Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Gujarati

(B) $\triangle ABC$ માં,સાઈન નિયમ મુજબ,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$.
આપેલ શરત મુજબ,$a = 2b$ અને $A - B = 60^{\circ}$,તેથી $A = 60^{\circ} + B$.
સાઈન નિયમમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\sin(60^{\circ} + B)}{2b} = \frac{\sin B}{b}$
$\sin(60^{\circ} + B) = 2 \sin B$
$\sin 60^{\circ} \cos B + \cos 60^{\circ} \sin B = 2 \sin B$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B + \frac{1}{2} \sin B = 2 \sin B$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B = \frac{3}{2} \sin B$
$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$B = 30^{\circ}$.
તેથી $A = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$.
એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,ત્રિકોણ કાટકોણ છે.

(D) આપેલ છે કે $\angle A, \angle B, \angle C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2B = A + C$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
ધારો કે બાજુઓ $a, b, c$ છે. આપેલ છે $a = 10$ અને $b = 9$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos 60^{\circ} = \frac{10^2 + c^2 - 9^2}{2(10)c}$.
$\frac{1}{2} = \frac{100 + c^2 - 81}{20c} \Rightarrow 10c = c^2 + 19$.
$c^2 - 10c + 19 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $c = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 76}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{24}}{2} = 5 \pm \sqrt{6}$.
$b=9$ એ બીજી સૌથી મોટી બાજુ હોવાથી,$c$ સૌથી નાની બાજુ હોવી જોઈએ. તેથી,$c = 5 - \sqrt{6}$.

(A) આપેલ છે: $\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{3}{a+b+c}$
બંને બાજુ $(a+b+c)$ વડે ગુણતા:
$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}=3$
$\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1=3$
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}=1$
$a(c+a)+b(b+c)=(b+c)(c+a)$
$ac+a^2+b^2+bc=bc+ab+c^2+ac$
$a^2+b^2-c^2=ab$
કોસાઇન નિયમ મુજબ:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$a^2+b^2-c^2=ab$ મુકતા:
$\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$
તેથી,$C = \frac{\pi}{3}$.

(A) ધારો કે $a=7k, b=8k, c=9k$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{(8k)^2+(9k)^2-(7k)^2}{2(8k)(9k)} = \frac{64+81-49}{144} = \frac{96}{144} = \frac{2}{3}$.
તે જ રીતે,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{(7k)^2+(9k)^2-(8k)^2}{2(7k)(9k)} = \frac{49+81-64}{126} = \frac{66}{126} = \frac{11}{21}$.
અને $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{(7k)^2+(8k)^2-(9k)^2}{2(7k)(8k)} = \frac{49+64-81}{112} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7}$.
હવે,$\cos A : \cos B : \cos C = \frac{2}{3} : \frac{11}{21} : \frac{2}{7}$.
$21$ વડે ગુણતા,આપણને $14 : 11 : 6$ મળે છે.

(D) આપેલ પદ: $E = a \cos (B-\theta) + b \cos (A+\theta)$
$\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = a(\cos B \cos \theta + \sin B \sin \theta) + b(\cos A \cos \theta - \sin A \sin \theta)$
$E = (a \cos B + b \cos A) \cos \theta + (a \sin B - b \sin A) \sin \theta$
ત્રિકોણના પ્રક્ષેપ સૂત્ર મુજબ,$a \cos B + b \cos A = c$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R$,તેથી $a = 2R \sin A$ અને $b = 2R \sin B$.
બીજા પદમાં આ કિંમતો મૂકતા: $a \sin B - b \sin A = (2R \sin A) \sin B - (2R \sin B) \sin A = 0$.
આમ,$E = c \cos \theta + 0 \cdot \sin \theta = c \cos \theta$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{\sin A - \sin C}{\cos C - \cos A} = \cot B$
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right)}{2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right)} = \cot B$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\cot \left(\frac{A+C}{2}\right) = \cot B$
આથી:
$\frac{A+C}{2} = B \implies A+C = 2B$
બે ખૂણાઓનો સરવાળો ત્રીજા ખૂણાના બમણા હોવાથી,$A, B, C$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(a^2 - 2ab + b^2) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + 2ab + b^2) \sin^2 \frac{C}{2}$
પદોને ગોઠવતા: $(a^2 + b^2) (\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) - 2ab \cos^2 \frac{C}{2} + 2ab \sin^2 \frac{C}{2}$
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ હોવાથી,આ સાદું રૂપ બને છે: $(a^2 + b^2) - 2ab (\cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2})$
નિત્યસમ $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos C = \cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2}$:
$= a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$,તેથી:
$= c^2$
$c = 4$ આપેલ હોવાથી,કિંમત $4^2 = 16$ થાય.

