Solution of trigonometrical equations Questions in Hindi

(A) दिया गया समीकरण: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta + (\sqrt{3}+1) \cos \theta = 2$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = 2\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर।
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
यहाँ $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ लेने पर,$\tan \alpha = \tan(\frac{5\pi}{12})$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin(\theta + \frac{5\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.
हल: $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\cot \frac{x}{2} - \operatorname{cosec} \frac{x}{2} = \cot x$.
सर्वसमिकाओं $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ और $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos(x/2) - 1}{\sin(x/2)} = \frac{\cos x}{\sin x}$.
$\cos(x/2) - 1 = -2 \sin^2(x/4)$ और $\sin(x/2) = 2 \sin(x/4) \cos(x/4)$ रखने पर,बायां पक्ष:
$\frac{-2 \sin^2(x/4)}{2 \sin(x/4) \cos(x/4)} = -\tan(x/4)$.
दायां पक्ष $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ है।
अतः,$-\tan(x/4) = \frac{1}{\tan x}$,जिसका अर्थ है $\tan x \cdot \tan(x/4) = -1$.
इस समीकरण के लिए $x$ का कोई वास्तविक मान संभव नहीं है।

(B) दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण $\tan \theta = -1$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ हैं।
चूंकि $\tan \theta$ ऋणात्मक है और $\cos \theta$ धनात्मक है,इसलिए $\theta$ चौथे चतुर्थांश में होना चाहिए।
$\tan \theta = -1$ का सामान्य हल $\theta = n \pi + \frac{3 \pi}{4}$ है।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का सामान्य हल $\theta = 2 n \pi \pm \frac{\pi}{4}$ है।
दोनों समीकरणों को संतुष्ट करने वाला कोण चौथे चतुर्थांश में $\theta = \frac{7 \pi}{4}$ है।
अतः,सामान्य हल $\theta = 2 n \pi + \frac{7 \pi}{4}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $2 \sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta - 3 \cos^2 \theta = 0$.
$\cos^2 \theta$ से भाग देने पर ($\cos \theta \neq 0$ मानते हुए):
$2 \tan^2 \theta - \tan \theta - 3 = 0$.
माना $x = \tan \theta$,तब $2x^2 - x - 3 = 0$.
$(2x - 3)(x + 1) = 0$.
अतः,$\tan \theta = \frac{3}{2}$ या $\tan \theta = -1$.
$\tan \theta = -1$ के लिए,$(-\pi, \pi)$ में $\theta = -\frac{\pi}{4}$ और $\theta = \frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होते हैं।
$\tan \theta = \frac{3}{2}$ के लिए,$(-\pi, \pi)$ में $\theta = \arctan(\frac{3}{2})$ और $\theta = \arctan(\frac{3}{2}) - \pi$ प्राप्त होते हैं।
कुल हलों की संख्या $4$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\cos \theta + \cos 2\theta - \sqrt{3}(\sin \theta + \sin 2\theta) + 1 = 0$.
$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ और $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos \theta + 2\cos^2 \theta - 1 - \sqrt{3}\sin \theta - 2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta + 1 = 0$.
$\cos \theta(1 + 2\cos \theta) - \sqrt{3}\sin \theta(1 + 2\cos \theta) = 0$.
$(1 + 2\cos \theta)(\cos \theta - \sqrt{3}\sin \theta) = 0$.
स्थिति $1$: $1 + 2\cos \theta = 0 \implies \cos \theta = -1/2$.
$(0, 2\pi)$ में,$\theta = 2\pi/3, 4\pi/3$.
स्थिति $2$: $\cos \theta - \sqrt{3}\sin \theta = 0 \implies \tan \theta = 1/\sqrt{3}$.
$(0, 2\pi)$ में,$\theta = \pi/6, 7\pi/6$.
हल $\pi/6, 2\pi/3, 7\pi/6, 4\pi/3$ हैं।
कुल हलों की संख्या $4$ है।

(B) दिए गए समीकरण $\sec x \cos 5x + 1 = 0$ को $\frac{\cos 5x}{\cos x} = -1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $\cos x \neq 0$ है।
इससे $\cos 5x = -\cos x$ प्राप्त होता है,जो $\cos 5x = \cos(\pi - x)$ के बराबर है।
सामान्य हल $x = \frac{(2n+1)\pi}{6}$ या $x = \frac{(2n-1)\pi}{4}$ प्राप्त होते हैं।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में $\cos x \neq 0$ की शर्त को पूरा करने वाले कुल $8$ हल हैं।

(D) दिया गया समीकरण $\cos x \sqrt{16 \sin ^2 x} = 1$ है।
यह $\cos x \cdot 4 |\sin x| = 1$ में सरल होता है,अर्थात $2 \sin(2x) = 1$ (जब $\sin x > 0$) और $-2 \sin(2x) = 1$ (जब $\sin x < 0$)।
स्थिति $1$: $\sin x > 0$ $(x \in (0, \pi))$। अतः $2 \sin(2x) = 1 \implies \sin(2x) = \frac{1}{2}$।
$2x = \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6} \implies x = \frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}$। दोनों $(0, \pi)$ में हैं।
स्थिति $2$: $\sin x < 0$ $(x \in (\pi, 2 \pi))$। अतः $-2 \sin(2x) = 1 \implies \sin(2x) = -\frac{1}{2}$।
$x \in (\pi, 2 \pi)$ के लिए $2x$ का अंतराल $2x \in (2 \pi, 4 \pi)$ है।
$2x = 2 \pi + \frac{7 \pi}{6} = \frac{19 \pi}{6} \implies x = \frac{19 \pi}{12}$ और $2x = 2 \pi + \frac{11 \pi}{6} = \frac{23 \pi}{6} \implies x = \frac{23 \pi}{12}$।
हलों का योग $= \frac{\pi}{12} + \frac{5 \pi}{12} + \frac{19 \pi}{12} + \frac{23 \pi}{12} = \frac{48 \pi}{12} = 4 \pi$।

