \left( \frac{3}{2} \right)^4 = \frac{1}{4} \times \frac{81}{16} = \frac{81}{64}$.
તેથી,$P_2 = \frac{81}{64}E$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જન પાવર $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^{4}$.
તેથી,$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \left( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right)^{4}$.
અહીં $T_{1} = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \ K$ છે.
$E_{1} = 1.0 \times 10^{6} \ J/s \cdot m^{2}$ અને $E_{2} = 16.0 \times 10^{6} \ J/s \cdot m^{2}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{16.0 \times 10^{6}}{1.0 \times 10^{6}} = \left( \frac{T_{2}}{400} \right)^{4}$.
$16 = \left( \frac{T_{2}}{400} \right)^{4}$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા: $2 = \frac{T_{2}}{400}$.
$T_{2} = 800 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_{2} = 800 - 273 = 527^{\circ}C$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto T^4)$.
વધુમાં,વિકિરણની તીવ્રતા અંતરના વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમનું પાલન કરે છે $(I \propto 1/d^2)$.
તેથી,વરખ દ્વારા શોષાતો પાવર $P \propto T^4 / d^2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક પાવર $P_1 = P$,તાપમાન $T_1 = T$ અને અંતર $d_1 = d$ છે.
ધારો કે અંતિમ પાવર $P_2$,તાપમાન $T_2 = 2T$ અને અંતર $d_2 = 2d$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $P_2 / P_1 = (T_2 / T_1)^4 \times (d_1 / d_2)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $P_2 / P = (2T / T)^4 \times (d / 2d)^2$.
$P_2 / P = (2)^4 \times (1/2)^2 = 16 \times (1/4) = 4$.
આમ,$P_2 = 4P$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ મુજબ કાળા પદાર્થ દ્વારા ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર (પાવર): $P = A \sigma T^4$,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $A_1 = 8 \ cm \times 4 \ cm = 32 \ cm^2$,$T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$,$P_1 = E$.
અંતિમ સ્થિતિ: $A_2 = (8/2) \ cm \times (4/2) \ cm = 4 \ cm \times 2 \ cm = 8 \ cm^2$,$T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$.
અહીં $A_2 = A_1 / 4$ હોવાથી,પાવરનો ગુણોત્તર:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{A_2}{A_1} \times \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{P_2}{E} = \frac{8}{32} \times \left( \frac{600}{400} \right)^4$
$\frac{P_2}{E} = \frac{1}{4} \times \left( \frac{3}{2} \right)^4 = \frac{1}{4} \times \frac{81}{16} = \frac{81}{64}$
તેથી,ઉર્જાના ઉત્સર્જનનો નવો દર $P_2 = \frac{81}{64} E$ છે.

(A) વિન્સના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, $\lambda_m T = \text{અચળ}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1$ છે અને અંતિમ તાપમાન $T_2$ છે। આપેલ છે કે $\lambda_{m1} = \lambda_0$ અને $\lambda_{m2} = 3\lambda_0/4$.
$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_2 = \frac{\lambda_{m1}}{\lambda_{m2}} T_1 = \frac{\lambda_0}{3\lambda_0/4} T_1 = \frac{4}{3} T_1$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, ઉત્સર્જાતો પાવર $P \propto T^4$ છે।
તેથી, પાવરનો ગુણોત્તર:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4 = \left( \frac{4/3 T_1}{T_1} \right)^4 = \left( \frac{4}{3} \right)^4 = \frac{256}{81}$.

