Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં,$AB=BC$ અને $\frac{AX}{XB} = \frac{AB}{AX} = k$.
$AB = AX + XB$ હોવાથી,$\frac{AB}{AX} = \frac{AX+XB}{AX} = 1 + \frac{XB}{AX} = 1 + \frac{1}{k}$.
તેથી,$k = 1 + \frac{1}{k} \Rightarrow k^2 - k - 1 = 0$.
$k > 0$ હોવાથી,$k = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
તેથી $\frac{AX}{AB} = \frac{1}{k} = \frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
ધારો કે $\angle ABC = \theta$. $AB=BC$ હોવાથી,$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ}-\theta}{2} = 90^{\circ} - \frac{\theta}{2}$.
$\triangle AXC$ માં,$AC=AX$,તેથી $\angle AXC = \angle ACX = \angle BCA = 90^{\circ} - \frac{\theta}{2}$.
તેથી $\angle XAC = 180^{\circ} - 2(90^{\circ} - \frac{\theta}{2}) = \theta$.
$\angle BAC = 90^{\circ} - \frac{\theta}{2}$ હોવાથી,$\angle BAX = \angle BAC - \angle XAC = (90^{\circ} - \frac{\theta}{2}) - \theta = 90^{\circ} - \frac{3\theta}{2}$.
$\triangle BAX$ માં,સાઈન ના નિયમ મુજબ: $\frac{AX}{\sin \theta} = \frac{AB}{\sin(90^{\circ}-\frac{\theta}{2})}$.
$\frac{AX}{AB} = \frac{\sin \theta}{\cos(\theta/2)} = \frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} = 2\sin(\theta/2)$.
$\frac{AX}{AB}$ માટેની બંને અભિવ્યક્તિઓને સરખાવતા: $2\sin(\theta/2) = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \Rightarrow \sin(\theta/2) = \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \sin 18^{\circ}$.
તેથી,$\frac{\theta}{2} = 18^{\circ} \Rightarrow \theta = 36^{\circ}$.

(A) આપેલ છે કે $ABC$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં $\angle C=90^{\circ}$.
$CD \perp AB$,$DM \parallel BC$ અને $DN \parallel AC$.
$DMCN$ એક લંબચોરસ છે,તેથી $MC = DN = 4$ અને $NC = DM = 5$.
ત્રિકોણની સમરૂપતાનો ઉપયોગ કરતા,$AC = AM + MC = \frac{25}{4} + 4 = \frac{41}{4}$ અને $BC = BN + NC = \frac{16}{5} + 5 = \frac{41}{5}$.

(A) આપેલ છે કે,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં $\angle A = 90^{\circ}$.
$AC = \sqrt{5}$,$AB = \sqrt{7}$.
$\triangle ABC$ માં,$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 7 + 5 = 12$,તેથી $BC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
ધારો કે $PA = 3x$ અને $PB = 4x$. $\triangle ABP$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$PA^2 = AB^2 + PB^2 - 2(AB)(PB)\cos B$
$(3x)^2 = (\sqrt{7})^2 + (4x)^2 - 2(\sqrt{7})(4x)\cos B$
$9x^2 = 7 + 16x^2 - 8x\sqrt{7}\cos B$
$\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$ હોવાથી:
$9x^2 = 7 + 16x^2 - 8x\sqrt{7} \left(\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}\right)$
$9x^2 = 7 + 16x^2 - \frac{28x}{\sqrt{3}}$
$7x^2 - \frac{28x}{\sqrt{3}} + 7 = 0$
$\sqrt{3}x^2 - 4x + \sqrt{3} = 0$
$(x - \sqrt{3})(\sqrt{3}x - 1) = 0$
$P$ એ $BC$ પર હોવાથી,$PB < BC$,તેથી $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$PB = 4x = \frac{4}{\sqrt{3}}$.
$PC = BC - PB = 2\sqrt{3} - \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$BP:PC = \frac{4}{\sqrt{3}} : \frac{2}{\sqrt{3}} = 2:1$.

(C) ધારો કે $AD = CD = x$. તેથી $AC = 2x$ અને $AB = 2x$ (કારણ કે $AB = AC$).
$\triangle BCD$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2(BC)(CD)\cos C$
$2^2 = 2^2 + x^2 - 2(2)(x)\cos C$
$4 = 4 + x^2 - 4x\cos C \Rightarrow \cos C = \frac{x}{4}$.
$AB = AC$ હોવાથી,$\angle B = \angle C$,તેથી $\cos B = \cos C = \frac{x}{4}$.
$\triangle ABC$ માં,$\angle A = 180^\circ - 2C$. તેથી,$\cos A = \cos(180^\circ - 2C) = -\cos(2C) = -(2\cos^2 C - 1) = 1 - 2(\frac{x^2}{16}) = 1 - \frac{x^2}{8}$.
$\triangle ABC$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos A$
$2^2 = (2x)^2 + (2x)^2 - 2(2x)(2x)(1 - \frac{x^2}{8})$
$4 = 4x^2 + 4x^2 - 8x^2(1 - \frac{x^2}{8})$
$4 = 8x^2 - 8x^2 + x^4$
$x^4 = 4$ $\Rightarrow x^2 = 2$ $\Rightarrow x = \sqrt{2}$.
આમ,$AC = 2\sqrt{2}$ અને $BC = 2$.
$\cos C = \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times AC \times BC \times \sin C = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 2 \times \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{7}$.