(A) दिया गया समीकरण: $4 \cos 2 \theta \cos 3 \theta = \sec \theta$
$\cos \theta$ से गुणा करने पर ($\cos \theta \neq 0$ मानते हुए):
$4 \cos 2 \theta \cos 3 \theta \cos \theta = 1$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos 2 \theta (\cos 4 \theta + \cos 2 \theta) = 1$
$2 \cos 2 \theta \cos 4 \theta + 2 \cos^2 2 \theta = 1$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ और $2 \cos^2 A = 1 + \cos 2A$ का उपयोग करने पर:
$(\cos 6 \theta + \cos 2 \theta) + (1 + \cos 4 \theta) = 1$
$\cos 6 \theta + \cos 4 \theta + \cos 2 \theta = 0$
$\cos 6 \theta + \cos 2 \theta = 2 \cos 4 \theta \cos 2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos 4 \theta (2 \cos 2 \theta + 1) = 0$
स्थिति $1$: $\cos 4 \theta = 0 \implies 4 \theta = (2n+1) \frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{(2n+1) \pi}{8}$ जहाँ $n = 0, 1, \dots, 7$ ($8$ हल)।
स्थिति $2$: $\cos 2 \theta = -\frac{1}{2} \implies 2 \theta = 2n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \implies \theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$ जहाँ $n = 0, 1, 2$ ($4$ हल)।
कुल हल = $8 + 4 = 12$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin^2 \theta + 3 \cos^2 \theta = 5 \sin \theta$
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^2 \theta + 3(1 - \sin^2 \theta) = 5 \sin \theta$
$\sin^2 \theta + 3 - 3 \sin^2 \theta = 5 \sin \theta$
$-2 \sin^2 \theta - 5 \sin \theta + 3 = 0$
$2 \sin^2 \theta + 5 \sin \theta - 3 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 3) = 0$
इससे $\sin \theta = \frac{1}{2}$ या $\sin \theta = -3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-1 \le \sin \theta \le 1$,हम $\sin \theta = -3$ को छोड़ देते हैं।
$\sin \theta = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$ के लिए,व्यापक हल $\theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}, n \in Z$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $2 \tan 2 \theta - \cot 2 \theta + 1 = 0$.
माना $x = \tan 2 \theta$. तब $\cot 2 \theta = \frac{1}{x}$.
समीकरण $2x - \frac{1}{x} + 1 = 0$ हो जाता है,जिसे सरल करने पर $2x^2 + x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2x - 1)(x + 1) = 0$,अतः $x = \frac{1}{2}$ या $x = -1$.
स्थिति $1$: $\tan 2 \theta = -1$.
$2 \theta = n \pi - \frac{\pi}{4} \Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{2} - \frac{\pi}{8}$.
$\theta \in [0, \pi]$ के लिए,संभावित मान $\theta = \frac{3 \pi}{8}$ $(n=1)$ और $\theta = \frac{7 \pi}{8}$ $(n=2)$ हैं।
स्थिति $2$: $\tan 2 \theta = \frac{1}{2}$.
$2 \theta = n \pi + \tan^{-1}(\frac{1}{2}) \Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{1}{2})$.
$\theta \in [0, \pi]$ के लिए,संभावित मान $\theta = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{1}{2})$ $(n=0)$ और $\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{1}{2})$ $(n=1)$ हैं।
अतः,अंतराल $[0, \pi]$ में कुल $2 + 2 = 4$ हल हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\tan x + \tan 2x - \tan 3x = 0$
हम जानते हैं कि $\tan 3x = \tan(x + 2x) = \frac{\tan x + \tan 2x}{1 - \tan x \tan 2x}$
अतः,$\tan x + \tan 2x = \tan 3x(1 - \tan x \tan 2x)$
$\tan x + \tan 2x = \tan 3x - \tan x \tan 2x \tan 3x$
$\tan x + \tan 2x - \tan 3x = -\tan x \tan 2x \tan 3x$
चूंकि दिया गया समीकरण $\tan x + \tan 2x - \tan 3x = 0$ है,इसलिए:
$-\tan x \tan 2x \tan 3x = 0$
इसका अर्थ है कि $\tan x = 0$ या $\tan 2x = 0$ या $\tan 3x = 0$
$\tan x = 0$ के लिए,$x = n\pi$
$\tan 2x = 0$ के लिए,$2x = n\pi \Rightarrow x = \frac{n\pi}{2}$
$\tan 3x = 0$ के लिए,$3x = n\pi \Rightarrow x = \frac{n\pi}{3}$
इन सबको मिलाने पर,हल का समुच्चय $\left\{x \mid x = \frac{n\pi}{3}, n \in Z\right\}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1$
सर्वसमिका $\sin(A+B)+\sin(A-B) = 2 \sin A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin x \cos \frac{\pi}{3} = 1$
चूंकि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$2 \sin x \cdot \frac{1}{2} = 1$
$\sin x = 1$
$x \in [0, \pi]$ के लिए,$x$ का मान $\frac{\pi}{2}$ है।

