Radiation by Stefan's Boltzmann Law Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે: $\lambda_1 = 0.26 \mu m$,$\lambda_2 = 0.13 \mu m$.
વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda T = \text{અચળ}$.
તેથી,$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{0.13}{0.26} = \frac{1}{2}$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જક શક્તિ $E \propto T^4$.
આમ,ઉત્સર્જક શક્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4$ થશે.
$\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1:16$ છે.

(A) આપેલ છે: $\lambda_m = 289.8 \ nm = 289.8 \times 10^{-9} \ m$.
વિનનો અચળાંક $b = 2898 \ \mu m \ K = 2898 \times 10^{-6} \ m \ K$.
સ્ટીફનનો અચળાંક $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W m^{-2} K^{-4}$.
વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_m T = b$.
તેથી,તારાનું તાપમાન $T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2898 \times 10^{-6}}{289.8 \times 10^{-9}} = 10^4 \ K$.
વિકિરણ તીવ્રતા (ઉત્સર્જન પાવર) $E$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા મળે છે: $E = \sigma T^4$.
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4$.
$E = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16}$.
$E = 5.67 \times 10^8 \ W/m^2$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma e A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાઓ સમાન દ્રવ્યના હોવાથી,તેમની ઉત્સર્જકતા $e$ સમાન છે. ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi r^2$ છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{\sigma e (4 \pi r_1^2) T_1^4}{\sigma e (4 \pi r_2^2) T_2^4} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ થાય.
અહીં $r_1 = 5 \ m$,$r_2 = 2 \ m$,$T_1 = 200 \ K$,અને $T_2 = 250 \ K$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{5}{2} \right)^2 \left( \frac{200}{250} \right)^4$.
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{25}{4} \right) \left( \frac{4}{5} \right)^4 = \left( \frac{25}{4} \right) \left( \frac{256}{625} \right)$.
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{25}{625} \times \frac{256}{4} = \frac{1}{25} \times 64 = \frac{64}{25}$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતી ઉષ્મીય ઉર્જા $(Q)$ નીચે મુજબ છે: $Q = \sigma A T^4$,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો $A$ અને $B$ ના સપાટીના ક્ષેત્રફળ સમાન છે $(A_A = A_B = A)$,તેથી ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{\sigma A T_A^4}{\sigma A T_B^4} = \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$
તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવતા:
$T_A = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_B = 177^{\circ} C = 177 + 273 = 450 \ K$
કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{Q_A}{Q_B} = \left(\frac{300}{450}\right)^4 = \left(\frac{2}{3}\right)^4$
$\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{16}{81}$
આમ,$A$ અને $B$ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતી ઉષ્મીય ઉર્જાનો ગુણોત્તર $16: 81$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા (પાવર) તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના ચતુર્થ ઘાત ના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$P \propto T^4$
ધારો કે સૂર્યનું પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ છે અને પ્રાપ્ત થતો પ્રારંભિક પાવર $P_1$ છે.
જ્યારે તાપમાન બમણું થાય છે,ત્યારે નવું તાપમાન $T_2 = 2T$ થાય છે.
નવો પ્રાપ્ત થતો પાવર $P_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P_2 \propto (T_2)^4$
$P_2 \propto (2T)^4$
$P_2 \propto 16T^4$
તેથી,નવા પાવર અને પ્રારંભિક પાવરનો ગુણોત્તર:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{16T^4}{T^4} = 16$
આમ,પૃથ્વી પર પ્રાપ્ત થતી ઉર્જાનો દર $16$ ગણો વધશે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ અનુસાર,નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ પર રહેલા પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉષ્મા ઉર્જાનો દર $P = \sigma A e T^{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $T_{1}$ નિરપેક્ષ તાપમાન ધરાવતો પદાર્થ $T_{2}$ નિરપેક્ષ તાપમાન ધરાવતા આવરણમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ઉષ્મા વિનિમયનો ચોખ્ખો દર $P_{net} = \sigma A e (T_{2}^{4} - T_{1}^{4})$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,નિરપેક્ષ તાપમાન $T_{1} = (t_{1} + 273) \ K$ અને $T_{2} = (t_{2} + 273) \ K$ છે.
પદાર્થ ચેમ્બરમાંથી ઉષ્માનું શોષણ કરતું હોવાથી,ઉષ્મા શોષણનો દર તેમના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતના તફાવતના પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,શોષાયેલી ઉષ્માનો દર $(t_{2} + 273)^{4} - (t_{1} + 273)^{4}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$T$ તાપમાને રહેલા કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા $T_0$ તાપમાન ધરાવતા વાતાવરણમાં ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $E \propto (T^4 - T_0^4)$ છે.
અહીં આપેલ તાપમાન $T_1 = 327^{\circ} C = 600 \ K$,$T_2 = 427^{\circ} C = 700 \ K$ અને $T_0 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ છે.
ઉષ્મા ગુમાવવાનો દરનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{(600)^4 - (300)^4}{(700)^4 - (300)^4}$.
$(100)^4$ સામાન્ય લેતા: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{6^4 - 3^4}{7^4 - 3^4} = \frac{1296 - 81}{2401 - 81}$.
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{1215}{2320}$.
અંશ અને છેદને $5$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{243}{464}$ મળે છે.