Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Gujarati

(A) આપેલ બાજુઓ $a=4, b=5, c=7$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ શોધો:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+5+7}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
$\sin \left(\frac{A}{2}\right)$ માટેનું સૂત્ર છે:
$\sin \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\sin \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(8-5)(8-7)}{5 \times 7}} = \sqrt{\frac{3 \times 1}{35}} = \sqrt{\frac{3}{35}}$.

(B) સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
$\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$ મળે છે,જ્યાં $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$\sqrt{(s-b)(s-c)} \leq \frac{(s-b)+(s-c)}{2} = \frac{a}{2}$.
તેથી,$\sin \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{(s-b)(s-c)}}{\sqrt{bc}} \leq \frac{a}{2 \sqrt{bc}}$.
આમ,$\sin \frac{A}{2} \leq \frac{a}{2 \sqrt{bc}}$.

(A) આપેલ બાજુઓ $a=13, b=14, c=15$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
સૂત્ર $\sin(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s-b = 21-14 = 7$
$s-c = 21-15 = 6$
$\sin(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{7 \times 6}{14 \times 15}} = \sqrt{\frac{42}{210}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\operatorname{cosec} A(\sin B \cos C + \cos B \sin C)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(B + C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ થાય:
$\operatorname{cosec} A \cdot \sin(B + C)$
$\triangle ABC$ માં,$A + B + C = \pi$ હોવાથી,$B + C = \pi - A$ થાય.
તેથી,$\sin(B + C) = \sin(\pi - A) = \sin A$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\operatorname{cosec} A \cdot \sin A = \frac{1}{\sin A} \cdot \sin A = 1$.

(B) આપેલ છે કે $BC = a, CA = b$ અને $AB = c$.
$a: b: c$ શોધવા માટે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\angle ACB = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ABC)$
$\angle ACB = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$
સાઇન વિધેયોની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$
$1/2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$a : b : c = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1$
ગુણોત્તરને $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$.

(D) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં,ખૂણાઓ $A, B, C$ એ $AP$ માં છે,તેથી $2B = A + C$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $B = 60^{\circ}$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$,આપણને $\frac{b}{c} = \frac{\sin B}{\sin C}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sin C}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $C = 45^{\circ}$.
અંતે,$\angle A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 75^{\circ}$.

(C) $\triangle ABC$ માં,આપેલ છે કે $a=1$,$b=\sqrt{3}$ અને $\angle C=\frac{\pi}{6}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{1^2 + (\sqrt{3})^2 - c^2}{2(1)(\sqrt{3})}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + 3 - c^2}{2\sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 - c^2}{2\sqrt{3}}$
બંને બાજુ $2\sqrt{3}$ વડે ગુણતા:
$3 = 4 - c^2$
$c^2 = 4 - 3 = 1$
કારણ કે $c$ એ બાજુની લંબાઈ દર્શાવે છે,તેથી $c = 1$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) $SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,ત્રિકોણને તેની ત્રણ બાજુઓ દ્વારા અનન્ય રીતે નક્કી કરી શકાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે બાજુની લંબાઈ $a = 2$ અને તેની સામેનો ખૂણો $A = \frac{\pi}{3}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = 2R$,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{\sin(\frac{\pi}{3})} = 2R$
$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$
$\frac{4}{\sqrt{3}} = 2R$
$R = \frac{2}{\sqrt{3}}$
આમ,ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા $\frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.

(A) $\triangle ABC$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC) \cos \theta$
$AC^2 = 6^2 + 4^2 - 2(6)(4) \cos \theta = 36 + 16 - 48 \cos \theta = 52 - 48 \cos \theta \quad (i)$
ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણાઓ પૂરક હોય છે. તેથી,$\angle ADC = 180^{\circ} - \theta$.
$\triangle ADC$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2(AD)(CD) \cos(180^{\circ} - \theta)$
કારણ કે $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$,તેથી:
$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)(-\cos \theta) = 9 + 25 + 30 \cos \theta = 34 + 30 \cos \theta \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$52 - 48 \cos \theta = 34 + 30 \cos \theta$
$52 - 34 = 30 \cos \theta + 48 \cos \theta$
$18 = 78 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{18}{78} = \frac{3}{13}$