(B) ત્રિકોણના ખૂણાઓ માટે $A+B+C = \pi$ થાય.
તેથી,$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{2}$,એટલે કે $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \cot \frac{C}{2}$.
સૂત્ર $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}} = \cot \frac{C}{2}$.
આપેલ કિંમતો $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{3}$ અને $\tan \frac{B}{2} = \frac{2}{3}$ મૂકતા:
$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}{1 - (\frac{1}{3})(\frac{2}{3})} = \frac{1}{1 - \frac{2}{9}} = \frac{1}{\frac{7}{9}} = \frac{9}{7}$.
આમ,$\cot \frac{C}{2} = \frac{9}{7}$,તેથી $\tan \frac{C}{2} = \frac{7}{9}$.

(D) $\triangle ABC$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:\\ $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$\\ આપેલ છે કે $a^2+b^2-c^2=ab$,તેથી:\\ $\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$\\ $\cos C = \frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $C = \frac{\pi}{3}$ (અથવા $60^{\circ}$) થાય.

(B) આપેલ છે કે ખૂણા $A, B, C$ એ $A.P.$ માં છે.
$\therefore A + C = 2B$
આપણે જાણીએ છીએ કે $A + B + C = 180^{\circ}$
$A + C = 2B$ મૂકતા,આપણને $2B + B = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 3B = 180^{\circ}$ $\Rightarrow B = 60^{\circ}$ મળે છે.
આપેલ છે $A = 30^{\circ}$,તેથી $C = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 60^{\circ}) = 90^{\circ}$
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{3}{\sin 90^{\circ}}$
$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{3}{1}$
$a = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$b = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

(C) કારણ કે $A, B, C$ એ $AP$ માં છે,તેથી $2B = A + C$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$A + C = 180^{\circ} - B$.
$AP$ ની શરતમાં કિંમત મૂકતા: $2B = 180^{\circ} - B$ $\Rightarrow 3B = 180^{\circ}$ $\Rightarrow B = 60^{\circ}$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$.
આપેલ છે કે $\frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
$B = 60^{\circ}$ મૂકતા: $\frac{\sin 60^{\circ}}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow \frac{\sqrt{3}/2}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
$\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow C = 45^{\circ}$.
અંતે,$A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 75^{\circ}$.

(B) આપેલ છે કે,$\triangle ABC$ માં,$\frac{\cos A}{a}=\frac{\cos B}{b}=\frac{\cos C}{c} \dots (i)$
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c} \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને $\tan A = \tan B = \tan C$ મળે છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ હોવાથી,$A = B = C$.
તેથી,$\triangle ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
$A+B+C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3A = 180^{\circ}$,એટલે કે $A = B = C = 60^{\circ}$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
$a = 2$ આપેલ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} (2)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3}$ થાય.

