Radiation by Stefan's Boltzmann Law Questions in Gujarati

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda T = b$ (અચળ),તેથી $T \propto \frac{1}{\lambda}$.
નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{\lambda}{3}$ હોવાથી,નવું તાપમાન $T' = 3T$ થશે.
કૃષ્ણ પદાર્થની ઉત્સર્જન શક્તિ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \sigma T^4$.
તેથી,નવી ઉત્સર્જન શક્તિ $E'$ નીચે મુજબ થશે:
$E' = \sigma (T')^4 = \sigma (3T)^4 = 81 \sigma T^4$.
અહીં $E = \sigma T^4$ હોવાથી,આપણને $E' = 81 E$ મળે છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ઉત્સર્જનનો દર $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$E = \sigma T^4$
$\Rightarrow E \propto T^4$
આપેલ છે:
$T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$
$E_1 = 5 \ cal / cm^2 \ s$
$T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \ K$
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$
$\frac{E_2}{5} = \left(\frac{1200}{400}\right)^4$
$\frac{E_2}{5} = (3)^4$
$\frac{E_2}{5} = 81$
$E_2 = 81 \times 5 = 405 \ cal / cm^2 \ s$

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
ખ્યાલ:
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થની ઉત્સર્જક શક્તિ $(E)$ નું સૂત્ર $E = e \sigma T^4$ છે,જ્યાં $e$ એ ઉત્સર્જકતા છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે બંને ગોળાઓની ઉત્સર્જક શક્તિ સમાન છે,તેથી $E_1 = E_2$.
તેથી,$e_1 \sigma T_1^4 = e_2 \sigma T_2^4$.
આના પરથી $\frac{T_1^4}{T_2^4} = \frac{e_2}{e_1}$ મળે.
ઉત્સર્જકતાનો ગુણોત્તર $e_1 : e_2 = 1 : 4$ આપેલ છે,તેથી $\frac{e_2}{e_1} = \frac{4}{1} = 4$.
આમ,$\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4 = 4$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા,$\frac{T_1}{T_2} = (4)^{1/4} = (2^2)^{1/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.
તેથી,$T_1 : T_2$ નો ગુણોત્તર $\sqrt{2} : 1$ થાય.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$T$ તાપમાને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા કાળા ગોળામાંથી ઉત્સર્જિત વિકિરણનો દર $E = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 4\pi R^2$ એ ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,$E \propto R^2 T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક દર $E_1 = E$ છે,જ્યાં ત્રિજ્યા $R_1 = R$ અને તાપમાન $T_1 = T$ છે.
નવો દર $E_2$ માટે ત્રિજ્યા $R_2 = \frac{R}{3}$ અને તાપમાન $T_2 = 3T$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2 \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_2}{E} = \left(\frac{R/3}{R}\right)^2 \left(\frac{3T}{T}\right)^4 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 (3)^4 = \frac{1}{9} \times 81 = 9$.
તેથી,$E_2 = 9E$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થની ઉત્સર્જક શક્તિ $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ (કેલ્વિનમાં) ના ચતુર્થ ઘાત ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$E = \sigma T^4$
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 273^{\circ} C = 273 + 273 = 546 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 0^{\circ} C = 0 + 273 = 273 \ K$.
પ્રારંભિક ઉત્સર્જક શક્તિ $E_1 = R$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{E_2}{R} = \left( \frac{273}{546} \right)^4$
$\frac{E_2}{R} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$
$E_2 = \frac{R}{16}$.