(B) સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = 2R \sin A$ અને $b = 2R \sin B$ મળે છે. આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \sin (A-B) = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin^2 A - \sin^2 B} \sin (A-B)$
નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin(A+B) \sin(A-B)} \sin(A-B) = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin(A+B)}$
અહીં $A+B = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\sin(A+B) = 1$ અને $\sin B = \cos A$ થાય.
$= \sin^2 A + \cos^2 A = 1$
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $AM$ એ $\triangle ABC$ ની $A$ શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતી મધ્યગા છે. આપેલ છે કે $AM \perp AC$,તેથી $\angle MAC = 90^{\circ}$.
$AM$ મધ્યગા હોવાથી,$M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BM = MC$.
$\triangle AMC$ માં,$\angle MAC = 90^{\circ}$,તેથી $\tan C = \frac{AM}{AC}$,જેનો અર્થ છે કે $AM = AC \tan C$.
ત્રિકોણના ગુણધર્મો અને લંબતાનો ઉપયોગ કરતા,તે સાબિત કરી શકાય છે કે $\tan A = -2 \tan C$.
તેથી,$\frac{\tan A}{\tan C} = -2$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{A}{2} = \frac{\Delta}{s(s-a)}$ અને $\tan \frac{B}{2} = \frac{\Delta}{s(s-b)}$.
તેમનો સરવાળો કરતા,$\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} = \frac{\Delta}{s} \left( \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-b} \right) = \frac{c \Delta}{s(s-a)(s-b)}$.
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\Delta}{(s-a)(s-b)} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \cot \frac{C}{2}$.
તેથી,$\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} = \frac{c}{s} \cot \frac{C}{2} = \frac{2c \cot \frac{C}{2}}{a+b+c}$.

(C) આપેલ છે $a=2, b=\sqrt{6}, c=\sqrt{3}+1$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
હવે,$\sin^2 C - \sin^2 A = \cos^2 A - \cos^2 C = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 - (\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} - \frac{4-2\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(A) ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $A: B: C = 5: 1: 6$ આપેલ છે. ધારો કે ખૂણાઓ $5k, k, 6k$ છે. ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$5k + k + 6k = 180^{\circ}$,તેથી $12k = 180^{\circ}$,એટલે કે $k = 15^{\circ}$.
આમ,$A = 75^{\circ}$,$B = 15^{\circ}$,અને $C = 90^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
તેથી,$a: b: c = \sin 75^{\circ}: \sin 15^{\circ}: \sin 90^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ અને $\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ તથા $\sin 90^{\circ} = 1$.
તેથી,$a: b: c = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}: \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}: 1$.
$4$ વડે ગુણતા,$a: b: c = (\sqrt{6} + \sqrt{2}): (\sqrt{6} - \sqrt{2}): 4$.
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,$a: b: c = (\sqrt{3} + 1): (\sqrt{3} - 1): 2\sqrt{2}$.

(B) આપણને પદાવલિ $b \cos (C+\theta) + c \cos (B-\theta)$ આપેલ છે.
$\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$= b(\cos C \cos \theta - \sin C \sin \theta) + c(\cos B \cos \theta + \sin B \sin \theta)$
$= (b \cos C + c \cos B) \cos \theta - (b \sin C - c \sin B) \sin \theta$
પ્રક્ષેપ સૂત્ર મુજબ,$b \cos C + c \cos B = a$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,જેનો અર્થ છે કે $b \sin C = c \sin B$,તેથી $b \sin C - c \sin B = 0$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= a \cos \theta - 0 \cdot \sin \theta = a \cos \theta$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(a+b+c)(b+c-a) = \lambda bc$ છે.
આને $((b+c)+a)((b+c)-a) = \lambda bc$ તરીકે લખી શકાય.
$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$(b+c)^2 - a^2 = \lambda bc$ મળે.
વિસ્તરણ કરતા,$b^2 + c^2 + 2bc - a^2 = \lambda bc$.
પદોને ગોઠવતા,$b^2 + c^2 - a^2 = (\lambda - 2)bc$.
બંને બાજુ $2bc$ વડે ભાગતા,$\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{\lambda - 2}{2}$ મળે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,તેથી $\cos A = \frac{\lambda - 2}{2}$.
ત્રિકોણ માટે $-1 < \cos A < 1$ હોવાથી,$-1 < \frac{\lambda - 2}{2} < 1$ થાય.
$2$ વડે ગુણતા,$-2 < \lambda - 2 < 2$.
બધી બાજુ $2$ ઉમેરતા,$0 < \lambda < 4$ મળે.