(C) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R = k$,તેથી $\sin A = ak$ અને $\sin B = bk$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A$ અને $\cos 2B = 1 - 2\sin^2 B$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1 - 2\sin^2 A}{a^2} - \frac{1 - 2\sin^2 B}{b^2}$
$= \frac{1 - 2(ak)^2}{a^2} - \frac{1 - 2(bk)^2}{b^2}$
$= \frac{1 - 2a^2k^2}{a^2} - \frac{1 - 2b^2k^2}{b^2}$
$= (\frac{1}{a^2} - 2k^2) - (\frac{1}{b^2} - 2k^2)$
$= \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$

(A) આપેલ ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 6+2 \sqrt{3}$,$b = 4 \sqrt{3}$ અને $c = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$ છે.
અહીં $c$ સૌથી નાની બાજુ છે,તેથી ખૂણો $C$ સૌથી નાનો ખૂણો છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
ગણતરી કરતા,$\cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
તેથી,$C = 30^{\circ}$.
સૌથી નાના ખૂણાનો સ્પર્શક $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.

(D) આપણને પદાવલિ $a[b \cos C - c \cos B]$ આપેલ છે.
ત્રિકોણ માટે પ્રક્ષેપ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $a = b \cos C + c \cos B$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $(b \cos C + c \cos B)(b \cos C - c \cos B)$ મળે છે.
આ $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી તે $b^2 \cos^2 C - c^2 \cos^2 B$ માં સરળ બને છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ અને $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $a \left[ b \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) - c \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \right) \right]$.
$= a \left[ \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2a} - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a} \right]$.
$= a \left[ \frac{a^2 + b^2 - c^2 - a^2 - c^2 + b^2}{2a} \right]$.
$= a \left[ \frac{2b^2 - 2c^2}{2a} \right] = b^2 - c^2$.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2b = a + c$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
તેથી,$a = k \sin A$,$b = k \sin B$,અને $c = k \sin C$.
$C = 2A$ હોવાથી,$\sin C = \sin 2A = 2 \sin A \cos A$.
$2b = a + c$ પરથી,$2 \sin B = \sin A + \sin C$.
$B = 180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - 3A$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin B = \sin 3A$.
તેથી,$2 \sin 3A = \sin A + \sin 2A$.
$2(3 \sin A - 4 \sin^3 A) = \sin A + 2 \sin A \cos A$.
$\sin A$ વડે ભાગતા ($\sin A \neq 0$ હોવાથી): $6 - 8 \sin^2 A = 1 + 2 \cos A$.
$6 - 8(1 - \cos^2 A) = 1 + 2 \cos A \Rightarrow 8 \cos^2 A - 2 \cos A - 3 = 0$.
$(4 \cos A - 3)(2 \cos A + 1) = 0$.
$A$ એ ત્રિકોણનો ખૂણો હોવાથી,$\cos A = \frac{3}{4}$.
તેથી $\frac{a}{c} = \frac{\sin A}{\sin C} = \frac{\sin A}{2 \sin A \cos A} = \frac{1}{2 \cos A} = \frac{1}{2(3/4)} = \frac{2}{3}$.

(A) $\triangle ABC$ ના ખૂણાઓ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
$A+B+C=180^{\circ}$ અને $2B=A+C$ હોવાથી,$3B=180^{\circ}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $B=60^{\circ}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
$B=60^{\circ}$ મૂકતા,$\cos 60^{\circ} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{1}{2} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
બંને બાજુ $2ac$ વડે ગુણતા,$ac = a^2+c^2-b^2$ મળે.
તેથી,$b^2 = a^2+c^2-ac$.

(C) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ ના ખૂણાઓ $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $A+C = 2B$.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $A+B+C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $B = 60^{\circ}$.
$\triangle ABC$ માં કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC}$
આપેલ કિંમતો $AB=6, BC=7, B=60^{\circ}$ મૂકતા અને $AC=x$ ધારતા:
$\cos 60^{\circ} = \frac{6^2 + 7^2 - x^2}{2 \times 6 \times 7}$
$\frac{1}{2} = \frac{36 + 49 - x^2}{84}$
$42 = 85 - x^2$
$x^2 = 85 - 42 = 43$
$x = \sqrt{43}$
તેથી,$AC = \sqrt{43}$.

