Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Gujarati

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = \sqrt{3}-2$ અને $b = \sqrt{3}+2$ છે,અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $C = 60^{\circ}$ છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,ત્રીજી બાજુ $c$ નીચે મુજબ મળે:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$
$c^2 = (\sqrt{3}-2)^2 + (\sqrt{3}+2)^2 - 2(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2) \cos(60^{\circ})$
$c^2 = (3 + 4 - 4\sqrt{3}) + (3 + 4 + 4\sqrt{3}) - 2(3 - 4) \times \frac{1}{2}$
$c^2 = 7 - 4\sqrt{3} + 7 + 4\sqrt{3} - 2(-1) \times \frac{1}{2}$
$c^2 = 14 + 1 = 15$
$c = \sqrt{15}$ એકમ.

(A) આપેલ સમીકરણ: $a^4+b^4+c^4-2a^2c^2-2c^2b^2=0$.
પદોને ગોઠવતા: $(a^2+b^2-c^2)^2 = 2a^2b^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $a^2+b^2-c^2 = \pm \sqrt{2}ab$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \pm \frac{\sqrt{2}ab}{2ab} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$C = 45^{\circ}$ અથવા $C = 135^{\circ}$.
વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $135^{\circ}$ છે.

(A) નેપિયરના સાદ્રશ્યનો ઉપયોગ કરતા,$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$.
અહીં $a=5, b=4$ હોવાથી,$\frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{9}$.
$\cos(A-B) = 2\cos^2\left(\frac{A-B}{2}\right) - 1 = \frac{31}{32}$ પરથી $\cos^2\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{63}{64}$ મળે.
તેથી,$\tan^2\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{63}$,એટલે કે $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{3\sqrt{7}}$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા,$\frac{1}{3\sqrt{7}} = \frac{1}{9} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$,જેનો અર્થ છે કે $\cot\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
હવે $\cos C = \frac{1-\tan^2(C/2)}{1+\tan^2(C/2)} = \frac{1-7/9}{1+7/9} = \frac{1}{8}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 25 + 16 - 2(5)(4)(\frac{1}{8}) = 36$.
તેથી,$c = 6$.

(C) આપેલ છે કે $\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{c+a}{2a}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\cos^2 \frac{B}{2} = \frac{c+a}{2a}$.
અર્ધ-ખૂણાના સૂત્ર $\cos^2 \frac{B}{2} = \frac{s(s-b)}{ac}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s = \frac{a+b+c}{2}$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
તેથી,$\frac{s(s-b)}{ac} = \frac{c+a}{2a}$.
બંને બાજુ $2ac$ વડે ગુણતા,$2s(s-b) = c(c+a)$.
$2s = a+b+c$ અને $s-b = \frac{a+c-b}{2}$ મુકતા:
$(a+b+c) \times \frac{a+c-b}{2} = c(c+a)$.
$(a+c+b)(a+c-b) = 2c(c+a)$.
$(a+c)^2 - b^2 = 2c^2 + 2ac$.
$a^2 + c^2 + 2ac - b^2 = 2c^2 + 2ac$.
$a^2 - b^2 = c^2$.
તેથી,$a^2 = b^2 + c^2$.