(D) दिया गया है $\sin \left(\frac{\pi}{4} \cot \theta\right)=\cos \left(\frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
सर्वसमिका $\cos x = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ का उपयोग करने पर,
$\sin \left(\frac{\pi}{4} \cot \theta\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
$\frac{\pi}{4} \cot \theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta$.
$\frac{\pi}{4} (\cot \theta + \tan \theta) = \frac{\pi}{2}$.
$\cot \theta + \tan \theta = 2$.
$\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 2$.
$1 = 2 \sin \theta \cos \theta$.
$1 = \sin 2 \theta$.
चूंकि $\sin 2 \theta = 1$,इसलिए $2 \theta = 2n \pi + \frac{\pi}{2}$.
$2$ से भाग देने पर,$\theta = n \pi + \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $(\sin x + \cos x)^{1 + \sin 2x} = 2$ है।
चूँकि $1 + \sin 2x = (\sin x + \cos x)^2$,समीकरण $(\sin x + \cos x)^{(\sin x + \cos x)^2} = 2$ हो जाता है।
माना $u = \sin x + \cos x$,तो $u^{u^2} = 2$।
हम जानते हैं कि $-\sqrt{2} \leq \sin x + \cos x \leq \sqrt{2}$।
यदि $u = \sqrt{2}$ है,तो $(\sqrt{2})^{(\sqrt{2})^2} = 2$।
अतः $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \implies x = \frac{\pi}{4}$।
यदि $u = -\sqrt{2}$ है,तो $(-\sqrt{2})^{(-\sqrt{2})^2} = 2$।
अतः $\sin x + \cos x = -\sqrt{2} \implies x = -\frac{3\pi}{4}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{\pi}{4}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $4 \sin^2(x) - 4 \sin(x) + 1 = 0$
यह $\sin(x)$ के रूप में एक द्विघात समीकरण है,जिसे $(2 \sin(x) - 1)^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $2 \sin(x) - 1 = 0$
$\sin(x) = \frac{1}{2}$
हम जानते हैं कि $\sin(x) = \sin(\frac{\pi}{6})$ होता है।
$\sin(x) = \sin(\alpha)$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
अतः,$x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}, n \in \mathbb{Z}$।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan(x) + \sec(x) = \sqrt{3}$.
हम जानते हैं कि $\sec^2(x) - \tan^2(x) = 1$,जिसका अर्थ है $(\sec(x) - \tan(x))(\sec(x) + \tan(x)) = 1$.
मान प्रतिस्थापित करने पर: $(\sec(x) - \tan(x))(\sqrt{3}) = 1$,अतः $\sec(x) - \tan(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2\sec(x) = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow \sec(x) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow \cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$x \in [0, 2\pi]$ के लिए,हल $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \frac{11\pi}{6}$ हैं।
मूल समीकरण में जाँच करने पर,$x = \frac{\pi}{6}$ सही हल है।

(B) दिया गया समीकरण: $|\tan \theta| = \tan \theta + \sec \theta$.
स्थिति $1$: यदि $\tan \theta \ge 0$ है,तो $\tan \theta = \tan \theta + \sec \theta$,जिसका अर्थ है $\sec \theta = 0$. इसका कोई हल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $\tan \theta < 0$ है,तो $-\tan \theta = \tan \theta + \sec \theta$,जिसका अर्थ है $2\tan \theta + \sec \theta = 0$.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ और $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ रखने पर,हमें $2\sin \theta + 1 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\sin \theta = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $\tan \theta < 0$ है,$\theta$ को दूसरे या चौथे चतुर्थांश में होना चाहिए। $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ के लिए,$\theta = \frac{7\pi}{6}$ या $\theta = \frac{11\pi}{6}$.
$\tan \theta < 0$ की जांच करने पर:
$\theta = \frac{7\pi}{6}$ के लिए,$\tan \theta = \tan(\frac{7\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} > 0$ (अस्वीकार्य)।
$\theta = \frac{11\pi}{6}$ के लिए,$\tan \theta = \tan(\frac{11\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} < 0$ (स्वीकार्य)।
अतः,हल $\theta = \frac{11\pi}{6}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $4(\sin 2x \sin 4x + \sin^2 x) = 3$
सर्वसमिका $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ और $2 \sin^2 x = 1 - \cos 2x$ का उपयोग करने पर:
$2(2 \sin 2x \sin 4x) + 2(2 \sin^2 x) = 3$
$2(\cos 2x - \cos 6x) + 2 - 2 \cos 2x = 3$
$-2 \cos 6x + 2 = 3$
$\cos 6x = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\cos \theta = \cos \alpha \Rightarrow \theta = 2n\pi \pm \alpha$,जहाँ $\alpha = \frac{2\pi}{3}$:
$6x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$
$6$ से भाग देने पर:
$x = \frac{n\pi}{3} \pm \frac{\pi}{9}, n \in Z$