(B) $\triangle ABC$ માં,ધારો કે $a, b, c$ બાજુઓની લંબાઈ છે અને $p_1, p_2, p_3$ અનુરૂપ વેધ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ છે.
આથી $p_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$p_2 = \frac{2\Delta}{b}$,અને $p_3 = \frac{2\Delta}{c}$ મળે.
આપેલ છે કે $p_1, p_2, p_3$ એ $AP$ માં છે,તેથી $\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ એ $AP$ માં છે.
$2\Delta$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $AP$ માં છે.
હરાત્મક શ્રેણીની વ્યાખ્યા મુજબ,જો પદોના વ્યસ્ત $AP$ માં હોય,તો તે પદો $HP$ માં હોય.
તેથી,$a, b, c$ એ $HP$ માં છે.

(D) આપેલ છે કે $\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{C}{2}=\frac{b}{s}$.
$\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin \frac{A+C}{2}}{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{C}{2}} = \frac{b}{s}$.
$\cos \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}$ અને $\cos \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}$ મૂકતા:
$\frac{\sin \frac{A+C}{2}}{\sin \frac{B}{2}} = 1$.
$A+B+C = \pi$ હોવાથી,$\sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A+C}{2}$ થાય.
તેથી,$\tan \frac{A+C}{2} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $A+C = \frac{\pi}{2}$.
અંતે,$\sin \left(\frac{A+C}{3}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ પદ $(\cot A+\cot B)(\cot B+\cot C)(\cot C+\cot A)$ છે.
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \left(\frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B}\right) \left(\frac{\cos B}{\sin B} + \frac{\cos C}{\sin C}\right) \left(\frac{\cos C}{\sin C} + \frac{\cos A}{\sin A}\right)$
$= \left(\frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B}\right) \left(\frac{\sin(B+C)}{\sin B \sin C}\right) \left(\frac{\sin(C+A)}{\sin C \sin A}\right)$
$A+B+C = \pi$ હોવાથી,$\sin(A+B) = \sin C$,$\sin(B+C) = \sin A$,અને $\sin(C+A) = \sin B$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$= \left(\frac{\sin C}{\sin A \sin B}\right) \left(\frac{\sin A}{\sin B \sin C}\right) \left(\frac{\sin B}{\sin C \sin A}\right)$
$= \frac{\sin A \sin B \sin C}{(\sin A \sin B \sin C)^2} = \frac{1}{\sin A \sin B \sin C}$
$= \operatorname{cosec} A \operatorname{cosec} B \operatorname{cosec} C$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ માં,$A+B+C = \pi$.
અંશ $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ છે.
છેદ $\cos A + \cos B + \cos C - 1 = 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ છે.
આમ,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\frac{4 \sin A \sin B \sin C}{4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}} = 8 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $\sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.
તેથી,$8 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = 2 [4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}] = 2 [\sin A + \sin B + \sin C]$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
આપેલ છે $4r_1 = 5r_2 = 6r_3 = \lambda$.
તેથી $s-a = \frac{\lambda}{4}$,$s-b = \frac{\lambda}{5}$,અને $s-c = \frac{\lambda}{6}$.
સરવાળો કરતા: $(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$.
તેથી,$s = \lambda(\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}) = \frac{37\lambda}{60}$.
તેથી $a = s - (s-a) = \frac{22\lambda}{60}$,$b = \frac{25\lambda}{60}$,$c = \frac{27\lambda}{60}$.
સૂત્ર $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ વગેરેનો ઉપયોગ કરતા,સરવાળો $\frac{25}{33}$ મળે છે.

(B) ત્રિકોણ $ABC$ માં,$A+B+C = \pi$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\tan(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \cot \frac{C}{2}$.
નિત્યસમ $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}} = \frac{1}{\tan \frac{C}{2}}$ મળે છે.
ગુણાકાર કરતા: $\tan \frac{C}{2}(\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}) = 1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}$.
પદોને ગોઠવતા: $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1$.

