Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Gujarati

(A) $\triangle ABC$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
આપેલ છે કે $\angle C = 60^{\circ}$,તેથી $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
આથી $ab = a^2+b^2-c^2$,અથવા $c^2 = a^2+b^2-ab$.
હવે,પદાવલિ $E = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} = \frac{a(c+a) + b(b+c)}{(b+c)(c+a)} = \frac{ac+a^2+b^2+bc}{bc+ab+c^2+ac}$.
અંશમાં $a^2+b^2 = c^2+ab$ મુકતા:
$E = \frac{ac + (c^2+ab) + bc}{bc+ab+c^2+ac} = \frac{ac+c^2+ab+bc}{ac+ab+c^2+bc} = 1$.

(C) ધારો કે $\frac{b+c}{9}=\frac{c+a}{10}=\frac{a+b}{11}=k$.
તેથી $b+c=9k$,$c+a=10k$,અને $a+b=11k$.
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા $2(a+b+c)=30k$,તેથી $a+b+c=15k$.
આમ,$a=6k$,$b=5k$,અને $c=4k$.
કોસાઇન નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{1}{8}$,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{9}{16}$,અને $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\frac{\cos A+\cos B}{\cos C} = \frac{\frac{1}{8}+\frac{9}{16}}{\frac{3}{4}} = \frac{11}{12}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) $\triangle ABC$ માં,$AD$ એ $BC$ પરની મધ્યગા છે,તેથી $BD = DC = a/2$. આપેલ છે કે $AD \perp AC$,કાટકોણ $\triangle ADC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AD^2 + b^2 = (a/2)^2$,તેથી $AD^2 = a^2/4 - b^2$.
$\triangle ABC$ પર એપોલોનિયસના પ્રમેય દ્વારા,$c^2 + b^2 = 2(AD^2 + (a/2)^2)$.
$AD^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $c^2 + b^2 = 2(a^2/4 - b^2 + a^2/4) = a^2 - 2b^2$ મળે છે,જે સૂચવે છે કે $a^2 = 3b^2 + c^2$ (સમીકરણ $iii$).
હવે,પદાવલિ $3ca \cos A \cos C + 2a^2$ ધ્યાનમાં લો.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)$ અને $\cos C = (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)$.
આ કિંમતો મૂકતા,પદાવલિ $3ca \cdot [(b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)] \cdot [(a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)] + 2a^2$ બને છે.
$= (3/4b^2) \cdot (b^2 + c^2 - a^2)(a^2 + b^2 - c^2) + 2a^2$.
કારણ કે $a^2 - c^2 = 3b^2$,આપણી પાસે $b^2 + c^2 - a^2 = -2b^2$ અને $a^2 + b^2 - c^2 = 4b^2$ છે.
$= (3/4b^2) \cdot (-2b^2)(4b^2) + 2a^2 = -6b^2 + 2a^2 = 2(a^2 - 3b^2)$.
સમીકરણ $iii$ પરથી,$a^2 - 3b^2 = c^2$.
આમ,પદાવલિનું મૂલ્ય $2c^2$ થાય છે.

(C) બાજુઓનો ગુણોત્તર $a: b: c = 3: 5: 7$ આપેલ છે,ધારો કે $a = 3x, b = 5x, c = 7x$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ અને $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos A = \frac{(5x)^2 + (7x)^2 - (3x)^2}{2(5x)(7x)} = \frac{65x^2}{70x^2} = \frac{13}{14}$.
$\cos B = \frac{(3x)^2 + (7x)^2 - (5x)^2}{2(3x)(7x)} = \frac{33x^2}{42x^2} = \frac{11}{14}$.
તેથી,$\cos A + \cos B = \frac{13}{14} + \frac{11}{14} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c$ છે જ્યાં $a = 80$ અને ખૂણો $B = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે $b + c = 90$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)$.
કિંમતો મૂકતા: $b^2 = 80^2 + c^2 - 2(80)(c) \cos(60^{\circ})$.
કારણ કે $\cos(60^{\circ}) = 0.5$,તેથી $b^2 = 6400 + c^2 - 80c$.
સમીકરણમાં $b = 90 - c$ મૂકતા: $(90 - c)^2 = 6400 + c^2 - 80c$.
$8100 - 180c + c^2 = 6400 + c^2 - 80c$.
$1700 = 100c$.
$c = 17$.
તેથી $b = 90 - 17 = 73$.
બાજુઓ $80, 73, 17$ છે. સૌથી ટૂંકી બાજુ $17$ છે.

(B) આપેલ છે કે $b \cos \theta = c - a$,તેથી $\cos \theta = \frac{c - a}{b}$.
$\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \frac{\sqrt{b^2 - (c - a)^2}}{b}$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{b^2 - (c - a)^2}}{c - a}$.
માટે,$(c - a) \tan \theta = \sqrt{b^2 - (c - a)^2} = \sqrt{b^2 - c^2 - a^2 + 2ac}$.
કોસાઇન નિયમ $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 - c^2 - a^2 = -2ac \cos B$ મળે.
તેથી,$(c - a) \tan \theta = \sqrt{2ac - 2ac \cos B} = \sqrt{2ac(1 - \cos B)}$.
નિત્યસમ $1 - \cos B = 2 \sin^2 \frac{B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(c - a) \tan \theta = \sqrt{2ac \cdot 2 \sin^2 \frac{B}{2}} = \sqrt{4ac \sin^2 \frac{B}{2}} = 2 \sqrt{ca} \sin \frac{B}{2}$.

