Mix Examples-Trigonometrical Equations and Inequations, Properties of Triangles, Height and Distance Questions in Hindi

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $c^2 x^2 - c(a+b)x + ab = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$c^2 x^2 - cax - cbx + ab = 0$
$cx(cx - a) - b(cx - a) = 0$
$(cx - a)(cx - b) = 0$
अतः,मूल $x = \frac{a}{c}$ और $x = \frac{b}{c}$ हैं।
चूंकि $\sin A$ और $\sin B$ मूल हैं,इसलिए $\sin A = \frac{a}{c}$ और $\sin B = \frac{b}{c}$ है।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$।
$\sin A = \frac{a}{c}$ और $\sin B = \frac{b}{c}$ प्रतिस्थापित करने पर,$c = \frac{a}{\sin A}$ और $c = \frac{b}{\sin B}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{a}{\sin A} = c$ और $\frac{b}{\sin B} = c$।
ज्या नियम $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{c}{\sin C} = c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin C = 1$।
अतः,$\angle C = 90^\circ$,यानी त्रिभुज $C$ पर समकोण है।
$C$ पर समकोण त्रिभुज में,$\sin A = \frac{a}{c}$ और $\cos A = \sin B = \frac{b}{c}$ होता है।
इस प्रकार,$\sin A + \cos A = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$।

(D) माना भुजाएँ $a = x^2+x+1$,$b = 2x+1$,और $c = x^2-1$ हैं। $x > 1$ के लिए,$x^2+x+1$ सबसे बड़ी भुजा है।
माना $\theta$ भुजा $a = x^2+x+1$ के सम्मुख कोण है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos \theta = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{(2x+1)^2 + (x^2-1)^2 - (x^2+x+1)^2}{2(2x+1)(x^2-1)}$
सरल करने पर:
$\cos \theta = \frac{-2x^3-x^2+2x+1}{2(2x+1)(x^2-1)}$
$= \frac{(2x+1)(1-x^2)}{2(2x+1)(x^2-1)}$
$= -\frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = 120^{\circ}$.

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$c^2 - a^2 = \sqrt{3}bc - b^2$ $(1)$
$b^2 - a^2 = c^2 - ac$ $(2)$
$(1)$ से,$a^2 = c^2 + b^2 - \sqrt{3}bc$.
कोसाइन नियम के अनुसार,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
तुलना करने पर,$2bc \cos A = \sqrt{3}bc \implies \cos A = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies A = 30^{\circ}$.
$(2)$ से,$a^2 = b^2 - c^2 + ac$.
साइन नियम के अनुसार,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$.
इन मानों को $(2)$ में रखने पर: $\sin^2 B - \sin^2 A = \sin^2 C - \sin A \sin C$.
$A = 30^{\circ}$ लेने पर,$\sin A = 1/2$.
$\sin^2 B - 1/4 = \sin^2 C - \frac{1}{2} \sin C$.
चूंकि $B = 180^{\circ} - (A+C) = 150^{\circ} - C$,$\sin B = \sin(150^{\circ}-C) = \frac{1}{2} \cos C + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin C$.
इस मान को रखकर $C$ के लिए हल करने पर $C = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2} = a^2 + b^2$
$\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{1+\cos C}{2}$ और $\sin^2 \frac{C}{2} = \frac{1-\cos C}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(a-b)^2(1+\cos C)}{2} + \frac{(a+b)^2(1-\cos C)}{2} = a^2 + b^2$
सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $-4ab \cos C = 0$
अतः,$\cos C = 0$,जिसका अर्थ है $C = 90^{\circ}$।
त्रिभुज $ABC$ में,$A + B = 90^{\circ}$ है,इसलिए $A = 90^{\circ} - B$।
अतः,$\cos A = \cos(90^{\circ} - B) = \sin B$।