(C) दिया गया समीकरण: $|\cos x|^{2\sin^2 x - 3\sin x + 1} = 1$.
यह समीकरण तब सत्य है यदि:
$1)$ $|\cos x| = 1$
$2)$ घातांक $0$ हो (जब आधार $0$ न हो)।
स्थिति $1$: $|\cos x| = 1 \implies \cos x = 1$ या $\cos x = -1$.
$x \in [0, 2\pi]$ के लिए,$x = 0, \pi, 2\pi$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.
$(2\sin x - 1)(\sin x - 1) = 0$.
$\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = 1$.
यदि $\sin x = \frac{1}{2}$,तो $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
यदि $\sin x = 1$,तो $x = \frac{\pi}{2}$.
हालाँकि,डोमेन $x \in [0, 2\pi] - \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\}$ है।
इसलिए,$x = \frac{\pi}{2}$ को हटा दिया जाता है।
मान्य हल: $x \in \{0, \pi, 2\pi, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}$.
कुल मानों की संख्या $5$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3-5 \sin x+\sin ^2 x} = -\cos x$.
वर्गमूल परिभाषित होने के लिए और $-\cos x$ के बराबर होने के लिए,$-\cos x \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\cos x \le 0$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $3-5 \sin x+\sin ^2 x = \cos ^2 x$.
$\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ का उपयोग करने पर: $3-5 \sin x+\sin ^2 x = 1 - \sin ^2 x$.
$2 \sin ^2 x - 5 \sin x + 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2 \sin x - 1)(\sin x - 2) = 0$.
इससे $\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin x \in [-1, 1]$,इसलिए $\sin x = \frac{1}{2}$ होगा।
$\sin x = \frac{1}{2}$ के लिए,$x = \frac{\pi}{6}$ या $x = \frac{5\pi}{6}$.
चूंकि $\cos x \le 0$,इसलिए अंतराल $[0, 2\pi]$ में $x = \frac{5\pi}{6}$ होगा।
अतः व्यापक हल $x = (2n+1)\pi - \frac{\pi}{6}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x$.
पदों को समूहित करने पर: $(\sin 3x + \sin x) + \sin 2x = (\cos 3x + \cos x) + \cos 2x$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर: $2 \sin 2x \cos x + \sin 2x = 2 \cos 2x \cos x + \cos 2x$.
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर: $\sin 2x (2 \cos x + 1) = \cos 2x (2 \cos x + 1)$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(2 \cos x + 1)(\sin 2x - \cos 2x) = 0$.
स्थिति $1$: $2 \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1/2$. अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$x = 2\pi/3, 4\pi/3$.
स्थिति $2$: $\sin 2x - \cos 2x = 0 \implies \tan 2x = 1$.
$0 \leq x \leq 2\pi$ के लिए,$0 \leq 2x \leq 4\pi$.
$2x = \pi/4, 5\pi/4, 9\pi/4, 13\pi/4$.
$x = \pi/8, 5\pi/8, 9\pi/8, 13\pi/8$.
$x$ के कुल मान $2 + 4 = 6$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $4 \cos 2 \theta \cos 3 \theta = \sec \theta$
चूंकि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,इसलिए $4 \cos 2 \theta \cos 3 \theta \cos \theta = 1$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $2 \cos 2 \theta (\cos 4 \theta + \cos 2 \theta) = 1$.
$2 \cos 2 \theta \cos 4 \theta + 2 \cos^2 2 \theta = 1$.
$2 \cos^2 2 \theta - 1 = \cos 4 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $2 \cos 2 \theta \cos 4 \theta + \cos 4 \theta = 0$.
$\cos 4 \theta (2 \cos 2 \theta + 1) = 0$.
स्थिति $1$: $\cos 4 \theta = 0 \Rightarrow 4 \theta = (2n + 1) \frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta = (2n + 1) \frac{\pi}{8}$.
$0 < \theta < \pi$ के लिए,$\theta \in \{ \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8} \}$.
स्थिति $2$: $2 \cos 2 \theta + 1 = 0 \Rightarrow \cos 2 \theta = -\frac{1}{2}$.
$2 \theta = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.
$0 < \theta < \pi$ के लिए,$\theta \in \{ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \}$.
जांच $\cos \theta \neq 0$: इनमें से कोई भी मान $\cos \theta = 0$ नहीं बनाता है।
कुल हल = $4 + 2 = 6$.