(A) આપેલ બાજુઓ $a: b: c = 4: 5: 6$ છે,ધારો કે $a = 4k$,$b = 5k$,અને $c = 6k$ જ્યાં $k > 0$ અચળાંક છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 36 - 16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$.
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{16 + 36 - 25}{48} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$.
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.
હવે,ગુણોત્તર $\cos A : \cos B : \cos C = \frac{3}{4} : \frac{9}{16} : \frac{1}{8}$ શોધો.
છેદનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવ $16$ વડે ગુણતા:
$\cos A : \cos B : \cos C = 12 : 9 : 2$.

(B) આપણી પાસે છે,\\ $(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$ \\ $= (a^2 + b^2 - 2ab) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + b^2 + 2ab) \sin^2 \frac{C}{2}$ \\ $= (a^2 + b^2)(\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) - 2ab(\cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2})$ \\ $= (a^2 + b^2)(1) - 2ab \cos C$ \\ $= a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ \\ કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$,\\ તેથી,આ પદાવલિ $c^2$ ને સમાન છે.

(C) આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $\Delta = 4\sqrt{5}$, $b = 6$, અને $\tan \frac{B}{2} = \frac{\sqrt{5}}{4}$.
સૂત્ર $\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $s = \frac{a+b+c}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, તેથી $(s-a)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s(s-b)}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\tan^2 \frac{B}{2} = \frac{\Delta^2}{s^2(s-b)^2}$.
$\tan^2 \frac{B}{2} = \frac{5}{16}$ મળે.
$\frac{5}{16} = \frac{80}{s^2(s-6)^2} \implies s^2(s-6)^2 = 256$.
$s(s-6) = 16 \implies s^2 - 6s - 16 = 0 \implies s = 8$.
$a+c = 10$ અને $ac = 21$ મળતા, બાજુઓ $3, 6, 7$ મળે છે.
સૌથી નાની બાજુ $3$ છે.

(B) આપણે ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા અને બહિઃત્રિજ્યાના સૂત્રો જાણીએ છીએ: $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
આ કિંમતોને $\sqrt{\frac{r r_2}{r_3 r_1}}$ માં મૂકતા:
$\sqrt{\frac{\left(\frac{\Delta}{s}\right) \left(\frac{\Delta}{s-b}\right)}{\left(\frac{\Delta}{s-c}\right) \left(\frac{\Delta}{s-a}\right)}} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્ર $\tan^2(B/2) = \frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan(B/2)$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
તેથી,$r_1 + r_3 = \Delta \left( \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-c} \right) = \Delta \left( \frac{s-c+s-a}{(s-a)(s-c)} \right) = \Delta \left( \frac{2s-a-c}{(s-a)(s-c)} \right)$.
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$2s-a-c = b$ મળે.
આમ,$r_1 + r_3 = \frac{\Delta b}{(s-a)(s-c)}$.
વળી,$1 + \cos B = 1 + \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{2ac+a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{(a+c)^2-b^2}{2ac} = \frac{(a+c-b)(a+c+b)}{2ac} = \frac{(2s-2b)(2s)}{2ac} = \frac{2(s-b)s}{ac}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{2(r_1+r_3)}{ac(1+\cos B)} = \frac{2 \cdot \frac{\Delta b}{(s-a)(s-c)}}{ac \cdot \frac{2s(s-b)}{ac}} = \frac{2 \Delta b}{2s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{\Delta b}{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ હોવાથી,પદાવલિ $\frac{\Delta b}{\Delta^2} = \frac{b}{\Delta}$ બને છે.