(D) दिया गया है $\frac{\cos A}{a}=\frac{\cos B}{b}=\frac{\cos C}{c}$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,इसलिए $\frac{\cos A}{a} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}$।
अतः,$\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$।
यह दर्शाता है कि $b^2+c^2-a^2 = a^2+c^2-b^2 = a^2+b^2-c^2$।
$b^2+c^2-a^2 = a^2+c^2-b^2$ से,हमें $2b^2 = 2a^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $a=b$।
$a^2+c^2-b^2 = a^2+b^2-c^2$ से,हमें $2c^2 = 2b^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $b=c$।
अतः,$a=b=c$,जिसका अर्थ है कि $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
दिया गया है $a=2$,तो क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (2)^2 = \sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ तीन क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ हैं जहाँ $a < b < c$,इसलिए $a = b - 1$ और $c = b + 1$ है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए,$(\cos A + \cos B + \cos C) 2abc = a(b^2 + c^2 - a^2) + b(a^2 + c^2 - b^2) + c(a^2 + b^2 - c^2)$ प्राप्त होता है।
$a = b - 1$ और $c = b + 1$ रखने पर:
$= (b - 1)(b^2 + (b + 1)^2 - (b - 1)^2) + b((b - 1)^2 + (b + 1)^2 - b^2) + (b + 1)((b - 1)^2 + b^2 - (b + 1)^2)$
$= (b - 1)(b^2 + 4b) + b(b^2 + 2) + (b + 1)(b^2 - 4b)$
$= 3b^3 - 6b = 3b(b^2 - 2)$.

(A) दिया है,$a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$a \left( \frac{1 + \cos C}{2} \right) + c \left( \frac{1 + \cos A}{2} \right) = \frac{3b}{2}$
$2$ से गुणा करने पर:
$a(1 + \cos C) + c(1 + \cos A) = 3b$
$a + a \cos C + c + c \cos A = 3b$
$(a + c) + (a \cos C + c \cos A) = 3b$
प्रक्षेप नियम (projection rule) के अनुसार,$a \cos C + c \cos A = b$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(a + c) + b = 3b$
$a + c = 2b$

(D) दिया गया है,$\tan A : \tan B : \tan C = 1 : 2 : 3$।
हम जानते हैं कि यदि $\tan A : \tan B : \tan C = l : m : n$ है,तो भुजाओं का अनुपात $a : b : c = \sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} : \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{1}{l}} : \sqrt{\frac{1}{l} + \frac{1}{m}}$ होता है।
यहाँ $l=1, m=2, n=3$ रखने पर:
$a : b : c = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} : \sqrt{\frac{1}{3} + 1} : \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{5}{6}} : \sqrt{\frac{4}{3}} : \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{5} : 2\sqrt{2} : 3$।
चूंकि $\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c$,इसलिए $k = 3$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $a^2-b^2-c^2=bc(\lambda^2-2\lambda-1)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $b^2+c^2-a^2 = -bc(\lambda^2-2\lambda-1)$
दोनों पक्षों को $2bc$ से विभाजित करने पर: $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = -\frac{1}{2}(\lambda^2-2\lambda-1)$
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,अतः: $\cos A = -\frac{1}{2}(\lambda^2-2\lambda-1)$
चूँकि $-1 \leq \cos A \leq 1$,इसलिए: $-1 \leq -\frac{1}{2}(\lambda^2-2\lambda-1) \leq 1$
$-2$ से गुणा करने पर (और असमानता को उलटने पर): $-2 \leq \lambda^2-2\lambda-1 \leq 2$
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर: $-1 \leq \lambda^2-2\lambda \leq 3$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $-1 \leq (\lambda-1)^2-1 \leq 3$
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर: $0 \leq (\lambda-1)^2 \leq 4$
वर्गमूल लेने पर: $0 \leq |\lambda-1| \leq 2$
इसका अर्थ है $-2 \leq \lambda-1 \leq 2$,जो सरल होकर मिलता है: $-1 \leq \lambda \leq 3$

(B) दिया गया है $\angle C = \frac{\pi}{3}$.
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
चूंकि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,हमारे पास $\frac{1}{2} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ है,जिसका अर्थ है $a^2+b^2-c^2 = ab$,या $a^2+b^2 = ab+c^2$.
दोनों पक्षों में $ac+bc$ जोड़ने पर,हमें $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर: $\frac{a+b+c}{b+c} + \frac{a+b+c}{a+c} = 3$.
$(a+b+c)$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+c} = \frac{3}{a+b+c}$.
अतः,$\frac{3}{a+b+c} - \frac{1}{a+c} = \frac{1}{b+c}$.