(C) આપેલ છે $a: b: c = 4: 5: 6$. ધારો કે $a = 4k, b = 5k, c = 6k$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3}{4}$.
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{9}{16}$.
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{1}{8}$.
હવે,પદાવલિની ગણતરી કરતા:
$\frac{\cos A + 3 \cos C}{\cos B} = \frac{\frac{3}{4} + 3(\frac{1}{8})}{\frac{9}{16}} = \frac{\frac{9}{8}}{\frac{9}{16}} = 2$.

(D) કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $A+B+C = 180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$B+C = 180^{\circ} - A$.
આમ,$\cos(B+C) = \cos(180^{\circ} - A) = -\cos A$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
આપેલ કિંમતો $a=13, b=8, c=7$ મૂકતા:
$\cos A = \frac{8^2 + 7^2 - 13^2}{2 \times 8 \times 7} = \frac{64 + 49 - 169}{112} = \frac{113 - 169}{112} = \frac{-56}{112} = -\frac{1}{2}$.
અંતે,$\cos(B+C) = -\cos A = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

(C) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(\sqrt{19})^2 = a^2 + 3^2 - 2(a)(3) \cos(120^{\circ})$.
$19 = a^2 + 9 - 6a(-1/2)$.
$19 = a^2 + 9 + 3a$.
$a^2 + 3a - 10 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(a+5)(a-2) = 0$.
$a$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $a = 2$.

(B) નેપિયરના સામ્યતાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$.
આપેલ છે $a=5, b=4$,તેથી $\frac{a-b}{a+b} = \frac{5-4}{5+4} = \frac{1}{9}$.
$\cos(A-B) = \frac{31}{32}$ પરથી,નિત્યસમ $\tan^2\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1-\cos(A-B)}{1+\cos(A-B)} = \frac{1-\frac{31}{32}}{1+\frac{31}{32}} = \frac{1}{63}$ મળે.
તેથી,$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{3\sqrt{7}}$.
કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{3\sqrt{7}} = \frac{1}{9} \cot\left(\frac{C}{2}\right) \implies \cot\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
તેથી $\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{7}{9}$.
$\cos C = \frac{1-\tan^2(C/2)}{1+\tan^2(C/2)} = \frac{1-7/9}{1+7/9} = \frac{1}{8}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 25 + 16 - 2(5)(4)(\frac{1}{8}) = 36$.
તેથી,$c = 6$.

(B) આપેલ છે કે $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2B = A + C$. $A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$. $B = 60^{\circ}$ હોવાથી,$\cos 60^{\circ} = 1/2$,તેથી $b^2 = a^2 + c^2 - ac$.
આમ,$\sqrt{a^2 - ac + c^2} = b$.
પ્રક્ષેપણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos((A-C)/2) = \frac{a+c}{b} \sin(B/2) = \frac{a+c}{b} \sin 30^{\circ} = \frac{a+c}{2b}$.
તેથી,$\sqrt{a^2 - ac + c^2} \cdot \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = b \cdot \frac{a+c}{2b} = \frac{a+c}{2}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $\triangle ABC$ માં,$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right)$ થાય છે.
અંતઃત્રિજ્યા $r = 4R \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right)$ માટેના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સાઈનનો ગુણાકાર મૂકી શકીએ છીએ.
આમ,$4 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right) = \frac{r}{R}$ થાય.
તેથી,$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + \frac{r}{R}$.