(B) આપેલ છે $r_1=4, r_2=8, r_3=24$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$.
તેથી,$r = \frac{12}{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta^2 = r r_1 r_2 r_3 = \frac{12}{5} \times 4 \times 8 \times 24 = \frac{9216}{5}$.
તેથી,$\Delta = \frac{96}{\sqrt{5}}$.
$r = \frac{\Delta}{s}$ નો ઉપયોગ કરતા,$s = \frac{\Delta}{r} = 8\sqrt{5}$.
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ હોવાથી,$4 = \frac{96/\sqrt{5}}{8\sqrt{5}-a}$.
$4(8\sqrt{5}-a) = \frac{96}{\sqrt{5}} \Rightarrow 32\sqrt{5} - 4a = \frac{96}{\sqrt{5}}$.
$4a = \frac{64}{\sqrt{5}} \Rightarrow a = \frac{16}{\sqrt{5}}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
પદ $rr_1 + r_2 r_3 = \frac{\Delta^2}{s(s-a)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)}$ ધ્યાનમાં લો.
$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ હોવાથી,આપણને $\frac{\Delta^2}{s(s-a)} = (s-b)(s-c)$ અને $\frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} = s(s-a)$ મળે છે.
આમ,$rr_1 + r_2 r_3 = (s-b)(s-c) + s(s-a)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $s^2 - s(b+c) + bc + s^2 - sa = 2s^2 - s(a+b+c) + bc$ મળે છે.
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$2s^2 - s(2s) + bc = 2s^2 - 2s^2 + bc = bc$.
તેથી,$rr_1 + r_2 r_3 = bc$,જેનો અર્થ છે કે $bc - r_2 r_3 = rr_1$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ અને $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{r_2(r_1+r_3)}{\sqrt{r_1 r_2+r_2 r_3+r_3 r_1}} = \frac{\frac{\Delta}{s-b}(\frac{\Delta}{s-a} + \frac{\Delta}{s-c})}{\sqrt{\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}}}$
$= \frac{\frac{\Delta^2}{s-b} \cdot \frac{s-c+s-a}{(s-a)(s-c)}}{\Delta \sqrt{\frac{s-c+s-a+s-b}{(s-a)(s-b)(s-c)}}}$
$= \frac{\Delta \cdot b}{(s-a)(s-b)(s-c)} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{3s-(a+b+c)}}$
કારણ કે $a+b+c = 2s$,તેથી વર્ગમૂળમાં છેદ $3s-2s = s$ થાય છે.
$= \frac{\Delta \cdot b}{(s-a)(s-b)(s-c)} \cdot \frac{\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}}{\sqrt{s}}$
$= \frac{\Delta \cdot b}{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} = \frac{\Delta \cdot b}{\Delta} = b$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
વળી,$\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$.
તેથી,$(r_2+r_3) \operatorname{cosec}^2 \frac{A}{2} = \left(\frac{\Delta}{s-b} + \frac{\Delta}{s-c}\right) \times \frac{bc}{(s-b)(s-c)}$.
$= \Delta \left(\frac{s-c+s-b}{(s-b)(s-c)}\right) \times \frac{bc}{(s-b)(s-c)} = \Delta \left(\frac{a}{(s-b)(s-c)}\right) \times \frac{bc}{(s-b)(s-c)}$.
$= \frac{\Delta abc}{(s-b)^2(s-c)^2} = \frac{4R \Delta^2}{(s-b)^2(s-c)^2}$.
$= 4R \left(\frac{\Delta}{(s-b)(s-c)}\right)^2 = 4R \left(\cot \frac{A}{2}\right)^2 = 4R \cot^2 \frac{A}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\cot \frac{A}{2} : \cot \frac{B}{2} : \cot \frac{C}{2} = 3 : 7 : 9$.
સૂત્ર $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{s(s-a)}{\Delta} : \frac{s(s-b)}{\Delta} : \frac{s(s-c)}{\Delta} = 3 : 7 : 9$.
$\frac{\Delta}{s}$ વડે ગુણતા,$(s-a) : (s-b) : (s-c) = 3 : 7 : 9$ મળે.
ધારો કે $s-a = 3k$,$s-b = 7k$,અને $s-c = 9k$.
સરવાળો કરતા,$3s - (a+b+c) = 19k$. $a+b+c = 2s$ હોવાથી,$3s - 2s = s = 19k$.
હવે,$a = s - 3k = 19k - 3k = 16k$.
$b = s - 7k = 19k - 7k = 12k$.
$c = s - 9k = 19k - 9k = 10k$.
આમ,$a : b : c = 16k : 12k : 10k = 16 : 12 : 10 = 8 : 6 : 5$.

(C) આપેલ છે કે,$\triangle ABC$ માં,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
સૂત્ર $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\Delta}{s-a} = 2 \frac{\Delta}{s-b} = 3 \frac{\Delta}{s-c} = k$ (ધારો).
તેથી,$s-a = \frac{1}{k}$,$s-b = \frac{2}{k}$,અને $s-c = \frac{3}{k}$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(s-a) + (s-c) = \frac{1}{k} + \frac{3}{k} = \frac{4}{k}$.
કારણ કે $s-b = \frac{2}{k}$,તેથી $\frac{4}{k} = 2(s-b)$.
આમ,$2s - a - c = 2s - 2b$,જેનું સાદું રૂપ $a+c = 2b$ થાય છે.

(A) $\triangle ABC$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$,$\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$,અને $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left(\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}\right) \tan \frac{C}{2} = \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}$
$= \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} + \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$
$= \frac{s-b}{s} + \frac{s-a}{s}$
$= \frac{2s - a - b}{s}$
કારણ કે $2s = a + b + c$,તેથી $2s - a - b = c$ અને $s = \frac{a+b+c}{2}$.
$= \frac{c}{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)} = \frac{2c}{a+b+c}$.