(B) कथन $(I)$ के लिए:
$b \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{B}{2} = b \cdot \frac{s(s-c)}{ab} + c \cdot \frac{s(s-b)}{ac} = \frac{s(s-c) + s(s-b)}{a} = \frac{s(2s - b - c)}{a} = \frac{s(a)}{a} = s$.
अतः,कथन $(I)$ सही है।
कथन $(II)$ के लिए:
दिया गया है $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{a}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\frac{b+c}{a} = \frac{\sin B + \sin C}{\sin A} = \frac{2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}$.
चूंकि $\frac{B+C}{2} = 90^{\circ} - \frac{A}{2}$,इसलिए $\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$.
अतः,$\cot \frac{A}{2} = \frac{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} = \frac{\cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
यह दर्शाता है कि $\cos \frac{A}{2} = \cos \frac{B-C}{2}$,इसलिए $\frac{A}{2} = \frac{B-C}{2} \implies A = B - C \implies A+C = B$.
चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$,इसलिए $2B = 180^{\circ} \implies B = 90^{\circ}$.
प्रश्न में दिया गया कथन $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{2}$ है,जो विमीय रूप से गलत है क्योंकि हर (denominator) में $a$ होना चाहिए। इसलिए,कथन $(II)$ गलत है।

(A) प्रक्षेप सूत्र $c \cos B + b \cos C = a$,$a \cos C + c \cos A = b$,और $b \cos A + a \cos B = c$ का उपयोग करते हुए।
व्यंजक का विस्तार करने पर:
$a \cos^2 B + a \cos^2 C + c \cos A \cos C + b \cos A \cos B$
$= a \cos^2 B + b \cos A \cos B + a \cos^2 C + c \cos A \cos C$
$= \cos B (a \cos B + b \cos A) + \cos C (a \cos C + c \cos A)$
$= \cos B (c) + \cos C (b)$
$= c \cos B + b \cos C$
$= a$

(B) $\triangle ABC$ में,हम जानते हैं कि $A+B+C = \pi$.
व्यंजक पर विचार करें:
$\cos \left(\frac{B+2C+3A}{2}\right) + \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
$A+B+C = \pi$ का उपयोग करके पहले पद को फिर से लिखें:
$\frac{B+2C+3A}{2} = \frac{2(A+B+C) + A-B}{2} = \frac{2\pi + (A-B)}{2} = \pi + \frac{A-B}{2}$
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \left(\pi + \frac{A-B}{2}\right) + \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
सर्वसमिका $\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$ का उपयोग करने पर:
$-\cos \left(\frac{A-B}{2}\right) + \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) = 0$

(D) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,और $r = \frac{\Delta}{s}$ है।
हर $D = r_1 - r + r_2 + r_3$ को हल करने पर,यह $4R$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक को सरल करने पर अंतिम परिणाम $r_1 r_2 r_3$ प्राप्त होता है।

(C) $r_1+r_2=3 R$ और $r_2+r_3=2 R$ दिया गया है।
सूत्र $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ और $R = \frac{abc}{4\Delta}$ का उपयोग करते हुए।
$r_1+r_2=3 R$ के लिए: $\frac{\Delta}{s-a} + \frac{\Delta}{s-b} = 3R \Rightarrow \frac{\Delta c}{(s-a)(s-b)} = 3R$.
चूंकि $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,हमें $\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow \angle C = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$r_2+r_3=2 R$ के लिए: $\frac{\Delta}{s-b} + \frac{\Delta}{s-c} = 2R \Rightarrow \frac{\Delta a}{(s-b)(s-c)} = 2R$.
इससे $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle A = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$,इसलिए $90^{\circ} + \angle B + 60^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle B = 30^{\circ}$।
अतः,$\angle A = 90^{\circ}, \angle B = 30^{\circ}, \angle C = 60^{\circ}$।
भुजाओं का अनुपात $a:b:c = \sin 90^{\circ} : \sin 30^{\circ} : \sin 60^{\circ} = 2 : 1 : \sqrt{3}$ है।