(C) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$ મળે છે. આપેલ સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2 \cos A}{2R \sin A} + \frac{\cos B}{2R \sin B} + \frac{2 \cos C}{2R \sin C} = \frac{2R \sin A}{(2R \sin B)(2R \sin C)} + \frac{2R \sin B}{(2R \sin C)(2R \sin A)}$
$\frac{1}{R} (\cot A + \frac{1}{2} \cot B + \cot C) = \frac{1}{2R} (\frac{\sin A}{\sin B \sin C} + \frac{\sin B}{\sin C \sin A})$
$2R$ વડે ગુણતા:
$2 \cot A + \cot B + 2 \cot C = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin A \sin B \sin C}$
$\sin^2 A + \sin^2 B = \sin^2(A+B) = \sin^2 C$ નો ઉપયોગ કરતા,જમણી બાજુ $\frac{\sin^2 C}{\sin A \sin B \sin C} = \frac{\sin C}{\sin A \sin B} = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} = \cot B + \cot A$ બને છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 \cot A + \cot B + 2 \cot C = \cot B + \cot A$
$\cot A + 2 \cot C = 0$.
ત્રિકોણના ગુણધર્મો મુજબ,આનાથી $\angle A = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(a+b+c)(a+b-c) = 3ab$ છે.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$((a+b)+c)((a+b)-c) = 3ab$ મળે.
આથી $(a+b)^2 - c^2 = 3ab$ થાય.
$(a+b)^2$ નું વિસ્તરણ કરતા,$a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = 3ab$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$a^2 + b^2 - c^2 = ab$ મળે.
બંને બાજુ $2ab$ વડે ભાગતા,$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$ મળે.
કોસાઇન નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
તેથી,$\cos C = \frac{1}{2}$.
આમ,$\angle C = \frac{\pi}{3}$ અથવા $60^\circ$ થાય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$.
તેથી,$p_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$p_2 = \frac{2\Delta}{b}$,અને $p_3 = \frac{2\Delta}{c}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos A}{p_1} + \frac{\cos B}{p_2} + \frac{\cos C}{p_3} = \frac{a \cos A}{2\Delta} + \frac{b \cos B}{2\Delta} + \frac{c \cos C}{2\Delta}$.
સાઇન નિયમ $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2R \sin A \cos A + 2R \sin B \cos B + 2R \sin C \cos C}{2\Delta}$
$= \frac{R(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}{2\Delta}$.
કોઈપણ ત્રિકોણમાં,$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$.
વળી,$\Delta = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$,તેથી $\sin A \sin B \sin C = \frac{\Delta}{2R^2}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$= \frac{R(4 \cdot \frac{\Delta}{2R^2})}{2\Delta} = \frac{2R \Delta / R^2}{2\Delta} = \frac{1}{R}$.

(C) ધારો કે $\frac{b+c}{11} = \frac{c+a}{12} = \frac{a+b}{13} = k$.
તેથી $b+c = 11k$,$c+a = 12k$,અને $a+b = 13k$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2(a+b+c) = 36k$,તેથી $a+b+c = 18k$.
સરવાળામાંથી વ્યક્તિગત સમીકરણો બાદ કરતા:
$a = (a+b+c) - (b+c) = 18k - 11k = 7k$.
$b = (a+b+c) - (c+a) = 18k - 12k = 6k$.
$c = (a+b+c) - (a+b) = 18k - 13k = 5k$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos B = \frac{(7k)^2 + (5k)^2 - (6k)^2}{2(7k)(5k)} = \frac{49k^2 + 25k^2 - 36k^2}{70k^2} = \frac{38k^2}{70k^2} = \frac{19}{35}$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a=3$,$b=5$,અને $c=7$ છે.
સૌથી મોટી બાજુ $c=7$ હોવાથી,સૌથી મોટો ખૂણો $\angle C$ થશે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 3 \times 5} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\angle C = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

(C) કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે બાજુ $a$ શોધીએ છીએ:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$a^2 = 3^2 + 8^2 - 2(3)(8) \cos 60^{\circ}$
$a^2 = 9 + 64 - 48 \times \frac{1}{2}$
$a^2 = 73 - 24 = 49$
$a = 7$
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને,પરિત્રિજ્યા $R$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R = \frac{a}{2 \sin A}$
$R = \frac{7}{2 \sin 60^{\circ}}$
$R = \frac{7}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}$
$R = \frac{7}{\sqrt{3}}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $a \cdot \cos^2 \frac{C}{2} + c \cdot \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \left( \frac{1 + \cos C}{2} \right) + c \left( \frac{1 + \cos A}{2} \right) = \frac{3b}{2}$
$2$ વડે ગુણતા:
$a(1 + \cos C) + c(1 + \cos A) = 3b$
$a + a \cos C + c + c \cos A = 3b$
પ્રક્ષેપ સૂત્ર $b = a \cos C + c \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a + c + b = 3b$
$a + c = 2b$
આ શરત સૂચવે છે કે $a, b, c$ એ $A$.$P$. માં છે.