(A) આપેલ છે: $(a-b)(s-c)=(b-c)(s-a)$
$a = (s-b) + (s-c)$,$b = (s-a) + (s-c)$,અને $c = (s-a) + (s-b)$ હોવાથી,$(a-b) = (s-b) - (s-a)$ અને $(b-c) = (s-c) - (s-b)$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$((s-b)-(s-a))(s-c) = ((s-c)-(s-b))(s-a)$
$(s-b)(s-c) - (s-a)(s-c) = (s-c)(s-a) - (s-b)(s-a)$
પદોને ગોઠવતા:
$2(s-a)(s-c) = (s-b)(s-c) + (s-b)(s-a)$
બંને બાજુ $(s-a)(s-b)(s-c)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{s-b} = \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-c}$
બંને બાજુ $\Delta$ (ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ) વડે ગુણતા:
$\frac{2\Delta}{s-b} = \frac{\Delta}{s-a} + \frac{\Delta}{s-c}$
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ હોવાથી:
$2r_2 = r_1 + r_3$
આમ,$r_1, r_2, r_3$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(A) આપેલ છે $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
સૂત્ર $\cos A = \frac{1-\tan^2 \frac{A}{2}}{1+\tan^2 \frac{A}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{1 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \frac{1 - 1/2}{1 + 1/2} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
$\frac{1}{3} = \frac{5^2 + 6^2 - a^2}{2(5)(6)}$.
$\frac{1}{3} = \frac{25 + 36 - a^2}{60}$.
$20 = 61 - a^2$.
$a^2 = 41$.
$a = \sqrt{41}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ક્ષેત્રફળ $R = \frac{1}{2}ab \sin C$,તેથી $2R = ab \sin C$,જેનો અર્થ છે કે $4R^2 = a^2b^2 \sin^2 C$.
પ્રથમ પદમાં આ કિંમત મૂકતા: $\sqrt{a^2b^2 - 4R^2} = \sqrt{a^2b^2 - a^2b^2 \sin^2 C} = \sqrt{a^2b^2(1 - \sin^2 C)} = \sqrt{a^2b^2 \cos^2 C} = ab \cos C$.
તે જ રીતે,$\sqrt{b^2c^2 - 4R^2} = bc \cos A$ અને $\sqrt{c^2a^2 - 4R^2} = ca \cos B$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$,તેથી $ab \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2}$.
આમ,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે: $\frac{a^2+b^2-c^2}{2} + \frac{b^2+c^2-a^2}{2} + \frac{c^2+a^2-b^2}{2} = \frac{a^2+b^2+c^2}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $2 \Delta^2 = \frac{a^2 b^2 c^2}{a^2+b^2+c^2}$.
સંબંધ $\Delta = \frac{abc}{4R}$ નો ઉપયોગ કરતા,$a^2 b^2 c^2 = 16 R^2 \Delta^2$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2 \Delta^2 = \frac{16 R^2 \Delta^2}{a^2+b^2+c^2}$.
$2 \Delta^2$ વડે ભાગતા,$a^2+b^2+c^2 = 8 R^2$ મળે.
$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$ મૂકતા,$4R^2(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C) = 8R^2$ મળે.
તેથી,$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2$.
નિત્યસમ $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2 + 2 \cos A \cos B \cos C$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 + 2 \cos A \cos B \cos C = 2$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \cos A \cos B \cos C = 0$,તેથી $\cos A = 0$ અથવા $\cos B = 0$ અથવા $\cos C = 0$.
આમ,એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 - 2ab + b^2) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + 2ab + b^2) \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2)(\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) + 2ab(\sin^2 \frac{C}{2} - \cos^2 \frac{C}{2})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2} = 1$ અને $\cos C = \cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2}$,તેથી:
$= (a^2 + b^2)(1) - 2ab(\cos C)$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$:
$= a^2 + b^2 - 2ab \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right)$
$= a^2 + b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)$
$= c^2$

(B) ધારો કે $\triangle ABC$ એક ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle A: \angle B: \angle C = 1: 2: 3$ છે.
ગુણોત્તર અચળાંક $x$ લેતા,$\angle A = x, \angle B = 2x, \angle C = 3x$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$x + 2x + 3x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$.
તેથી,$\angle A = 30^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}, \angle C = 90^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$:
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$
$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$
$1/2$ વડે ગુણતા,આપણને $a: b: c = 1: \sqrt{3}: 2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે,$s(s-a) = (s-b)(s-c)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$ અને $\cos \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}$.
બંનેનો વર્ગ કરતા,$\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ અને $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ મળે.
કારણ કે $s(s-a) = (s-b)(s-c)$,તેથી $\sin^2 \frac{A}{2} = \cos^2 \frac{A}{2}$ થાય.
$\cos^2 \frac{A}{2}$ વડે ભાગતા,$\tan^2 \frac{A}{2} = 1$ મળે.
$\frac{A}{2}$ એ ત્રિકોણનો ખૂણો હોવાથી,$\frac{A}{2} = \frac{\pi}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $A = \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં,$\tan(A/2)$,$\tan(B/2)$ અને $\tan(C/2)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$2 \tan(B/2) = \tan(A/2) + \tan(C/2)$.
ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin((B-A)/2)}{\cos(A/2)} = \frac{\sin((C-B)/2)}{\cos(C/2)}$
આને ઉકેલતા આપણને મળે છે:
$\cos A - \cos B = \cos B - \cos C$
$\cos A + \cos C = 2\cos B$
આમ,$\cos A$,$\cos B$ અને $\cos C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(A) $\triangle ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle B = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 60^{\circ}) = 45^{\circ}$.
$\triangle BAD$ અને $\triangle BCD$ માટે શિરોબિંદુ $B$ થી પાયા $AC$ પરનો વેધ સમાન હોવાથી,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમના પાયાના ગુણોત્તર જેટલો થાય: $\frac{\text{Area}(\triangle BAD)}{\text{Area}(\triangle BCD)} = \frac{AD}{CD} = \sqrt{3}$.
ધારો કે $\angle ABD = \alpha$,તો $\angle DBC = 45^{\circ} - \alpha$.
$\triangle BAD$ અને $\triangle BCD$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{AD}{\sin \alpha} = \frac{BD}{\sin 75^{\circ}}$ અને $\frac{CD}{\sin(45^{\circ} - \alpha)} = \frac{BD}{\sin 60^{\circ}}$.
આ સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા $\frac{AD}{CD} = \frac{\sin \alpha}{\sin(45^{\circ} - \alpha)} \cdot \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 75^{\circ}} = \sqrt{3}$.
$\frac{\sin \alpha}{\sin(45^{\circ} - \alpha)} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin 75^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $\cot \alpha = \sqrt{3}$ મળે,તેથી $\alpha = 30^{\circ}$.