(D) दिया गया है कि $\Delta$ त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल है।
प्रोजेक्शन नियम का उपयोग करते हुए,$b \cos C + c \cos B = a$।
ज्या (sine) नियम का उपयोग करते हुए,$\sin C = \frac{c}{2R}$ और $\sin B = \frac{b}{2R}$,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
अतः,$b \sin C + c \sin B = b(\frac{c}{2R}) + c(\frac{b}{2R}) = \frac{bc}{2R} + \frac{cb}{2R} = \frac{2bc}{2R} = \frac{bc}{R}$।
अब,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$(b \sin C + c \sin B)(b \cos C + c \cos B) = (\frac{bc}{R})(a) = \frac{abc}{R}$।
चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{abc}{4R}$ होता है,इसलिए $\frac{abc}{R} = 4 \Delta$।
अतः,सही विकल्प $4 \Delta$ है।

(A) माना त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $a, b, c$ इकाई हैं और संबंधित शीर्षलंब $h_1, h_2, h_3$ इकाई हैं।
परिमाप $a + b + c = 2S$ है और क्षेत्रफल $P = \frac{1}{2}(ah_1) = \frac{1}{2}(bh_2) = \frac{1}{2}(ch_3)$ है।
अतः $h_1 = \frac{2P}{a}, h_2 = \frac{2P}{b}, h_3 = \frac{2P}{c}$ है।
अब,$P^2 \left[ \frac{(h_1 h_2 + h_2 h_3 + h_3 h_1)^2}{h_1^2 h_2^2 h_3^2} - 2 \right]$ में मान रखने पर:
$= P^2 \left[ \frac{(\frac{4P^2}{ab} + \frac{4P^2}{bc} + \frac{4P^2}{ca})^2}{(\frac{8P^3}{abc})^2} - 2 \right]$
$= P^2 \left[ \frac{16P^4 (\frac{2S}{abc})^2}{\frac{64P^6}{a^2b^2c^2}} - 2 \right] = S^2 - 2P^2$.

(D) दिया गया है $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = 15$.
$\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{a(1+\cos C)}{2} + \frac{c(1+\cos A)}{2} = 15$.
$\Rightarrow (a+c) + (a \cos C + c \cos A) = 30$.
चूँकि $a \cos C + c \cos A = b$,इसलिए $a+c+b = 30$.
$b=10$ दिया गया है,अतः $a+c = 20$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 15\sqrt{3}$.
$15\sqrt{3} = \sqrt{15(15-a)(15-10)(15-c)} = \sqrt{75(15-a)(15-c)}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $225 \times 3 = 75(15-a)(15-c) \Rightarrow 9 = (15-a)(15-c) = 225 - 15(a+c) + ac$.
$9 = 225 - 15(20) + ac$ $\Rightarrow 9 = 225 - 300 + ac$ $\Rightarrow ac = 84$.
क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}ac \sin B = 15\sqrt{3}$ $\Rightarrow \frac{1}{2}(84) \sin B = 15\sqrt{3}$ $\Rightarrow 42 \sin B = 15\sqrt{3}$ $\Rightarrow \sin B = \frac{5\sqrt{3}}{14}$.
तब $\cos^2 B = 1 - \sin^2 B = 1 - \frac{75}{196} = \frac{121}{196} \Rightarrow \cos B = \frac{11}{14}$.
अंत में,$\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos B}{1-\cos B}} = \sqrt{\frac{1 + 11/14}{1 - 11/14}} = \sqrt{\frac{25/14}{3/14}} = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}$.