(A) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ac}$ અને $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$c(a \cos B - b \cos A) = c \left( a \left( \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ac} \right) - b \left( \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \right) \right)$
$= c \left( \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2c} - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c} \right)$
$= \frac{c^2 + a^2 - b^2 - b^2 - c^2 + a^2}{2}$
$= \frac{2a^2 - 2b^2}{2} = a^2 - b^2$

(A) કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$,અને $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc} + \frac{c^2+a^2-b^2}{2abc} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$= \frac{b^2+c^2-a^2+c^2+a^2-b^2+a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$= \frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$
અહીં $a=2, b=3, c=5$ આપેલ છે,તેથી $\frac{2^2+3^2+5^2}{2(2)(3)(5)} = \frac{4+9+25}{60} = \frac{38}{60} = \frac{19}{30}$.

(D) કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ અને $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ છે.
તેથી,$b^2 + c^2 - a^2 = 2bc \cos A$ અને $a^2 + c^2 - b^2 = 2ac \cos B$.
આ કિંમતોને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{c^2 - a^2 + b^2}{a^2 - b^2 + c^2} = \frac{2bc \cos A}{2ac \cos B} = \frac{b \cos A}{a \cos B}$.
સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R$,તેથી $a = 2R \sin A$ અને $b = 2R \sin B$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{(2R \sin B) \cos A}{(2R \sin A) \cos B} = \frac{\sin B \cos A}{\sin A \cos B} = \frac{\tan B}{\tan A}$.

(A) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\cos 60^{\circ} = \frac{3^{2}+c^{2}-4^{2}}{2(3)(c)}$
$\frac{1}{2} = \frac{9+c^{2}-16}{6c}$
$\frac{1}{2} = \frac{c^{2}-7}{6c}$
$3c = c^{2}-7$
$c^{2}-3c-7 = 0$

(C) આપેલ પદ $\frac{\cos A-\cos C}{a-c}+\frac{\cos B}{b}$ છે.
લસાઅ લેતા,$\frac{b(\cos A-\cos C) + (a-c)\cos B}{b(a-c)}$ મળે.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા,$\frac{b \cos A - b \cos C + a \cos B - c \cos B}{b(a-c)}$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{(a \cos B + b \cos A) - (b \cos C + c \cos B)}{b(a-c)}$ મળે.
પ્રક્ષેપણ સૂત્ર $c = a \cos B + b \cos A$ અને $a = b \cos C + c \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા,પદ $\frac{c - a}{b(a-c)}$ બને છે.
અહીં $c - a = -(a - c)$ હોવાથી,સાદું રૂપ $\frac{-(a - c)}{b(a - c)} = \frac{-1}{b}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $\cos A = \frac{\sin B}{\sin C}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,તેથી $\sin B = \frac{b}{2R}$ અને $\sin C = \frac{c}{2R}$.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\cos A = \frac{b/2R}{c/2R} = \frac{b}{c}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
બંને અભિવ્યક્તિઓને સરખાવતા: $\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{b}{c}$.
બંને બાજુ $2bc$ વડે ગુણતા: $b^2 + c^2 - a^2 = 2b^2$.
પદોને ગોઠવતા: $c^2 = a^2 + b^2$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $5x$,$12x$,અને $13x$ છે.
$5^2 + 12^2 = 13^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 5x \times 12x = 30x^2$.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $270$ છે,તેથી $30x^2 = 270$.
$x^2 = 9$,એટલે કે $x = 3$.
બાજુઓ $5(3) = 15$,$12(3) = 36$,અને $13(3) = 39$ થશે.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2b = a + c$.
ત્રિકોણ માટે અડધા ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ અને $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$\tan \frac{A}{2} \cdot \tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)} \cdot \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} = \sqrt{\frac{(s-b)^2}{s^2}} = \frac{s-b}{s}$.
કારણ કે $s = \frac{a+b+c}{2}$ અને $a+c = 2b$,તેથી $s = \frac{2b+b}{2} = \frac{3b}{2}$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,$\frac{s-b}{s} = \frac{\frac{3b}{2} - b}{\frac{3b}{2}} = \frac{\frac{b}{2}}{\frac{3b}{2}} = \frac{1}{3}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{A}{2} \cdot \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \frac{s}{s-b}$.
આપેલ છે કે $3b = a + c$,આપણે જાણીએ છીએ કે $2s = a + b + c = 3b + b = 4b$,તેથી $s = 2b$.
$s = 2b$ ને પદમાં મૂકતા,આપણને $\frac{2b}{2b - b} = \frac{2b}{b} = 2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\tan \left(\frac{A}{2}\right) = \frac{5}{6}$ અને $\tan \left(\frac{C}{2}\right) = \frac{2}{5}$.
સૂત્ર $\tan \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ અને $\tan \left(\frac{C}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\tan \left(\frac{A}{2}\right) \tan \left(\frac{C}{2}\right) = \frac{s-b}{s} = \frac{5}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$3(s-b) = s \implies 3s - 3b = s \implies 2s = 3b$.
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$a+b+c = 3b \implies a+c = 2b$.
આ દર્શાવે છે કે $a, b, c$ એ $A$.$P$. માં છે.