(B) $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a \alpha = \frac{1}{2} b \beta = \frac{1}{2} c \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\alpha = \frac{2\Delta}{a}$,$\beta = \frac{2\Delta}{b}$,અને $\gamma = \frac{2\Delta}{c}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\alpha^{-2} + \beta^{-2} + \gamma^{-2} = \frac{a^2}{4\Delta^2} + \frac{b^2}{4\Delta^2} + \frac{c^2}{4\Delta^2} = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta^2}$.
નિત્યસમ $\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $b^2+c^2-a^2 = 4\Delta \cot A$ મળે છે.
$A, B, C$ માટે આનો સરવાળો કરતા:
$(b^2+c^2-a^2) + (c^2+a^2-b^2) + (a^2+b^2-c^2) = a^2+b^2+c^2 = 4\Delta(\cot A + \cot B + \cot C)$.
તેથી,$\frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta^2} = \frac{4\Delta(\cot A + \cot B + \cot C)}{4\Delta^2} = \frac{1}{\Delta}(\cot A + \cot B + \cot C)$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
વળી,$\cot \left(\frac{B+C}{2}\right) = \tan \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$(r_2 + r_3) \cot \left(\frac{B+C}{2}\right) = \left( \frac{\Delta}{s-b} + \frac{\Delta}{s-c} \right) \tan \left(\frac{A}{2}\right)$
$= \Delta \left( \frac{s-c+s-b}{(s-b)(s-c)} \right) \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$
$= \Delta \left( \frac{a}{(s-b)(s-c)} \right) \frac{\sqrt{(s-b)(s-c)}}{\sqrt{s(s-a)}}$
$= \frac{\Delta \cdot a}{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$
કારણ કે $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ:
$= \frac{\Delta \cdot a}{\Delta} = a$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે,$\angle A=75^{\circ}, \angle B=45^{\circ}$ અને $a=2(\sqrt{3}+1)$.
$\triangle AOC$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{x}{y}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{x}{y}$ $\Rightarrow x = \sqrt{3}y$.
હવે,$x+y = 2(\sqrt{3}+1)$.
$x = \sqrt{3}y$ મૂકતા,$\sqrt{3}y + y = 2(\sqrt{3}+1)$ $\Rightarrow y(\sqrt{3}+1) = 2(\sqrt{3}+1)$ $\Rightarrow y = 2$.
તેથી,$x = 2\sqrt{3}$.
હવે,$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \triangle AOB$ નું ક્ષેત્રફળ $+ \triangle AOC$ નું ક્ષેત્રફળ.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times x \times x + \frac{1}{2} \times x \times y = \frac{1}{2}x(x+y)$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (2\sqrt{3}) \times (2\sqrt{3} + 2) = \sqrt{3} \times 2(\sqrt{3}+1) = 2(3 + \sqrt{3}) = 6 + 2\sqrt{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ છે,$3a = b + c$ ... $(i)$
ધારો કે $s$ એ $\triangle ABC$ ની અર્ધ-પરિમિતિ છે,તેથી $s = \frac{a + b + c}{2}$.
$(i)$ પરથી કિંમત મૂકતા,$s = \frac{a + 3a}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
તેથી,$\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
$s = 2a$ મૂકતા,આપણને $\frac{2a}{2a - a} = \frac{2a}{a} = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = b^2-(c-a)^2$.
$x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta = (b-c+a)(b+c-a)$.
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$b-c+a = 2s-2c$ અને $b+c-a = 2s-2a$ થાય.
તેથી,$\Delta = (2s-2c)(2s-2a) = 4(s-a)(s-c)$.
હેરોનના સૂત્ર મુજબ,$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
બંને પદોને સરખાવતા: $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 4(s-a)(s-c)$.
બંને બાજુ $\sqrt{(s-a)(s-c)}$ વડે ભાગતા,$\sqrt{s(s-b)} = 4\sqrt{(s-a)(s-c)}$.
તેથી,$\tan(\frac{B}{2}) = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}} = \frac{1}{4}$.
દ્વિગુણિત ખૂણાના સૂત્ર $\tan B = \frac{2\tan(B/2)}{1-\tan^2(B/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan B = \frac{2(1/4)}{1-(1/4)^2} = \frac{1/2}{1-1/16} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{8}{15}$.