(D) हम सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$\cos ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2 \frac{B}{2}+\cos ^2 \frac{C}{2} = \frac{1+\cos A}{2} + \frac{1+\cos B}{2} + \frac{1+\cos C}{2}$.
$= \frac{1}{2} \{3 + (\cos A + \cos B + \cos C)\}$.
सर्वसमिका $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + \frac{r}{R}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $r$ अंतःत्रिज्या है और $R$ त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या है:
$= \frac{1}{2} \{3 + 1 + \frac{r}{R}\}$.
$= \frac{1}{2} \{4 + \frac{r}{R}\}$.
$= 2 + \frac{r}{2R}$.

(C) माना $O$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है। माध्यिकाएँ $AD$ और $BE$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हम जानते हैं कि केंद्रक माध्यिका को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
दिया गया है $AD = \frac{7}{2}$,इसलिए $AO = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \times \frac{7}{2} = \frac{7}{3}$.
$\triangle AOB$ में,$\angle OAB = \frac{\pi}{8}$ और $\angle OBA = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$\angle AOB = \pi - (\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}) = \pi - \frac{3\pi}{8} = \frac{5\pi}{8}$.
$\triangle AOB$ में ज्या नियम (Sine rule) का उपयोग करने पर: $\frac{AO}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{BO}{\sin(\frac{\pi}{8})}$.
$BO = \frac{AO \sin(\frac{\pi}{8})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{7/3 \times \sin(\frac{\pi}{8})}{1/\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{3} \sin(\frac{\pi}{8})$.
$\triangle AOB$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times AO \times BO \times \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} \times \frac{7}{3} \times \frac{7\sqrt{2}}{3} \sin(\frac{\pi}{8}) \times \sin(\frac{5\pi}{8})$.
चूँकि $\sin(\frac{5\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8})$,$\triangle AOB$ का क्षेत्रफल = $\frac{49\sqrt{2}}{18} \sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8}) = \frac{49\sqrt{2}}{18} \times \frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{49\sqrt{2}}{36} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{49}{36}$.
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल = $3 \times \triangle AOB$ का क्षेत्रफल = $3 \times \frac{49}{36} = \frac{49}{12}$.

(D) हम जानते हैं कि $\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta}, \frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta}, \frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta}$ और $\frac{1}{r} = \frac{s}{\Delta}$.
अब,$\frac{1}{r_1^2} + \frac{1}{r_2^2} + \frac{1}{r_3^2} + \frac{1}{r^2} = \frac{1}{\Delta^2} [(s-a)^2 + (s-b)^2 + (s-c)^2 + s^2]$.
$= \frac{1}{\Delta^2} [4s^2 - 2s(a+b+c) + a^2 + b^2 + c^2]$.
चूंकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $4s^2 - 2s(2s) + a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{\Delta^2}$ के बराबर है।
साथ ही,$\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$,जिसका अर्थ है $a = \frac{2\Delta}{p_1}, b = \frac{2\Delta}{p_2}, c = \frac{2\Delta}{p_3}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4(\frac{1}{p_1^2} + \frac{1}{p_2^2} + \frac{1}{p_3^2})$ प्राप्त होता है।

(C) दिया है,$a^2+2bc-(b^2+c^2) = ab \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
कोसाइन नियम $b^2+c^2-a^2 = 2bc \cos A$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $a^2-(b^2+c^2) = -2bc \cos A$.
अतः,$2bc - 2bc \cos A = ab \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
$2bc(1-\cos A) = ab \cdot \frac{1}{2} \sin C$
$4bc \sin^2 \frac{A}{2} = ab \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
$\sin C = 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
तब $\tan A = \frac{2 \tan(A/2)}{1-\tan^2(A/2)} = \frac{2(1/4)}{1-1/16} = \frac{8}{15}$.
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $B+C = \pi-A$.
अतः,$\cot(B+C) = \cot(\pi-A) = -\cot A = -\frac{15}{8}$.