(A) $\triangle ABC$ માં,$A+B+C = \pi \Rightarrow A+B = \pi - C$.
$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2 \sin(A+B) \cos(A-B) + 2 \sin C \cos C$.
કારણ કે $\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C$,તેથી:
$= 2 \sin C \cos(A-B) + 2 \sin C \cos C$.
$= 2 \sin C [\cos(A-B) + \cos C]$.
કારણ કે $\cos C = \cos(\pi - (A+B)) = -\cos(A+B)$,તેથી:
$= 2 \sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$.
નિત્યસમ $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \sin C [2 \sin A \sin B] = 4 \sin A \sin B \sin C$.

(C) $\triangle ABC$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $A+B+C = 180^{\circ}$.
આપણે $2ac \sin \frac{1}{2}(A-B+C)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $A+C = 180^{\circ}-B$,તેથી:
$2ac \sin \frac{1}{2}(180^{\circ}-B-B) = 2ac \sin \frac{1}{2}(180^{\circ}-2B)$
$= 2ac \sin (90^{\circ}-B)$
$= 2ac \cos B$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$= 2ac \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \right) = a^2+c^2-b^2$.

(A) આપેલ છે,$\cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માટે,$\cos A + \cos B + \cos C$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{3}{2}$ છે,જે ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $A = B = C = 60^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{3}$ રેડિયન હોય.
કારણ કે $A = B = C = \frac{\pi}{3}$,ત્રણેય ખૂણા સમાન છે.
તેથી,$\triangle ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે $H$ એ $\triangle ABC$ નું લંબકેન્દ્ર છે અને $AH=x, BH=y, CH=z$ છે.
કોઈપણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્રથી શિરોબિંદુઓનું અંતર $AH=2R \cos A$,$BH=2R \cos B$,અને $CH=2R \cos C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે.
તેથી,$x=2R \cos A, y=2R \cos B, z=2R \cos C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a=2R \sin A, b=2R \sin B, c=2R \sin C$.
તેથી,$\frac{a}{x} = \frac{2R \sin A}{2R \cos A} = \tan A$.
તે જ રીતે,$\frac{b}{y} = \tan B$ અને $\frac{c}{z} = \tan C$.
આપણે $\frac{abc}{xyz} = \frac{a}{x} \cdot \frac{b}{y} \cdot \frac{c}{z} = \tan A \tan B \tan C$ શોધી રહ્યા છીએ.
કોઈપણ ત્રિકોણમાં,$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$.
તેથી,$\frac{abc}{xyz} = \tan A + \tan B + \tan C = \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}$.

(B) ધારો કે ખૂણાઓ $3x, 2x, x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$3x + 2x + x = 180^{\circ}$.
$6x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 30^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $A = 90^{\circ}, B = 60^{\circ}, C = 30^{\circ}$ છે.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બાજુઓનો ગુણોત્તર $a: b: c = \sin A: \sin B: \sin C$ થાય.
$a: b: c = \sin 90^{\circ}: \sin 60^{\circ}: \sin 30^{\circ}$.
$a: b: c = 1: \frac{\sqrt{3}}{2}: \frac{1}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા,$a: b: c = 2: \sqrt{3}: 1$ મળે.

(B) ધારો કે બાજુઓ $c = 6k$,$a = 4k$,અને $b = 5k$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{6k + 4k + 5k}{2} = \frac{15k}{2}$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15k}{2} \times \frac{7k}{2} \times \frac{5k}{2} \times \frac{3k}{2}} = \frac{15\sqrt{7}k^2}{4}$.
પરિવૃત ત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$.
અંતઃવૃત ત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{7}k}{2}$.
તેથી,$\frac{R}{r} = \frac{16}{7}$.