(C) ત્રિકોણ $ABC$ માં નેપિયરના સામ્યતા (Napier's Analogy) મુજબ:
$\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2}$
આપેલ સમીકરણ $\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = x \cot \frac{A}{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{b-c}{b+c}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) $\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \frac{s}{s-a}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ છે કે $3a = b + c$,તેથી $2s = a + b + c = a + 3a = 4a$,એટલે કે $s = 2a$.
આ કિંમત નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \frac{2a}{2a - a} = \frac{2a}{a} = 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) અડધા ખૂણાના સૂત્ર $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ છે $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{a}$,સાઈન નિયમ $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ મૂકતા.
તેથી $\frac{b+c}{a} = \frac{\sin B + \sin C}{\sin A} = \frac{2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}$.
$A+B+C = \pi$ હોવાથી,$\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$.
આમ,$\frac{b+c}{a} = \frac{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} = \frac{\cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
આને $\cot \frac{A}{2} = \frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\cos \frac{B-C}{2} = \cos \frac{A}{2}$ મળે છે.
$\frac{A}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B+C}{2}$ હોવાથી,$\cos \frac{B-C}{2} = \sin \frac{B+C}{2}$.
આ સૂચવે છે કે $\cos \frac{B-C}{2} = \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{B+C}{2}) = \cos (\frac{A}{2})$.
આનાથી $\frac{B-C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B+C}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $B = \frac{\pi}{2}$,એટલે કે ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$,$\cot \frac{B}{2} = \frac{s(s-b)}{\Delta}$,અને $\cot \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{\Delta}$.
તેમનો સરવાળો કરતા,$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \frac{s}{\Delta} [(s-a) + (s-b) + (s-c)]$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{s}{\Delta} [3s - (a+b+c)]$ થાય છે.
કારણ કે $a+b+c = 2s$,તેથી પદાવલિ $\frac{s}{\Delta} [3s - 2s] = \frac{s^2}{\Delta}$ બને છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $b \sin C(b \cos C + c \cos B) = 42$ છે.
પ્રક્ષેપના નિયમ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $a = b \cos C + c \cos B$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $b \sin C(a) = 42$ મળે છે.
આથી $ab \sin C = 42$ થાય.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} ab \sin C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં $ab \sin C = 42$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\Delta = \frac{1}{2} \times 42 = 21 \text{ ચોરસ એકમ}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2} = \sin \frac{B}{2}$.
ત્રિકોણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આ સંબંધ $a+c = 3b$ તરફ દોરી જાય છે.
પરિમિતિ $2s = a+b+c = 3b+b = 4b$ થાય છે.
તેથી,$s = 2b$.