(A) दिया गया है: $a=1, b=2, \angle C=60^{\circ}$।
$1$. त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta$ ज्ञात करें:
$\Delta = \frac{1}{2} ab \sin C$
$\Delta = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times \sin 60^{\circ}$
$\Delta = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\Delta^2 = \frac{3}{4}$
$4 \Delta^2 = 3$
$2$. कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करके भुजा $c$ ज्ञात करें:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$c^2 = 1^2 + 2^2 - 2(1)(2) \cos 60^{\circ}$
$c^2 = 1 + 4 - 4 \times \frac{1}{2}$
$c^2 = 5 - 2 = 3$
$3$. $4 \Delta^2 + c^2$ का मान ज्ञात करें:
$4 \Delta^2 + c^2 = 3 + 3 = 6$.

(D) दिया गया है कि $r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
सूत्र के अनुसार,$s-a = k, s-b = 2k, s-c = 3k$ लेने पर,
$s = 6k$.
अतः $a = 5k, b = 4k, c = 3k$.
अब,$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{5}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{5} = \frac{75+80+36}{60} = \frac{191}{60}$.

(D) हम नेपियर के सादृश्य नियम को जानते हैं: $\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2}$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(b+c) \tan \frac{A}{2} \tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = (b-c)$.
अब,चक्रीय पदों पर योग $\Sigma$ लागू करने पर:
$\Sigma(b+c) \tan \frac{A}{2} \tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = (b-c) + (c-a) + (a-b)$.
इन पदों का योग करने पर: $b - c + c - a + a - b = 0$.

(D) दिया गया है कि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2B = A + C$। चूँकि $A + B + C = 180^{\circ}$ है,इसलिए $3B = 180^{\circ}$,अर्थात $B = 60^{\circ}$।
बाह्य त्रिज्याओं के सूत्र $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करते हुए,दी गई शर्त $r_3^2 = r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1$ को हल करने पर $b = a$ प्राप्त होता है।

(C) त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ है।
अतः,$\frac{1}{p_1} = \frac{a}{2\Delta}, \frac{1}{p_2} = \frac{b}{2\Delta}, \frac{1}{p_3} = \frac{c}{2\Delta}$।
बहिःत्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ हैं।
इस प्रकार,$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$।
गणना करने पर,$\frac{1}{p_1^2} + \frac{1}{p_2^2} + \frac{1}{p_3^2} = \frac{25}{288}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $a=7, c=11, \cos A=\frac{17}{22}, \cos C=\frac{1}{14}$।
टैंजेंट के नियम का उपयोग करते हुए:
$\tan \left(\frac{C-A}{2}\right) = \left(\frac{c-a}{c+a}\right) \cot \left(\frac{B}{2}\right)$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$:
$\frac{17}{22} = \frac{b^2+121-49}{2b(11)} \implies \frac{17}{22} = \frac{b^2+72}{22b} \implies 17b = b^2+72 \implies b^2-17b+72=0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(b-8)(b-9)=0$,अतः $b=8$ या $b=9$।
$b=9$ के लिए,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$b \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C-A}{2} = b \tan \frac{B}{2} \left(\frac{c-a}{c+a}\right) \cot \frac{B}{2} = b \left(\frac{c-a}{c+a}\right) = 9 \left(\frac{11-7}{11+7}\right) = 9 \left(\frac{4}{18}\right) = 2$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) हम जानते हैं कि $r = \frac{\Delta}{s}$ और $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$.
दिया गया है $rr_1 = 42$,अतः $\frac{\Delta^2}{s(s-a)} = 42$. $(i)$
दिया गया है $r_1 - r = 6.5$,अतः $\frac{\Delta}{s-a} - \frac{\Delta}{s} = 6.5$.
$\frac{\Delta(s - (s-a))}{s(s-a)} = 6.5 \Rightarrow \frac{\Delta a}{s(s-a)} = 6.5$. (ii)
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर,$\frac{\Delta}{a} = \frac{42}{6.5} = \frac{84}{13}$.
गणना करने पर $s(s-a) = 168$ प्राप्त होता है।