(C) ખ્યાલ: સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,તાપમાન $T$ પર $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ વિકિરણ ઉર્જા $E = \sigma A T^4$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર તારા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ છે.
તેથી,$E = \sigma (4 \pi R^2) T^4$.
તારા $(P)$ માટે: ત્રિજ્યા $= R$,તાપમાન $= T$.
તેથી,$E_P = \sigma (4 \pi R^2) T^4$.
તારા $(Q)$ માટે: ત્રિજ્યા $= 8R$,તાપમાન $= T/4$.
તેથી,$E_Q = \sigma (4 \pi (8R)^2) (T/4)^4$.
ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{E_P}{E_Q} = \frac{\sigma (4 \pi R^2) T^4}{\sigma (4 \pi (64 R^2)) (T^4 / 256)} = \frac{T^4}{64 R^2 \cdot (T^4 / 256)} = \frac{256}{64} = 4$.
આમ,$(P)$ અને $(Q)$ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કાળા પદાર્થ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$E = \sigma A T^4$,જ્યાં $T = 27^{\circ}C = 300 \ K$ છે.
જ્યારે લંબાઈ અને પહોળાઈને તેમના પ્રારંભિક મૂલ્યોના $1/3$ ગણા કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું ક્ષેત્રફળ $A' = (L/3) \times (B/3) = A/9$ થાય છે.
નવું તાપમાન $T' = 327^{\circ}C = 600 \ K$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત નવી ઉર્જા $E' = \sigma A' (T')^4$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E'}{E} = \frac{A'}{A} \times \left(\frac{T'}{T}\right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E'}{E} = \frac{1}{9} \times \left(\frac{600}{300}\right)^4 = \frac{1}{9} \times (2)^4 = \frac{16}{9}$.
તેથી,$E' = \frac{16 E}{9}$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,સંપૂર્ણ કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $P = \sigma A T^4$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_2}{P_1} = 16$ આપેલ છે.
સંબંધ $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$16 = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા:
$\left(2^4\right)^{1/4} = \frac{T_2}{T_1}$
$2 = \frac{T_2}{T_1}$
તેથી,$T_2 = 2 \ T_1$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $E = \sigma A T_1^4$,જ્યાં $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ સ્થિતિ: $E' = \sigma A' T_2^4$,જ્યાં $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$.
ક્ષેત્રફળ $A = \ell \times b$ છે. જો લંબાઈ અને પહોળાઈને તેમના પ્રારંભિક મૂલ્યોના $\frac{1}{3}$ ગણા કરવામાં આવે,તો નવું ક્ષેત્રફળ $A' = (\frac{\ell}{3}) \times (\frac{b}{3}) = \frac{A}{9}$ થાય.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E'}{E} = \frac{A'}{A} \times (\frac{T_2}{T_1})^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E'}{E} = \frac{1}{9} \times (\frac{600}{300})^4 = \frac{1}{9} \times (2)^4 = \frac{16}{9}$.
તેથી,$E' = \frac{16 E}{9}$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થમાંથી ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો દર $R$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $R \propto T^4$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર અચળ રહેતું હોવાથી,પૃથ્વી દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ઉર્જાનો દર સૂર્યમાંથી ઉત્સર્જિત ઉર્જાના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1$ છે અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = 2T_1$ છે.
પ્રાપ્ત થતી ઉર્જાના દરોનો ગુણોત્તર $\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{R_2}{R_1} = (2)^4 = 16$ મળે છે.
તેથી,પૃથ્વી દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ઉર્જાનો દર $16$ ગણો વધશે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,વિકિરણનો દર $R$ એ કૃષ્ણ પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $R \propto T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ છે અને પ્રારંભિક વિકિરણ દર $R_1$ છે.
તાપમાનમાં $50 \%$ નો વધારો થતા,નવું તાપમાન $T_2 = T + 0.5T = 1.5T$ થશે.
નવો વિકિરણ દર $R_2$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4 = (1.5)^4 = 5.0625 \approx 5$.
આમ,$R_2 \approx 5R_1$.
વિકિરણના દરમાં થતો પ્રતિશત વધારો:
$\text{પ્રતિશત વધારો} = \left(\frac{R_2 - R_1}{R_1}\right) \times 100 = \left(\frac{5R_1 - R_1}{R_1}\right) \times 100 = 4 \times 100 = 400 \%$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, વિકિરણનો દર $P$ (અથવા $E$) $P = e \sigma A T^{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A = 4 \pi r^{2}$ છે.
ગોળા $S_{1}$ માટે: $E = e \sigma (4 \pi R^{2}) T^{4}$.
ગોળા $S_{2}$ માટે: $E' = e \sigma (4 \pi (3R)^{2}) (T/3)^{4}$.
$E' = e \sigma (4 \pi \cdot 9R^{2}) (T^{4} / 81)$.
$E' = e \sigma (4 \pi R^{2}) T^{4} \cdot (9 / 81)$.
$E' = E \cdot (1 / 9) = E/9$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $E_1 = \sigma A_1 T_1^4$ છે અને અંતિમ સ્થિતિ $E_2 = \sigma A_2 T_2^4$ છે.
આપેલ છે કે લંબાઈ અને પહોળાઈ તેમના પ્રારંભિક મૂલ્યોના $1/3$ ગણા કરવામાં આવે છે,તેથી નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = (L/3) \times (B/3) = A_1 / 9$ થાય.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{A_2}{A_1} \times \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{1}{9} \times \left(\frac{600}{300}\right)^4 = \frac{1}{9} \times (2)^4 = \frac{16}{9}$.
તેથી,$E_2 = \frac{16}{9} E$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$r$ ત્રિજ્યા અને $T$ તાપમાન ધરાવતા ગોળાકાર કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^{4}$ છે,જ્યાં $A = 4 \pi r^{2}$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંને પદાર્થો સમાન પાવરનું ઉત્સર્જન કરતા હોવાથી,$P_{1} = P_{2}$ થાય.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$4 \pi r_{1}^{2} \sigma T_{1}^{4} = 4 \pi r_{2}^{2} \sigma T_{2}^{4}$ મળે.
સામાન્ય પદો $4 \pi \sigma$ ને દૂર કરતા,$r_{1}^{2} T_{1}^{4} = r_{2}^{2} T_{2}^{4}$ મળે.
ગુણોત્તર $\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,$\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} = \frac{T_{2}^{4}}{T_{1}^{4}}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}} = \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{2}$ મળે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$E = \sigma A T_1^4$,જ્યાં $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
જ્યારે લંબાઈ અને પહોળાઈને તેમના પ્રારંભિક મૂલ્યોના $1/3$ ગણા કરવામાં આવે,ત્યારે નવું ક્ષેત્રફળ $A' = (l/3) \times (b/3) = A/9$ થાય છે.
નવું તાપમાન $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$ છે.
નવી ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E' = \sigma A' T_2^4$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E'}{E} = \frac{A'}{A} \times \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E'}{E} = \frac{1}{9} \times \left(\frac{600}{300}\right)^4$.
$\frac{E'}{E} = \frac{1}{9} \times (2)^4 = \frac{16}{9}$.
તેથી,$E' = \frac{16 E}{9}$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉષ્મા વિકિરણનો દર $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^{4}$.
આપેલ છે:
$T_{1} = 227^{\circ} C = 227 + 273 = 500 \ K$
$T_{2} = 727^{\circ} C = 727 + 273 = 1000 \ K$
$E_{1} = 5 \ cal/cm^{2}-s$
ગુણોત્તર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{4}$
$\frac{E_{2}}{5} = \left(\frac{1000}{500}\right)^{4}$
$\frac{E_{2}}{5} = (2)^{4} = 16$
$E_{2} = 16 \times 5 = 80 \ cal/cm^{2}-s$
તેથી,ઉત્સર્જિત ઉષ્માનો દર $80 \ cal/cm^{2}-s$ થશે.