(B) ત્રિકોણ $ABC$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $A+B+C = \pi$,તેથી $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
આમ,$\cot \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot \left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \tan \left(\frac{C}{2}\right)$.
હવે,પદાવલિ $\tan \left(\frac{C}{2}\right) \cdot \tan \left(\frac{A-B}{2}\right)$ બને છે.
નેપિયરના સામ્યતાના નિયમ મુજબ,$\tan \left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot \left(\frac{C}{2}\right)$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\tan \left(\frac{C}{2}\right) \cdot \left[ \frac{a-b}{a+b} \cot \left(\frac{C}{2}\right) \right] = \frac{a-b}{a+b} \cdot \left[ \tan \left(\frac{C}{2}\right) \cdot \cot \left(\frac{C}{2}\right) \right] = \frac{a-b}{a+b} \cdot 1 = \frac{a-b}{a+b}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(a+b) \cos C + (b+c) \cos A + (c+a) \cos B = 72$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $a \cos C + b \cos C + b \cos A + c \cos A + c \cos B + a \cos B = 72$
પદોને ગોઠવતા: $(a \cos C + c \cos A) + (b \cos A + a \cos B) + (b \cos C + c \cos B) = 72$
પ્રક્ષેપ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $b = c \cos A + a \cos C$,$c = a \cos B + b \cos A$,અને $a = b \cos C + c \cos B$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $b + c + a = 72$
$a = 18$ અને $b = 24$ આપેલ છે: $18 + 24 + c = 72$ $\Rightarrow 42 + c = 72$ $\Rightarrow c = 30$
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{72}{2} = 36$
હેરોનનું સૂત્ર વાપરતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{36(36-18)(36-24)(36-30)} = \sqrt{36 \times 18 \times 12 \times 6}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \sqrt{36 \times 1296} = 6 \times 36 = 216 \text{ ચોરસ એકમ}$

(B) ધારો કે બાજુઓ $a = 7$,$b = 4\sqrt{3}$,અને $c = \sqrt{13}$ છે.
$c$ એ સૌથી નાની બાજુ હોવાથી,સૌથી નાનો ખૂણો $C$ છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos C = \frac{7^2 + (4\sqrt{3})^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \times 7 \times 4\sqrt{3}}$.
$\cos C = \frac{49 + 48 - 13}{56\sqrt{3}} = \frac{84}{56\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$C = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

(C) $\triangle ABD$ માં,સાઈન ના નિયમ મુજબ:
$\frac{\sin(\angle BAD)}{BD} = \frac{\sin(\angle B)}{AD}$
$\Rightarrow \frac{\sin(\angle BAD)}{x} = \frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{AD} = \frac{\sqrt{3}/2}{AD}$
$\Rightarrow AD = \frac{\sqrt{3}x}{2 \sin(\angle BAD)} \quad \dots (i)$
$\triangle ADC$ માં,સાઈન ના નિયમ મુજબ:
$\frac{\sin(\angle CAD)}{DC} = \frac{\sin(\angle C)}{AD}$
$\Rightarrow \frac{\sin(\angle CAD)}{3x} = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{AD} = \frac{1/\sqrt{2}}{AD}$
$\Rightarrow AD = \frac{3x}{\sqrt{2} \sin(\angle CAD)} \quad \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{\sqrt{3}x}{2 \sin(\angle BAD)} = \frac{3x}{\sqrt{2} \sin(\angle CAD)}$
$\Rightarrow \frac{\sin(\angle BAD)}{\sin(\angle CAD)} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{1}{\sqrt{6}}$

(A) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $A = \frac{\pi}{4}$,$B = \frac{\pi}{3}$ અને $C = \pi - (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \frac{5\pi}{12}$ છે.
સૌથી નાનો ખૂણો $A = \frac{\pi}{4}$ અને સૌથી મોટો ખૂણો $C = \frac{5\pi}{12}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,બાજુઓનો ગુણોત્તર $\frac{a}{c} = \frac{\sin A}{\sin C}$ છે.
$\frac{a}{c} = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{5\pi}{12})} = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6})} = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}-1$.
તેથી,ગુણોત્તર $(\sqrt{3}-1) : 1$ છે.