(B) ધારો કે $BE$ અને $CF$ એ $B$ અને $C$ માંથી અનુક્રમે બાજુઓ $AC$ અને $AB$ પરના વેધ છે.
આપેલ છે કે $BE \geq AC$ અને $CF \geq AB$.
$\triangle ABE$ માં,$\sin A = \frac{BE}{AB} \implies BE = AB \sin A$.
$BE \geq AC$ હોવાથી,$AB \sin A \geq AC \dots (i)$.
$\triangle ACF$ માં,$\sin A = \frac{CF}{AC} \implies CF = AC \sin A$.
$CF \geq AB$ હોવાથી,$AC \sin A \geq AB \dots (ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો ગુણાકાર કરતા,$(AB \cdot AC) \sin^2 A \geq (AB \cdot AC) \implies \sin^2 A \geq 1$.
$\sin A \leq 1$ હોવાથી,આનો અર્થ એ થાય કે $\sin^2 A = 1$,તેથી $\sin A = 1$,જેનો અર્થ છે કે $A = 90^{\circ}$.
$A = 90^{\circ}$ ને $(i)$ અને $(ii)$ માં મૂકતા,આપણને $AB \geq AC$ અને $AC \geq AB$ મળે છે,તેથી $AB = AC$.
આમ,ત્રિકોણના ખૂણાઓ $90^{\circ}, 45^{\circ}, 45^{\circ}$ છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a=1$,$b$,અને $c$ છે. અનુરૂપ વેધ $h_a$,$h_b$,અને $h_c$ છે. ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$.
આપેલ છે કે $h_a = 1 \cdot h_a$ અને $h_b = 2 h_a$. $h_a = \frac{2\Delta}{1}$ અને $h_b = \frac{2\Delta}{b}$ હોવાથી,સૌથી લાંબો વેધ સૌથી ટૂંકા કરતા બમણો હોવાની શરત મુજબ $b=2$ અથવા $c=2$ મળે.
$1, 2, c$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણ માટે,ત્રિકોણની અસમતા મુજબ $2-1 < c < 2+1$,એટલે કે $1 < c < 3$. $c$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$c=2$.
બાજુઓ $1, 2, 2$ છે. આ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{1+2+2}{2} = \frac{5}{2}$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{15}/4}{5/2} = \frac{\sqrt{15}}{10}$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 2}{4 \cdot \sqrt{15}/4} = \frac{4}{\sqrt{15}}$.
તેથી $\frac{R}{r} = \frac{4/\sqrt{15}}{\sqrt{15}/10} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}$.
આમ $m=8$ અને $n=3$. $m, n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$m+n = 8+3 = 11$.

(C) આપેલ છે કે $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1$.
ત્રિકોણ માટે જ્યાં $A+B+C = \pi$ હોય,ત્યારે આ સમીકરણનું સાદું રૂપ $1 - 4 \cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2} = 1$ થાય છે.
આથી $\cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2} = 0$.
તેથી,કોઈ એક ખૂણો $\frac{3A}{2} = \frac{\pi}{2}$,$\frac{3B}{2} = \frac{\pi}{2}$,અથવા $\frac{3C}{2} = \frac{\pi}{2}$ નું પાલન કરે છે.
આનાથી $A = \frac{2\pi}{3}$ મળે છે.
પરિત્રિજ્યા $R = \sqrt{3}$ આપેલ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,બાજુ $a = 2R \sin A = 2(\sqrt{3}) \sin \frac{2\pi}{3} = 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$.
$A$ એ સૌથી મોટો ખૂણો હોવાથી,$a$ એ સૌથી લાંબી બાજુ છે.
તેથી,સૌથી લાંબી બાજુની લંબાઈ $3$ છે.

(C) કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos 30^{\circ} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2+16-8}{2 \cdot a \cdot 4}$
$\Rightarrow a^2 - 4\sqrt{3}a + 8 = 0$
અહીં $a_1$ અને $a_2$ એ બાજુ $BC$ ની બે શક્ય લંબાઈઓ છે. તેથી $a_1+a_2 = 4\sqrt{3}$ અને $a_1a_2 = 8$.
તફાવત $|a_1-a_2| = \sqrt{(a_1+a_2)^2 - 4a_1a_2} = \sqrt{48-32} = 4$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}ac \sin B$ છે.
ક્ષેત્રફળોનો તફાવત $|\Delta_1 - \Delta_2| = \frac{1}{2}c \sin B |a_1-a_2| = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 = 4$.