(C) પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જા સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = A \varepsilon \sigma T^{4} t$.
અહીં સમય $t$,ઉત્સર્જકતા $\varepsilon$,અને સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $\sigma$ બંને માટે સમાન હોવાથી,ઉત્સર્જિત ઉર્જા $Q$ એ $A T^{4}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^{2}$ હોવાથી,$Q \propto r^{2} T^{4}$ થાય.
તાપમાનને કેલ્વિનમાં ફેરવતા: $T_{1} = 127 + 273 = 400 \ K$ અને $T_{2} = 527 + 273 = 800 \ K$.
ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2} \left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)^{4}$
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \left(\frac{8}{2}\right)^{2} \left(\frac{400}{800}\right)^{4}$
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = (4)^{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{4}$
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = 16 \times \frac{1}{16} = 1$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $dQ/dt = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને પદાર્થો કાળા હોવાથી,સમાન પદાર્થના બનેલા હોવાથી અને સમાન વાતાવરણમાં સમાન તાપમાને ઠંડા થતા હોવાથી,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર તેમના પૃષ્ઠફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે બંને પદાર્થોનું કદ $V$ છે. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળા માટે,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$. $a$ બાજુ ધરાવતા સમઘન માટે,$V = a^3$.
કદ સમાન હોવાથી,$a^3 = \frac{4}{3} \pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $a = (\frac{4}{3} \pi r^3)^{1/3}$.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A_s = 4 \pi r^2$ છે.
સમઘનનું પૃષ્ઠફળ $A_c = 6 a^2 = 6 (\frac{4}{3} \pi r^3)^{2/3}$ છે.
ઉષ્મા ગુમાવવાનો દરનો ગુણોત્તર $\frac{A_s}{A_c} = \frac{4 \pi r^2}{6 (\frac{4}{3} \pi r^3)^{2/3}}$ છે.
આનું સાદુરૂપ આપતા,$\frac{A_s}{A_c} = (\frac{\pi}{6})^{1/3}$ મળે છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $R = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$T$ એ ગોળાનું તાપમાન છે અને $T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
આપેલ છે: $T_1 = 627^{\circ} C = 627 + 273 = 900 \ K$,$T_2 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$,અને $T_0 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
ઉષ્મા ગુમાવવાના દરનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{900^4 - 300^4}{600^4 - 300^4} = \frac{(300 \times 3)^4 - 300^4}{(300 \times 2)^4 - 300^4}$.
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{300^4 (3^4 - 1)}{300^4 (2^4 - 1)} = \frac{81 - 1}{16 - 1} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3} \approx 5.33$.
આમ,ગુણોત્તર આશરે $5.3$ છે.