(D) $\triangle ABC$ માં આપેલ છે:
$a=26, b=30, \cos C=\frac{63}{65}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$\frac{63}{65} = \frac{26^2+30^2-c^2}{2 \times 26 \times 30}$
$\frac{63}{65} = \frac{676+900-c^2}{1560}$
$c^2 = 1576 - \frac{63 \times 1560}{65}$
$c^2 = 1576 - (63 \times 24)$
$c^2 = 1576 - 1512 = 64$
$c = \sqrt{64} = 8$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $A - d, A, A + d$ છે. ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$3A = 180^{\circ}$,તેથી $A = 60^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $60^{\circ} - d, 60^{\circ}, 60^{\circ} + d$ છે.
આ ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ $a, b, c$ છે. આપેલી બે બાજુઓ $7$ અને $8$ છે. ધારો કે બાજુઓ $a, 7, 8$ છે જ્યાં $a$ સૌથી નાની બાજુ છે.
$60^{\circ}$ ખૂણા માટે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
કિસ્સો $3$: જો $60^{\circ}$ ખૂણો $8$ બાજુની સામે હોય,તો $7^2 = a^2 + 8^2 - 2(a)(8) \cos 60^{\circ}$ $\Rightarrow 49 = a^2 + 64 - 8a$ $\Rightarrow a^2 - 8a + 15 = 0$.
$a^2 - 8a + 15 = 0$ ઉકેલતા $(a - 3)(a - 5) = 0$ મળે,તેથી $a = 3$ અથવા $a = 5$.
$a$ સૌથી નાની બાજુ હોવાથી,$3 < 7$ અને $5 < 7$ બંને માન્ય છે.
આમ,$a_1 = 3$ અને $a_2 = 5$.
છેલ્લે,$2 a_1 + 3 a_2 = 2(3) + 3(5) = 6 + 15 = 21$.

(C) આપેલ છે $a=13, b=14$ અને $\cos \frac{C}{2}=\frac{3}{\sqrt{13}}$.
સૂત્ર $\cos \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{s(s-c)}{ab} = \frac{9}{13}$ મળે.
$a=13, b=14$ મૂકતા,$\frac{s(s-c)}{182} = \frac{9}{13}$,તેથી $s(s-c) = 126$.
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{27+c}{2}$ હોવાથી,$s-c = \frac{27-c}{2}$.
આમ,$\left(\frac{27+c}{2}\right)\left(\frac{27-c}{2}\right) = 126$ $\Rightarrow 729-c^2 = 504$ $\Rightarrow c^2 = 225$ $\Rightarrow c=15$.
તેથી $s = \frac{13+14+15}{2} = 21$.
બહિર ત્રિજ્યા $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(8)(7)(6)} = 84$.
તેથી,$r_1 = \frac{84}{21-13} = \frac{84}{8} = 10.5$.
તેથી,$2r_1 = 2 \times 10.5 = 21 = s$.

(A) આપેલ છે કે $b+c = 7k$,$c+a = 8k$,અને $a+b = 9k$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2(a+b+c) = 24k$,જેનો અર્થ છે કે $a+b+c = 12k$.
$a+b+c = 12k$ માંથી આપેલ સમીકરણો બાદ કરતા:
$a = 12k - 7k = 5k$.
$b = 12k - 8k = 4k$.
$c = 12k - 9k = 3k$.
અહીં $c < b < a$ હોવાથી,સૌથી નાનો ખૂણો $C$ છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
$\cos C = \frac{(5k)^2 + (4k)^2 - (3k)^2}{2(5k)(4k)} = \frac{32k^2}{40k^2} = \frac{4}{5}$.
તેથી,સૌથી નાનો ખૂણો $C = \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a(1 + \cos C) + c(1 + \cos A)}{2} = \frac{3b}{2}$.
$a + a \cos C + c + c \cos A = 3b$.
$\triangle ABC$ માં પ્રક્ષેપ નિયમ મુજબ,$a \cos C + c \cos A = b$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$a + c + b = 3b$.
$a + c = 2b$.
તેથી,$\frac{a+c}{b} = \frac{2}{1}$,એટલે કે $a+c : b = 2 : 1$.