(B) $\angle C$ માટે કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{(x^2+x+1)^2 + (x^2-1)^2 - (2x+1)^2}{2(x^2+x+1)(x^2-1)}$
સાદું રૂપ આપતા,આપણને $x = 1+\sqrt{3}$ મળે છે.
બાજુની લંબાઈ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $b = x^2-1 > 0 \implies x > 1$. આમ,$x = 1+\sqrt{3}$ એ સાચો ઉકેલ છે.

(C) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} ab \sin C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$15 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 \times \sin C$,જેનું સાદું રૂપ $\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય છે.
$\angle ACB$ ગુરુકોણ હોવાથી,$C = 120^{\circ}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 6^2 + 10^2 - 2(6)(10) \cos 120^{\circ} = 36 + 100 - 120(-0.5) = 136 + 60 = 196$,તેથી $c = 14$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+10+14}{2} = 15$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15 \sqrt{3}}{15} = \sqrt{3}$.
તેથી,$r^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

(B) આપેલ છે: $PQ = 10\sqrt{3}$,$QR = 10$,અને $\angle PQR = 30^{\circ}$.
$PR$ શોધવા માટે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$PR^2 = PQ^2 + QR^2 - 2(PQ)(QR)\cos(30^{\circ})$
$PR^2 = (10\sqrt{3})^2 + 10^2 - 2(10\sqrt{3})(10)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$PR^2 = 300 + 100 - 300 = 100$
$PR = 10$.
કારણ કે $PR = QR = 10$,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે જેમાં $\angle QPR = \angle PQR = 30^{\circ}$.
તેથી,$\angle QRP = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times PQ \times QR \times \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{3} \times 10 \times \frac{1}{2} = 25\sqrt{3}$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{10\sqrt{3} + 10 + 10}{2} = 5\sqrt{3} + 10$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\text{Area}}{s} = \frac{25\sqrt{3}}{5\sqrt{3} + 10} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} = \frac{5\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 10\sqrt{3} - 15$. આમ,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{10\sqrt{3} \times 10 \times 10}{4 \times 25\sqrt{3}} = \frac{1000\sqrt{3}}{100\sqrt{3}} = 10$.
પરિવૃત્તનું ક્ષેત્રફળ = $\pi R^2 = \pi(10)^2 = 100\pi$. આમ,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(B), (C), (D)$ સાચા છે.

(B) આપેલ બાજુઓ $c = AB = \sqrt{23}$,$a = BC = 3$ અને $b = CA = 4$ છે.
બાજુઓ અને ક્ષેત્રફળ $\Delta$ ના સંદર્ભમાં $\cot$ માટેનું સૂત્ર વાપરતા:
$\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4\Delta}$,$\cot B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4\Delta}$,અને $\cot C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4\Delta}$.
હવે,પદાવલિની ગણતરી કરો:
$\frac{\cot A + \cot C}{\cot B} = \frac{\frac{b^2 + c^2 - a^2}{4\Delta} + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4\Delta}}{\frac{a^2 + c^2 - b^2}{4\Delta}}$
$= \frac{b^2 + c^2 - a^2 + a^2 + b^2 - c^2}{a^2 + c^2 - b^2}$
$= \frac{2b^2}{a^2 + c^2 - b^2}$
કિંમતો $a = 3$,$b = 4$,$c = \sqrt{23}$ મૂકતા:
$= \frac{2(4^2)}{3^2 + (\sqrt{23})^2 - 4^2}$
$= \frac{2(16)}{9 + 23 - 16}$
$= \frac{32}{32 - 16} = \frac{32}{16} = 2$.

(B) ધારો કે $a$ અને $b$ એ ત્રિકોણની બે બાજુઓની લંબાઈ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$a+b=x$ અને $ab=y$.
આપેલ છે કે $x^2-c^2=y$,તેથી $x=a+b$ મૂકતા:
$(a+b)^2-c^2=ab$
$a^2+b^2+2ab-c^2=ab$
$a^2+b^2-c^2=-ab$
$2ab$ વડે ભાગતા:
$\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = -\frac{1}{2}$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
તેથી,$\cos C = -\frac{1}{2}$.
ત્રિકોણનો ખૂણો $C$ હોવાથી,$C = 120^\circ$ અથવા $\frac{2\pi}{3}$ રેડિયન.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{c}{2\sin C}$ દ્વારા મળે છે.
$R = \frac{c}{2\sin(120^\circ)} = \frac{c}{2(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{c}{\sqrt{3}}$.