(C) दिया गया समीकरण: $1 + \cos^2 \theta = 3 \sin \theta \cos \theta$ है।
दोनों पक्षों को $\cos^2 \theta$ से विभाजित करने पर:
$\sec^2 \theta + 1 = 3 \tan \theta$।
चूंकि $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$,इसलिए:
$(1 + \tan^2 \theta) + 1 = 3 \tan \theta$
$\tan^2 \theta - 3 \tan \theta + 2 = 0$।
गुणनखंड करने पर:
$(\tan \theta - 1)(\tan \theta - 2) = 0$।
दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = n\pi + \frac{\pi}{4}$।
स्थिति $2$: $\tan \theta = 2 \Rightarrow \theta = n\pi + \tan^{-1}(2)$।
अतः,हल $n\pi + \frac{\pi}{4}, n\pi + \tan^{-1}(2); n \in \mathbb{Z}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0$.
पदों को समूहित करने पर: $(\sin 4x + \sin x) + (\sin 3x + \sin 2x) = 0$.
सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin(\frac{5x}{2}) \cos(\frac{3x}{2}) + 2 \sin(\frac{5x}{2}) \cos(\frac{x}{2}) = 0$.
$2 \sin(\frac{5x}{2}) [\cos(\frac{3x}{2}) + \cos(\frac{x}{2})] = 0$.
$\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$4 \sin(\frac{5x}{2}) \cos x \cos(\frac{x}{2}) = 0$.
स्थिति $1$: $\sin(\frac{5x}{2}) = 0 \implies x = \frac{2n \pi}{5}$. $0 \leq x \leq 2 \pi$ के लिए,$x \in \{0, \frac{2 \pi}{5}, \frac{4 \pi}{5}, \frac{6 \pi}{5}, \frac{8 \pi}{5}, 2 \pi\}$.
स्थिति $2$: $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$.
स्थिति $3$: $\cos(\frac{x}{2}) = 0 \implies x = \pi$.
कुल अद्वितीय मानों की संख्या $9$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $1+\cos x \cdot \cos 5 x=\sin ^2 x$
सर्वसमिका $\sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x$ का उपयोग करने पर:
$1+\cos x \cdot \cos 5 x = 1 - \cos ^2 x$
$\Rightarrow \cos ^2 x + \cos x \cdot \cos 5 x = 0$
$\Rightarrow \cos x(\cos x + \cos 5 x) = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \cos x [2 \cos(3x) \cos(-2x)] = 0$
चूंकि $\cos(-2x) = \cos(2x)$,हमारे पास है:
$2 \cos x \cos 3x \cos 2x = 0$
इसका अर्थ है $\cos x = 0$ या $\cos 3x = 0$ या $\cos 2x = 0$।
$x \in [0, 2 \pi]$ के लिए:
$1$. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ ($2$ हल)
$2$. $\cos 3x = 0$ $\Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}, \frac{9 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{6}$ ($6$ हल)
$3$. $\cos 2x = 0$ $\Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}$ ($4$ हल)
इन सबको मिलाने पर और पुनरावृत्ति वाले हलों $(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ को हटाने पर,कुल $10$ हल प्राप्त होते हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin^2 x - \cos 2x = 2 - \sin 2x$
सर्वसमिका $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ और $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 x - (2\cos^2 x - 1) = 2 - 2\sin x \cos x$
$(1 - \cos^2 x) - 2\cos^2 x + 1 = 2 - 2\sin x \cos x$
$2 - 3\cos^2 x = 2 - 2\sin x \cos x$
$-3\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 0$
$\cos x (2\sin x - 3\cos x) = 0$
चूंकि $3\cos x \neq 2\sin x$,इसलिए $\cos x = 0$ होना चाहिए।
$\cos x = 0$ का व्यापक हल $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ है,जिसे $x = (4n \pm 1) \frac{\pi}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(D) दिया गया समीकरण: $\cos 2x = (\sqrt{2}+1)(\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$2\cos^2 x - 1 = \sqrt{2}\cos x - 1 + \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$2\cos^2 x - (\sqrt{2}+1)\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$.
द्विघात सूत्र $\cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$\cos x = \frac{(\sqrt{2}+1) \pm \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}}{4} = \frac{\sqrt{2}+1 \pm (\sqrt{2}-1)}{4}$.
$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ या $\cos x = \frac{1}{2}$.
चूंकि प्रश्न के अनुसार $\cos x \neq \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos x \neq \frac{1}{2}$ है,इसलिए $x$ का कोई हल नहीं है।

(B) दिया गया समीकरण $25 \cos^2 \alpha + 5 \cos \alpha - 12 = 0$ है। मान लीजिए $x = \cos \alpha$। तब $25x^2 + 5x - 12 = 0$।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(25)(-12)}}{50} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 1200}}{50} = \frac{-5 \pm 35}{50}$।
अतः,$x = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$ या $x = \frac{-40}{50} = -\frac{4}{5}$।
चूंकि $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$,$\cos \alpha$ ऋणात्मक होना चाहिए।
इसलिए,$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$।
अब,$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ (क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में $\sin \alpha > 0$ होता है)।
अंत में,$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \left(\frac{3}{5}\right) \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25}$।

(C) हम सर्वसमिका $\cos \theta \cos \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+\theta\right) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$ का उपयोग करते हैं।
दिए गए समीकरण $\cos x \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \frac{1}{4}$ में सर्वसमिका रखने पर:
$\frac{1}{4} \cos 3x = \frac{1}{4}$
$\cos 3x = 1$
$x \in (0, 2\pi)$ के लिए,$3x \in (0, 6\pi)$ है।
$\cos 3x = 1$ के हल $3x = 2\pi, 4\pi$ हैं।
अतः,$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$।
हलों का योग $\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\cos 6x + \cos 4x + \cos 2x = -1$ अंतराल $[0, \pi]$ में।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\cos 6x + 1) + (\cos 4x + \cos 2x) = 0$.
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,$1 + \cos 6x = 2\cos^2 3x$ प्राप्त होता है।
योग-से-गुणन सूत्र $\cos C + \cos D = 2\cos(\frac{C+D}{2})\cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर,$\cos 4x + \cos 2x = 2\cos 3x \cos x$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $2\cos^2 3x + 2\cos 3x \cos x = 0$.
$2\cos 3x$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $2\cos 3x(\cos 3x + \cos x) = 0$.
पुनः योग-से-गुणन सूत्र का उपयोग करने पर: $2\cos 3x(2\cos 2x \cos x) = 0$,जो $4\cos x \cos 2x \cos 3x = 0$ में सरल हो जाता है।
इसका अर्थ है कि $\cos x = 0$ या $\cos 2x = 0$ या $\cos 3x = 0$.
$[0, \pi]$ में $\cos x = 0$ के लिए,$x = \frac{\pi}{2} (90^{\circ})$.
$[0, \pi]$ में $\cos 2x = 0$ के लिए,$2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4} (45^{\circ}), \frac{3\pi}{4} (135^{\circ})$.
$[0, \pi]$ में $\cos 3x = 0$ के लिए,$3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} (30^{\circ}), \frac{\pi}{2} (90^{\circ}), \frac{5\pi}{6} (150^{\circ})$.
विशिष्ट हल $\{30^{\circ}, 45^{\circ}, 90^{\circ}, 135^{\circ}, 150^{\circ}\}$ हैं।
अतः,कुल $5$ हल हैं।