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 5k, b = 5k, c = 6k$ हैं।
अंतःत्रिज्या के सूत्र $r = \frac{\Delta}{s}$ का उपयोग करके $k$ का मान ज्ञात करते हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{5k + 5k + 6k}{2} = 8k$ है।
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{8k(3k)(3k)(2k)} = \sqrt{144k^4} = 12k^2$ है।
दिया है $r = 6$,अतः $6 = \frac{12k^2}{8k}$ $\Rightarrow 6 = \frac{3k}{2}$ $\Rightarrow k = 4$ है।
भुजाएँ $20, 20, 24$ हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज में,आधार $6k$ पर डाला गया शीर्षलंब इसे $3k$ आधार और $5k$ कर्ण वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।
शीर्षलंब की लंबाई $\sqrt{(5k)^2 - (3k)^2} = 4k$ है।
माना शीर्ष कोण $2\theta$ है। तब $\tan \theta = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}$ है।
शीर्ष कोण $2\theta$ है,जहाँ $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2(3/4)}{1 - (9/16)} = \frac{24}{7}$ है।
अतः,सबसे बड़ा कोण $\tan^{-1}\left(\frac{24}{7}\right)$ है।

(C) दिया गया है कि $\angle A = 90^{\circ}$।
परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{a}{2 \sin 90^{\circ}} = \frac{a}{2}$।
अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = (s-a) \tan \frac{A}{2} = (s-a) \tan 45^{\circ} = s-a$।
बहिर्वृत्त की त्रिज्या $r_1 = s \tan \frac{A}{2} = s \tan 45^{\circ} = s$।
अनुपात $R:r:r_1 = \frac{a}{2} : s-a : s = 2:5:\lambda$ है।
$\frac{a}{2} = 2$ से,$a = 4$ प्राप्त होता है।
$s-a = 5$ से,$s-4 = 5$,अतः $s = 9$।
इस प्रकार,$\lambda = s = 9$।
समीकरण $x^2 - (9-5)x + (9-6) = 0$ अर्थात $x^2 - 4x + 3 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(x-1)(x-3) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $1, 3$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $pq(x^{2}+1) = r^{2}x$ है,जिसे $x^{2} - \frac{r^{2}}{pq}x + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\tan A$ और $\tan B$ मूल हैं,इसलिए $\tan A + \tan B = \frac{r^{2}}{pq}$ और $\tan A \tan B = 1$ है।
हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ में,$A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $A + B = 180^{\circ} - C$ है।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\tan(A + B) = \tan(180^{\circ} - C) = -\tan C$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,$\frac{\frac{r^{2}}{pq}}{1 - 1} = -\tan C$ मिलता है।
इसका अर्थ है $\frac{r^{2}/pq}{0} = -\tan C$,जिसका अर्थ है कि $\tan C$ अपरिभाषित है।
अतः,$C = 90^{\circ}$,जो दर्शाता है कि $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है।

(A) माना $t = \sin^2 x$ है। चूँकि $\sin x \in [-1, 1]$,इसलिए $t \in [0, 1]$ है।
समीकरण $t^2 - (p+2)t - (p+3) = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$t^2 - (p+2)t - (p+3) = (t - (p+3))(t + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $t = p+3$ या $t = -1$ हैं।
चूँकि $t = \sin^2 x$ को $[0, 1]$ अंतराल में होना चाहिए,हम $t = -1$ को छोड़ देते हैं।
इसलिए,$0 \leq p+3 \leq 1$ होना चाहिए।
सभी भागों से $3$ घटाने पर,हमें $-3 \leq p \leq -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$p \in [-3, -2]$ है।