(A) સૌ પ્રથમ,ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $s$ શોધો:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ક્ષેત્રફળ $\Delta$ છે:
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $84 = \frac{1}{2} \times 14 \times 15 \times \sin A$.
$84 = 105 \sin A$.
$\sin A = \frac{84}{105} = \frac{4}{5}$.

(B) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$c^2 = 4^2 + 8^2 - 2(4)(8) \cos 60^{\circ} = 16 + 64 - 64(0.5) = 48$
$c = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
સાઈનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$\sin B = \frac{b \sin C}{c} = \frac{8 \sin 60^{\circ}}{4\sqrt{3}} = 1$
તેથી,$\angle B = 90^{\circ}$
$\angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$
ગુણોત્તર $\cos A : \cos C = \cos 30^{\circ} : \cos 60^{\circ} = \sqrt{3} : 1$

(B) આપેલ પદાવલિ $E = \left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\right)$ છે.
આને $E = \left(\frac{c+a+b}{c}\right)\left(\frac{b+c-a}{b}\right)$ તરીકે લખી શકાય.
$E = \frac{(b+c)+a}{c} \times \frac{(b+c)-a}{b} = \frac{(b+c)^2 - a^2}{bc}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $E = \frac{b^2 + c^2 + 2bc - a^2}{bc} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{bc} + 2$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$,તેથી $b^2 + c^2 - a^2 = 2bc \cos A$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $E = \frac{2bc \cos A}{bc} + 2 = 2 \cos A + 2$.
$A = 30^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$E = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 = \sqrt{3} + 2$.

(A) ત્રિકોણની પરિમિતિ $P = a + b + c$ છે. તેના ખૂણાઓના સાઈનનો સરેરાશ $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ છે.
આપેલ છે કે $a + b + c = 6 \times \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
સાઈન નિયમ મુજબ,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $2R(\sin A + \sin B + \sin C) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
આનો અર્થ એ છે કે $2R = 2$,તેથી $R = 1$.
કારણ કે $a = 2R \sin A$ અને $a = 1$,તેથી $1 = 2(1) \sin A$.
તેથી,$\sin A = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $A = \frac{\pi}{6}$ અથવા $A = \frac{5\pi}{6}$.
આવા પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં,આપણે $A = \frac{\pi}{6}$ પસંદ કરીએ છીએ.

(B) આપેલ છે કે ખૂણા $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2B = A + C$. $A+B+C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$.
જો $a=10, b=9$ લઈએ,તો $9^2 = 10^2 + c^2 - 2(10)(c) \cos 60^{\circ} \implies 81 = 100 + c^2 - 10c \implies c^2 - 10c + 19 = 0$.
$c$ માટે ઉકેલતા: $c = 5 \pm \sqrt{6}$.
પરિમિતિ $= 10 + 9 + 5 + \sqrt{6} = 24 + \sqrt{6}$.

(B) સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{3/4} = \frac{7}{\sin B}$.
$\frac{20}{3} = \frac{7}{\sin B} \implies \sin B = \frac{21}{20}$.
કારણ કે $\sin B$ ની કિંમત $\le 1$ હોવી જોઈએ અને $\frac{21}{20} > 1$ છે,તેથી આવા કોઈ ખૂણા $B$ નું અસ્તિત્વ નથી.
તેથી,આપેલ પરિમાણો સાથે કોઈ ત્રિકોણ $ABC$ બનાવી શકાતો નથી.

(A) $A, B, C$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,$2B = A + C$ થાય.
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$ મળે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = k$.
તેથી,$\frac{a}{b} \sin 2B + \frac{b}{a} \sin 2A = \frac{\sin A}{\sin B} \sin 2B + \frac{\sin B}{\sin A} \sin 2A = 2 \sin A \cos B + 2 \sin B \cos A = 2 \sin(A + B)$.
$A + B = 180^{\circ} - C$ હોવાથી,$2 \sin(180^{\circ} - C) = 2 \sin C$.
$A+C = 120^{\circ}$ હોવાથી,$2 \sin(A+B) = 2 \sin(120^{\circ}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

(C) આપેલ પદાવલિ $E = \left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\right)$ છે.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા,$E = \left(\frac{c+a+b}{c}\right)\left(\frac{b+c-a}{b}\right)$ મળે.
આને $E = \frac{(b+c)+a}{c} \times \frac{(b+c)-a}{b} = \frac{(b+c)^2 - a^2}{bc}$ તરીકે લખી શકાય.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા,$E = \frac{b^2+c^2+2bc-a^2}{bc} = \frac{b^2+c^2-a^2}{bc} + 2$ મળે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,તેથી $b^2+c^2-a^2 = 2bc \cos A$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,$E = \frac{2bc \cos A}{bc} + 2 = 2 \cos A + 2$.
$\angle A = 30^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય.
તેથી,$E = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2 = \sqrt{3} + 2$.