(D) સ્ટીફનના નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$E = \sigma T^4$
જ્યાં $E$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉર્જા છે,$T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $\sigma$ એ સ્ટીફન અચળાંક છે.
$\sigma$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\sigma = \frac{E}{T^4}$.
$E$ નો એકમ $\frac{J}{m^2 s}$ છે.
તેથી,$\sigma$ નો એકમ $\frac{J}{m^2 s K^4}$ થાય.
ઉર્જાનું પરિમાણ $[M L^2 T^{-2}]$,ક્ષેત્રફળનું $[L^2]$,સમયનું $[T]$ અને તાપમાનનું $[K]$ છે.
$\sigma = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L^2] [T] [K^4]} = [M^1 L^0 T^{-3} K^{-4}]$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ મુજબ,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત ઉષ્મા ઊર્જા એ નિરપેક્ષ તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^{4}$.
ધારો કે $T$ તાપમાને શરૂઆતની ઉત્સર્જિત ઊર્જા $E$ છે.
ધારો કે $3T$ તાપમાને ઉત્સર્જિત ઊર્જા $E^{\prime}$ છે.
સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{E^{\prime}}{E} = \left( \frac{3T}{T} \right)^{4}$.
$\frac{E^{\prime}}{E} = (3)^{4} = 81$.
તેથી,$E^{\prime} = 81 E$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર તેના નિરપેક્ષ તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^{4}$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_{1} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_{2} = 627^{\circ} C = 627 + 273 = 900 \ K$.
પ્રારંભિક ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E_{1} = 0.5 \ J/s$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{E_{2}}{E_{1}} = \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{4}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_{2}}{0.5} = \left(\frac{900}{300}\right)^{4}$.
$\frac{E_{2}}{0.5} = (3)^{4} = 81$.
$E_{2} = 81 \times 0.5 = 40.5 \ J/s$.

(A) આપેલ છે: આસપાસનું તાપમાન $T_0 = 300 \ K$.
$T_1 = 600 \ K$ તાપમાને ઠંડા પડવાનો દર $H$ છે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $Q \propto (T^4 - T_0^4)$.
તેથી,$H = k(T_1^4 - T_0^4)$ અને $Q_2 = k(T_2^4 - T_0^4)$ જ્યાં $T_2 = 900 \ K$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{Q_2}{H} = \frac{T_2^4 - T_0^4}{T_1^4 - T_0^4}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{Q_2}{H} = \frac{(900)^4 - (300)^4}{(600)^4 - (300)^4}$.
$(300)^4$ વડે ભાગતા: $\frac{Q_2}{H} = \frac{3^4 - 1^4}{2^4 - 1^4} = \frac{81 - 1}{16 - 1} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3}$.
તેથી,$Q_2 = \frac{16}{3} H$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત પાવર $E$ એ કૃષ્ણ પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$E = \sigma T^4$
આપેલ છે કે અંતિમ ઉત્સર્જકતા $E_2$ એ પ્રારંભિક ઉત્સર્જકતા $E_1$ કરતા $16$ ગણી છે:
$E_2 = 16 E_1$
ગુણોત્તરમાં સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મૂકતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\sigma T_2^4}{\sigma T_1^4} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$16 = \left( \frac{T_2}{T} \right)^4$
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા:
$\sqrt[4]{16} = \frac{T_2}{T}$
$2 = \frac{T_2}{T}$
$T_2 = 2 \,T$