(D) ત્રિકોણ $ABC$ માં આપેલ છે:
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a} = 36, r_2 = \frac{\Delta}{s-b} = 18, r_3 = \frac{\Delta}{s-c} = 12$
$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{36} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} = \frac{1+2+3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
કારણ કે $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{s}{\Delta}$,તેથી $\frac{s}{\Delta} = \frac{1}{6} \Rightarrow \Delta = 6s$
$r_1 = \frac{6s}{s-a} = 36$ $\Rightarrow 6s = 36s - 36a$ $\Rightarrow 36a = 30s$ $\Rightarrow a = \frac{5s}{6}$
$r_2 = \frac{6s}{s-b} = 18$ $\Rightarrow 6s = 18s - 18b$ $\Rightarrow 18b = 12s$ $\Rightarrow b = \frac{2s}{3}$
$r_3 = \frac{6s}{s-c} = 12$ $\Rightarrow 6s = 12s - 12c$ $\Rightarrow 12c = 6s$ $\Rightarrow c = \frac{s}{2}$
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) = (6s)^2 = 36s^2$
$s(s - \frac{5s}{6})(s - \frac{2s}{3})(s - \frac{s}{2}) = 36s^2$
$s(\frac{s}{6})(\frac{s}{3})(\frac{s}{2}) = 36s^2$
$\frac{s^4}{36} = 36s^2$ $\Rightarrow s^2 = 36^2$ $\Rightarrow s = 36$
$a = \frac{5 \times 36}{6} = 30$
$b = \frac{2 \times 36}{3} = 24$
$a+b = 30+24 = 54$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$,જ્યાં $s = \frac{a+b+c}{2}$ અને $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \frac{s(s-a) + s(s-b) + s(s-c)}{\Delta} = \frac{s(3s - (a+b+c))}{\Delta} = \frac{s(3s - 2s)}{\Delta} = \frac{s^2}{\Delta} = \frac{(a+b+c)^2}{4\Delta}$.
વળી,$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$ થાય.
$a=3, b=4, c=6$ મૂકતા:
ગુણોત્તર $= \frac{(3+4+6)^2}{3^2+4^2+6^2} = \frac{13^2}{9+16+36} = \frac{169}{61}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$ અને $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \left( \frac{s(s-c)}{ab} \right) + c \left( \frac{s(s-a)}{bc} \right) = \frac{3b}{2}$
$\frac{s(s-c)}{b} + \frac{s(s-a)}{b} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s}{b} (s - c + s - a) = \frac{3b}{2}$
$2s = a + b + c$ હોવાથી,$2s - a - c = b$ મળે:
$\frac{s}{b} (b) = \frac{3b}{2} \Rightarrow s = \frac{3b}{2}$
$\frac{a + b + c}{2} = \frac{3b}{2} \Rightarrow a + b + c = 3b$
$a + c = 2b$

(D) ધારો કે $\frac{s-a}{4} = \frac{s-b}{5} = \frac{s-c}{6} = k$.
તેથી $s-a = 4k$,$s-b = 5k$,અને $s-c = 6k$.
આનો સરવાળો કરતા $3s - (a+b+c) = 15k$ મળે. $a+b+c = 2s$ હોવાથી,$3s - 2s = 15k$,એટલે કે $s = 15k$.
તેથી $a = s - 4k = 11k$,$b = s - 5k = 10k$,અને $c = s - 6k = 9k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$.
તેથી,$\sum \sin^2\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{(s-b)(s-c)}{bc} + \frac{(s-c)(s-a)}{ca} + \frac{(s-a)(s-b)}{ab}$.
કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{(5k)(6k)}{(10k)(9k)} + \frac{(6k)(4k)}{(9k)(11k)} + \frac{(4k)(5k)}{(11k)(10k)} = \frac{30}{90} + \frac{24}{99} + \frac{20}{110} = \frac{1}{3} + \frac{8}{33} + \frac{2}{11}$.
$= \frac{11 + 8 + 6}{33} = \frac{25}{33}$.