(C) આપેલ છે: $r_1: r_2 = 7: 8$ અને $r_1: r_3 = 3: 4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
તેથી,$\frac{1}{s-a}: \frac{1}{s-b}: \frac{1}{s-c} = r_1: r_2: r_3$.
પ્રથમ,ગુણોત્તર $r_1: r_2: r_3$ શોધો:
$r_1: r_2 = 7: 8 = 21: 24$
$r_1: r_3 = 3: 4 = 21: 28$
તેથી,$r_1: r_2: r_3 = 21: 24: 28$.
ધારો કે $s-a = \frac{k}{21}$,$s-b = \frac{k}{24}$,અને $s-c = \frac{k}{28}$.
આનો સરવાળો કરતા: $(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$.
તેથી,$s = k(\frac{1}{21} + \frac{1}{24} + \frac{1}{28}) = k(\frac{8+7+6}{168}) = k(\frac{21}{168}) = \frac{k}{8}$.
હવે,$a = s - (s-a) = k(\frac{1}{8} - \frac{1}{21}) = k(\frac{21-8}{168}) = \frac{13k}{168}$.
$b = s - (s-b) = k(\frac{1}{8} - \frac{1}{24}) = k(\frac{3-1}{24}) = \frac{2k}{24} = \frac{14k}{168}$.
$c = s - (s-c) = k(\frac{1}{8} - \frac{1}{28}) = k(\frac{7-2}{56}) = \frac{5k}{56} = \frac{15k}{168}$.
તેથી,$a: b: c = 13: 14: 15$.

(C) ધારો કે બાજુઓ $a = 13, b = 14, c = 15$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{84}{21} = 4$.
હવે,$8R - r = 8 \times \left(\frac{65}{8}\right) - 4 = 65 - 4 = 61$.

(B) સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
તેથી,$b = k \sin B$ અને $c = k \sin C$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(b+c) \sin \frac{A}{2} = k(\sin B + \sin C) \sin \frac{A}{2}$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin B + \sin C = 2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= k \left[ 2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2} \right] \sin \frac{A}{2}$.
$A+B+C = \pi$ હોવાથી,$\frac{B+C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}$,તેથી $\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$.
$= k \left[ 2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2} \right] \sin \frac{A}{2}$.
$= k \left[ 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \right] \cos \frac{B-C}{2}$.
$= k \sin A \cos \frac{B-C}{2}$.
$a = k \sin A$ હોવાથી,પદાવલિ $a \cos \frac{B-C}{2}$ બને છે.

(C) આપેલ છે કે $a - 2b + c = 0$,તેથી $a + c = 2b$.
સૂત્ર $\cot \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ અને $\cot \left(\frac{C}{2}\right) = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s = \frac{a+b+c}{2}$.
તેથી $\cot \left(\frac{A}{2}\right) \cdot \cot \left(\frac{C}{2}\right) = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \frac{s}{s-b}$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ મૂકતા:
$\frac{s}{s-b} = \frac{\frac{a+b+c}{2}}{\frac{a+b+c}{2} - b} = \frac{a+b+c}{a+b+c-2b} = \frac{a+b+c}{a-b+c}$.
કારણ કે $a+c = 2b$,આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(a+c)+b}{(a+c)-b} = \frac{2b+b}{2b-b} = \frac{3b}{b} = 3$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)} \times \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-b)^2}} = \frac{s}{s-b}$.
આપેલ છે કે $a+c=5b$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5b+b}{2} = 3b$.
$s = 3b$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{s}{s-b} = \frac{3b}{3b-b} = \frac{3b}{2b} = \frac{3}{2}$.

(C) આપેલ ગુણોત્તર $\frac{b}{c} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2+2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{3}+1)^2-2(\sqrt{2}-1)}$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(\sqrt{3}+1)^2 = 4+2\sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{b}{c} = \frac{2+2\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b}{c} = \frac{\sin 75^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}$.
$A=30^{\circ}$ હોવાથી,$B+C=150^{\circ}$.
આ ગુણોત્તર પરથી,$B=75^{\circ}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
ધારો કે $\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b} = \frac{3\Delta}{s-c} = \frac{1}{K}$.
તેથી $s-a = K$,$s-b = 2K$,અને $s-c = 3K$.
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = K + 2K + 3K = 6K$.
$3s - (a+b+c) = 6K$ $\Rightarrow 3s - 2s = 6K$ $\Rightarrow s = 6K$.
આમ,$a = s - K = 5K$,$b = s - 2K = 4K$,અને $c = s - 3K = 3K$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c = 5K : 4K : 3K = 5 : 4 : 3$.