(C) ગોળાના ઉર્જા વિનિમયનો ચોખ્ખો દર સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \varepsilon \sigma A (T^4 - T_s^4)$.
આપેલ છે:
ઉત્સર્જકતા $\varepsilon = 0.5$
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \ m^2$
ગોળાનું તાપમાન $T = 400 \ K$
વાતાવરણનું તાપમાન $T_s = 200 \ K$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$P = 0.5 \times (5.67 \times 10^{-8}) \times 4 \times [400^4 - 200^4]$
$P = 2 \times 5.67 \times 10^{-8} \times [(4 \times 10^2)^4 - (2 \times 10^2)^4]$
$P = 11.34 \times 10^{-8} \times [256 \times 10^8 - 16 \times 10^8]$
$P = 11.34 \times 10^{-8} \times [240 \times 10^8]$
$P = 11.34 \times 240 = 2721.6 \ W$.

(D) આપેલ છે: $T_1 = 0^{\circ} C = (0 + 273) \text{ K} = 273 \text{ K}$.
$T_2 = 273^{\circ} C = (273 + 273) \text{ K} = 546 \text{ K}$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનના નિયમ મુજબ,વિકિરણનો દર $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$E \propto T^4$.
તેથી,વિકિરણના દરોનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{546}{273}\right)^4 = (2)^4 = 16$.
આમ,$E_2 = 16 E_1 = 16 E \text{ J}s^{-1}$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનના નિયમ મુજબ,ધાતુની સપાટીમાંથી થતા વિકિરણના ઉત્સર્જનનો દર $E = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સ્થિતિઓ માટે ગુણોત્તર લેતા,$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{A_2}{A_1}\right) \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ મળે.
આપેલ છે:
$A_1 = 8 \ cm \times 4 \ cm = 32 \ cm^2$
$A_2 = 4 \ cm \times 2 \ cm = 8 \ cm^2$
$T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$
$T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$
આ કિંમતોને ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{8}{32}\right) \left(\frac{600}{400}\right)^4$
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{1}{4}\right) \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{1}{4} \times \frac{81}{16} = \frac{81}{64}$.
તેથી,$E_2 = \left(\frac{81}{64}\right) E \ Js^{-1}$.

(B) ઉષ્મા વિકિરણ દ્વારા ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = \sigma A e (T^4 - T_0^4)$.
અહીં $dQ = -mc dT$,જ્યાં $m = \rho V = \rho (\frac{4}{3} \pi r^3)$ અને $A = 4 \pi r^2$ છે.
તેથી,$-mc \frac{dT}{dt} = \sigma A T^4$ ($T_0 = 0 \ K$ લેતા).
સમય $t$ માટે સંકલન કરતા: $t = -\frac{mc}{\sigma A} \int_{200}^{100} T^{-4} dT$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3) C}{\sigma (4 \pi r^2)} \cdot \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{T^3} \right]_{100}^{200}$.
આ ગણતરી કરતા અંતિમ જવાબ $\frac{1}{48} \frac{r \rho C}{\sigma} \mu s$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) ધારો કે વચ્ચેની પ્લેટનું તાપમાન $T_0$ છે.
પ્લેટો સ્થાયી અવસ્થામાં હોવાથી,વચ્ચેની પ્લેટ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા તેના દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉષ્મા જેટલી હોવી જોઈએ.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ છે.
વચ્ચેની પ્લેટ માટે,ત્રીજી પ્લેટ ($3 T$ તાપમાને) પાસેથી મેળવેલી ઉષ્મા $\sigma A (3 T)^4 - \sigma A T_0^4$ છે.
પ્રથમ પ્લેટ ($2 T$ તાપમાને) ને ગુમાવેલી ઉષ્મા $\sigma A T_0^4 - \sigma A (2 T)^4$ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં:
$\sigma A (3 T)^4 - \sigma A T_0^4 = \sigma A T_0^4 - \sigma A (2 T)^4$
$(3 T)^4 + (2 T)^4 = 2 T_0^4$
$81 T^4 + 16 T^4 = 2 T_0^4$
$97 T^4 = 2 T_0^4$
$T_0^4 = \frac{97}{2} T^4$
$T_0 = \left(\frac{97}{2}\right)^{\frac{1}{4}} T$