(A) ધારો કે $AB = c$,$AC = b$,અને $BC = a$. ધારો કે $\angle BAD = \alpha$ અને $\angle CAD = \beta$.
$\triangle ABD$ માં,સાઈન નિયમ મુજબ: $\frac{BD}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \angle ADB} \implies \sin \alpha = \frac{BD \sin \angle ADB}{c}$.
$\triangle ACD$ માં,સાઈન નિયમ મુજબ: $\frac{CD}{\sin \beta} = \frac{b}{\sin \angle ADC} \implies \sin \beta = \frac{CD \sin \angle ADC}{c}$.
$\angle ADB + \angle ADC = \pi$ હોવાથી,$\sin \angle ADB = \sin \angle ADC$.
તેથી,$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{BD}{CD} \cdot \frac{b}{c}$.
આપેલ છે કે $BD:CD = 1:3$,તેથી $BD/CD = 1/3$.
$\triangle ABC$ માં સાઈન નિયમ મુજબ,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \implies \frac{b}{c} = \frac{\sin(\pi/3)}{\sin(\pi/4)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

(B) ત્રિકોણ $ABC$ ના ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $2:3:7$ છે. ધારો કે સામાન્ય ગુણક $x$ છે.
$\angle A = 2x, \angle B = 3x, \angle C = 7x$.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$2x + 3x + 7x = 180^{\circ} \implies 12x = 180^{\circ} \implies x = 15^{\circ}$.
તેથી,$\angle A = 30^{\circ}, \angle B = 45^{\circ}, \angle C = 105^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 45^{\circ}} = \frac{c}{\sin 105^{\circ}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,અને $\sin 105^{\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{1/\sqrt{2}} = \frac{c}{(\sqrt{3}+1)/(2\sqrt{2})}$.
$\frac{1}{2}$ વડે ગુણતા,$\frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{b}{2} = \frac{c}{\sqrt{3}+1}$.
આમ,$a:b:c = \sqrt{2}: 2: (\sqrt{3}+1)$.

(C) આપેલ છે: $m \angle A = 45^{\circ}, m \angle B = 75^{\circ}$.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$m \angle C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 75^{\circ}) = 60^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
તેથી,$a = k \sin 45^{\circ} = \frac{k}{\sqrt{2}}$,$b = k \sin 75^{\circ} = \frac{k(\sqrt{3} + 1)}{2\sqrt{2}}$,અને $c = k \sin 60^{\circ} = \frac{k\sqrt{3}}{2}$.
હવે,$a + c\sqrt{2} = \frac{k}{\sqrt{2}} + \frac{k\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{k(1 + \sqrt{3})}{\sqrt{2}}$.
$b$ ની કિંમત પરથી,$2b = \frac{k(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{2}}$.
આમ,$a + c\sqrt{2} = 2b$.

(C) આપેલ છે કે ખૂણાઓ $A, B, C$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $A+C = 2B$. $A+B+C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$ મળે,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$,તેથી $\frac{b}{c} = \frac{\sin B}{\sin C}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sin C}$.
આથી $\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$C = 45^{\circ}$.
અંતે,$A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $5x, x, 6x$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$5x + x + 6x = 180^{\circ}$,તેથી $12x = 180^{\circ}$,એટલે કે $x = 15^{\circ}$.
ખૂણાઓ $75^{\circ}, 15^{\circ}, 90^{\circ}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin 75^{\circ}} = \frac{b}{\sin 15^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}} = k$.
સૌથી નાની બાજુ $b$ છે અને સૌથી મોટી બાજુ $c$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{b}{c} = \frac{\sin 15^{\circ}}{\sin 90^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}}{1} = \sqrt{3}-1 : 2\sqrt{2}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,$A+B+C = \pi$ થાય છે.
તેથી,$A+C = \pi - B$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$2 ac \sin \left(\frac{A-B+C}{2}\right) = 2 ac \sin \left(\frac{(A+C)-B}{2}\right)$
$= 2 ac \sin \left(\frac{(\pi-B)-B}{2}\right)$
$= 2 ac \sin \left(\frac{\pi-2B}{2}\right)$
$= 2 ac \sin \left(\frac{\pi}{2} - B\right)$
$= 2 ac \cos B$
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$= 2 ac \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)$
$= a^2+c^2-b^2$.

(B) ધારો કે $a, b, c$ એ અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ની સામેની બાજુઓની લંબાઈ છે. અહીં,$a = 3$,$b = 4$,અને $c = \sqrt{23}$ છે.
કોટેન્જન્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$,$\cot B = \frac{a^2+c^2-b^2}{4\Delta}$,અને $\cot C = \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta}$,જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$\frac{\cot A+\cot C}{\cot B} = \frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta} + \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta}}{\frac{a^2+c^2-b^2}{4\Delta}} = \frac{b^2+c^2-a^2+a^2+b^2-c^2}{a^2+c^2-b^2} = \frac{2b^2}{a^2+c^2-b^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $a^2 = 9$,$b^2 = 16$,$c^2 = 23$.
$\frac{2(16)}{9+23-16} = \frac{32}{16} = 2$.