(B) આપેલ છે $(a+c)^2 = b^2 + 3ca$,ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $a^2 + c^2 + 2ac = b^2 + 3ca$.
પુનઃગોઠવણ કરતા $a^2 + c^2 - b^2 = ca$ મળે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{ca}{2ac} = \frac{1}{2}$.
આમ,$B = 60^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{B}{2} = 30^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{2R} = \sin A$ અને $\frac{c}{2R} = \sin C$,તેથી $\frac{a+c}{2R} = \sin A + \sin C$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin A + \sin C = 2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
કારણ કે $A+B+C = 180^{\circ}$,$\frac{A+C}{2} = 90^{\circ} - \frac{B}{2}$.
તેથી,$\frac{a+c}{2R} = 2 \sin \left(90^{\circ} - \frac{B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
$B/2 = 30^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $2 \cos 30^{\circ} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = \sqrt{3} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$ મળે છે.

(C) સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = K$.
તેથી,$a = K \sin A$ અને $b = K \sin B$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$a^2 \sin 2B + b^2 \sin 2A = (K \sin A)^2 (2 \sin B \cos B) + (K \sin B)^2 (2 \sin A \cos A)$
$= 2K^2 \sin A \sin B (\sin A \cos B + \cos A \sin B)$
$= 2(K \sin A)(K \sin B) \sin(A + B)$
$= 2ab \sin(A + B)$
કારણ કે $A + B + C = \pi$,તેથી $\sin(A + B) = \sin(\pi - C) = \sin C$.
આમ,જવાબ $2ab \sin C$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $\angle B=60^{\circ}$ અને $\angle A=75^{\circ}$.
$\triangle ABC$ માં,$\angle C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 75^{\circ}) = 45^{\circ}$.
ધારો કે $\angle BAD = \theta$ અને $\angle CAD = \phi$.
$\triangle ABD$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{AD}{\sin 60^{\circ}} = \frac{BD}{\sin \theta} \implies \frac{AD}{BD} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin \theta}$ ... $(i)$
$\triangle ADC$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{AD}{\sin 45^{\circ}} = \frac{CD}{\sin \phi} \implies \frac{AD}{CD} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin \phi}$ ... (ii)
$(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{CD}{BD} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin \theta} \times \frac{\sin \phi}{\sin 45^{\circ}}$
આપેલ છે $\frac{BD}{CD} = \frac{2}{3}$,તેથી $\frac{CD}{BD} = \frac{3}{2}$.
$\frac{3}{2} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} \times \frac{\sin \phi}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} \times \frac{\sin \phi}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sin \phi}{\sin \theta}$
$\frac{\sin \phi}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{\sin \theta}{\sin \phi} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ છે: $a^2 \sin^2 \frac{C}{2} + c^2 \sin^2 \frac{A}{2} = \frac{b^2}{2}$
અર્ધ-ખૂણાના સૂત્રો $\sin^2 \frac{C}{2} = \frac{(s-a)(s-b)}{ab}$ અને $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a^2 \left( \frac{(s-a)(s-b)}{ab} \right) + c^2 \left( \frac{(s-b)(s-c)}{bc} \right) = \frac{b^2}{2}$
$\Rightarrow \frac{a(s-a)(s-b)}{b} + \frac{c(s-b)(s-c)}{b} = \frac{b^2}{2}$
$\Rightarrow \frac{s-b}{b} [a(s-a) + c(s-c)] = \frac{b^2}{2}$
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$s-b = \frac{a+c-b}{2}$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા $a+c = 2b$ મળે છે.
તેથી,$\frac{a+c}{b} = \frac{2}{1}$,એટલે કે $a+c : b = 2 : 1$.