(A) આપેલ છે,ત્રિકોણ $ABC$ માં,આપણે $\frac{a \cos A - b \cos B}{a \cos B - b \cos A} + \cos C$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = 2R \sin A$ અને $b = 2R \sin B$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{2R \sin A \cos A - 2R \sin B \cos B}{2R \sin A \cos B - 2R \sin B \cos A} + \cos C$
$= \frac{\sin 2A - \sin 2B}{2(\sin A \cos B - \sin B \cos A)} + \cos C$
$\sin 2A - \sin 2B = 2 \sin(A - B) \cos(A + B)$ અને $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \sin B \cos A$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \sin(A - B) \cos(A + B)}{2 \sin(A - B)} + \cos C$
$= \cos(A + B) + \cos C$
કારણ કે $A + B = \pi - C$,તેથી $\cos(A + B) = \cos(\pi - C) = -\cos C$.
$= -\cos C + \cos C = 0$.

(D) આપેલ છે કે,ત્રિકોણ $ABC$ માં $a=2$,$b=3$ અને $c=4$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{2+3+4}{2} = 4.5$.
$\tan \left(\frac{A}{2}\right)$ માટેનું સૂત્ર $\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(4.5-3)(4.5-4)}{4.5(4.5-2)}}$
$= \sqrt{\frac{1.5 \times 0.5}{4.5 \times 2.5}}$
$= \sqrt{\frac{0.75}{11.25}} = \sqrt{\frac{1}{15}}$.

(C) આપેલ છે કે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $1: 2: 3$ છે.
ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિકોણના બધા ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
ધારો કે ખૂણાઓ $x, 2x, 3x$ છે.
તેથી $x + 2x + 3x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $A = 30^{\circ}, B = 60^{\circ}, C = 90^{\circ}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$.
$\Rightarrow \frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$.
$1/2$ વડે ગુણતા,આપણને $a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $2(bc \cos A + ca \cos B + ab \cos C) = 2bc \cos A + 2ca \cos B + 2ab \cos C$ છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$,અને $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= 2bc \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right) + 2ca \left(\frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}\right) + 2ab \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$
$= (b^2 + c^2 - a^2) + (c^2 + a^2 - b^2) + (a^2 + b^2 - c^2)$
$= a^2 + b^2 + c^2$.
આમ,કિંમત $a^2 + b^2 + c^2$ છે.

(C) આપેલ છે: $\frac{a}{b}=2+\sqrt{3}$ અને $\angle C=60^{\circ}$.
$A+B+C=180^{\circ}$ હોવાથી,$A+B=120^{\circ}$ $(1)$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{a}{b} = 2+\sqrt{3}$.
યોગ-વિયોગની રીત વાપરતા:
$\frac{\sin A + \sin B}{\sin A - \sin B} = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\frac{A+B}{2}) \cot(\frac{A-B}{2}) = \sqrt{3}$.
$\frac{A+B}{2} = 60^{\circ}$ હોવાથી,$\tan(60^{\circ}) \cot(\frac{A-B}{2}) = \sqrt{3}$.
$\cot(\frac{A-B}{2}) = 1$ $\Rightarrow \frac{A-B}{2} = 45^{\circ}$ $\Rightarrow A-B = 90^{\circ}$ $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $2A = 210^{\circ} \Rightarrow A = 105^{\circ}$.

(B) આપેલ છે: $a=2, b=3, c=4$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos C = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \times 2 \times 3}$.
$\cos C = \frac{4 + 9 - 16}{12}$.
$\cos C = \frac{13 - 16}{12} = \frac{-3}{12}$.
તેથી,$\cos C = -\frac{1}{4}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(b+c) \cos A + (c+a) \cos B + (a+b) \cos C$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(b \cos A + c \cos A) + (c \cos B + a \cos B) + (a \cos C + b \cos C)$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $(b \cos A + a \cos B) + (c \cos A + a \cos C) + (c \cos B + b \cos C)$
ત્રિકોણ માટે પ્રોજેક્શન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$c = a \cos B + b \cos A$
$b = a \cos C + c \cos A$
$a = b \cos C + c \cos B$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= c + b + a = a + b + c$

(B) કોઈપણ $\triangle ABC$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$,અને $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc} + \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$= \frac{(b^2+c^2-a^2) + (a^2+c^2-b^2) + (a^2+b^2-c^2)}{2abc}$
$= \frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$.