(B) दिया गया है $\cos 3x = \sin 4x$.
इसे $\cos 3x = \cos \left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सामान्य हल $\cos \theta = \cos \alpha \Rightarrow \theta = 2n\pi \pm \alpha$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$:
स्थिति $1$: $3x = 2n\pi + \left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)
$ $\Rightarrow 7x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}
$ $\Rightarrow x = \frac{2n\pi}{7} + \frac{\pi}{14}$.
$n=0$ के लिए,$x = \frac{\pi}{14}$ जो अंतराल में है।
स्थिति $2$: $3x = 2n\pi - \left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)
\Rightarrow x = -2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
इस स्थिति में कोई भी मान अंतराल में नहीं है।
अतः,कुल $1$ हल प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin^{2020} x - \cos^{2020} x + 2019 = 2020$
$\Rightarrow \sin^{2020} x = 1 + \cos^{2020} x$
चूंकि $\sin^{2020} x$ का परिसर $[0, 1]$ है और $1 + \cos^{2020} x$ का परिसर $[1, 2]$ है,समानता केवल तब संभव है जब $\sin^{2020} x = 1$ और $\cos^{2020} x = 0$ हो।
इसका अर्थ है $\sin x = \pm 1$ और $\cos x = 0$।
अंतराल $\left(-\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right)$ में $\cos x = 0$ के लिए $x$ के संभावित मान $x = -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ हैं।
इन मानों को $\sin^{2020} x = 1$ में जाँचने पर,तीनों मान समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
अतः,कुल $3$ वास्तविक मूल हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + 5 \cot \theta = \sec \theta$.
$\sin \theta$ और $\cos \theta$ में बदलने पर:
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{5 \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\cos \theta}$,जहाँ $\sin \theta \neq 0$ और $\cos \theta \neq 0$.
$\sin \theta \cos \theta$ से गुणा करने पर:
$\sin^2 \theta + 5 \cos^2 \theta = \sin \theta$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 \theta + 5(1 - \sin^2 \theta) = \sin \theta$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4 \sin^2 \theta + \sin \theta - 5 = 0$.
गुणनखंड करने पर:
$(4 \sin \theta + 5)(\sin \theta - 1) = 0$.
इससे $\sin \theta = -\frac{5}{4}$ या $\sin \theta = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-1 \leq \sin \theta \leq 1$,इसलिए $\sin \theta = -\frac{5}{4}$ को छोड़ देते हैं।
$\sin \theta = 1$ के लिए,$\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
हालांकि,मूल समीकरण के लिए $\cos \theta \neq 0$ होना चाहिए। यदि $\sin \theta = 1$ है,तो $\cos \theta = 0$ हो जाता है,जो $\tan \theta$ और $\sec \theta$ के लिए अपरिभाषित है।
अतः,कोई हल नहीं है,और हल समुच्चय $\phi$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin x - \sqrt{3} \cos x + 4 \sin 2x - 4 \sqrt{3} \cos 2x + \sin 3x - \sqrt{3} \cos 3x = 0$.
$2$ से भाग देने पर:
$2[\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x] + 8[\frac{1}{2} \sin 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x] + 2[\frac{1}{2} \sin 3x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 3x] = 0$.
सरल करने पर:
$2 \sin(x - \frac{\pi}{3}) + 8 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) + 2 \sin(3x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
$2$ से भाग देने पर:
$\sin(x - \frac{\pi}{3}) + \sin(3x - \frac{\pi}{3}) + 4 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
$\sin C + \sin D$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$2 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) \cos(x) + 4 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
$2 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) [\cos x + 2] = 0$.
चूंकि $\cos x + 2 \neq 0$,इसलिए $\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
अतः,$2x - \frac{\pi}{3} = n \pi$,जिससे $x = \frac{n \pi}{2} + \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin A - 5 \sin 2A + \sin 3A = \cos A - 5 \cos 2A + \cos 3A$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\sin A + \sin 3A) - 5 \sin 2A = (\cos A + \cos 3A) - 5 \cos 2A$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर: $2 \sin 2A \cos A - 5 \sin 2A = 2 \cos 2A \cos A - 5 \cos 2A$
गुणनखंड करने पर: $2 \cos A (\sin 2A - \cos 2A) - 5 (\sin 2A - \cos 2A) = 0$
$(\sin 2A - \cos 2A)(2 \cos A - 5) = 0$
चूंकि $2 \cos A - 5 = 0$ का अर्थ है $\cos A = 2.5$,जो असंभव है,इसलिए $\sin 2A - \cos 2A = 0$ होना चाहिए
$\sin 2A = \cos 2A \Rightarrow \tan 2A = 1$
अंतराल $(0, \pi)$ के लिए,$2A \in (0, 2\pi)$
$\tan 2A = 1$ का मान $2A = \frac{\pi}{4}$ और $2A = \frac{5\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है
अतः,$A = \frac{\pi}{8}$ और $A = \frac{5\pi}{8}$
इस प्रकार,दिए गए अंतराल में $2$ हल हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $\sin x + 3 \sin 3x + \sin 5x = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर:
$(\sin 5x + \sin x) + 3 \sin 3x = 0$
$2 \sin 3x \cos 2x + 3 \sin 3x = 0$
$\sin 3x (2 \cos 2x + 3) = 0$
स्थिति $1$: $\sin 3x = 0$ $\Rightarrow 3x = n\pi$ $\Rightarrow x = \frac{n\pi}{3}$
स्थिति $2$: $2 \cos 2x + 3 = 0 \Rightarrow \cos 2x = -\frac{3}{2}$
चूंकि $\cos 2x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\cos 2x = -\frac{3}{2}$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,$x = \frac{n\pi}{3}$।
$x = \frac{n\pi}{3}$ के लिए,$\cos x$ के संभावित मान $\cos(0) = 1$,$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,$\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$,$\cos(\pi) = -1$ हैं।
इसलिए,$\cos y$ के सभी मानों का समुच्चय $\{-1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\}$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = 1$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{1+\cos 2x}{2} + \frac{1+\cos 4x}{2} + \cos^2 3x = 1$
$1 + \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x) + \cos^2 3x = 1$
$\frac{1}{2}(2\cos 3x \cos x) + \cos^2 3x = 0$
$\cos 3x (\cos x + \cos 3x) = 0$
$\cos 3x (2 \cos 2x \cos x) = 0$
$2 \cos 3x \cos 2x \cos x = 0$
इसका अर्थ है कि $\cos 3x = 0$ या $\cos 2x = 0$ या $\cos x = 0$.
$x \in [0, 2\pi]$ के लिए:
$1$. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$
$2$. $\cos 2x = 0$ $\Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$
$3$. $\cos 3x = 0$ $\Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$
सभी अद्वितीय मानों को मिलाने पर: $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}, \frac{11\pi}{6}\}$.
इनकी गणना करने पर,$10$ अलग-अलग मान प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta - \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta = 2$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,$2 = 2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 2 \sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta$ लिखा जा सकता है।
समीकरण में मान रखने पर: $\sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta - \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta = 2 \sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta$.
सरल करने पर: $-\sin^2 \theta - \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta = 0$.
$-\sin \theta$ कॉमन लेने पर: $-\sin \theta (\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta) = 0$.
दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\sin \theta = 0$. अंतराल $(-\pi, \pi)$ में,हल $\theta = 0$ है।
स्थिति $2$: $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = -\sqrt{3}$.
अंतराल $(-\pi, \pi)$ में,$\tan \theta = -\sqrt{3}$ का मान $\theta = -\frac{\pi}{3}$ और $\theta = \frac{2\pi}{3}$ पर होता है।
अतः,हल $\{0, -\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\}$ हैं।
कुल हलों की संख्या $3$ है.