(B) ધારો કે $\frac{b+c}{11}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b}{13}=k$.
$b+c=11k$ $(i)$,$c+a=12k$ $(ii)$,$a+b=13k$ $(iii)$.
$(i), (ii), (iii)$ નો સરવાળો કરતા,$2(a+b+c)=36k$,તેથી $a+b+c=18k$ $(iv)$.
$(iv)$ પરથી,$a=7k, b=6k, c=5k$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{1}{5}, \cos B = \frac{19}{35}, \cos C = \frac{5}{7}$.
તેથી,$\cos A+\cos B+\cos C = \frac{1}{5}+\frac{19}{35}+\frac{5}{7} = \frac{51}{35}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ માં,$A+B+C = \pi$,તેથી $A+C = \pi-B$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$2ac \sin \left(\frac{(A+C)-B}{2}\right) = 2ac \sin \left(\frac{(\pi-B)-B}{2}\right)$
$= 2ac \sin \left(\frac{\pi-2B}{2}\right) = 2ac \sin \left(\frac{\pi}{2}-B\right)$
$= 2ac \cos B$
કોસાઇન નિયમ મુજબ,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$2ac \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right) = a^2+c^2-b^2$.

(B) આપેલ છે કે $\angle C=90^{\circ}$,તેથી $\angle A+\angle B=90^{\circ}$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a=k \sin A$ અને $b=k \sin B$,જ્યાં $k=2R$.
આમ,$\sin A = \frac{a}{k}$ અને $\sin B = \frac{b}{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
$\angle B = 90^{\circ}-A$ હોવાથી,$\cos B = \sin A$ અને $\cos A = \sin B$.
તેથી,$\sin (A-B) = \sin A \sin A - \sin B \sin B = \sin^2 A - \sin^2 B$.
$\sin A = \frac{a}{c}$ અને $\sin B = \frac{b}{c}$ મૂકતા (કારણ કે $\sin C = \sin 90^{\circ} = 1$ અને $c^2=a^2+b^2$):
$\sin (A-B) = (\frac{a}{c})^2 - (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2-b^2}{c^2} = \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$.

(D) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$\cos 30^{\circ} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 1^2 - a^2}{2 \times \sqrt{3} \times 1}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 + 1 - a^2}{2\sqrt{3}}$
$3 = 4 - a^2$ $\Rightarrow a^2 = 1$ $\Rightarrow a = 1$
હવે,ખૂણા $B$ માટે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
$\cos B = \frac{1^2 + 1^2 - (\sqrt{3})^2}{2 \times 1 \times 1} = \frac{1+1-3}{2} = -\frac{1}{2}$
તેથી $\cos B = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,$B = 120^{\circ}$ થાય.

(C) ધારો કે $\frac{b+c}{11}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b}{13}=k$.
સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(a+b+c) = 36k \implies a+b+c = 18k$.
તેથી $a = 18k - 11k = 7k$,$b = 18k - 12k = 6k$,અને $c = 18k - 13k = 5k$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{1}{5}$,$\cos B = \frac{19}{35}$,અને $\cos C = \frac{5}{7}$.
આમ,$\cos A : \cos B : \cos C = \frac{1}{5} : \frac{19}{35} : \frac{5}{7} = 7 : 19 : 25$.