(D) વીનના સ્થળાંતરના નિયમ મુજબ, $\lambda_m T = \text{અચળ}$.
તેથી, $(\lambda_m)_1 T_1 = (\lambda_m)_2 T_2$.
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{(\lambda_m)_1}{(\lambda_m)_2} = \frac{0.26}{0.13} = 2$.
આમ, $T_2 = 2T_1$.
સ્ટિફન-બૉલ્ટ્ઝમૅનના નિયમ મુજબ, ઉત્સર્જન પાવર $E \propto T^4$.
તેથી, $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$.
આમ, ઉત્સર્જન પાવરનો ગુણોત્તર $1 : 16$ છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતી વિકિરણ ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = A \cdot e_r \cdot \sigma \cdot T^{4}$
આપેલ કિંમતો:
$A = 5.0 \times 10^{-5} m^{2}$
$e_r = 0.85$
$\sigma = 5.7 \times 10^{-8} W m^{-2} K^{-4}$
$T = 2000 K$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = (5.0 \times 10^{-5}) \times (0.85) \times (5.7 \times 10^{-8}) \times (2000)^{4}$
$E = (5.0 \times 10^{-5}) \times (0.85) \times (5.7 \times 10^{-8}) \times (16 \times 10^{12})$
$E = 5.0 \times 0.85 \times 5.7 \times 16 \times 10^{-5-8+12}$
$E = 386.75 \times 10^{-1} = 38.675 W$
આમ,નજીકના વિકલ્પ મુજબ જવાબ $38.76 J s^{-1}$ મળે છે.

(A) વિકિરણ દ્વારા ઉષ્માના વ્યયનો દર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$.
અહીં,બાજુ $L = 1 \ m$,તેથી સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 6L^2 = 6 \times 1^2 = 6 \ m^2$.
ઉત્સર્જકતા $e = \frac{1}{5.67}$.
સ્ટેફનનો અચળાંક $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W/m^2K^4$.
સમઘનનું તાપમાન $T = 127 + 273 = 400 \ K$.
પરિસરનું તાપમાન $T_0 = 27 + 273 = 300 \ K$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dQ}{dt} = \left(\frac{1}{5.67}\right) \times (5.67 \times 10^{-8}) \times 6 \times (400^4 - 300^4)$.
$\frac{dQ}{dt} = 10^{-8} \times 6 \times (256 \times 10^8 - 81 \times 10^8)$.
$\frac{dQ}{dt} = 6 \times (256 - 81) = 6 \times 175 = 1050 \ W = 1.05 \ kW$.

(D) પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = -73 + 273 = 200 \ K$ છે.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$ છે.
સ્ટીફન-બોલ્ટઝમેન ના નિયમ અનુસાર,ઉત્સર્જન પાવર $W$ એ નિરપેક્ષ તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $W \propto T^4$.
તેથી,ઉત્સર્જન પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{W_1}{W_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{W_1}{W_2} = \left( \frac{200}{600} \right)^4 = \left( \frac{1}{3} \right)^4 = \frac{1}{81}$.
આમ,ઉત્સર્જન પાવરનો ગુણોત્તર $1:81$ મળે છે.

(A) વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ: $\lambda_m T = b$.
અહીં $\lambda_m = 289.9 \, nm = 289.9 \times 10^{-9} \, m$ અને $b = 2898 \, \mu m \cdot K = 2898 \times 10^{-6} \, m \cdot K$ આપેલ છે.
તાપમાન $T$ ની ગણતરી કરતા:
$T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2898 \times 10^{-6}}{289.9 \times 10^{-9}} \approx 10^4 \, K$.
હવે,તીવ્રતા માટે સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ $E = \sigma T^4$ વાપરતા:
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4$
$E = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16} = 5.67 \times 10^8 \, W/m^2$.

(C) તીવ્રતા $I$ એ ગોળાના એકમ પૃષ્ઠફળ $A$ દીઠ ઉત્સર્જિત પાવર $P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$I = \frac{P}{A} = \frac{P}{4\pi R^2}$
આપેલ છે:
$P = 3.9 \times 10^{25} \ W$
$R = 6.96 \times 10^8 \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{3.9 \times 10^{25}}{4 \times 3.14159 \times (6.96 \times 10^8)^2}$
$I = \frac{3.9 \times 10^{25}}{4 \times 3.14159 \times 48.4416 \times 10^{16}}$
$I = \frac{3.9 \times 10^{25}}{608.66 \times 10^{16}}$
$I \approx 0.006407 \times 10^9 \ W \ m^{-2}$
$I \approx 6.4 \times 10^6 \ W \ m^{-2}$