(C) दिया गया समीकरण: $2 \sin x \sin 3 x \sin 5 x + \sin 5 x \cos 4 x = 0$
$\sin 5 x$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $\sin 5 x (2 \sin x \sin 3 x + \cos 4 x) = 0$
सर्वसमिका $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin x \sin 3 x = \cos(x-3x) - \cos(x+3x) = \cos 2x - \cos 4x$
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\sin 5 x (\cos 2x - \cos 4x + \cos 4x) = 0$
$\sin 5 x \cos 2x = 0$
इसका अर्थ है $\sin 5 x = 0$ या $\cos 2x = 0$ है।
$\sin 5 x = 0$ के लिए,$5x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{5}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
$(-\pi, \pi)$ अंतराल में,$n \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$,जो $9$ हल देता है।
$\cos 2x = 0$ के लिए,$2x = (2k+1)\frac{\pi}{2} \implies x = (2k+1)\frac{\pi}{4}$,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$ है।
$(-\pi, \pi)$ अंतराल में,$k \in \{-2, -1, 0, 1\}$,जो $4$ हल देता है: $\pm \frac{\pi}{4}, \pm \frac{3\pi}{4}$।
कुल भिन्न हल: $9 + 4 = 13$।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan^2 x + 3 \cot^2 x = 2 \sec^2 x$
सर्वसमिका $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\tan^2 x + 3 \cot^2 x = 2(1 + \tan^2 x)$
$\tan^2 x + 3 \cot^2 x = 2 + 2 \tan^2 x$
$3 \cot^2 x - \tan^2 x = 2$
माना $t = \tan^2 x$,तो $\cot^2 x = \frac{1}{t}$.
$3(\frac{1}{t}) - t = 2$
$3 - t^2 = 2t$
$t^2 + 2t - 3 = 0$
$(t + 3)(t - 1) = 0$
चूंकि $t = \tan^2 x \ge 0$,इसलिए $t = 1$.
$\tan^2 x = 1 \implies \tan x = \pm 1$.
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\tan x = 1$ के लिए $x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ और $\tan x = -1$ के लिए $x = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
ये सभी मान मान्य हैं।
अतः,कुल $4$ हल हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $\sin 7 \theta - \sin 3 \theta = \sin 4 \theta$
सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos 5 \theta \sin 2 \theta = \sin 4 \theta$
चूंकि $\sin 4 \theta = 2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$2 \cos 5 \theta \sin 2 \theta = 2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta$
$2 \sin 2 \theta (\cos 5 \theta - \cos 2 \theta) = 0$
स्थिति $1$: $\sin 2 \theta = 0$
$2 \theta = n \pi \Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{2}$. अंतराल $(0, \pi)$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{2}$.
स्थिति $2$: $\cos 5 \theta = \cos 2 \theta$
$5 \theta = 2 n \pi \pm 2 \theta$
यदि $5 \theta = 2 n \pi + 2 \theta$ है,तो $3 \theta = 2 n \pi \Rightarrow \theta = \frac{2 n \pi}{3}$. अंतराल $(0, \pi)$ के लिए,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$.
यदि $5 \theta = 2 n \pi - 2 \theta$ है,तो $7 \theta = 2 n \pi \Rightarrow \theta = \frac{2 n \pi}{7}$. अंतराल $(0, \pi)$ के लिए,$\theta = \frac{2 \pi}{7}, \frac{4 \pi}{7}, \frac{6 \pi}{7}$.
हल $\frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{7}, \frac{4 \pi}{7}, \frac{6 \pi}{7}$ हैं।
कुल हलों की संख्या $5$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $4-3 \cos ^2 \theta=5 \sin \theta \cos \theta$
$\cos ^2 \theta$ से भाग देने पर:
$4 \sec ^2 \theta-3=5 \tan \theta$
$4(1+\tan ^2 \theta)-3=5 \tan \theta$
$4 \tan ^2 \theta-5 \tan \theta+1=0$
$(4 \tan \theta-1)(\tan \theta-1)=0$
अतः,$\tan \theta=1$ या $\tan \theta=\frac{1}{4}$।
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $1+\sin ^2 \theta=3 \cos ^2 \theta$
$1+\sin ^2 \theta=3(1-\sin ^2 \theta)$
$1+\sin ^2 \theta=3-3 \sin ^2 \theta$
$4 \sin ^2 \theta=2$ $\Rightarrow \sin ^2 \theta=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow \tan ^2 \theta=1$।
चूंकि $\tan \theta=1$ मूल समीकरण का एक हल है,इसलिए विकल्प $D$ संतुष्ट होता है।