(D) આપેલ છે: $\text{Area} = 10\sqrt{3} \text{ cm}^2$,$\angle B = 60^{\circ}$,અને $a+b+c = 20 \text{ cm}$.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{Area} = \frac{1}{2}ac \sin B$.
$10\sqrt{3} = \frac{1}{2}ac \sin 60^{\circ} \Rightarrow 10\sqrt{3} = \frac{1}{2}ac \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$10\sqrt{3} = \frac{ac\sqrt{3}}{4} \Rightarrow ac = 40$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$.
$b^2 = (a+c)^2 - 2ac - 2ac \cos 60^{\circ}$.
$a+c = 20-b$ હોવાથી,$b^2 = (20-b)^2 - 2(40) - 2(40)(0.5)$.
$b^2 = 400 + b^2 - 40b - 80 - 40$.
$0 = 280 - 40b$.
$40b = 280 \Rightarrow b = 7 \text{ cm}$.
આમ,$\ell(AC) = b = 7 \text{ cm}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણ માટે અડધા ખૂણાના સૂત્રો:
$\sin^2 \frac{C}{2} = \frac{(s-a)(s-b)}{ab}$ અને $\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$.
આપેલ શરત $(s-a)(s-b) = s(s-c)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$ab \sin^2 \frac{C}{2} = ab \cos^2 \frac{C}{2}$.
બંને બાજુ $ab \cos^2 \frac{C}{2}$ વડે ભાગતા:
$\tan^2 \frac{C}{2} = 1$.
ત્રિકોણમાં $\frac{C}{2}$ લઘુકોણ હોવાથી,$\tan \frac{C}{2} = 1$ નો અર્થ છે કે $\frac{C}{2} = 45^{\circ}$.
તેથી,$C = 90^{\circ}$.
આમ,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ માં,$\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ અને $\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$.
આપેલ છે કે $\left(\tan \frac{A}{2}\right)\left(\tan \frac{B}{2}\right)=\frac{3}{4}$.
સૂત્રો મૂકતા,આપણને મળે છે $\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \times \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}} = \frac{3}{4}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા,$\sqrt{\frac{(s-c)^2}{s^2}} = \frac{3}{4}$,જે $\frac{s-c}{s} = \frac{3}{4}$ આપે છે.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે $\frac{\frac{a+b+c}{2} - c}{\frac{a+b+c}{2}} = \frac{3}{4}$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{a+b-c}{a+b+c} = \frac{3}{4}$ થાય છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $4(a+b) - 4c = 3(a+b) + 3c$ મળે છે.
તેથી,$a+b = 7c$.

(B) ધારો કે $X = (a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2 - 2ab) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + b^2 + 2ab) \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2) (\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) - 2ab (\cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2})$
$= (a^2 + b^2)(1) - 2ab \cos C$
$= a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$= c^2$ (કોસાઇનના નિયમ મુજબ).

(B) ધારો કે $\triangle PQR$ ના વેધ $h_1, h_2, h_3$ છે જે અનુક્રમે બાજુઓ $a, b, c$ ને અનુરૂપ છે.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} a h_1 = \frac{1}{2} b h_2 = \frac{1}{2} c h_3$.
આમ,$h_1 = \frac{2 \times \text{ક્ષેત્રફળ}}{a}$,$h_2 = \frac{2 \times \text{ક્ષેત્રફળ}}{b}$,અને $h_3 = \frac{2 \times \text{ક્ષેત્રફળ}}{c}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin P} = \frac{b}{\sin Q} = \frac{c}{\sin R} = 2R$.
તેથી,$a = 2R \sin P$,$b = 2R \sin Q$,અને $c = 2R \sin R$.
જેহেতু $\sin P, \sin Q, \sin R$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $a, b, c$ પણ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ હરાત્મક શ્રેણી ($H$.$P$.) માં છે.
$a, b, c$ ને $h_1, h_2, h_3$ ના સ્વરૂપમાં મૂકતા,આપણને મળે છે કે $\frac{h_1}{2 \times \text{ક્ષેત્રફળ}}, \frac{h_2}{2 \times \text{ક્ષેત્રફળ}}, \frac{h_3}{2 \times \text{ક્ષેત્રફળ}}$ હરાત્મક શ્રેણીમાં છે.
આમ,વેધ $h_1, h_2, h_3$ હરાત્મક શ્રેણી ($H$.$P$.) માં છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $4x, x$ અને $x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$4x + x + x = 180^{\circ}$,એટલે કે $6x = 180^{\circ}$,તેથી $x = 30^{\circ}$.
ખૂણાઓ $120^{\circ}, 30^{\circ}$ અને $30^{\circ}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,જ્યાં $a$ એ $120^{\circ}$ ની સામેની સૌથી મોટી બાજુ છે.
તેથી $a = k \sin 120^{\circ}$,$b = k \sin 30^{\circ}$ અને $c = k \sin 30^{\circ}$.
સૌથી મોટી બાજુ અને પરિમિતિનો ગુણોત્તર $\frac{a}{a+b+c} = \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 120^{\circ} + \sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}+2}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$.