(B) કૃષ્ણ પદાર્થમાંથી ઉત્સર્જિત થતો પાવર $P$,સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે ... $(i)$
ગોળાકાર પદાર્થ માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ ... (ii)
આપેલ છે કે તાપમાન $T$ એ ત્રિજ્યા $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી $T \propto \frac{1}{R}$ અથવા $T = \frac{k}{R}$ ... (iii)
સમીકરણ (ii) અને (iii) ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$P = \sigma (4 \pi R^2) \left( \frac{k}{R} \right)^4$
$P = \sigma 4 \pi R^2 \cdot \frac{k^4}{R^4}$
$P = \frac{4 \pi \sigma k^4}{R^2}$
આમ,$P \propto \frac{1}{R^2}$.
જ્યારે ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે $(R' = 2R)$,ત્યારે નવો પાવર $P'$:
$P' \propto \frac{1}{(2R)^2} = \frac{1}{4R^2} = \frac{1}{4} P$
તેથી,ઉત્સર્જિત પાવર પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{4}$ ગણો થશે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$T_S$ તાપમાન ધરાવતા વાતાવરણમાં $T$ તાપમાને રહેલા કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઊર્જાનો ચોખ્ખો દર $E = \sigma A (T^4 - T_S^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T_1 = 600 \ K$,$T_2 = 900 \ K$ અને $T_S = 300 \ K$ આપેલ છે.
ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1^4 - T_S^4}{T_2^4 - T_S^4}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{(600)^4 - (300)^4}{(900)^4 - (300)^4}$.
$(300)^4$ સામાન્ય લેતા: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{(300)^4 [2^4 - 1^4]}{(300)^4 [3^4 - 1^4]}$.
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{16 - 1}{81 - 1} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16}$.

(C) બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $A$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-2} K^{-1}]$ છે.
પ્લાન્ક અચળાંક $B$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-1}]$ છે.
પ્રકાશની ઝડપ $C$ નું પરિમાણ $[L T^{-1}]$ છે.
હવે,$A^4 B^{-3} C^{-2}$ ના પરિમાણની ગણતરી કરીએ:
$= [M L^2 T^{-2} K^{-1}]^4 \times [M L^2 T^{-1}]^{-3} \times [L T^{-1}]^{-2}$
$= [M^4 L^8 T^{-8} K^{-4}] \times [M^{-3} L^{-6} T^3] \times [L^{-2} T^2]$
$= [M^{4-3} L^{8-6-2} T^{-8+3+2} K^{-4}]$
$= [M^1 L^0 T^{-3} K^{-4}]$.
સ્ટીફનનો અચળાંક $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ $E = \sigma T^4$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $E$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત ઉર્જા છે $(E = \frac{\text{ઉર્જા}}{\text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{સમય}})$.
$E$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-2}] / [L^2 T] = [M T^{-3}]$ છે.
આમ,$\sigma$ નું પરિમાણ $= E / T^4 = [M T^{-3}] / [K^4] = [M L^0 T^{-3} K^{-4}]$.
આ પરિમાણની સરખામણી કરતા,તે સ્ટીફન અચળાંકને અનુરૂપ છે.

(A) વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_{max} T = b$,જ્યાં $b = 2.9 \times 10^{-3} m K$ એ વિનનો અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $\lambda_{max} = 2900 Å = 2900 \times 10^{-10} m = 2.9 \times 10^{-7} m$.
કિંમતો મૂકતા,$T = \frac{b}{\lambda_{max}} = \frac{2.9 \times 10^{-3}}{2.9 \times 10^{-7}} = 10^4 K$.
સંપૂર્ણ રેડિયેટર (બ્લેક બોડી) દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણની તીવ્રતા સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \sigma T^4$.
આપેલ છે કે $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} W m^{-2} K^{-4}$.
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4 = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16} = 5.67 \times 10^8 W m^{-2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E$ એ પદાર્થની સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જ્યાં તાપમાન $T$ અને ઉત્સર્જકતા $e$ અચળ રહે છે.
$E = e \sigma A T^4 \implies E \propto A$
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_{sphere} = 4 \pi r^2$ છે.
જ્યારે ગોળાને બે અર્ધગોળાઓમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2 \pi r^2$ અને સપાટ વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2$ હોય છે.
તેથી,એક અર્ધગોળાનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_{hemisphere} = 2 \pi r^2 + \pi r^2 = 3 \pi r^2$ થાય.
એક અર્ધગોળા દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જા અને આખા ગોળા દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{hemisphere}}{E_{sphere}} = \frac{A_{hemisphere}}{A_{sphere}} = \frac{3 \pi r^2}{4 \pi r^2} = \frac{3}{4}$ છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ પદાર્થની ઉત્સર્જિત પાવર $P \propto T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે: $T_1 = 400 \,K$ પર $P_1 = 1000 \,W$.
આપણે $T_2 = 800 \,K$ પર $P_2$ શોધવાની જરૂર છે।
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_2}{1000} = \left(\frac{800}{400}\right)^4$.
$\frac{P_2}{1000} = (2)^4 = 16$.
$P_2 = 16 \times 1000 = 16000 \,W$.