(A) આપેલ છે કે,$\frac{s-a}{11}=\frac{s-b}{12}=\frac{s-c}{13}=k$.
$s-a=11k$,$s-b=12k$,$s-c=13k$.
આનો સરવાળો કરતા,$3s-(a+b+c) = 36k$.
$a+b+c=2s$ હોવાથી,$3s-2s=36k$,તેથી $s=36k$.
સૂત્ર $\tan^2\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}$ અને $\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\tan^2\left(\frac{A}{2}\right)+\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{(12k)(13k)}{(36k)(11k)} + \frac{(11k)(12k)}{(36k)(13k)}$.
$= \frac{12 \times 13}{36 \times 11} + \frac{11 \times 12}{36 \times 13} = \frac{1}{3} \left( \frac{13}{11} + \frac{11}{13} \right)$.
$= \frac{1}{3} \left( \frac{169+121}{143} \right) = \frac{1}{3} \times \frac{290}{143} = \frac{290}{429}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે અને $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
આપેલ છે કે $r_1: r_2: r_3 = 1: 2: 3$,ધારો કે $r_1 = x, r_2 = 2x, r_3 = 3x$.
તેથી $s-a = \frac{\Delta}{x}$,$s-b = \frac{\Delta}{2x}$,અને $s-c = \frac{\Delta}{3x}$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(s-a) + (s-b) + (s-c) = \frac{\Delta}{x} + \frac{\Delta}{2x} + \frac{\Delta}{3x}$
$3s - (a+b+c) = \Delta \left( \frac{6+3+2}{6x} \right)$
કારણ કે $a+b+c = 2s$,તેથી $3s - 2s = \frac{11\Delta}{6x}$,એટલે કે $s = \frac{11\Delta}{6x}$.
હવે,$a = s - (s-a) = \frac{11\Delta}{6x} - \frac{\Delta}{x} = \frac{5\Delta}{6x}$.
$b = s - (s-b) = \frac{11\Delta}{6x} - \frac{\Delta}{2x} = \frac{8\Delta}{6x}$.
$c = s - (s-c) = \frac{11\Delta}{6x} - \frac{\Delta}{3x} = \frac{9\Delta}{6x}$.
આમ,$a: b: c = 5: 8: 9$.

(B) ટેન્જન્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan(\frac{A-B}{2})}{\tan(\frac{A+B}{2})}$.
આપેલ છે કે $a = 2b$,તેથી $\frac{2b-b}{2b+b} = \frac{b}{3b} = \frac{1}{3}$.
વળી,$|A-B| = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\frac{A-B}{2} = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$\frac{1}{3} = \frac{\tan(\pi/6)}{\tan((A+B)/2)} = \frac{1/\sqrt{3}}{\tan((A+B)/2)}$.
આથી $\tan(\frac{A+B}{2}) = \sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $A+B = \frac{2\pi}{3}$.
કારણ કે $A+B+C = \pi$,તેથી $C = \pi - (A+B) = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

(A) નેપિયરના સામ્યનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\tan \left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot \left(\frac{C}{2}\right)$ છે.
આપેલ છે કે $\tan \left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{3} \tan \left(\frac{A+B}{2}\right)$.
$A+B+C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$\frac{A+B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}$,તેથી $\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot \left(\frac{C}{2}\right)$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{a-b}{a+b} \cot \left(\frac{C}{2}\right) = \frac{1}{3} \cot \left(\frac{C}{2}\right)$.
$\cot \left(\frac{C}{2}\right) \neq 0$ ધારતા,આપણને $\frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{3}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $3(a-b) = a+b$,જેનું સાદું રૂપ $3a - 3b = a + b$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા $2a = 4b$,અથવા $\frac{a}{b} = \frac{4}{2} = 2$ મળે છે.
આમ,$a : b = 2 : 1$.

(B) આપેલ છે કે $r_1 = 2r_2 = 3r_3 = \lambda$ (ધારો).
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
તેથી,$s-a = \frac{\Delta}{\lambda}$,$s-b = \frac{2\Delta}{\lambda}$,અને $s-c = \frac{3\Delta}{\lambda}$.
સરવાળો કરતા,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = \frac{6\Delta}{\lambda} \implies 3s - (a+b+c) = \frac{6\Delta}{\lambda}$.
$a+b+c = 2s$ હોવાથી,$3s - 2s = s = \frac{6\Delta}{\lambda}$.
આથી,$s-a = \frac{s}{6}$,$s-b = \frac{s}{3}$,અને $s-c = \frac{s}{2}$.
બાજુઓ માટે: $a = \frac{5s}{6}$,$b = \frac{2s}{3}$,$c = \frac{s}{2}$.
પરિમિતિ $P = a+b+c = 2s$.
વળી,$b = \frac{2s}{3} \implies 3b = 2s = P$. તેથી,પરિમિતિ $3b$ છે.