(A) $\triangle ABC$ માં આપેલ છે: $a=6$,$b=5$,$c=4$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos A = \frac{5^2 + 4^2 - 6^2}{2 \times 5 \times 4} = \frac{25 + 16 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.
હવે,$\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2A = 2 \left(\frac{1}{8}\right)^2 - 1 = 2 \left(\frac{1}{64}\right) - 1 = \frac{1}{32} - 1 = \frac{1 - 32}{32} = -\frac{31}{32}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $a(b \cos C - c \cos B)$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ અને $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$a \left( b \left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) - c \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \right) \right)$
$= a \left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2a} - \frac{a^2+c^2-b^2}{2a} \right)$
$= \frac{1}{2} (a^2+b^2-c^2 - a^2 - c^2 + b^2)$
$= \frac{1}{2} (2b^2 - 2c^2)$
$= b^2 - c^2$.

(C) કોસાઇન નિયમ લાગુ કરો: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
આપેલ છે $\angle A = 60^{\circ}$,તેથી $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ $\Rightarrow bc = b^2+c^2-a^2$ $\Rightarrow b^2+c^2 = bc+a^2 \dots (i)$.
હવે,પદાવલિ $\frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = \frac{b(a+b) + c(c+a)}{(c+a)(a+b)}$ ધ્યાનમાં લો.
$= \frac{ab+b^2+c^2+ac}{ac+a^2+bc+ab}$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી $b^2+c^2 = bc+a^2$ મૂકતા:
$= \frac{ab+(bc+a^2)+ac}{ac+a^2+bc+ab} = \frac{ab+bc+a^2+ac}{ab+bc+a^2+ac} = 1$.

(D) આપેલ છે $a \cos A = b \cos B$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$a \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right) = b \left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right)$
$\Rightarrow \frac{a}{b} (b^2 + c^2 - a^2) = \frac{b}{a} (a^2 + c^2 - b^2)$
$\Rightarrow a^2 (b^2 + c^2 - a^2) = b^2 (a^2 + c^2 - b^2)$
$\Rightarrow a^2b^2 + a^2c^2 - a^4 = a^2b^2 + b^2c^2 - b^4$
$\Rightarrow a^4 - b^4 + b^2c^2 - a^2c^2 = 0$
$\Rightarrow (a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) = 0$
$a \neq b$ હોવાથી,$a^2 - b^2 \neq 0$.
તેથી,$a^2 + b^2 = c^2$.
આમ,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(D) આપેલ બાજુઓ $a=3, b=5, c=3$ છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos A = \frac{5^2 + 3^2 - 3^2}{2 \times 5 \times 3}$.
$\cos A = \frac{25 + 9 - 9}{30} = \frac{25}{30}$.
$\cos A = \frac{5}{6}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A$ અને $\cos 2B = 1 - 2\sin^2 B$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1 - 2\sin^2 A}{a^2} - \frac{1 - 2\sin^2 B}{b^2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} - 2 \left( \frac{\sin^2 A}{a^2} - \frac{\sin^2 B}{b^2} \right)$
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$,તેથી $\frac{\sin^2 A}{a^2} - \frac{\sin^2 B}{b^2} = 0$.
તેથી,જવાબ $\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\angle A = 60^{\circ}$. કોસાઇન નિયમ મુજબ,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \left(\frac{1}{2}\right) = b^2 + c^2 - bc$.
હવે,પદાવલિ $(a+b+c)(b+c-a)$ ને ધ્યાનમાં લો.
આને $((b+c)+a)((b+c)-a) = (b+c)^2 - a^2$ તરીકે લખી શકાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $b^2 + c^2 + 2bc - a^2$ મળે છે.
$a^2 = b^2 + c^2 - bc$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$b^2 + c^2 + 2bc - (b^2 + c^2 - bc) = b^2 + c^2 + 2bc - b^2 - c^2 + bc = 3bc$.