(B) दिया गया है $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$। चूंकि $\cos \theta$ ऋणात्मक है,$\theta$ दूसरे या तीसरे चतुर्थांश में स्थित है। $\cos \theta = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{3\pi}{4}$ या $\cos \theta = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{5\pi}{4}$।
दिया गया है $\tan \theta = 1$। चूंकि $\tan \theta$ धनात्मक है,$\theta$ पहले या तीसरे चतुर्थांश में स्थित है। $\tan \theta = \tan \frac{\pi}{4}$ या $\tan \theta = \tan(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tan \frac{5\pi}{4}$।
दोनों समीकरणों को संतुष्ट करने वाला सामान्य मान $\theta = \frac{5\pi}{4}$ है।
$\theta$ के लिए व्यापक हल $2n\pi + \frac{5\pi}{4}$ है,जिसे $2n\pi + \pi + \frac{\pi}{4} = (2n + 1)\pi + \frac{\pi}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \ldots$।

(B) दिया गया त्रिकोणमितीय समीकरण है: $\tan \theta + \sec \theta = 2 \cos \theta$।
$\cos \theta$ से गुणा करने पर ($\cos \theta \neq 0$ के लिए):
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = 2 \cos \theta$
$\Rightarrow 1 + \sin \theta = 2 \cos^2 \theta$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$1 + \sin \theta = 2(1 - \sin^2 \theta)$
$2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) = 0$
अतः $\sin \theta = \frac{1}{2}$ या $\sin \theta = -1$।
अंतराल $(0, 2 \pi)$ में $\sin \theta = \frac{1}{2}$ के लिए $\theta = \frac{\pi}{6}$ या $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ प्राप्त होता है।
अंतराल $(0, 2 \pi)$ में $\sin \theta = -1$ के लिए $\theta = \frac{3 \pi}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि मूल समीकरण में $\tan \theta$ और $\sec \theta$ शामिल हैं,इसलिए $\theta = \frac{3 \pi}{2}$ पर ये अपरिभाषित हैं।
अतः,मान्य हल $\theta = \frac{\pi}{6}$ और $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ हैं।
इस प्रकार,हलों की संख्या $2$ है।

(D) दिया गया है,$\theta \in (-\pi, \pi)$ और $6 \cos 2 \theta + 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin^2 \theta = 0$।
$\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ और $2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 + \cos \theta$ का उपयोग करने पर,समीकरण बनता है:
$6(2 \cos^2 \theta - 1) + (1 + \cos \theta) + 2 \sin^2 \theta = 0$.
$10 \cos^2 \theta + \cos \theta - 3 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(5 \cos \theta - 3)(2 \cos \theta + 1) = 0$.
अतः,$\cos \theta = \frac{3}{5}$ या $\cos \theta = -\frac{1}{2}$।
इससे $\theta$ के मान $\pm \cos^{-1}(\frac{3}{5})$ और $\pm \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होते हैं।