(D) ધારો કે $a = \sqrt{3}+1$,$b = \sqrt{3}-1$,અને $C = 60^{\circ}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$c^2 = (\sqrt{3}+1)^2 + (\sqrt{3}-1)^2 - 2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) \cos 60^{\circ}$
$c^2 = (3+1+2\sqrt{3}) + (3+1-2\sqrt{3}) - 2(3-1) \times \frac{1}{2}$
$c^2 = 8 - 2 = 6 \implies c = \sqrt{6}$.
ટેન્જન્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{(\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}-1)} \cot(30^{\circ})$
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{2}{2\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1$.
તેથી,$\frac{A-B}{2} = 45^{\circ} \implies A-B = 90^{\circ}$.

(B) સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\sin 60^{\circ}}{6} = \frac{\sin B}{8}$
કારણ કે $B = \sin^{-1} x$,તેથી $\sin B = x$.
$\frac{\sqrt{3}/2}{6} = \frac{x}{8}$
$\frac{\sqrt{3}}{12} = \frac{x}{8}$
$x = \frac{8\sqrt{3}}{12} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

(D) કોસાઇનના નિયમ મુજબ,આપણી પાસે છે:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$a^2 = (\sqrt{3})^2 + (1)^2 - 2(\sqrt{3})(1) \cos(30^{\circ})$
$a^2 = 3 + 1 - 2\sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$a^2 = 4 - 3 = 1$
$\therefore a = 1$
અહીં $b = \sqrt{3} \approx 1.732$ એ સૌથી મોટી બાજુ હોવાથી,સૌથી મોટો ખૂણો $\angle B$ છે.
$\angle B$ માટે કોસાઇનનો નિયમ વાપરતા:
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{1^2 + 1^2 - (\sqrt{3})^2}{2(1)(1)} = \frac{1 + 1 - 3}{2} = -\frac{1}{2}$
$\therefore B = 120^{\circ}$

(D) ધારો કે ખૂણાઓ $x, 2x, 3x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$x + 2x + 3x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$.
આમ,ત્રિકોણના ખૂણાઓ $A = 30^{\circ}, B = 60^{\circ}, C = 90^{\circ}$ છે.
સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$.
$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$.
$1/2$ વડે ગુણતા,$a : b : c = \sin 30^{\circ} : \sin 60^{\circ} : \sin 90^{\circ} = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1$.
બધી બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$.

(D) ધારો કે $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
તેથી $\sin A = \frac{a}{k}$,$\sin B = \frac{b}{k}$,અને $\sin C = \frac{c}{k}$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $a+b+c$ છે.
ખૂણાઓના સાઈનનો સરેરાશ $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,$a+b+c = 6 \times \left( \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} \right)$.
કિંમતો મૂકતા,$a+b+c = 2(\sin A + \sin B + \sin C) = 2 \left( \frac{a+b+c}{k} \right)$.
આમ,$1 = \frac{2}{k}$,જેનો અર્થ છે કે $k = 2$.
કારણ કે $\sin A = \frac{a}{k}$ અને $a=1$,તેથી $\sin A = \frac{1}{2}$.
તેથી,$A = \frac{\pi^c}{6}$.

(B) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ ના ખૂણાઓ $A, B, C$ એ $A$.$P$. માં છે,તેથી $2B = A + C$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$ અને $A + C = 120^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = k$,તેથી $a = k \sin A$ અને $c = k \sin C$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a}{c} \sin 2C + \frac{c}{a} \sin 2A = \frac{k \sin A}{k \sin C} (2 \sin C \cos C) + \frac{k \sin C}{k \sin A} (2 \sin A \cos A)$
$= 2 \sin A \cos C + 2 \sin C \cos A$
$= 2(\sin A \cos C + \cos A \sin C)$
$= 2 \sin(A + C)$
$= 2 \sin(120^{\circ}) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ માં,$A+B+C = \pi$,તેથી $A+B = \pi-C$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$2ab \sin \frac{1}{2}(A+B-C) = 2ab \sin \frac{1}{2}((\pi-C)-C)$
$= 2ab \sin \frac{1}{2}(\pi-2C) = 2ab \sin (\frac{\pi}{2}-C)$
$= 2ab \cos C$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
તેથી,$2ab \cos C = 2ab \left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right) = a^2+b^2-c^2$.