(D) ધારો કે $s-a = 2k$,$s-b = 3k$,અને $s-c = 4k$. આ બધાનો સરવાળો કરતા $3s - (a+b+c) = 9k$ મળે. $a+b+c = 2s$ હોવાથી,$3s - 2s = 9k$,એટલે કે $s = 9k$.
તેથી $a = s - 2k = 7k$,$b = s - 3k = 6k$,અને $c = s - 4k = 5k$.
$\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$ અને $\cot C = \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cot A}{\cot C} = \frac{b^2+c^2-a^2}{a^2+b^2-c^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\cot A}{\cot C} = \frac{(6k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{(7k)^2 + (6k)^2 - (5k)^2} = \frac{36k^2 + 25k^2 - 49k^2}{49k^2 + 36k^2 - 25k^2} = \frac{12k^2}{60k^2} = \frac{1}{5}$.
આમ,$\cot A : \cot C = 1 : 5$.

(D) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = k$ છે.
$\sin A = ak$,$\sin B = bk$,અને $\sin C = ck$ ને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(ak + bk)(ak - bk) = ck(bk + ck)$
$k^2(a^2 - b^2) = k^2(bc + c^2)$
$a^2 - b^2 = bc + c^2$
$a^2 = b^2 + c^2 + bc$
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
$a^2 = b^2 + c^2 + bc$ મૂકતા:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - (b^2 + c^2 + bc)}{2bc} = \frac{-bc}{2bc} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos A = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,$A = 120^{\circ}$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ છે.
વળી,$\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$ છે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$r_1 \cot \frac{A}{2} + r_2 \cot \frac{B}{2} + r_3 \cot \frac{C}{2} = \left( \frac{\Delta}{s-a} \cdot \frac{s(s-a)}{\Delta} \right) + \left( \frac{\Delta}{s-b} \cdot \frac{s(s-b)}{\Delta} \right) + \left( \frac{\Delta}{s-c} \cdot \frac{s(s-c)}{\Delta} \right)$
$= s + s + s = 3s$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r = (s-a) \tan(A/2) = (s-b) \tan(B/2) = (s-c) \tan(C/2)$ અને $r_1 = s \tan(A/2)$,$r_2 = s \tan(B/2)$,$r_3 = s \tan(C/2)$.
તેથી,$r_1 - r = s \tan(A/2) - (s-a) \tan(A/2) = a \tan(A/2)$.
આમ,$\frac{r_1-r}{a} = \tan(A/2)$.
તે જ રીતે,$\frac{r_2-r}{b} = \tan(B/2)$ અને $\frac{r_3-r}{c} = \tan(C/2)$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $s[\tan(A/2) + \tan(B/2) + \tan(C/2)]$ મળે છે.
કારણ કે $r_1 = s \tan(A/2)$,$r_2 = s \tan(B/2)$,અને $r_3 = s \tan(C/2)$,તેથી આ પદાવલિ $r_1 + r_2 + r_3$ બને છે.

(A) સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$.
આપેલ છે: $a=7, b=6, A=120^{\circ}$.
$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{6 \sin 120^{\circ}}{7}$.
કારણ કે $\sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.
$\sin B = \frac{6 \times 0.866}{7} = \frac{5.196}{7} \approx 0.7423$.
$B = \arcsin(0.7423) \approx 47.9^{\circ}$.

(C) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = k \sin A$ અને $b = k \sin B$ મળે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a-b}{a+b} = \frac{k \sin A - k \sin B}{k \sin A + k \sin B} = \frac{\sin A - \sin B}{\sin A + \sin B}$
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)}{2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)}$
$= \cot \left(\frac{A+B}{2}\right) \tan \left(\frac{A-B}{2}\right)$
કારણ કે $A+B+C = 180^{\circ}$,તેથી $\frac{A+B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}$.
તેથી,$\cot \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot \left(90^{\circ} - \frac{C}{2}\right) = \tan \frac{C}{2}$.
આમ,$\frac{a-b}{a+b} = \tan \frac{C}{2} \tan \left(\frac{A-B}{2}\right)$.

(A) આપેલ છે: $a=2, b=3, \sin A=\frac{2}{3}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{2/3} = \frac{3}{\sin B}$.
$\Rightarrow 3 = \frac{3}{\sin B}$.
$\Rightarrow \sin B = 1$.
તેથી,$B = \frac{\pi}{2}$.