(A) વિકિરણ દ્વારા ઉષ્મા સ્થાનાંતરણનો દર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$. પદાર્થનું તાપમાન,આસપાસનું તાપમાન અને સપાટીની પ્રકૃતિ (એમિસિવિટી $e$) સમાન રહેતી હોવાથી,ઉષ્મા સ્થાનાંતરણનો દર નળાકારના સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\Rightarrow P \propto A$
$\Rightarrow \frac{P_2}{P_1} = \frac{A_2}{A_1} \Rightarrow P_2 = P_1 \times \frac{A_2}{A_1} \quad \dots(i)$
નળાકારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ સમાન રહે છે,તેથી $V = \pi r_1^2 l_1 = \pi r_2^2 l_2$.
$l_2 = l_1 \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = 5.0 \times \left( \frac{2.5}{0.5} \right)^2 = 5.0 \times 25 = 125 \ cm$.
નળાકારનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 2\pi r l + 2\pi r^2 = 2\pi r(l + r)$ છે.
$A_1 = 2\pi (2.5)(5.0 + 2.5) = 2\pi (2.5)(7.5) = 37.5\pi \ cm^2$.
$A_2 = 2\pi (0.5)(125 + 0.5) = 2\pi (0.5)(125.5) = 125.5\pi \ cm^2$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$P_2 = 1.0 \times \frac{125.5\pi}{37.5\pi} = \frac{125.5}{37.5} \approx 3.346 \ W \approx 3.35 \ W$.

(C) સૌ પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવો:
$T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$
$T_2 = 227 + 273 = 500 \ K$
$T_0 = 27 + 273 = 300 \ K$
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનના નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ચોખ્ખી ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$E = \varepsilon \sigma A (T^4 - T_0^4)$
તેથી,ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2^4 - T_0^4}{T_1^4 - T_0^4}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{500^4 - 300^4}{400^4 - 300^4}$
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{625 \times 10^8 - 81 \times 10^8}{256 \times 10^8 - 81 \times 10^8}$
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{544}{175} \approx 3.108$
આમ,ગુણોત્તર આશરે $3.1$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: કૃષ્ણ પદાર્થનું તાપમાન $T = 727^{\circ} C = 727 + 273 = 1000 \,K$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 1 \,m^2$.
સ્ટીફનનો અચળાંક $\sigma = 5.7 \times 10^{-8} \,W / m^2 / K^4$.
સમય $t = 1 \,minute = 60 \,seconds$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ છે।
$P = 5.7 \times 10^{-8} \times 1 \times (1000)^4 = 5.7 \times 10^{-8} \times 10^{12} = 5.7 \times 10^4 \,W$.
કુલ ઉત્સર્જિત ઉષ્મા $Q = P \times t$.
$Q = 5.7 \times 10^4 \times 60 = 342 \times 10^4 = 34.2 \times 10^5 \,J$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા અને $T$ નિરપેક્ષ તાપમાને રહેલા કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો:
$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W m^{-2} K^{-4}$
$T = 727^{\circ} C = 727 + 273 = 1000 \ K$
$A = 200 \ mm^2 = 200 \times 10^{-6} \ m^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = (5.67 \times 10^{-8}) \times (200 \times 10^{-6}) \times (1000)^4$
$P = 5.67 \times 10^{-8} \times 200 \times 10^{-6} \times 10^{12}$
$P = 5.67 \times 2 \times 10^2 \times 10^{-14} \times 10^{12}$
$P = 11.34 \times 10^2 \times 10^{-2}$
$P = 11.34 \ J/s$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ અનુસાર,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત થતી વિકિરણ ઊર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$E \propto T^4$
ધારો કે $T_1 = T$ તાપમાને $E_1 = E$ છે.
ધારો કે $T_2 = \frac{T}{2}$ તાપમાને નવી વિકિરણ ઊર્જા $E_2$ છે.
ગુણોત્તરની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_2}{E} = \left(\frac{T/2}{T}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4$
$\frac{E_2}{E} = \frac{1}{16}$
$E_2 = \frac{E}{16}$