(A) આપણે સાઈનનો નિયમ જાણીએ છીએ: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
આથી $a \sin B = b \sin A$ ... $(1)$.
આપણને શરત આપેલી છે: $a \cos B = b \cos A$ ... $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{a \sin B}{a \cos B} = \frac{b \sin A}{b \cos A} \Rightarrow \tan B = \tan A$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ હોવાથી,$A = B$.
તેથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(C) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
તેથી,$b = k \sin B$ અને $c = k \sin C$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{b \sin B - c \sin C}{\sin (B - C)} = \frac{(k \sin B) \sin B - (k \sin C) \sin C}{\sin (B - C)}$
$= \frac{k(\sin^2 B - \sin^2 C)}{\sin (B - C)}$
નિત્યસમ $\sin^2 B - \sin^2 C = \sin(B - C) \sin(B + C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{k \sin(B - C) \sin(B + C)}{\sin (B - C)}$
$= k \sin(B + C)$
કારણ કે $A + B + C = \pi$,તેથી $\sin(B + C) = \sin(\pi - A) = \sin A$.
આમ,પદાવલિ $k \sin A = a$ બને છે.

(C) આપેલ છે $\frac{\sin A}{\sin C} = \frac{\sin (A-B)}{\sin (B-C)}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $\sin A \sin (B-C) = \sin C \sin (A-B)$.
$\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin A (\sin B \cos C - \cos B \sin C) = \sin C (\sin A \cos B - \cos A \sin B)$.
$\sin A \sin B \cos C - \sin A \cos B \sin C = \sin C \sin A \cos B - \sin C \cos A \sin B$.
પદોને ગોઠવતા: $\sin A \sin B \cos C + \sin C \cos A \sin B = 2 \sin A \cos B \sin C$.
$\sin B (\sin A \cos C + \cos A \sin C) = 2 \sin A \cos B \sin C$.
$\sin A \cos C + \cos A \sin C = \sin(A+C) = \sin(\pi - B) = \sin B$ હોવાથી:
$\sin^2 B = 2 \sin A \sin C \cos B$.
કોસાઇન નિયમ $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ અને સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{b^2}{ac} = 2 \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \right) = \frac{a^2+c^2-b^2}{ac}$.
$b^2 = a^2+c^2-b^2 \Rightarrow 2b^2 = a^2+c^2$.
તેથી,$a^2, b^2, c^2$ એ $AP$ માં છે.

(A) નિત્યસમ $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\frac{1 - 2\sin^2 A}{a^2} - \frac{1 - 2\sin^2 B}{b^2} = \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) - 2\left(\frac{\sin^2 A}{a^2} - \frac{\sin^2 B}{b^2}\right)$
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = k$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{1}{k}$.
તેથી,$\frac{\sin^2 A}{a^2} = \frac{\sin^2 B}{b^2} = \frac{1}{k^2}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) - 2\left(\frac{1}{k^2} - \frac{1}{k^2}\right) = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$
$a=2$ અને $b=3$ આપેલ છે:
$\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{9-4}{36} = \frac{5}{36}$

(B) ધારો કે $\triangle ABC$ ના ખૂણાઓ $A = 45^{\circ}$,$B = 60^{\circ}$ અને $C$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 60^{\circ}) = 75^{\circ}$.
સૌથી નાનો ખૂણો $45^{\circ}$ અને સૌથી મોટો ખૂણો $75^{\circ}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,સૌથી નાની બાજુ અને સૌથી મોટી બાજુનો ગુણોત્તર $\frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}$ થશે.
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
ગુણોત્તર = $\frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+1)/(2\sqrt{2})} = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}-1$.
આમ,ગુણોત્તર $(\sqrt{3}-1) : 1$ છે.

(C) સાઇનના નિયમ મુજબ,આપણી પાસે છે: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C}{c}$
આપેલી કિંમતો મૂકતા: $\frac{\sin A}{3} = \frac{(2/3)}{2}$
$\frac{\sin A}{3} = \frac{1}{3}$
$\sin A = 1$
તેથી,$A = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$.

(B) સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$.
આપેલ શરત $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$ માં $a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\cos A}{2R \sin A} = \frac{\cos B}{2R \sin B} = \frac{\cos C}{2R \sin C}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\cot A = \cot B = \cot C$ મળે છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ $A, B, C$ હોવાથી,$\cot A = \cot B = \cot C$ નો અર્થ છે કે $A = B = C$.
તેથી,આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) આપેલ છે $a=\sqrt{3}+1$,$b=\sqrt{3}-1$,$m \angle C=60^{\circ}$.
ટેન્જન્ટ નિયમ (નેપિયરની સાદ્રશ્યતા) નો ઉપયોગ કરતા: $\tan \left( \frac{A-B}{2} \right) = \frac{a-b}{a+b} \cot \left( \frac{C}{2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{a-b}{a+b} = \frac{(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\tan \left( \frac{A-B}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cot \left( \frac{60^{\circ}}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cot(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1$.
$\frac{A-B}{2} = 45^{\circ} \Rightarrow A-B = 90^{\circ}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2 \cos C = \sin B \cdot \operatorname{cosec} A$
$\operatorname{cosec} A = \frac{1}{\sin A}$ હોવાથી,$2 \cos C = \frac{\sin B}{\sin A}$ મળે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin B}{\sin A} = \frac{b}{a}$.
તેથી,$2 \cos C = \frac{b}{a}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2 \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) = \frac{b}{a}$.
$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab} = \frac{b}{a}$.
બંને બાજુ $ab$ વડે ગુણતા,$a^2 + b^2 - c^2 = b^2$ મળે.
$a^2 - c^2 = 0 \Rightarrow a^2 = c^2$.
બાજુઓની લંબાઈ હોવાથી,$a = c$.