(C) $\triangle ABC$ માં આપેલ છે: $a=3, b=4$ અને $\sin A = \frac{3}{4}$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\frac{3}{4}}{3} = \frac{\sin B}{4}$.
$\Rightarrow \frac{3}{4 \times 3} = \frac{\sin B}{4}$.
$\Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{\sin B}{4}$.
$\Rightarrow \sin B = 1$.
કારણ કે $\sin B = 1$, તેથી $B = 90^{\circ}$.
આમ, $\angle CBA = 90^{\circ}$.

(C) $\triangle ABC$ માં આપેલ છે કે $A=75^{\circ}$ અને $B=45^{\circ}$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$C = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 45^{\circ}) = 60^{\circ}$.
સાઇન નિયમ (Sine Rule) મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
તેથી,$b = k \sin 45^{\circ} = k \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $c = k \sin 60^{\circ} = k \frac{\sqrt{3}}{2}$.
વળી,$a = k \sin 75^{\circ} = k \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
આપણે $b + c\sqrt{2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$b + c\sqrt{2} = k \frac{1}{\sqrt{2}} + k \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = k \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$.
$a$ ના પદમાં કિંમત મૂકતા,$b + c\sqrt{2} = \left( \frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{3}+1} \right) \left( \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} \right) = 2a$.

(D) આપેલ છે: $a=6 \text{ cm}$,$b=10 \text{ cm}$,$c=14 \text{ cm}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{6^2 + 10^2 - 14^2}{2 \times 6 \times 10} = \frac{36 + 100 - 196}{120} = \frac{-60}{120} = -\frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos C = -\frac{1}{2}$,તેથી $C = 120^{\circ}$,જે ગુરુકોણ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,બાકીના બે ખૂણાઓનો (જે લઘુકોણ હશે) સરવાળો $A + B = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ થાય.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = x^2+x+1$,$b = 2x+1$,અને $c = x^2-1$ છે.
$x^2+x+1$ એ સૌથી મોટી બાજુ હોવાથી,સૌથી મોટો ખૂણો $A$ એ બાજુ $a$ ની સામેનો ખૂણો છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos A = \frac{(2x+1)^2 + (x^2-1)^2 - (x^2+x+1)^2}{2(2x+1)(x^2-1)}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\cos A = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$A = 120^{\circ}$.

(C) આપેલ છે કે,$b = 2$,$c = 3$,અને $\angle B = \frac{\pi}{6}$.
$\triangle ABC$ માં કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{a^2 + 3^2 - 2^2}{2 \cdot a \cdot 3}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 + 9 - 4}{6a}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 + 5}{6a}$
બંને બાજુ $6a$ વડે ગુણતા:
$3\sqrt{3} a = a^2 + 5$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$a^2 - 3\sqrt{3} a + 5 = 0$

(C) કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
આપેલ છે કે $\angle C = 60^{\circ}$,તેથી $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
આના પરથી $ab = a^2+b^2-c^2$ અથવા $a^2+b^2 = ab+c^2$ મળે છે.
હવે,આપેલ પદાવલિમાં $a^2+b^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{c(a+b)+(a^2+b^2)}{(b+c)(c+a)} = \frac{ca+cb+ab+c^2}{bc+ab+c^2+ac}$.
અંશ અને છેદ સમાન હોવાથી,તેની કિંમત $1$ થાય છે.

(C) આપણને આપેલ છે કે $\Sigma(q+r) \cos P = (q+r) \cos P + (r+p) \cos Q + (p+q) \cos R$.
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$(q \cos P + r \cos P) + (r \cos Q + p \cos Q) + (p \cos R + q \cos R)$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$(q \cos P + p \cos Q) + (r \cos P + p \cos R) + (r \cos Q + q \cos R)$
પ્રોજેક્શન લો (પ્રક્ષેપણના નિયમ) મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $r = q \cos P + p \cos Q$,$q = r \cos P + p \cos R$,અને $p = r \cos Q + q \cos R$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$r + q + p = p + q + r$
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{p+q+r}{2}$ હોવાથી,$p+q+r = 2s$ થાય.
તેથી,$\Sigma(q+r) \cos P = 2s$.