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, $T$ તાપમાન ધરાવતા પદાર્થ દ્વારા $T_0$ તાપમાન ધરાવતા વાતાવરણમાં ગુમાવેલી ઉષ્માનો દર $dQ/dt = \sigma A e (T^4 - T_0^4)$ છે.
પદાર્થો સમાન હોવાથી, $\sigma$, $A$, અને $e$ બંને માટે સમાન રહેશે।
આપેલ છે:
$T_1 = 277^{\circ} C = 550 \ K$
$T_2 = 67^{\circ} C = 340 \ K$
$T_0 = 27^{\circ} C = 300 \ K$
ઉષ્માના વ્યયનો ગુણોત્તર:
$\frac{dQ_1/dt}{dQ_2/dt} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4} = \frac{550^4 - 300^4}{340^4 - 300^4} \approx 19:1$.

(C) પદાર્થના ઠંડા થવાનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{d\theta}{dt} = \frac{\sigma A(T^4 - T_0^4)}{ms}$.
અહીં,$\sigma = 5.73 \times 10^{-8} \ W \ m^{-2} \ K^{-4}$,$A = 19.2 \times 10^{-4} \ m^2$,$T = 400 \ K$,$T_0 = 300 \ K$,$m = 34.38 \times 10^{-3} \ kg$,અને $\frac{d\theta}{dt} = 0.04 \ K/s$.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $s = \frac{\sigma A(T^4 - T_0^4)}{m(\frac{d\theta}{dt})}$.
કિંમતો મૂકતા: $s = \frac{(5.73 \times 10^{-8}) \times (19.2 \times 10^{-4}) \times (400^4 - 300^4)}{(34.38 \times 10^{-3}) \times 0.04}$.
ગણતરી કરતા: $s = \frac{5.73 \times 19.2 \times 10^{-12} \times 175 \times 10^8}{1.3752 \times 10^{-3}}$.
આમ,$s = 1400 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ મળે છે.

(C) એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉર્જા સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \sigma A T^4$,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(4\pi R^2)$ છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
સૂર્ય માટે: $E_{\text{sun}} = \sigma (4\pi R_{\text{sun}}^2) T_{\text{sun}}^4$.
તારા $A$ માટે: $E_{\text{star}} = \sigma (4\pi R_{\text{star}}^2) T_{\text{star}}^4$.
આપેલ છે કે $E_{\text{star}} = 10000 E_{\text{sun}}$,તેથી:
$\sigma (4\pi R_{\text{star}}^2) T_{\text{star}}^4 = 10000 \times \sigma (4\pi R_{\text{sun}}^2) T_{\text{sun}}^4$.
સમાન પદો દૂર કરતા:
$R_{\text{star}}^2 T_{\text{star}}^4 = 10000 R_{\text{sun}}^2 T_{\text{sun}}^4$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર શોધવા માટે:
$\left(\frac{R_{\text{star}}}{R_{\text{sun}}}\right)^2 = 10000 \left(\frac{T_{\text{sun}}}{T_{\text{star}}}\right)^4$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા ($T_{\text{sun}} = 6000 \ K$,$T_{\text{star}} = 2000 \ K$):
$\left(\frac{R_{\text{star}}}{R_{\text{sun}}}\right)^2 = 10000 \left(\frac{6000}{2000}\right)^4 = 10000 \times (3)^4 = 10000 \times 81 = 810000$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{R_{\text{star}}}{R_{\text{sun}}} = \sqrt{810000} = 900$.
આમ,ગુણોત્તર $R_{\text{star}} : R_{\text{sun}} = 900 : 1$ છે.

(D) આપેલ છે: $\lambda_1 = 0.26 \mu m$,$\lambda_2 = 0.13 \mu m$.
વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda T = \text{અચળ}$.
તેથી,$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{0.13}{0.26} = \frac{1}{2}$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જક શક્તિ $E \propto T^4$.
આમ,ઉત્સર્જક શક્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4$ થશે.
$\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1:16$ છે.