(A) ધારો કે બે બાજુઓ $a$ અને $b$ છે. આપણને $a + b = x$ અને $ab = y$ આપેલ છે.
શરત $x^2 - c^2 = y$ માં $x = a + b$ મૂકતા:
$(a + b)^2 - c^2 = y$
$a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = y$
$ab = y$ હોવાથી,$a^2 + b^2 + 2y - c^2 = y$,જેનું સાદું રૂપ $a^2 + b^2 - c^2 = -y$ થાય છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.
$a^2 + b^2 - c^2 = 2ab \cos C$ ને $a^2 + b^2 - c^2 = -y$ અને $ab = y$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2y \cos C = -y$ મળે છે,તેથી $\cos C = -\frac{1}{2}$.
આમ,$C = 120^\circ$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{c}{2 \sin C}$ દ્વારા મળે છે.
$R = \frac{c}{2 \sin 120^\circ} = \frac{c}{2 (\sqrt{3}/2)} = \frac{c}{\sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે $r_1 = 2r_2 = 3r_3 = k$.
તેથી $r_1 = k$,$r_2 = k/2$,અને $r_3 = k/3$.
બહિઃત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ છે.
તેથી,$s-a = \frac{\Delta}{k}$,$s-b = \frac{2\Delta}{k}$,અને $s-c = \frac{3\Delta}{k}$.
સરવાળો કરતા,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = s$.
તેથી,$s = \frac{\Delta}{k} (1 + 2 + 3) = \frac{6\Delta}{k}$.
હવે,$a = s - (s-a) = \frac{6\Delta}{k} - \frac{\Delta}{k} = \frac{5\Delta}{k}$.
અને $b = s - (s-b) = \frac{6\Delta}{k} - \frac{2\Delta}{k} = \frac{4\Delta}{k}$.
તેથી,$a : b = \frac{5\Delta}{k} : \frac{4\Delta}{k} = 5 : 4$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમાં,ક્ષેત્રફળ $\Delta = rs = \frac{abc}{4R}$ થાય છે.
વળી,પદ $\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}$ ને $\frac{a+b+c}{abc} = \frac{2s}{abc}$ તરીકે લખી શકાય છે.
ક્ષેત્રફળના સૂત્ર પરથી,$abc = 4R\Delta = 4R(rs) = 4Rrs$ મળે છે.
આ કિંમત પદમાં મૂકતા,આપણને $\frac{2s}{4Rrs} = \frac{1}{2Rr}$ મળે છે.
અહીં $r=3$ અને $R=5$ આપેલ હોવાથી,કિંમત $\frac{1}{2 \times 5 \times 3} = \frac{1}{30}$ થાય છે.

(C) ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O$ છે અને અંતઃકેન્દ્ર $I$ છે. $BC$ બાજુના સંદર્ભમાં $O$ અને $I$ ના યામોનું વિશ્લેષણ કરી શકાય છે. $BC$ થી $O$ નું અંતર $R \cos A$ છે અને $BC$ થી $I$ નું અંતર $r$ છે. $OI$ એ $BC$ ને સમાંતર હોવાથી,$BC$ થી તેમના અંતર સમાન હોવા જોઈએ,તેથી $R \cos A = r$.
નિત્યસમ $r = 4R \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos A = 4 \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$ મળે છે.
$\cos A = 1 - 2 \sin^2(A/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 - 2 \sin^2(A/2) = 4 \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$ મળે છે.
વળી,$\cos B + \cos C = 2 \cos((B+C)/2) \cos((B-C)/2) = 2 \sin(A/2) \cos((B-C)/2)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$OI \parallel BC$ માટે $\cos B + \cos C = 1$ થાય છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણની બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $r_1 : r_2 = 3 : 4$,તેથી $\frac{s-b}{s-a} = \frac{3}{4}$,જેનો અર્થ છે $s = 4b - 3a$.
આપેલ છે કે $r_2 : r_3 = 2 : 3$,તેથી $\frac{s-c}{s-b} = \frac{2}{3}$,જેનો અર્થ છે $s = 3c - 2b$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $4b - 3a = 3c - 2b \implies 2b = a + c$.
આ દર્શાવે છે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
$r_1 : r_2 : r_3 = 3 : 4 : 6$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $a : b : c = 5 : 6 : 7$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $(r_2-r_1)(r_3-r_1)=2 r_2 r_3$.
$r_2 r_3$ વડે ભાગતા,આપણને $(1-\frac{r_1}{r_2})(1-\frac{r_1}{r_3})=2$ મળે છે.
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1-\frac{s-b}{s-a})(1-\frac{s-c}{s-a})=2$ મળે.
આનું સાદુરૂપ $(\frac{s-a-s+b}{s-a})(\frac{s-a-s+c}{s-a})=2$ થાય,જે $(b-a)(c-a)=2(s-a)^2$ છે.
$2(s-a) = b+c-a$ હોવાથી,$(b-a)(c-a) = \frac{1}{2}(b+c-a)^2$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા $b^2+c^2-a^2=0$ મળે,તેથી $a^2=b^2+c^2$,એટલે કે $\angle A=90^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2(r+R) = 2r+2R = (b+c-a) + a = b+c$.
$b=2R \sin B$ અને $c=2R \sin C$ હોવાથી,$b+c = 2R(\sin B + \sin C) = 2R(2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2})$.
$A=90^{\circ}$ હોવાથી,$B+C=90^{\circ}$,તેથી $\sin \frac{B+C}{2} = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$2(r+R) = 4R(\frac{1}{\sqrt{2}}) \cos \frac{B-C}{2} = 2 \sqrt{2} R \cos \frac{B-C}{2}$.

(C) $\triangle ABC$ માં,$A+B+C=\pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ અને $r_2 = 4R \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$r_1+r_2 = 4R \cos \frac{C}{2} [\sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} + \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}]$.
નિત્યસમ $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $r_1+r_2 = 4R \cos \frac{C}{2} \sin(\frac{A+B}{2})$ મળે છે.
કારણ કે $A+B = \pi - C$,તેથી $\sin(\frac{A+B}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \cos \frac{C}{2}$.
આમ,$r_1+r_2 = 4R \cos^2 \frac{C}{2}$.
હવે,$(r_1+r_2) \operatorname{cosec}^2 \frac{C}{2} = \frac{4R \cos^2 \frac{C}{2}}{\sin^2 \frac{C}{2}} = 4R \cot^2 \frac{C}{2}$.