(B) કોઈપણ $\triangle ABC$ માં,ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ દ્વારા મળે છે.
આથી,$\sin A = \frac{2\Delta}{bc} \quad (i)$.
વળી,સાઈન નિયમ મુજબ,પરિત્રિજ્યા $R = \frac{a}{2 \sin A}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin A = \frac{a}{2R} \quad (ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા,$\frac{2\Delta}{bc} = \frac{a}{2R}$ મળે.
$\Delta$ માટે ઉકેલતા,$\Delta = \frac{abc}{4R}$ મળે છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a, a+1, a+2$ છે જ્યાં $a \in \mathbb{N}$. ધારો કે આ બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ અનુક્રમે $A, B, C$ છે,જેથી $A < B < C$. આપેલ છે કે $C = 2A$.
સાઇનના નિયમ મુજબ: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C}{a+2} = k$.
તેથી,$\sin C = k(a+2)$ અને $\sin A = ka$.
$C = 2A$ હોવાથી,$\sin C = 2 \sin A \cos A$,જે સૂચવે છે કે $k(a+2) = 2(ka) \cos A$,તેથી $\cos A = \frac{a+2}{2a}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos A = \frac{(a+1)^2 + (a+2)^2 - a^2}{2(a+1)(a+2)} = \frac{a^2+6a+5}{2(a^2+3a+2)}$.
$\cos A$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{a+2}{2a} = \frac{(a+1)(a+5)}{2(a+1)(a+2)} = \frac{a+5}{2(a+2)}$.
$(a+2)^2 = a(a+5) \Rightarrow a^2+4a+4 = a^2+5a$.
$a = 4$.
તેથી બાજુઓ $4, 5, 6$ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $4x, x,$ અને $x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$4x + x + x = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $6x = 180^{\circ}$,તેથી $x = 30^{\circ}$.
ખૂણાઓ $120^{\circ}, 30^{\circ},$ અને $30^{\circ}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin 120^{\circ}} = \frac{b}{\sin 30^{\circ}} = \frac{c}{\sin 30^{\circ}} = k$.
તેથી,$a = k \sin 120^{\circ} = k \frac{\sqrt{3}}{2}$,$b = k \sin 30^{\circ} = k \frac{1}{2}$,અને $c = k \sin 30^{\circ} = k \frac{1}{2}$.
સૌથી મોટી બાજુ $a$ છે ($120^{\circ}$ ની સામેની બાજુ).
પરિમિતિ $a + b + c = k(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = k(\frac{\sqrt{3}+2}{2})$ છે.
સૌથી મોટી બાજુ અને પરિમિતિનો ગુણોત્તર $\frac{a}{a+b+c} = \frac{k \frac{\sqrt{3}}{2}}{k \frac{\sqrt{3}+2}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$ થાય.

(B) ધારો કે બાજુઓ $n, n+1, n+2$ છે. સૌથી નાની બાજુ $n$ છે અને સૌથી મોટી બાજુ $n+2$ છે. તેમની સામેના ખૂણા અનુક્રમે $A$ અને $C$ છે. આપેલ છે કે $C = 2A$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin A}{n} = \frac{\sin C}{n+2} = \frac{\sin 2A}{n+2} \Rightarrow \cos A = \frac{n+2}{2n}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{(n+1)^2 + (n+2)^2 - n^2}{2(n+1)(n+2)} = \frac{n+5}{2(n+2)}$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{n+2}{2n} = \frac{n+5}{2(n+2)}$ $\Rightarrow (n+2)^2 = n(n+5)$ $\Rightarrow n^2+4n+4 = n^2+5n$ $\Rightarrow n=4$.
તેથી બાજુઓ $4, 5, 6$ છે.

(B) $\triangle ABC$ માં,સાઈન નિયમ મુજબ,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$.
આપેલ શરત મુજબ,$a = 2b$ અને $A - B = 60^{\circ}$,તેથી $A = 60^{\circ} + B$.
સાઈન નિયમમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\sin(60^{\circ} + B)}{2b} = \frac{\sin B}{b}$
$\sin(60^{\circ} + B) = 2 \sin B$
$\sin 60^{\circ} \cos B + \cos 60^{\circ} \sin B = 2 \sin B$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B + \frac{1}{2} \sin B = 2 \sin B$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B = \frac{3}{2} \sin B$
$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$B = 30^{\circ}$.
તેથી $A = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$.
એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,ત્રિકોણ કાટકોણ છે.