(D) આપેલ છે કે $A, B, C$ એ $A$.$P$. માં છે,તેથી $2B = A + C$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$A + C = 2B$ મૂકતા $3B = 180^{\circ}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $B = 60^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$,તેથી $\sin C = \frac{c}{b} \sin B$.
$b:c = \sqrt{3}:\sqrt{2}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{c}{b} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\sin C = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$C = 45^{\circ}$.
અંતે,$A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$.

(B) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં,$\angle C = 90^{\circ}$,તેથી $A+B = 90^{\circ} \Rightarrow B = 90^{\circ}-A$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = k \sin A$ અને $b = k \sin B$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}} \sin (A-B) = \frac{\sin^{2} A + \sin^{2} B}{\sin^{2} A - \sin^{2} B} \sin (A-B)$.
કારણ કે $B = 90^{\circ}-A$,$\sin B = \cos A$ અને $\cos B = \sin A$.
તેથી,$\sin^{2} A + \sin^{2} B = \sin^{2} A + \cos^{2} A = 1$.
અને $\sin^{2} A - \sin^{2} B = \sin^{2} A - \cos^{2} A = -\cos 2A$.
વળી,$\sin (A-B) = \sin (A - (90^{\circ}-A)) = \sin (2A - 90^{\circ}) = -\cos 2A$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{-\cos 2A} \cdot (-\cos 2A) = 1$.

(A) મુખ્ય વિચાર: સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરો,એટલે કે $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
આપેલ છે,$\sin B \sin C = \frac{bc}{a^2}$.
સાઈન નિયમ મુજબ,$\sin B = \frac{b}{2R}$ અને $\sin C = \frac{c}{2R}$.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{b}{2R}\right) \left(\frac{c}{2R}\right) = \frac{bc}{a^2}$
$\Rightarrow \frac{bc}{4R^2} = \frac{bc}{a^2}$
$\Rightarrow 4R^2 = a^2$
$\Rightarrow a = 2R$.
કારણ કે $\frac{a}{\sin A} = 2R$,તેથી $\frac{2R}{\sin A} = 2R$,જે સૂચવે છે કે $\sin A = 1$.
તેથી,$A = 90^{\circ}$.
આમ,ત્રિકોણ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$ છે.
તેથી,$b = k \sin B$ અને $c = k \sin C$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{b \sin B - c \sin C}{\sin (B - C)} = \frac{(k \sin B) \sin B - (k \sin C) \sin C}{\sin (B - C)}$
$= \frac{k(\sin^2 B - \sin^2 C)}{\sin (B - C)}$
નિત્યસમ $\sin^2 B - \sin^2 C = \sin(B + C) \sin(B - C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{k \sin(B + C) \sin(B - C)}{\sin (B - C)}$
$= k \sin(B + C)$
કારણ કે $A + B + C = 180^{\circ}$,તેથી $B + C = 180^{\circ} - A$.
$= k \sin(180^{\circ} - A) = k \sin A$
$= a$.

(A) ધારો કે $\frac{b+c}{11} = \frac{c+a}{12} = \frac{a+b}{13} = k$.
તેથી $b+c = 11k$,$c+a = 12k$,અને $a+b = 13k$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2(a+b+c) = 36k$,તેથી $a+b+c = 18k$.
$a+b+c = 18k$ માંથી સમીકરણો બાદ કરતા:
$a = 18k - 11k = 7k$.
$b = 18k - 12k = 6k$.
$c = 18k - 13k = 5k$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{1}{5}$.
$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{19}{35}$.
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{5}{7}$.
હવે,$\cos A : \cos B : \cos C = \frac{1}{5} : \frac{19}{35} : \frac{5}{7} = 7 : 19 : 25$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 6+2\sqrt{3}$,$b = 4\sqrt{3}$,અને $c = 2\sqrt{6}$ છે.
સૌથી નાની બાજુ $c = 2\sqrt{6}$ છે,તેથી સૌથી નાનો ખૂણો $C$ છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
ગણતરી કરતા,$\cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
તેથી,$C = \frac{\pi}{6}$.