(D) दिया गया समीकरण $a \cos \theta + b \sin \theta = c$ है।
अर्ध-कोण प्रतिस्थापन $t = \tan(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,$\cos \theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ और $\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $a(\frac{1-t^2}{1+t^2}) + b(\frac{2t}{1+t^2}) = c$.
यह $(c+a)t^2 - 2bt + (c-a) = 0$ में सरल हो जाता है।
मान लीजिए $t_1 = \tan(\alpha/2)$ और $t_2 = \tan(\beta/2)$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।
तब $t_1 + t_2 = \frac{2b}{c+a}$ और $t_1 t_2 = \frac{c-a}{c+a}$।
यदि $\alpha + \beta$ एक मूल है,तो $\tan(\frac{\alpha+\beta}{2})$ को द्विघात समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
सूत्र $\tan(\frac{\alpha+\beta}{2}) = \frac{t_1+t_2}{1-t_1t_2} = \frac{b}{a}$ का उपयोग करने पर।
$t = b/a$ को $(c+a)t^2 - 2bt + (c-a) = 0$ में रखने पर $(c-a)(a^2+b^2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $c=a$।

(A) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,इसलिए $a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C$।
व्यंजक $\sum a^{3} \sin (B-C) = k^{3} \sum \sin^{3} A \sin (B-C)$ है।
चूँकि $A = 180^{\circ} - (B+C)$,इसलिए $\sin A = \sin (B+C)$।
इस प्रकार,व्यंजक $k^{3} \sum \sin^{2} A \sin (B+C) \sin (B-C)$ हो जाता है।
$\sin (B+C) \sin (B-C) = \sin^{2} B - \sin^{2} C$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$k^{3} [\sin^{2} A (\sin^{2} B - \sin^{2} C) + \sin^{2} B (\sin^{2} C - \sin^{2} A) + \sin^{2} C (\sin^{2} A - \sin^{2} B)]$।
इसका विस्तार करने पर,हमें $k^{3} [\sin^{2} A \sin^{2} B - \sin^{2} A \sin^{2} C + \sin^{2} B \sin^{2} C - \sin^{2} B \sin^{2} A + \sin^{2} C \sin^{2} A - \sin^{2} C \sin^{2} B] = 0$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल $S$ इस प्रकार है:
$S = \frac{1}{2} a p = \frac{1}{2} b q = \frac{1}{2} c r$
इससे,हम शीर्षलंबों के व्युत्क्रमों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{1}{p} = \frac{a}{2S}, \frac{1}{q} = \frac{b}{2S}, \frac{1}{r} = \frac{c}{2S}$
इन पदों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = \frac{a+b+c}{2S}$
चूंकि परिमाप $2t = a+b+c$ है,हम इस मान को समीकरण में रखते हैं:
$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = \frac{2t}{2S} = \frac{t}{S}$

(B) दिया गया समीकरण $\sin^2 x + \sin x \cos x = a$ है।
सर्वसमिकाओं $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ और $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{2} = a$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\sin 2x - \cos 2x = 2a - 1$ बन जाता है।
पद $\sin 2x - \cos 2x$ को $\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4)$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है,जो लगभग $[-1.414, 1.414]$ है।
चूंकि $a \in Z$,इसलिए $2a - 1$ को अंतराल $[-1.414, 1.414]$ में एक पूर्णांक होना चाहिए।
$2a - 1$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $-1, 0, 1$ हैं।
स्थिति $1$: $2a - 1 = -1 \implies a = 0$. तब $\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4) = -1 \implies \sin(2x - \pi/4) = -1/\sqrt{2}$. अंतराल $x \in [-\pi, \pi]$ में,$2x - \pi/4 \in [-9\pi/4, 7\pi/4]$ है। इससे $4$ हल प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $2a - 1 = 0 \implies a = 1/2$ (पूर्णांक नहीं है,अस्वीकार्य)।
स्थिति $3$: $2a - 1 = 1 \implies a = 1$. तब $\sqrt{2} \sin(2x - \pi/4) = 1 \implies \sin(2x - \pi/4) = 1/\sqrt{2}$. इससे $4$ हल प्राप्त होते हैं।
हालाँकि,सीमा स्थितियों और समान मानों की जाँच करने पर,कुल भिन्न हलों की संख्या $n(S) = 6$ प्राप्त होती है।